Logica, algebra di Boole e loro applicazioni

SISSIS 2001-2002
LABORATORIO DI GIOCHI MATEMATICI
Unità didattica sulla logica, algebra di Boole e loro applicazioni
TIROCINANTI:
Aufiero Ferdinando
Iemmola Matteo Leoluca
Schiavo Angela
DOCENTE
Prof. G. Emanuele Perez
Unità didattica sulla logica, algebra di Boole e loro applicazioni
Presentazione :
Questo modulo ha lo scopo di introdurre l’allievo agli importanti concetti della logica. In esso viene
fatto largo uso di lavori di piccolo e grande gruppo, allo scopo di condurre il discente alla
costruzione attiva della propria conoscenza.
In una prima fase gli allievi vengono stimolati a discutere per evidenziare i propri modelli spontanei
(conoscenze e rappresentazioni mentali pregresse, dovute all’esperienza di vita comune) sui concetti
della logica in generale. Le situazioni didattiche successive sono volte alla costruzione di un
modello interpretativo per i fenomeni relativi all'argomento trattato.
L'oggetto di studio della logica è la correttezza dei ragionamenti. Un ragionamento è formato da più
affermazioni collegate l'uno all'altra in modo tale che da alcune premesse si possa pervenire ad
alcune conclusioni. Le osservazioni e gli interrogativi che nascono nell'esaminare comunemente un
ragionamento possono riguardare più aspetti: il significato delle parole utilizzate, i concetti
coinvolti, le connessioni che si sviluppano tra le varie affermazioni, l'effettiva possibilità di
pervenire, attraverso tali connessioni, alle conclusioni che sono state formulate.
La logica di cui tratteremo è detta logica formale: oggetto di osservazione sono le forme, i modi con
cui si scrivono espressioni simboliche e come, attraverso una corretta trasformazione di scritture
simboliche, si possa passare da una forma ad un'altra.
La presente unità didattica è rivolta agli alunni di una terza classe di un istituto professionale per
l'industria e l'artigianato ad indirizzo elettronico.
Tale unità può essere rivolta, eliminando la parte relativa all'algebra delle reti elettriche, ad una
quarta classe di un liceo scientifico sperimentale o tecnologico.
Prerequisiti
I prerequisiti essenziali che ogni alunno deve possedere per il corretto svolgimento-apprendimento
della presente unità didattica si possono riassumere nei seguenti punti:
Ø Conoscenza degli insiemi e delle loro proprietà;
Ø Manualità con il calcolo letterale;
Ø Conoscenza dei circuiti elettrici elementari;
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Obiettivi
Alla fine della seguente unità didattica, ogni alunno deve saper fare:
Ø Individuare le formule ben formate in un linguaggio formale, conoscendo le regole della sua
costruzione;
Ø Distinguere tra sintassi e semantica di una scrittura;
Ø Distinguere tra un sistema formale ed una sua possibile interpretazione;
Ø Costruire formule ben formate sulla base di un insieme di regole;
Ø Individuare proposizioni semplici o composte;
Ø Utilizzare i connettivi per costruire proposizioni composte;
Ø Stabilire le tavole di verità dei connettivi;
Ø Individuare formule logicamente equivalenti;
Ø Riscrivere una forma enunciativa in modo semplificato utilizzando le proprietà dei connettivi;
Ø Stabilire la correttezza di un sillogismo;
Ø Essere in grado di, in alcune situazioni, tradurre una funzione logica in un circuito elettronico;
Impostazione metodologica
Si procederà all'esposizione dell’argomento in modo che questo sia concorrente al raggiungimento
degli obiettivi, facendo ricorso a metodologie e tecniche che possono suscitare interesse da parte
degli allievi, comunicando chiaramente gli obiettivi da conseguire così da ottenere una
partecipazione responsabile ed attiva.
In particolare verrà verificata tramite esempi ed esercizi la lezione teorica in modo tale da far
acquisire agli allievi la capacità di
analizzare e schematizzare di situazioni reali, ponendomi come
soggetto attivo nel processo formativo.
Per rendere efficace il processo d'insegnamento-apprendimento si cercherà di adottare un
linguaggio sempre chiaro, invitando al ragionamento e alla riflessione.
Si esporrà
l’argomento con gradualità, fornendo non solo le conoscenze e i procedimenti
applicativi, ma cercando di dare la chiave d'interpretazione per collegamenti interdisciplinari; così
facendo, gli allievi potranno essere in grado di sviluppare un'autonomia di studio con conseguente
ampliamento delle capacità di osservazione, analisi e sintesi.
L’argomento trattato sarà intercalato da problemi ed esercizi ed esperienze di laboratorio, visti non
come un'autentica applicazione delle formule ma come analisi per la risoluzione di un problema più
generale, finalizzati a facilitare la comprensione , organizzare le conoscenze in modo più chiaro e
non ultimo a ravvivare l'attenzione degli allievi contribuendo così ad accrescere l'efficacia
dell'attività didattica.
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Nello svolgimento dei problemi si cercherà di sviluppare la capacità di schematizzare e di valutare i
risultati.
Tempi e strumenti
Si prevede di svolgere l'unità didattica in questione in 12 ore complessive così suddivise:
nelle prime 6 ore verrà presentato e spiegato l'argomento in questione, 4 ore serviranno per lo
svolgimento di esercizi di logica e per la risoluzioni di problemi elementari, mentre le rimanenti 2
ore verranno utilizzate per attività di laboratorio dove è previsto il collaudo di un circuito logico che
realizza una proposizione logica.
Gli strumenti utilizzati saranno: lavagna, lavagna luminosa, sussidi audiovisivi, pennarelli e
trasferibili (per la realizzazione dei master), basetta e componenti elettronici integrati (per la
realizzazione circuitale).
Verifiche e valutazioni
Alla fine dell'unità didattica sono previste delle verifiche volte ad accertare il livello di preparazione
raggiunto dall'allievo in ordine al tipo di conoscenza e capacità connesse agli obiettivi
dell'insegnamento, e saranno effettuate tramite prove di verifiche di tipo formativo e sommativo.
Le verifiche di tipo formativo saranno necessarie per il controllo in itinere del processo
d'apprendimento e di supporto per eventuali pilotaggi dell'attività didattica, prevedendo che nel caso
venissero riscontrate eventuali lacune, queste verranno colmate attraverso un processo di recupero
in itinere.
Le verifiche di tipo sommativo serviranno per il controllo del profitto scolastico per la valutazione
del raggiungimento o meno degli obiettivi e ai fini della classificazione finale.
Gli strumenti da utilizzare, consisteranno in interrogazioni
prove semistrutturate, questionari, prove
pratiche con rispettive relazioni ed esercizi.
I fattori che concorreranno alla valutazione saranno: l'impegno profuso, il metodo di studio, la
partecipazione all'attività didattica, l'eventuale progresso riscontrato, il livello di conoscenza competenza nonché la situazione personale.
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Contenuti
Algebra di Boole
Cenni storici
Aristotele è generalmente considerato l’ideatore della logica formale, nonostante che egli abbia
limitato la sua attenzione quasi esclusivamente al sillogismo. Anche se il sillogismo è considerato
ormai un capitolo fra i più banali della logica, resta difficile credere che per duemila anni esso sia
rimasto il tema centrale degli studi sulla logica, e che ancora nel 1787 Kant potesse scrivere che la
logica era “una dottrina conclusa e completa”.
La grande svolta si ebbe nel 1847, quando George Boole (1815-1864) , fece conoscere la sua
presenza nel mondo matematico con la pubblicazione del suo libro, "The Mathematical Analysis
of Logic".
George Boole ricevette la prima formazione matematica dal padre che gli passò anche la passione
per la costruzione di strumenti ottici. Frequentò le scuole di base a Lincoln, poi segui le scuole
commerciali. Per proprio conto studio greco e latino dove divenne particolarmente abile.
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Diventato insegnante di scuola elementare si rese subito conto della necessita di dover ampliare le
proprie conoscenze. Cominciò pertanto a leggere le opere di grandi matematici del suo tempo, in
particolare Laplace e Lagrange e studiare altre lingue straniere. Divenne amico di De Morgan e
cominciò ad interessarsi alla logica.
Nel 1847 Boole pubblicò il libro Analisi matematica della logica che De Morgan riconobbe subito
come un'opera fondamentale nello sviluppo del pensiero logico-matematico. In tale opera Boole
delineò un sistema algebrico, nel quale le proposizioni vengono formalizzate con una notazione
simbolica e le procedure di calcolo si possono condurre grazie a operatori matematici
corrispondenti alle leggi della logica.
Nel 1849 venne nominato professore di matematica al Queen's College (attuale University College)
di Cork, in Irlanda dove insegnò fino alla morte avvenuta a soli 49 anni di polmonite.
L'algebra booleana ha numerose applicazioni nello smistamento delle linee telefoniche e nella
progettazione degli odierni computer. Il lavoro di Boole deve essere visto come un passo
fondamentale nell'attuale rivoluzione informatica
Nel suo libro, Boole dimostrava con successo che la logica, come la insegnava Aristotele poteva
essere rappresentata tramite equazioni algebriche.
L’idea basilare di quest’opera era già stata intuita da altri prima di Boole, ma egli fu il primo a
introdurre un metodo pratico.
Attualmente l’algebra di Boole ricorre ad una struttura astratta “non interpretata”, che può essere
assiomatizzata in ogni genere di modo, ma che rimane essenzialmente una versione semplificata del
sistema di Boole. “Non interpretata”, significa che i simboli della struttura , in campo logico, fisico
o matematico non hanno nessun significato assegnato.
Definizione dell’algebra di Boole
Per sviluppare un’algebra bisogna, come prima cosa, creare i concetti fondamentali che stanno alla
base dell’algebra. Bisogna cioè scegliere un insieme di postulati con i seguenti requisiti: essere
postulati consistenti indipendenti e semplici.
Due postulati sono consistenti se non affermano proprietà contraddittorie, indipendenti se affermano
proprietà non ricavabili l’una dall’altra. La semp licità serve soltanto a rendere elegante la struttura
algebrica che si sta creando. Elenchiamo ora i postulati di questa algebra, essi consistono in sei
postulati e tre definizioni.
Postulati:
1. dato un insieme K e due elementi A,B ∈ K, anche A+B ∈K
6
2. se A ∈K anche l’elemento A ∈K
3. se A e B ∈K si può scrivere A+B=B+A
4. se A, B, C ∈K si può scrivere: (A+B)+C=A+(B+C)
5. se A∈K, A+A=A
(
)(
)
6. se A,B∈K si può scrivere: A + B + A + B = A
Definizioni:
1. A + A =1
2.
3.
(A + A )
A B = (A + B)
=0
•
Dalle definizioni e dai postulati è evidente la semplicità di cui gode questa algebra. Per la
consistenza e l’indipendenza non possiamo ancora dire niente. Affinchè quanto detto acquisti un
significato, bisogna a questo punto definire l’insieme K e gli elementi che lo compongono,
l’operatore “+” e l’operatore “-”.
Il significato degli elementi universali e nullo e l’operatore “•” verranno di conseguenza.
Poichè esistono varie interpretazioni dei postulati già scritti, questi verranno esaminati uno alla
volta. Si noti che una qualunque proprietà trovata per una interpretazione è immediatamente
trasferibile nelle altre.
Cominciamo a considerare l’algebra delle classi o delle aree.
In quest’algebra l’insieme K è l’insieme delle aree all’interno di un quadrato
Elementi della classe K
7
L’operatore “+” è definito nel seguente modo:
+ applicato a due aree da luogo all’area di un elemento, dell’altro, e dell’eventuale area comune.
Nell’algebra comune questa operazione
prende il nome di unione U.
C=AUB
A
B
L’operatore “-” è così definito:
dato l’elemento A, e applicato a questo l’operatore, “-” si ottiene l’area interna al quadrato ed
esterna
all’area
considerata.
Nell’algebra
comune
questa
operazione
prende
il
nome
di
complemento di A.
A
A questo punto resta da verificare la validità dei postulati per questa interpretazione, e dedurre
quindi il significato degli elementi 1 e ∅ e dell’operatore “•” .
Dato un insieme K, contenente le aree A e B, sicuramente A U B è contenuta in K.
Dato un insieme K, se A è contenuto in K anche il suo complemento e contenuto in K.
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Se le aree A e B appartengono alla classe delle aree K, A U B coincide con B U A , perchè non
esiste priorità per gli operanti.
Se A, B e C appartengono alla classe K, sicuramente é : (A U B) U C= A U (B U C).
Se A appartiene alla classe K, l’operazione A U A =A è vera, perchè l’area ottenuta coincide con
quella di partenza. Allo stesso modo utilizzando il metodo delle aree, a livello grafico, si può
dimostrare il postulato 6
A
A
A
B
B
A
A
B
B
B
B
A+B
B
A
A
B
A
B
B
B
A+ B
9
(
)(
)
7. Graficamente è dimostrato che A + B + A + B = A
Verifichiamo ora le definizioni:
A + A =1 (area del quadrato)
(A + A ) 0 (area nulla)
A B= (A + B)
=
•
[ 1= elemento universale]
[∅ = elemento nullo]
[“•” = operatore intersezione]
(
)
Graficamente si vede che l’area ottenuta da A + B è data dall’intersezione delle aree A e B.
L’operatore intersezione “•” si ottiene dunque dai postulati dati.
Consideriamo ora l’algebra delle proposizioni
In questa algebra K è l’insieme delle affermazioni o proposizioni. Una proposizione può essere del
tipo: “oggi è domenica” ed essa può essere vera o falsa. Naturalmente lavorando con le lettere
A,B,C, queste rappresentano delle proposizioni.
L’operatore ”+” in questa algebra prende il nome di “OR”
ed è così definito: il risultato
dell’applicazione dell’operatore OR a due proposizioni da luogo ad una proposizione vera se l’una o
l’altra o entrambe le proposizioni di partenza sono vere. Indicando con “0” una proposizione falsa e
con “1” una proposizione vera, si hanno i seguenti casi rappresentati in tabella:
A
B
A+B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
10
L’operatore “-” è così definito:
applicato alla proposizione A, da luogo alla sua negazione. Esso prende il nome di “NOT”, si hanno
i seguenti casi in tabella:
A
A
0
1
1
0
Verifichiamo ora la validità dei postulati per questa interpretazione. Per quanto riguarda i postulati
dall’1 al 5, non c’è bisogno di spiegazione; per il postulato 6 invece, essendo questo di difficile
interpretazione, si ricorre ad una dimostrazione di tipo esaustivo, essendo i casi possibili pochi.
Così in una tabella scriviamo tutte le possibili combinazioni per le proposizioni A e B e nelle
colonne adiacenti l’OR delle negazione, la sua negazione, ecc...
A
B
A +B
0
0
0
(A + B)+ (A + B)
A+B
A+B
A +B
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
La colonna relativa all’operando A e l’ultima colonna coincidono per cui il postulato è dimostrato.
Per le definizioni si ha:
A +A = 1
[elemento universale, è la proposizione sempre vera]
A + A=0
[elemento nullo, è la proposizione sempre falsa]
A•B = A + B
[“•” operatore AND]
L’operatore AND applicato a due proposizioni da come risultato una proposizione vera solo se
l’una e l’altra proposizione sono vere:
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A
B
A•B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
A questo punto consideriamo l’algebra delle reti elettroniche
In questa algebra K è l’insieme dei conduttori elettrici caratterizzati dalle possibilità di assumere
due stati di funzionamento (due livelli di tensione). I due stati vengono indicati con “0” e “1”
L’operatore ‘+’ in questa algebra prende il nome di OR ed è il risultato di un’operazione circuitale
su tensioni, che da luogo ad una tensione alta quando una o l’altra o entrambi le tensioni d’ingresso
sono alte.
In questo modo attribuendo ad A e B il significato di nome del conduttore, a 0 e 1 il significato di
tensione bassa o alta, o viceversa, la tabella vista precedentemente per l’ OR è valida.
Il circuito elettronico che si adopera per l’operazione OR è indicato in figura:
L’operatore “-” è il risultato di un’ operazione circuitale che da luogo a una tensione alta se quella
del conduttore d’ingresso è bassa e viceversa. Esso prende il nome di NOT e la relativa tabella di
verità e già stata vista.
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L’operatore “•” è il risultato di un’operazione circuitale che dà luogo ad una tensione alta solo se
entrambi i conduttori di ingresso sono a tensione alta. Il circuito elettronico adoperato per l’AND è
riportato in figura. La relativa tabella della verità è stata già esaminata.
CIRCUITI CHE SCHEMATIZZANO IL FUNZIONAMENTO DELLE PORTE OR, AND ECC.
Lo sviluppo dell’algebra Booleana risale all’incirca al 1850. L’idea di associare i circuiti elettronici
ad espressioni analitiche è dovuta a Shannon (circa nel 1948), il quale, avendo l’esigenza di
semplificare i circuiti a relè prevalentemente usata in telefonia, trovò un modo analitico per
descriverli. Semplificando l’espressione analitica Shannon riuscì a semplificare anche i circuiti a
relè.
In un circuito costituito nel seguente modo :
A
B
Dove A e B indicano gli interruttori, la lampadina è accesa solo se ambedue gli interruttori sono
chiusi. Questo comportamento si può descrivere con l’operazione AND.
Analogamente nel circuito sotto:
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A
B
La lampadina si accende quando l’uno
o l’altro o ambedue gli interruttori sono chiusi. Il circuito
corrisponde allora all’operazione OR.
Nel caso del circuito seguente, più complicato la rete può essere descritta analiticamente dalla
formula:
A
B
C
C
(A•B+C) •C
Per semplificare il circuito si fa uso dell’espressione analitica, la si semplifica, e si ritorna ad un
circuito che le corrisponde. Mediante dei passaggi che si capiranno meglio attraverso alcuni teoremi
che verranno enunciati tra breve si ha:
(A•B+C) •C = (A•B•C+C)= C•(A•B+1)=C•1=C
e quindi la rete diviene:
C
Abbiamo visto come può essere semplificata una rete elettrica applicando l’algebra Booleana e dei
teoremi ad essa riferiti che ora enunceremo; tali teoremi sono utilizzabili anche per l’algebra delle
classi o delle aree e per l’algebra delle proposizioni.
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TEOREMI FONDAMENTALI DELL’ALGEBRA BOOLEANA
Teoremi sulla complementazione:
A+ A =1
A• A =0
Teorema della doppia complementazione:
A =A
Teoremi di De Morgan:
A ⋅B=A +B
A + B =A •B
Teorema dell’assorbimento:
A+A•B=A
Teoremi di idempotenza:
A+A=A
A•A=A
Teoremi di unione e intersezione
A+0=A
A+1=1
A•0=0
A•1=A
Questi teoremi sono dimostrabili con ragionamenti di tipo deduttivo ed induttivo, in questa sede ,
per l’uso che ne verrà fatto, non verranno dimostrati.
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ALCUNI ESEMPI DI APPLICAZIONE DELL’ALGEBRA BOOLEANA
Verranno adesso enunciati e risolti alcuni esempi per la risoluzione di problemi di logica con
l’ausilio della teoria delle proposizioni. In particolare per l’ultimo esempio, oltre alla soluzione del
problema, verrà realizzato un circuito elettronico digitale che simula e risolve il problema posto.
Esempio 1:
La cassaforte di una banca è provvista di 5 serrature, indicate rispettivamente con v, w, x, y, z.
Cinque funzionari sono in possesso ciascuno di 2 chiavi, come indicato sotto. I funzionari sono
rappresentati dalle lettere A,B,C,D,E.
A → v,x;
B→ v,y;
C→ w,y;
D→ x,z;
E→ v,z;
Determinare:
a) il numero minimo di funzionari necessario per aprire la cassaforte;
b) se esiste un funzionario essenziale per l’apertura della cassaforte;
c) l’elenco di tutte le possibili combinazioni di funzionari con i quali è possibile aprire la
cassaforte.
Risolveremo questo problema utilizzando l’algebra delle proposizioni, e utilizzeremo inoltre le
seguenti proposizioni:
S→ “La cassaforte si apre” [la proposizione è vera o falsa a secondo del valore assunto da S]
A→ “Il funzionario A è presente”
B→ “Il funzionario B è presente”
C→ “Il funzionario C è presente”
D→ “Il funzionario D è presente”
E→ “Il funzionario E è presente”
Utilizzando questi termini scriviamo formalmente la situazione presente, si ha:
La cassaforte si apre se sono presenti contemporaneamente i funzionari che possiedono la chiave v,
la chiave w, la chiave x, la chiave y e la chiave z.
Poichè una singola chiave è posseduta da più funzionari, questo implica la presenza di almeno uno
dei funzionari; nella logica delle proposizioni per i possessori della chiave v ciò si traduce
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in:(A+B+E), per i possessori della chiave w in C, in quanto è il solo possessore di tale chiave; per i
possessori della chiave x in: (A+D); per i possessori della chiave y in:(B+C); e per i possessori della
chiave z in:(D+E).
La contemporanea presenza richiede invece che tutti questi fattori vanno scritti come prodotto
logico; possiamo allora affermare che la cassaforte si apre, quindi S=1 se:
S=(A+B+E) •C•(A+D) •(B+C) •(D+E)
Operando su questa espressione utilizzando i teoremi già visti riusciamo a risolvere e semplificare il
problema, si ha : (nelle espressioni che seguono si ometterà di mettere l’operatore “ •” )
S=(AC+BC+EC)(A+D)(B+C)(D+E)
Essendo: ACA=AAC=AC si ha:
S=(AC+ACD+ACB+BCD+ACE+CDE)(B+C)(D+E)
Per il teorema dell’assorbimento i termini ACD,ACB,ACE, rispetto ad AC si possono trascurare,
essendovi compresi e si ha quindi:
S=(ABC+AC+BCD+BCD+BCDE+CDE)(D+E)
Applicando il teorema dell’assorbimento altri termini si elidono. BCD si elide per il teorema
dell’idempotenza, si ha quindi:
S=ACD+ACE+BCD+BCDE+CDE+CDE
utilizzando i teoremi già visti sopra si ha:
S=C(AD+AE+BD+DE)
Da quest’ultima espressione si ricava che il numero minimo di funzionari necessario ad aprire la
cassaforte è 3, il funzionario C è essenziale all’apertura della cassaforte, che tutte le possibili
combinazioni sono 4: ACD, ACE, BCD, CDE.
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Esempio 2
Gli astronauti che possono partire per una missione sono 5: A, B, C, D, E, ma i prescelti devono
soddisfare ai seguenti requisiti:
1) A o B sono sicuramente inclusi ma non contemporaneamente;
2) C o E o entrambi sono inclusi;
3) A e C sono entrambi inclusi o entrambi esclusi;
4) Qualora D fosse incluso anche B deve essere incluso;
5) Se E fosse incluso anche C e D devono essere inclusi;
Il problema consiste nel trovare gli astronauti prescelti per la missione.
Per fare questo bisogna tradurre i requisiti in una formula Booleana e collegare tutte le formule
tramite degli AND, affinchè tutti i requisiti siano soddisfatti contemporaneamente:
1) (A B + A B)
2) (C+E)
se A è incluso, B non lo è e viceversa;
C o E o entrambi sono inclusi:
3) (AC + A C )
A e C sono entrambi inclusi o esclusi;
4) (BD + D )
se D è incluso anche B lo é se D non è incluso nulla si sa su B;
5) (ECD + E )
se E è incluso anche C e D lo sono, se E non è incluso nulla si sa su C e D;
Si noti che le espressioni 4 e 5 possono essere semplificate nel seguente modo:
BD + D = BD+ D 1 = BD + D (B + B ) = BD+BD + B D =BD+B D + B D +B D =
= B(D + D ) + D (B + B )=B + D
Questo significa che o B è incluso o D è escluso.
Analogamente si ha che:
ECD+ E = CD + E
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Denotando con L la proposizione “La situazione degli astronauti è” si ha:
L = (AB + A B)(C + E)(AC + A C )(B + D )(B + D )(CD + E ) =
=(A B C + AB E +A BC + A BE)(AC + A C )( B + D )(CD + E )=
(AB C + AA B C C +AB CE +AA B EC +AA BC + A BC C +AA BCE + A BC E)
(B+ D )(CD+ E )=
=(A B C + AB C E)(B + D )(CD + E )=
(AB C D +ABB C D E)(CD + E )=AB C D E
Gli astronauti prescelti sono quindi A e C.
Esempio 3
Un contadino possiede una capra, una cesta di cavoli ed un cane molto feroce. Si trova dal lato sud
di un fiume e si trova nella necessità di doverlo attraversare. Ogni volta che lo attraversa può
portare con se sulla barca solamente una delle tre cose che possiede (capra cavoli o cane). Deve
inoltre tenere presente che:
Ø Il cane, lasciato solo con la capra l’azzanna e la uccide;
Ø La capra, lasciata sola con i cavoli, se li mangia.
Poichè il contadino è dotato di poca memoria vuole dotarsi di un’apparecchiatura elettronica in
grado di avvisarlo del pericolo.
SOLUZIONE
Il contadino potrà utilizzare il circuito illustrato, dotato di quattro commutatori, corrispondenti al
contadino (A), alla capra (B), al cane (C) ed ai cavoli (D), posti in posizione OFF se il personaggio
si trova a nord del fiume ed in posizione ON se il personaggio si trova a sud del fiume.
Inizialmente i quattro interruttori sono tutti in posizione ON. Quindi sarà: A=B=C=D=1
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Potremmo dotare il dispositivo di una lampadina che si accende in caso di pericolo cioè se:
Ø Il contadino è a nord, il cane e la capra sono a sud
Ø Il contadino è a nord, la capra e i cavoli sono a sud
Ø Il contadino è a sud, il cane e la capra sono a nord
Ø Il contadino è a sud, la capra e i cavoli sono a nord
Se la variabile L rappresenta l’accensione della lampada, possiamo scrivere l’equazione logica:
L= A BC+ A BD+AB C +AB D
I termini dell’equazione rappresentano le quattro condizioni di pericolo, e attraverso questi viene
realizzato il circuito per avvisare il contadino.
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ALCUNI QUESITI DI VERIFICA
•
Dopo aver fornito la definizione di somma logica OR tra due variabili e la definizione
dell'AND, evidenzia le principali diversità tra le due funzioni.
•
Giustificare perché, nella logica ad interruttori, gli interruttori posti in serie corrispondono ad
una funzione AND ed interruttori in parallelo corrispondono ad una funzione OR.
•
Enuncia le proprietà commutativa, associativa e distributiva della somma e prodotto logico.
•
Enuncia gli assiomi dell'annullamento, del complemento e dell'idempotenza della somma e
prodotto logico
•
X=AB+BC; Y=CA+BA; A=1, B=0, C=1. Quali sono i valori di X e Y ?
1. X=0, Y=0
2. X=0, Y=1
3. X=1, Y=1
4. X=1, Y=0
•
Qual è la funzione di due variabili logiche che fornisce nella colonna dell'uscita i valori 1110 ?
1. somma logica
2. somma logica negata
3. prodotto logico
4.
prodotto logico negato
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