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Prima edizione: settembre 2005
Pt5 - Successioni e serie di funzioni
ISBN 88-513-0309-6
Ristampe
8 7 6 5 4 3 2 1
2005 2006 2007 2008
Questo volume è stato stampato presso:
Officina Grafica Iride
Via. Prov.le Arzano-Casandrino, VII Trav., 24 - Arzano (NA)
Della stessa collana:
Pt1
Pt2
Pt3
Pt4
Pt6
Pt7
Pt8
Limiti, continuità, calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale
Studio di funzioni
Integrali di funzioni di una variabile reale
Serie numeriche
Limiti, continuità, calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali
Integrali di funzioni di due o più variabili reali
Equazioni differenziali
Se
sistemi editoriali
Professionisti, tecnici e imprese
Gruppo Editoriale Esselibri - Simone
Coordinamento redazionale: Carla Iodice, Stefano Minieri
Il capitolo terzo è dell’ingegnere Domenico Oliva
Impaginazione: Carmela De Marco
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(art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30)
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www.sistemieditoriali.it/puntoexe
3
Prefazione
Questo testo è pensato per coloro che vogliono acquisire sicurezza nello svolgimento di esercizi
su successioni e serie di funzioni.
Il volume si divide in due parti: la prima è dedicata allo studio della convergenza di successioni di
funzioni; nella seconda parte vengono svolti esercizi sulla convergenza di serie di funzioni, in
particolare sulla convergenza di serie di potenze, sullo sviluppo in serie di Taylor e sullo sviluppo
in serie di Fourier.
Prima di ogni tipo di esercizio sono brevemente richiamate nozioni teoriche, utili ai fini della risoluzione, ma è consigliabile, comunque, dedicarsi allo svolgimento degli esercizi solo dopo aver
acquisito, su testi specialistici, padronanza nella parte teorica.
Con la speranza che questo compendio possa essere utile e riuscire nel suo intento, con l’invito
ai lettori di voler fornire osservazioni e suggerimenti, ringrazio l’Editore e tutti coloro i quali rivolgeranno la loro attenzione a questo testo.
Prefazione
ESTER CAPUANO
Indice dei simboli
>
<
≥
≤
≠
≅
±
∞
→
∀
∈
∉
∪
∩
⊂
⊆
⊄
⇒
⇔
N
Z
R
log( )
e
lim
f'(x)
f
(n )
(x )
maggiore
minore
maggiore o uguale
minore o uguale
diverso da
circa uguale a
più o meno
infinito
tende a
per ogni
appartiene
non appartiene
unione tra insiemi
intersezione tra insiemi
sottoinsieme proprio
sottoinsieme
non è sottoinsieme
implicazione
doppia implicazione
insieme dei numeri naturali
insieme dei numeri relativi
insieme dei numeri reali
logaritmo neperiano
numero di Nepero
limite
derivata prima
derivata n–esima
∫
∑
integrale
sommatoria
(f )
successione di funzioni
fn
termine generico della successione di funzioni
n n ∈N
(a )
successione numerica
(s )
successione delle somme parziali
sn
termine generico della successione delle somme parziali
n n ∈N
n n ∈N
■1
1.1
5
Successioni di funzioni
Definizioni e teoremi
Sia (fn )n ∈N una successione di funzioni tale che ogni fn è definita in un intervallo I di R a valori in
R ; cioè tale che fn : I → R , ∀n ∈N .
Una successione di funzioni, come una successione numerica, può convergere, divergere positivamente, divergere negativamente o non ammettere limite.
In questo paragrafo enunceremo alcune definizioni e alcuni teoremi che ci permettono di studiare
la convergenza di una successione di funzioni.
DEFINIZIONE 1.1.1
Diremo che la successione (fn )n ∈N converge puntualmente se, comunque scelgo un x ∈I, si ha:
lim fn ( x ) = f ( x )
n →∞
cioè si ha che:
∀x ∈I , ∀ε > 0, ∃ν x ,ε ∈N : ∀n ≥ ν x ,ε ,| fn (x ) − f (x )|<ε
In altre parole, se fissiamo x ∈I, otteniamo una successione numerica:
f1(x),…, fn(x),…
allora, dire che (fn )n ∈N converge puntualmente equivale a dire che la successione numerica su scritta,
{
}
che in maniera sintetica si indica con fn ( x )
ESEMPIO DI
n ∈N
, converge.
CONVERGENZA PUNTUALE
La successione fn ( x ) = x n converge puntualmente in [0,1], alla funzione:
Segue che la scelta di n dipende sia da ε che da x; nel caso in cui n non dipende da x, parleremo
di convergenza uniforme.
In maniera più rigorosa:
DEFINIZIONE 1.1.2
Diremo che (fn )n ∈N converge uniformemente verso f se:
∀ε > 0, ∃ν ε ∈N : ∀n ≥ ν ε ,| fn (x ) − f (x )| <ε
∀x ∈I
1. Successioni di funzioni
0 per 0 ≤ x < 1
f (x ) =
1 per x = 1
6
Per la convergenza uniforme si è soliti scrivere:
u.
lim fn ( x ) = f ( x )
n →∞
Osserviamo che la convergenza uniforme implica la convergenza puntuale, ma non vale il contrario (un controesempio è fornito nell’esercizio n. 1.1.1).
TEOREMA (CARATTERIZZAZIONE DELLA CONVERGENZA
UNIFORME)
Se fn e f sono limitate in I, allora la successione di funzioni (fn )n ∈N converge uniformemente verso
f se e solo se la successione di termine generale:
{sup { f (x ) − f (x ) : x ∈l }}
n
n ∈N
è infinitesima, ovvero se e solo se:
lim sn = 0
n →∞
{
}
avendo posto sn = sup fn ( x ) − f ( x ) : x ∈l .
ESEMPIO
DI CONVERGENZA UNIFORME
La successione di funzioni:
fn ( x ) =
sen(nx )
n
converge uniformemente in R alla funzione identicamente nulla. Infatti:
sen(nx ) 1
≤
n
n
quindi ∃ν ∈N : ∀n ≥ ν ,
∀x ∈R
sen(nx )
≤ ε , ∀x ∈R .
n
Successioni e serie di funzioni
Diamo adesso alcune definizioni ed enunciamo alcuni teoremi notevoli, utili per la risoluzione
degli esercizi.
DEFINIZIONE 1.1.3
La successione (fn )n ∈N si dice:
— equilimitata in I se:
∃M > 0: fn ( x ) < M , ∀n ∈N , ∀x ∈I
— equicontinua in I se:
∀ε > 0, ∃δ ε > 0 :| x − y |< δ ε ,| fn (x ) − fn ( y )|< ε ,
∀n ∈N
7
TEOREMA (ASCOLI - ARZELÀ)
Se (fn )n ∈N è una successione equilimitata ed equicontinua nell’intervallo chiuso e limitato I, allora
essa ammette un’estratta che converge uniformemente in I.
TEOREMA (CRITERIO
DI CONVERGENZA DI
CAUCHY)
La successione di funzioni (fn )n ∈N converge uniformemente verso una funzione f definita in I se e
solo se:
∀ε > 0, ∃ν ε ∈N : ∀n,m ≥ ν ε ,| fn ( x ) − fm ( x ) |< ε
TEOREMA (CONTINUITÀ DEL
LIMITE UNIFORME)
Se (fn )n ∈N converge uniformemente ad f e fn è continua in x0, allora f è continua in x0.
TEOREMA (DERIVABILITÀ DEL LIMITE
UNIFORME)
Sia (fn )n ∈N una successione di funzioni derivabili in un intervallo I = (a,b) e convergente puntualmente in I verso f. Se (f 'n )n ∈N converge uniformemente in I, allora f è derivabile e si ha:
u.
lim f 'n ( x ) = f 'n ( x )
∀x ∈I
n →∞
TEOREMA (PASSAGGIO
AL LIMITE SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE)
Sia (fn )n ∈N una successione di funzioni definite in I = [a, b] e convergente uniformemente verso f.
Allora si ha:
lim
n →∞
∫
b
a
fn (x )dx =
b
∫ f ( x )dx
a
Esercizi sulle successioni di funzioni
Esercizio n. 1.1.1
fn ( x ) = x n
∀x ∈( 0,1)
provare che converge puntualmente alla funzione f (x) = 0, ma che non converge uniformemente.
Il limite puntuale di questa successione è:
✌
lim fn ( x ) = lim x n
n →∞
n →∞
poiché x ∈]0,1[, allora, per ogni x, la successione converge puntualmente alla funzione identicamente nulla.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme, osserviamo che sia f (x) che fn (x) sono limitate
nell’intervallo (0,1).
1. Successioni di funzioni
Assegnata la successione di funzioni definita nel seguente modo:
8
La funzione f (x) = 0 è la funzione identicamente nulla ed è ovviamente limitata; la successione
fn(x) è limitata, infatti, se:
x ∈(0,1) ⇒ 0 < x < 1⇒ 0 < x n < 1⇒ fn
è limitata ∀n ∈N
Allora consideriamo la successione degli sn:
✌
{
{
}
}
sn = sup fn ( x ) − f ( x ) : x ∈( 0,1) = sup x n : x ∈( 0,1) = 1
ed è ovvio che tale successione non è infinitesima.
Esercizio n. 1.1.2
Assegnata la successione di funzioni:
fn ( x ) = x n
∀n ∈N , ∀x ∈(0,1)
provare che converge uniformemente alla funzione identicamente nulla f (x) = 0 in ogni intervallo
del tipo (0,a) con a ∈(0,1).
✌ Abbiamo già visto nell’esercizio n. 1.1.1 che la successione assegnata converge puntualmente alla funzione f (x) = 0, ma non converge uniformemente.
Consideriamo ora la successione:
{
}
{
}
sn = sup fn ( x ) − f ( x ) : x ∈( 0,a ) = sup x n : x ∈( 0,a ) = a n
con a ∈( 0,1)
Quindi:
✌
lim sn = lim a n = 0
n →∞
n →∞
allora fn converge uniformemente a zero.
È possibile provare che fn converge uniformemente in ogni intervallo (–a,a) con a ∈(0,1).
Esercizio n. 1.1.3
Assegnata la successione di funzioni:
Successioni e serie di funzioni
fn ( x ) = x − n
∀x ∈(1, +∞ )
studiarne la convergenza.
✌
lim fn ( x ) = lim x − n = 0
n →∞
n →∞
poiché x > 1, fn converge puntualmente alla funzione nulla.
Consideriamo la successione:
{
}
{
}
sn = sup fn ( x ) − f ( x ) : x > 1 = sup x − n : x > 1 = 1
9
Tale successione è costantemente uguale a 1, quindi:
✌
lim sn = 1
n →∞
la successione non è infinitesima, quindi la successione di funzioni non converge uniformemente
a zero nell’intervallo (1,+∞).
Esercizio n. 1.1.4
Studiare la convergenza della successione di funzioni definita da:
fn ( x ) = x − n
x ∈(a, +∞ )
∀a > 1
✌ Nell’esercizio n. 1.1.3 abbiamo visto che, fissato un qualsiasi x, fn converge puntualmente a
zero.
Ora, per la convergenza uniforme, consideriamo la successione:
{
{
}
}
sn = sup fn ( x ) − f ( x ) : x > a = sup x − n : x > a = a − n
Poiché, per a > 1:
✌
lim a − n = 0
n →∞
ciò significa che la successione di funzioni assegnata converge uniformemente a zero nell’intervallo (a,+∞), a > 1.
Esercizio n. 1.1.5
Studiare la convergenza della successione di funzioni definita da:
fn ( x ) =
(1+ nx )
2
Il limite puntuale della successione è:
lim fn ( x ) = lim
n →∞
✌
∀x ∈(0,1)
n →∞
n
(1+ nx )
2
=0
La successione assegnata non è limitata, quindi non c’è convergenza uniforme.
1. Successioni di funzioni
✔
n
10
Esercizio n. 1.1.6
Assegnata la successione:
fn ( x ) =
1
nx
∀x ∈( 0,1)
studiarne la convergenza.
✔
Il limite puntuale è:
lim fn ( x ) = lim
n →∞
✌
n →∞
1
=0
nx
La successione assegnata non è limitata, quindi non c’è convergenza uniforme.
Esercizio n. 1.1.7
Assegnata la successione:
fn ( x ) =
n2
1+ n 2 x 2
∀x ∈( 0,1)
studiarne la convergenza.
✔
Il limite puntuale è:
1
n2
= 2
n →∞ 1+ n 2 x 2
x
lim fn ( x ) = lim
n →∞
✌
Poiché fn e f non sono limitate non c’è convergenza uniforme.
Esercizio n. 1.1.8
Successioni e serie di funzioni
Stabilire per quali x la successione di funzioni:
(
n
lim fn ( x ) = lim n
(
fn ( x ) = n
)
x −1
converge.
Determinare l’intervallo di convergenza.
∀n pari, la successione è definita ∀x ≥ 0.
Per x = 0, si ha:
n →∞
n →∞
n
)
x − 1 = −∞
✌
11
Per x > 0, si ha:
lim fn ( x ) = lim n
n →∞
✔
n →∞
(
n
)
x − 1 = log x
Quest’ultimo limite è ottenuto nel seguente modo:
n
poniamo
(
n
)
1
x n −1
x −1 =
1
n
1
= t e per n → +∞ si ha che t → 0+, allora:
n
lim+
xt −1
= log x
t
lim
ax −1
= loga
x
t →0
avendo utilizzato il limite fondamentale:
x →0
Per determinare l’intervallo di convergenza, consideriamo la successione:
g n ( x ) = fn ( x ) − f ( x ) = n
(
n
)
x − 1 − log x
Calcoliamo la derivata di tale funzione:
g 'n ( x ) = n
1
1
−1
−1
1 1 1
1 n1 −1 1
1
x − = x n − = x n − x −1 = x −1 x n − 1 = x n − 1
n
x
x
x
Tale funzione è definita ovunque (avendo già supposto x > 0); si annulla nel punto x = 1.
Studiamo il segno della derivata:
g 'n ( x ) =
1
1 n1
x − 1 > 0 ⇒ x n − 1> 0 ⇒ x > 1; x > 0
x
Quindi, la successione gn:
Questo significa che il punto 1 è un punto di minimo e gn(1) = 0.
Da tutto ciò deduciamo che la successione che abbiamo definito è sempre non negativa, allora la
successione fn converge uniformemente in ogni intervallo del tipo [a,b], con 0 < a < b.
Infatti se a =1, si ha:
{
}
{
}
{
}
sn = max fn ( x ) − f ( x ) : x ∈1,b = max g n ( x ) : x ∈1,b = max g n ( x ) : x ∈1,b = g n (b )
Ora:
✌
lim n
n →∞
(
n
)
b − 1 − logb = logb − logb = 0
allora la convergenza uniforme è provata.
1. Successioni di funzioni
— cresce per x > 1;
— decresce nell’intervallo (0,1).
Indice Generale
Prefazione ..................................................................................................................... Pag.
3
■ 1 Successioni di funzioni
1.1
Definizioni e teoremi .............................................................................................
Esercizi sulle successioni di funzioni ...................................................................
»
»
5
7
Definizioni e prime proprietà ................................................................................
Esercizi sulle serie di funzioni ..............................................................................
Serie di potenze ...................................................................................................
Esercizi sulle serie di potenze ..............................................................................
Serie di Taylor .......................................................................................................
Esercizi sulle serie di Taylor e di Mac Laurin ........................................................
Serie di Fourier .....................................................................................................
Esercizi sulle serie di Fourier ...............................................................................
»
»
»
»
»
»
»
»
19
25
42
45
67
74
97
101
■ 3 Applicazioni delle serie di funzioni alla fisica ...............................................
»
117
■ 2 Serie di funzioni
2.1
2.2
2.3
2.4
Cosa contiene il CD ROM
✔
Introduzione a Matlab
di Robert Bucher (della Scuola Universitaria Professionale della Svizzera Italiana)
Matlab è uno dei programmi scientifici di maggior diffusione, grazie alle sue numerose applicazioni in campi quali l’elettronica, la controllistica, l’analisi dei segnali, l’elaborazione di immagini, la chimica, la statistica e numerosi altri.
Viene utilizzato in molti corsi universitari e di ingegneria, e sono ormai numerose le pubblicazioni scientifiche che utilizzano l’ambiente di Matlab quale sostegno matematico della teoria.
✔
✔
Software free per il calcolo scientifico
Programmi (completamente gratuiti) alternativi a Matlab
Guida alle risorse Internet per gli studenti delle facoltà tecniche e scientifiche
Una esaustiva raccolta di link alle risorse gratuite disponibili online
Aggiornamenti, risorse, esercizi svolti sono disponibili al seguente indirizzo internet:
www.sistemieditoriali.it/puntoexe
