Trasmissione del calore

Università di Roma – Tor Vergata
Facoltà di Ingegneria – Dipartimento di Ingegneria Industriale
Corso di:
“TERMOTECNICA 1”
TRASMISSIONE DEL CALORE:
Conduzione
Ing. G. Bovesecchi
[email protected]
06-7259-7127 (7249)
Anno Accademico 2012-2013
Trasmissione del calore - Conduzione
Il calore è quella forma di energia che si manifesta nel passaggio da
un corpo ad un altro quando fra i due vi è differenza di temperatura.
CONDUZIONE
La conduzione termica è quel fenomeno di trasmissione di calore
all’interno di corpi solidi, liquidi, gassosi, che si manifesta quando
non si ha movimento apparente di materia.
Secondo la legge di Fourier il flusso termico per conduzione ed il
gradiente di temperatura sono proporzionali. Il fattore di
proporzionalità è rappresentato dalla conduttività termica λ [W/m2K].
Trasmissione del calore - Conduzione
La conduttività termica è una proprietà termofisica che dipende:
  dal tipo di materiale;
  dalla temperatura;
  dalla pressione (in alcuni casi);
  dalla direzione di propagazione del calore (ad esempio in
materiali fortemente anisotropi, quali i monocristalli o i
compositi).
La conduttività termica λ è la risultante di due componenti: quella
elettronica λe e quella fononica λf.
La prima è legata al movimento degli elettroni liberi e risulta quindi
predominante per i buoni conduttori elettrici, ad esempio i metalli; la
seconda è dovuta alla propagazione delle vibrazioni del reticolo
cristallino.
Trasmissione del calore - Conduzione
Per la maggior parte dei materiali si arriva a stabilire una legge di
proporzionalità fra la conduttività termica e quella elettrica. Essa è
indicata come legge di Wiedemann-Franz:
λ
= L ⋅T
λ0
dove T è la temperatura assoluta ed L la costante di Lorenz che vale
24,5·10-9 W2/A2K2.
La legge è valida per i conduttori dove vi è accordo tra i meccanismi
di propagazione dell’elettricità e del calore. Un’eccezione a tale
legge è costituita dai semiconduttori, che possono avere alta
conduttività elettrica e bassa conduttività termica, in quanto per essi
ai meccanismi sopra descritti si sovrappongono fenomeni particolari
(transizione dalla banda di valenza a quella di conduzione) tipici dei
semiconduttori in determinati campi di temperatura.
Trasmissione del calore - Conduzione
Per i metalli puri la conduttività termica diminuisce generalmente al
crescere della temperatura.
Per le sostanze allo stato liquido la conduttività termica diminuisce
all’aumentare della temperatura e cresce al crescere della pressione.
Nei gas la conduttività termica può essere considerata indipendente
dalla pressione e cresce con la temperatura.
Nei dielettrici (isolanti) prevale la componente fononica (vibrazioni
del reticolo) su quella elettronica, praticamente inesistente.
Trasmissione del calore - Conduzione
METODI DI MISURA DELLA CONDUTTIVITÀ TERMICA
Vi sono due classi principali di metodi per la misura della conduttività
termica dei materiali:
  metodi stazionari;
  metodi transitori.
Nei metodi stazionari il campione di materiale in esame è sottoposto
al passaggio di calore in condizioni indipendenti dal tempo. Fra i
metodi stazionari si possono distinguere quelli longitudinali e quelli
radiali.
  Anello di guardia riscaldato (Guarded hot plate): si tratta di
montare due campioni (ad es. due lastre di 0,5 x 0,5 m2) in modo
da racchiudere un riscaldatore circondato da un anello di guardia.
Trasmissione del calore - Conduzione
3
2
T
1
1
T
2
3 - pozzo di calore
2 - materiale in esame
2
T
2
3
T
1
1 - riscaldatore
!
Trasmissione del calore - Conduzione
L’anello di guardia ha lo scopo di assicurare che il flusso sia
unidirezionale, in direzione perpendicolare alle superfici delle
lastre. Oltre il campione viene inserito un pozzo di calore (heat
sink), ad esempio una sorgente fredda ottenuta con la circolazione
di acqua refrigerata, con lo scopo di assorbire il calore prodotto dal
riscaldatore.
Dalle misure delle differenze di temperatura tra punti vicino alle
superfici dei due campioni si ha:
1 Q Δx
λ=
2 A ΔT
( 1/2 perché il flusso generato elettricamente è ripartito suoi due
campioni). La difficoltà di questo metodo consiste nella misura
precisa del flusso termico che attraversa le lastre in direzione
trasversale.
Trasmissione del calore - Conduzione
Pertanto spesso si preferisce effettuare una misura relativa,
inserendo oltre al campione un materiale a λ nota. Dalla caduta di
temperatura su di esso si può misurare il flusso e quindi λ del
materiale.
4
3
2
1
2
3
4
T
1
T
2
T
3
T
4
T
4
T
3
T
2
T
1
4 - pozzo di calore
3 - materiale di riferimento
2 - materiale in esame
1 - riscaldatore
!
Trasmissione del calore - Conduzione
λnoto A (T2 − T1 )

Q=
∆x
 x
T2 − T1 )
Q∆
(
λ=
= λnoto
A (T4 − T3 )
(T4 − T3 )
Analoghi sono i metodi radiali, in cui la sorgente è un filo (o un
cilindro) riscaldato e il campione è un cilindro cavo sul cui asse c’è
il riscaldatore. L’esterno del cilindro è raffreddato da un pozzo di
calore. La conduttività termica è data dalla seguente relazione:
r
Q ln
r
λ =
2 π l (T − T )
dove r1 e r2 sono i raggi dei punti dove vengono effettuate le misure
di temperatura, e T1 e T2 tali temperature.
2
1
1
2
Trasmissione del calore - Conduzione
Con i metodi transitori si fornisce calore al campione di materiale in
esame, si misura il transitorio di temperatura e da questo si calcola
la diffusivittà termica α da cui, conoscendo ρ e cp, si determina la
conduttività termica λ, essendo per definizione:
λ
α=
ρc
p
I metodi transitori vengono distinti in periodici e impulsivi.
Periodici: una sorgente di calore di andamento sinusoidale nel
tempo è applicata ad una superficie del campione. All’altra
superficie si misura l’andamento della temperatura che risulta
spostato di fase e attenuato. Sia dall’attenuazione che dallo
spostamento di fase si ricava la diffusività termica.
Impulsivi: al campione viene applicato un improvviso flusso
termico, con andamento a gradino o a impulso (delta di Dirac).
Trasmissione del calore - Conduzione
Confrontando l’andamento di temperatura in un punto particolare
(dove viene misurata), con l’andamento teorico che presenta come
unico parametro la diffusività termica, si può determinare
quest’ultima. Ad esempio nel flash-method un impulso (o un
gradino) viene applicato come condizione al contorno su una
superficie di una lastra (ad esempio mediante irraggiamento di un
flash fotografico, o mediante l’improvvisa accensione di una
lampada), e la risposta di temperatura sulla faccia opposta fornisce
la diffusività termica.
Un metodo intermedio tra quelli stazionari e quelli transitori è
quello della perfect line source. Si ha una sonda verticale (o un filo)
in cui si ha una generazione di calore (ad esempio per passaggio di
corrente). Se si considera il filo indefinitivamente lungo (perfect line
source) e il materiale esteso infinitamente in direzione radiale dal
filo, l’equazione differenziale risulta:
Trasmissione del calore - Conduzione
∂ T 1 ∂T Q ϑ 1 ∂T
+
+
=
∂r r ∂r
λ
α ∂τ
2
2
(con τ il tempo dall’inizio del riscaldamento). L’equazione
precedente in forma integrale assume la seguente espressione:
Q 1
T −T = ⋅
L 4πλ
∞
∫
0
−
r2
4 ατ
e
dx
x
−x
che non è risolubile analiticamente. Si può fare un’approssimazione
per tempi lunghi: espandendo in serie l’integrale risulta:
Q 1 $
ατ '
T − T =ϑ ≅ ⋅
& −0.5772 − ln )
L 4πλ %
r (
T0 è la temperatura iniziale del filo. L’andamento della temperatura
in un qualsiasi punto (anche nella sorgente stessa) risulta lineare nel
logaritmo del tempo.
0
2
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3.5
Temperatura (°C)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-20
0
20
40
60
80
100
tempo (s)
Se si fa la differenza tra i valori misurati di T-T0 ad un determinato
tempo τ e ad un valore di riferimento τ2 , si ottiene:
ϑ −ϑ =
2
q
ln (τ − τ )
4πλ
2
Trasmissione del calore - Conduzione
che ha un andamento lineare in coordinate logaritmiche. La
conduttività termica risulta proporzionale alla pendenza della retta
che rappresenta tale andamento.
3.5
temperatura (°C)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
1
10
100
tem po (s)
Il metodo funziona bene per liquidi (soprattutto l’hot wire) nella
zona in cui non c’è convezione (che appare quando la curva
logaritmica piega), in mezzi porosi e nei solidi.
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In particolare per quest’ultimi è preferibile il metodo della sonda
(probe method), concettualmente analogo, ma in cui il filo
riscaldante è inserito bifilare all’interno di un tubo, in genere di
acciaio. La sonda così ottenuta si comporta come il generatore
lineare di calore. Le sonde risultano portatili, e possono essere
infilate in fori di diametro opportuno praticati nei materiali oggetto
di prova.
Motivi di incertezza del metodo:
  conduzione assiale: la lunghezza deve essere molto maggiore del
diametro (almeno 60 volte, meglio 100) perché siano garantite le
condizioni di sorgente infinitamente lunga. Sempre per questo
scopo un isolamento del fondo del recipiente dove viene messo il
materiale al cui interno è inserita la sonda deve essere isolato;
Trasmissione del calore - Conduzione
  Le proprietà termofisiche della sonda devono essere tali da
influenzare poco la misura, rispetto al filo caldo teorico; per
questo la sonda deve essere il più possibile piccola di diametro
  resistenza di contatto tra la soda e il mezzo, che può produrre un
riscaldamento non omogeneo del mezzo, e in ogni caso rende il
diametro effettivo della sonda maggiore
  per i mezzi porosi, il wall effect, cioè il fatto che se le particelle
del mezzo sono confrontabili con il diametro della sonda si
misura prevalentemente la conduttività termica del fluido
interstiziale piuttosto che quella del mezzo nel suo complesso.