Area poligononi regolari e circoscrittibili

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1. Poligoni regolari
➢ Quando un poligono è regolare?
Un poligono è regolare se ha i lati e gli angoli
congruenti
Caratteristiche di un poligono regolare
Un poligono regolare è sempre inscrittibile e
circoscrittibile.
In un poligono regolare:
•
I lati sono congruenti
•
Ciascun angolo interno è uguale
•
Ciascun angolo esterno è uguale
•
Si chiama raggio del poligono il raggio della circonferenza circoscritta
(OA)
•
Si chiama apotema del poligono il raggio della circonferenza inscritta
•
il rapporto fra l'apotema e il lato è sempre costante (nf), cioè
(nl – 2) x
180
nl
360
nl
a
=nf
l
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➢ Area di un poligono regolare
1° Metodo (in funzione del lato e dell'apotema)
Un poligono regolare è sempre scomponibile in
tanti triangoli isosceli congruenti quanti sono i
lati.
Ogni triangolo isoscele ha:
• la base uguale al lato del poligono
• l'altezza uguale all'apotema del poligono
• il lato uguale al raggio del poligono
Pertanto l'Area di un poligono regolare è uguale a:
A=nl
lxa
2
ma essendo nlxl = 2p allora
A=
2pxa
2
Esempi
•
Triangolo equilatero
•
Quadrato
•
Esagono regolare
•
Cerchio
A=4
A=3
lxa 3lxa
=
2
2
lxa 4lxa
=
2
2
A=6
lxa 6lxa
=
2
2
a
2
A=2 π a x =π a
2
dove a=r
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2° Metodo (in funzione del numero fisso nf)
Abbiamo detto che ogni poligono regolare ha
a √3
= =0,288
l
6
•
Triangolo equilatero
•
Quadrato
a 1
= =0,5
l 2
•
Esagono
a √3
= =0,866
l
2
•
Pentagono
a √3
= =0,688
l
2
Visto che per il 1° metodo
A=
nlxlxnfxl
cioè
2
A=
kl 2
2
lxa
allora possiamo scrivere che
2
nfxnl
ove k =
2
A=nl
l2
2
A=3x0,288 =0,432 l
2
•
Triangolo equilatero
•
Quadrato
l2
A=4x0 ,5 =1 l 2
2
Esagono
l2
2
A=6x0,866 =2,598 l
2
•
•
Pentagono
a
=nf cioè a=nf x l
l
l2
A=5x0 ,688 =1,720 l 2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
18
20
nf
k=nfxnl/2
0,289
0,433
0,500
1,000
0,688
1,720
0,866
2,598
1,038
3,634
1,207
4,828
1,374
6,182
1,539
7,694
1,866
11,196
2,352
17,642
2,836
25,521
3,157
31,569
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➢ Area poligoni circoscrittibili
Nei poligoni circoscrittibili:
• le bisettrici si incontrano in un punto detto incentro
• il raggio della circonferenza inscritta è detto apotema
Sono circoscrittibili
• Tutti i triangoli sono tutti circoscrittibili
• Tutti i deltoidi e i rombo
• Tutti i trapezi la cui somma delle basi è uguale alla somma dei lati obliqui
• Tutti i quadrilateri che hanno la somma dei lati opposti uguale
L'area di tutti i poligoni circoscrittibili è
A=
2pxa
2
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