Economia Politica 2 - MICROECONOMIA

Economia Politica 2 - MICROECONOMIA
ESERCITAZIONE 2
Testi esercitazione 15 Ottobre 2003
SOLUZIONI
PRIMA PARTE
Si risponda alle seguenti domande:
1. Definite la condizione per cui due beni X e Y possono considerarsi sostituti perfetti.
Il saggio marginale di sostituzione tra i due beni è costante.
2. L'elasticità al reddito della domanda di champagne è 1.5. Inizialmente, un certo consumatore
spende metà del proprio reddito nell'acquisto di champagne. Come varia la percentuale di spesa
totale dedicata allo champagne nel caso che il reddito del consumatore aumenta e tutti i prezzi
restano inalterati?
Dal momento che il valore dell’elasticità del consumo di champagne al reddito è maggiore di 1, un
aumento del reddito del consumatore a prezzi costanti provoca un aumento della percentuale della
spesa totale in champagne.
3. Descrivete come varia la spesa totale di un consumatore per un dato bene quando il prezzo di
quel bene diminuisce.
Dipende dal valore dell’elasticità della domanda di quel bene al prezzo: se l’elasticità è maggiore,
in valore assoluto, di 1 (domanda elastica), una diminuzione del prezzo provoca un aumento della
spesa totale in quel bene. Se invece l’elasticità è minore, in valore assoluto, di 1 (domanda rigida),
una diminuzione del prezzo implica una riduzione della spesa totale. Soltanto se l’elasticità è
esattamente pari ad 1, la spesa totale in quel bene non cambia.
4. Raffigurate la curva di Engel per il bene X, sapendo che l’elasticità della domanda di X rispetto
al reddito è positiva.
La curva di Engel è una curva inclinata positivamente, con inclinazione che dipende dal valore
assoluto dell’elasticità.
1
5. Descrivete l’effetto di reddito e quello di sostituzione nel caso di due beni perfetti complementi.
L’effetto di sostituzione è pari a zero. L’effetto di reddito corrisponde all’effetto totale.
6. Considerate un bene inferiore. Descrivete l’effetto di una diminuzione del suo prezzo,
distinguendo gli effetti di sostituzione e di reddito. Cosa succederebbe se il bene fosse di Giffen?
Nel caso di un bene inferiore, l’effetto di sostituzione e quello di reddito non agiscono nella stessa
direzione: quando il prezzo si riduce, l’effetto di sostituzione provoca un aumento della quantità
domandata del bene, mentre quello di reddito provoca una diminuzione della quantità domandata.
Quindi, in conclusione la quantità domandata può sia aumentare che diminuire.
Nel caso di un bene di Giffen, l’effetto di reddito è talmente forte da più che compensare l’effetto di
sostituzione: come risultato, una diminuzione del prezzo del bene provocherebbe una riduzione,
anziché un aumento, della quantità domandata.
7. Definite il surplus del consumatore per una certa quantità domandata q * di un certo bene.
E’ una misura monetaria del beneficio che il consumatore deriva dallo scambio. In particolare è
dato dalla differenza tra la cifra massima che il consumatore sarebbe disponibile a pagare per
ottenere la quantità q * e il prezzo di mercato pagato per comprare quella quantità.
SECONDA PARTE
ESERCIZIO 1
Le preferenze di un consumatore per due beni x e y sono descritte dalla seguente funzione di utilità
U(x,y)=xa yb
(a, b sono parametri con valore positivo)
a) Si derivino le funzioni di domanda dei due beni
Calcoliamo per prima cosa la funzione di domanda per il bene x:
MRS = PX / PY
PX *x + PY * y = I
2
Deriviamo l’MRS:
MRS = MUX / MUY
Che risulta uguale a:
MRS = (a xa – 1 yb ) / (b xa yb - 1 ) = ay /bx
Sostituendo:
ay/bx = PX / PY
PX *x + PY * y = I
y = (PX *b* x ) / (a * PY )
PX *x + (PX *b* x ) / (a) = I
Da cui ricaviamo:
x
a I
a  b px
Analogamente, deriviamo la funzione di domanda del bene y:
y
b I
a  b py
b) Si calcolino elasticità diretta ed incrociata per entrambi i beni
ELASTICITA’ DIRETTA:
 x , px 
x px
*
px x
Sostituendo:
 x , px  
a
1
I 2
ab p x
px
a I
a  b px
 1
Analogamente, per il bene y si ha:
3
 y , py  
b
1
I 2
ab p y
py
b I
a  b py
 1
ELASTICITA’ INCROCIATA:
 x , pY 
x pY
*
pY x
che è uguale a zero in entrambi i casi.
c) Si calcoli l’elasticità rispetto al reddito del bene x
 x, I 
x I
*
I x
Sostituendo:
 x,I  
1
(1 
b
) * px
a
b
* (1  ) * p x  1
a
d) Si rappresenti quale sarà l’andamento della curva di Engel del bene x così come calcolato al
punto a).
La curva di Engel ha la stessa espressione della funzione di domanda; in questo caso, però, la
variabile indipendente è I e non il prezzo.
x
1
*I
b
(1 ) * px
a
e) Si calcoli il paniere ottimo nel caso b= 0
Avendo unicamente il bene x, tutto il reddito sarà speso in esso.
x* = I / px
4
ESERCIZIO 2
Un generico consumatore europeo impiega il proprio reddito per acquistare bevande (B) e “altri
beni” (Y). Supponendo che le sue preferenze siano descritte dalla funzione di utilità U = B0,4 Y0,6,
che abbia un reddito monetario di M=1500€ , e che il prezzo delle bevande, fino al dicembre 2001,
sia fissato in PB = 0,77€, mentre il prezzo degli “altri beni”, PY, sia pari a 1:
1) Scrivete l’equazione della funzione di domanda per le bevande e poi trovate il consumo
ottimo in litri.
Per trovare la funzione di domanda, risolvo il sistema lasciando PB e M generici:

3

3
PX
Y  PB B

 0,4Y PB
Y

P
B

B


 MRS 



2
2
 0,6 B 1  

PY

2
M
3
( f .domanda)
VincoloBil ancio M  PB B  Y M  PB B  PB B  B 

5 PB
2

Per individuare la scelta ottima, inserisco nella funzione di domanda appena ricavata gli
specifici PB =0,77 e M=1500.
Ottengo: B 
2 1500
 779,22 litri
5 0,77
A seguito dell’introduzione della nuova moneta, il prezzo delle bevande viene arrotondato a P’B =
1€.
2)
Calcolate la nuova quantità ottima di bevande.
Inserisco nella funzione di domanda PB = 1 ed ottengo B’=600
3)
Confrontate la spesa in bevande nel 2001 con quella nel 2002.
Devo confrontare PB B con P’B B’: otteniamo 0,77€*779,22=1€*600=600€.
L’incremento di spesa è nullo. (Caratteristica generale delle funzioni di utilità CobbDouglas).
4)
Qual è l’elasticità della domanda di bevande del consumatore rispetto al nuovo punto
d’equilibrio?
Se la spesa totale non varia al variare del prezzo, l’elasticità è unitaria. Verifichiamo
questa affermazione:
5
dB PB 600 PB
inserendo al posto di B l’espressione della funzione di

dPB B PB 2 B
domanda e semplificando otteniamo B,p=1
B,p 
5)
Le bevande, per il nostro consumatore, sono un bene normale?
Sì; se osserviamo la funzione di domanda, vediamo come la quantità di bevande B
cresca al crescere del reddito M: quindi, le bevande rappresentano un bene normale.
6)
In base alla precedente risposta, rappresentate graficamente gli effetti di sostituzione e di
reddito derivanti dall’aumento di prezzo.
Graficamente:
Y
E1’
E1
E1’’
-1
-1
ER
-0,77
B
ES
Il considerevole aumento di prezzo delle bevande, provoca proteste dei comitati dei consumatori e
controlli dell’autorità pubblica. Ne segue un parziale ridimensionamento dell’effetto, tale per cui PB
ritorna a quota 0,8€.
6
7)
Ricavate nuovamente la scelta ottima del consumatore.
P’B passa da 1€ a P’’B =0,8 €; inseriamo il nuovo dato nella funzione di domanda ricavata al
punto 1 ed otteniamo:
B' ' 
8)
2 1500
 750 (la quantità domandata risale parzialmente)
5 0,8
Rappresentate graficamente gli effetti di sostituzione e di reddito derivanti dalla
diminuzione di prezzo.
Graficamente:
Y
E’’2
E2
E’2
-1
-0,8
-0,8
ES
B
ER
7
ESERCIZIO 3
Si immagini che a Castellanza ci siano due tipi di consumatori di benzina per auto: i proprietari di
“Punto” che hanno una funzione di domanda del tipo:
DP(p) = 80 – 10p
DP(p) = 0
p<=8
p>8
Ed i proprietari di “Twingo”, che hanno, invece, una funzione di domanda del tipo:
DP(p) = 60 – 6p
DP(p) = 0
p<=10
p>10
(le quantità sono espresse in galloni per settimana ed il prezzo in euro). Si supponga che a
Castellanza abitino 300 proprietari di auto, 200 di “Punto” e 100 di “Twingo”.
a)
Se il prezzo è di 6 euro al gallone, qual è l’ammontare totale domandato da ciascun
proprietario di “Punto”? E quello domandato da ciascun proprietario di “Twingo”?
DP(p) = 80 –10*6 = 20
DT(p) = 60 –6*6 =24
b)
Qual è l’ammontare complessivo di benzina domandato dall’insieme dei proprietari di
“Punto”? E l’ammontare complessivo domandato dall’insieme dei proprietari di
“Twingo”?
DPT(p) = 200*20 = 4000
DTT(p) = 100*24 = 2400
c)
Qual è l’ammontare totale domandato dall’insieme degli abitanti di Castellanza al prezzo
di 6 euro al gallone?
DT(p) = 2400 + 4000= 6400
d)
Si disegnino in un grafico la curva di domanda complessiva di “Punto”, la curva di
domanda complessiva dei proprietari di “Twingo” e la curva di domanda di mercato di
Castellanza.
16000 – 2000p
p <= 8
0
p>8
6000 – 600p
p <=10
0
p > 10
22000 – 2600p
6000 – 600p
0
p <= 8
8 < p <= 10
p >10
DPT(p) =
DTT(p) =
DT(p) =
8
Rappresentazione grafica:
p
10
8
Twingo
e)
Punto
totale
DPT, DTT, DT
Qual è l’inclinazione della curva di domanda di mercato di Castellanza quando il prezzo
della benzina è, rispettivamente, 2, 9 e 20 euro?
L’inclinazione della curva di domanda ai prezzi indicati nel testo è:
p = 2 incl.= - (1 / 2600)
p = 9 incl.= - (1 / 600)
p = 20 incl.= infinito
ESERCIZIO 4
(Esame di Economia Politica II, 16 giugno 2003).
Un individuo consuma i beni x e y , ed il suo saggio marginale di sostituzione è il seguente
u / x 5

u / y x
a) Immaginate che i prezzi siano inizialmente p x  1 e p y  5 ; determinate la domanda del
bene x da parte del consumatore.
u / x 5 p x 1
 
  x  25
u / y x p y 5
b) Determinate ora la funzione di domanda per il bene x per una qualsiasi coppia di prezzi
p x e p y , e per un qualsiasi livello di reddito M
5 py
u / x 5 p x
 
x
u / y x p y
px
c) Calcolate l’elasticità al reddito della domanda di x
9
L’elasticità al reddito è nulla ( M non compare nella funzione di domanda di x )
d) Supponete ora che p x  1 e determinate la domanda di y per un qualsiasi prezzo p y , e per
un qualsiasi livello di reddito M .
Dal vincolo di bilancio:
M  py y  x  py y  5 py
y
M  5 pY M

5
py
py
ESERCIZIO 5
Supponete che un gruppo di economisti specializzati in eventi sportivi abbia ricavato la curva di
domanda relativa ai biglietti venduti per assistere alle partite di calcio interne di Milan e Inter.
Indicando con X il numero dei tagliandi venduti ciascuna domenica e con p il loro prezzo medio,
abbiamo:
X = 80.000 – 1000p
a) Disegnate la curva di domanda, specificando valori e significato delle intercette.
L’intercetta orizzontale (80000;0) indica la capienza massima dello stadio.
L’intercetta verticale (0;80) indica il prezzo medio oltre lo stadio resterebbe deserto (da p=80 in su
la domanda è nulla).
P
80
30
20
C
B
A
E1
D
E
80.000
50.000
60.000
X
10
Ipotizzate che il prezzo medio di mercato per il singolo biglietto sia p=20 euro.
b) Quanti biglietti saranno venduti all’attuale prezzo di mercato?
Se p=20, sostituisco nella funzione di domanda: X=80.000-(1.000*20)=60.000.
c) Calcolate il surplus del consumatore ed indicatene l’area nel grafico.
S = 60.000*(80-20) / 2 = 1.800.000. Nel grafico corrisponde all’area del triangolo AEC.
A causa della crisi che sta attraversando il mondo del calcio, Stato e SIAE mettono allo studio un
intervento allo scopo di raccogliere fondi da destinare alle società minori. La proposta consiste in un
aumento medio del costo del singolo biglietto pari a 10 euro.
d) Calcolate l’impatto di un tale intervento sul surplus del consumatore ed indicatene graficamente
l’area.
Se il prezzo sale a p’=20+10=30, la domanda di biglietti scende a X’=80.000-(1000*30)=50.000.
Il surplus del consumatore è ora pari all’area del triangolo BE1C e cioè :50.000*(80-30) / 2 =
1.250.000.
La variazione del surplus può essere calcolata facendo la differenza tra i due triangoli AEC e
BE1C:
S=1.800.000-1.250.000=550.000
oppure calcolando l’area del trapezio AEE1B: [(60.000+50.000)*10]/2 = 550.000.
e) Qual è l’ammontare che Stato e SIAE potranno raccogliere ogni domenica? Indicate l’area
corrispondente nel grafico.
Il totale delle entrate per Stato e SIAE è pari all’area del rettangolo ADE1B: 50.000*10=550.000.
f) Qual è la perdita netta per la società? A cosa equivale graficamente?
11
La perdita netta di benessere per la società è indicata dal triangolo (“cuneo”) DEE1 e può essere
calcolata, oltre che con la formula per l’area del triangolo, anche facendo la differenza tra perdita
netta ed entrate generate per Stato e Siae: 550.000-500.000=50.000.
g) Calcolate l’elasticità al prezzo in corrispondenza del punto iniziale; poi, mostrate nel grafico
dove l’elasticità tocca il suo punto di massimo.
 = dX/dP*P/X = (-1000)*20/60.000=-1/3.
L’elasticità è massima in valore assoluto nel punto corrispondente all’intercetta verticale ().
h) Supponete di essere gli amministratori delegati di Milan e Inter e di avere come scopo quello di
massimizzare l’incasso, quale sarebbe il prezzo medio da fissare e la quantità di biglietti che
riuscireste a vendere per ogni partita?
La spesa totale è massima nel punto in cui =1; sostituendo questo valore nell’espressione per il
calcolo dell’elasticità abbiamo: 1=1000*P/X;
esplicitando il sistema per X otteniamo: X=1000*P;
se inseriamo questo valore nella funzione di domanda abbiamo: 1000P=80.000-1000P, da cui
P=40 e X=40.000 (coordinate corrispondenti al punto medio della curva di domanda). A tali valori
è associato un incasso massimo di 1.600.000 euro.
12