Lezione 2: Spazi Vettoriali 1 Il piano cartesiano, Rn e le matrici

Lezione 2: Spazi Vettoriali
In questa lezione vogliamo introdurre il vero protagonista dell’algebra
lineare: lo spazio vettoriale. Si tratta di una astrazione che comprende concetti che già ben conosciamo; ad esempio il piano cartesiano, l’insieme delle
funzioni studiate dall’analisi, l’insieme delle matrici m per n introdotte nella
lezione precedente, l’insieme dei polinomi, i numeri reali stessi sono tutti esempi di insiemi che hanno una naturale struttura di spazio vettoriale. Prima
di dare la definizione vera a propria vediamo qualche esempio concreto.
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Il piano cartesiano, Rn e le matrici
Il piano cartesiano, che qui denominiamo con il simbolo R2 , è l’insieme delle
coppie ordinate di numeri reali. Tali coppie vengono rappresentate graficamente in un piano in cui disegniamo gli assi cartesiani (ascisse e ordinate) e
mettiamo il primo valore numerico sull’asse delle ascisse e il secondo valore
numerico sull’asse delle ordinate.
R2 := {(x, y)|x, y ∈ R}
Sulle coppie ordinate possiamo fare le seguenti operazioni:
1. Somma di due coppie: (x, y) + (x′ , y ′) = (x + x′ , y + y ′).
2. Moltiplicazione per un numero reale: λ(x, y) = (λx, λy).
Qualcuno ricorderà dalla fisica che esistono numerose altre operazioni che
si possono fare usando coppie di numeri reali (il prodotto, il prodotto scalare
etc.), ma a noi non interessano e non le prenderemo in considerazione.
E’ molto utile associare ad ogni elemento (a, b) di R2 un vettore e cioè
una freccia uscente dall’origine e con la punta corrispondente al punto (a, b).
In questo caso l’operazione di somma corrisponde alla ben nota regola del
parallelogramma che proviene dallo studio delle forze in fisica e che consiste
nel disegnare un parallelogramma avente per lati i due vettori. La somma
dei vettori è la diagonale uscente dall’origine.
1
*
u
+
v
v -
O
u
La moltiplicazione per un numero reale invece è semplicemente data da
un vettore avente la stessa direzione, lunghezza moltiplicata per il valore
assoluto del numero reale dato e verso concorde o discorde a seconda che il
numero reale sia positivo o negativo.
2u
*
3
u
2
u
*
0
Si invitano gli studenti a fare numerosi esempi in modo da familiarizzare con queste operazioni in R2 , che sono indispensabili per sviluppare
l’intuizione quando non è possibile disegnare.
Poichè x e y sono numeri reali, R2 eredita varie proprietà che ora elenchiamo e che sono di facile verifica (lo studente è invitato a farla!).
1. Proprietà associativa di +: ((x, y) + (x′ , y ′)) + (x′′ , y ′′ ) = (x, y) + ((x′ , y ′) +
(x′′ , y ′′)) per ogni (x, y), (x′ , y ′) in R2 .
2. Elemento neutro per +: il vettore (0, 0), cioè il vettore di lunghezza nulla,
è tale che:
(x, y) + (0, 0) = (0, 0) + (x, y) = (x, y)
per ogni (x, y) in R2 .
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3. Elemento inverso per +: per ogni (x, y) esiste un inverso rispetto a +,
cioè un elemento (a, b) tale che (a, b) + (x, y) = (x, y) + (a, b) = (0, 0). Infatti
basta prendere (a, b) = (−x, −y).
4. Proprietà commutativa di +: (x, y) + (x′ , y ′) = (x′ , y ′) + (x, y), per ogni
(x, y), (x′ , y ′) in R2 .
5. λ((x, y) + (x′ , y ′)) = λ(x, y) + λ(x′ , y ′), per ogni (x, y), (x′ , y ′) in R2 e
λ ∈ R.
6. (λ + µ)(x, y) = λ(x, y) + µ(x, y), per ogni (x, y) in R2 e λ, µ ∈ R.
7. (λµ)(x, y) = λ(µ(x, y)), per ogni (x, y) in R2 e λ, µ ∈ R.
8. 1(x, y) = (x, y), per ogni (x, y) in R2 .
Adesso definiamo l’insieme Rn che consiste di n-uple di numeri reali:
Rn := {(x1 , . . . , xn )|x1 , . . . , xn ∈ R}
In modo del tutto analogo a R2 anche su Rn possiamo definire due operazioni:
1. Somma di due elementi: (x1 , . . . xn ) + (x′1 , . . . x′n ) = (x1 + x′1 , . . . xn + x′n ).
2. Moltiplicazione di un elemento per un numero reale: λ(x1 , . . . xn ) =
(λx1 , λxn ).
Con un po’ di pazienza si possono verificare tutte le proprietà elencate
sopra.
Infine vogliamo esaminare un ultimo esempio prima di dare la definizione
generale di spazio vettoriale: le matrici 2 per 2. Ricordiamo:
a b a, b, c, d ∈ R
M2,2 =
c d
Anche qui possiamo definire due operazioni: 1. Somma di due elementi:
′ ′ a + a′ b + b′
a b
a b
+ ′ ′ =
c + c′ d + d ′
c d
c d
2. Moltiplicazione di un elemento per un numero reale:
λa λb
a b
.
=
λ
λc λd
c d
3
Anche qui, armandosi di pazienza, è possibile verificare tutte le proprietà
elencate sopra. Gli studenti sono caldamente invitati a farlo. Per aiutarli,
vediamo una delle proprietà. Dimostriamo la commutatività di +:
′ ′ a + a′ b + b′
a b
a b
+ ′ ′ =
c + c′ d + d ′
c d
c d
Poichè nei numeri reali vale la proprietà commutativa, possiamo scrivere:
′ ′ ′
a b
a b
a + a b′ + b
a + a′ b + b′
.
= ′ ′ +
=
c d
c d
c′ + c d ′ + d
c + c′ d + d ′
Questo esempio è particolarmente istruttivo: la dimostrazione della commutatività di + in M2,2 è una conseguenza della commutatività di + in R.
Questa è la strategia per dimostrare tutte le proprietà elencate sopra.
E’ chiaro che anche l’insieme delle matrici con m righe e n colonne è
dotato di due operazioni + e ·, definite come per M2,2 e con molta pazienza
si possono verificare tutte le proprietà elencate sopra. Siamo pronti alla
definizione generale di spazio vettoriale. Gli insiemi descritti sopra con le
operazioni somma e moltiplicazione per un numero reale vedremo che sono
gli esempi piu’ semplici, e anche piu’ importanti per le applicazioni, di spazi
vettoriali.
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Spazi vettoriali e sottospazi
Definizione 2.1. Un insieme V si dice uno spazio vettoriale reale se sono
definite due operazioni
+:V ×V
−→
V
·:R×V
−→
V
(u, v)
7→
u+v
(λ, u)
7→
λ·u
con le seguenti proprietà:
1. + è associativa, cioè (u + v) + w = u + (v + w) per ogni u, v, w ∈ V;
2. Esiste l’elemento neutro per +, cioè esiste 0 tale che 0 + u = u + 0 = u
¯
¯
¯
per ogni u in V .
4
3. Esiste l’elemento inverso per +, cioè per ogni u ∈ V esiste un vettore
a tale che a + u = u + a = 0.
¯
4. + è commutativa, cioè u + v = v + u, per ogni u, v, w ∈ V.
5. λ(u + v) = λu + λv, per ogni u, v in V , λ in R.
6. (λ + µ)u = λu + µu, per ogni u, v in V , λ in R.
7. (λµ)u = λ(µu), per ogni u in V , λ, µ in R.
8. 1u = u.
Gli elementi di uno spazio vettoriale si dicono vettori e i numeri reali si
dicono scalari. L’elemento neutro della somma in V si indica con 0 e si dice
vettore nullo.
Abbiamo già visto nel paragrafo precedente che il piano cartesiano, Rn e
le matrici sono esempi di spazi vettoriali. Vediamo ora altri esempi.
Esempio dalla fisica – I vettori applicati in un punto.
Consideriamo come insieme V l’insieme dei vettori dello spazio ordinario
applicati in uno stesso punto. Definiamo la somma di due tali vettori utilizzando la regola del parallelogramma. Con questa operazione V è un gruppo
abeliano. Il suo elemento neutro è il vettore di lunghezza zero.
Poi posso definire la moltiplicazione fra un numero reale e un vettore nel
modo seguente: se α ∈ R e ~v ∈ V allora α · ~v è il vettore applicato con
direzione uguale a ~v, lunghezza modificata di un fattore |α| e verso uguale o
discorde a ~v a seconda del segno di α.
In questo modo l’insieme dei vettori dello spazio applicati in un punto
risulta essere uno spazio vettoriale su R.
Esempio dall’analisi matematica – Le funzioni continue.
Si consideri C(R) l’insieme delle funzioni continue f : R −→ R con le
due operazioni:
(f + g)(x) = f (x) + g(x),
(λ · f )(x) = λf (x).
Nota: lo studente puo’ avere difficoltà a capire che al primo membro c’è
un’operazione tra vettori o tra uno scalare e un vettore, mentre al secondo
membro c’è un’operazione tra numeri reali. Questa differenza dovrebbe essere
chiara.
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Per esercizio verificare che C(R) è uno spazio vettoriale.
Esempio dall’algebra – I polinomi.
Si consideri Rn [x] l’insieme dei polinomi di grado minore o uguale a n
cioè
Rn [x] = {an xn + · · · + a0 |a1 . . . an ∈ R}
Per esempio x2 − 3x è un elemento di R3 [x].
Su Rn [x] possiamo definire in modo chiaro la somma di due polinomi e
la moltiplicazione di un polinomio per un numero reale:
(an xn + · · · + a0 ) + (bn xn + · · · + b0 ) = (an + bn )xn + · · · + (a0 + b0 ),
(λ · (an xn + · · · + a0 ) = (λan xn + · · · + λa0 ).
Di nuovo raccomandiamo per esercizio di verificare che si tratta di uno
spazio vettoriale.
Esercizi:
1. Si dice successione ad elementi in un campo K una qualunque applicazione s : N → K. Se s(n) = an la successione si indica anche con (an ).
Sia SR l’insieme di tutte le successioni ad elementi in R e definiamo su
di esso le seguenti operazioni:
(an ) + (bn ) = (an + bn ),
k(an ) = (kan )
per ogni (an ), (bn ) ∈ SR e k ∈ K. Dimostrare che con queste operazioni
SR è uno spazio vettoriale su R.
2. Sia R[X] l’insieme dei polinomi a coefficienti in R. Si considerino
l’operazione di somma di polinomi e l’operazioni di prodotto fra i polinomi qualunque ed i polinomi costanti. Si dimostri che con queste
operazioni R[X] è uno spazio vettoriale su R.
3. Sia F (R; R) l’insieme delle funzioni da R a R. Si considerino l’operazione
di somma di funzioni e quella di prodotto fra una funzione qualunque ed
una funzione costante. Si dimostri che con queste operazioni F (R; R)
è uno spazio vettoriale su R.
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Proposizione 2.2. Proprietà delle operazioni in uno spazio vettoriale
Sia V uno spazio vettoriale. Allora abbiamo le seguenti proprietà:
1. λ0 = 0, per ogni scalare λ ∈ R.
2. 0u = 0, per ogni u ∈ V (si noti il diverso senso dello zero al primo e al
secondo membro!).
3. Se λu = 0 allora è o λ = 0 o u = 0.
4. (−λ)u = λ(−u) = −λu per ogni λ ∈ R e u ∈ V.
Proof. Dimostriamo soltanto una di queste proprietà per dare un’idea di
come in effetti si giunge alla dimostrazione di cose che allo studente appaiono
sfortunatamente ovvie. λ0 = λ(0+0) per la proprietà (2). λ(0+0) = λ0+λ0
per la proprietà (5), dunque λ0 = λ0 + λ0. Sommiamo a entrambi i membri
−λ0 e otteniamo per la proprietà (3): 0 = λ0.
Mostrare che un insieme con due operazioni date è uno spazio vettoriale
usando la definizione è di solito una cosa abbastanza lunga e spesso complicata. Tuttavia non è questo il modo piu’ efficiente, infatti la nozione di
sottospazio vettoriale ci viene in aiuto per questo scopo.
Definizione 2.3. Sia W un sottoinsieme non vuoto dello spazio vettoriale
V . Diremo che W è un sottospazio di V se soddisfa le seguenti proprietà:
• per ogni u, v ∈ W si ha u + v ∈ W;
• per ogni u ∈ W e ogni λ ∈ R si ha λu ∈ W.
E’ importante notare che un sottospazio vettoriale W di V è in particolare
uno spazio vettoriale. Infatti sono definite le due operazioni di somma e
moltiplicazione per uno scalare e tali operazioni soddisfano tutte le proprietà
richieste dalla definizione di spazio vettoriale, poichè W è un sottoinsieme di
V . Piu’ sinteticamente possiamo dire che W è sottospazio vettoriale di V se
e solo se W ⊂ V e W è spazio vettoriale con le operazioni definite in V .
Cio’ ci permette di abbreviare notevolmente la verifica che un insieme è
spazio vettoriale. Ad esempio, se sappiamo che i polinomi R[x] sono spazio
vettoriale, allora per verificare che Rn [x], i polinomi di grado minore o uguale
a n sono uno spazio vettoriale è sufficiente verificare che la somma di due
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polinomi in Rn [x] e la moltiplicazione di un polinomio per uno scalare stanno
ancora in Rn [x]. Un bel risparmio di lavoro!
Vogliamo ora capire un po’ meglio il concetto di sottospazio vettoriale,
prima di iniziare ad usarlo negli esercizi.
Esempio 2.4. L’asse delle ascisse in R2 è un sottospazio vettoriale (abbreviamo con ssv). Infatti se sommo due vettori che giacciono sull’asse delle x
resto sempre sull’asse delle x. Lo stesso accade se moltiplico un vettore per
uno scalare. Lo stesso ragionamento mostra che una qualunque retta uscente
dall’origine è un ssv di R2 . Questa è una dimostrazione bella e intuitiva,
vogliamo pero’ vedere algebricamente una dimostrazione alternativa senza
disegnare nulla. E’ importante capire le cose geometricamente, ma anche
avere la capacità di dimostrarle algebricamente, poichè non è sempre possibile disegnare uno spazio vettoriale (ad esempio: non c’è modo di disegnare
lo spazio delle funzioni continue). Sia W la retta y = ax nel piano cartesiano.
Un punto sulla retta y = ax in R2 ha coordinate (x, ax). La somma di due
punti dà:
(x1 , ax1 ) + (x2 , ax2 ) = (x1 + x2 , a(x1 + x2 ))
che è un punto ancora sulla retta. Vediamo la moltiplicazione per uno scalare:
λ(x1 , ax1 ) = (λx1 , λax1 ).
Anche questo è un punto sulla retta y = ax (precisamente per x = λx1 ).
Dunque W è ssv del piano cartesiano.
Questo è forse l’esempio piu’ istruttivo in assoluto: vediamo infatti che
affinchè un insieme sia uno spazio vettoriale, (o un sottospazio di uno spazio
vettoriale), ogni volta che contiene un vettore deve contenere anche la retta
individuata dal vettore stesso.
Questo ragionamento geometrico ci permette di eliminare subito dalla
nostra intuizione tutta una serie di insiemi del piano che ben conosciamo
e che NON sono spazi vettoriali: circonferenze, parabole e curve varie. Lo
stesso vale ovviamente per lo spazio tridimensionale R3 . Una sfera, un’ellisse
non possono essere ssv in quanto non contengono rette. Dunque abbiamo
capito che lo spazio vettoriale in qualche modo non puo’ essere curvo, da cui
il nome appunto di algebra lineare.
Cerchiamo di spingere un poco piu’ avanti la nostra intuizione modificando l’esempio precedente. Consideriamo l’insieme W di due rette nel
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piano cartesiano, ad esempio l’asse delle ascisse e quello delle ordinate (ma
potevamo scegliere anche altre due rette a piacere purchè non coincidenti).
W è un ssv di R2 ? (pensate bene prima di leggere oltre). Certamente moltiplicando qualunque vettore per uno scalare otteniamo ancora una volta un
elemento in W . Cosa succede se sommiamo due vettori appartenenti ciascuno ad una retta diversa? E’ chiaro dalla regola del parallelogramma che la
somma starà al di fuori delle due rette, dunque W non è un ssv. Cio’ ci dice
ad esempio che l’unione di due ssv non è in generale un ssv. Torneremo piu’
avanti su questi esempi quando parleremo di combinazione lineare e span.
Esercizi: dire quali dei seguenti sottoinsiemi di spazi vettoriali sono sottospazi:
• Il sottoinsieme di R3 dato dalle coppie con la prima coordinata nulla.
• Il sottoinsieme di R3 dato dalle terne con prima coordinata uguale alla
seconda.
• L’insieme {0} costituito dal solo vettore nullo in un qualunque spazio
vettoriale.
• Il sottoinsieme dei polinomi di grado uguale a n in R[X].
• Il sottoinsieme delle matrici diagonali in M2×2 (R).
• Il sottoinsieme
triangolari superiori in M2×2 (R), cioè
X delle matrici
r s
|r, s, t ∈ R .
X=
0 t
• Il sottoinsieme
triangolari inferiori in M2×2 (R), cioè
Y delle matrici
r s
Y =
|r, s, t ∈ R .
t 0
• Il sottoinsieme di M3×3 (R) delle matrici A tali che la somma degli
elementi diagonali è uguale a zero.
• X = {(x, y, z) ∈ R3 x2 + y = 0}.
• X = {(x, y, z) ∈ R3 x + y + z = 0}.
• X = {(x, y, z) ∈ R3 x + y + z = −1}.
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