Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Capitolo 8
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
8.1
Definizione di derivata
Sia y = f (x) definita nell’intervallo A e sia fissato x0 ∈ A. Diamo a x0 un arbitrario
incremento ∆x 6= 0 su A, e indichiamo con ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) il corrispondente
incremento della funzione. Il rapporto ∆y/∆x si chiama rapporto incrementale della funzione
y = f (x) relativo al punto x0 ; esso è una funzione della variabile ∆x, definita nell’insieme E
di tutti i ∆x 6= 0 tali che x0 + ∆x ∈ A. Il punto ∆x = 0 è di accumulazione per E e perciò
possiamo esaminare se esiste il limite del rapporto incrementale al tendere di ∆x a zero.
Se accade che esista determinato e finito il
lim
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
∆y
= lim
,
∆x ∆x→0
∆x
(8.1)
noi diremo che la funzione y = f (x) è derivabile nel punto x0 e chiameremo tale limite la
derivata della funzione y = f (x) nel punto x0 , designando la derivata col simbolo f 0 (x0 ).
Si ha dunque la seguente definizione di derivata:
f 0 (x0 ) = lim
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
∆x
(8.2)
tutte le volte che il limite esiste determinato e finito.
Diremo poi che la funzione è derivabile nell’intervallo A se essa è derivabile in ogni punto
x ∈ A. Se ciò accade, per ogni punto x ∈ A resta ben determinato il corrispondente valore
f 0 (x) della derivata; nasce cosı̀ in A una funzione f 0 (x) che si chiama funzione derivata,
o semplicemente derivata, della data funzione f (x). Oltre che col simbolo f 0 (x) si suole
indicare la derivata anche con la notazione Df (x).
Si vede subito che se la funzione f (x) è derivabile nell’intervallo A lo è anche la funzione
cf (x), con c costante, e si ha:
D[cf (x)] = c D f (x).
(8.3)
Diamo ora alcuni esempi di funzioni derivabili, calcolando le loro derivate.
Consideriamo la funzione y = c (costante). Per ogni incremento ∆x 6= 0 della variabile,
si ha ∆y = 0 e perciò il rapporto incrementale è sempre nullo. Dunque
D c = 0.
65
(8.4)
Capitolo 8. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Per la funzione y = x si ha, evidentemente, ∆y/∆x = 1 e quindi, qualunque sia x:
D x = 1.
(8.5)
Consideriamo la funzione y = loga x (con a > 0, a 6= 1) che è definita per x > 0. Si ha
loga (x + ∆x) − loga x
∆y
∆x 1/∆x
=
= loga 1 +
∆x
∆x
x
ovvero, ponendo 1/∆x = ξ:
1/x ξ
loga 1 +
.
ξ
Tenuto conto che per ∆x → 0 si ha ξ → ∞, applicando le (6.4) e (6.10) si deduce
∆y
1/x ξ
1/x ξ
1
lim
= lim loga 1 +
= loga lim 1 +
= loga e.
∆x
ξ
ξ
x
∆x→0
ξ→∞
ξ→∞
Si ha dunque
1
loga e,
x
ed in particolare, se si tratta di logaritmi naturali,
D loga x =
D log x =
1
,
x
(x > 0),
(x > 0).
(8.6)
(8.7)
Le (8.6) e (8.7) mettono in evidenza perché, nelle considerazioni teoriche, i logaritmi
naturali sono i più opportuni.
Consideriamo la funzione y = sin x. Per ogni x si ha
sin(x + ∆x) − sin x
2 cos(x + ∆x/2) sin(∆x/2)
sin(∆x/2)
∆y
=
=
=
cos(x + ∆x/2);
∆x
∆x
∆x
∆x/2
in virtù di note proprietà si deduce:
lim
∆x→0
∆y
= 1 · cos x
∆x
ossia
D sin x = cos x.
(8.8)
Considerata la funzione y = cos x, si ha per ogni x:
∆y
cos(x + ∆x) − cos x
−2 sin(x + ∆x/2) sin(∆x/2)
sin(∆x/2)
=
=
= − sin(x + ∆x/2)
,
∆x
∆x
∆x
∆x/2
66
8.2. Interpretazione geometrica della derivata
donde
D cos x = − sin x.
(8.9)
Consideriamo la funzione y = tan x. Per ogni x 6= (2k + 1)π/2 (k intero) si ha
sin(x + ∆x)
sin x
−
∆y
1
tan(x + ∆x) − tan x
sin(∆x)
cos(x + ∆x) cos x
=
=
=
∆x
∆x
∆x
∆x cos x cos(x + ∆x)
e quindi
D tan x =
1
cos 2 x
Osserviamo il seguente risultato:
x 6= (2k + 1)
π
.
2
(8.10)
8.1.I Se la funzione f (x) è derivabile in un punto x0 ∈ A essa è continua nel punto x0 . Di
conseguenza, se è derivabile nell’intervallo A, essa è continua nell’intervallo A.
Dim. – Infatti si ha per ipotesi:
lim
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
= f 0 (x0 )
∆x
e quindi si può scrivere:
lim [f (x0 + ∆x) − f (x0 )] = lim
∆x→0
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
· ∆x = f 0 (x0 ) · 0 = 0,
∆x
cioè
lim f (x0 + ∆x) = f (x0 ).
∆x→0
Si tenga presente che non è vero il viceversa, cioè una funzione f (x) continua può non
essere derivabile. Inoltre, se la f (x) è derivabile, la sua derivata f 0 (x) in generale non è
continua.
8.2
Interpretazione geometrica della derivata
Data una funzione f (x) continua in un intervallo A, consideriamone il grafico γ. Presi su γ
due punti P0 [x0 , f (x0 )], P [x0 + ∆x, f (x0 + ∆x)], osserviamo che, al tendere di ∆x a zero, il
punto P varia e tende a P0 ; infatti l’ascissa x0 + ∆x di P tende all’scissa x0 di P0 e, in virtù
della continuità di f (x), lo stesso avviene per le ordinate.
Ricordiamo ora una importante definizione: si chiama retta tangente alla curva γ nel
punto P0 la posizione limite (se esiste) di una secante s ≡ P0 P della curva stessa, quando il
punto P , variando sulla curva, tende al punto P0 .
67
Capitolo 8. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Esaminiamo ora sotto quali condizioni esiste la retta tangente definita sopra. Osserviamo
che la secante P0 P ha coefficiente angolare uguale a [f (x0 + ∆x) − f (x0 )]/∆x, cioè uguale
al rapporto incrementale della f (x), e quindi ha equazione
y − f (x0 ) =
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
(x − x0 ).
∆x
(8.11)
Per far tendere P a P0 occorre, come detto, far tendere ∆x a zero. Ricordando la
definizione di derivata è chiaro che, se la funzione f (x) è derivabile nel punto x0 , la retta
(8.11) ammette la posizione limite s0 di equazione
y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 );
(8.12)
esiste quindi la retta tangente a γ nel punto P0 che risulta essere una retta non parallela
all’asse y e rappresentata dall’equazione (8.12).
Se la f (x) non è derivabile nel punto x0 , possono presentarsi due casi: 1) per ∆x che
tende a zero il rapporto incrementale ha limite +∞ o −∞; 2) per ∆x che tende a zero il
rapporto incrementale non ha limite.
Nel primo caso, in cui si suol dire che la f (x) ha in x0 derivata infinita, basta scrivere la
(8.11) nel modo seguente
1
[y − f (x0 )] = x − x0
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
∆x
per vedere immediatamente che la secante s ha come limite la retta di equazione x − x0 = 0.
Dunque: se nel punto x0 la f (x) ha derivata infinita, la retta (8.11) ammette la posizione
limite s0 di equazione x − x0 = 0: esiste pertanto la tangente a γ nel punto P0 che risulta
essere la parallela all’asse delle ordinate passante per tale punto.
Nel secondo caso, in cui non esiste il limite del rapporto incrementale, la retta (8.11) non
ha posizione limite per ∆x che tende a zero e quindi la curva γ non ammette tangente nel
punto P0 .
Sempre considerando il caso in cui manca il limite del rapporto incrementale, può tuttavia
accadere che esistano, finiti o infiniti, diversi fra loro, i due limiti
lim
∆x→0 −
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
,
∆x
lim
∆x→0 +
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
∆x
(8.13)
che si chiamano rispettivamente la derivata a sinistra (eventualmente infinita) e la derivata
e destra (eventualmente infinita) della f (x) nel punto x0 . Si vede allora facilmente che nel
corrispondente punto P0 del grafico γ si può parlare di una tangente a sinistra (eventualmente
parallela all’asse y) e di una tangente a destra (eventualmente parallela all’asse y). Si tenga
presente che, pur essendo distinti i due limiti (8.13), può darsi che le due tangenti a sinistra
68
8.3. Definizione e proprietà del differenziale
e a destra si sovrappongano; è ovvio che ciò avviene soltanto quando uno dei detti limiti è
+∞ e l’altro −∞, avendosi allora la coincidenza delle due tangenti nella parallela all’asse y
condotta per P0 . Se le due tangenti sono distinte, il punto P0 si dice punto angoloso di γ; se
invece coincidono nella parallela all’asse y, il punto P0 si dice una cuspide di γ.
8.3
Definizione e proprietà del differenziale
Sia y = f (x) derivabile nell’intervallo A. Se x, x + ∆x ∈ A, chiameremo differenziale della
funzione f (x) il prodotto f 0 (x)∆x e lo indicheremo col simbolo dy ovvero df (x):
dy = df (x) = f 0 (x)∆x.
(8.14)
Se si applica questa definizione alla particolare funzione f (x) = x, si ottiene — essendo
= 1 — dx = ∆x, per cui si può dire che il differenziale della variabile indipendente x
coincide con l’incremento della variabile stessa. Ne deriva che la (8.14) può anche scriversi
f 0 (x)
dy = df (x) = f 0 (x)dx
(8.15)
e perciò il differenziale di una funzione f (x) è uguale al prodotto della derivata per il
differenziale della variabile indipendente.
Dalla (8.15) segue
dy
(8.16)
dx
cosicché la derivata di una funzione può essere considerata come il rapporto fra il differenziale
della funzione stessa ed il differenziale della variabile indipendente.
f 0 (x) =
Il differenziale di una funzione ha una semplice interpretazione geometrica sul grafico
della funzione stessa. La tangente nel punto P [x, f (x)] del grafico ha equazione
Y − f (x) = f 0 (x)(X − x)
avendo designato con X, Y le coordinate correnti (cioè di un punto variabile sulla tangente),
cosicché quel punto Q della tangente che ha l’ascissa X = x + ∆x viene ad avere un’ordinata
Y definita dalla Y − f (x) = f 0 (x)∆x ossia, per la (8.14), Y − f (x) = df (x).
Si può dunque dire: il differenziale di una funzione f (x) è uguale all’incremento dell’ordinata di un punto Q mobile sulla tangente alla curva y = f (x) nel suo punto di ascissa x,
quando l’ascissa di Q passa dal valore x al valore x + ∆x.
Mettiamo ora in relazione l’incremento ∆y = f (x + ∆x) − f (x) della funzione con il
differenziale dy = f 0 (x)∆x. Sussiste la seguente importante formula
∆y = dy + o(∆x),
69
(8.17)
Capitolo 8. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
ove o(∆x), lo ricordiamo, denota un infinitesimo di ordine superiore rispetto a ∆x. Per
dimostrare la (8.17) occorre far vedere che
lim
∆x→0
∆y − dy
= 0,
∆x
(8.18)
e ciò è immediato perché
∆y − dy
∆y
=
− f 0 (x)
∆x
∆x
e, per ∆x → 0, il secondo membro tende a zero, per definizione di derivata.
Supposto che sia f 0 (x) 6= 0 e quindi dy 6= 0, la (8.17) ci dice che, quando ∆x è sufficientemente piccolo, si può praticamente confondere l’incremento ∆y col differenziale dy; si suole
dire che il differenziale dy fornisce la parte principale dell’incremento differenziale ∆y. Ciò
non è più vero se f 0 (x) = 0 ossia dy = 0; allora la parte principale di ∆y ha altre espressioni,
come vedremo in seguito.
Osserviamo ancora che il rapporto (∆y − dy)/∆x considerato in (8.18) è una funzione
ω(∆x) dell’incremento ∆x, definita e continua per ∆x 6= 0; essa non ha senso per ∆x = 0
(cioè ∆x = 0 appare come un punto singolare di essa), ma la (8.18) ci dice che tale punto
singolare si può eliminare ponendo ω(0) = 0. Si può pertanto scrivere ∆y − dy = ω(∆x)∆x,
ossia
∆y = [f 0 (x) + ω(∆x)]∆x
(8.19)
in ogni caso (anche se ∆x = 0), essendo ω(∆x) una opportuna funzione continua, nulla per
∆x = 0.
8.4
Derivazione della funzione inversa e delle funzioni composte
Sia y = f (x) definita nell’intervallo A ed ivi continua e crescente oppure decrescente; sappiamo che essa è dotata di funzione inversa x = g(y). Sussiste allora il seguente risultato
8.4.I Se f (x) è derivabile con derivata non nulla, anche la funzione inversa x = g(y) è
derivabile con derivata non nulla e vale la relazione
g 0 (y) =
1
f 0 (x)
.
(8.20)
Dim. – Per provare che la g(y) è derivabile, dobbiamo provare che esiste determinato e finito
il limite
g(y + ∆y) − g(y)
lim
.
(8.21)
∆y
∆y→0
All’incremento ∆y 6= 0 della y corrisponde un certo incremento ∆x 6= 0 della x e si ha
g(y + ∆y) = x + ∆x, g(y) = x, ∆y = f (x + ∆x) − f (x). Inoltre, poiché dalla continuità di
70
8.4. Derivazione della funzione inversa e delle funzioni composte
f (x) segue quella di g(y), al tendere di ∆y a zero anche ∆x tende a zero. Perciò al limite
(8.21) possiamo sostituire il seguente
lim
∆x→0
(x + ∆x) − x
1
.
= lim
f (x + ∆x) − f (x) ∆x→0 f (x + ∆x) − f (x)
∆x
Poiché per ipotesi
lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
= f 0 (x) 6= 0,
∆x
si conclude che il limite (8.21) vale 1/f 0 (x). Dunque g 0 (y) = 1/f 0 (x), ossia la (8.20).
Notiamo che, ricorrendo alla notazione coi differenziali vista in precedenza, la (8.20) si
esprime cosı̀
dy dx
·
= 1,
dx dy
cioè con una identità fra i differenziali.
Applichiamo ora questo risultato al calcolo di alcune derivate fondamentali.
La funzione y = a x (a > 0, a 6= 1) è definita in (−∞, +∞) ed ha la funzione inversa
x = loga y. Quest’ultima ha la derivata (1/x) loga e che è sempre 6= 0 per cui, in virtù della
(8.20), si ha per ogni x:
1
D ax =
= y loge a
1
loga e
y
ossia
D a x = a x loge a,
(8.22)
D e x = e x.
(8.23)
ed in particolare, per a = e:
La funzione y = arcsin x è definita in [−1, 1] e si ha
−
π
π
6y6 .
2
2
(8.24)
Essa ha la funzione inversa x = sin y che ha la derivata cos y la quale è diversa da zero
per |y| =
6 π/2, ossia per |x| =
6 1. Ne segue che per |x| =
6 1 si ha
D arcsin x =
1
;
cos y
p
ma cos y = + 1 − sin 2 y — con segno + in virtù della (8.24) — e quindi
D arcsin x = √
1
1 − x2
71
(per |x| =
6 1).
(8.25)
Capitolo 8. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
In modo del tutto analogo si dimostra la
D arccos x = − √
1
1 − x2
(per |x| =
6 1).
(8.26)
La funzione y = arctan x è definita in (−∞, +∞) e si ha
−
π
π
<y< .
2
2
La funzione inversa è x = tan y che ha la derivata 1/ cos 2 y. Dunque per ogni x si ha
D arctan x =
1
1
=
1
1 + tan 2 y
cos 2 y
ossia
D arctan x =
1
.
1 + x2
(8.27)
Studiamo ora la derivazione delle funzioni composte. Sia data la funzione y = f (x)
definita nell’intervallo A dell’asse x e supponiamo che il suo coinsieme sia contenuto in un
certo intervallo intervallo B dell’asse y. In B sia poi definita la funzione u = ϕ(y). Possiamo
allora considerare in A la funzione composta u = F (x) con F (x) = ϕ[f (x)].
Vogliamo dimostrare la seguente proposizione:
8.4.II Se la funzione y = f (x) è derivabile in A, se la funzione u = ϕ(y) è derivabile in B,
allora la funzione composta u=F(x) è derivabile in A e si ha
F 0 (x) = ϕ0 (y) · f 0 (x)
con
y = f (x).
(8.28)
Dim. – Siano x, x+ ∆x con (∆x 6= 0) due punti arbitrari di A; y = f (x), y + ∆y = f (x+ ∆x)
i corrispondenti valori della funzione y = f (x). Per provare l’esistenza della derivata F 0 (x),
dobbiamo considerare il limite per ∆x → 0 del rapporto incrementale
∆F
F (x + ∆x) − F (x)
ϕ[f (x + ∆x)] − ϕ[f (x)]
ϕ(y + ∆y) − ϕ(y)
=
=
=
.
∆x
∆x
∆x
∆x
Può essere ∆y 6= 0 o anche ∆y = 0, ma sappiamo che in ogni caso si ha:
ϕ(y + ∆y) − ϕ(y) = [ϕ0 (y) + ω(∆y)] · ∆y,
con ω(∆y) funzione continua e nulla per ∆y = 0; possiamo dunque scrivere
∆y
∆F
= [ϕ0 (y) + ω(∆y)] ·
.
∆x
∆x
72
(8.29)
8.4. Derivazione della funzione inversa e delle funzioni composte
Facciamo ora tendere ∆x a zero. Per la supposta derivabilità della y = f (x), il rapporto
∆y/∆x tende a f 0 (x); dalla (8.29) si trae quindi
lim
∆x→0
∆F
= ϕ0 (y) · f 0 (x)
∆x
e questo prova la (8.28).
Ricorrendo alla notazione coi differenziali, questo risultato si può formulare nel modo
seguente
du dy
du
=
·
;
dx
dy dx
si riduce cioè ad una semplice identità fra i differenziali. La proposizione 8.4.II è molto utile
nel calcolo delle derivate. Vediamo qui pochi esempi di applicazione al calcolo di alcune
derivate fondamentali.
La funzione u = x α con α numero reale qualsiasi — che possiamo supporre diverso da 0
e da 1, essendo questi due casi già contemplati dalle (8.4) e (8.5) — è definita in ogni caso
per x > 0 e nel punto x = 0 ha senso solo se α > 0. È poi definita per x < 0 soltanto se
l’esponente α è un numero razionale positivo o negativo m/n con m, n primi tra loro e n
dispari.
Cominciamo col supporre x > 0. Allora si può scrivere u = e α log x e quindi la nostra
funzione appare come composta mediante le due
y = α log x,
u = ey.
Applicando la 8.4.II e tenendo conto delle (8.3), (8.7), (8.23), si ricava
D xα = ey ·
α
α
= xα · .
x
x
ossia
D x α = α x α−1 .
(8.30)
Dimostriamo ora che, nell’ipotesi α = m/n con m, n primi tra loro e n dispari, la stessa
formula vale anche per x < 0. Infatti in tal caso si può scrivere u = x α = (−1) α (−x) α e la
funzione si può considerare come composta mediante
y = −x,
u = (−1) α y α
(con y > 0).
Ne segue per la 8.4.II, tenendo conto delle (8.3), (8.5), (8.30):
D x α = (−1) α α y α−1 · (−1) = α(−1) α+1 (−x) α−1 = α x α−1 .
Infine, nel punto x = 0, la (8.30) vale ancora se α > 1; infatti il rapporto incrementale
relativo a tale punto è (∆x) α /∆x = (∆x) α−1 e, se α > 1 tende a zero per ∆x → 0.
73
Capitolo 8. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Osservato che la (8.30) comprende le (8.4), (8.5), si può concludere che la (8.30) vale in
ogni punto x ove hanno senso sia x α che x α−1 .
La funzione u = log |x| è definita per x 6= 0 e coincide con la u = log x se x > 0; per
x < 0 è composta mediante le
y = −x,
u = log y
(con y > 0).
Se ne deduce che, per x < 0, si ha
D log |x| =
1
1
· (−1) = .
y
x
Dunque, in ogni caso, sussiste la formula
D log |x| =
1
x
(8.31)
che comprende la (8.7).
Dalla derivazione delle funzioni composte si ottiene un’altra notevole proprietà del differenziale. Considerata la funzione u = ϕ[f (x)] composta mediante le u = ϕ(y), y = f (x),
se pensiamo u come funzione della y, il suo differenziale è dato da
ϕ0 (y)dy;
(8.32)
se pensiamo u come funzione della x, il suo differenziale è
D ϕ[f (x)]dx.
(8.33)
Ora è importante notare che le due espressioni (8.32), (8.33) sono uguali. Infatti, per la
8.4.II si ha che la (8.33) vale ϕ0 (y)f 0 (x)dx; ma f 0 (x)dx = dy e quindi D ϕ[f (x)]dx = ϕ0 (y)dy.
Perciò il differenziale di una funzione u = ϕ(y) ha la stessa espressione tanto se y è variabile
indipendente quanto se dipende da un’altra variabile x.
8.5
Regole di derivazione
Dimostriamo ora alcune proposizioni relative alla derivazione di funzioni ottenute combinando, secondo diverse operazioni, funzioni più semplici.
8.5.I Se f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) sono funzioni derivabili in un medesimo intervallo A, se
c1 , c2 , . . . , cn sono delle costanti, la combinazione lineare
f (x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x)
è derivabile in A e si ha
D f (x) = c1 D f1 (x) + c2 D f2 (x) + . . . + cn D fn (x).
74
(8.34)
8.5. Regole di derivazione
Dim. – Dato a x l’incremento ∆x su A si ha
∆f = c1 ∆f1 + c2 ∆f2 + . . . + cn ∆fn
e quindi
∆f1
∆f2
∆f
∆fn
= c1
+ c2
+ . . . + cn
.
∆x
∆x
∆x
∆x
Passando al limite per ∆x → 0 ed applicando il 6.4.VI si ottiene la (8.34).
8.5.II Se le funzioni f (x), g(x) sono derivabili in un medesimo intervallo A, anche il loro
prodotto è derivabile in A e si ha
D [f (x)g(x)] = D f (x) · g(x) + f (x) · D g(x).
(8.35)
Dim. – Posto F (x) = f (x)g(x), si può scrivere
∆F
f (x + ∆x)g(x + ∆x) − f (x)g(x)
∆f
∆g
=
= g(x + ∆x)
+ f (x)
.
∆x
∆x
∆x
∆x
Passando al limite per ∆x → 0, si deduce facilmente la (8.35).
Da questa regola si ricava immediatamente quella per il calcolo della derivata di un
prodotto di tre o più fattori. In generale: la derivata del prodotto di n fattori derivabili
esiste ed è data dalla somma di n termini che si ottengono dal prodotto stesso sostituendo
al primo, secondo, . . . , n-esimo fattore la rispettiva derivata.
8.5.III Se la funzione f (x) è derivabile nell’intervallo A, in ogni punto di A in cui sia
f (x) 6= 0 è anche derivabile la funzione 1/f (x) e si ha
D
1
D f (x)
=−
.
f (x)
[f (x)] 2
(8.36)
Dim. – Se nel punto x è f (x) 6= 0, si può determinare un numero σ > 0 tale che per
0 < |∆x| < σ sia ancora f (x + ∆x) 6= 0. Per 0 < |∆x| < σ si può allora scrivere
1
1
1
f (x + ∆x) − f (x)
−
−
f (x)
f (x + ∆x) f (x)
∆x
=
=
,
∆x
∆x
f (x)f (x + ∆x)
∆
e passando al limite per ∆x → 0, si trova la (8.36).
8.5.IV Se le funzioni f (x), g(x) sono derivabili nell’intervallo A, in ogni punto di A in cui
è g(x) 6= 0 è anche derivabile il quoziente f (x)/g(x) e si ha
D
D f (x) · g(x) − f (x) · D g(x)
f (x)
=
.
g(x)
[g(x)] 2
75
(8.37)
Capitolo 8. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Dim. – Basta scrivere f /g = f · (1/g) ed applicare le (8.35) e (8.36).
Le regole precedenti si possono mettere in altra forma facendovi comparire i differenziali
delle funzioni considerate. Alle regole di derivazione (8.34),(8.35),(8.36),(8.37) vengono allora
a corrispondere altrettante regole di differenziazione che si ottengono da quelle semplicemente
moltiplicando ambo i membri per dx. Si trovano allora le
d(c1 f1 + c2 f2 + . . . + cn fn ) = c1 df1 + c2 df2 + . . . + cn dfn ,
d(f g) = g df + f dg,
8.6
d
1
df
= − 2,
f
f
d
f
g df − f dg
.
=
g
g2
Funzioni iperboliche e loro derivate
Introduciamo ora le cosiddette funzioni iperboliche, che presentano grande analogia con le
funzioni circolari e sono molto usate nelle applicazioni.
Si chiama coseno iperbolico, e si indica con cosh x, la funzione definita in (−∞, +∞) dalla
formula
e x + e −x
cosh x =
.
(8.38)
2
Il suo grafico è una curva detta catenaria e si costruisce immediatamente, una volta
disegnate le curve delle funzioni y = e x , y = e −x , come mostrato in figura 8.1.
y = e −x
6
y
y = ex
5
4
y = cosh x
3
2
1
−4
−3
−2
1
−1
2
3
Figura 8.1: Grafico della funzione y = cosh x.
76
4
x
8.6. Funzioni iperboliche e loro derivate
Si chiama seno iperbolico, e si indica con sinh x, la funzione definita in (−∞, +∞) dalla
formula
e x − e −x
sinh x =
.
(8.39)
2
Il suo grafico si costruisce immediatamente, una volta disegnate le curve delle funzioni
y = e x , y = −e −x , come mostrato in figura 8.2.
y
y = ex
5
4
y = sinh x
3
2
1
−4
−3
−2
1
−1
−1
2
3
4
x
−2
−3
−4
y = −e −x
−5
Figura 8.2: Grafico della funzione y = sinh x.
Osservato che si ha sempre cosh x 6= 0, si può definire in (−∞, +∞) la tangente iperbolica
mediante la formula
sinh x
e x − e −x
tanh x =
= x
.
cosh x
e + e −x
Si può anche scrivere
tanh x =
e 2x − 1
e 2x + 1
oppure
77
tanh x =
1 − e −2x
1 + e −2x
Capitolo 8. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
ed è allora evidente che
lim tanh x = −1,
lim tanh x = 1.
x→−∞
x→+∞
Se ne deduce facilmente il grafico di figura 8.3.
y
1
y = tanh x
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
−1
2
3
4
5
6
x
Figura 8.3: Grafico della funzione y = tanh x.
Si considera anche, per x 6= 0, la cotangente iperbolica di x, definita dalla formula
coth x =
il cui grafico è mostrato nella figura 8.4.
cosh x
e x + e −x
= x
sinh x
e − e −x
y
5
4
3
2
1
y = coth x
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
−1
2
3
−2
−3
−4
−5
Figura 8.4: Grafico della funzione y = coth x.
78
4
5
6
x
8.7. Tabella delle derivate fondamentali ed applicazione delle regole di derivazione
Fra le funzioni iperboliche intercorrono numerose relazioni che ricordano quelle relative
alle funzioni circolari. Facendo uso delle (8.38),(8.39), si dimostrano facilmente le seguenti:
cosh 2 x − sinh 2 x = 1,
sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y,
cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y,
dalle quali segue in particolare
sinh 2x = 2 sinh x cosh y,
cosh 2x = cosh 2 x + sinh 2 x.
Le derivate delle funzioni iperboliche si calcolano immediatamente applicando le regole
viste in precedenza. Si ottiene
D cosh x =
e x − e −x
= sinh x,
2
D sinh x =
e x + e −x
= cosh x,
2
D tanh x = D
D coth x = D
8.7
1
sinh x
cosh 2 x − sinh 2 x
=
,
=
2
cosh x
cosh x
cosh 2 x
cosh x
sinh 2 x − cosh 2 x
1
=
=−
.
sinh x
sinh 2 x
sinh 2 x
Tabella delle derivate fondamentali ed applicazione delle regole di
derivazione
La tabella delle derivate fondamentali, riportata nella pagina seguente, riunisce le derivate
che abbiamo dimostrato nelle pagine precedenti e che costituiscono un indispensabile nucleo
di conoscenze del calcolo differenziale.
Per mezzo di queste derivate fondamentali, delle regole di derivazione proposte in precedenza e dell’applicazione della 8.4.II, si possono calcolare le derivate di tutte le funzioni
composte mediante funzioni elementari.
79
Capitolo 8. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Tabella delle derivate fondamentali
Dc = 0
D a x = a x loge a (D e x = e x )
1
1
D loga |x| = loga e
D log |x| =
x
x
D x α = αx α−1
Dx = 1
D
D sinh x = cosh x
1
1
=− 2
x
x
D cosh x = sinh x
√
1
D x= √
2 x
D tanh x =
D sin x = cos x
D coth x = −
D cos x = − sin x
D arcsin x = √
D tan x =
1
cos 2 x
D cot x = −
1
cosh 2 x
1
sinh 2 x
1
1 − x2
D arccos x = − √
1
sin 2 x
D arctan x =
1
1 − x2
1
1 + x2
Illustriamo l’applicazione della 8.4.II. Quando si deve in pratica derivare una funzione
composta ϕ[f (x)], è inutile fare la posizione f (x) = y; basta pensare di derivare la funzione
ϕ come se la variabile indipendente fosse f (x) e poi moltoplicare la derivata ottenuta per la
derivata della f (x).
Si scrive cioè, in conformità con la (8.28):
D ϕ[f (x)] = ϕ0 [f (x)] · f 0 (x).
In pratica si incontrano anche funzioni generate mediante ripetute formazioni di funzioni
composte. Ad esempio, per una funzione del tipo ψ{ϕ[f (x)]}, la derivata si calcola applicando
due volte la 8.4.II e cioè si procede cosı̀: si deriva la ψ come se la variabile indipendente fosse
ϕ[f (x)], si moltiplica la derivata ottenuta per la derivata della ϕ calcolata come se la variabile
indipendente fosse f (x) e poi si moltiplica ancora per la derivata della f (x).
Osserviamo infine che se si devono derivare funzioni del tipo y = [f (x)] g(x) , con f (x) > 0,
basta scrivere
y = e g(x) log f (x)
per avere, in virtù delle regole viste,
De
g(x) log f (x)
=e
g(x) log f (x)
f 0 (x)
g (x) log f (x) + g(x)
.
f (x)
80
0
8.8. Derivate successive. Differenziali successivi
8.8
Derivate successive. Differenziali successivi
Sia f (x) una funzione derivabile nell’intervallo A. La sua derivata f 0 (x) può essere a sua
volta una funzione derivabile in A; derivandola si ottiene una nuova funzione che è naturale
chiamare la derivata seconda della f (x) e che si indica con uno dei simboli f 00 (x), D 2 f (x). Se
a sua volta la f 00 (x) è derivabile in A, possiamo parlare della derivata della derivata seconda,
che chiameremo derivata terza della f (x) ed indicheremo con f 000 (x) o con D 3 f (x). Se questo
procedimento di derivazione successiva può applicarsi n volte, risulteranno definite in A la
derivata prima, come anche si chiama f (x), la derivata seconda, terza, . . ., n-esima della f (x),
quest’ultima da indicarsi con f (n) (x) oppure D n f (x). Può anche darsi che il procedimento
non si arresti mai e si possa considerare la derivata n-esima della f (x) con un arbitrario n;
si dice allora che la f (x) ammette in A derivate di ordine comunque elevato, oppure che
è derivabile quante volte si vuole. Ciò accade per le funzioni elementari presentate nella
tabella delle derivate fondamentali.
Osserviamo che, dato un polinomio in x di grado n
f (x) = a0 x n + a1 x n−1 + . . . + an−1 x + an ,
la sua derivata prima è un polinomio di grado n − 1, la derivata seconda un polinomio di
grado n − 2, . . ., la derivata n-esima è la costante n! a0 , mentre tutte le derivate successive
alla n-esima sono identicamente nulle.
Se f (x), g(x) sono due funzioni derivabili almeno n volte, esiste una formula notevole,
detta di Leibnitz, che esprime la derivata n-esima del prodotto f (x)g(x) e che estende la
(8.35). Essa si scrive
n X
n
D [f (x)g(x)] =
D n−k f (x) · D k g(x),
k
n
(8.40)
k=0
ove si deve intendere che D 0 f (x) = f (x), D 0 g(x) = g(x). Si noti l’analogia della (8.40) con
la formula del binomio di Newton. La (8.40) è vera per n = 1, riducendosi in tal caso alla
(8.35).
Introduciamo infine una notazione ampiamente usata. Se A è un intervallo e n un intero
positivo, indicheremo con C n (A) la classe delle funzioni f (x) che ammettono in A le derivate
f 0 (x), f 00 (x), . . . , f (n) (x) con quest’ultima derivata continua in A.
Pertanto la scrittura f (x) ∈ C n (A) — oppure la frase: f (x) è in A di classe C n —
significa che in A la f (x) è dotata di derivata n-esima continua. Si suole includere il caso
n = 0, cioè scrivere f (x) ∈ C 0 (A) per esprimere che f (x) è continua in A.
Si suole anche indicare con C ∞ (A) la classe delle funzioni f (x) che in A ammettono
derivate di ordine comunque elevato (necessariamente continue).
Molte volte si sottintende l’intervallo A e si scrive semplicemente f (x) ∈ C n , f (x) ∈ C ∞ .
81
Capitolo 8. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Il differenziale dy = f 0 (x)dx si chiama anche il differenziale primo (o di primo ordine) della
funzione y = f (x) e dipende dalle due variabili x e dx. Supposto che la f (x) abbia derivata
seconda, chiameremo differenziale secondo (o di secondo ordine) della f (x), e lo indicheremo
con d 2 y o d 2 f (x), il differenziale del differenziale primo, calcolato con la convenzione di
considerare dx come una costante. Si ha cioè:
ossia
d 2 y = d(dy) = d[f 0 (x)dx] = D[f 0 (x)dx] · dx = f 00 (x)dx · dx
d 2 y = f 00 (x)dx 2 ,
ove dx 2 significa (dx) 2 .
Ammessa poi l’esistenza di f 000 (x) si può, sempre con la predetta convenzione riguardo
dx, definire il differenziale terzo o di terzo ordine d 3 y come il differenziale del differenziale
secondo e si trova che esso vale
d 3 y = f 000 (x)dx 3 .
In generale, se esiste la derivata n-esima si può parlare del differenziale n-esimo o di
ordine n:
d n y = f (n) (x)dx n .
Ciò conduce anche alla notazione, molto usata per indicare la derivata n-esima:
f (n) (x) =
d ny
.
dx n
Per i differenziali di ordine superiore a 1 non vale la proprietà osservata in precedenza per
il differenziale primo, cioè: i differenziali successivi di una funzione ϕ(y) non hanno in generale
la stessa espressione se y è variabile indipendente oppure se è funzione di un’altra variabile
x. Ciò risulta evidente se si pensa che, se y è variabile indipendente, possiamo considerare
dy come una costante e generare i differenziali successivi nel modo appena descritto; ma se
y = f (x) ciò non è più possibile. Mettiamo in luce questo fatto sul differenziale secondo.
Data la u = ϕ(y), se y è variabile indipendente si ha
d 2 u = ϕ00 (y)dy 2 ;
(8.41)
se invece y = f (x), si ha
d 2 u = d{ϕ0 [f (x)]f 0 (x)dx} = D{ϕ0 [f (x)]f 0 (x)dx} · dx
2
= {ϕ00 [f (x)]f 0 (x)dx + ϕ0 [f (x)]f 00 (x)dx} · dx
2
= ϕ00 [f (x)]f 0 (x)dx 2 + ϕ0 [f (x)]f 00 (x)dx 2 ,
ossia
d 2 u = ϕ00 (y)dy 2 + ϕ0 (y)d 2 y,
(8.42)
espressione diversa dalla (8.41). Si noti che alla (8.42) si arriva più speditamente utilizzando
le regole di differenziazione viste in precedenza; si procede cosı̀:
d 2 u = d[ϕ0 (y)dy] = dϕ0 (y) · dy + ϕ0 (y) · d(dy) = ϕ00 (y)dy 2 + ϕ0 (y)d 2 y.
82
8.9. Forme indeterminate. Teorema di De L’Hospital
8.9
Forme indeterminate. Teorema di De L’Hospital
Abbiamo già considerato le forme indeterminate ∞−∞, 0·∞, 0/0, ∞/∞ sia per le successioni
che per le funzioni di una variabile.
Riferendoci alle funzioni, aggiungiamo ora che altre forme indeterminate si possono presentare quando si debba studiare il limite (per x → 0 o per x → ±∞) di una funzione del
tipo [f (x)] g(x) , con f (x) > 0. Precisamente ciò avviene nei tre seguenti casi:
lim f (x) = 0,
lim g(x) = 0;
(forma indeterminata 0 0 ),
(8.43)
lim f (x) = 1,
lim g(x) = ∞;
(forma indeterminata 1 ∞ ),
(8.44)
lim f (x) = ∞,
lim g(x) = 0;
(forma indeterminata ∞ 0 ).
(8.45)
Infatti, scrivendo
[f (x)] g(x) = e g(x) log f (x) ,
(8.46)
si vede subito che nei casi (8.43),(8.44),(8.45) l’esponente g(x) log f (x) presenta rispettivamente la forma indeterminata1 0 · ∞, ∞ · 0, 0 · ∞.
Si hanno cosı̀ in tutto sette forme indeterminate ma, in base a quello che si è appena
detto, si vede che basta considerare le prime quattro. Inoltre, modificando opportunamente
l’espressione della funzione, anche le forme indeterminate ∞−∞, 0·∞, si possono ricondurre
alle 0/0, ∞/∞. Infatti, se lim f (x) = ∞, lim g(x) = +∞, scrivendo
f (x) − g(x) = log
e f (x)
e g(x)
(8.47)
si vede che il rapporto indicato a secondo membro dà luogo alla forma indeterminata ∞/∞;
cosı̀ la forma ∞ − ∞ è ricondotta alla ∞/∞. Analogamente, se lim f (x) = 0, lim g(x) = ∞,
scrivendo
f (x)
g(x)
f (x)g(x) =
oppure
(8.48)
1
1
g(x)
f (x)
si riconduce la 0 · ∞ alla 0/0 oppure alla ∞/∞.
Pertanto si può limitare lo studio delle forme indeterminate ai due casi 0/0, ∞/∞.
Ciò premesso, per lo studio delle predette forme indeterminate è molto utile il seguente
teorema.
1
Si osservi che non sono forme indeterminate 0 +∞ , 0 −∞ ; infatti, si vede subito, utilizzando la (8.46), che
si ha: 0 +∞ = 0, 0 −∞ = +∞.
83
Capitolo 8. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
8.9.I (Teorema di de L’Hospital) Assegnato un intervallo A [limitato o no] sia x0 il
suo estremo sinistro [eventualmente −∞]; dette f (x) e g(x) due assegnate funzioni definite
in A0 ottenuto da A togliendogli il suo punto x0 , risultando g 0 (x) 6= 0, ∀ x ∈ A0 , se f e g
sono entrambe infinitesime entrambe infinite per x → x0+ e se esiste determinato (finito o
infinito) il
f 0 (x)
= λ,
lim
0
x→x + g (x)
0
allora esiste anche determinato il limite di f /g e si ha
lim
x→x0 +
f (x)
= λ.
g(x)
Analogamente per x → x0− se x0 è l’estremo destro [eventualmente +∞] di A.
Se x0 è un punto interno all’intervallo A, si può operare sia per x → x0− che per x → x0+
e quindi, se esiste
f 0 (x)
= λ,
lim 0
x→x0 g (x)
allora esiste
lim
x→x0
f (x)
= λ.
g(x)
Da quanto precede si può affermare che quando si deve esaminare il limite del rapporto
f (x)/g(x) e questo conduce ad una delle forme indeterminate 0/0 oppure ∞/∞, conviene
esaminare, nelle ipotesi dette, il rapporto f 0 (x)/g 0 (x) delle derivate; se quest’ultimo ammette limite (finito o o infinito), allora si può asserire l’esistenza del corrispondente limite di
f (x)/g(x) che viene ad avere lo stesso valore.
Se f (x)/g(x) e f 0 (x)/g 0 (x) danno luogo a forme indeterminate dei tipi considerati, conviene esaminare, se possibile, il rapporto f 00 (x)/g 00 (x). Se quest’ultimo ammette limite,
esisterà con il medesimo valore anche quello di f 0 (x)/g 0 (x) e quindi quello di f (x)/g(x).
84