3 Radicali - Docenti.unina

PRECORSO DI MATEMATICA
III Lezione
“RADICALI”
E. Modica
[email protected]
www.matematica.blogscuola.it
LE RADICI
Abbiamo visto che l’insieme dei numeri reali è costituito da tutti e soli i numeri che possono essere
rappresentati in forma decimale. Si ha:
𝑎∈ℝ ⟶
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒:
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒:
𝑠𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒 è 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎 𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎
𝑠𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒 è 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎 𝑒 𝑛𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎
RADICI QUADRATE
Definizione: Si dicono radici quadrate
quadrato, danno come risultato 𝑎.
1
di un numero reale 𝑎 tutti quei numeri che, elevati al
Osservazione: Lo 0 ha come unica radice quadrata se stesso!
“Perché i numeri reali negativi non ammettono alcuna radice quadrata?”
La risposta alla domanda è semplice, basti pensare al fatto che qualsiasi numero reale elevato al
quadrato dà come risultato un numero positivo!
Notazione: Il simbolo utilizzato per indicare la radice quadrata di un numero è
esso indica solamente il valore assoluto delle radici quadrate del numero, cioè:
𝑎2 = 𝑎 =
2
, ma in realtà
𝑎 𝑠𝑒 𝑎 > 0
−𝑎 𝑠𝑒 𝑎 < 0
Per tale ragione il simbolo suddetto prende il nome di radice quadrata assoluta.
Bisogna quindi stare attenti e ricordare che nell’insieme dei numeri reali:



1
2
ogni numero positivo a ammette due radici quadrate opposte tra loro: ± 𝑎;
lo zero ammette come unica radice quadrata se stesso;
i numeri negativi non ammettono alcuna radice quadrata.
Il termine radice quadrata deriva dal fatto che 𝑎 esprime il lato di un quadrato di area a.
Simbolo introdotto dal matematica tedesco Christoph Rudolff (1500 – 1545) come abbreviazione della parola radix.
1
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Dalle precedenti considerazioni appare evidente che di fronte alla 𝑎, si deve avere:
 𝑎 ≥ 0, perché i numeri reali negativi non ammettono radice quadrata;

𝑎 ≥ 0, perché il simbolo 𝑎 rappresenta la radice quadrata assoluta.
Quando ci si trova di fronte alla radice quadrata di un numero reale a si possono verificare i due
casi seguenti:


il numero a è un quadrato perfetto e quindi la sua radice quadrata assoluta è un numero
intero: ad esempio 4 = 2;
il numero a non è un quadrato perfetto e quindi la sua radice quadrata assoluta è un numero
irrazionale: ad esempio 2 = 1,4142 …
Concludiamo questo paragrafo osservando che, se si considerano i soli numeri reali non negativi, la
radice quadrata assoluta o aritmetica è l’operazione inversa dell’elevazione al quadrato:
𝑎
2
=𝑎
RADICI CUBICHE
Definizione: Si dice radice cubica3 di un numero reale a quel numero che, elevato al cubo, dà come
risultato a.
Si osserva facilmente che la radice cubica di un numero mantiene sempre lo stesso segno del
numero in quanto sappiamo che il cubo di un numero reale conserva sempre lo stesso segno della
base.
Esempi:
o
o
o
3
3
3
−8 = −2
125 = 5
0=0
Quando ci si trova di fronte alla radice cubica di un numero reale a si possono verificare i due casi
seguenti:


3
il numero a è un cubo perfetto e quindi la sua radice cubica è un numero intero;
il numero a non è un cubo perfetto e quindi la sua radice cubica è un numero irrazionale.
Il termine radice cubica deriva dal fatto che
3
𝑣 esprime il lato di un cubo di volume v.
2
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RADICI n-ESIME
Definizione: Si dicono radici m-esime di un numero reale a quei numeri che, elevati ad n, danno
come risultato a:
𝑛
𝑛
𝑎 =𝑎
𝑛
𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑒
𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑒
Quando si tratta con le radici n-esime di un numero reale, bisogna fare attenzione al fatto che
l’indice sia pari o dispari. Si presentano infatti i seguenti casi:


𝑛
se l’indice n è dispari la 𝑎 è definita per qualsiasi valore di 𝑎 ∈ ℝ, inoltre è negativa se 𝑎 <
0, positiva se 𝑎 > 0 e nulla se 𝑎 = 0;
𝑛
𝑛
se l’indice n è pari la 𝑎 è definita solo per i valori di 𝑎 ≥ 0 e si ha che 𝑎 ≥ 0.
Definizione: Siano 𝛼 ∈ ℝ, con 𝛼 > 0 e 𝑛 ∈ ℕ, si chiama radice aritmetica n-esima di  e si indica
𝑛
con 𝑎 l’unico numero reale e positivo  tale che 𝛽 𝑛 = 𝛼. Se 𝛼 = 0 si pone, di conseguenza,
𝛽 = 0 (ovvero 0 ha come unica radice n-esima se stesso).
Si ritiene utile ribadire i concetti precedentemente discussi mediante le seguenti:
Osservazioni:
1. Se 𝑛 = 2 si parla di radice quadrata e la scrittura 𝑎 indica tutti quei numeri reali che,
elevati al quadrato, danno come risultato a.
Ogni numero positivo a ammette due radici quadrate opposte tra loro: ± 𝑎,
infatti: − 𝑎 ∙ − 𝑎 = 𝑎 e + 𝑎 ∙ + 𝑎 = 𝑎;
0
2.
0=0
3. −4 non esiste perché non esistono le radici n-esime di numeri negativi quando n è pari.
3
4.
−8 = −2 perché la radice cubica di un numero mantiene sempre lo stesso segno del
numero, in quanto sappiamo che il cubo di un numero reale conserva sempre lo stesso segno
della base, ma si può generalizzare e dire che esistono le radici n-esime di numeri negativi
quando n è dispari.
Osservazione: Attenzione! Se si calcola la radice aritmetica di 𝑎2 poiché 𝑎2 ≥ 0 la scrittura ha
significato ma non sappiamo a priori se a è positivo o negativo, quindi è un errore scrivere:
𝑎2 = 𝑎
È invece corretto scrivere:
𝑎2 = 𝑎
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Se si considerano i soli numeri reali non negativi, la radice quadrata assoluta o aritmetica è
l’operazione inversa dell’elevazione al quadrato:
𝑎
2
=𝑎
In questo caso non si ricorre al valore assoluto perché la scrittura ha significato se 𝑎 ≥ 0 e quindi il
quadrato della radice aritmetica di un numero positivo è il numero stesso.
POTENZE A ESPONENTE RAZIONALE
ESPONENTE POSITIVO
In questo paragrafo il nostro scopo è quello di scrivere la radice n-esima di un numero reale 𝑎 ≥ 0
sotto forma di potenza di a, vogliamo cioè che sia:
𝑛
𝑎 = 𝑎𝑥
Elevando ambo i membri dell’uguaglianza a n otteniamo:
𝑛
𝑎
𝑛
= 𝑎𝑥
𝑛
𝑎 = 𝑎𝑛∙𝑥
⟹
Trattandosi di due potenze con base 𝑎 ≥ 0 uguali tra loro, tale uguaglianza è resa possibile solo
dall’uguaglianza dei due esponenti, cioè deve essere:
1 = 𝑛𝑥
⟹
𝑥=
1
𝑛
Possiamo quindi scrivere che:
𝑛
1
𝑎 = 𝑎𝑛
relazione valida anche nel caso in cui 𝑎 = 0.
Consideriamo un numero intero positivo 𝑚 e scriviamo:
𝑚
𝑎 𝑛 = 𝑎𝑚
1
𝑛
𝑚
= 𝑎𝑛
quindi si ha che:
𝑚
𝑎𝑛 =
𝑛
𝑎𝑚 =
𝑛
𝑎
𝑚
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2
Esempio: Calcolare 273 .
Si ha che:
2
273 =
ESPONENTE
3
27
2
= 32 = 9
NEGATIVO
Per poter definire la potenza ad esponente razionale negativo è necessario imporre la restrizione
𝑎 ≠ 0, infatti:
𝑚
𝑎− 𝑛
=
1
𝑚
𝑎𝑛
1
=
𝑎
𝑚
𝑛
2
Esempio: Calcolare 27−3 .
Si ha che:
1
2
27−3 =
3
27
2
=
1
1
=
2
3
9
Definizione: Si dice potenza a esponente razionale di un numero reale positivo 𝑎 l’espressione:
𝑚
𝑎𝑛 =
𝑛
𝑎𝑚 =
𝑛
𝑎
𝑚
𝑐𝑜𝑛
𝑚
∈ ℚ, 𝑛 ∈ ℤ − 0
𝑛
“Perché abbiamo dovuto escludere dalla definizione il caso 𝒂 < 0?”
Partiamo dall’espressione:
1
𝑎𝑛 =
con 𝑛 ∈ ℕ − 0 .
𝑛
𝑎
1
1
Se 𝑛 è dispari, la potenza 𝑎𝑛 è sempre definita per ogni valore della base; se 𝑛 è pari, 𝑎𝑛 è definita
solo per 𝑎 ≥ 0.
Considerando il numero 𝑚 ∈ ℤ, si ha:
𝑚
𝑎𝑛
=
1 𝑚
𝑛
𝑎
=
𝑛
𝑎
𝑚
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Quest’ultima uguaglianza è falsa se 𝑎 < 0!
Infatti consideriamo:
−2
6
6
−2
6
6
=
=
−2
−2
1
6
6
6
1
6
=
6
6
−2 , in cui
6
−2 non è definita in ℝ.
1
6
= 64 = 2.
Si nota che in un caso perveniamo ad un risultato mentre nell’altro no.
Per estendere la definizione al caso di basi negative sarebbe necessario stabilire un ordine di priorità
delle operazioni, ovvero una regola di precedenza:
1 𝑚
𝑚
𝑎 𝑛 = 𝑎𝑛
=
𝑛
𝑎
𝑚
ma ciò andrebbe contro la proprietà commutativa del prodotto degli esponenti di una potenza di
potenza.
OPERAZIONI CON LE RADICI
𝑛𝑡
Proprietà invariantiva
Moltiplicazione di radici con lo stesso indice
𝑎𝑚𝑡 =
𝑛
Divisione di radici con lo stesso indice
Potenza di radici
𝑛
𝑎𝑚 𝑐𝑜𝑛 𝑡 ∈ ℕ − 0
𝑛
𝑛
𝑎∙ 𝑏 = 𝑎∙𝑏
𝑛 𝑎
𝑛
𝑛
𝑎: 𝑏 =
𝑏
𝑚
𝑛
𝑛
𝑎 = 𝑎𝑚
𝑛 𝑚
Radici di radici
𝑞
𝑛
𝑎=
𝑛𝑚
𝑎
𝑛𝑞
𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑝 = 𝑎𝑚𝑞 +𝑛𝑝
𝑞
𝑛𝑞
𝑛
𝑎𝑚 : 𝑎𝑝 = 𝑎𝑚𝑞 −𝑛𝑝
𝑞
𝑛𝑞
𝑛
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑞 ∙ 𝑏 𝑛
Moltiplicazione di radici con lo stesso radicando
Divisione di radici con lo stesso radicando
Riduzione di radici allo stesso indice
MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE DI RADICI CON LO STESSO RADICANDO
Per effettuare la moltiplicazione o la divisione tra due radici aventi lo stesso radicando basta
trasformarle sotto forma di potenze con esponente razionale e utilizzare le proprietà delle potenze.
Esempio: Eseguire la moltiplicazione
4
4
3
6∙ 6
1
1
1 1
7
6 ∙ 6 = 64 ∙ 63 = 64+3 = 612 =
3
12
67
6
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Esempio: Eseguire la divisione
4
4
3
6: 6
1
1
1 1
3
1
1
6: 6 = 64 : 63 = 64−3 = 6−12 =
12
6
RIDUZIONE DI RADICI ALLO STESSO INDICE
Per ridurre due o più radicali allo stesso indice è necessario portarli ad un indice comune, detto
minimo comune multiplo degli indici, utilizzando la proprietà invariantiva.
Esempio: Ridurre i radicali
3
5e
4
2 allo stesso indice.
Il minimo comune indice è 12, quindi di ha:
o
3
o
4
4
 1
5  5  5   512   12 54
 
1
3
4
12
3
 121  12 3
2  2  2  2   2
 
1
4
3
12
I RADICALI
𝑛
Definizione: Si dice radicale un’espressione del tipo 𝑎 ∙ 𝑏, con a e b numeri reali, 𝑏 ≥ 0 ed
𝑛 ∈ ℕ. Il numero a prende il nome di coefficiente del radicale.
Operare con i radicali è simile al modo di operare con i monomi. Infatti è possibile effettuare
somme algebriche soltanto se i radicali hanno lo stesso indice e lo stesso radicando, mentre si
possono sempre effettuare moltiplicazioni e divisioni dopo averli ridotti allo stesso indice.
Si tratta con radicali aritmetici se la radice n-esima è una radice aritmetica, altrimenti si tratterà con
radicali algebrici.
Definizione: Due radicali si dicono simili se hanno lo stesso indice e lo stesso radicando.
OPERAZIONI CON I RADICALI
Restano valide tutte le operazioni elencate per le radici n-esime.
È possibile effettuare somme algebriche soltanto se i radicali sono simili:
3
3
3
2+2 2= 1+2
3
3
2=3 2
5
Infatti la somma 2 + 2 2 non si può scrivere come unico radicale perché l’indice è diverso;
3
3
invece la somma 2 + 2 3 non si può scrivere come unico radicale perché è diverso il radicando.
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Invece si possono sempre effettuare moltiplicazioni e divisioni dopo aver ridotti i radicali allo stesso
indice:
3
5
3 2∙7 3=3
3
15
5
3 2÷7 3=3
25 ∙ 7
15
15
33 = 21 ∙
25 ÷ 7
15
15
25 ∙ 33 = 21 ∙
33 = 21 ∙
15
15
864
15 32
25
=
21
∙
33
27
PORTARE DENTRO IL SEGNO DI RADICE
Per portare dentro il segno di radice basta elevare il coefficiente del radicale all’indice della
radice e lo si riscrive sotto il segno di radice:
𝑛
𝑎 𝑏=
𝑛
𝑎𝑛 ⋅ 𝑏
3
Esempio: Portare il coefficiente del radicale 2 5 dentro il segno di radice.
3
2 5=
3
23 ⋅ 5 =
3
40
PORTARE FUORI DAL SEGNO DI RADICE
È possibile portare fuori dal segno di radice quei fattori aventi come esponente un numero che sia
maggiore o uguale all’indice della radice. In generale si parte da:
𝑛
𝑎𝑚
𝑐𝑜𝑛 𝑚 ≥ 𝑛
si divide m per n e si porta fuori il termine a elevato al quoziente della divisione intera, cioè 𝑎𝑞 ,
mentre rimane dentro il segno di radice il termine a elevato al resto della divisione intera, cioè 𝑎𝑟 .
Quindi si ha:
𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎𝑞 ⋅
𝑛
𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑚 = 𝑛𝑞 + 𝑟
Esempio: Portare fuori dal segno di radice
3
𝑎5 𝑏 7 𝑐𝑑3 .
3
il maggior numero di fattori nell’espressione
𝑎5 𝑏 7 𝑐𝑑 3 = 𝑎𝑏 2 𝑑 ⋅
3
𝑎2 𝑏𝑐
RAZIONALIZZAZIONE
Razionalizzare una frazione vuol dire trasformarla in una frazione equivalente avente a
denominatore un numero intero.
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𝑎
I Caso: Razionalizzazione della frazione
𝑏
Per razionalizzare una tale frazione basta moltiplicare sia numeratore che denominatore per 𝑏, che
prende il nome di fattore razionalizzante:
𝑎
𝑏
II Caso: Razionalizzazione della frazione
𝑛
𝑎 𝑏
=
𝑏⋅ 𝑏
𝑏𝑚
𝑛
𝑛
𝑏𝑚
𝑏 𝑛 −𝑚 , quindi si ha:
𝑛
=
𝑎 𝑏 𝑛 −𝑚
𝑛
𝑛
𝑏𝑚 ⋅
𝑎 𝑏
𝑏
𝑎
Il fattore razionalizzante di questa frazione è
𝑎
=
𝑏 𝑛−𝑚
=
𝑎⋅
𝑛
𝑛
𝑏 𝑛−𝑚
𝑏𝑛
=
𝑎⋅
𝑛
𝑏 𝑛−𝑚
𝑏
𝑎
III Caso: Razionalizzazione della frazione
𝑏𝑚 ∓
𝑐𝑛
In questo caso, sfruttando il prodotto notevole 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏 2 , si ha che:


𝑎
𝑏𝑚 − 𝑐𝑛
𝑎
𝑏𝑚 +
𝑐𝑛
=
=
𝑎∙
𝑏𝑚 + 𝑐𝑛
=
𝑏𝑚 − 𝑐𝑛 ∙ 𝑏𝑚 + 𝑐𝑛
𝑎∙ 𝑏𝑚 − 𝑐𝑛
𝑏𝑚 + 𝑐𝑛 ∙
=
𝑏𝑚 − 𝑐𝑛
IV Caso: Razionalizzazione della frazione
𝑏𝑚 + 𝑐𝑛
𝑎∙
𝑏 𝑚 −𝑐 𝑛
𝑎∙ 𝑏 𝑚 − 𝑐 𝑛
𝑏 𝑚 −𝑐 𝑛
𝑎
𝑏 𝑚 ∓𝑐
Basta utilizzare lo stesso prodotto notevole sfruttato nel precedente caso e si ottiene:


𝑎
𝑏 𝑚 −𝑐
𝑎
𝑏 𝑚 +𝑐
=
=
𝑎∙
𝑏 𝑚 +𝑐
𝑏 𝑚 −𝑐 ∙ 𝑏 𝑚 +𝑐
𝑎∙ 𝑏 𝑚 −𝑐
𝑏 𝑚 +𝑐 ∙
𝑏 𝑚 −𝑐
=
=
𝑎∙
𝑏 𝑚 +𝑐
𝑏 𝑚 −𝑐
𝑎∙ 𝑏 𝑚 −𝑐
𝑏 𝑚 −𝑐
V Caso: Razionalizzazione della frazione
𝑎
𝑎+ 𝑏+ 𝑐
Anche in questo caso si utilizza il prodotto notevole utilizzato nel terzo caso e si ha:
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𝑎
𝑏+ 𝑐+ 𝑑
𝑎∙
=
𝑏+ 𝑐+ 𝑑 ∙
𝑎∙
=
𝑏+ 𝑐− 𝑑
𝑏+ 𝑐− 𝑑
=
𝑎∙
𝑏+ 𝑐− 𝑑
𝑏+ 𝑐
2
−
𝑑
2
𝑏+ 𝑐− 𝑑
𝑎 + 2 𝑎𝑏 + 𝑏 − 𝑑
VI Caso: Razionalizzazione della frazione
𝑎
3
3
𝑎± 𝑏
Per razionalizzare tale denominatore si utilizza l’uguaglianza 𝑎3 ± 𝑏 3 = 𝑎 ± 𝑏 ∙ 𝑎2 ∓ 𝑎𝑏 + 𝑏 2
e si ottiene:
𝑎
3
3
𝑎± 𝑏
=
3
𝑎⋅
3
3
3
3
𝑎2 ∓ 𝑎𝑏 + 𝑏 2
𝑎± 𝑏 ⋅
3
𝑎2
3
∓ 𝑎𝑏 +
3
𝑏2
=
𝑎⋅
3
3
3
𝑎2 ∓ 𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎±𝑏
RADICALI DOPPI
Definizione: Si dice radicale doppio un’espressione del tipo:
𝑎± 𝑏
Teorema: Per i radicali doppi sussiste la formula di trasformazione:
𝑎± 𝑏=
𝑎 + 𝑎2 − 𝑏
𝑎 − 𝑎2 − 𝑏
±
2
2
Dimostrazione
Elevando al quadrato ambo i membri otteniamo:
𝑎± 𝑏
I membro)
𝑎+ 𝑎 2 −𝑏
II membro)
𝑎2 −
𝑎2 − 𝑏
2
2
2
=𝑎± 𝑏
±
𝑎− 𝑎 2 −𝑏
2
2
=
𝑎+ 𝑎 2 −𝑏
2
+
𝑎− 𝑎 2 −𝑏
2
±2
𝑎+ 𝑎 2 −𝑏 ⋅ 𝑎− 𝑎 2 −𝑏
4
=𝑎±
= 𝑎 ± 𝑎2 − 𝑎2 + 𝑏 = 𝑎 ± 𝑏

Osservazione: Questa formula di trasformazione trova un’utile applicazione solo nel caso in cui
l’espressione 𝑎2 − 𝑏 è un quadrato perfetto.
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Esempio: Trasformare il radicale doppio 7 − 40.
Dopo aver osservato che 72 − 40 = 49 − 40 = 9 = 32 , utilizzando le formule di trasformazione si
ottiene:
7 − 40 =
7+3
7−3
−
= 5− 2
2
2
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