Conduttori e condensatori 1
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Induzione elettrica Conduttori e condensatori Su un conduttore (neutro) in un campo elettrico esterno si induce una distribuzione di cariche che produce al suo interno un campo elettrico uguale e opposto a quello esterno. ¾Il conduttore in equilibrio è equipotenziale. ¾Il campo elettrico nel suo interno è nullo E E E-+E+ 1 Conduttore carico Conduttori e condensatori 2 In una sfera conduttrice carica deformata il campo interno è sempre nullo ⇒ la densità di carica superficiale nei punti più distanti dal centro è maggiore che in quelli vicini. La densità di carica superficiale è inversamente proporzionale al quadrato del raggio di curvatura E = En = E σ εo E Schermo elettrico Conduttori e condensatori 3 Il campo prodotto all'esterno dipende dalla distribuzione di cariche alla superficie dello schermo conduttore, che è determinata unicamente dal requisito di annullamento del campo prodotto all'interno. Le forze prodotte da un campo esterno agiscono sullo schermo ma non sulle cariche distribuite al suo interno. La distribuzione delle cariche interne non muta il campo esterno; viceversa, il campo esterno non influenza le cariche interne (schermo di Faraday, descritto già da Benjamin Franklin nel 1755) “messa a terra” Conduttori e condensatori La "messa a terra" dello schermo annulla la risultante delle forze elettriche sullo schermo. ¾La "messa a terra" dello schermo elimina anche le azioni di forza dei campi esterni sullo schermo. ¾L'effetto di schermatura consente di verificare con enorme precisione (1/1016) la legge di Coulomb-Gauss. Terra 4 La sfera carica Conduttori e condensatori 5 Il potenziale della sfera (R) carica (Q) è ¾ = al lavoro di E da R a ∞ ¾ = al potenziale di una carica Q nel centro per r≥R ∞ Q Q V (Q, R) = ∫ k e 2 dr = k e R r R E = ke Q r2 L’energia della sfera Conduttori e condensatori V(q) Lavoro per aumentare di dq la carica q sulla sfera = V dq V(q)dq Lavoro complessivo per portare una carica Q sulla sfera = energia Ec della sfera carica q 0 Q Q 0 0 E C = ∫ V (q )dq = ∫ Q q dq 1 Q2 = 4πε 0 R 2 4πε 0 R 6 Capacità della sfera Conduttori e condensatori La capacità C della sfera è il rapporto tra la carica Q e il potenziale V C≡ Q V La capacità si misura in farad (F) coulomb(C) farad(F) = volt(V) Capacità della Terra (raggio R ≈ 6300 km) R C= = 4πε 0 R ≈ 7(10 − 4 )F ke 7 Condensatore e capacità Conduttori e condensatori La sfera conduttrice carica, assieme al conduttore idealmente all'infinito con carica di segno opposto, costituisce un condensatore. La capacità del condensatore si determina in linea di principio ¾ calcolando il campo elettrico prodotto dalle cariche +Q e –Q sulle armature ¾ calcolando il lavoro di E da una armatura all'altra (ossia il potenziale V del condensatore) 8 Gusci concentrici Conduttori e condensatori 9 Esempio: calcolo di C per gusci sferici concentrici con R1 <R2 R2 1 R2 − R1 1 V ≡ ∫ E (r )dr = keQ − = keQ R1R2 R1 R2 R1 E(r) Q E (r ) = ke 2 r r R1 R2 C= R1 R2 Q = V k e (R2 − R1 ) 2 →∞ R → C = R1 / k e = 4πε 0 R1 2 4 π R 1 2 − R2 = d << R1 R → C = ε 0 d condensatore Conduttori piano e condensatori 10 Condensatore a facce piane (S) e parallele (distanti d) Eint = E1 + E2 = 2 σ Q = 2ε 0 ε 0 S Eext = 0 E2 E1 −σ2 Qd V = E ⋅d = ε0S C= Q S = ε0 V d 1 Q 2 1 Q 2d 1 2 (S ⋅ d ) EC = = = ε 0 Eint 2 C 2 ε 0S 2 E2 d E1 σ1 E2 E1 Densità di energia Conduttori e condensatori 11 Per il condensatore piano l’energia è proporzionale al volume interno e al quadrato del campo elettrico (uniforme) all’interno del condensatore 1 Q 2 1 Q 2d 1 2 (S ⋅ d ) EC = = = ε 0 Eint 2 C 2 ε 0S 2 L’energia del condensatore risiede energia dEC nel campo elettrico tra = 3 volume dr le armature. Il campo densità di EC = elettrico ha una densità di energia EC 1 2 E = ε 0 proporzionale al Sd 2 quadrato di E Condensatori Conduttori in parallelo Q1 C1 = V Q1 Q2 C2 = V Q2 e condensatori Q1 + Q2 C= V V ⇔ V C1 parallelo C2 ≡ C1 + C2 Q1 + Q2 12 Condensatori Conduttori in serie Q C1 = V1 V1 Q C2 = V2 V2 e condensatori Q C= V1 + V2 ⇔ 1 1 C1 serie C2 ≡ + C1 C2 −1 C1C2 = C1 + C2 13 Esempio di calcolo Conduttori e condensatori 14 Nel calcolo della capacità del condensatore occorre sommare la superficie S delle armature di polarità opposta tra loro affacciate S a b c 3C Sε o C= d a b c 2C d
