Lezione 9
Forze e campi magnetici
9.1
Forza di Lorentz
Serway, Cap 22
• Forza di Lorenz (particella carica)
~
F~ = q~v × B
• Forza di Lorenz (filo rettilineo di lunghezza ` percorso da
corrente I)
~
F~ = I ~` × B
• Legge di Biot-Savert per un filo rettilineo infinito
B=
µ0 I
(+ regola mano destra)
2πr
• Permittivitá magnetica del vuoto
µ0
Tm
= 10−7
4π
A
Tema d’esame
~ di intensitá 1.2 mT, é diretto verso l’alto
Un campo magnetico uniforme B
in una camera di laboratorio. Un protone, con energia cinetica di 5.3 MeV
entra nella camera muovendosi orizzontalmente da Sud a Nord. Quale forza di
deflessione magnetica agisce sul protone appena entra nella camera. La massa
del protone è 1.67·10−27 kg.
Soluzione
La forza di deflessione magnetica dipende dalla velocità del protone, che
possiamo ricavare da K = 1/2mv 2 . Risolvendo rispetto a v troviamo
1
r
v=
s
2K
=
m
(2)(5.3M eV )(1.60 · 10−23 J/M eV )
= 3.2 · 107 m/s
1.67 · 10−27 kg
L’intensitá della forza risulta allora
FB = |q|vB sinθ = 6.1 · 10−15 N
Tema d’esame
Un protone di massa 1.67×10−27 kg e carica q = 1.6 × 10−19 C penetra in un
campo magnetico uniforme di modulo B = 16.7 T in direzione perpendicolare
ad esso con velocitá di 32 × 107 m/s. Si determini il raggio dell’orbita e il tempo
impiegato dalla particella per descrivere una circonferenza.
Soluzione
L’intensità della forza risentita dalla particella risulta essere
~ = qvB
|F~ | = |q~v × B
La carica elettrica compie un moto circolare con accellerazione centripeta ac
che si puó ricavare dalla seconda legge della dinamica. Infatti
v2
v2
→ qvB = mac = m
r
r
da cui ricaviamo il raggio dell’orbita
F = mac = m
r=
mv
qB
Sostituendo i dati si ottiene che
r=
(1.67−27 kg)(32 × 107 m/s)
= 0.2m
(1.6 × 10−19 C)(16.7T )
Il tempo di percorrimento della circonferenza risulta essere
t=
l
1.26m
=
= 0.039 × 10−7 s
v
32 × 107 m/s
Tema d’esame
Un elettrone di carica q = 1.6 × 10−19 C e massa m = 9.1 × 10−31 kg penetra in
direzione perpendicolare alle linee di forza in un campo magnetico di modulo
uguale a B = 4T , descrivendo un’orbita circolare di raggio r = 0.25m. Si
determini la velocità dell’elettrone.
Soluzione
La Forza che agisce sulla particella quando entra nel campo magnetico è
uguale a F = qvB. Dalla seconda legge della dinamica abbiamo
2
qvB = ma = m
v2
r
La velocità risulta quindi essere
v=
qBr
(1.6 × 10−19 C)(4T )(0.25m)
=
= 0.176 × 1012 m/s
m
9.1 × 10−31 kg
Tema d’esame
Una particella di carica e massa ignota viene posta in un campo elettrico di
modulo E = 6 × 106 N/C e un campo magnetico di modulo B = 0.83T perpendicolare al campo elettrico. Calcolare a) la velocità della particella lungo la
traiettoria rettilinea.
Soluzione
Sulla particella carica agisce sia la forza elettrica qE che quella magnetica
qvB. Per far sı̀ che la particella si muova su una linea retta e non venga deflessa
deve avvenire che forza elettrica e forza magnetica si equilibrino
qE = qvB → v =
E
6 × 106 N/C
=
= 7.22 × 106 m/s
B
0.83T
Tema d’esame
Un fascio di particelle cariche costituito da ioni di sodio (massa atomica 23a.m.u.)
da ioni sconosciuti penetrano nella regione di campo magnetico dopo essere stati
accelerati da una d.d.p.. Il diametro della traiettoria circolare degli ioni sodio è
di r1 = 15 cm e la loro velocità è uguale a v1 = 1.32 × 104 m/s mentre il raggio
della traiettoria degli ioni incogniti è di r2 = 20 cm e la velocità risulta essere
v2 = 0.99 × 104 m/s. Si determini la massa degli ioni incogniti in unità di massa
atomica.
Soluzione
Nel campo magnetico gli ioni risentono di una forza uguale a qv2 B muovendosi in una traiettoria circolare di raggio r2 con accellerazione centripeta pari a
a2 = v22 /r2 . Quindi, dalla seconda legge della dinamica, si ottiene
m2 a2 = qv2 B → m2
v22
= qv2 B → m2 v2 = qr2 B
r2
ma questo vale anche per gli ioni di sodio
m1 v1 = qr1 B
Facendo il rapporto tra le due relazioni otteniamo:
m2 v2
r2
r2 v1
=
→ m2 = m1
m1 v1
r1
r1 v2
sostituendo i dati del problema
3
m2 = (23a.m.u.)
9.2
20 1.32
= 41a.m.u.
15 0.99
Forza su un conduttore percorso da corrente
XXII.8
Un filo trasporta una corrente di I = 2.40 A. un tratto rettilineo del filo di
d = 0.75 m è diretto lungo l’asse x, soggetto all’azione di un campo magnetico
~ = (1.60~k) T. Se la corrente é diretta lungo la direzione +x qual’é la
uniforme B
forza che agisce sul tratto di filo?
Soluzione:
~ = IdB~i × ~k = −IdB~k
F = I ~` × B
l’unico punto delicato é la determinazione della direzione e verso della forza. Il
modulo é dato da:
|F | = IdB = 2.40 × 0.75 × 1.60 = 2.8800N
(Ricorda: [A][m][T]=[N])
XXII.36
Un lungo filo rettilineo giace orizzontalmente su un tavolo e trasporta una corrente di 1.20 µA. A distanza d sopra il filo, un protone si muove parallelamente
al filo (in verso opposto alla corrente) con una velocitá costante di 2.30 × 104
m/s. determinare il valore di d. determinare il valore di d (trascurare il campo
magentico terrestre).
Soluzione:
Supponiamo che le x siano dirette come la corrente, le z opposte al campo
gravitazionale (e dunque le y entrano nel foglio).
Poiché la velocitá del protone é costante, le forze totali si annullano (FTot =
mP a). Si ha dunque che la forza di gravitá F~g = −mg~k deve essere bilanciata
da qualche altra forza. Tale forza é ovviamente la forza di Lorenz che il filo
applica al protone tramite il campo magentico che genera: tale campo, che si
puó ottenere dalla lagge di Biot-Savart applicata al filo infnito, ha modulo
B=
µ0 I
2πd
e direzione radiale, quindi nella posizione del protone é:
~ = −~j µ0 I
B
2πd
la forza di Lorenz é:
~ = qv~i × ~j µ0 I = µ0 qvI ~k
F~B = q~v × B
2πd
2πd
4
all’equilibrio:
mg =
da cui la distanza
d=
µ0 qvI
2πd
µ0 qvI
2πmg
numericamente: (la carica del protone é: q = +e = 1.6 × 10−19 C, la sua
massa mP = 1.7 × 10−27 kg, la permittivitá magnetica del vuoto é: µ0 /(2π) =
2 × 10−7 Tm/A
d = (2 × 10−7 Tm/A) × (1.6 × 10−19 C)×
(2.30 × 104 m/s) × (1.20 × 10−6 A) ×
1
1.7 × 10−27 × 9.8 N
controllate le unitá di misura si ottiene:
2 1.6 2.30 1.20
× 10−7−19+4−6+27 = .53 × 10−1 = 5.3 cm
1.7 9.8
XXII.39
Due conduttori rettilinei e paralleli infiniti sono separati da una distanza d e
percorsi da correnti opposte. Un conduttore é percorso da 10.0 A, l’altro da
una corrente I non nota. Il punto A si trova nel punto medio tra i due fili, ed
il punto C ad una distanza d/2 a destra del filo in cui scorrono i 10.0 A (nel
semi piano che non contiene A). Se d = 18 cm e I é regolata in modo da avere
campo nullo in C, calcolare la corrente I e il campo manetico in A.
Soluzione:
Sia 1 il filo con corrente I e 2 quello con corrente I2 = 10.0 A. Per la legge di
Biot-Savart per i fili infiniti, il campo in C é:
~ C = −~j
B
µ0 I1
µ0 I2
µ0 2I2
2I1
+ ~j
= ~j (
−
)
2π(3d/2)
2π(d/2)
2π d
3d
che si annulla se
I1 = 3I2 = 30 A
il campo in A é dato da:
~ A = −~j µ0 I1 − ~j µ0 I2 = −~j µ0 (I1 + I2 )
B
2π(d/2)
2π(d/2)
2π(d/2)
il campo in A quindi esce dal foglio ed ha modulo:
|BA | =
µ0
I1 + I2
40 A
×
= 2 × 10−7 Tm/A ×
= 8.88 × 10−5 T
2π
(d/2)
9 × 10−2 m
5
XXII.20
Due fili conduttori paralleli, posti a distanza a = 10 cm, sono percorsi da correnti
aventi lo stesso verso. Se I1 =5 A e I2 =8 A, qual è la forza per unità di lunghezza
esercitata da ciascun conduttore sull’altro?
Soluzione
Supponiamo che entrambe le correnti siano dirette verso l’alto. Il condutore 1
genera un campo magnetico nella posizione del filo 2 pari a (µ0 = 4π10−7 T ·m/A)
µ I1
2π r
Per cui sul filo 2 viene esercitata una forza data da
B=
~ = ` µ I1 I2 v̂
F~ = I2 ~` × B
2π r
Da cui la forza per unità di lunghezza risulta essere
|F~ |/` = I2 B =
µ I1 I2
5·8
= 2 · 10−7
= 8 · 10−7 N
2π r
0.1
v̂ è il versore che indica direzione e verso della forza da determinarsi con la
regola della mano destra e risulta essere ortogonale al filo 2 e diretta verso il filo
1
XXII.21
Nella figura P22.21 il conduttore rettilineo è percorso da una corrente I1 = 5A
e si trova nello stesso piano della spira rettengolare percorsa da una corrente
I2 =10 A. Le dimensioni in figura sono c=0.1 m, a=0.15 m e `=0.45 m. Calcolare
intensità e direzione della forza risultante che è esercitata sulla spira rettangolare
dal filo rettilineo.
Soluzione
Usando i risultati dell’esercizio precedente abbiamo che due fili rettilinei
percorsi da corrente si attragono con un forza per unità di lunghezza pari a
µ I1 I2
2π r
se sono percorsi dalla corrente nello stesso verso, mentre si respingono con
una forza in modulo uguale alla precedente se sono percorsi in verso opposto.
Tornando al problema si ha che sul lato della spira più vicino al filo si esercita
una forza che attrae la spira verso il filo pari a
|F~ |/` =
µ` I1 I2
2π c
Sul lato della spira più lontano dal filo si esercita una forza che respinge la
spira dal filo pari a
Fatt =
6
µ` I1 I2
2π a
Sulle due basi si esercitano delle forze uguali ma contrarie che tenderebbero
a deformare la spira il cui effetto è quidi nullo.
La forza risultante è quindi
Frep =
Ftot = Fatt −Frep =
µ`
I1 I2
2π
µ
1 1
−
c a
¶
µ
= 2·10−7 0.45·5·10
1
1
−
0.1 0.15
¶
= 1.5·10−5 N
XXII.22
Due fili indefiniti paralleli, ognuno di massa per unità di lunghezza di 40 g/m,
sono tenuti sospesi da fili lunghi 6 cm in un piano orizzontale come in figura
P22.22. Ogni filo porta la corrente I, la quale fa sı̀ che i due fili si respingano e
si dispongano in una posizione d’equilibrio con l’angolo θ = 16◦ . a) Le correnti
nei due fili hanno verso opposto o stesso verso? b) Calcolare il valore di I.
Soluzione
Poichè i due fili si respingono, devono essere percorsi in senso opposto.
Per calcolare la corrente che percorre i due fili dobbiamo determonare la
forza con cui si respingono e questo lo facciamo determionando le condizioni di
equilibrio della geometria proposta. Analizziamo cosa succede su un filo. Deve
valere
~ =0
P~ + T~ + Fmag
~ è la forza tra i due fili.
dove P~ è la forza peso, T~ è la tensione e Fmag
Scomponendo lungo gli assi x e y possiamo scrivere (per unità di lunghezza
x : Fmag = T · sin8◦
y : P = T · cos8◦
da cui
Fmag = P · tg8◦ →
µ0
I2
= P · tg8◦
2π 2 · 6 · sin8◦
Quindi
s
I=
s
sin2 8◦ 2π
=
mg2 · 6 ·
cos8◦ µ0
6 · mg
7
sin2 8◦ 1
= 678A
cos8◦ 10−7
