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Mauro Burgio – n° matricola 139211 – Lezione del 25/10/01 – ora 16:30-18:30
Trasformazioni in un sistema chiuso
Le variabili di stato
In un sistema chiuso, che non scambia cioè materia con l’esterno, è necessario
considerare le tre variabili che lo caratterizzano, definite “VARIABILI DI STATO”:
PRESSIONE, VOLUME e TEMPERATURA.
Il loro variare all’interno di un sistema chiuso da luogo ad una
TRASFORMAZIONE da uno stato iniziale ad uno finale.
Equazione di stato dei gas perfetti
Esiste un’equazione che mette in relazione le tre variabili di stato tra loro, è detta
EQUAZIONE DI STATO dei gas perfetti.
pV  mRT
(1)
Dove p, V e T, indicano rispettivamente le tre variabili di stato pressione,
volume e temperatura; m la massa del gas espressa in Kg, R la costante universale
dei gas, pari a 8,314 J/Kmol (ma deve essere determinata sperimentalmente per ogni
gas non perfetto!)
Essendo sia m, che R costanti in un sistema chiuso dalla (1) deriva:
p V
 costante
(2)
T
N.B: La funzione di stato conterrebbe al posto di m il simbolo n che sta ad indicare il
numero di moli di gas, ma per la nostra utilità è stata espressa mettendo in evidenza
la massa del gas!
In natura non esiste, ovviamente, un gas perfetto, è un’astrazione che si avvicina
di molto alla realtà se si considera il gas a bassa densità.
Le trasformazioni dei gas
Alla luce di quanto affermato mediante l’equazione di stato è possibile definire
le quattro possibili trasformazioni di un gas:
 ISOCORA: (fig. 1) A volume costante; in questo caso la trasformazione
vedrà legate proporzionalmente pressione e temperatura, infatti dalla (2)
ricaveremo:
p
 costante

se V  costante
(3)
T
 ISOBARA: (fig. 2) A pressione costante; anche in questo caso le variabili
Volume e Temperatura, saranno direttamente proporzionali; infatti, sempre dalla
(2):
V
 costante (Legge di Charles e Gay-Lussac) (4)

se p  costante
T
 ISOTERMICA: (fig. 3) A temperatura costante; in questo caso il rapporto
tra le variabili Pressione e Volume sarà inversamente proporzionale, infatti dalla
(2):
pV  costante

se T  costante
(Legge di Boyle)
(5)
-1-
Lezione del 25/10/01 – 16:30-18:30
 ADIABATICA: (fig. 4) In assenza di scambi di calore con l’esterno del
sistema, ammettendo cioè l’ipotesi di poter isolare completamente il sistema
dall’esterno in modo che esso non assimili ne dissipi calore, ricaviamo facilmente
dall’equazione del primo principio della Termodinamica che:
Q0
essendo
(6)
EB  E A  L
P
P
A
Pa
Pc
P
A
B
P
A
Pa
Pa
B
Pb
Pb
A
B
Pb
B
Vc
Va
V
Vb
V
Va
Vb
V
Va
Vb
Trasformazione isocora
Trasformazione isobara
Trasformazione isotermica
Trasformazione adiabatica
fig. 1
fig. 2
fig. 3
fig. 4
Bilanciamento energetico
Considerando adesso tutte e quattro le trasformazioni, analizziamo il
comportamento del sistema in un passaggio da uno stato all’altro, e calcoliamone il
bilanciamento energetico.
P
PA
a
A
C
b
a
c
PB
B
VA
VB
V
Consideriamo dunque tre trasformazioni dallo stato A, definito da una pressione
PA un volume VA ed una temperatura TA, allo stato B, definito da PB e VB e TB,
associate alle lettere a, b, c, d.
a)
Il lavoro La compiuto nella trasformazione a è dato dall’area del rettangolo che ha
per lati VB  V A e PA e quindi sarà dato dall’equazione:
La  VB  V A   Pa
(7)
Deriva quindi dal primo principio della termodinamica l’equazione:
Qa  E B  E A   La
-2-
(8)
V
Lezione del 25/10/01 – 16:30-18:30
Ma in un sistema chiuso, essendo l’energia totale la somma di tutte le energie che
interessano il sistema, ed essendo soltanto l’energia interna a variare e a condizionare
la variazione dell’energia totale, possiamo riscrivere l’equazione del primo principio
della termodinamica nel seguente modo:
(9)
U B  U A   Q  L
la (8) potrà allora essere riscritta così:
Qa  U B  U A   La
(10)
b) Il lavoro Lb compiuto nel percorso b, invece, sarà dato dall’area del trapezio che avrà
per base maggiore PA, per base minore PB e per altezza la differenza VB-VA. Quindi:
Lb 
PA  PB   VB  V A 
(11)
2
Come prima, ovviamente, possiamo calcolare Qb:
Qb  U B  U A   Lb
(12)
c) Calcolare il lavoro compiuto dal sistema lungo il cammino c, può sembrare più
complicato ma alla fine il valore ottenuto sarà uguale alla variazione di energia,
essendo Qc = 0. Si avrà allora:
U B  U A  Lc
(13)
Sappiamo inoltre che l’energia contenuta in un gas perfetto è data dall’equazione:
(14)
U  m  cV  T
Quindi:
(15)
U B  U A  m  cV  TB  TA 
Mettendo insieme le equazioni dei due stati del sistema avremo:
 p A  V A  m  R  TA

 p B  V B  m  R  TB
 p V   p V 
B
B
 A A
Ricaviamo così da questo sistema, prima
p V
m A A
R  TA
con

cp
cV
(16)
(17)
p B  VB
(18)
 TA
p A  VA
unendo questi risultati con la (15) avremo che il lavoro per il percorso c sarà dunque:
e poi
TB 
Lc  U B  U A  m  cV  TB  TA 
(19)
N.B: In tutti e tre i casi comunque, la differenza U B  U A sarà uguale; da questo si
può dedurre che il primo principio della termodinamica è una funzione di stato,
dipendente cioè non dal cammino percorso ma soltanto dai due stati, iniziale e finale,
della trasformazione!
-3-
Lezione del 25/10/01 – 16:30-18:30
ESERCIZIO
Consideriamo un cilindro contenente aria che passa da uno stato A ad uno stato B,
nei tre modi sopra citati.
Supponiamo che siano:
pA = 32 bar = 3.200.000 Pa,
VA = 1 m³,
TA = 600 K
pB = 1 bar = 100.000 Pa,
VB = 8 m³.
Calcoliamo dunque la quantità di calore Q e il lavoro L per tutte e tre le
trasformazioni:
c) Ricaviamo, riscrivendo la (17) e la (18) con i dati dell’esercizio, che:
p A  V A 3.200.000 Pa  1m 3
m

 18,58kg
R  TA
287 J
 600 K
Kmol
TB 
(20)
p B  VB
100.000 Pa  8m 3
 TA 
 600 K  150 K
p A  VA
3.200.000 Pa  1m 3
(21)
Possiamo dunque ricavare il lavoro compiuto nel percorso c, essendo Qc  0 :
Lc  U B  U A  m  cV  TB  T A   18,58kg  713
J
 150  600 K  5.961.393J
kgK
(22)
Che sarà ovviamente di segno positivo poiché il lavoro sarà compiuto dal sistema!
(23)
Lc  5.961.393J
b) Per il percorso b il lavoro, come visto sarà dato dall’area del trapezio, cioè:
Lb 
 p B  p A   VB  V A  100.000  3.200.000Pa  8  1m 3

2
2
 11.550.000 J (24)
A questo punto sarà facile calcolare la quantità di calore:
Qb  Lb  U B  U A   11.550.000 J  5.961.393J  5.588.607 J
c)
(25)
Per questa trasformazione il lavoro sarà invece dato dall’area del rettangolo che ha
per lati VB – VA e PA; cioè:
La  PA  V B  V A   3.200.000 Pa  7m 3  22.400.000 J
(26)
e quindi:
Qa  La  U B  U A   2.400.000 J  5.961.393J  16.438.607 J
-4-
(27)