Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato

Corso di Fisica AA 2012-13
Cap.2b
Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato
E’ il moto rettilineo con accelerazione costante.
Per definizione: a(t)= a
Velocità e legge oraria sono:
v(t)=at+v0
s(t)=½at2+v0t+s0
(v0 è la velocità iniziale all’istante t=0)
(s0 è la posizione iniziale all’istante t=0)
Dimostriamo la prima formula: v(t)=at+v0
Dalla definizione di accelerazione media tra 0 e t abbiamo:
Am(0, t)=
v (t ) − v (0 )
.
t−0
Poiché l’accelerazione è costante, allora Am=a, e quindi
a=
v (t ) − v (0 )
t
che possiamo riscrivere, indicando con v0 la velocità iniziale v(0)
v(t)=at+ v0
2
Verifichiamo la seconda formula: s(t)=½at +v0t+s0
Dalla definizione di velocità media abbiamo:
Vm ( t , t + ∆t ) =
=
s ( t + ∆t ) − s ( t )
=
∆t
1 a( t + ∆t )2 + v ( t + ∆t ) + s − 1 at 2 − v t − s
0
0
0
0
2
2
∆t
=
=at+v0+½a∆t
calcolando la velocità istantanea come limite per ∆t che tende a zero otteniamo:
v(t)= lim ∆t → 0 Vm = at+v0
Dalle equazioni
v(t)=at+v0
s(t)=½at2+v0t+s0
se ne può ricavare una terza in cui non compare il tempo.
Infatti dalla prima abbiamo che:
t=(v-v0)/a
sostituendo t nella seconda otteniamo:
v2=v02+2a(s-s0)
Possiamo riassumere le formule cinematiche con la seguente tabella:
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Cap.2b
Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato:
variabili cinematiche
Caso generale
partenza dall’origine (s0=0)
velocità iniziale nulla (v0=0)
accelerazione a(t)
velocità v(t)
legge oraria s(t)
relazione tra variabili
a
at
½at2
v2= 2as
a
at+v0
½at2+v0t+s0
v2=v02+2a(s-s0)
Il moto rettilineo uniformemente accelerato è importante perché è il moto di un corpo lasciato
cadere in un campo gravitazionale, in assenza di resistenza dell'aria. Vicino alla superficie terrestre,
l'accelerazione di gravità g (cioè l'accelerazione che subisce un corpo lasciato libero di cadere) è di
circa 9.8 [m][s]-2, e tale accelerazione può essere ritenuta costante.
Nota. In pratica però la caduta di un corpo in un campo gravitazionale come quello terrestre è solo in prima
approssimazione descrivibile dalla cinematica del moto uniformemente accelerato. Se il corpo cade
nell'atmosfera, l'aria provoca una resistenza al moto che frena il corpo: tale resistenza cresce con la velocità,
e dipende da peso e geometria del corpo (la resistenza dell'aria è enormemente maggiore per un paracadute
aperto che non per un paracadute chiuso; una pallina da ping-pong è frenata dall’aria più di una pallina da
golf). La resistenza dell'aria può modificare di molto le caratteristiche del moto: se l'altezza di caduta è
sufficientemente elevata, a un certo punto il corpo non accelera più, ma raggiunge una velocità limite
costante (è il principio su cui funziona il paracadute). A quel punto il moto si è trasformato da moto
uniformemente accelerato a moto rettilineo uniforme.
Inoltre l’accelerazione gravitazionale g non è esattamente costante, perchè diminuisce leggermente
all’aumentare della quota. Ma questo effetto è importante solo in applicazioni missilistiche.
Esempio. Lasciate cadere un sasso in un pozzo per misurarne la profondità. Dopo 3 s sentite il
tonfo del sasso che cade in acqua. Qual è l'altezza H del pozzo? Qual è la velocità con cui il sasso
raggiunge il fondo, vF? Supponete trascurabile la resistenza dell'aria.
Orientiamo l’asse s verso il basso, con origine
sul bordo del pozzo.
In questo modo, nel momento in cui lasciate
cadere il sasso, questo si trova nell’origine
(s0=0).
Inoltre, dato che lo lasciate cadere senza
lanciarlo, ha velocità nulla (v0=0).
Il sasso subisce l'accelerazione gravitazionale
terrestre, costante verso il basso e pari a 9.8
[m][s]-2.
La legge oraria del moto del sasso è:
s(t)= (1/2)(9.8)t2=4.9 t2
Dopo 3 s abbiamo
s(3) = 44.1 m
La velocità è : v(t)= 9.8t
e dopo 3 s
v(3)=29.4 m/s
H=?
s
vF=?
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Cap.2b
La velocità di impatto si può anche ottenere direttamente dalla profondità del pozzo usando la
relazione: v2= 2as
Alla profondità s=44.1m abbiamo che v2= 2x9.8x44.1= 864.36 (m/s)2
e quindi v=29.4 m/s
Profili di accelerazione, velocità e spazio percorso per il sasso lasciato cadere nel pozzo.
Quiz
Se invece il sasso cade nello stesso pozzo dopo che lo avete lanciato in alto alla velocità v0=4 m/s,
quanto tempo impiega a raggiungere il fondo del pozzo?
Con quale velocità di impatto?
Qual è la massima altezza raggiunta?
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Cap.2b
Applicazione di Biomeccanica: il Salto Verticale
Il salto verticale è un test usato per valutare la potenza muscolare di un soggetto, come un atleta
durante allenamento o un paziente in riabilitazione.
Al soggetto viene chiesto di eseguire un salto verticale da fermo sforzandosi di raggiungere la
massima altezza. Il soggetto parte da una posizione accovacciata con le gambe piegate, ed estende
poi le gambe esercitando la massima forza possibile.
Analizziamo la cinematica del salto verticale.
Consideriamo come origine dell’asse X il baricentro della persona quando questa è in piedi (vedi
figura b). Per saltare da fermo, il soggetto deve dapprima abbassarsi di una distanza –d (fig.a). In
questo momento la sua velocità iniziale, v0, è nulla. Successivamente si solleverà con una
accelerazione rivolta verso l’alto e che dura fino alla massima estensione delle gambe (fig. b). Ora
ha raggiunto la massima velocità verticale vd. Da questo momento l’accelerazione verticale cessa
non essendo più possibile distendere le gambe. Da qui inizia “il volo”: durante questa fase il
soggetto subisce una accelerazione rivolta verso il basso pari a –g=-9.8 m/s2.
L’intero salto avviene con traiettoria rettilinea. Conviene analizzare separatamente le due
componenti del salto: la fase di spinta (dalla fig.a alla fig.b), e la successiva fase di “volo”, perchè
ognuna di queste due fasi è descrivibile da uno specifico moto uniformemente accelerato.
Fase di spinta.
Assumiamo (con buona approssimazione) che i muscoli delle gambe spingano il soggetto verso
l’alto con accelerazione costante, che indichiamo as. La fase di spinta è quindi un moto rettilineo
uniformemente accelerato descritto da:
a(t)= as
v(t)= as t
s(t)= ½as t2-d
(infatti v0=0)
(infatti s0=-d)
ed inoltre
v2=2 as (s+d)
Per trovare la velocità nel punto di figura b, cioè al momento del decollo, vd, conviene partire
dall’ultima relazione. Quando il soggetto è in piedi con le gambe dritte, allora s=0 e v=vd.
Otteniamo quindi:
vd2=2as d
cioè
v d = 2a s d
La velocità finale della spinta, vd, è anche la velocità iniziale della seconda fase del moto: il “volo”.
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Fase di volo.
Dall’istante in cui i piedi si staccano dal suolo, le gambe cessano di spingere verso l’alto. Da questo
momento il saltatore è soggetto solo alla accelerazione di gravità, g, rivolta in basso. Il moto è
ancora rettilineo uniformemente accelerato, ma descritto dalle seguenti formule (per comodità ora
l’origine del tempo t=0 corrisponde all’istante in cui i piedi si staccano dal suolo):
a(t)= -g
v(t)= -g t+ vd
s(t)= -½g t2+ vd t
(accelerazione negativa perché di verso opposto all’asse X)
(infatti v0= vd )
(infatti s0=0)
inoltre
v2= vd2 -2 g s
Dall’ultima formula ricaviamo l’altezza massima raggiunta, h. Infatti nel punto di massima altezza
la velocità v è nulla e quindi
0= vd2 -2 g h cioè
h= vd 2/(2g)
Dalla analisi della fase di spinta avevamo ottenuto vd2=2as d.
Sostituendo quindi vd2 otteniamo:
ad
h= s
g
Quindi si salta tanto più in alto quanto maggiore è l’accelerazione prodotta dalla spinta muscolare,
as, quanto più lunga è la rincorsa d, e quanto minore è l’accelerazione gravitazionale g (sulla Luna
si salta più in alto).
Scopo del test è stimare as. La rincorsa d è facile da misurare (ad esempio con un righello mentre il
soggetto è piegato prima di spiccare il salto). Misurando anche h si otterrebbe quindi:
hg
as =
d
Ma h, l’altezza massima raggiunta durante il salto, è difficile da misurare. Si preferisce allora
misurare il tempo di volo TV, per poi ricavare as.
Per ottenere il tempo di volo, TV, possiamo risolvere l’equazione s(t)=0. Risolvendola otteniamo gli
istanti in cui il soggetto stacca i piedi da terra o ricade a terra.
s(t)=0 vuol dire:
-½g t2+ vd t=0
Una soluzione è t1=0 (inizio del salto).
L’altra soluzione è data da:
cioè
-½g t+ vd=0
t2= 2vd/g
Questo è l’istante in cui il soggetto ricade al suolo. Quindi il tempo totale di volo TV è il tempo
compreso tra t1 e t2: TV= t2 -t1
TV= 2vd/g.
Se ora scriviamo la relazione vd2=2as d come as = vd2/(2d)
e sostituiamo vd= g TV /2 ricaviamo:
g2
2
as =
× TV
8d
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Applicando questa analisi è possibile valutare lo stato di alleamento di un
atleta con uno strumento molto semplice: una pedana che misuri il tempo di
volo TV con interruttori a pressione attivati dal salto.
Dal tempo di volo TV fornito dalla pedana, e dalla misura della rincorsa d,
essendo nota l’accelerazione di gravità g, si ricava l’accelerazione fornita
dalla spinta dei muscoli: as
Andamento qualitativo delle variabili cinematiche durante un salto verticale
Quiz
Un salmone salta fuori dall’acqua ad una velocità di 6 m/s:
trovare altezza massima dal pelo dell’acqua e durata del volo
Cap.2b