Corso di Istituzioni di Matematiche
Università degli Studi della Basilicata
Facoltà di Scienze MM. FF. NN.
Corso di laurea in Biotecnologie
A.A. 2010/11
dott.ssa Vita Leonessa
Elementi di calcolo combinatorio
23 dicembre 2010
Si vedranno alcune tecniche per determinare, senza contarli
direttamente, il numero degli elementi di un insieme finito o il
numero possibile degli esiti di un esperimento.
Esempio: il lancio di due dadi
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
D2 =
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
|D2 | = 62 = 36
Esempio: il lancio di due dadi
contare gli elementi di una tabella
(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
(4, 1)
(5, 1)
(6, 1)
(1, 2)
(2, 2)
(3, 2)
(4, 2)
(5, 2)
(6, 2)
(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
(4, 3)
(5, 3)
(6, 3)
(1, 4)
(2, 4)
(3, 4)
(4, 4)
(5, 4)
(6, 4)
(1, 5)
(2, 5)
(3, 5)
(4, 5)
(5, 5)
(6, 5)
(1, 6)
(2, 6)
(3, 6)
(4, 6)
(5, 6)
(6, 6)
6 (numero righe) × 6 (numero colonne) = 36 elementi
Più in generale...
Il conto precedente è un caso particolare del problema seguente:
Dato un insieme di n oggetti, contare le sequenze ordinate di k
elementi (con k ≤ n) in cui un elemento può comparire più
volte.
Definizione
Tali sequenze si dicono disposizioni con ripetizione di n oggetti
presi k alla volta. Il loro numero è nk .
Più in generale...
Il conto precedente è un caso particolare del problema seguente:
Dato un insieme di n oggetti, contare le sequenze ordinate di k
elementi (con k ≤ n) in cui un elemento può comparire più
volte.
Definizione
Tali sequenze si dicono disposizioni con ripetizione di n oggetti
presi k alla volta. Il loro numero è nk .
Più in generale...
L’ insieme
S k = {(s1 , s2 , . . . , sk ) : sj ∈ S, j = 1, . . . , k}
costituito dalle k-uple ordinate di elementi di S ha |S|k
elementi.
Se |S| = n,
( s1 , s2 , . . . , sk )
n scelte n scelte
n scelte
|
{z
}
k volte
da cui
|S k |
=
nk .
Più in generale...
L’ insieme
S k = {(s1 , s2 , . . . , sk ) : sj ∈ S, j = 1, . . . , k}
costituito dalle k-uple ordinate di elementi di S ha |S|k
elementi.
Se |S| = n,
( s1 , s2 , . . . , sk )
n scelte n scelte
n scelte
|
{z
}
k volte
da cui
|S k |
=
nk .
- Un elemento di S si può ripetere anche
più di una volta.
- Le n-uple (s1 , s2 , . . . , si , sj , . . . , sk ) e
(s1 , s2 , . . . , sj , si , . . . , sk ) sono distinte
per ogni i, j = 1, . . . , k.
Altri modi di contare
Esempi
1 Quante partite diverse si possono giocare con un mazzo di
carte napoletane? Ovvero in quanti modi possibili possiamo
mettere in sequenza le carte napoletane?
2
Quante sono le possibili classifiche finali di un torneo a 5
squadre escludendo l’eventualità che ci sia pari merito?
Altri modi di contare
Esempi
1 Quante partite diverse si possono giocare con un mazzo di
carte napoletane? Ovvero in quanti modi possibili possiamo
mettere in sequenza le carte napoletane?
2
Quante sono le possibili classifiche finali di un torneo a 5
squadre escludendo l’eventualità che ci sia pari merito?
Altri modi di contare
A = {a1 , a2 , a3 , . . . , an }
n = 1 A = {a1 } un solo ordinamento possibile;
n = 2 A = {a1 , a2 } 2 possibili ordinamenti a1 a2 oppure a2 a1 ;
n = 3 A = {a1 , a2 , a3 } 6 possibili ordinamenti:
a1 a2 a3 , a1 a3 a2 , a2 a1 a3 , a2 a3 a1 , a3 a1 a2 , a3 a2 a1 ⇒ 3 · 2;
{z
} |
{z
} |
{z
}
|
2
2
2
n = 4 A = {a1 , a2 , a3 , a4 } 24 possibili ordinamenti:
per il primo elemento ho 4 scelte possibili
per il secondo elemento ho 3 scelte possibili
per per il terzo elemento ho 2 scelte possibili
per il quarto ed ultimo elemento ho 1 sola scelta
4 · 3 · 2 · 1 = 24.
......
Altri modi di contare
A = {a1 , a2 , a3 , . . . , an }
n = 1 A = {a1 } un solo ordinamento possibile;
n = 2 A = {a1 , a2 } 2 possibili ordinamenti a1 a2 oppure a2 a1 ;
n = 3 A = {a1 , a2 , a3 } 6 possibili ordinamenti:
a1 a2 a3 , a1 a3 a2 , a2 a1 a3 , a2 a3 a1 , a3 a1 a2 , a3 a2 a1 ⇒ 3 · 2;
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
2
2
2
n = 4 A = {a1 , a2 , a3 , a4 } 24 possibili ordinamenti:
per il primo elemento ho 4 scelte possibili
per il secondo elemento ho 3 scelte possibili
per per il terzo elemento ho 2 scelte possibili
per il quarto ed ultimo elemento ho 1 sola scelta
4 · 3 · 2 · 1 = 24.
......
Altri modi di contare
A = {a1 , a2 , a3 , . . . , an }
n = 1 A = {a1 } un solo ordinamento possibile;
n = 2 A = {a1 , a2 } 2 possibili ordinamenti a1 a2 oppure a2 a1 ;
n = 3 A = {a1 , a2 , a3 } 6 possibili ordinamenti:
a1 a2 a3 , a1 a3 a2 , a2 a1 a3 , a2 a3 a1 , a3 a1 a2 , a3 a2 a1 ⇒ 3 · 2;
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
2
2
2
n = 4 A = {a1 , a2 , a3 , a4 } 24 possibili ordinamenti:
per il primo elemento ho 4 scelte possibili
per il secondo elemento ho 3 scelte possibili
per per il terzo elemento ho 2 scelte possibili
per il quarto ed ultimo elemento ho 1 sola scelta
4 · 3 · 2 · 1 = 24.
......
Altri modi di contare
A = {a1 , a2 , a3 , . . . , an }
n = 1 A = {a1 } un solo ordinamento possibile;
n = 2 A = {a1 , a2 } 2 possibili ordinamenti a1 a2 oppure a2 a1 ;
n = 3 A = {a1 , a2 , a3 } 6 possibili ordinamenti:
a1 a2 a3 , a1 a3 a2 , a2 a1 a3 , a2 a3 a1 , a3 a1 a2 , a3 a2 a1 ⇒ 3 · 2;
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
2
2
2
n = 4 A = {a1 , a2 , a3 , a4 } 24 possibili ordinamenti:
per il primo elemento ho 4 scelte possibili
per il secondo elemento ho 3 scelte possibili
per per il terzo elemento ho 2 scelte possibili
per il quarto ed ultimo elemento ho 1 sola scelta
4 · 3 · 2 · 1 = 24.
......
Altri modi di contare
A = {a1 , a2 , a3 , . . . , an }
n = 1 A = {a1 } un solo ordinamento possibile;
n = 2 A = {a1 , a2 } 2 possibili ordinamenti a1 a2 oppure a2 a1 ;
n = 3 A = {a1 , a2 , a3 } 6 possibili ordinamenti:
a1 a2 a3 , a1 a3 a2 , a2 a1 a3 , a2 a3 a1 , a3 a1 a2 , a3 a2 a1 ⇒ 3 · 2;
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
2
2
2
n = 4 A = {a1 , a2 , a3 , a4 } 24 possibili ordinamenti:
per il primo elemento ho 4 scelte possibili
per il secondo elemento ho 3 scelte possibili
per per il terzo elemento ho 2 scelte possibili
per il quarto ed ultimo elemento ho 1 sola scelta
4 · 3 · 2 · 1 = 24.
......
Il fattoriale
Definizione
Sia n ∈ N. Si definisce fattoriale di n, e si indica con il simbolo
n!, il numero che si ottiene moltiplicando tutti i numeri
compresi tra 1 ed n:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1.
Per definizione si pone 0! = 1.
1! = 1
2! = 2
3! = 3 · 2 = 6
4! = 4 · 3 · 2 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 = 5 · 4! = 120
n! = n(n − 1)!
Il fattoriale
Definizione
Sia n ∈ N. Si definisce fattoriale di n, e si indica con il simbolo
n!, il numero che si ottiene moltiplicando tutti i numeri
compresi tra 1 ed n:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1.
Per definizione si pone 0! = 1.
1! = 1
2! = 2
3! = 3 · 2 = 6
4! = 4 · 3 · 2 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 = 5 · 4! = 120
n! = n(n − 1)!
Permutazioni
Definizione
Si dice permutazione un qualsiasi ordinamento di n oggetti
distinti.
Proposizione
Il numero delle permutazioni di n oggetti distinti, in simboli Pn ,
è pari a n!
Infatti:
base di induzione: P1 = 1 = 1!
passo induttivo: Pn−1 = (n − 1)! ⇒ Pn = n!
Pn = n · Pn−1 = n(n − 1)! = n!.
Permutazioni
Definizione
Si dice permutazione un qualsiasi ordinamento di n oggetti
distinti.
Proposizione
Il numero delle permutazioni di n oggetti distinti, in simboli Pn ,
è pari a n!
Infatti:
base di induzione: P1 = 1 = 1!
passo induttivo: Pn−1 = (n − 1)! ⇒ Pn = n!
Pn = n · Pn−1 = n(n − 1)! = n!.
Permutazioni
Definizione
Si dice permutazione un qualsiasi ordinamento di n oggetti
distinti.
Proposizione
Il numero delle permutazioni di n oggetti distinti, in simboli Pn ,
è pari a n!
Infatti:
base di induzione: P1 = 1 = 1!
passo induttivo: Pn−1 = (n − 1)! ⇒ Pn = n!
Pn = n · Pn−1 = n(n − 1)! = n!.
Permutazioni
Esempio
Quante partite diverse si
possono giocare con un mazzo
di carte napoletane? Ovvero in
quanti modi possibili possiamo
mettere in sequenza le carte
napoletane?
40! = 81591583247897734345611269596115894272000000000
Permutazioni
Esempio
Quante partite diverse si
possono giocare con un mazzo
di carte napoletane? Ovvero in
quanti modi possibili possiamo
mettere in sequenza le carte
napoletane?
40! = 81591583247897734345611269596115894272000000000
Esempio
Quante sono le possibili classifiche finali di
un torneo a 5 squadre escludendo
l’eventualità che ci sia pari merito?
5! = 120
Altri modi di contare
Esempi
1
5 atleti si contendono 3 medaglie (oro, argento, bronzo),
quante situazioni diverse si possono verificare?
2
Se A = {lettere dell’alfabeto latino}, sappiamo che
|A4 | = 214 = 194 481 (insieme di tutte le parole di 4 lettere
anche se prive di senso). Quante parole (anche se prive di
senso) possiamo scrivere usando sempre 4 lettere diverse?
Altri modi di contare
Esempi
1
5 atleti si contendono 3 medaglie (oro, argento, bronzo),
quante situazioni diverse si possono verificare?
2
Se A = {lettere dell’alfabeto latino}, sappiamo che
|A4 | = 214 = 194 481 (insieme di tutte le parole di 4 lettere
anche se prive di senso). Quante parole (anche se prive di
senso) possiamo scrivere usando sempre 4 lettere diverse?
Insieme atleti {A, B, C, D, E}
per il 1o posto ci sono 5 scelte possibili
per il 2o posto ci sono 4 scelte possibili
per il 3o posto ci sono 3 scelte possibili
in totale sono 5 · 4 · 3 = 60.
Altri modi di contare
Esempi
1
5 atleti si contendono 3 medaglie (oro, argento, bronzo),
quante situazioni diverse si possono verificare?
2
Se A = {lettere dell’alfabeto latino}, sappiamo che
|A4 | = 214 = 194 481 (insieme di tutte le parole di 4 lettere
anche se prive di senso). Quante parole (anche se prive di
senso) possiamo scrivere usando sempre 4 lettere diverse?
A = {lettere dell’alfabeto latino}
per la prima lettera ho 21 scelte
per la seconda lettera ho 20 scelte
per la terza lettera ho 19 scelte
per la quarta lettera ho 18 scelte
in totale ho 21 · 20 · 19 · 18 = 143 640
Disposizioni semplici
Definizione
Dato un insieme di n elementi, si chiamano disposizioni
semplici Dn,k degli n oggetti presi k alla volta (k ≤ n) le scelte
ordinate di k di essi in modo tale che ogni elemento compaia al
massimo una volta.
Se k = n le disposizioni semplici non sono altro che le permutazioni e se ne contano n!
Dn,n = Pn
Disposizioni semplici
Definizione
Dato un insieme di n elementi, si chiamano disposizioni
semplici Dn,k degli n oggetti presi k alla volta (k ≤ n) le scelte
ordinate di k di essi in modo tale che ogni elemento compaia al
massimo una volta.
Se k < n, come nell’esempio
Insieme atleti {A, B, C, D, E}
per il 1o posto ci sono 5 scelte possibili
per il 2o posto ci sono 4 scelte possibili
per il 3o posto ci sono 3 scelte possibili
in totale sono 5 · 4 · 3 = 60.
dove n = 5 e k = 3,
60 = n(n − 1)(n − 2) = n(n − 1)(n − (k − 1)) = n(n − 1)(n − k + 1)
Disposizioni semplici
Proposizione
Il numero delle disposizioni semplici di n oggetti presi k alla
volta è pari a
Dn,k = n(n − 1) · · · (n − k + 1).
Visto che
n(n − 1) · · · (n − k + 1) =
n(n − 1)(n − k + 1)(n − k)!
n!
=
(n − k)!
(n − k)!
si ha anche che
Dn,k =
n!
(n − k)!
Disposizioni senza ”ordine”
Esempio
Ad un colloquio si presentano 8 persone. Tutte risultano valide
ma possiamo sceglierne solo 3. Quante possibili scelte abbiamo
sapendo che non è importante l’ordine con cui scegliamo?
n=8ek=3
Se scegliessimo le 3 persone dando importanza all’ordine,
avremmo costruito una disposizione semplice, ovvero avremmo
8!/5! = 336 possibili scelte. Visto che non siamo interessati
all’ordine, per ogni terna di persone ce ne saranno altre 5 ad
essa equivalenti (perché 6=3! sono le permutazioni possibili di 3
elementi). Allora il numero di combinazioni possibili è dato da
336
8!
n!
= 56 =
=
.
6
3!5!
k!(n − k)!
Disposizioni senza ”ordine”
Esempio
Ad un colloquio si presentano 8 persone. Tutte risultano valide
ma possiamo sceglierne solo 3. Quante possibili scelte abbiamo
sapendo che non è importante l’ordine con cui scegliamo?
n=8ek=3
Se scegliessimo le 3 persone dando importanza all’ordine,
avremmo costruito una disposizione semplice, ovvero avremmo
8!/5! = 336 possibili scelte. Visto che non siamo interessati
all’ordine, per ogni terna di persone ce ne saranno altre 5 ad
essa equivalenti (perché 6=3! sono le permutazioni possibili di 3
elementi). Allora il numero di combinazioni possibili è dato da
336
8!
n!
= 56 =
=
.
6
3!5!
k!(n − k)!
Combinazioni
Definizione
Si chiama combinazione semplice ogni scelta, indipendente
dall’ordine, di k elementi in un insieme di n elementi e si
indica con il simbolo Cn,k .
Proposizione
Il numero di combinazioni di n oggetti in gruppi di k è
n!
n
Cn,k =
=
k!(n − k)!
k
n
dove il numero
si chiama coefficiente binomiale e si legge
k
“n su k”.
Calcolo del coefficiente binomiale
Calcolo del coefficiente binomiale
Calcolo del coefficiente binomiale
n
1
n!
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
=
=
k
k! (n − k)!
k!
Calcolo del coefficiente binomiale
Cn,k
Dn,k
n
n!
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
1
=
=
=
=
k
k! (n − k)!
k!
Pk
Calcolo del coefficiente binomiale
Cn,k
Dn,k
n
n!
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
1
=
=
=
=
k
k! (n − k)!
k!
Pk
5
5·4
=
= 10
2
2
10
10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5
=
= 210
6
6·5·4·3·2
Calcolo del coefficiente binomiale
n
n−k
n!
n!
=
=
=
(n − k)!(n − (n − k))!
(n − k)!k!
n
k
Calcolo del coefficiente binomiale
n
n−k
n!
n!
=
=
=
(n − k)!(n − (n − k))!
(n − k)!k!
5
5
= 10 =
2
3
10
10
= 210 =
6
4
n
k
Combinazioni
Nel campionato italiano 20
squadre si incontrano l’una
contro l’altra. Nel girone di
andata quante partite vengono
giocate?
20
20!
20 · 19 · 18!
=
=
= 190
2
2!18!
2!18!
190 : 10 = 19
settimane
Combinazioni
Nel campionato italiano 20
squadre si incontrano l’una
contro l’altra. Nel girone di
andata quante partite vengono
giocate?
20
20!
20 · 19 · 18!
=
=
= 190
2
2!18!
2!18!
190 : 10 = 19
settimane
Interpretazione insiemistica delle combinazioni
Dato un insieme di n elementi, scegliere una combinazione di k
di essi equivale a scgliere un sottoinsiemedi k elementi. Il
numero di sottoinsiemi di k elementi è nk
Lanci ripetuti
In 4 lanci di una moneta, in
quanti modi distinti si realizza
l’esito 3 volte testa e 1 volta
croce?
Interpretazione insiemistica delle combinazioni
Dato un insieme di n elementi, scegliere una combinazione di k
di essi equivale a scgliere un sottoinsiemedi k elementi. Il
numero di sottoinsiemi di k elementi è nk
Lanci ripetuti
- Lanciare una moneta 4 volte equivale a lanciare una volta 4
monete
- S = {M1 , M2 , M3 , M4 } insieme di 4 monete
- Se T esce 3 volte, questo risultato si descrive come un
sottoinsieme
di S in cui su 3 delle 4 monete c’è T
- 43 = 4 sottoinsiemi di cardinalità 3 di S:
{M1, M2 , M3 }, {M1 , M2 , M4 }, {M1 , M3 , M4 }, {M2 , M3 , M4 }
- 43 è anche il numero delle sequenze ordinate di T e C in cui
T compare 3 volte: T T T C, T T CT, T CT T, CT T T
Coefficienti binomiali e binomio di Newton
La potenza n-sima del binomio
(x + y)n = (x + y)(x + y) · · · (x + y)
si ottiene moltiplicando ogni fattore del binomio per tutti gli
altri (compreso se stesso) in tutti i modi possibili.
Coefficienti binomiali e binomio di Newton
La potenza n-sima del binomio
(x + y)n = (x + y)(x + y) · · · (x + y)
si ottiene moltiplicando ogni fattore del binomio per tutti gli
altri (compreso se stesso) in tutti i modi possibili.
n=2
(x + y)2 = (x + y)(x + y)
= xx + xy + yx + yy
= x2 + 2xy + y 2
Coefficienti binomiali e binomio di Newton
La potenza n-sima del binomio
(x + y)n = (x + y)(x + y) · · · (x + y)
si ottiene moltiplicando ogni fattore del binomio per tutti gli
altri (compreso se stesso) in tutti i modi possibili.
n=3
(x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y)
= xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy
= x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3
Coefficienti binomiali e binomio di Newton
La potenza n-sima del binomio
(x + y)n = (x + y)(x + y) · · · (x + y)
si ottiene moltiplicando ogni fattore del binomio per tutti gli
altri (compreso se stesso) in tutti i modi possibili.
n qualsiasi
xn compare una sola volta
xn−1 y compare n volte
n
n−2 2
x
y compare
volte
2
...
xn−k y k compare
n
volte
k
Binomio di Newton
n n
n n−1
n n−2 2
(x + y) =
x +
x
y+
x
y
0
1
2
n n−3 3
n
n
n n
2 n−2
n−1
+
x
y + ... +
x y
+
xy
+
y
3
n−2
n−1
n
n X
n n−k k
=
x
y
k
n
k=0
n
n
Osserviamo che
=
= 1.
0
n
Triangolo di Tartaglia
Permette di determinare i coefficienti binomiali, ovvero i
coefficienti dello sviluppo del binomio (x + y)n .
Ogni numero (tranne l’1 al vertice) è la somma dei due
sovrastanti.
In particolare per x = y = 1
2n =
n X
n
k=0
k
Triangolo di Tartaglia
Permette di determinare i coefficienti binomiali, ovvero i
coefficienti dello sviluppo del binomio (x + y)n .
Ogni numero (tranne l’1 al vertice) è la somma dei due
sovrastanti.
In particolare per x = y = 1
2n =
n X
n
k=0
k
Sushruta Samhita
6 gusti fondamentali: amaro,
aspro, salato, dolce, piccante e
astringente
Figure: Trattato medico
indiano del VI sec a.C.
si possono ottenere 63
sensazioni differenti
combinando i gusti
fondamentali
Sushruta Samhita
Combinazioni di 6 gusti: 1 = 66 (tutto l’insieme)
Combinazioni di 5 gusti: 65 (sottoinsiemi di 5 elementi)
Combinazione di 4 gusti: 64 (sottoinsiemi di 4 elementi)
Combinazione di 3 gusti: 63 (sottoinsiemi di 3 elementi)
Combinazione di 2 gusti: 62 (sottoinsiemi di 2 elementi)
Combinazione di 1 gusti: 61 (sottoinsiemi di 1 elemento)
Combinazione di 0 gusti: 1 = 60 (l’insieme vuoto)
6
6
6
6
6
6
6
+
+
+
+
+
+
= 26 = 64
6
5
4
3
2
1
0
Il numero dei sottoinsiemi (o numero delle parti) di un insieme
di n elementi è pari a 2n .
Sushruta Samhita
Combinazioni di 6 gusti: 1 = 66 (tutto l’insieme)
Combinazioni di 5 gusti: 65 (sottoinsiemi di 5 elementi)
Combinazione di 4 gusti: 64 (sottoinsiemi di 4 elementi)
Combinazione di 3 gusti: 63 (sottoinsiemi di 3 elementi)
Combinazione di 2 gusti: 62 (sottoinsiemi di 2 elementi)
Combinazione di 1 gusti: 61 (sottoinsiemi di 1 elemento)
Combinazione di 0 gusti: 1 = 60 (l’insieme vuoto)
6
6
6
6
6
6
6
+
+
+
+
+
+
= 26 = 64
6
5
4
3
2
1
0
Il numero dei sottoinsiemi (o numero delle parti) di un insieme
di n elementi è pari a 2n .
Combinazioni con ripetizione
Definizione
Si chiama combinazione con ripetizione ogni scelta,
indipendente dall’ordine, di k elementi in un insieme di n
elementi, potendo un elemento comparire più volte fino ad un
massimo di k volte.
Il numero di tali combinazioni corrisponde a
n+k−1
Cn+k−1,k =
k
Una combinazione con ripetizione non corrisponde più ad un
sottoinsieme dell’insieme di partenza.
Combinazioni con ripetizione
Definizione
Si chiama combinazione con ripetizione ogni scelta,
indipendente dall’ordine, di k elementi in un insieme di n
elementi, potendo un elemento comparire più volte fino ad un
massimo di k volte.
Il numero di tali combinazioni corrisponde a
n+k−1
Cn+k−1,k =
k
Una combinazione con ripetizione non corrisponde più ad un
sottoinsieme dell’insieme di partenza.
Combinazioni con ripetizione
Definizione
Si chiama combinazione con ripetizione ogni scelta,
indipendente dall’ordine, di k elementi in un insieme di n
elementi, potendo un elemento comparire più volte fino ad un
massimo di k volte.
Il numero di tali combinazioni corrisponde a
n+k−1
Cn+k−1,k =
k
Una combinazione con ripetizione non corrisponde più ad un
sottoinsieme dell’insieme di partenza.
Combinazioni semplici e con ripetizione
Esempio
Determinare il numero delle combinazioni semplici e con
ripetizione di 2 oggetti dell’insieme A = {, ?, } ed elencarle
esplicitamente.
- Combinazioni semplici: C3,2 = 32 = 3
{, ?}, {, }, {?, }
- Combinazioni con ripetizione: C3+2−1,2 = 42 = 6
{, ?}, {, }, {?, } {, }, {, }, {?, ?}
Combinazioni semplici e con ripetizione
Esempio
Determinare il numero delle combinazioni semplici e con
ripetizione di 2 oggetti dell’insieme A = {, ?, } ed elencarle
esplicitamente.
- Combinazioni semplici: C3,2 = 32 = 3
{, ?}, {, }, {?, }
- Combinazioni con ripetizione: C3+2−1,2 = 42 = 6
{, ?}, {, }, {?, } {, }, {, }, {?, ?}
Formula di Liebniz
Siano n, k ∈ N con n = n1 + n2 + . . . + nk .
Allora ci sono
n!
M=
n1 !n2 ! · · · nk !
modi per dividere un insieme di n elementi in k sottoinsiemi
affinché ce ne siano n1 nel primo, n2 nel secondo e cosı̀ via.
Esempio
In quanti modi possibili possiamo dividere 10 pecore in 4 recinti
in modo tale che nel primo recinto ce ne siano 2, nel secondo ce
ne siano 3, nel terzo ce ne siano 4 e nel quarto le restanti?
M=
10!
= 11 600
2!3!4!1!
Formula di Liebniz
Siano n, k ∈ N con n = n1 + n2 + . . . + nk .
Allora ci sono
n!
M=
n1 !n2 ! · · · nk !
modi per dividere un insieme di n elementi in k sottoinsiemi
affinché ce ne siano n1 nel primo, n2 nel secondo e cosı̀ via.
Esempio
In quanti modi possibili possiamo dividere 10 pecore in 4 recinti
in modo tale che nel primo recinto ce ne siano 2, nel secondo ce
ne siano 3, nel terzo ce ne siano 4 e nel quarto le restanti?
M=
10!
= 11 600
2!3!4!1!
Formula di Liebniz
Siano n, k ∈ N con n = n1 + n2 + . . . + nk .
Allora ci sono
n!
M=
n1 !n2 ! · · · nk !
modi per dividere un insieme di n elementi in k sottoinsiemi
affinché ce ne siano n1 nel primo, n2 nel secondo e cosı̀ via.
Esempio
In quanti modi possibili possiamo dividere 10 pecore in 4 recinti
in modo tale che nel primo recinto ce ne siano 2, nel secondo ce
ne siano 3, nel terzo ce ne siano 4 e nel quarto le restanti?
M=
10!
= 11 600
2!3!4!1!
