Soluzione - Amo la matematica

5^B
05/03/2011
Elettricità
1. Enuncia le leggi di Kirchhoff.
La somma algebrica delle correnti che confluiscono in un nodo è nulla.
In una maglia, la somma algebrica delle differenze di potenziale ai capi di ciascun dispositivo è nulla.
2. Enuncia le leggi di Ohm.
Se in un conduttore non dispersivo la corrente scorre in regime stazionario, la differenza di potenziale V tra due punti qualsiasi del
conduttore stesso è proporzionale alla corrente I che vi scorre, secondo una costante di proporzionalità che è data dalla resistenza R
del tratto di conduttore interessato, in altre parole:
V=RI
La resistenza elettrica R è direttamente proporzionale alla lunghezza L del conduttore e alla costante di resistività ρ del materiale e
inversamente proporzionale alla sua sezione A, in altre parole:
R = ρ L/A
3. Conduttori in equilibrio elettrostatico: come si distribuiscono le cariche? Qual è l’andamento del campo elettrico all’interno
e sulla superficie del conduttore?
Le cariche elettriche poste sul conduttore, essendo di segno uguale, si respingono allontanandosi il più possibile, fino a distribuirsi
sulla superficie del conduttore. Il campo elettrico è nullo in tutti i punti del conduttore: poiché un conduttore neutro contiene al suo
interno cariche libere di muoversi, se il campo elettrico all’interno non fosse nullo, ogni carica libera di muoversi si metterebbe in
movimento a causa della forza elettrica. Tuttavia, il conduttore è per ipotesi in equilibrio e quindi le cariche sono in quiete; il campo
deve perciò essere nullo in tutti i punti interni. Il campo sulla superficie è diretto perpendicolarmente alla superficie stessa: se così non
fosse, il campo avrebbe una componente parallela alla superficie che metterebbe in moto le cariche presenti.
4. Il germanio e il silicio presentano un comportamento “anomalo” rispetto ad altri conduttori, si dicono infatti semiconduttori.
Descrivi il loro comportamento riferendoti, in particolare, all’effetto Joule.
Il passaggio della corrente elettrica è rallentato dalle interazioni tra gli elettroni di conduzione e gli atomi che formano il reticolo
cristallino tipico delle strutture metalliche. Le interazioni determinano una perdita di energia cinetica degli elettroni, che si trasforma in
vibrazione della struttura e le vibrazioni producono un aumento della temperatura del metallo. Questo fenomeno è detto effetto Joule
e determina un aumento della resistenza che il materiale oppone al passaggio della corrente attraverso un aumento di temperatura. Il
germanio e il silicio hanno una resistività molto alta a 0°C, mentre il coefficiente termico risulta minore di zero; ciò implica che la
resistività di questi materiali diminuisce all’aumentare della temperatura. Fanno quindi parte della famiglia dei semiconduttori, ovvero
la loro conducibilità dipende fortemente dalla temperatura.
5. Se due conduttori di uguale resistenza R sono posti in parallelo, quanto vale la loro resistenza equivalente? Motiva la tua
risposta.
Se due conduttori sono posti in parallelo, hanno in comune la differenza di potenziale. Perciò V = V1 = V2. Per la prima legge di
Kirchhoff, nel primo nodo comune confluisce la corrente I che si suddivide nelle correnti I1 e I2, con I = I1 + I2. Applicando la prima
legge di Ohm ai due rami del circuito si ottiene:
I = I1 + I 2 =
V1 V2
+
=V
R1 R2
 1
1

+
 R1 R2



⇒
1
1
1
=
+
Req R1 R2
⇒
Req =
R2
R
=
R+R 2
6. Se due condensatori di uguale capacità C sono posti in parallelo, quanto vale la loro capacità equivalente? Motiva la tua
risposta.
Se due condensatori sono posti in parallelo, hanno in comune la differenza di potenziale. Perciò V = V1 = V2. Per il principio di
conservazione della carica applicato a una superficie chiusa contenente il nodo A, comune ai due condensatori, la carica Q che entra
in A si suddivide nei due rami, ripartendosi nei due dispositivi. In altre parole, Q = Q1 + Q2. Applicando la definizione di capacità di un
condensatore:
Q = Q1 + Q2 = C1 V1 + C2 V2 = V ( C1 + C2 )
⇒
Ceq = C1 + C2
⇒
Ceq = C + C = 2 C
5^B
05/03/2011
Elettricità
7. Calcola la resistenza equivalente del ramo di circuito raffigurato, sapendo che R1 = 13 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 20 Ω, R4 = 15
Ω, R5 = 7 Ω. Se il circuito fosse chiuso e fosse fornita una forza elettromotrice di 15 V, quale sarebbe il valore della
corrente che circola nel circuito?
R1
R2
R4
R3
R5
Le resistenze R2 e R3 sono collegate in serie, perciò la resistenza equivalente è data dalla somma delle due resistenze di partenza,
cioè 30 Ω. A questo punto la resistenza equivalente a R2 e R3 è collegata in parallelo con la resistenza R4, perciò la resistenza
equivalente si ottiene:
 1
1
R = 
+
 R4 R23
'
eq



−1
= 10 Ω
A questo punto, le tre resistenze sono collegate in serie, perciò non resta altro da fare che calcolarne la somma:
Req = Req' + R1 + R5 = 30 Ω
Se il circuito fosse chiuso e fosse fornita una forza elettromotrice di 15 V, per la prima legge di Ohm V = IR, la corrente sarebbe data
dal rapporto tra la forza elettromotrice e la resistenza equivalente, cioè 0,5 A.