Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale

a.a. 2011/12
Laurea triennale in Informatica
Corso di Analisi Matematica
Funzioni reali di variabile reale
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
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Funzioni reali di variabile reale
Una funzione f : D → C si dice
• reale se C ⊆ R;
• di variabile reale se D ⊆ R.
Esempi:
1
la funzione che a ogni numero intero associa il suo doppio è
reale di variabile reale;
2
la funzione che associa al peso (in grammi) di una lettera
l’affrancatura (in centesimi di euro) necessaria alla spedizione
è reale di variabile reale;
3
la funzione che a ogni città sulla terra, individuata in base alla
sua latitudine e longitudine, associa l’altitudine è reale ma non di
variabile reale (è di due variabili reali).
Nota: trattando funzioni reali, per semplicità assumeremo C = R.
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Dominio, immagine, controimmagine
Sia f : D ⊆ R → R. Ricordiamo che:
• D si chiama dominio o insieme di definizione di f ;
talvolta lo denoteremo con dom(f );
• per x ∈ D , l’unico elemento di R che f associa a x
si chiama valore di f in x , o anche immagine di x tramite f ;
si denota con f (x);
• per D 0 ⊆ D , l’insieme
f (D 0 ) := f (x) | x ∈ D 0
si chiama immagine di D 0 tramite f ;
• f (D) si chiama immagine di f ; notazione alternativa: imm(f );
x ∈ D | f (x) ∈ Y si chiama
controimmagine (o immagine reciproca) di Y tramite f ;
per y ∈ R, diremo “controimmagine di y ” invece di
“controimmagine di {y }”.
• per Y ⊆ R, l’insieme
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Esempio
Sia f : R → R tale che f (x) = 2x + 1. Determiniamo:
f (0)
f (1.5)
f (−2.34)
f (π)
√
f ({−3, 2, 2.1})
f ([−2, 4.5))
controimmagine di 3.6
controimmagine di [1, 8)
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Grafico di una funzione
Siano A e B insiemi qualsiasi e sia f : A → B .
Il grafico di f è l’insieme
graf(f ) := (x, y ) ∈ A × B | y = f (x) .
In particolare, se f è una funzione reale di variabile reale, il grafico
di f è un sottoinsieme di R × R, che è in corrispondenza biunivoca
con il piano cartesiano.
Pertanto, il grafico di f si identifica con un sottoinsieme del piano
cartesiano (una “curva”), e quindi può essere disegnato.
Non tutte le curve sono grafici di funzione:
Test delle rette verticali
Una curva nel piano cartesiano è grafico di una funzione della variabile
x se e solo se ogni retta parallela all’asse delle y interseca la curva al
più una volta. Giustificare. . .
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Informazioni immediatamente deducibili da un grafico
Assegnato il grafico di una funzione f = f (x),
• dom(f ) è la proiezione del grafico sull’asse delle ascisse;
• imm(f ) è la proiezione del grafico sull’asse delle ordinate;
• per x0 ∈ dom(f ), il valore f (x0 ) è l’ordinata dell’unico punto del
grafico di f che si trova sulla retta di equazione x = x0 ;
perché “unico” punto?
• per y0 ∈ imm(f ), la controimmagine di y0 è formata dalle ascisse
dei punti del grafico di f che si trovano sulla retta di equazione
y = y0 .
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Esempio
Stabilire se la curva disegnata è il grafico di una funzione.
In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare
(approssimativamente)
dom(f )
10
imm(f )
9
f (0)
7
8
6
f (1)
5
4
f ([−1, 1.5])
3
2
controimmagine di 0
controimmagine di 6
1
–3
–2.5
–2
–1.5
–1
–0.5
0
–1
controimmagine di [1, 7]
–2
controimmagine di [1.4, 2.6]
–4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
–3
–5
–6
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Alcune funzioni “modello”
Funzione costante
Sia c ∈ R e sia f : R → R tale che f (x) = c per ogni x ∈ R.
Grafico?
Funzione identica
Sia f : R → R tale che f (x) = x per ogni x ∈ R.
Grafico?
Funzione reciproco
Sia f : R∗ → R tale che f (x) =
1
per ogni x ∈ R∗ .
x
Grafico?
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Funzione valore assoluto
Sia f : R → R tale che f (x) = |x| per ogni x ∈ R.
Notiamo esplicitamente che
(
x se x ≥ 0
f (x) =
−x se x < 0
(funzione definita a tratti)
Per disegnare il grafico di f basta osservare che
• y = x è l’equazione della bisettrice di primo e terzo quadrante,
• y = −x è l’equazione della bisettrice di secondo e quarto quadrante.
0
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Funzione parte intera inferiore o floor
Sia f : R → R definita ponendo f (x) = bxc ∀ x ∈ R,
dove bxc denota il più grande intero minore o uguale a x .
Esempi: b2.5c = 2, b−3.2c = −4, b5c = 5.
Grafico?
Funzione parte frazionaria o mantissa
Sia m : R → R definita ponendo m(x) = x − bxc ∀ x ∈ R.
Esempi: m(2.5) = 0.5, m(−3.2) = 0.8, m(5) = 0.
Grafico?
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Estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di una funzione
Se f è una funzione reale, con dominio D , la sua immagine f (D) è
un sottoinsieme di R; ha senso allora parlare di
)
maggioranti, minoranti
estremo superiore, estremo inferiore
di f (D).
massimo e minimo
Essi vengono detti, rispettivamente,
maggioranti, minoranti
)
estremo superiore, estremo inferiore
di f .
massimo (globale o assoluto) e minimo (globale o assoluto)
In simboli: sup f := sup f (D),
D
max f := max f (D),
D
inf f := inf f (D)
D
min f := min f (D)
D
Diciamo che una funzione è limitata (superiormente, inferiormente)
se la sua immagine lo è. Interpretazione grafica?
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Osservazioni
L’estremo superiore [inferiore] di una funzione f esiste sempre in R;
è finito se e solo se f è limitata superiormente [inferiormente].
Non è detto che una funzione f ammetta massimo [minimo] globale.
Sono equivalenti le affermazioni
(a) f ammette
massimo
globale in D
minimo
(b) esiste x0 ∈ D tale che
f (x) ≤ f (x0 )
f (x) ≥ f (x0 )
per ogni x ∈ D .
x0 soddisfacente la condizione in (b) si chiama punto di massimo
[minimo] globale di f in D .
Esempio
Stabilire se le funzioni “modello” sono limitate superiormente e/o
inferiormente, calcolarne estremo superiore e inferiore e, se possibile,
massimo e minimo globali, specificando i punti di massimo e/o
minimo globale.
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Funzioni monotòne
Sia D ⊆ R e sia f : D → R.
crescente
strettamente crescente
Si dice che f è
in D se
decrescente
strettamente decrescente
f (x1 ) ≤ f (x2 )
per ogni x1 , x2 ∈ D tali che x1 < x2 si ha
f (x1 ) < f (x2 )
f (x1 ) ≥ f (x2 )
f (x1 ) > f (x2 )
Una funzione (strettamente) crescente o decrescente si dice
(strettamente) monotòna.
Interpretazione grafica della monotonia in un intervallo e in un insieme
qualsiasi . . .
Esempio
Determinare la monotonia delle funzioni “modello”.
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Funzioni simmetriche
Sia f una funzione tale che dom(f ) sia simmetrico rispetto all’origine.
Se per ogni x ∈ dom(f ) si ha
f (−x) = f (x)
si dice che f è una funzione pari
f (−x) = −f (x)
si dice che f è una funzione dispari
Osservazione
f è pari se e solo se il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle
ordinate; f è dispari se e solo se il suo grafico è simmetrico rispetto
all’origine degli assi. Perché?
Può esistere una funzione f = f (x) il cui grafico sia simmetrico
rispetto all’asse delle ascisse?
Esempio
Stabilire se le funzioni “modello” sono simmetriche.
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Funzioni periodiche
Sia T > 0. Una funzione si dice periodica di periodo T se
• per ogni x ∈ dom(f ) si ha x + T ∈ dom(f )
• f (x + T ) = f (x) per ogni x ∈ dom(f )
Interpretazione grafica della periodicità?
Esempio
Stabilire se le funzioni “modello” sono periodiche.
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Operazioni con le funzioni
A partire da due funzioni reali f e g possiamo definire le seguenti
funzioni:
nome
simbolo
valore in x
dominio
somma
f +g
f (x) + g (x)
dom(f ) ∩ dom(g )
differenza
f −g
f (x) − g (x)
dom(f ) ∩ dom(g )
prodotto
f ·g
f (x) · g (x)
dom(f ) ∩ dom(g )
rapporto
f
g
f (x)
g (x)
x ∈ dom(f ) ∩ dom(g ) | g (x) 6= 0
reciproco
1
f
1
f (x)
x ∈ dom(f ) | f (x) 6= 0
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Esempi
Determinare le funzioni somma, differenza, prodotto, rapporto di f e
g , reciproco di f , specificandone il dominio:
f (x) = x + 1
g (x) = |x| − 2
f (x) = bxc
g (x) =
1
x
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Composizione di funzioni
Siano f e g due funzioni (qualsiasi) e sia
D := x ∈ dom(f ) | f (x) ∈ dom(g ) .
Se D è non vuoto, definiamo la funzione composta di f e g , che
denotiamo con g ◦f , ponendo
(g ◦f )(x) := g (f (x))
per ogni x ∈ D .
Osservazioni
In generale, dom(g ◦f ) ⊆ dom(f ).
L’uguaglianza dom(g ◦f ) = dom(f ) vale se l’immagine di f è
contenuta nel dominio di g ; in particolare, ciò vale se dom(g ) = R.
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Esempi
Determinare (se possibile) g ◦f e f ◦g , specificandone il dominio:
f (x) = x + 1
g (x) = |x|
f (x) = x 2 + 1
g (x) =
f (x) = bxc
1
x
1
g (x) =
x
Osservazione
Gli esempi mostrano che la composizione tra funzioni non commuta.
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Trasformazioni di grafici: traslazioni
Descriviamo come si trasforma il grafico di una funzione f se su di
essa si effettuano determinate operazioni. Assumiamo c > 0.
g (x) = . . .
il grafico di g si ottiene da quello di f mediante. . .
f (x) + c
traslazione verticale verso l’alto (di ampiezza c)
f (x) − c
traslazione verticale verso il basso
f (x + c)
traslazione orizzontale verso sinistra
f (x − c)
traslazione orizzontale verso destra
0
0
0
0
Esistono funzioni il cui grafico resta inalterato rispetto a una traslazione
orizzontale? E rispetto a una traslazione verticale?
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Trasformazioni di grafici: dilatazioni e compressioni
g (x) = . . .
il grafico di g si ottiene da quello di f mediante. . .
c f (x)
dilatazione
verticale se
compressione
c >1
c <1
f (c x)
compressione
c >1
orizzontale se
dilatazione
c <1
0
0
0
0
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Trasformazioni di grafici: riflessioni
g (x) = . . .
il grafico di g si ottiene da quello di f mediante. . .
−f (x)
riflessione rispetto all’asse delle ascisse
f (−x)
riflessione rispetto all’asse delle ordinate
0
0
Esistono funzioni il cui grafico resta inalterato rispetto a una riflessione
rispetto all’asse delle ordinate? E rispetto all’asse delle ascisse?
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Trasformazioni di grafici: composizione con il valore assoluto
g (x) = . . .
il grafico di g si ottiene da quello di f . . .
|f (x)|
lasciando invariata la porzione nel semipiano superiore
e riflettendo la porzione nel semipiano inferiore
simmetricamente rispetto all’asse delle ascisse
f (|x|)
trascurando la porzione nel semipiano sinistro,
lasciando invariata la porzione nel semipiano destro e
riflettendola simmetricamente rispetto all’asse delle ordinate
0
0
0
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Problema 1 (simmetria / operazioni e composizione)
1
Siano f e g funzioni pari (nei propri domini).
Cosa si può dire sulle funzioni f +g , f −g , f ·g , f /g , f ◦g ?
2
Come sopra, supponendo che f e g siano dispari.
3
Come sopra, supponendo che f sia pari e g sia dispari.
Problema 2 (monotonia / composizione)
1
Siano f e g funzioni crescenti (nei propri domini).
Cosa si può dire sulla funzione f ◦g ?
2
Come sopra, supponendo che f e g siano decrescenti.
3
Come sopra, supponendo che f sia crescente e g sia decrescente.
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Problema 3 (monotonia / operazioni)
Stabilire ∗ se le seguenti affermazioni sono vere o false.
1 Se f è crescente (nel proprio dominio), la funzione opposta −f
è decrescente (nel proprio dominio).
2 Se f è crescente, la funzione reciproca 1/f è decrescente.
3 Se f è crescente e ha segno costante, la funzione reciproca 1/f
è decrescente.
4
5
6
7
∗
Se f e g sono crescenti, la funzione somma f + g è crescente.
Se f e g sono crescenti, la funzione prodotto f ·g è crescente.
Se f e g sono positive e crescenti, la funzione prodotto f ·g
è positiva e crescente.
Se f e g sono negative e crescenti, la funzione prodotto f ·g
è positiva e decrescente.
Significa dimostrare l’affermazione, se vera; fornire un controesempio,
se falsa.
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Funzioni invertibili
Sia f : D ⊆ R → R.
Diciamo che f è invertibile in D se per ogni y ∈ f (D) l’equazione
f (x) = y ha una e una sola soluzione in D .
Test delle rette orizzontali
Una funzione f = f (x) reale di variabile reale è invertibile se e solo se
ogni retta parallela all’asse delle x interseca il grafico di f al più in un
punto. Perché?
Esempio
Stabilire, in base ai rispettivi grafici, se le funzioni “modello” sono
invertibili.
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Funzione inversa
Sia f : D → R una funzione invertibile.
La funzione, definita in f (D) e a valori in D , che a ogni elemento y
di f (D) fa corrispondere l’unico elemento x di D tale che f (x) = y ,
si chiama funzione inversa di f e si denota con il simbolo f −1 .
Conseguenze immediate (o quasi) della definizione:
• il dominio di f −1 coincide con l’immagine di f ;
• l’immagine di f −1 coincide con il dominio di f ;
• f −1 (y ) = x ⇐⇒ f (x) = y ;
• f −1 (f (x)) = x
∀x ∈ D ,
f (f −1 (y )) = y ∀y ∈ f (D);
f −1 ◦ f funzione identica di D
f ◦ f −1 funzione identica di f (D)
• i grafici di f e di f −1 sono simmetrici rispetto alla retta y = x .
27 / 58
Proposizione (Monotonia e invertibilità)
Sia f : D ⊆ R → R strettamente crescente [decrescente]. Allora:
• f è invertibile in D ;
• f −1 è strettamente crescente [decrescente].
Verifica . . .
Osservazione
La stretta monotonia è condizione sufficiente ma non necessaria
per l’invertibilità. Esempio?
Esempio (funzione affine)
Siano a ∈ R∗ , b ∈ R e sia f : R → R definita ponendo
f (x) = ax + b
per ogni x ∈ R.
Verificare che f è invertibile e determinare la funzione inversa f −1 .
Grafici?
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Osservazione importante: le funzioni
1
•
(reciproco di f )
f
• f −1 (inversa di f )
sono “inversi” di f rispetto a leggi di composizione diverse. Quali?
Pertanto, esse sono funzioni diverse tra loro e non devono essere
confuse!
Esempi
f := x ∈ R 7→ x 2 + 1
f := x ∈ R 7→ 2x + 1
1
1
:= x ∈ R 7→ 2
f
x +1
1
1
:= x ∈ R \ − 12 7→
f
2x + 1
x −1
f −1 := x ∈ R 7→
2
f −1 non esiste!
Perché?
Confrontare i grafici di
1
e di f −1
f
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Trasformazioni di grafici: passaggio al reciproco
Come si ottiene il grafico di g :=
1
a partire da quello di f ?
f
Occorre tener presente che:
• g è definita in tutti i punti in cui f è definita e diversa da 0;
• g non assume mai il valore 0;
• g è positiva dove f è positiva, negativa dove f è negativa;
• se in un intervallo f ha segno costante ed è crescente
[decrescente], nel medesimo intervallo g ha lo stesso segno di f
ed è decrescente [crescente].
Esempio
La funzione f ha il grafico indicato a lato.
Tracciare approssimativamente il grafico di
1
.
f
0
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Ulteriori funzioni “modello”
Nel resto di questo capitolo introduciamo le seguenti funzioni
elementari:
• funzione potenza (esponente naturale, intero, razionale, reale)
• funzione polinomiale
• funzione razionale
• funzione esponenziale
• funzione logaritmo
• funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente)
• funzioni trigonometriche inverse
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Funzione potenza con esponente naturale
Sia n ∈ N, n ≥ 2. Definiamo pn : R → R ponendo
pn (x) = x n := x| · x {z
· . . . · x}
∀ x ∈ R.
n fattori
Proprietà
n pari
n dispari
dominio
R
R
immagine
R+
R
???
simmetria
pari
dispari
regola
dei segni
strett. crescente in R+
strett. decrescente in R−
strett. crescente in R
monotonia
3
4
2
3
1
2
–2
–1
0
–1
–1
0
1
2
–1
1
–2
compatib.
rel. ordine
e moltiplic.
1
2
–2
–3
32 / 58
Giustifichiamo le affermazioni relative all’immagine della funzione
potenza.
Sia n ∈ N, n ≥ 2.
• pn (R+ ) ⊆ R+
(compatibilità della relazione d’ordine
con la moltiplicazione)
• Teorema
Per ogni y ∈ R+ esiste (un unico) x ∈ R+ tale che x n = y .
↑
↑
proprietà estremo superiore
monotonia
Conseguenza: R+ ⊆ pn (R+ ).
• Dalle due inclusioni segue pn (R+ ) = R+ .
• La conclusione si ottiene per la simmetria della funzione pn ,
a seconda che n sia pari o dispari.
Osservazione
Il teorema non è valido in Q. Motivazione? Controesempio?
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Funzioni polinomiali e funzioni razionali
La combinazione lineare di funzioni potenza con esponente naturale
si chiama funzione polinomiale:
P(x) = cn x n + cn−1 x n−1 + . . . + c1 x + c0 ,
con c0 , c1 , . . . , cn ∈ R.
Risulta dom(P) = R.
Perché?
Il rapporto di due funzioni polinomiali si chiama funzione razionale:
P(x)
, con P e Q funzioni polinomiali.
Q(x)
Risulta dom(R) = x ∈ R | Q(x) 6= 0 . Perché?
R(x) =
34 / 58
Funzione radice (o potenza con esponente frazionario)
Sia n ∈ N, n ≥ 2. Denotiamo con rn la funzione inversa
• della restrizione di pn a R+ , se n è pari,
• di pn , se n è dispari.
Proprietà
n pari
n dispari
dominio
R+
R
immagine
R+
R
simmetria
n/a
dispari
monotonia
strett. crescente in R+
–3
–2
–1
strett. crescente in R
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
–3
–2
–1
0
–1
–1
–2
–2
–3
–3
1
2
3
35 / 58
Il valore che la funzione rn assume in x viene denotato
equivalentemente con i simboli
√
• n x radice n -esima
• x 1/n potenza con esponente frazionario
Dalla definizione di funzione inversa seguono immediatamente le
seguenti affermazioni:
(
∀ a, b ∈ R+ se n è pari
√
n
n
a = b ⇐⇒ b = a
∀ a, b ∈ R se n è dispari
√
n
(
( x)n = x
√
n
∀ x ∈ R se n è dispari
(
xn = x
∀ x ∈ R+ se n è pari
∀ x ∈ R+ se n è pari
∀ x ∈ R se n è dispari
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Osservazione
Sia n pari.
√
• Per x < 0 la scrittura ( n x)n = x è priva di significato.
√
n
x n = x ha significato ma è falsa;
√
l’uguaglianza corretta è n x n = −x .
√
• L’uguaglianza n x n = |x| vale per ogni x ∈ R.
• Per x < 0 la scrittura
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Funzione potenza con esponente intero negativo
Sia n ∈ Z, n ≤ −1.
Per x =
6 0, definiamo x n come il reciproco di x −n . In simboli:
1
x n := (x −n )−1 o, equivalentemente, x n := −n .
x
Perché x 6= 0?
Segue direttamente dalla definizione che la funzione x ∈ R∗ 7→ x n
coincide con la funzione reciproco della funzione potenza p−n .
n pari
n dispari
5
(dominio)
immagine
simmetria
monotonia
4
3
2
4
2
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
1
–2
–4
–3
–2
–1
0
–1
1
2
3
4
–4
38 / 58
Funzione potenza con esponente razionale
Siano m ∈ Z∗ e n ∈ N∗ . Poniamo
√
x m/n := n x m o, equivalentemente, x m/n := (x m )1/n .
Questa definizione ha senso nei seguenti casi (giustificare. . . )
m≥1
m ≤ −1
n dispari
x ∈R
x ∈ R∗
n pari, m pari
x ∈R
x ∈ R∗
n pari, m dispari
x ∈ R+
x ∈ R∗+
Esempi. . .
Segue direttamente dalla definizione che la funzione x 7→ x m/n
coincide con la funzione composta di una funzione potenza con
esponente intero (non nullo) e di una funzione radice;
il suo dominio dipende da m e n .
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0
0
m
<0
n
0<
m
<1
n
m
>1
n
Le figure mostrano il grafico di x 7→ x m/n limitatamente al semipiano
destro.
Nei casi diversi da “n pari, m dispari”, la porzione di grafico
contenuta nel semipiano sinistro si ottiene per simmetria
• rispetto all’asse delle ordinate se m è pari,
• rispetto all’origine degli assi se m è dispari.
40 / 58
Funzione potenza con esponente irrazionale
Sia α ∈ R \ Q. Per x > 0 poniamo
x α := sup x q | q ∈ Q, q ≤ α
Perché x > 0?
Grafico della funzione x 7→ x α , al variare di α
α>1
α=1
α = 1 : funzione identica
prolungabile a R
α = 0 : funzione costante di valore 1,
prolungabile a R∗
0<α<1
α=0
α<0
1
0
1
41 / 58
Proposizione
Per i valori di x, y , p, q per i quali esse hanno significato, valgono le
seguenti proprietà:
• x p+q = x p · x q
xp
xq
p
q
• (x ) = x p·q
• x p−q =
• (x · y )p = x p · y p
•
p
x
xp
= p
y
y
Convincersi della validità di queste formule, per esponenti p, q prima
naturali, poi interi, poi razionali.
Per esponenti irrazionali la verifica richiede la conoscenza di alcune proprietà
dell’estremo superiore che non presentiamo.
42 / 58
Funzione esponenziale in base a
Sia a ∈ R, a > 0, a 6= 1. La funzione
Perché a > 0 ?
Perché a =
6 1?
x ∈ R 7→ ax ∈ R
si chiama funzione esponenziale in base a .
!!! Attenzione a non confondere le funzioni
potenza:
x 7→ x α , con esponente α fissato
esponenziale:
x 7→ ax , con base a fissata
Osservazioni
• Per ogni x ∈ R si ha ax > 0.
• Teorema
Per ogni y ∈ R, con y > 0, esiste un unico x ∈ R tale che ax = y .
↑
↑
proprietà estremo superiore
monotonia
=⇒ L’immagine della funzione esponenziale è l’intervallo (0, +∞).
43 / 58
Proprietà della funzione esponenziale
dominio
R
immagine
(0, +∞)
simmetria
nessuna
monotonia
strettamente decrescente se 0 < a < 1
strettamente crescente se a > 1
0<a<1
a>1
1
1
0
0
lo giustificheremo
in seguito
44 / 58
Funzione logaritmo in base a
Sia a > 0, a 6= 1. La funzione inversa della funzione esponenziale in
base a si chiama funzione logaritmo in base a e si denota con loga .
Proprietà
dominio
(0, +∞)
immagine
R
simmetria
n/a
monotonia
strettamente decrescente se 0 < a < 1
strettamente crescente se a > 1
0<a<1
a>1
1
1
0
1
1
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Dalla definizione di funzione inversa seguono immediatamente le
seguenti affermazioni:
• loga (x) = y ⇐⇒ ay = x
• loga (ax ) = x
• aloga (x) = x
∀ x ∈ R∗+ , ∀ y ∈ R
∀x ∈ R
∀ x ∈ R∗+
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Valori “notevoli” e proprietà algebriche di esponenziali e logaritmi
a0 = 1
loga (1) = 0
a1 = a
loga (a) = 1
ax+y = ax ay
loga (x y ) = loga (x) + loga (y )
a−x =
1
ax
ax−y =
ax
ay
(ax )y = ax y
loga
loga
1
x
x y
(x, y > 0)
= − loga (x)
(x > 0)
= loga (x) − loga (y )
(x, y > 0)
loga (x y ) = y loga (x)
(x > 0, y ∈ R)
( ↑ x, y ∈ R)
Verifica . . .
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Cambiamento di base
Una funzione esponenziale / logaritmica in base qualsiasi si può
ricondurre a una funzione esponenziale / logaritmica in base prefissata:
b x = acx ,
logb (x) = c −1 loga (x), con c = loga (b).
Le seguenti basi ricoprono ruoli importanti (in contesti diversi):
• a = 10
• a=2
• a = e (numero di Nepero, irrazionale, ' 2.718)
Notazioni e terminologia
e x =:
loge (x) =:
log10 (x) =:
exp(x)
funzione esponenziale
ln(x)
logaritmo naturale
Log(x)
logaritmo decimale
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Funzione seno e funzione coseno
Preliminari:
– corrispondenza tra R e la circonferenza unitaria
– misura in radianti di un angolo orientato
Definiamo le funzioni sin: R → R (seno) e cos: R → R (coseno)
come segue:
• per ogni x ∈ R, sin(x) è l’ordinata dell’unico punto che
corrisponde a x sulla circonferenza unitaria;
• per ogni x ∈ R, cos(x) è l’ascissa dell’unico punto che
corrisponde a x sulla circonferenza unitaria.
Identità fondamentale della trigonometria
Per ogni x ∈ R si ha sin(x)2 + cos(x)2 = 1.
Perché?
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Proprietà immediate (o quasi) delle funzioni seno e coseno
Periodicità
Per ogni x ∈ R: sin(x + 2π) = sin(x),
cos(x + 2π) = cos(x)
Limitatezza
Per ogni x ∈ R: −1 ≤ sin(x) ≤ 1,
−1 ≤ cos(x) ≤ 1
Simmetria
Per ogni x ∈ R: sin(−x) = − sin(x),
cos(−x) = cos(x)
Monotonia . . .
Zeri e segno . . .
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Seno
Coseno
1
0
–1
1
0
–1
Osservazione
I grafici di seno e coseno coincidono a meno di una traslazione
π
orizzontale; ciò è dovuto all’uguaglianza sin(x) = cos x −
,
2
vera per ogni x ∈ R.
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Funzione tangente
La funzione
o
sin(x)
+ kπ | k ∈ Z 7→
=: tan(x) ∈ R
2
cos(x)
si chiama funzione tangente.
x ∈R\
nπ
Interpretazione geometrica . . .
Proprietà immediate (o quasi) della funzione tangente
Periodicità
Per ogni x ∈ dom(tan): tan(x + π) = tan(x)
Simmetria
Per ogni x ∈ R: tan(−x) = − tan(x)
Monotonia . . .
0
Zeri e segno . . .
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Funzione arcoseno, arcocoseno, arcotangente
π π
−2, 2
seno
La restrizione della funzione coseno
all’intervallo [0, π]
tangente
− π2 , π2
crescente
è strettamente decrescente e pertanto invertibile.
crescente
arcoseno (simbolo: arcsin)
La funzione inversa si chiama arcocoseno (simbolo: arccos).
arcotangente (simbolo: arctan)
Osservazione
Le funzioni inverse delle funzioni seno, coseno e tangente non vanno
confuse con le funzioni reciproche, che sono chiamate cosecante,
secante e cotangente, rispettivamente.
Esercizio
Determinare gli insiemi di definizione di cosecante, secante e
cotangente. Tracciarne i grafici a partire da quelli delle funzioni seno,
coseno e tangente, rispettivamente. (Tenere presente pagina 30.)
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Proprietà immediate (o quasi)
arcoseno
arcocoseno
arcotangente
[−1, 1]
[−1, 1]
R
immagine
h π πi
− ,
2 2
[0, π]
π π
− ,
2 2
monotonia
strett. crescente
strett. decrescente
strett. crescente
simmetria
dispari
nessuna
dispari
dominio
(da giustificare)
–1
0
0
1
–1
1
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Alcuni valori “notevoli” delle funzioni seno, coseno e tangente
x
sin(x)
cos(x)
tan(x)
0
0
0
π
6
π
4
1
2
1
√
2
√
3
2
1
√
3
2
1
√
2
π
3
π
2
1
1
2
1
√
3
1
√
Altri valori si
calcolano tenendo
conto delle simmetrie
3
0
I valori “notevoli” di arcoseno, seno e arcotangente si ricavano dalla
tabella tenendo conto che
arcsin(x) = y ⇔ sin(y ) = x , arccos(x) = y ⇔ cos(y ) = x
arctan(x) = y ⇔ tan(y ) = x
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Esercizi sulle trasformazioni di grafici
A partire dai grafici delle funzioni elementari, disegnare i grafici di
g (x) = x 2 + 2
g (x) = 3(x 2 − 1)
g (x) = 2 − x 2
g (x) = 2x 2 − 4x + 7
g (x) = (x + 1)2
g (x) = |x 2 − 2x − 5|
g (x) = x 3 − 1
g (x) = |x 3 − 1|
g (x) = |x|3 − 1
g (x) = e x − 1
g (x) = 3 e x
g (x) = e −x
g (x) = e x−1
g (x) = −e x
g (x) = e |x|
g (x) = |ln(x)|
√
g (x) = 3 x + 1
g (x) = ln(|x + 2|)
p
g (x) = 3 |x|
g (x) = −5 ln(x − 3)
√
g (x) = 1 − 2 3 x
Perché tanta enfasi sui grafici?
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Risoluzione di equazioni e disequazioni con l’ausilio dei grafici
Descrizione (informale) dei passi da compiere
1
Scrivere l’equazione / disequazione in forma “normale”,
cioè con una funzione f (x) a primo membro e una costante c
(spesso c = 0) a secondo membro.
2
Tracciare un grafico approssimativo della funzione f .
3
Se il grafico di f ha punti di intersezione con la retta y = c , le
ascisse di questi punti sono le soluzioni dell’equazione f (x) = c ;
l’equazione va allora risolta analiticamente (se possibile,
altrimenti si determinano numericamente soluzioni approssimate),
sfruttando le eventuali simmetrie del grafico per agevolare la
determinazione di tutte le soluzioni.
(segue)
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4
Individuare i punti sul grafico di f che si trovano nel semipiano
superiore definito dalla relazione y > c ; proiettare questi punti
sull’asse delle ascisse, determinando gli intervalli formati dalle
soluzioni della disequazione f (x) > c .
Gli estremi di questi intervalli sono stati calcolati al punto
precedente.
5
Individuare i punti sul grafico di f che si trovano nel semipiano
inferiore definito dalla relazione y < c .
Procedendo come al punto precedente, determinare gli intervalli
formati dalle soluzioni della disequazione f (x) < c .
Esempi
x2
1
≥3
−1
|3x 2 − 5x + 2| ≤ 1
−
x2
1
< −2
−1
|3x 2 − 5x + 2| ≥ 4
−2 <
x2
1
≤3
−1
1 ≤ |3x 2 − 5x + 2| < 4
π
π
< arctan(|x| − 1) ≤
4
4
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