2. PROPRIETA’ dei NUMERI
1. Date le disuguaglianze
1
<1
4
5
<1
6
3
− <1
4
1
> −1
3
7
− > −1
8
4
− > −1
7
−
3
<1
2
6
>1
5
3
>1
6
dire quali sono corrette.
2. Completare le frasi
• tutte le frazioni che rappresentano un razionale maggiore di 1 hanno il numeratore
... del denominatore;
• tutte le frazioni che rappresentano il numero 2 hanno il numeratore ... del denominatore;
• tutte le frazioni che rappresentano l’intero negativo -3 hanno il numeratore ... il
denominatore
3. Completare le seguenti uguaglianze
1
...
=
4
36
15
3
=
5
...
3
9
− =
4
...
2
4
=
3
...
16
20
=
12
...
8
− = ...
2
−
9
...
=
12
4
12
...
=
8
2
3
1
=
6
...
4. Inserire il simbolo > < oppure = tra le seguenti coppie di razionali
1
4
3
5
3
−
4
7
36
15
8
−
2 4
3 7
16 20
12 3
9 8
2 5
−
9
4
9
12
12
8
3
8
5
4
3
2
1
6
5. Completare la figura inserendondo i valori numerici corrispondenti ai punti
−−−−−−•−−−−−•−−−−•−−−−0−−−−•−−−−•−−−−•−−−−•−−−−−−
− − −(−3/2) − − − • − − − • − − − 0 − − − 1/2 − − − • − − − • − − − 2 − − − −
6. Ordinare in ordine crescente i seguenti numeri
3
1
5
−
2
3
−
√
3
1
6
8
5
7. Calcolare
a) il triplo di 1/3
b) la meta’ di 7/8
c) i 3/5 di -5/9
d) i 2/3 di 3/2
e) il venti per cento di 5/4
f) il settantacinque per cento di 4/3.
8. Completare le uguaglianze
1
3
1
1
+ ... = 1
− + ... = −1
+ ... =
3
4
8
4
1
1
3
− · (−4) = ...
· ... = −3
− · ... = 1
2
2
4
c
1/2 − 4/3
a
= ...
−c :
− b = ...
1 − 1/3 − 1/2
2
2
9. Rispondere alle seguenti domande
(a + b)c − 2ac = (b − a)c
2
V F
2x + 2x = 4x
V F
1
3 2
V F
a b + 3ab = 3ab
2
2a
1 1
1
2a + 1
se a = 1 − b allora
+ = ...
•
•1 •
a b
ab
ab
1 b
4
a+b
11
3
6
a
= allora
= ...
•
•
•
se =
b
2 c
3
b+c
6
7
7
10. (Prodotti notevoli) Calcolare
2
3x
+1
[(2a − b) − c]2
5
a−b
a4 − b4
a2 − b2
a2 + b2
x+y
2
7x + 14xy + 7y 2
11. Dati due numeri interi a e b tali che a + b = 0, allora di deduce
a) a = b e a 6= 0, b 6= 0,
b) a = b = 0,
c) a = −b,
d) a = 0 e b 6= 0.
12. Dati due numeri a e b tali che a = b, sottraendo b da ambo i membri si ottiene a−b = 0
a−b
0
= a−b
, cioe’ 1 = 0.
e dividendo ambo i membri per a − b si ha a−b
Questa conclusione indica una contraddizione evidente, quindi vi deve essere qualche passaggio sbagliato nel procedimento. L’errore sta nel fatto che
a) non si puo’ supporre a = b,
b) se a − b = 0, non si puo’ dividere per a − b che e’ uguale a 0,
c) non si puo’ sottrarre b da a,
d) e’ sbagliato supporre che sia (a − b)/(a − b) = 1.
Risposte
1. La disuguaglianza 14 < 1 e’ corretta, infatti moltiplicando per 4 ambo i membri si
ottiene la disuguaglianza equivalente 1 < 4, ovviamente corretta.
Anche la disuguaglianza − 13 > −1 e’ corretta (moltiplicando ambo i membri per 3 si ha
−1 > −3).
La disuguaglianza 23 < 1 e’ invece sbagliata (moltiplicando ambo i membri per 2 si ha
3 < 2 che e’ falso).
La disuguaglianza 56 < 1 e’ corretta, cosi’ come e’ corretto che − 78 > −1, che 56 > 1 e che
− 34 < 1.
E’ invece sbagliato scrivere che − 47 > −1 e che 36 > 1.
2. Nella prima frase la parola giusta da aggiungere e’ maggiore; nella seconda e’ doppio,
mentre nella terza bisogna completare con uguale a -3 volte.
3. Si ha
9
1
=
4
36
3
15
=
5
25
9
3
− =
4
−12
2
4
=
3
−6
16
4
4·5
20
= =
=
12
3
3·5
15
8
− = −4
2
−
9
3
=
12
4
12
3
=
8
2
3
1
=
6
2
4. Le disuguaglianze corrette sono
7
1
>
4
36
15
3
<
5
8
3
9
− >−
4
4
2
4
<
3
7
16
20
<
12
3
9
8
>
2
5
−
5
9
<
12
4
12
3
=
8
2
3
1
>
8
6
(Per verificare la prima disuguaglianza si osservi che 7/36 = 7/(9 · 4), quindi se moltiplichiamo entrambe le frazioni per 9 si ha 9/4 e 7/4 e la prima frazione e’ palesemente maggiore
della seconda.
La seconda disuguaglianza e’ ovvia, visto che un numero negativo e’ sempre minore di un
positivo; la terza si verifica come la prima osservando che 9/12 = (3 · 3)/(3 · 4).
Per verificare la quarta disuguaglianza si possono moltiplicare entrambe le frazioni per 40;
semplificando si ottiene il risultato. Tutte le altre disuguaglianze si verificano analogamente.)
5. La figura corretta e’
−−−−−−•−−−−−•−−−−•−−−−−0−−−−•−−−−•−−−−•−−−−•−−−−−−
− − −(−3/2) − −(−1) − −(−1/2) − − − 0 − −1/2 − − − 1 − − − 3/2 − − − 2 − − − −
6. Si ha
√
− 3 < −2/3 < 1/6 < 3/5 < 1 < 8/5
√
Si noti infatti che − 3 e −2/3 sono entrambi negativi e quindi minori di tutti gli altri
numeri; per verificare che il primo numero e’ piu’ piccolo del secondo, basta calcolare il
quadrato di entrambi e si ha√3 > 4/9. Se moltiplichiamo ambo i membri per -1 si ha
−3 < −4/9 e quindi anche − 3 < −2/3.
E’ evidente che 1/6 e 3/5 sono entrambi minori di 1, per provare che 1/6 < 3/5 si procede
come nell’esercizio 4., moltiplicando entrambe le frazioni per 30 e semplificando. Infine
8/5 e’ ovviamente maggiore di 1 perche’ ha il numeratore maggiore del denominatore.
7. Si ha
a) 3 · (1/3) = 1, b) (7/8)/2 = (7/8) · (1/2) = 7/16, c) (3/5)(−5/9) = −1/3, d) (2/3)(3/2) =
1, e) (20/100)(5/4) = (1/5)(5/4) = 1/4, f) (75/100)(4/3) = (3/4)(4/3) = 1.
8. Si ha
1 2
3
1
+ =1
− + − = −1
3 3
4
4
2
1
3
− · (−4) = 2
− · − =1
2
3
2
1/2 − 4/3
−5/6
=
= −5
1 − 1/3 − 1/2
1 − 5/6
c
a − 2c
a
−c :
−b =
2
2
c − 2b
1 1
2
1
+ = =
8 8
8
4
1
· (−4 · 3) = −3
4
9. Si ha (a + b)c − 2ac = ac + bc − 2ac = (b − a)c, quindi l’uguaglianza e’ vera.
Si ha 2x+2x = 4x, quindi l’uguaglianza e’ sbagliata. Si ha infine 23 a2 b+3ab = 3ab
3ab( a+2
2 ) quindi il risultato e’ sbagliato.
1
1
Se a = 1 − b, allora a1 + 1b = b(1−b)
= ab
, quindi la risposta giusta e’ la prima.
Se
a
b
= 12 , e
b
c
=
4
3
allora si ha
b(a/b + 1)
4 3/2
3
a+b
=
= ·
=
b+c
c(b/c + 1)
3 7/3
7
e la risposta giusta e’ la seconda.
a
2 +1
=
10. Si ha
2
9x2
6x
3x
+1 =
+
+1
5
25
5
[(2a − b) − c]2 = (2a − b)2 − 2c(2a − b) + c2 = 4a2 − 4ab + b2 − 4ac + 2bc + c2
a−b
a−b
1
=
=
se a 6= b
2
2
a −b
(a − b)(a + b)
a+b
a4 − b4
= a2 − b2
a2 + b2
x+y
x+y
1
=
=
se x 6= −y
7x2 + 14xy + 7y 2
7(x + y)2
7(x + y)
11. La risposta giusta e’ la c) visto che da a + b = 0, sottraendo b da ambo i membri segue
a + (b − b) = −b.
12. La risposta giusta e’ la b), infatti NON si puo’ MAI dividere per zero: un numero
diviso per zero non e’ un numero.
