esercizio 1

ESERCITAZIONE 2
(TESTI E SOLUZIONI)
ESERCIZIO 1
Le preferenze di un consumatore per due beni x e y sono descritte dalla seguente funzione di utilità
U(x,y)=xa yb
(a, b sono parametri con valore positivo)
a) Si derivino le funzioni di domanda dei due beni
Calcoliamo per prima cosa la funzione di domanda per il bene x:
MRS = PX / PY
PX *x + PY * y = I
Deriviamo l’MRS:
MRS = MUX / MUY
Che risulta uguale a:
MRS = (a xa – 1 yb ) / (b xa yb - 1 ) = ay /bx
Sostituendo:
ay/bx = PX / PY
PX *x + PY * y = I
y = (PX *b* x ) / (a * PY )
PX *x + (PX *b* x ) / (a) = I
Da cui ricaviamo:
x
I
b
(1 ) * px
a
Analogamente, deriviamo la funzione di domanda del bene y:
y
I
a
(1 ) * p y
b
b) Si calcolino elasticità diretta ed incrociata per entrambi i beni
ELASTICITA’ DIRETTA:
 x , px 
x px
*
px x
Sostituendo:
 x , px  
I
b
(1  )
a
b
(1  ) * p 2 x
1
a
*
*
p2 x
I
 1
Analogamente, per il bene y si ha:
 y , py  
I
a
(1  )
b
a
(1  ) * p 2 y
1
b
*
*
p2 y
I
ELASTICITA’ INCROCIATA:
 x , pY 
x pY
*
pY x
che è uguale a zero in entrambi i casi.
c) Si calcoli l’elasticità rispetto al reddito del bene x
 x, I 
x I
*
I x
Sostituendo:
 1
 x,I  
1
(1 
b
) * px
a
b
* (1  ) * p x  1
a
d) Si rappresenti quale sarà l’andamento della curva di Engel del bene x così come calcolato al
punto a).
La curva di Engel ha la stessa espressione della funzione di domanda; in questo caso, però, la
variabile indipendente è I e non il prezzo.
x
1
*I
b
(1 ) * px
a
e) Si calcoli il paniere ottimo nel caso b= 0
Avendo unicamente il bene x, tutto il reddito sarà speso in esso.
x* = I / px
ESERCIZIO 2 - Soluzione
Un generico consumatore europeo impiega il proprio reddito per acquistare bevande (B) e “altri beni” (Y).
Supponendo che le sue preferenze siano descritte dalla funzione di utilità U = B 0,4 Y0,6, che abbia un reddito monetario
di M=1500€ , e che il prezzo delle bevande, fino al dicembre 2001, sia fissato in P B = 0,77€, mentre il prezzo degli
“altri beni”, PY, sia pari a 1:
1) Scrivete l’equazione della funzione di domanda per le bevande e poi trovate il consumo ottimo in litri.
Per trovare la funzione di domanda, risolvo il sistema lasciando P B e M generici:

3

3
PX
Y

PB B

 0,4Y PB
Y

P
B

B

 MRS 



2
2
 0,6 B 1  

PY

2M
3
( f .domanda)
VincoloBil ancio M  PB B  Y M  PB B  PB B  B 

5 PB

2
Per individuare la scelta ottima, inserisco nella funzione di domanda appena ricavata gli specifici P B =0,77 e
M=1500.
Ottengo:
B
2 1500
 779,22 litri
5 0,77
A seguito dell’introduzione della nuova moneta, il prezzo delle bevande viene arrotondato a P’ B = 1€.
2)
Calcolate la nuova quantità ottima di bevande.
Inserisco nella funzione di domanda PB = 1 ed ottengo B’=600
3)
Confrontate la spesa in bevande nel 2001 con quella nel 2002.
Devo confrontare PB B con P’B B’: otteniamo 0,77€*779,22=1€*600=600€. L’incremento di spesa è
nullo. (Caratteristica generale delle funzioni di utilità Cobb-Douglas).
4)
Qual è l’elasticità della domanda di bevande del consumatore rispetto al nuovo punto d’equilibrio?
Se la spesa totale non varia al variare del prezzo, l’elasticità è unitaria. Verifichiamo questa
affermazione:
B,p 
dB PB 600 PB

dPB B PB 2 B
semplificando otteniamo
5)
inserendo al posto di B l’espressione della funzione di domanda e
B,p=1
Le bevande, per il nostro consumatore, sono un bene normale?
Sì; se osserviamo la funzione di domanda, vediamo come la quantità di bevande B cresca al crescere del
reddito M: quindi, le bevande rappresentano un bene normale.
6)
In base alla precedente risposta, rappresentate graficamente gli effetti di sostituzione e di reddito derivanti
dall’aumento di prezzo.
Graficamente:
E1’
E1
-1
ER
-1
-0,77
ES
B
Il considerevole aumento di prezzo delle bevande, provoca proteste dei comitati dei consumatori e controlli dell’autorità
pubblica. Ne segue un parziale ridimensionamento dell’effetto, tale per cui PB ritorna a quota 0,8€.
7)
Ricavate nuovamente la scelta ottima del consumatore.
P’B passa da 1€ a P’’B =0,8 €; inseriamo il nuovo dato nella funzione di domanda ricavata al punto 1 ed
otteniamo:
B' ' 
2 1500
 750 (la quantità domandata risale parzialmente)
5 0,8
8)
Rappresentate graficamente gli effetti di sostituzione e di reddito derivanti dalla diminuzione di prezzo.
Graficamente:
Y
E’’2
E2
E’2
-1
-0,8
-0,8
ES
ER
B
ESERCIZIO 3
Si immagini che a Castellanza ci siano due tipi di consumatori di benzina per auto: i proprietari di
“Punto” che hanno una funzione di domanda del tipo:
DP(p) = 80 – 10p
DP(p) = 0
p≤8
p>8
Ed i proprietari di “Twingo”, che hanno, invece, una funzione di domanda del tipo:
DP(p) = 60 – 6p
DP(p) = 0
p≤10
p>10
(le quantità sono espresse in galloni per settimana ed il prezzo in euro). Si supponga che a
Castellanza abitino 300 proprietari di auto, 200 di “Punto” e 100 di “Twingo”.
a)
Se il prezzo è di 6 euro al gallone, qual è l’ammontare totale domandato da ciascun
proprietario di “Punto”? E quello domandato da ciascun proprietario di “Twingo”?
DP(p) = 80 –10*6 = 20
DT(p) = 60 –6*6 =24
b)
Qual è l’ammontare complessivo di benzina domandato dall’insieme dei proprietari di
“Punto”? E l’ammontare complessivo domandato dall’insieme dei proprietari di
“Twingo”?
DPT(p) = 200*20 = 4000
DTT(p) = 100*24 = 2400
c)
Qual è l’ammontare totale domandato dall’insieme degli abitanti di Castellanza al prezzo
di 6 euro al gallone?
DT(p) = 2400 + 4000= 6400
d)
Si disegnino in un grafico la curva di domanda complessiva di “Punto”, la curva di
domanda complessiva dei proprietari di “Twingo” e la curva di domanda di mercato di
Castellanza.
16000 – 2000p
p≤8
0
p>8
6000 – 600p
p ≤10
0
p > 10
DPT(p) =
DTT(p) =
DT(p) =
22000 – 2600p
6000 – 600p
0
p≤8
8 < p ≤ 10
p >10
Rappresentazione grafica:
p
10
8
Twingo
Punto
totale
DPT, DTT, DT
e)
Qual è l’inclinazione della curva di domanda di mercato di Castellanza quando il prezzo
della benzina è, rispettivamente, 2, 9 e 20 euro?
L’inclinazione della curva di domanda ai prezzi indicati nel testo è:
p = 2 incl.= - (1 / 2600)
p = 9 incl.= - (1 / 600)
p = 20 incl.= infinito