G. Rizzoni, Elettrotecnica - Principi e applicazioni
Soluzioni ai problemi, Capitolo 8
Capitolo 8 – Istruzioni
L’ultima parte del libro presenta un’introduzione ai sistemi elettro-magneto-meccanici. Alcune delle basi necessarie per
questa parte (potenza in AC) sono state discusse nel cap.7; la parte sui sistemi polifase AC del Cap. 7 può essere
introdotta prima del Cap. 9 o insieme con la parte sulle macchine in AC.
L’enfasi in questo capitolo (e nei prossimi due) è sulla preparazione degli studenti per l’uso di sistemi elettro-magnetomeccanici come pratici attuatori per applicazioni industriali. Quindi, maggiore enfasi è posta nel descrivere le
caratteristiche di prestazione di attuatori di movimento lineari e di macchine rotanti piuttosto che nel descrivere i
dettagli costruttivi.
La sezione 8.1 rivede le leggi di base dell’elettricità e magnetismo, che dovrebbero essere già familiari agli studenti dai
precedenti corsi di fisica. Il box Trasformatore Lineare Variabile Differenziale presenta un esempio legato ai sensori
con una discussione del LVDT come trasduttore di posizione. La sezione 8.2 presenta i circuiti magnetici lineari
approssimati e la definizione di riluttanza, e introduce strutture magnetiche con traferri e semplici elettro-magneti. Il
box Strutture Magnetiche e Circuito Magnetico Equivalente introduce i metodi di analisi usati nella sezione. Un sensore
di posizione a riluttanza magnetica è presentato nel Focus apposito e in quello sul calcolo della tensione. Le proprietà
non ideali dei materiali magnetici sono presentate nella sezione 8.3, dove isteresi, saturazione e correnti disperse sono
affrontate da un punto di vista qualitativo. La sezione 8.4 introduce semplici modelli per trasformatori.
La sezione 8.5 è dedicate all’analisi di forze e movimento in strutture elettro-magneto-meccaniche caratterizzate da
movimento lineare. I Box Analisi dei Trasduttori ElettroMeccanici a ferro mobile e a bobina mobile sintetizzano i
metodi di analisi usati in questa sezione.
Infine, il box Trasduttore Sismico presenta l’analisi dinamica di un trasduttore sismico elettromeccanico.
Obiettivi di apprendimento
1. Revisione dei principi di base di elettricità e magnetismo. Sezione 1
2. Uso dei concetti di riluttanza e circuito magnetico equivalenti per calcolare flusso magnetico e correnti in
semplici strutture magnetiche. Sezione 2.
3. Comprendere le proprietà di materiali magnetici e loro effetti sui modelli circuitali magnetici. Sezione 3.
4. Usare modelli circuitali magnetici per analizzare i trasformatori. Sezione 4
5. Modellare ed analizzare la generazione di forze in sistemi elettro-magneto-meccanici. Analizzare
trasduttori a ferro mobile e a bobina mobile. Sezione 5
8.1
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Soluzioni ai problemi, Capitolo 8
Sezione 8.1: Elettricità e Magnetismo
Problema 8.1
Soluzione:
Quantità note:
Come mostrato in fig P8.1.
Trovare :
a) Densità di flusso nel nucleo.
b) Diagrammare le linee di flusso magnetico e indicarne la direzione.
c) Indicare i poli Nord e Sud del magnete
Ipotesi:
Nessuna.
Analisi:
b) visto dall’alto
c)
vedi sopra
Problema 8.2
Soluzione:
Quantità note:
Come in fig P8.2.
Trovare:
se c’è una forza risultante sulla singola spira. Se sì, in che direzione? Perché?
Ipotesi:
Nessuna.
Analisi:
Sì, la forza risultante sulla singola spira è diretta verso il basso. Se le spire sono pensate come elettromagneti, c’è un
polo nord che dalla spira più in basso attrae un polo sud dalla spira superiore.
Problema 8.3
Soluzione:
Quantità note:
Un LVDT è connesso ad un carico resistivo RL.
Trovare:
Le eq. LVDT
8.2
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Ipotesi:
Nessuna.
Analisi:
Assumi che entrambi gli avvolgimenti secondary hanno resistenza RS e induttanza LS, se MS è l’accoppiamento mutuo.
Abbiamo:
Quindi la funzione di trasferimento è:
Problema 8.4
Soluzione:
Quantità note:
Eq. del box su LVDT e risultati del problema 8.3.
Trovare:
Risposta in frequenza di LVDT e range di frequenze per le quali il dispositivo avrà massima sensitività per un’assegnata
eccitazione.
Ipotesi:
Nessuna.
Analisi:
Dove:
Quindi:
8.3
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Per determinare la massima sensitività della tensione di uscita rispetto all’eccitazione potremmo calcolare la derivata di
rispetto ad s, imporre
e risolvere per s. Imponendo
questa procedura fornirà
la frequenza di eccitazione per la quale la sensitività dell’uscita è massima. Può, comunque, essere più utile calcolare la
risposta in frequenza
accettabile.
numericamente, per visualizzare il range di frequenze per il quale la sensitività è
Problema 8.5
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
a) Energia, co-energia e induttanza incrementale.
b) Tensioni sui terminali dell’induttore.
Ipotesi:
Nessuna.
Analisi:
a)
La corrente è:
L’energia è:
La co-energia è:
L’induttanza incrementale è
b)
8.4
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Per calcolare la tensione, dobbiamo aggiungere il contributo della tensione sulla parte resistiva dell’induttore più quella
generata dall’induttanza:
È importante osservare che questa è le tensione terminale dell’induttore solo per valori di flusso nell’intorno di
Problema 8.6
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
a) Energia, co-energia e induttanza incrementale.
b) Tensioni sui terminali dell’induttore.
Ipotesi:
Nessuna.
Analisi:
a)
La corrente è:
L’energia è:
La co-energia è:
8.5
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L’induttanza incrementale è
b)
Per calcolare la tensione, dobbiamo aggiungere il contributo della tensione sulla parte resistiva dell’induttore più quella
generata dall’induttanza:
È importante osservare che questa è le tensione terminale dell’induttore solo per valori di flusso nell’intorno di
Problema 8.7
Soluzione:
Quantità note:
Diagramma della caratteristica mostrato in Fig P 8.7.
Trovare:
a) Energia e induttanza incrementale per
.
b) Tensioni sui terminali dell’induttore quando
.
Ipotesi:
Nessuna.
Analisi:
a)
Il diagramma è mostrato sotto:
8.6
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Wm è l’area alla sinistra della curva come mostrato
L’induttanza incrementale è:
b)
Problema 8.8
Soluzione:
Quantità note:
Struttura della figura 8.12.
Trovare:
Riluttanza della struttura
Ipotesi:
Ciascuna gamba è lunga 0.1 m.
Percorso magnetico medio corre attraverso il centro esatto della struttura.
Analisi:
Calcolo del percorso medio:
usando l’assunzione che il percorso magnetico medio corre attraverso il centro esatto della struttura, e poiché la
struttura è quadrata, il percorso medio è determinato usando la seguente figura:
8.7
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Calcolo della riluttanza
8.8
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Sezione 8.2: Circuiti Magnetici
Punto sulla Metodologia: Strutture Magnetiche e Circuiti Magnetici Equivalenti
Problema Diretto
Dati – Struttura geometrica e parametri dell’avvolgimento.
Calcolare – Flusso magnetico nella struttura.
1. Calcolare la fmm.
2. Determinare la lunghezza e la sezione trasversale del percorso magnetico per ciascun ramo continuo o sezione
del percorso.
3. Calcolare la riluttanza equivalente di ciascuna gamba.
4. Generare il diagramma del circuito magnetico equivalente, e calcolare la riluttanza totale equivalente.
5. Calcolare il flusso, densità di flusso e intensità del campo magnetico, a seconda delle necessità.
Problema Inverso
Dati – Flusso desiderato o densità di flusso e struttura geometrica.
Calcolare – La corrente necessaria nell’avvolgimento e numero di spire.
1. Calcolare la riluttanza totale equivalente della struttura dal flusso desiderato.
2. Determinare il diagramma del circuito magnetico equivalente.
3. Determinare la fmm richiesta per stabilire il flusso desiderato.
4. Scegliere la corrente nell’avvolgimento e il numero di spire necessarie per stabilire la desiderata fmm.
Problema 8.9
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
a) Riluttanza del circuito magnetico
b) Forza magnetizzante in unità SI
Ipotesi:
Nessuna
Analisi:
8.9
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Problema 8.10
Soluzione:
Quantità note:
Come mostrato in Fig. P8.10
Trovare:
a) Valori di riluttanza e circuito magnetico quando
b) Induttanza del dispositivo
c) Nuovo valore di induttanza quando un traferro di 0.1 mm è tagliato nella gamba
d) Valore limite dell’induttanza quando il traferro è aumentato in lunghezza.
Ipotesi:
trascura flussi dispersi ed effetti di bordo.
Analisi:
Il circuito è mostrato sotto
8.10
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d) Man mano che il traferro aumenta,
quindi
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aumenterà e come caso estremo il circuito è fatto di
e
in serie;
Problema 8.11
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
Flusso e densità di flusso in ciascuna delle gambe del circuito magnetico
Ipotesi:
trascura flussi dispersi e gli effetti di bordo. Assumi trascurabile la riluttanza del nucleo magnetico.
Analisi:
Calcola la riluttanza in ciascun traferro
Assumi che la riluttanza del materiale possa essere trascurata quando confrontata con la riluttanza dei traferri; il circuito
analogo è mostrato in basso
8.11
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Problema 8.12
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
Corrente necessaria per stabilire il flusso.
Ipotesi:
nessuna
Analisi:
La riluttanza per ciascun materiale è calcolata come segue
La totale riluttanza della struttura è somma delle riluttanze di ciascun materiale
Dalla tab. 8.1
Ferro di fusione
Acciaio di fusione
Nota che l’acciaio di fusione è meno permeabile del ferro di fusione
8.12
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Riluttanza totale
Problema 8.13
Soluzione:
Quantità note:
come mostrato in fig. 8.13
Trovare:
Flusso magnetico
Ipotesi:
nessuna
Analisi:
Problema 8.14
Soluzione:
Quantità note:
Il materiale è un foglio di acciaio
Trovare:
corrente richiesta per stabilire il flusso
confrontare la caduta di fmm sul traferro con quella sul resto del circuito magnetico e discutere i risultati usando il
valore di
per ciascun materiale.
Ipotesi:
nessuna
Analysis:
a)
Assumi che il materiale sia acciaio di fusione
8.13
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Problema 8.15
Soluzione:
Quantità note:
Il materiale è un
foglio di acciaio
Trovare:
valore di I necessario per stabilire il flusso.
Ipotesi:
nessuna
Analisi:
8.14
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Problema 8.16
Soluzione:
Quantità note:
, il traferro è fissato.
attuatore di fig. P 8.16,
Trovare:
a) la corrente nell’avvolgimento
b) l’energia immagazzinata nei traferri
c) l’energia immagazzinata nell’acciaio.
Ipotesi:
Nessuna.
Analisi:
a)
Il circuito equivalente è:
Dalla tab. 8.1, la permeabilità relativa del foglio di acciaio è 4000.
8.15
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b)
Problema 8.17
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
a) corrente necessaria a produrre
nella gamba centrale
b) corrente necessaria a produrre
nella gamba centrale
Ipotesi:
Nessuna.
8.16
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Analisi:
b)
Poiché la corrente è direttamente proporzionale a B, la corrente sarà duplicata.
Sezione 8.4: Trasformatori
Problema 8.18
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
a) costruisci il circuito magnetico equivalente e trova la riluttanza associata con ciascuna parte del circuito
b) Auto- e mutua-induttanza per la coppia di avvolgimenti.
Ipotesi:
Nessuna.
Analisi:
a)
Il circuito analogo è indicato sotto:
Le reattanze individuali sono:
8.17
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b)
le reattanze possono essere calcolate come
Problema 8.19
Soluzione:
Quantità note:
Carico resistivo da
Formula riportato al primario è
Trovare:
a) Rapporto spire
b) Tensione di ingresso, corrente, potenza ed efficienza quando il trasformatore eroga 12 W ad un carico da
a frequenza di
Ipotesi:
perdite nel nucleo trascurabili
8.18
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Analisi:
Circuito equivalente
Problema 8.20
Soluzione:
Quantità note:
Un trasformatore
Trovare:
a)
ha 50 spire sul lato di bassa tensione.
Numero di spire sul lato di alta tensione
8.19
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b) Rapporto spire
quando è usato come trasformatore abbassatore
c)
quando è usato come trasformatore elevatore
Rapporto spire
Ipotesi:
nessuna
Analisi:
a)
il primario ha
b)
per il trasformatore abbassatore
c)
per il trasformatore elevatore
Problema 8.21
Soluzione:
Quantità note:
Il lato alta-tensione del trasformatore ha 750 spire e quello di bassa 50 spire. Il lato di alta è connesso ad una tensione
nominale di 120V. Un carico di 40 A è connesso al lato di bassa.
Trovare:
a) Rapporto spire
b) Tensione sul secondario
c) Resistenza del carico
Ipotesi:
nessuna caduta di tensione sulle impedenze interne del trasformatore
Analisi:
Problema 8.22
Soluzione:
Quantità note:
Trasformatore usato per accoppiare un altoparlante da
con una linea audio di
8.20
.
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Trovare:
a) Rapporto spire del trasformatore
b) Tensione al primario e al secondario quando viene fornita una potenza audio di 10W all’altoparlante
Ipotesi:
l’altoparlante è un carico resistivo e il trasformatore ideale.
Analisi:
Problema 8.23
Soluzione:
Quantità note:
Trasformatore abbassatore. I lati alta e bassa tensione hanno 800 e 1000 spire, rispettivamente. Una tensione di 240 V in
AC è applicata al lato di alta. L’impedenza del lato di bassa è
Trovare:
a)
b)
c)
d)
Tensione e corrente al secondario
Corrente al primario
Impedenza di ingresso al primario dal rapporto di tensione e corrente al primario
Impedenza di ingresso al primario
Ipotesi:
nessuna
Analisi:
8.21
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Problema 8.24
Soluzione:
Quantità note:
Trasformatore elevatore. Tutti gli altri sono quelli del problema 8.23.
Trovare:
Rapporto di trasformazione
Ipotesi:
nessuna
Analisi:
Problema 8.25
Soluzione:
Quantità note:
Trasformatore
. Ha una fem indotta di
Trovare:
a)
Numero di spire del lato alta tensione
e del lato di bassa
b) Corrente nominale del lato di alta
c) Rapporto di trasformazione quando il dispositivo è usato come trasformatore elevatore.
Ipotesi:
è un trasformatore ideale
Analisi:
a)
8.22
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Sezione 8.5: Trasduttori elettromeccanici
a)
Punto sulla Metodologia: Analisi di trasduttori elettromeccanici a ferro
mobile
a. Calcolo della corrente necessaria per una data forza
1.
2.
Determina un’espressioen per la riluttanza della struttura, come funzione dell’estensione del
traferro R(x).
Esprimi il flusso magnetico nella struttura in funzione della fmm (cioè della corrente, I) e della
riluttanza R(x):
3.
Calcola l’espressione per la forza usando le espressioni note per flusso e riluttanza
4.
Risolvi l’espressione in 3. e ricava la corrente incognita, I.
b. Calcolo della forza generata da una certa geometria del trasduttore ed
Problema 8.26
Soluzione:
Quantità note:
Elettromagnete dell’esempio 8-9 (fig. 6.38)
Trovare:
a) Corrente richiesta per mantenere la barra in posizione
b) Corrente per sollevare il magnete se la barra è inizialmente a 0.1m dall’elettromagnete
Ipotesi:
a) Il traferro diventa nullo e la riluttanza del ferro non può essere trascurata
b) Trascura la riluttanza del ferro
Analisi:
a)
per calcolare la corrente abiamo bisogno di determinare un’espressione per la forza nel traferro. Senza
trascurare la riluttanza del ferro, possiamo scrivere l’espressioen della riluttanza come segue:
Dove L è la totale lunghezza del percorso magnetico nel ferro (escludendo il traferro). Conoscendo la riluttanza
possiamo calcolare il flusso magnetico nella struttura in funzione della corrente nel nucleo:
Quindi, l’intensità della forza nel traferri è data come:
8.23
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Man mano che x tende a zero, possiamo calcolare la forza come:
E la corrente per mantenere tale forza è:
Assumendo che la totale lunghezza del percorso magnetico sia
valore di corrente
e che
, possiamo calcolare il
b) poiché la barra è inizialmente distante 0.1m dalla struttura, la riluttanza dell’aria prevale sulla riluttanza della
struttura. La riluttanza si calcola come:
Conoscendo la riluttanza possiamo calcolare il flusso magnetico nella struttura in funzione della corrente nel nucleo:
Quindi, l’intensità della forza nel traferri è:
Infine, la corrente richiesta vale:
Nota che la corrente ottenuta nella parte a) è molto più piccola di quella richiesta per sollevare la barra dalla distanza
iniziale di 0.1m.
Problema 8.27
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
a)
energia immagazzinata nel campo magnetico per
b) la forza magnetica per
Ipotesi:
nessuna
8.24
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Analisi:
a)
La corrente è:
Il segno meno indica che la forza f è in direzione opposta a quella indicata in figura.
Problema 8.28
Soluzione:
Quantità note:
solenoide dell’esempio 8.10 (fig. 8.40)
Trovare:
Migliore combinazione dell’intensità di corrente e diametro del filo per ridurre il volume della bobina del solenoide.
Questo volume minimo fornisce la resistenza minima possibile? Come cambia la potenza dissipata sulla bobina al
cambiare del filo e della corrente?
Ipotesi:
usa un cavo in rame per il solenoide
Analisi:
Per valutare gli effetti del diametro del cavo e dell’intensità della corrente su volume, resistenza e potenza dissipata è
necessario considerare le espressioni matematiche per ciascuna variabile.
Volume:
La lunghezza dell’avvolgimento è data dalla circonferenza
Area dell’avvolgimento:
Dall’es. 8.10, la relazione tra corrente e numero di spire è:
8.25
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Quindi:
Resistenza:
La resistenza del cavo è:
dove
è la resistività del cavo, assunto essere di rame con
dalle precedenti:
La potenza dissipata è data da:
È possibile ottenere una tabella per il diametro e la portata dei cavi legati a volume, resistenza e potenza dissipata
8.26
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Soluzioni ai problemi, Capitolo 8
All’aumentare del codice, diminuiscono sia il diametro che la portata del cavo, aumenta il numero di spire mentre
decresce il volume dell’avvolgimento. In ogni caso, aumenta anche la resistenza. Quindi, il volume minimo non sarà
quello con resistenza minima.
Problema 8.29
Soluzione:
Quantità note:
solenoide dell’esempio 8.10 (fig. 8.40)
Trovare:
fmm, f, usando le eq. 8.46 e 8.30.
Ipotesi:
riluttanza del ferro trascurabile come l’attrito.
Analisi:
Dall’es. 8.10
Calcola l’induttanza del circuito magnetico in funzione della riluttanza (equazione 8.30):
Calcola l’energia magnetica immagazzinata
Usiamo l’espressione 8.46 per scrivere l’espressione della forza magnetica:
Si ritrova il risultato dell’esempio 8.10 usando la relazione tra flusso magnetico, riluttanza della struttura e forza
magnetica. Il calcolo per la fmm è identico all’esempio 8.10.
Problema 8.30
Soluzione:
Quantità note:
Solenoide dell’esempio 8.11 (fig 8.40)
Trovare:
Corrente e forza magnetica in funzione del tempo usando l’eq. 8.46 e 8.30 in derivazione.
Ipotesi:
8.27
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La riluttanza del ferro è trascurabile, trascura l’attrito.
L’induttanza del solenoide è approssimativamente costante ed è uguale al valor nella parte media (spostamento dello
stantuffo uguale ad a / 2)
Analysis:
Dall’esempio 8.11:
Calcola l’induttanza del circuito magnetico in funzione della riluttanza (eq. 8.30)
Calcola l’energia magnetica accumulate:
Usa l’eq. 8.46 per scrivere l’espressione della forza magnetica:
Con l’ipotesi che l’induttanza sia costante con x = a / 2 :
Dall’esempio 8.11:
Si ritrova il risultato dell’esempio 8.11 usando la relazione tra flusso magnetico, riluttanza della struttura e forza
magnetica. Le curve sono indicate in basso.
8.28
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Problema 8.31
Soluzione:
Quantità note:
Solenoide dell’esempio 8.11 (fig 8.40)
Trovare:
Crea un programma di sumulazione che tiene conto del fatto che l’induttanza del solenoide non è costante, m aè
funzione della posizione dello stantuffo.
Confronta graficamente la risposta al gradino di corrente e forza del sistema con quella ottenuta nell’esempio 8.11.
Ipotesi:
La riluttanza del ferro è trascurabile, trascura l’attrito.
Trascura lo smorzamento dello stantuffo.
Analysis:
Dall’esempio 8.11:
L’induttanza è funzione della posizione dello stantuffo
8.29
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Equazione differenziale della corrente per il circuito mostrato in basso
Per trovare l’eq. della forza, calcola l’energia magnetica accumulate in funzione della corrente
Usa l’eq. 8.46 per scrivere l’espressione della forza magnetica:
Si ritrova il risultato dell’esempio 8.11 usando la relazione tra flusso magnetico, riluttanza della struttura e forza
magnetica.
Diagramma a blocchi in Simulink
Confronto della risposta al gradino per induttanza costante e sistema ad induttanza variabile:
8.30
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Nota che la risposta più veloce del sistema con induttanza variabile è dovuta all’induttanza inizialmente più piccola. LA
più grande induttanza costante risulta in una risposta più lenta.
Problema 8.32
Soluzione:
Quantità note:
Relè dell’esempio 8.12 (fig 8.46)
Trovare:
Corrente di mantenimento necessaria per tener chiuso il relè.
Ipotesi:
Traferri diventa zero e la riluttanza del ferro non può essere trascurata.
Analisi:
Per calcolare la corrente abbiamo bisogno di determinare un’espressione per la forza nel traferro. Senza trascurare la
riluttanza del ferro, possiamo scrivere l’espressione per la riluttanza come segue:
Dove L è la lunghezza pel percorso magnetico nel ferro (escludendo il traferro).
Conoscendo la riluttanza possiamo calcolare il flusso magnetico nella struttura in funzione della corrente
nell’avvolgimento:
8.31
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Quindi, l’intensità della forza nel traferro è data da:
Man mano che x si avvicina a zero, possiamo calcolare la forza come:
E la corrente necessaria per avere tale forza è:
La lunghezza totale del percorso magnetico è:
La corrente:
Problema 8.33
Soluzione:
Quantità note:
Circuito del relè di fig 8.33
Trovare:
Minima tensione DC per cui il relèrealizza il contatto quando lo switch elettrico è chiuso
Ipotesi:
trascura la riluttanza del ferro.
Analisi:
Riluttanza del traferro:
Flusso magnetico
8.32
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Forza magnetica
Forza che deve essere superata è la forza della molla
Uguagliando le equazione delle due forze e determinando la corrente:
La tensione è determinata imponendo la legge di Ohm e x = L:
Problema 8.34
Soluzione:
Quantità note:
Rappresentazione semplificata del sensore di ruvidità della superficie mostrato in Fig P8.34.
Trovare:
Determinare un’espressione per lo spostamento x in funzione dei vari parametri del circuito magnetico e della fem
misurata.
Ipotesi:
dove
è una costante nota. Contatto senza attrito tra lo stantuffo e la struttura magnetica.
Il flusso
Lo stantuffo può muoversi solo verticalmente.
Analisi:
8.33
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Problema 8.35
Soluzione:
Quantità note:
Come mostrato in Fig P8.35. il traferro intorno allo stantuffo è uniforme e pari a 1 mm. Il diametro è d = 25 mm. La
corrente di eccitazione è 7.5 A . N = 200 .
Trovare:
Forza che agisce sullo stantuffo quando x = 2mm.
Ipotesi:
nessuna
Analsi:
L’area trasversale A è:
Da qui possiamo calcolare la riluttanza variabile del traferro
E la forza risultante è:
Problema 8.36
Soluzione:
Quantità note:
8.34
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Soluzioni ai problemi, Capitolo 8
Come mostrato in Fig P8.36. il sistema elettromeccanico a doppia eccitazione si muove orizzontalmente. LA sezione
trasversale della sezione è
Trovare:
a) La riluttanza del circuito magnetico
b) L’energia magnetica accumulata nel traferro
c) La forza sulla parte mobile in funzione della posizione.
Ipotesi:
Resistenza, perdite magnetiche e attrito trascurabili. Permeabilità del nucleo molto grande.
Analsi:
a)
La riluttanza del circuito magnetico è:
b)
L’energia magnetica accumulata nel traferro
c)
La forza sulla parte mobile in funzione della posizione.
Problema 8.37
Soluzione:
Quantità note:
Densità di flusso nel percorso dentro l’acciaio di fusione è 1.1T . il diametro dello stantuffo è 10 mm.
Trovare:
La forza tra le facce dei poli
Ipotesi:
traferro trascurabile tra pareti e stantuffo.
Poichè il percorso è in acciaio di fusione Formula (da tab. 8.1)
Analsi:
Dall’eq. 8.50
Il flusso è determinato dalla densità di flusso e dall’area
8.35
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Soluzioni ai problemi, Capitolo 8
Poiché lo stantuffo è cilindrico e il traferro tra stantuffo e avvolgimento è trascurabile, la riluttanza è calcolata
come:
Dove x è lo spazio tra stantuffo parete posteriore del solenoide. La riluttanza del percorso nell’acciaio può essere
trascurata a causa della bassa riluttanza della struttura.
La derivata della riluttanza è:
L’area è l’area trasversale dello stantuffo
Combinando tutte le equazioni in quella della forza:
Problema 8.38
Soluzione:
Quantità note:
una forza di 10.000 N è richiesta per supportare il peso. L’area trasversale del nucleo magnetico è
L’avvolgimento ha 1000 spire.
Trovare:
la minima corrente che può tenere il peso senza lasciarlo cadere da x = 1.0mm .
Ipotesi:
Riluttanza trascurabile per le parti in acciaio ed effetti di bordo trascurabili nei traferri.
Analisi:
La riluttanza variabile è data da:
La forza è legata alla riluttanza da
Quindi
8.36
.
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Problema 8.39
Soluzione:
Quantità note:
Il relè di controllo
è fatto di acciaio in fusione. La lunghezza media del circuito magnetico è 12cm . la
. L’avvolgimento ha 250 spire e sopporta 50 mA.
sezione trasversale media del circuito magnetico è di
Trovare:
a) Densità di flusso B nel circuito magnetico del relè quando l’avvolgimento è energizzato.
b) La forza F esercitata sull’armatura per chiuderlo quando l’avvolgimento è energizzato
Ipotesi:
nessuna
Analisi:
a.
dalla curva
b.
Problema 8.40
Soluzione:
Quantità note:
come mostrato in Fig. P8.40
Trovare:
Equazioni differenziali descriventi il sistema.
Ipotesi:
nessuna
Analisi:
L’equazione per il sistema elettrico è:
Dove
L’eq. per il sistema meccanico è:
8.37
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dove Fm è la forza magnetica di spinta. Per calcolare questa forza usiamo la seguente equazione:
where the magnetic pull force. To calculate this force we use the following equation:
dove Wm è l’energia accumulate nel campo magnetico.
Siano
e
la forza magnetica agente sulla struttura e la sua riluttanza, rispettivamente; quindi:
Le equazioni differenziali che governano il sistema sono:
Il sistema di equazioni potrebbe essere risolto con la simulazione numerica, essendo nonlineare.
Problema 8.41
Soluzione:
Quantità note:
Come mostrato in Fig. P8.41 il solenoide ha una sezione trasversale di
Trovare:
a) Forza agente sullo stantuffo quando la distanza x = 2 cm e la corrente è 5 A. N = 100turns . Permeabilità
relativa del materiale magnetico e del manicotto non magnetico sono 2000 e 1.
b) Individua una set di equazioni differenziali che descrivano il comportamento del solenoide.
Ipotesi:
Trascurabili effetti di bordo e dispersione.
Analisi:
a.
8.38
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Il circuito è mostrato in basso
Poiché
8.39
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b.
subsistema elettrico
subsistema meccanico
Riluttanza
Flusso
Forza magnetica
Induttanza
8.40
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Sostituendo le espressioni per fm e L(x) nelle due equazioni differenziali, abbiamo la risposta finale.
subsistema elettrico
subsistema meccanico
Nota che queste equazioni sono fortemente non lineari!
Problema 8.42
Soluzione:
Quantità note:
Relè mostrato in Fig. P8.42
Trovare:
Equazioni differenziali (elettriche e meccaniche) per il relè.
Ipotesi:
L’induttanza è funzione di x.
La riluttanza del ferro è trascurabile.
Analisi:
subsistema elettrico
subsistema meccanico
Possiamo calcolare la forza magnetica e l’induttanza in funzione di x
Riluttanza
Flusso
Forza magnetica
Induttanza
8.41
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Sostituendo le espressioni per fm e L(x) nelle due equazioni differenziali, abbiamo la risposta finale.
subsistema elettrico
subsistema meccanico
Nota che queste equazioni sono fortemente non lineari!
b)
Trasduttori a bobina mobile
Punto sulla Metodologia: Analisi di trasduttori elettromeccanici a bobina
mobile
1. Apply KVL to write the differential equation for the electrical subsystem, including the back
emf, e = Blu, term.
2. Apply Newton’s Second Law to write the differential equation for the mechanical subsystem,
including the magnetic force f = Bli, term.
3. Laplace transform the two coupled differential equations to formulate a system of linear
algebraic equations, and solve for the desired mechanical and electrical variables.
1.
2.
3.
Applica la LKT per scrivere l’equazione differenziale per il subsistema elettrico, includendo il
termine della fcem
Applica la seconda legge di Newton per scrivere l’equazione differenziale per il subsistema
meccanico, includendo il termine della forza magnetica
Trasforma secondo Laplace le due equazioni differenziali accoppiate per ottenere un sistema di
equazioni algebriche lineari e risolvi nelle variabili meccaniche ed elettriche di interesse.
Problema 8.43
Soluzione:
Quantità note:
Lunghezza del filo = 20 cm; densità di flusso = 0.1T. La posizione del filo è
Trovare:
Fem indotta sulla lunghezza del filo in funzione del tempo.
Ipotesi:
Nessuna
Analisi:
Da
abbiamo
8.42
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Problema 8.44
Soluzione:
Quantità note:
; lunghezza del secondo
; posizione del secondo filo
Trovare:
Fem indotta definita dalla differenza nelle fem
e
Ipotesi:
Nessuna
Analisi:
abbiamo
Problema 8.45
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
Intensità e direzione della forza indotta sulla barra conduttrice
Ipotesi:
Nessuna
Analisi:
La forza sarà a sinistra se la corrente fluisce verso l’alto
Problema 8.46
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
Intensità e direzione della tensione indotta sul filo
Ipotesi:
Nessuna
Analisi:
8.43
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Problema 8.47
Soluzione:
Quantità note:
Scuotitore elettrodinamico mostrato in Fig. P8.47. sua massa, m; dimensione del traferro, d; numero di spire
dell’avvolgimento; costante della molla, k; resistenza dell’armatura, R, e induttanza, L.
Trovare:
a) riluttanza della struttura e densità di flusso B
b) Equazioni dinamiche dello scuotitore
c) Funzione di trasferimento e risposta in frequenza della velocità dello scuotitore rispetto alla tensione di
ingresso, Vs.
Ipotesi:
Riluttanza del ferro trascurabile come gli effetti di bordo. Nessuno smorzamento nel sistema.
Analisi:
a. Riluttanza della struttura
Calcola la densità di flusso
b.
Subsistema elettrico, usando la LKT
Subsistema meccanico
c. Trasformata di Laplace
8.44
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Problema 8.48
Soluzione:
Quantità note:
Lo scuotitore elettrodinamico mostrato in Fig. P8.47 è usato per realizzare un test di vibrazione di un connettore
elettrico.
Il test consiste nel muovere il connettore a frequenza
Trovare:
L’ampiezza della tensione sinusoidale
stabilite.
richiesta per generare un’accelerazione di 5 g (49 m/s) in condizioni
Ipotesi:
Il connettore ha massa trascurabile rispetto alla piattaforma.
Analisi:
Applicando la LKT al circuito dell’avvolgimento:
Applicando la seconda legge di Newton
Per ottenere la risposta in frequenza, applichiamo la trasformata di Laplace alle due equazioni
8.45
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Possiamo scrivere le equazioni in forma matriciale, riordinarle e risolvere con Cramer, per ottenere U(s) in funzione di
V(s)
con soluzione
Per ottenere la risposta in accelerazione, moltiplichiamo il numeratore per s2
Il modulo di questo numero complesso, valutato a
è 0.62.
Quindi, per ottenere la desiderata accelerazione di 49 m/s, è necessaria un’ampiezza di tensione di
_________________
Problema 8.49
Soluzione:
Quantità note:
come descritto nell’esempio 8.13
Trovare:
Determinare e fare lo schema della risposta in frequenza dell’altoparlante nei due seguenti casi. Descrivere
qualitativamente come la risposta in frequenza dell’altoparlante cambia man mano che la costante k della molla
aumenta e diminuisce. Trova il limite della risposta in frequenza e il tipo di altoparlante man mano che k và a zero.
Ipotesi:
Nessuna
Analisi:
a.
Per
la funzione di trasferimento è
La risposta in frequenza è indicata in basso.
8.46
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Questa risposta corrisponderebbe ad un altoparlante nelle frequenza medie.
b.
Per
la funzione di trasferimento
La risposta in frequenza è indicata in basso.
8.47
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Questa risposta corrisponderebbe ad un “tweteer”.
c.
Per
la funzione di trasferimento è
La risposta in frequenza è indicata in basso.
8.48
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In questo caso, l’altoparlante si comporta da “woofer”, enfatizzando le basse frequenze. In pratica, k non può essere mai
zero, cosicché la risposta reale di un woofermodifica quella di uno speaker nelle frequenze medie, spostando in avanti le
frequenze più basse.
Problema 8.50
Soluzione:
Quantità note:
Altoparlante dell’esempio 8.13. (Fig 8.52)
Trovare:
modifica i parametri dell’altoparlante (massa, smorzamento, e molla) in modo da ottenere un altoparlante con una
risposta centrata a 400Hz. Dimostra che il tuo progetto raggiunge gli obiettivi posti, usando i diagrammi della risposta
in frequenza.
Ipotesi:
Nessuna
Analisi:
Dall’esempio 8.13, la funzione di trasferimento del sistema è:
La risposta in frequenza è:
8.49
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dove
Usando Matlab, è facile variare i parametri meccanici uno per uno al fine di verificare l’effetto di ciascun parametro
sulla risposta in frequenza del sistema.
Massa: aumentando la massa diminuisce la frequenza centrata della risposta in frequenza.
Smorzamento: aumentando lo smorzamento diminuisce ancora la frequenza centrata, ma si allarga anche la larghezza di
banda della risposta.
Costante della molla: diminuendo la costante diminuisce anche la frequenza centrata
Ci sono molte possibili combinazioni di parametri meccanici che potrebbero essere sostituite per generare la risposta
desiderata
Un possibile set di parametri è:
La risposta in frequenza per questo sistema è data in basso, con risposta centrata sui 400 Hz.
8.50
