macchina sincrona.

MACCHINA SINCRONA.
NOTA: la trattazione fa riferimento alla Macchina Sincrona (MS) Isotropa e Lineare. Solo alla fine si farà qualche
cenno alla MS a poli salienti, e al caso di macchina non lineare.
PARTE I : STRUTTURA E PRINCIPI DI FUNZIONAMENTO
1. Generalità e caratteristiche costruttive.
La macchina sincrona (MS) è una macchina elettrica rotante, funzionante in corrente alternata, chiamata sincrona
perché la velocità di rotazione è la stessa del campo rotante. Come visto nello studio del Campo Rotante, tale velocità è:
120  f
  rad 
oppure N o 
0 
 rpm


p
p 2  s 
dove p è il numero di poli della macchina, ω e f sono pulsazione e frequenza delle grandezze elettriche ai morsetti.
La MS è costituita da due strutture magnetiche affacciate al traferro:
- una è preposta a generare un campo magnetico stazionario, e per questo è chiamata induttore, o struttura di campo
(field, in inglese), o di eccitazione; questa struttura solitamente è interna, e solitamente è quella rotante (rotore);
- l’altra struttura alloggia un avvolgimento in cui vengono indotte fem, e per questo è detta indotto; viene anche indicata
come armatura (armature, in inglese); questa struttura solitamente è esterna, e solitamente è stazionaria (statore).
In relazione all’andamento della riluttanza del traferro, lungo la periferia del traferro stesso, le MS
sono di due tipi: a riluttanza costante (MS Isotropa) o variabile (MS Anisotropa).
In entrambe le tipologie, l’indotto è un cilindro ferromagnetico cavo, in cui la superficie interna
(quella prospiciente al traferro) è dotata di cave, per alloggiare l’avvolgimento; di solito
l’avvolgimento è trifase simmetrico, di norma collegato a stella, e presenta p poli (p è sempre pari).
L’induttore è conformato in modo da realizzare p polarità magnetiche alternate; p è uguale al numero di poli
dell’avvolgimento di statore. Il campo magnetico è statico, per cui può essere creato o con magneti permanenti (MP), o
con avvolgimenti percorsi da corrente continua. Più in dettaglio, le polarità magnetiche possono essere realizzate nei
seguenti modi: 1) poli salienti con avv. concentrati, 2) poli lisci con avv. distribuiti, 3) MP superficiali (“surface), 4) MP
interni (“interior”, “buried”, embedded”), 5) MP magnetizzati circonferenzialmente e inseriti come delle razze
(“spoke”). Ricordando che la permeabilità di un MP è prossima a quella dell’aria, si comprende che le strutture 2) e 3)
sono isotrope, le 1) 4) 5) anisotrope. La fig. 1.1 mostra uno schema di principio delle varie tipologie di induttore.
S
N

S




N
S
N
polarità alternate
da realizzare
 








 

avvolg.
MP interni
MP superficiali
distribuiti
avvolg. concentrati
(“interior”)
(“surface” )
Fig. 1.1: strutture di principio per l’induttore di una Macchina Sincrona.
MP a raggiera
(“spoke”)
Si descrivono ora alcune caratteristiche delle MS in cui il campo è generato da un avvolgimento; in tali macchine,
l’induttore è il rotore, per cui solitamente si fa riferimento al rotore.
Le caratteristiche di dettaglio delle due tipologie di rotore sono le seguenti:
 rotore anisotropo (fig.1.2a): ciascun polo è costituito da una struttura magnetica a forma di parallelepipedo (corpo
del polo) e termina con una espansione polare; per questo motivo, questo rotore viene detto “a poli salienti”. Il traferro
compreso fra l'espansione e lo statore è variabile, aumentando dall'asse del polo verso entrambe le estremità
dell'espansione, grazie alla sagomatura di quest'ultima. L’avvolgimento è di tipo concentrato, essendo ciascun corpo
del polo avvolto con una bobina. A causa delle forze centrifughe che si sviluppano nella rotazione, questo tipo di
struttura rotorica non è adatta per macchine che hanno velocità di rotazione elevata, cioè per macchine con basso
numero di poli (N = 120*f/p, per cui a pari frequenza, la velocità aumenta al diminuire del numero di poli).
 rotore isotropo (fig.1.2b): è dotato di un avvolgimento distribuito, con i lati attivi disposti in cave ricavate su una
porzione pari a circa 2/3 della superficie di rotore. Questa struttura è l’unica adeguata a macchine veloci, cioè a 2 o 4
poli . Viene anche detto liscio perché, trascurando la disuniformità dovuta alla presenza delle cave, il traferro tra
statore e rotore è costante in tutti i punti della periferia della macchina.
Come visto nella parte di Introduzione alle Macchine Rotanti, gli accorgimenti costruttivi (limitazione dei conduttori a
2/3 del passo polare, nelle MS Isotrope, sagomatura dei poli nelle MS Anisotrope) sono finalizzati ad ottenere una
distribuzione sinusoidale dell’induzione al traferro.
Dato che l’induttore è il rotore, l’avvolgimento di eccitazione è in rotazione; per alimentarlo, ci sono due modalità:
- tramite un sistema di anelli (solidali col rotore) e spazzole striscianti (fisse sullo statore);
1
1
- tramite una cosiddetta “eccitatrice statica”, cioè un sistema costituito da un piccolo generatore a MP, in cui l’induttore
è sullo statore, e l’indotto è sul rotore; in serie all’indotto vi è un sistema di conversione statica CA-CC, in modo da
ottenere una corrente continua che può alimentare l’induttore della MS; in tal modo, si riesce ad evitare l’impiego di
spazzole e contatti striscianti (che danno problemi di usura e di scintillio).
Fig.1.2a. MS anisotropa a 4 poli.
Fig. 1.2b. MS isotropa a rotore avvolto
Tornando a parlare delle MS in generale, sia nel caso di rotore liscio che nel caso di rotore a poli salienti esistono due
particolari direzioni radiali che costituiscono assi di simmetria:
 asse polare (AP), o asse diretto, indicato solitamente con d: costituisce l'asse magnetico secondo il quale è diretto il
flusso di un polo (quando sia percorso da corrente il solo avvolgimento induttore). A seconda che il flusso sia uscente o
entrante dal polo di induttore si parla di asse polare Nord o Sud;
 asse interpolare (AI), o asse in quadratura, indicato solitamente con q: individua la bisettrice tra le direzioni di due
assi polari adiacenti.
Considerando che fra i due assi vi è metà polo, cioè 90° elettrici, si capisce che
q 

q
tali assi sono in quadratura elettrica (da qui il nome di asse in quadratura);
d
d
ovviamente, in una macchina a 2 poli, fra tali assi vi è anche quadratura spaziale
q
(cioè vi sono 90° meccanici), mentre in una macchina con p poli, l’angolo
elettrico fra i due assi è sempre 90°, ma l’angolo meccanico è 90°*2/p .
q


Dal punto di vista della struttura magnetica, lo statore, in quanto interessato da un processo di magnetizzazione
variabile nel tempo (campo magnetico rotante) è realizzato con lamierini (aventi spessore di 0,5 mm): i lamierini sono
accostati fra loro con i piani di laminazione in senso perpendicolare all'asse della macchina.
Il rotore, essendo eccitato in c.c. o a magneti permanenti, viene percorso da un flusso costante nel tempo: pertanto, in
linea di principio esso può essere realizzato in materiale magnetico massiccio.
La MS può essere impiegata sia come motore, sia come generatore.
Quando la MS è usata come generatore, prende il nome di alternatore. La cosiddetta “energia elettrica” viene appunto
prodotta da alternatori connessi alla rete: l'alternatore eroga potenza elettrica attiva, a fronte di una potenza meccanica
assorbita all'albero; si può anche verificare uno scambio di potenza reattiva, che può essere erogata (comportamento
come condensatore) o assorbita (comportamento come induttore).
Nella parte di Introduzione alle ME rotanti si è visto che la fem indotta in una spira ha sia la frequenza sia l’ampiezza
proporzionale alla velocità relativa fra spira e campo rotante. È quindi chiaro che la frequenza della fem generata
dipende dalla velocità di rotazione. Negli impianti di generazione tradizionale, in cui si può decidere la velocità di
rotazione della macchina, gli alternatori sono connessi direttamente alla rete, e quindi il funzionamento avviene a
frequenza e tensione (in valore efficace) costanti; negli impianti di generazione eolica, la velocità è imposta dal vento,
quindi occorrono poi dei sistemi di conversione statica (basati su convertitori elettronici) per ottenere una tensione
generata a frequenza e ampiezza costante (quella di rete).
A tensione a frequenza di alimentazione costanti, l’impiego da motore non è molto diffuso, sia perché la velocità di
rotazione sarebbe costante, sia perché tale motore non è in grado di auto avviarsi. In particolare, per l’avviamento è
necessario ricorrere ad uno dei seguenti sistemi:
 impiego di una gabbia di scoiattolo (detta “gabbia di smorzamento”), del tutto simile a quella delle macchine
asincrone, che consente l’avviamento asincrono; la macchina poi si sincronizza (“prende il passo”);
 impiego di un motore di lancio (cioè un motore che accelera il rotore fino alla velocità di sincronismo, dopo di
che essa è in grado di continuare a ruotare da sola, producendo o assorbendo coppia meccanica).
L’introduzione di convertitori elettronici, in grado di regolare a piacere la tensione e la frequenza di alimentazione, ha
consentito la rapida diffusione di questi motori. Infatti, la regolazione della tensione e della frequenza ha permesso
l’avviamento e la regolazione di velocità in un ampio campo; la macchina prende il nome di servomotore, e il sistema
macchina + convertitore + sistema di controllo costituisce un azionamento elettrico (in inglese: drive); in questo caso,
l’avviamento è effettuato aumentando gradualmente la frequenza, partendo da valori molto bassi via via crescenti.
2
2
Oggi, solo i motori sincroni di grossa potenza hanno eccitazione generata da un avvolgimento in cc: la maggior parte
dei motori sincroni in bassa e media potenza ha eccitazione fornita da magneti permanenti (MP): tali motori sono detti
A.C. BrushLess (proprio per l’assenza del sistema di anelli e spazzole) e sono sempre alimentati da convertitore.
In questa dispensa si presenteranno proprietà e caratteristiche di funzionamento di MS utilizzate sia per funzionamento
a tensione e frequenza costante, sia per alimentazione da convertitore.
Come anticipato, si supporrà la macchina isotropa e lineare (si fa l’ipotesi che la permeabilità del circuito
ferromagnetico sia infinita). Inoltre, si considereranno MS in cui l’induttore è il rotore. Infine, per l’introduzione del
funzionamento, si farà rifermento al funzionamento da motore.
NOTA SULLE CONVENZIONI.
Quando si passa dalle convenzioni dei generatori a quelle degli utilizzatori, a pari convenzione
GEN
MOT
di misura della tensione e della f.e.m. si rovescia la convenzione di misura delle correnti, delle
Ef
Ef
f.m.m. e dei flussi; per questo motivo, si assume che il fasore elettricof ed il vettore



spaziale Φ f , rispetto al fasore f.e.m.Ef sono in quadratura in anticipo nel funzionamento da
f Φ f
Φ
f f
generatore, ed in ritardo nel funzionamento da motore; ciò corrisponde ad utilizzare la relazione
E  j ω  per il funzionamento da motore e E   j ω  per quello da generatore.
Angolo di carico . É l’angolo compreso fra fasore f.e.m.Ef e fasore tensione di faseVf

Vf Vf
 Ef
(oppure, che è lo stesso, fra vettore spaziale Φ f e vettore spaziale flusso concatenato di
δ
δ E

f
statore  s , vettore non considerato in questa dispensa). Per quanto riguarda il verso, lo si
considera positivo daVf versoEf , in modo che nel funzionamento da generatore si
abbiano potenza e quindi coppia positive.



Angolo di coppia γ. É l’angolo fra i fasori spaziali I a ed I f , cioè l’angolo fra le f.m.m. di
Ia




statore e rotore. Per quanto riguarda il verso, lo si considera positivo da I f verso I a , in modo I a
γ
che nel funzionamento da motore si abbiano potenza e quindi coppia positive.

If γ

If
Si fa notare che le convenzioni adottate sono tali che la posizione dei vettori spaziali nel piano complesso corrisponde
alla posizione fisica delle f.m.m. della macchina: ciò è fondamentale per cogliere la realtà fisica di campi e coppie.
NOTA su N° FASI e N° POLI
In una macchina reale ci sono 3 fasi e p poli, quindi ci sono 3 famiglie di fasori elettrici (sfasate di 120° elettrici) e p
famiglie di vettori spaziali (sfasati di 360/p ° meccanici). Ma per cogliere le relazioni fra fasori elettrici e vettori
spaziali, occorre che ci siano solo 1 famiglia di fasori elettrici ed 1 di vettori spaziali. Per avere una sola famiglia di
vettori spaziali, si considera una macchina a 2 poli: ecco perché tutta la trattazione sarà effettuata su una macchina a 2
poli. Per avere una sola famiglia di fasori elettrici, bisognerebbe considerare il fasore di Park, perché la sua espressione
mostra che esso tiene conto di tutte le 3 fasi; d’altra parte, si è visto che, con un’opportuna scelta dei riferimenti, i
vettori di Park sono allineati con le corrispondenti grandezze della prima fase di statore: ecco perché tutta la trattazione
sarà effettuata considerando solo le grandezze della prima fase di statore.
NOTA sulla NOTAZIONE. In tutta la trattazione:
- il pedice f indica le grandezze della struttura di campo (da inglese field) o di eccitazione, cioè dell’induttore; unica
eccezione, il simbolo V f , che indica la tensione di fase;
- il pedice a indica le grandezze della struttura di armatura, non le grandezze della “fase a”.
Bibliografia
[1] S.Crepaz, Macchine Elettriche, CLUP, 1976
[2] Perini, Di Gerlando, Dispensa di Macchine Elettriche, 2008, in rete.
[3] Manigrasso, Macchine Elettriche, CUSL, 2000.
[4] Manigrasso, Mapelli, Mauri, Azionamenti Elettrici, Pitagore Editrice Bologna, 2007.
[5] Hendershot, Miller, Design of BLPM Motors, Magna Physics Publications – Clarendon Press Oxford, 1994.
[6] Slemon, Straughen, Electric Machines, Addison Wesley, 1980
3
3
2. Funzionamento con solo induttore percorso da corrente (funzionamento a vuoto).
Il funzionamento di una MS con solo induttore percorso da corrente è detto funzionamento a vuoto.
Questa condizione di funzionamento è già stata descritta nella parte di Introduzione alle Macchine Rotanti; si
richiamano gli elementi fondamentali. Tutte le grandezze hanno qui il pedice f (da inglese field).
Il funzionamento a vuoto si realizza lasciando aperto l'avvolgimento di armatura, mantenendo in rotazione il rotore a
velocità costante ed alimentando con corrente continua l'avvolgimento dell'induttore. Tale corrente, detta corrente di
eccitazione o di campo If , genera un campo magnetico al traferro che, in quanto prodotto dal rotore, è solidale con esso
e ruota con la stessa velocità 0 [rad/s] del rotore rispetto allo statore; la “velocità elettrica” è  = 0 p/2.
L’avvolgimento induttore è percorso da una corrente continua di valore If.
Se il numero di spire per polo è Nf, la corrente If genera una f.m.m. Mf = Nf If.
μ
La f.m.m. Mf genera un’induzione di valore massimo B f  o M f .
δ
Tramite accorgimenti vari, si fa in modo che la distribuzione spaziale dell’induzione sia sinusoidale; tale distribuzione
μ
genera un flusso del polo  f  2 τ B f  2 τ  o M f  Λ δ M f .
π
π
δ

Oltre al vettore spaziale flusso di polo Φ f (che, si ricorda, ha modulo Φ f ed è allineato con l’asse del polo) , si possono

  
definire i vettori spaziali I f M f B f , tutti in fase con Φ f .
Il flusso di polo Φf si concatena con ciascuna spira dell’avvolgimento di armatura, dando un flusso concatenato di
spira, di valore rms Ψfsp = Φf / √2 .

Al flusso Ψfsp si associa un fasore elettricoΨfsp , che si è visto essere in fase con il vettore spaziale flusso del polo Φ f .
Il flusso Ψfsp induce in ciascuna spira un f.e.m. di valore rms Efsp =  Ψfsp ; alla f.e.m. Efsp si associa un fasore f.e.m.
Efsp , che (considerando il funzionamento da motore, e quindi adottando come legame flusso-f.e.m. la regola della
mano sinistra) risultaEfsp = j Ψfsp , cioè risulta in quadratura in anticipo rispetto al fasoreΨfsp , e quindi rispetto al

vettore spaziale flusso del polo Φ f .
Le considerazioni fatte per una spira si applicano anche all’intero avvolgimento di fase di armatura: esiste un flusso
totale concatenato con l’avvolgimento Ψf , a cui si associa un fasoreΨf , che è in fase con il vettore spaziale flusso del

polo Φ f ; il fasoreΨf induce nell’avvolgimento una f.e.m. risultante Ef , cui si associa un fasore f.e.m.Ef = j Ψf ,

che risulta in quadratura in anticipo rispetto al fasoreΨf , e quindi rispetto al vettore spaziale flusso del polo Φ f .
Per quanto riguarda i moduli, si è visto che Ef = fa U/2 Efsp = fa U/2  Φf / √2 =  Ψf .
   
Quindi, ai vettori spaziali I f M f B f Φ f , si aggiungono i fasoriΨf (in fase con i vettori spaziali precedenti), edEf
(in quadratura in anticipo rispetto ai vettori spaziali precedenti).
Dato che i 3 avvolgimenti di armatura sono sfasati tra loro di 120° nello spazio, le 3 f.e.m. indotte sono fra loro sfasate
di 120° nel tempo, ma come detto si decide di rappresentare le sole grandezze (f.e.m. , tensione e corrente) relative alla
prima fase; le altre fasi sono interessate dalle medesime grandezze ma sfasate di 120° e 240° nel tempo rispettivamente.
Il diagramma vettoriale di questa condizione di funzionamento è rappresentato in fig. 2.1: come giusto, il vettore

spaziale Φ f è allineato con l’asse magnetico dell’avvolgimento di eccitazione (in questo caso, posto sul rotore).
Si osservi che, a vuoto, la tensione di fase dell’avvolgimento statorico Vf0 è pari alla f.e.m. Ef , per cui la legge alla
maglia del circuito statorico risulta Vf0 =Ef .
Caratteristica di magnetizzazione
Si consideri la caratteristica di magnetizzazione Φf ( Mf ) , cioè il legame tra flusso f e f.m.m. Mf di eccitazione.
Dalle relazioni precedenti si riconosce che, a velocità costante, l’ampiezza della f.e.m. di fase Ef è proporzionale al
flusso f e la fmm Mf è proporzionale alla corrente di eccitazione If ; dunque, la caratteristica di magnetizzazione
rappresenta anche il legame tra l’ampiezza della f.e.m. di fase e la corrente di eccitazione: Ef = Ef (If ) . Questa
caratteristica può essere desunta sperimentalmente, da una prova a vuoto, in cui si alimenta l’induttore, lo si pone in
rotazione a velocità costante, e si misura la fem indotta nell’avvolgimento di armatura Ef , al variare della corrente di
eccitazione If . Nel caso di macchina trifase (che è il più frequente), si considera non la f.e.m. di fase, ma la f.e.m.
concatenata (che è √3 volte superiore); inoltre, nel funzionamento a vuoto, tale f.e.m. coincide con la tensione ai
morsetti, per cui si parla di tensione a vuoto V0 ; la caratteristica di magnetizzazione presenta dunque V0 = √3 Ef in
funzione di If (fig. 2.2).
Nell’ipotesi assunta di macchina lineare, la caratteristica viene chiamata caratteristica di traferro, e il legame tra
l'ampiezza della f.e.m. Ef e l'ampiezza della corrente di eccitazione If è un semplice coefficiente di proporzionalità Kf :
4
4
Ef = fa U/2 Efsp = fa U/2  Φf / √2 = fa U/2 Λδ Mf / √2 = fa U/2  Λδ Nf If / √2 = Kf If

K f   f a  U   N f .
2 2
Nella realtà, la macchina non è lineare, perché la permeabilità del ferro non è infinita; questo comporta che il legame fra
f = Λδ Mf si modifica in f = Mf / ( 1/ + 1/fe ), dove fe è la permeanza del circuito magnetico in ferro, non
lineare. Ne segue che la caratteristica di magnetizzazione si piega, con andamento analogo alla caratteristica B(H) dei
materiali ferromagnetici (fig. 2.2).

Ef

   
I f M f Bf  f
f


Fig.2.1: diagramma vettoriale del funzionamento a vuoto.
Vo =
√3 Ef
caratteristica
di traferro
caratteristica
reale
If
Fig.2.2: caratteristica di magnetizzazione.
3. Funzionamento con solo indotto percorso da corrente.
Si supponga ora che, con il rotore in movimento con velocità angolare meccanica 0 , l'avvolgimento di rotore non
sia alimentato, mentre quello trifase di statore sia alimentato mediante un sistema trifase equilibrato di correnti
sinusoidali di valore efficace Ia . Anche questa condizione di funzionamento è già stata descritta nella parte di
Introduzione alle Macchine Rotanti; si richiamano gli elementi fondamentali. Le grandezze hanno qui il pedice a (da
inglese armature). NOTA: in tutta la trattazione, il pedice a significa “armatura” non “fase a”.
La pulsazione  delle correnti di alimentazione degli avvolgimenti di statore sia tale che la f.m.m. ruoti con una velocità
meccanica uguale a quella di rotazione del rotore 0 : in una macchina a 2 poli,  = 0 ; in generale  = 0  p / 2 .
3 2 U
Il sistema di correnti genera una f.m.m. (a distribuzione spaziale sinusoidale) di ampiezza M a 
fa Ia  KM Ia .

p
μ
La f.m.m. Ma genera un’induzione (anch’essa a distribuzione spaziale sinusoidale) di valore massimo Ba  o M a .
δ
μo
2
2
Tale distribuzione genera un flusso del polo  a 
M  Λδ M a .
τ Ba 
τ
π
π
δ a
  
Come visto, si definiscono i vettori spaziali M a B a Φ a , tutti in fase fra loro, ed in fase con il fasore corrente della


prima faseIa ; si definisce anche il vettore spaziale I a , detto vettore di Park, che riassume le proprietà di M a edIa .
Dato che si ha un campo rotante, tutti i ragionamenti fatti per flusso concatenato e f.e.m. (di spira e di avvolgimento),
riferiti all’avvolgimento di eccitazione, possono essere qui ripetuti per l’avvolgimento di armatura. In particolare, esiste
un flusso totale concatenato con l’avvolgimento Ψr , a cui si associa un fasoreΨr , che è in fase con il vettore spaziale

flusso del polo Φ a ; il fasoreΨr induce nell’avvolgimento una f.e.m. risultante Er , cui si associa un fasore f.e.m.
Er = j ωΨr , che (sempre considerando il funzionamento da motore) risulta in quadratura in anticipo rispetto al

fasoreΨr , e quindi rispetto al vettore spaziale flusso del polo Φ a .
Per quanto riguarda i moduli, Er = fa U/2 Er.spira = fa U/2 ω Φa / √2 = ω Ψr .
   
Quindi, ai vettori spaziali M a B a Φ a I a , si aggiungono i fasoriΨr (in fase con i vettori spaziali precedenti), edEr
(in quadratura in anticipo rispetto ai vettori spaziali precedenti); dato che sia il fasore elettricoIa , sia il fasore elettrico
Ψr sono in fase con i vettori spaziali definiti, risulta che Ia e Ψr sono in fase fra loro.
Dato che i 3 avvolgimenti di armatura sono sfasati tra loro di 120° nello spazio, le 3 f.e.m. indotte sono fra loro sfasate
di 120° nel tempo, ma come detto si decide di rappresentare le sole grandezze (f.e.m. , tensione e corrente) relative alla
prima fase; le altre fasi sono interessate dalle medesime grandezze ma sfasate di 120° e 240° nel tempo rispettivamente.
Il diagramma vettoriale di questa condizione di funzionamento è rappresentato in fig. 3.2a ; si ricorda che, nel caso di
un avvolgimento trifase, il riferimento spaziale è l’asse magnetico della prima fase di armatura.
Nell’ipotesi di macchina lineare, dalle relazioni precedenti si riconosce che la f.e.m. di armatura Er è proporzionale
alla corrente di armatura Ia ; il coefficiente di proporzionalità è detto reattanza di reazione Xr :

 M
 K I
Er   f a  U  a   f a  U   a   f a  U   M a  X r I a .
2 2
2 2
2 2
5
5
Si riconosce che Xr ha la tipica forma di una reattanza ( N2  ):
 3 2 U
3 ( f a  U )2
3 2 U
X r   f a  U  
fa  
 .
fa
p
p

p
2
2 2
2 2 
Nell’espressione di Xr si osservi che Λδ è la permeanza del circuito magnetico visto da una fase di armatura, ma Xr
rende ragione dell’effetto del campo risultante trifase; la cosa è possibile perché Λδ è poi moltiplicata per KM, che è il
rapporto fra la fmm trifase e la corrente di fase.
Dato che, come detto, il fasore correnteIa è in fase con il fasore flusso concatenatoΨr , fasorialmente si può
scrivereEa = j XrIa , come se il fasore Ea fosse associato alla sola corrente Ia (si osservi che la cosa non è
scontata, perché Ψr è il flusso dovuto all’insieme delle 3 fasi, mentre Ia è la corrente di 1 fase).

Oltre al campo rotante M a , la correnteIa dà anche origine ad un flusso di dispersione Φℓ (pedice ℓ dall’inglese
leakage), cioè un flusso che si concatena solo con l’avvolgimento statorico e non attraversa il traferro: tale flusso ha due
componenti principali, cioè il flusso disperso in cava e quello intorno alle teste di matassa (Fig. 3.1). Tale flusso è
proporzionale alla f.m.m. Ma tramite una permeanza di dispersione Λℓ : Φℓ = Λℓ Ma . Il flusso Φℓ si concatena con
l’avvolgimento di armatura, dando luogo ad un flusso concatenato di dispersione Ψℓ . Dato che le correnti sono
variabili nel tempo, anche Ψℓ varia nel tempo, quindi induce nell’avvolgimento di armatura una f.e.m. di dispersione
Eℓ , il cui modulo sarà Eℓ = ω Ψℓ . Procedendo in modo analogo a come fatto per Xr , si riconosce che Eℓ è
proporzionale a Ia , e si può quindi definire una reattanza di dispersione Xℓ tale che Eℓ = Xℓ Ia .
X r   f a  U 
 K M
KM 
STATORE DENTATO
a)
ROTORE
FLUSSO DI
DISPERSIONE
CONDUTTORI
b)
Fig. 3.1: illustrazione schematica del flusso disperso in cava (a), attorno alle teste di matassa (b).
A questo punto, si può definire un unico flusso di armatura Ψa dato dalla somma di Ψr e Ψℓ , un’unica f.e.m. di
armatura Ea , data dalla somma di Er ed Eℓ , ed un’unica reattanza di armatura, data dalla somma di Xr ed Xℓ ; tale
reattanza prende il nome di reattanza sincrona Xs :
Ea = Er + Eℓ = (Xr + Xℓ ) Ia = Xs Ia .
Passando ai fasori, dato che le reattanze sono quantità scalari, i tre fasori Ea Er Eℓ sono tutti in fase fra loro, ed in
quadratura rispetto al fasore correnteIa (fig. 3.2b).
Si osserva che, in tale condizione di funzionamento, la tensione di fase dell’avvolgimento statorico Vf è la somma
della f.e.m. Ea e della caduta sulla resistenza Ra del circuito di armatura, per cui (considerando il funzionamento da
motore) la legge alla maglia del circuito statorico risultaVf =Ea + RaIa = (Ra + j Xs )Ia .
Si fa inoltre notare che la sovrapposizione delle f.e.m. deriva dalla sovrapposizione dei flussi, e ciò è lecito solo
nell’ipotesi di linearità della macchina; si analizzerà più avanti come operare nel caso reale di macchina non lineare.
Er
a
Ia r
   
M a Ba  a I a

Ea
a
Ia a
Eℓ
Er
   
M a Ba  a I a

Fig. 3.2: diagramma dei vettori nel funzionamento con solo indotto percorso da corrente
6
6
4. Funzionamento a carico.
Nel funzionamento a carico sono percorsi da corrente sia l'avvolgimento di eccitazione che gli avvolgimenti di
armatura. Si tratta allora di sovrapporre le due condizioni di funzionamento analizzate precedentemente, considerando
che, essendo il circuito di armatura unico, la legge alla maglia risultaVf =Ef ± (Ea + RaIa ) =Ef ± (Ra + j Xs )Ia
Leggi alla maglia.
L’espressione precisa della legge alla maglia dipende dal tipo di funzionamento (motore o generatore), a cui sono
associate precise convenzioni di segno (utilizzatore o generatore). In particolare:
- se si considera il funzionamento da generatore, si adotta la convenzione dei generatori (corrente uscente dove punta
la tensione), e la legge alla maglia risulta
Ef =Vf + (Ea + RaIa ) =Vf + (Ra + j Xs )Ia .
- se si considera il funzionamento da motore, si adotta la convenzione degli utilizzatori (corrente entrante dove punta
la tensione), e la legge alla maglia risulta
Vf =Ef + (Ea + RaIa ) =Ef + (Ra + j Xs )Ia ;
Circuiti equivalenti.
A queste leggi si possono
associare i circuiti equivalenti di
Fig. 4.1, in cui sono rappresentate
tutte le 3 fasi statoriche, supposte
collegate a stella, con centrostella
accessibile.
Ef j XsIa RaIa
Xs
Ef j XsIa RaIa
Ia
Vf
Xs
Pelett
Ia
Vf
Pelett
Fig.4.1: Circuiti equivalenti nel funzionamento da generatore (a) e motore (b)
Diagrammi fasoriali.
Rappresentando graficamente le leggi alla maglia si ottengono i diagrammi fasoriali.
Prima di vedere i diagrammi, si definiscono i seguenti angoli:
- angolo  dalla correnteIa verso la tensioneVf : è il solito angolo del fattore di potenza (si ricorda che -90°<<90°);
- angolo  dalla tensioneVf verso la femEf : è detto angolo di carico;
Considerato che la correnteIa può essere in anticipo o in ritardo rispetto alla tensione Vf , si hanno 2 possibilità per
ciascuno dei due funzionamenti (motore e generatore).
Ricordando il comportamento in regime sinusoidale dei carichi L e C, si ha che:
- per un generatore (con le convenzioni dei generatori), corrente in ritardo ( > 0) significa che il generatore vede un
carico L (il generatore eroga Q, assorbita dal carico L), e corrente in anticipo ( < 0) significa che il generatore vede un
carico C (il generatore assorbe Q, erogata dal carico C);
- per un motore (con le convenzioni degli utilizzatori), corrente in ritardo ( > 0) significa che il motore si comporta da
carico L (cioè, assorbe Q), e corrente in anticipo ( < 0) significa che il motore si comporta da carico C (cioè, eroga Q).
A questo punto, considerato che la cdt j XsIa è in quadratura in anticipo sulla correnteIa , e tenuto conto della legge
alla maglia, i diagrammi fasoriali sono quelli mostrati in fig. 4.2, in cui, per semplicità, si è trascurata la c.d.t. sulla
resistenza di armatura. In particolare si osserva che, nell’ipotesi assunta di trascurare la resistenza di armatura, si ha che:
- nel generatore si ha sempreEf in anticipo rispetto aVf (quindi  > 0), mentre nel motore si haEf in ritardo rispetto
aVf (quindi  < 0);
- in entrambi i funzionamenti (motore o generatore), se la macchina eroga Q, si dice che la macchina lavora in
sovraeccitazione, mentre se assorbe Q, e si dice che lavora in sottoeccitazione.
La costruzione è nota storicamente sotto il nome di costruzione di Behn-Eshemburg o costruzione dell'unica reattanza;
si fa notare che l’utilizzo della reattanza sincrona è associato all’ipotesi di caratteristica di magnetizzazione lineare della
macchina (la sovrapposizione delle f.e.m. deriva dalla sovrapposizione dei flussi, e ciò è lecito solo nell’ipotesi di
linearità), per cui la costruzione di Behn-Eshemburg è valida solo nell’ipotesi di linearità magnetica.
Diagrammi vettoriali.
Per una rappresentazione completa, e per una migliore comprensione fisica del funzionamento della macchina, occorre
introdurre nei diagrammi fasoriali precedenti i vettori spaziali della macchina, e la sezione assiale della macchina.
   
Per quanto riguarda i vettori spaziali, si ricorda che i vettori spaziali I f M f B f Φ f sono in fase con il fasoreΨf , e i
   
vettori spaziali M a B a Φ a I a sono in fase con il fasore corrente di armatura aIa.
Occorre ricordare che, quando si passa dalle convenzioni dei generatori a quelle degli utilizzatori, a pari convenzione di
misura della tensione e della f.e.m. si rovescia la convenzione di misura delle correnti, delle f.m.m. e dei flussi; questo
comporta che, se per gli utilizzatori si considera e = p ed E = j , per i generatori si deve considerare e = 
p ed E = - j ; come conseguenza, il vettore spaziale  f ed il fasore elettricoΨf , rispetto al fasoreEf sono
in quadratura in anticipo nel funzionamento da generatore, ed in ritardo nel funzionamento da motore.
7
7


E’ anche utile definire un nuovo angolo, cioè l’angolo  dalla f.m.m. m f verso la f.m.m. M a : è detto angolo di coppia,
e nel funzionamento da generatore si ha  +  +  + 90 = 0, mentre nel funzionamento da motore  +  +  - 90 = 0.
I diagrammi vettoriali risultanti sono mostrati in fig. 4.3 in cui ancora, per semplicità, si è trascurata la c.d.t. sulla
resistenza di armatura. In particolare si osservi che, nell’ipotesi assunta di trascurare la resistenza di armatura, nel



funzionamento da generatore si ha sempre m f in anticipo rispetto a M a (quindi  < 0), mentre nel motore si ha m f in

ritardo rispetto a M a (quindi  > 0).
Per quanto riguarda la sezione assiale della macchina, si ricorda che 1) il vettore spaziale flusso di polo di

eccitazione Φ f è sull’asse magnetico dell’avvolgimento di eccitazione; 2) con le convenzioni solite (ossia il riferimento
spaziale per la fmm è l’asse magnetico della fase a, l’istante t = 0 è quello in cui è massima la corrente nella fase a),
nell’istante t = 0 il fasore corrente si trova allineato con l’asse magnetico della fase a; la situazione è mostrata in fig. 4.4.
Si fa notare che, dato che i fasori ruotano in senso antiorario, anche i vettori spaziali devono ruotare in tale verso, e

quindi anche il rotore (con cui è solidale il vettore spaziale flusso di eccitazione Φ f )
GEN con carico L
Vf
IL
Vf
Q
j XsIa
MOT
MOT
si comporta da L si comporta da C
j XsIa
j XsIa
GEN con carico C
j XsIa
φ
IL
Ef
IC
Ia
φ
Ia
IC
Vf
Ef
δ
δ
δ φ
Vf
Vf
Q
Ef
Vf
Vf
Vf
δ
φ
Ia
φ
 Ef
φ
 Ia
Fig. 4.2: diagrammi fasoriali nei 4 possibili modi di funzionamento
GEN con carico C
GEN con carico L
j XsIa
Ef
 
I f mf

 f f
j XsIa
Vf
Ia
δ φ

Ia M a

 a a

Ia
γ

f



Vf


f
Ia  a

δ
φ
γ

Ia M a


 a a I a
 
I f mf

 f f
Ef
δ
φ

Ia M a


 a a I
a
 
I f mf

 f f
γ
a


a
Ia


MOT si comporta come C
MOT si comporta come L
GEN con carico C
jXsIa

δ
V f
Ef
Vf


 a a I
a φ
 
γ
I f mf

 f f
Ef
a
Ef
j XsIa
Fig. 4.3: diagrammi vettoriali nei 4 possibili modi di funzionamento
GEN con carico L


Ma
Vf
MOT si comporta
come C
j XsIa
MOT si comporta
come L

Ef
Vf
Vf
a

jXsIa

I
 a  a
f

Ef
jXsIa


a

Ia  a

f
Vf


Ef
jXsIa
Fig. 4.4: diagrammi vettoriali nei 4 possibili modi di funzionamento, nella sezione di macchina, nell’istante t = 0
8
8
5. Coppia
Coppia e caratteristica meccanica.
Dai diagrammi vettoriali precedenti si ricavano le espressioni delle potenze attive e reattive; dall’espressione della
potenza attiva si ricava poi la coppia: P = 3 Vf Ia cos
Q = 3 Vf Ia sin( )
C = P / o = 3 Vf Ia cos / o
Si deduce che la caratteristica meccanica della MS (cioè il legame fra coppia e velocità di
C
rotazione) è costituita da un segmento verticale nel piano C – , spiccato in CMAX
o
corrispondenza all'ascissa  = 0.

Si noti che questa caratteristica meccanica è la medesima, sia nel funzionamento della
-C
MAX
macchina come generatore che nel funzionamento come motore.
Osservazioni sul verso delle coppie
Ricordando il principio di allineamento (se due strutture ferromagnetiche libere di ruotare sono sede di f.m.m., il
sistema si porta nella posizione di allineamento delle f.m.m.), è agevole ricavare il verso della coppia che agisce sulla

struttura mobile (cioè sul vettore spaziale m f ): il verso è tale da allineare le due f.m.m., col percorso minimo.
Riconsiderando allora i diagrammi vettoriali di fig. 4.2 (riportati in fig. 5), si ha che:

- per il principio dell’allineamento, il verso della coppia elettromagnetica Cef agente su m f è quello dell’angolo γ ;

- per il principio di azione e reazione, il verso della coppia elettrom. Cea agente su M a , cioè sullo statore, è opposto;

- per il bilancio dinamico, il verso della coppia meccanica Cm agente su m f è opposto alla coppia elettrom. Cef (e
quindi è concorde con il verso della coppia elettrom. Cea ).
Il verso della coppia meccanica Cm è coerente con l’analisi dinamica della macchina: infatti, come precedentemente
osservato, il rotore ruota in senso antiorario, e si riconosce che in un generatore, la coppia meccanica è motrice, quindi
concorde con la velocità di rotazione , mentre in un motore, la coppia meccanica è resistente, quindi opposta alla
velocità di rotazione .


Dall’analisi, si conclude che in un generatore, m f trascina M a , mentre in un motore è l’opposto.
GEN con carico L
GEN con carico C
j XsIa
j XsIa
 Vf
Ef
Cea
Cef

mf


δ φ Ma
γ
Cm

Ma
Cea
Cef
Vf
Ef

mf

δ
φ
γ
MOT si comporta
come L
j XsIa
Vf
 Ef
Vf
δ
φ
γ
Cm
MOT si comporta
come C
j XsIa
Cm
Cea

Ma
Cea
Cef

mf
Ef
δ
φ


Ma
γ
Cef 
Cm

mf
Fig. 5: diagrammi vettoriali nei 4 possibili modi di funzionamento e coppie agenti.
9
9
PARTE II: FUNZIONAMENTO A FREQUENZA E TENSIONE COSTANTE:
FUNZIONAMENTO DA GENERATORE COLLEGATO AD UNA RETE DI POTENZA PREVALENTE,
CHE IMPONE TENSIONE E FREQUENZA
Le MS che lavorano a frequenza e tensione costante sono principalmente usate come generatori, e prendono il nome di
alternatori; salvo rari casi in cui tali macchine alimentano dei sistemi isolati (“funzionamento in isola”), esse sono
collegate ad una rete elettrica di potenza prevalente, che presenta un sistema trifase simmetrico di tensioni di sequenza
diretta con frequenza ed ampiezza costanti pari a quelli nominali di macchina, e tali valori sono imposti alla macchina.
6. Coppia, procedura di parallelo e modi di funzionamento
Espressioni di potenze e coppia.
Partendo dai diagrammi vettoriali di fig.4.2, si possono ottenere le espressioni
della potenza attiva e reattiva, e dalla potenza attiva ricavare la coppia.
Proiettando sul fasore tensione di armaturaVf e sulla retta ad esso ortogonale,
si osserva che (Fig. 6.1):
Ef sin (δ) = Xs Ia cos( ) , Ef cos (δ) = Vf + Xs Ia sin( ) =>
Ia cos = Ef sin (δ) / Xs e Ia sin( ) = ( Vf - Ef cos (δ) ) / Xs =>
P = 3 Vf Ia cos = 3 Vf Ef sin (δ) / Xs
Xs Ia cos φ
φ
Ef
 
I f mf
Q = 3 Vf Ia sin( ) = 3 Vf ( Vf - Ef cos (δ) ) / Xs =

 f f
= 3 Vf 2 / Xs - 3 Vf Ef cos (δ) / Xs
C = P / 0 = 3 Vf Ef sin (δ) / ( Xs 0 ) .
Xs Ia sin φ
Vf
δ φ

Ia M a
γ

 a a

Ia
Fig. 6.1: diagramma vettoriale cui
riferirsi per visualizzare le
espressioni delle potenze e della
coppia
Ricordando il segno di , si verifica quanto precedentemente affermato (a
proposito delle convenzioni): con la scelta effettuata, la coppia di un generatore
è positiva (mentre è negativa quella di un motore).
Un procedimento alternativo per valutare le potenze consiste nel valutarla potenza apparente complessa, a partire dalle
espressioni vettoriali delle grandezze. PostoVf = Vf eE f = Ef ·exp(j) = Ef cos() + j Ef sin() , dalla legge alla
magliaE f =V f + j XsIa ,si ricava l’espressione del fasore corrente Ia = ( E f -V f ) / j Xs . Valutando la potenza
apparente complessa si ritrovano le espressioni precedenti di P e Q:
 E f V f
A  3V f I a  3V f 
 jX s


E f cos()  jE f sin()  V f 3V f
 E f sin()  j E f cos()  V f   P  jQ
  3V f



Xs 
 jX s



Dalle espressioni precedenti si desume che, nel funzionamento a tensione e frequenza costanti, la coppia massima si ha
per sin (δ)=1, cioè δ = 90°. Ovviamente, ciò è valido nell’ipotesi fatta di trascurare la resistenza del circuito di armatura
(ipotesi normalmente accettabile perché le macchine che lavorano a tensione e frequenza costanti sono solitamente
generatori di potenza elevata, con resistenza trascurabile rispetto alla reattanza)
Procedimento per realizzare il parallelo con la rete
La connessione si esegue, si veda la Fig. 6.2, con la procedura nel seguito indicata:
- si predispone un sistema di misura in grado di accertare l'ampiezza, la frequenza ed il senso ciclico delle f.e.m. di
macchina e delle tensioni di rete. In figura, Or è il baricentro delle tensioni di fase della rete, al quale viene connesso il
baricentro O delle f.e.m. di macchina: vengono con questo identificati i fasoriVf di rete eEf di macchina;
- si alimenta l'induttore tramite un sistema di spazzole ed anelli che consente di addurre la corrente sul rotore, ed
avvalendosi del motore primo MP si accelera il rotore fino a pervenire alla velocità corrispondente alla frequenza di
rete: in questa fase si verifica che il senso ciclico delle f.e.m. di macchina sia uguale a quello di rete (altrimenti occorre
correggerlo) e si corregge la corrente di eccitazione fino a che il modulo delle f.e.m. di macchina sia uguale a quello
delle tensioni di rete;
- si corregge la velocità angolare r , con piccole accelerazioni impresse tramite il motore primo, fino a renderla uguale
alla pulsazione di rete  e fino a che i fasoriVf rappresentativi delle tensioni di rete siano allineati con i corrispondenti
fasoriEf delle f.e.m. di macchina: a questo punto si chiude l'interruttore di rete realizzando cosi il parallelo.
Funzionamento a vuoto (in parallelo alla rete)
In questa situazione il motore primo fornisce all'alternatore la potenza corrispondente alle perdite a vuoto,
Ef Vf
la corrente di eccitazione è quella necessaria per avere ai morsetti una f.e.m. pari alla tensione di rete e la
corrente di indotto è nulla. I fasoriEf eVf coincidono, quindi la corrente di armatura è nulla.
10
10
ω
V f
ωr
Ef
Vf
Ef
Fig. 6.2: schema per il collegamento della MS alla rete.
Funzionamento come condensatore rotante
A partire dal funzionamento a vuoto, se si incrementa la corrente di eccitazione, la macchina funzionerà perfettamente
da condensatore rotante, se si regola la potenza meccanica fornita dal motore primo in modo che esso fornisca una
potenza pari alle perdite della macchina. In questa situazione, la corrente (misurata con la convenzione dei generatori) è
in quadratura in ritardo sulla tensione; invece, se non viene aggiustata la potenza del motore primo, l’alternatore
assorbirà dalla rete la quota parte di potenza attiva corrispondente alle proprie perdite non fornita dal motore primo, e
presenterà quindi una piccola componente in fase con la tensione (oltre a quella, preminente, in quadratura).
Il funzionamento come condensatore rotante viene utilizzato per regolare la potenza reattiva di importanti nodi di rete;
non vi sono applicazioni altrettanto significative per il funzionamento come induttore rotante, che si ottiene a partire dal
funzionamento a vuoto riducendo la corrente di eccitazione.
Ef j XsIa
Xs
Convenzioni di generatore => la legge alla maglia risulta
condensatore rotante:
il generatore vede un carico L
Ia
Vf
Vf
j XsIa
 Ef
Ia
Ef =Vf + j XsIa .
induttore rotante:
il generatore vede un carico C
Vf
j XsIa
 Ef
 Vf
Ia
Ia
 Vf
I a
Fig. 6.3: funzionamento da condensatore o induttore rotante.
Funzionamento da generatore
Se, a partire dal funzionamento a vuoto, a parità di corrente di eccitazione si aumenta la potenza meccanica fornita dal
motore primo (aumentando l'iniezione d'acqua o di vapore per le turbine o di combustibile per i motori termici), la
coppia motrice supera quella elettromagnetica che le fa equilibrio, e l'induttore tende ad accelerare; la f.e.m. di induttore
si porta in anticipo rispetto al fasore rappresentativo della tensione di rete, l’angolo di carico , da nullo che era, inizia
ad aumentare (con segno positivo), comportando un incremento della coppia elettromagnetica, ed entrambe (angolo e
coppia elettromagnetica) aumentano finché si raggiunge una condizione di equilibrio con la coppia motrice del motore
primo. Dato che l’angolo di carico è positivo, la macchina sta generando potenza attiva (elettrica). La macchina
funziona allora come generatore, sovra-eccitato o sotto-eccitato a seconda dell’ampiezza della fem di eccitazione Ef
(che a sua volta dipende dall’ampiezza della corrente di eccitazione):
- se l’ampiezza di Ef è tale che la corrente va in ritardo su tensione => macchina vede carico L => macchina eroga
potenza reattiva => sovra-eccitazione;
- se l’ampiezza di Ef è tale che la corrente va in anticipo su tensione => macchina vede carico C => macchina assorbe
potenza reattiva => sotto-eccitazione.
11
11
Ef j XsIa
Xs
Ef =Vf + j XsIa .
Convenzioni di generatore => la legge alla maglia risulta
generatore
generatore sotto eccitato:
j XsIa
sovraeccitato:
vede un carico C
vede un carico L
j XsIa
Ia
Vf
 Ef
Pelett
Vf
Ia
Vf
Ef
 Vf
Vf
Ia
δ
δ φ
Ia
Ia
φ
Fig. 6.4: funzionamento da generatore.
Funzionamento da motore.
Se a partire dal funzionamento a vuoto la macchina viene collegata, ad esempio tramite un giunto elettromagnetico, ad
un carico meccanico, la coppia resistente del carico tende a rallentare l'induttore; la f.e.m. di induttore si porta in ritardo
rispetto al fasore rappresentativo della tensione di rete, l’angolo di carico , da nullo che era, inizia ad aumentare (con
segno negativo), comportando un incremento della coppia elettromagnetica, ed entrambe (angolo e coppia
elettromagnetica) aumentano finché si raggiunge una condizione di equilibrio con la coppia resistente del carico
meccanico. Dato che l’angolo di carico è negativo, la macchina sta assorbendo potenza attiva (elettrica). La macchina
funziona allora come motore, sotto-eccitato o sovra-eccitato a seconda dell’ampiezza della fem di eccitazione Ef (che a
sua volta dipende dall’ampiezza della corrente di eccitazione):
- se l’ampiezza di Ef è tale che la corrente va in ritardo su tensione => macchina si comporta da carico L => macchina
assorbe potenza reattiva => sotto-eccitazione;
- se l’ampiezza di Ef è tale che la corrente va in anticipo su tensione => macchina si comporta da carico C => macchina
eroga potenza reattiva => sovra-eccitazione.
Convenzioni di motore => la legge alla maglia risulta
Vf =Ef + j XsIa .
motore sotto eccitato:
motore sovra eccitato:
j XsIa
si
comporta
da
L
si comporta da C
j XsIa Ef
Ia
j XsIa
Vf Ia
Vf Ia
Vf
Vf
Ef
Xs
Vf
Ef
δ
δ
Pelett
φ
φ
Ia
Ia
Fig. 6.5: funzionamento da motore.
7. Stabilità statica nel funzionamento della MS a frequenza e tensione costanti .
Caratteristica pseudo–meccanica.
Più che la caratteristica meccanica C() è importante quella pseudo–meccanica C = C(), cioè il legame tra la coppia e
l’angolo di carico .
In fig.7.2 sono riportate due caratteristiche pseudo–meccaniche C(), per due valori della f.e.m. Ef (ovvero della
corrispondente corrente di eccitazione If ), con Ef 2 > Ef 1 , cioè I f 2 > If 1 .
Dalla figura, si nota che lo stesso valore di coppia C* può corrispondere ad entrambi i valori della corrente di
eccitazione. Tuttavia, per i corrispondenti angoli di carico il senso della disuguaglianza è  2  1 , cioè invertito
rispetto a quello relativo alle correnti di eccitazione. Questo è in accordo con il seguente ragionamento: si consideri una
macchina con rotore avvolto (non con magneti permanenti) e quindi in grado di modificare il flusso f di eccitazione.
Un aumento della corrente di eccitazione non modifica la potenza Pm erogata all’albero, poiché questa dipende solo
dalla potenza attiva erogata ai morsetti, che non è stata modificata variando la corrente di eccitazione If . Dal punto di
vista analitico, un aumento della corrente di eccitazione aumenta sì la f.e.m. Ef indotta negli avvolgimenti di fase
statorici, ma dà luogo ad una riduzione dell’angolo di carico , così che il prodotto E f  sin  sia costante.
Stabilità statica
Dalla caratteristica pseudo–meccanica, si deduce che esiste un angolo di carico limite (lim = 90° el.) che non può
essere superato, pena l'innesco di condizioni di instabilità nel funzionamento della macchina: si spiega ora il motivo.
Il motore sia alimentato da una terna trifase di tensioni simmetrica di pulsazione  e stia ruotando in sincronismo alla
velocità angolare meccanica 0 ed elettrica r = (p/2)0 = .
12
12
Il rotore sia in condizioni di equilibrio (a velocità
costante) sotto l’azione della coppia elettromagnetica C
del motore (coppia motrice) e della coppia del carico Cr
(coppia resistente) (fig.7.1); ovviamente si ha C = Cr ; sia
C1 il valore di tali coppie. L’angolo di carico sia  = 1.
In tali condizioni, tutti i fasori elettrici ed i vettori spaziali
sono sincroni, e rotanti alla velocità elettrica  .
STALLO
Coppia C
MOTORE
( < 0)
Fig. 7.1: rappresentazione schematica del motore e delle
coppie agenti sull’albero.
Coppia C
C4
*
C3
If
If1
C*
0
2
30
1
If2
lim = -90
60
90
2
0
120 150 180
30
4
60
lim = 90
90
120 150 180
 [gradi el.]
 [gradi el.]
C1
GENERATORE
( > 0)
Fig. 7.2. Caratteristica pseudo–meccanica per due valori
della corrente di eccitazione If.
3
1
C2
FUGA
Fig. 7.3:limiti di stabilità della MS.
Si aumenti di poco e lentamente la coppia resistente Cr , passando attraverso condizioni di equilibrio (regime “quasi
statico”). Il rotore tende a rallentare, poi riacquista la normale velocità sincrona, ma nel frattempo “ritarda” rispetto alla
sua posizione originale; l’angolo di carico  quindi aumenta in modulo, portandosi al valore 2.
Dalla caratteristica pseudo–meccanica (fig. 7.3), si osserva che la coppia elettromagnetica C aumenta in modulo (C =
C2), così da uguagliare la coppia resistente Cr. Si è di nuovo in una condizione di equilibrio a velocità costante e pari a
quella di sincronismo.
Attraverso condizioni di equilibrio “quasi-statiche”, il motore si porti nella condizione  = lim = -90°. Se si incrementa
ulteriormente la coppia resistente Cr , l’angolo di carico raggiunge un valore  < -90°. Dalla caratteristica pseudo meccanica C(), si osserva come la coppia elettromagnetica C diminuisca. Essendo la coppia elettromagnetica C
(motrice) minore della coppia resistente Cr , il rotore perde il sincronismo con il campo rotante (si dice che la macchina
perde il passo) e tende a fermarsi (“va in stallo”). Il valore lim = -90° el. è quindi il limite di stabilità statica.
Un comportamento analogo si ha nel caso di generatore; in tal caso, se si supera lim = 90° el., la coppia
elettromagnetica non riesce più ad equilibrare la coppia motrice, e la perdita di passo porta il motore ad accelerare
indefinitamente (si dice che la macchina “va in fuga”).
Per ovviare al pericolo di instabilità, occorre aumentare la corrente di eccitazione. In tal caso, restando costanti le
coppie sia resistente che motrice, si riduce (in modulo) l’angolo di carico (fig. 7.2).
Nella pratica, è opportuno che l'angolo di carico sia sempre adeguatamente inferiore al valore limite lim = ±90° el. ,
anche in considerazione delle sovraelongazioni oscillatorie del rotore, che si verificano durante i transitori meccanici
connessi alle variazioni di carico della macchina. Un criterio tipicamente adottato è quello di adottare come limite per
l’angolo di carico quel valore ’lim tale che un prefissato incremento di potenza attiva (tipicamente, il 10% della
potenza massima della macchina) porti l’angolo di carico al valore limite lim = 90° el. Il valore ’lim si ricava con
una costruzione grafica che sarà illustrata con riferimento al diagramma polare della MS.
8. Caratteristiche di funzionamento della MS a frequenza e tensione costanti .
Dati di targa
Nel funzionamento con valori costanti di frequenza e tensione ai morsetti, i dati di targa sono:
- la tensione e la frequenza nominali (dati connessi alla progettazione del sistema di isolamento e del sistema
meccanico);
- la corrente nominale di indotto (e quindi le perdite nominali nel rame di indotto, dato che, assieme alle perdite nel
ferro, individua la progettazione del sistema di raffreddamento dell'indotto);
- la tensione nominale dell'induttore (che determina il sistema di isolamento dell'induttore).
- la corrente di eccitazione nominale (e quindi le perdite nel rame di induttore, dato che determina il sistema di
raffreddamento dell'induttore);
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Diagramma polare
Partendo dal diagramma dei fasori di Behn-Eshemburg, si può ottenere il cosiddetto “diagramma polare” della MS
isotropa, utile per visualizzare i limiti di funzionamento della macchina stessa nel servizio continuativo a tensione e
frequenza costanti: tali limiti identificano la cosiddetta “Curva di capability” dell’alternatore.
Si considera, come riferimento, il caso di un generatore sovraeccitato, ma come si vedrà, la procedura vale in tutti i casi
di funzionamento possibili (i 4 casi di fig. 4.2 o 4.3).
Si consideri quindi il diagramma vettoriale di un generatore sovraeccitato (fig. 4.2a), e si dividano tutti i fasori per jXs :
si ottiene il triangolo delle correnti indicato in Fig. 8.1 (dividere per j significa ruotare di -90°); si osservi cheEf / jXs
è proporzionale alla corrente di eccitazione If , come risulta dalla relazione che lega Ef a If : Ef = Kf If .
Nel diagramma fasoriale ottenuto, sia O il punto iniziale del fasoreIa , O’ il punto iniziale del fasoreVf / jXs , P il
punto finale dei fasoriIa eEf / jXs . Se ora si considera un piano cartesiano con origine nel punto O, si riconosce che
ogni punto P del piano identifica la corrente di indotto OP, l’angolo , la corrente di eccitazione O’P (che è
proporzionale a Ef / jXs ) e l’angolo .
Tramite un cambiamento di scala di un fattore Vf , sull’asse reale (che qui è quello verticale) si possono leggere le
potenze attive, e sull’asse immaginario le reattive. Nel I e IV quadrante la macchina funziona da generatore ( > 0), e
nel II e III da motore ( < 0). Nel I e II quadrante vi è potenza reattiva assorbita, nel III e IV erogata.
Circonferenze di centro O indicano funzionamento a corrente di armatura Ia (o potenza apparente) costante;
ugualmente, circonferenze di centro O’ indicano funzionamento a corrente di eccitazione If costante.
I luoghi dei punti limite di funzionamento (“Curva di capability”) sono i seguenti:
- cerchio con centro O e raggio pari alla corrente di armatura nominale Ia_n : identifica il limite termico associato alla
massima corrente di armatura, o massima potenza apparente;
- cerchio con centro O’ e raggio pari alla corrente di eccitazione nominale If_n : identifica il limite termico associato
alla massima corrente di eccitazione;
- orizzontale di ordinata Pmax : massima potenza meccanica fornita dal motore primo: il motore primo è progettato per
una coppia massima continuativa (e quindi per una potenza massima) che non deve essere superata; ovviamente, tale
limite esiste solo nel funzionamento da generatore;
- verticale per O’: limite di stabilità statica  < /2 : la precedente discussione sulla stabilità statica ha mostrato che
occorre limitare (a pari corrente di eccitazione e cioè a pari f.e.m.) l’iniezione di potenza da parte del motore primo, nel
senso che, pervenuti alla condizione di carico corrispondente a  = /2, la coppia elettromagnetica Te non può più
crescere, perché se aumenta la coppia fornita dal motore primo Tm non si può raggiungere una condizione di equilibrio
statico tra le due coppie. Questa limitazione pertinente l’equilibrio statico tra coppia motrice e coppia elettromagnetica
viene visualizzato sul diagramma polare escludendo la zona di funzionamento con  > /2.
Come detto, per sicurezza si evita di raggiungere  = /2, per cui si esclude anche una zona, con andamento circa
parabolico, a ridosso di  = /2. La costruzione grafica che identifica tale zona è mostrata in fig. 8.2:
- scelto un valore ammissibile per l’incremento in potenza P , si suddivide il segmento Pmax in NP segmenti,
con NP = Pmax /P ; in fig. 8.2 si è assunto P = 0.1 Pmax , quindi NP = 10 ;
- si tracciano delle rette orizzontali, passanti per i vari segmentini: tali rette rappresentano luoghi a potenza costante;
- puntando in O’, per ciascun segmentino, si tracciano delle circonferenze, che rappresentano quindi luoghi di
funzionamento a corrente di eccitazione costante;
- per ciascuna circonferenza, si identifica l’intersezione con la retta orizzontale appena inferiore;
- la curva parabolica che unisce queste intersezioni identifica la zona limite cercata.
Infatti, a causa dell’elevata costante di tempo del circuito di eccitazione, un incremento repentino della potenza attiva
porta il sistema a muoversi su una curva a corrente di eccitazione costante (che sono appunto le circonferenze
tracciate); allora, a partire da un qualunque punto P della curva parabolica, se la potenza subisce un incremento P, le
nuove condizioni di funzionamento saranno quelle del punto P’, che si trova sulla verticale, cioè con  = /2. Si è quindi
ottenuto lo scopo prefissato: identificare il luogo dei punti che, con un incremento prefissato di potenza, portano il
sistema ai limiti della stabilità.
Regolazione della potenza in un alternatore.
Il diagramma polare consente di visualizzare rapidamente le operazioni da effettuare per regolare in un alternatore le
potenze attiva P e reattiva Q scambiate con la rete. In particolare:
- la potenza P coincide, a meno delle perdite, alla potenza meccanica Pm entrante dal motore primo;
- la potenza Q dipende dal punto di funzionamento, e varia al variare sia di Pm, sia della corrente di eccitazione If ;
- se non si variano nè Pm, nè If , il punto di lavoro non si muove;
- se si varia Pm, senza regolare If , ci si muove su una circonferenza di raggio OP, e Q varia;
- se si varia If, senza regolare Pm, ci si muove su una retta orizzontale passante per il punto P, e ancora Q varia;
- se si vuole mantenere inalterata Q, occorre modificare sia la corrente di eccitazione If, sia la potenza attiva P del
motore primo in modo da muoversi su una retta verticale passante per il punto P.
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Funzionamento in corto circuito di un generatore sincrono.
Si intende il funzionamento in caso di un corto circuito trifase franco ai morsetti del generatore. Lo studio di tale
funzionamento consiste nel determinare il legame fra la corrente di eccitazione If e la corrente di armatura di corto
circuito Ia_k ; tale legame è detto caratteristica di corto circuito. Per ricavarla, si usa la costruzione di Behn-Eshemburg
(Fig. 8.3a): fissata la corrente Ia_k , la f.e.m. vale j Xs Ia_k ed entrando con tale f.e.m. nella caratteristica di
magnetizzazione del traferro (Fig. 8.3b), si ricava la corrente di eccitazione If ; l’uso della caratteristica di traferro è
dovuto all’ipotesi di linearità, sottesa alla costruzione di Behn-Eshemburg. Dato che Ef = Xs Ia_k e ricordando che Ef
= Kf If , si ha Ia_k = (Kf / Xs ) If = Kk If : si verifica quindi che il legame Ia_k = Ia_k (If ) , è lineare (Fig. 8.3c).
Tale relazione indica anche il modo per ricavare la corrente di corto circuito: nota If si ha Ia_k = (Kf / Xs ) If
Determinazione sperimentale della reattanza sincrona in macchine di potenza elevata.
Nelle macchine sincrone di potenza elevata, la resistenza del circuito di armatura è molto piccola, per cui si può
trascurare, e la legge alla maglia risulta Ef =Vf ± j XsIa .
Dalle relazioni precedenti, si deduce che la reattanza sincrona può essere ricavata sperimentalmente in due modi:
1) tramite due prove, effettuate a pari corrente di eccitazione If , una a vuoto, in cui si misura Ef , ed una di corto
circuito, in cui si misura Ia_k ; poi, Xs = Ef /Ia_k ;
2) dalle caratteristiche a vuoto ed in corto circuito, dal rapporto Xs = Kf / Kk .
Si verifica che il valore p.u. di Xs è compreso fra 1 e 2, cioè xs  X s  X s I n  1  2
Zn
Vn
3
P
O’
O
Fig. 8.1: diagramma polare della MS isotropa e “Curva di capability” di un alternatore
Fig.8.2: zona di funzionamento
stabile con incrementi di
potenza pari a 0.1 Pmax .
Fig. 8.3: funzionamento in corto circuito.
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PARTE III: FUNZIONAMENTO A TENSIONE E FREQUENZA VARIABILI: FUNZIONAMENTO DA
MOTORE, ALIMENTATO DA UN CONVERTITORE CHE IMPONE LA CORRENTE.
Quando la MS è utilizzata come motore, è quasi sempre alimentata da un convertitore in grado di imporre una corrente
voluta, ossia un sistema trifase di correnti sinusoidali di ampiezza, fase e frequenza desiderate.
9. Coppia e stabilità nel caso di alimentazione a corrente impressa
Espressioni di potenze e coppia.
Procedendo in modo analogo a prima, cioè partendo dai diagrammi vettoriali di
fig.4.2, si possono ottenere le espressioni della potenza attiva e reattiva, e dalla
potenza attiva ricavare la coppia.
Proiettando sul fasore corrente di armaturaIa (si veda per es. la fig.9.1), si ha:
Vf cos( ) = Ef cos( + δ ) , Vf sin( ) = Ef sin( + δ ) – Xs Ia ;
considerando il funzionamento da motore, si ha γ +  + δ – 90 = 0, cioè
( + δ ) = (90 – γ ) , da cui cos( + δ )= sin (γ) e sin( + δ ) = – cos(γ).
Quindi Vf cos( ) = Ef sin (γ) e Vf sin( ) = Ef cos(γ) + Xs Ia , da cui:
P = 3 Vf Ia cos = 3 Ia Ef sin (γ)
Q = 3 Vf Ia sin( ) = 3 Ia ( Ef cos(γ ) + Xs Ia ) =
= 3 Ia Ef cos(γ ) + 3 Xs Ia 2
C = P / 0 = 3 Ia Ef sin( ) / 0 = 3 p/2 Ia f sin( ) .
j XsIa
Vf
Ef
δ
φ

Ia M a


 a a I
a
γ
 
I f mf

 f f
Fig. 9.1: diagramma vettoriale cui
riferirsi per visualizzare le espressioni
delle potenze e della coppia
Ricordando il segno di , si verifica quanto precedentemente affermato (a proposito delle convenzioni): con la scelta
effettuata, la coppia di un motore è positiva (mentre è negativa quella di un generatore).
Anche qui si giunge al medesimo risultato valutando la potenza complessa; ponendof sull’asse reale, si haEf = jEf
Ia = Ia e j , V f =E f + j XsIa = jEf + j Xs Ia e j , A = 3V f Ia = 3 ( jEf + j Xs Ia e j ) Ia e - j


A  3 j E f I a e j   X s I a 2  3 j  E f I a cos( )  jE f I a sin( )  X s I a 2   3E f I a sin(  )  3 j  E f I a cos(  )  X s I a 2   P  jQ .




Dalle espressioni presentate, si ricava che, nel funzionamento a corrente impressa, la coppia è massima per sin (γ)=1,
ossia γ = 90° . Questo è valido anche se si tiene conto della resistenza del circuito di armatura, perché questa resistenza
non altera la potenza meccanica uscente, ma semplicemente fa aumentare la potenza elettrica entrante.
NOTA: nei due funzionamenti da generatore o da motore, la MS è la stessa, quindi l’espressione della coppia presentate
per il funzionamento da generatore è valida anche nel funzionamento da motore, e viceversa. Le due espressioni sono
diverse perché è diversa la grandezza impressa (cioè la grandezza di alimentazione): nel funzionamento da alternatore,
la grandezza impressa è la tensione Vf, per cui si evidenziano Vf e ; invece, nel funzionamento da motore, la
grandezza impressa è la corrente Ia , per cui si evidenziano Ia e .
Relazione con giunto elettromagnetico.
L’espressione della coppia ottenuta consente un’interessante osservazione. I fasori corrente sono in fase con i rispettivi
vettori spaziali campo magnetico, per cui l’angolo fra i due campiBa eBf è proprio l’angolo  ; inoltre Ef = 0 Ψf ,
per cui C = 3 Ia Ψf sin( ) ; infine, ricordando che Ia è proporzionale a Ba , e Ψf è proporzionale a Bf , si può scrivere
che la coppia è proporzionale al prodotto dei due campi e al seno dell’angolo compreso: si ritrova l’espressione della
coppia ricavata nello studio del giunto elettromagnetico; ciò mostra che il principio di funzionamento del motore
sincrono è lo stesso del giunto elettromagnetico.
Esempi di diagrammi vettoriali per due condizioni di carico
In questo caso, essendo le correnti imposte dal convertitore, è semplice disegnare i diagrammi vettoriali per due
condizioni di carico, identificate dagli angoli γ1 e γ2 (fig. 9.2), perché il fasore corrente non cambia. Se la coppia di

carico aumenta, γ aumenta => Φ f si allontana da Ia ; se If non varia, anche Ef non varia in modulo, ma cambia la
fase; dalla legge alla maglia si ricava poi la tensione ai morsetti Vf .
Assenza di instabilità nel caso di alimentazione a corrente impressa.
Sostituendo l’angolo di carico δ con l’angolo di coppia γ, si potrebbe ripetere il ragionamento precedentemente
effettuato a riguardo della stabilità statica, concludendo che γ = 90° è un limite di stabilità; infatti, fintanto che γ < 90°,
al crescere della coppia di carico γ aumenta, e la coppia elettromagnetica aumenta anch’essa (fig. 9.3); raggiunto γ =
90°, se la coppia di carico aumenta ancora, γ aumenta, ma la coppia elettromagnetica cala (fig. 9.3). Si conclude quindi
che per avere un funzionamento stabile, occorre mantenere γ < 90°.
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In realtà, normalmente, insieme al convertitore elettronico è presente un sistema di controllo in anello chiuso che può
imporre un valore definito dell’angolo di coppia; in tal caso, i problemi di instabilità non esistono più, in quanto
l’angolo di coppia è appunto imposto dal controllo, per cui (posto che la coppia di carico non superi il valore massimo
che la macchina può fornire) la macchina può funzionare con qualsiasi valore di γ .
Coppia C
C2
*
γ
C1
γ
Fig. 9.2: diagramma vettoriale del motore riportato sul
piano della macchina. Con linea continua ed in
tratteggio sono rappresentati i diagrammi vettoriali per
un angolo di carico pari rispettivamente a γ1 e γ2.
γ1
0
30
γ2
60
γ3
90
γ [gradi el.]
120
150
180
Fig. 9.3: caratteristica pseudo – meccanica
del motore sincrono.
Generalmente si impone γ = 90° (fig. 9.4a), perché si ha coppia massima a parità di correnti assorbite (sia corrente di
armatura Ia , sia corrente di campo If ), oppure (che è lo stesso) corrente minima a parità di coppia.
In relazione ad altre esigenze, tipicamente di deflussaggio, si può decidere di imporre γ > 90°. Infatti: per
“deflussaggio” si intende il fatto che oltre la velocità base il flusso di eccitazione viene ridotto: questo perché dal campo
di operatività si vedrà che quando si raggiunge la velocità base, anche la fem raggiunge il valore massimo, e da qui in
poi, se si vuole aumentare la velocità, occorre calare il flusso, in modo che la fem rimanga costante; dato che il flusso
erogato da un magnete è costante, l’unico modo per ridurre tale flusso consiste nel creare, tramite la corrente di
armatura, un campo smagnetizzante, cioè che si oppone a quello del magnete; questo si può ottenere se la f.m.m.
statorica ha una componente in opposizione a quella rotorica, e ciò comporta (come mostrato in fig. 9.4b) γ > 90°.
Si osservi che nel caso di de flussaggio, Ia cambia fase, ma non modulo.
Si fa notare che, per quanto detto a proposito della stabilità, il funzionamento con γ = 90° oppure γ > 90° è possibile
solo in presenza di un sistema di controllo.
γ
Iad
γ
Fig. 9.4: diagramma vettoriale del motore sincrono in corrispondenza alla condizione
di massima coppia (γ = 90°, fig. 9.4a) ed alla condizione γ > 90° (indebolimento di campo, fig. 9.4b).
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10. Campo di operatività a regime al variare della tensione e della frequenza
BIETTA
CAVA
DENTE
CAVA
Limiti a cui è sottoposta la macchina
Nel funzionamento a tensione e frequenza varabili, il sistema macchina + convertitore è sottoposto ad un insieme di
restrizioni che riguardano:
- il sistema di isolamento e di raffreddamento;
- il sistema meccanico;
- il circuito magnetico, in relazione ai materiali impiegati;
- il sistema dei generatori pilotati di alimentazione.
Il sistema di isolamento viene progettato in modo da assicurare alla macchina una vita media probabile
convenientemente lunga; la qualità della progettazione viene provata in base alle norme internazionali IEC
assoggettando la macchina ad una serie di prove standardizzate di intensità commisurata alla "tensione nominale di
isolamento" .
Il sistema di raffreddamento e/o di accumulazione delle perdite consentirà funzionamenti di regime (continuativo,
intermittente o di durata limitata) con perdite da contenere opportunamente (in relazione alla classe del materiale
isolante) oppure colpi di calore (con accumulo delle perdite senza sensibile smaltimento) per effetto di picchi di
corrente di durata convenientemente limitata in relazione alla temperatura iniziale degli avvolgimenti ed alle riduzioni
della vita media probabile degli isolamenti che si ritiene utile di accettare.
Il sistema meccanico della macchina (tipicamente i cuscinetti e gli ammaraggi degli avvolgimenti) sarà progettato per
una velocità angolare nominale che definisce, quando sia correlata alle norme IEC, le prove di velocità di tipo e di
accettazione atte a qualificare la progettazione meccanica.
Il materiale magnetico impiegato è soggetto a saturazione; tale fenomeno è
particolarmente sensibile per il dente interposto tra due cave nella zona in cui
è massima l'induzione al traferro. Se si accetta di assegnare, si veda la Fig.
10.1, metà del passo di cava c (arco di periferia corrispondente ad una cava
c =  D / c dove D è il diametro al traferro e c il numero totale delle cave)
al dente e metà alla apertura di cava bc , l'induzione ideale (in assenza di
saturazione) nel dente è doppia che nel traferro (più che doppia in alcune zone
del dente se si tiene conto dell'intaglio creato dalla bietta, si veda la Fig. 10.1).
Dal momento che nei materiali attuali, come ordine di grandezza, induzioni
nei denti dell'ordine di 2 T danno luogo a saturazione (per modo che al
crescere della fmm non cresce più il flusso al traferro) le induzioni massime al
Fig. 10.1: struttura dentata di statore.
traferro saranno inferiori a circa 1 T. Se ne conclude che il flusso al traferro
La “bietta” è la barra in materiale
ottenibile è limitato sostanzialmente dalle dimensioni (diametro al traferro e
amagnetico usata per chiudere la cava,
lunghezza del pacco lamiere) della macchina.
in modo da evitare l’uscita del
(Il flusso al traferro è il flusso risultante nel traferro, dovuto alla
conduttore.
composizione dei due flussi di eccitazione e di armatura).
Occorre infine considerare che il sistema dei generatori pilotabili (in grado di fornire correnti o tensioni di ampiezza e
frequenza regolabili) costituisce un sistema di potenza finita in grado di erogare punte di corrente limitate dalla modesta
capacità termica delle valvole. Queste limitazioni vanno considerate come parte integrante di quelle tipiche della
macchina elettrica quando si consideri il sistema generatore pilotabile/motore.
Campo di operatività
Si definisce “Campo di operatività” l’insieme delle curve luogo dei valori limite ammissibili per le diverse grandezze
elettromagnetiche (corrente e tensione di armatura, f.e.m. di indotto, flusso al traferro, coppia) al variare della velocità
angolare della macchina; l’andamento qualitativo è mostrato in Fig. 10.2.
Assumendo il flusso di eccitazione f pari al valore massimo ammissibile s in relazione alla saturazione, la f.e.m.
crescerà proporzionalmente alla velocità. Una volta superata la "velocità base" b (quella per la quale la f.e.m e
eguaglia la tensione nominale di isolamento v dove in queste considerazioni, per semplicità, si accetta che e  v, cioè si
trascura la cdt su resistenza ed induttanza di armatura) la f.e.m. verrà mantenuta costante ed il flusso f si ridurrà
proporzionalmente ad 1 /  (zona di de flussaggio) fino alla velocità massima M imposta dal sistema meccanico.
Per quanto riguarda la corrente di armatura, se il sistema di smaltimento delle perdite ha una efficacia indipendente
dalla velocità (macchine a ventilazione forzata) allora la corrente ammissibile negli intervalli di lavoro del motore
elettrico è costante con la velocità, dipenderà dal sistema di alimentazione e dal tipo di servizio (crescerà passando dal
servizio continuativo, a quello di durata limitata, a quello intermittente, a quello di picco). Nella figura si è considerato
il caso di una macchina a ventilazione forzata, funzionante in servizio continuativo a corrente isc . Al contrario, in una
macchina auto ventilata, l’efficacia del raffreddamento aumenta con la velocità, per cui a bassa velocità può essere
richiesto un calo della corrente massima erogabile.
Nell’ipotesi che la corrente di armatura sia mantenuta costante, dall’espressione della coppia C = 3 p/2 Ia f sin( ) si
riconosce che la coppia massima (sin = l) erogabile in servizio continuativo dovrà essere non superiore a 3 p/2 isc s
nel campo di velocità inferiore alla velocità base per poi ridursi proporzionalmente ad 1 /  (perché f si riduce come
1 / ) nella zona di de flussaggio; in tale zona, anche sin si riduce proporzionalmente ad 1 /  .
18
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Si fa notare che la curva di coppia in Fig. 10.2 rappresenta l’inviluppo dei valori massimi per
C
CMAX
ogni valore di velocità; infatti, si è mostrato precedentemente che la caratteristica meccanica
o
della MS è costituita da un segmento verticale nel piano C – , spiccato in corrispondenza

all'ascissa  = 0; se però si fa variare la velocità 0, si ottengono una serie di segmenti
-CMAX
paralleli, e se si uniscono i valori massimi di questi segmenti si ha appunto la curva che dà il
campo di operatività della coppia. La variazione di 0 è resa possibile proprio dal fatto che la
macchina è alimentata tramite un convertitore elettronico, in grado di regolare sia la tensione CMAX
che la frequenza di alimentazione.
Altri esempi di caratteristiche meccaniche limite, tratte dai cataloghi dei produttori di motori
o
sincroni, sono riportate in fig. 10.3. Le diverse curve si differenziano per il tipo di servizio:
 continuativo;
 intermittente 50% (5 minuti di funzionamento e 5 minuti fermo);
 intermittente 20% (2 minuti di funzionamento e 8 minuti fermo);
 limite di tensione del motore.
Si fa notare che il servizio intermittente è generalmente di durata pari a 10 minuti, a meno che diversamente specificato.
Si osservi che le curve reali di coppia non sono piatte, ma leggermente calanti.
Fig.10.2: campo di operatività di una MS.
Fig. 10.3. Caratteristica meccanica limite di una MS.
S1: servizio continuativo; S3: servizio intermittente (10 min).
11. Servomotori A.C. BRUSHLESS
Vengono chiamate A.C. BrushLess (o BrushLess sinusoidale) delle macchine sincrone, alimentate da un convertitore
che impone correnti o tensioni sinusoidali, in cui l’eccitazione sia fornita non da un avvolgimento ma da magneti
permanenti (MP); sono così chiamate per l’assenza di un sistema di spazzole. Sono oggi ampiamente utilizzate per
azionamenti di bassa e media potenza. Il principio di funzionamento è comunque quello di una MS.
Costanti di f.e.m. e coppia.
Dato che il flusso di eccitazione Φf è generato da un MP, esso è costante; la f.e.m. della macchina Ef risulta quindi
proporzionale alla velocità di rotazione 0 , e la costante di proporzionalità è il numero di paia poli moltiplicato per il
flusso ΨMP generato dal MP e concatenato con l’avvolgimento statorico:
Ef = fa U/2 Efsp = fa U/2  Φf / √2 = fa U/2 0 p/2 Φf / √2 = p/2 fa U/2 Φf / √2 0 = p/2 ΨMP 0 .
Il coefficiente di proporzionalità fra f.e.m. concatenata e velocità di rotazione 0 viene chiamata costante di fem:
Ec = √3 Ef = √3 p/2 ΨMP 0 = KE 0 .
In questa relazione, KE è espressa in [rad/s]; nella pratica, KE si misura in [V/krpm], per cui si utilizza un’altra
relazione: Ec = KE *1000 /1000*N0 *(2/60) = KEN *N0 /1000 .
La coppia può essere espressa come C = 3 Ef Ia sin( ) / 0 = 3 p/2 ΨMP Ia sin( ) = √3 KE Ia sin( ) = KT Ia sin( )
La costante KT = 3 p/2 ΨMP = √3 KE è detta costante di coppia, e si misura in [Nm/A]; si osservi che Ia è il valore
rms della corrente di fase.
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PARTE IV: NON LINEARITA’ E ANISOTROPIA
Premessa su Principio di Sovrapposizione delle Cause e degli Effetti (PSCE)
Se un sistema fisico è lineare (cioè fra una causa ed un effetto esiste una relazione di proporzionalità), vale il PSCE, per
cui l’effetto risultante dovuto a più cause agenti contemporaneamente è pari alla sovrapposizione degli effetti che
ciascuna causa produce agendo da sola.
Se un sistema è non lineare, il PSCE non vale, per cui non si possono sovrapporre gli effetti, ma occorre sovrapporre le
cause per ottenere la causa risultante, poi da questa si passa all’effetto risultante.
ES: siano c1 e c2 due cause che producono rispettivamente gli effetti e1 ed e2; sia c3 = c1 + c2 la causa risultante, e sia
e3 l’effetto prodotto da c3
e3
e2
Sistema lineare:
e3 = e1 + e2
e1
c2
c1
Sistema non lineare:
e3  e1 + e2
e2
c3
e3
e1
c2
c3
c1
Nel caso di un circuito magnetico, il ragionamento si applica alla caratteristica di magnetizzazione, cioè al legame fmmflusso o corrente-fem. Allora:
- in una macchina lineare, la fem risultante dovuta all’azione di più fmm agenti contemporaneamente si ottiene
sommando le fem causate dalle singole fmm; infatti, nel caso di MS lineare, il diagramma fasoriale del
funzionamento a carico (cioè con fmm sia di induttore, sia di indotto) è stato ottenuto per semplice sovrapposizione
dei diagrammi fasoriali delle due condizioni di funzionamento con solo induttore alimentato (sola fmm di
induttore) e solo indotto alimentato (sola fmm di indotto);
- in una macchina non lineare, il procedimento precedente non è corretto: per ottenere la fem risultante dovuta
all’azione di più fmm agenti contemporaneamente occorre sommare le singole fmm agenti, per avere la fmm
risultante, poi da questa si passa alla fem risultante tramite la caratteristica di magnetizzazione.
12. Diagrammi vettoriali della MS isotropa non lineare. Costruzione di Potier.
Per ricavare il diagramma dei fasori elettrici e dei vettori spaziali di una MS isotropa non lineare, occorre operare come
precedentemente detto, cioè occorre sommare le singole fmm agenti, per avere la fmm risultante, poi da questa si passa
alla fem risultante tramite la caratteristica di magnetizzazione; infine, dalla fem risultante si passa alla tensione ai
morsetti aggiungendo (o sottraendo) la cdt reattiva j XℓIa sulla reattanza di dispersione Xℓ del circuito di indotto (e, se
significativa, la cdt resistiva sulla resistenza del circuito di indotto).
Nella pratica però, la fmm di eccitazione non è nota; si opera invece in modo inverso: partendo da una certa condizione
di carico Vf , Ia , cos , tramite la legge alla maglia si ricava la fem risultante (somma della fem indotta dal rotore e
della fem autoindotta dallo statore), detta fem “utile” Eu (si noti che, in tal modo, Eu è una grandezza di fase, non

concatenata); da Eu si passa alla causa che la genera, cioè la fmm risultante (o “utile”) M u ; dalla composizione della



 
fmm risultante M u e della fmm di armatura M a si ricava la fmm di eccitazione M f = M u - M a ; infine, dividendo
per il numero di spire del circuito di eccitazione Nf , si ha la corrente di eccitazione necessaria If = Mf / Nf . Questo
procedimento prende il nome di costruzione di Potier.
Occorre ora definire modulo e direzione dei vari fasori e vettori spaziali.

Vettore spaziale M a : l’analisi del funzionamento ha mostrato che esso è in fase con il fasore elettrico corrente di
armatura (della fase a) Ia ; per il modulo, l’espressione è quella di un campo rotante trifase: M a 
3 2 U
fa Ia .

p

Vettore spaziale M u : l’analisi del funzionamento ha mostrato che in quadratura rispetto al fasore fem indotta di

eccitazioneEf sta il fasore flusso concatenatof , che è in fase con il vettore spaziale flusso di polo Φ f e quindi con

il vettore spaziale fmm di eccitazione M f ; in modo analogo, si potrà dire che in quadratura rispetto al fasore fem



utileEu sta il fasoreu , ed i vettori spaziali flusso utile Φu e fmm utile M u ; il modulo di M u si ricava dalla
caratteristica di magnetizzazione, in corrispondenza di 3 Eu .
20
22
j XℓIa
Si può a questo punto effettuare la costruzione, ricordando che:
- per un generatore, la legge alla maglia èEu =Vf + j XℓIa ,
e i vettori spaziale flusso sono in quadratura in anticipo sui
rispettivi fasori fem;
- per un motore, la legge alla maglia èVf =Eu + j XℓIa , e i
vettori spaziale flusso sono in quadratura in ritardo sui
rispettivi fasori fem.
Si ottengono i diagrammi di Fig. 12.1.
NOTA: fare attenzione che la composizione delle fmm è



eccitazione + reazione = risultante, cioè M f + M a = M u
Eu

M u ,u

Ma
j XℓIa
Vf
Eu
Vf


 Ia

Mf

Mf
 Ia

M u ,u

Ma
Fig. 12.1:Costruzione di Potier con le fmm.
Ora, dato che in realtà interessa la corrente, non la fmm, si può dividere tutto per Nf , e ragionare direttamente con le

 


Mf
M a 3 2 U Ia
Mu Ma 
Ma
; poi

fa
  p I a , dove il coefficiente p prende il
correnti: I f 

 Iu 
Nf

p Nf
Nf
Nf
Nf
nome di coefficiente di Potier. Esso dice che, per produrre una certa fmm nel traferro, si può alimentare il circuito di
armatura con una corrente Ia oppure il circuito di eccitazione con una corrente p Ia ; ha quindi il significato fisico di
un coefficiente di riporto da avvolgimento di armatura ad avvolgimento di eccitazione.
La costruzione di Potier risulta quindi (Fig. 12.2a): dalla legge alla maglia si ricava Eu = Vf ± j XℓIa ; in quadratura





rispetto ad  Eu si posiziona I u ; in fase con Ia si posiziona  p I a ; dalla composizione si ricava I fNL = I u -  p I a
(i pedici NL indicano che si sta considerando la macchina non lineare).

In quadratura su I fNL si può posizionare l’asse interpolare, su cui giace il fasore fem interna EfNL (Fig. 12.2b); il
modulo di EfNL si ricava dalla caratteristica di magnetizzazione in corrispondenza del valore di IfNL . (Fig. 12.2c)
j XℓIa
Eu
Vf


p Ia

Iu

I fNL
j XℓIa
EfNL
Eu
Vf

 Ia

p Ia

Iu
 Ia
√3 EfNL
√3 Eu

I fNL
Iu
IfNL
Fig. 12.2: a) costruzione di Potier con le correnti; b) posizionamento del fasore fem interna EfNL , c) determinazione
del modulo di EfNL dalla caratteristica di magnetizzazione.
Legami fra Potier e Behn-Eshemburg
j XsIa
Con riferimento ai diagrammi vettoriali di fig. 4.2, si
Ef
supponga di conoscere le condizioni di funzionamento ai
j XℓIa
morsetti (Vf , Ia ,  ). A partire dal vertice del vettore
tensioneVf , si riporta un vettore di ampiezza Xs Ia , in
√3 Ef
EfNL Eu
Vf
quadratura in anticipo rispetto aIa . Viene in tal modo
individuato il vertice del vettore f.e.m. E f ; dividendo
E f per il coefficiente Kf definito nel paragrafo2, si ha

√3 EfNL
 Ia
la corrente di eccitazione I f necessaria alle condizioni

Iu
di funzionamento considerate. In generale, nella


costruzione di Behn-Eshemburg la f.e.m. a vuoto E f è  I a
p
If
decisamente superiore alla reale, mentre la corrente di

I fNL
eccitazione valutata con Behn-Eshemburg è inferiore a
quella realmente necessaria in una data condizione di
carico.
If IfNL
21
23
NOTA: è corretto usare la caratteristica di magnetizzazione come legame Iu -- Eu ?
La caratteristica di magnetizzazione è il legame If -- Vo , mentre qui si sta considerando il
legame Iu -- Eu : va bene lo stesso? Sì, perché il legame If -- Vo è un legame fra una certa
causa (If o Mf ) ed un effetto (Vo); ora, se la causa cambia, ma il circuito magnetico è lo
stesso, l’effetto non può cambiare, perché il legame non può cambiare. In particolare: nel

funzionamento a vuoto, la sorgente del campo è la sola fmm di eccitazione M f , mentre qui



la sorgente del campo è la fmm risultante M u (somma di M a e M f ), quindi la causa è
cambiata, ma il circuito magnetico è lo stesso => l’effetto (cioè la fem Eu ) mantiene con la

causa (cioè la fmm M u ) lo stesso legame precedente.
L’unica accortezza è che Vo è una grandezza concatenata, mentre Eu è grandezza di fase =>
nella caratteristica di magnetizzazione occorre mettere 3 Eu.
Vo =
√3 Ef
If = Mf / Nf
Iu = Mu / Nf
Legami fra Potier e Behn-Eshemburg - Approfondimento
Se si prolungano EfNL e j XℓIa fino ad intersecarsi nel punto C, si ottiene il triangolo OBC. Per costruzione,
  FOG
 e OBC
  OFG
 (sono angoli compresi fra rette perpendicolari fra loro) => i triangoli OBC e OFG sono
BOC
simili => OB : OF = OC : OG => OC = OG*OB/OF => OC = IfNL * Eu / Iu => 3OC = IfNL *3Eu / Iu . Il segmento
3OC è dunque l’ordinata del punto di ascissa IfNL e giacente sulla retta u di coefficiente angolare 3 Eu / Iu , cioè la
retta passante per l’origine e per il punto 3Eu , Iu ; sia 3EfNLprol il valore di fem corrispondente a tale punto; si ha
quindi OC = EfNLprol .
Si potrebbe pensare che EfNLprol sia la Ef della costruzione di Behn-Eshemburg. In realtà, si riconosce che non è così, se
si osserva che Behn-Eshemburg considera la caratteristica di traferro => Ef sta sulla caratteristica di traferro (retta t),
mentre EfNLprol sta sulla retta passante per il punto 3Eu , Iu (retta u) . Dal diagramma si riconosce che la pendenza di t è
superiore a quella di u, per cui normalmente si ha Ef > EfNLprol . La posizione del vettore Ef si può ottenere applicando
la legge alla magliaEf = Vf + j XsIa : tracciando un segmento AD = j XsIa , il fasoreEf è il segmento OD. A
questo punto si vede chiaramente il rapporto fra le due costruzioni. In particolare, si vede che rispetto alla costruzione di
Potier, quella di Behn-Eshemburg dà valori più grandi della fem interna (Ef > EfNL) e dell’angolo di carico 
  AOC
 ), mentre dà valori inferiori della corrente di eccitazione (If < IfNL). I valori corretti sono quelli di Potier,
( AOD
perché la macchina reale è NON lineare, ma la costruzione di Behn-Eshemburg è spesso utilizzata per la sua semplicità.
D
C
B
EfNLprol
j XℓIa
A
Vf
EfNL
Eu


Iu
 F
p Ia
G

I fNL
 Ia
t u
Ef
C
B
EfNLprol
√3 Ef
√3 EfNL prol
Eu
EfNL
OD =Ef
AB =Eℓ = j XℓIa
BD =Er = j XrIa
AD =Ea = j XsIa
√3 EfNL
√3 Eu
O
Iu If IfNL
j XℓIa
A
Vf


Iu
 Ia
O
 F

p Ia
If

G I fNL
22
24
Funzionamento di un generatore in corto circuito a corrente nominale
Tale funzionamento è rappresentato dalla costruzione di Fig. 12.3a: la f.e.m. risultanteEu è uguale alla caduta j
XℓIa_n sulla reattanza di dispersione; la corrente Ia_n e quindi la f.m.m. di reazione Ia sono in quadratura in
ritardo rispetto a j XℓIa_n , la f.m.m. risultante Iu è in quadratura in anticipo rispetto alla f.e.m. risultanteEu ,
quindi Iu è in fase con Ia_n ; ne segue che anche la f.m.m. di induttoreIf è in fase con le altre fmm.
Se tale costruzione è effettuata ponendo la f.m.m. di induttoreIf sulla caratteristica di magnetizzazione, si mette in
evidenza un importante elemento geometrico: il cosiddetto "triangolo di indotto" (OAB in Fig. 12.3b).
Si noti che il valore p.u. della reattanza di dispersione è circa 0.2  0.3 (cioè Xℓ In /( Vn /√3)  0.2  0.3 ), per cui il
punto B del triangolo di indotto cade nel tratto rettilineo della caratteristica di magnetizzazione; ne consegue che Iu è
proporzionale in tale situazione ad Eu , e quindi ad Ia (essendo Eu proporzionale ad Ia ); altrettanto avviene per If ,
perciò si può affermare che anche nelle macchine reali (con caratteristica di magnetizzazione non lineare) le
caratteristica di corto circuito, cioè il legame Ia_k = Ia_k (If ) , è lineare (Fig. 12.3c); si può ancora scrivere Ia_k = Kk
If, ed il coefficiente di proporzionalità Kk è lo stesso della macchina lineare.
Funzionamento di un generatore come condensatore rotante, e determinazione sperimentale del triangolo di indotto.
La Fig. 12.4a rappresenta il funzionamento come condensatore rotante con corrente ai morsetti pari a quella nominale
(convenzione dei generatori).
Nella Fig. 12.4b si mostra dove si colloca il punto P rappresentativo di tale condizione di funzionamento rispetto alla
caratteristica a vuoto; per identificarlo, bisogna riprodurre le condizioni del diagramma vettoriale, cioè: a partire dal
punto P" di coordinate (Iet , E), occorre scendere di una quantità Xℓ·Ia_n e spostarsi verso destra di una quantità  Ia_n,
in modo che il punto P abbia coordinate (Vn ,Ie). Si noti che a partire dal punto P è possibile ricostruire il triangolo di
indotto a corrente nominale: occorre prendere PP' = OA e P'P" parallelo ad OB. Allora, se si è misurata la
caratteristica di magnetizzazione, la corrente di eccitazione in corto circuito corrispondente alla corrente nominale
(segmento OA) e la corrente di eccitazione corrispondente alla corrente nominale nel funzionamento come
condensatore rotante (ascissa del punto P) si può costruire il triangolo d’indotto a corrente nominale e dedurre
sperimentalmente i parametri Xℓ ed  della costruzione di Potier.
Fig. 12.3: funzionamento in corto circuito.
Costruzione di Potier (a), triangolo di indotto (b), caratteristica di corto circuito (c)
Fig. 12.4: funzionamento come condensatore rotante. Costruzione di Potier (a), triangolo di indotto (b).
23
25
13. Cenni su MS Anisotropa
STRUTTURA E METODO DI STUDIO
Come visto nell’Introduzione, in una MS Anisotropa il rotore presenta una riluttanza del traferro variabile con la
posizione lungo la periferia del traferro; questo comporta che la fmm di armatura vede una riluttanza variabile in
relazione alla posizione del rotore. Per dare una visualizzazione grafica, si consideri una MS a 2 poli, e si consideri
l’istante in cui la corrente è massima nella fase a; con le convenzioni assunte, in questo istante il vettore spaziale
corrente di armatura è allineato con l’asse magnetico della fase a, per cui il flusso ha l’andamento di fig. 13.1a; è
evidente che la riluttanza vista da tale flusso è ben diversa a seconda che l’asse magnetico del rotore sia allineato con
quello della fase a (fig. 13.1b), o in quadratura rispetto ad esso (fig.13.1c), o in posizione generica (fig.13.1d); se invece
il rotore è isotropo, la fmm di statore vede sempre la stessa riluttanza (vedi contorno tratteggiato del rotore isotropo).



Ma


Ma


Ma

Ma
Fig.13.1: varie posizioni del rotore rispetto alla fmm di armatura, nell’istante in cui la corrente è massima nella fase a
La conseguenza di ciò è che la reattanza del circuito equivalente cambia con la posizione rotorica.
D’altra parte, si sa che nel funzionamento a regime (cioè con coppia di carico costante) il


campo è sincrono col rotore, il che significa che la posizione relativa fra fmm di armatura
Mf
e rotore si mantiene costante. Allora, la variabilità della riluttanza si può superare se la

Ma
fmm di armatura viene scomposta in due componenti, una parallela all’asse rotorico e
l’altra ad esso in quadratura, perché in tal caso le due componenti di fmm vedono una
riluttanza costante. Si hanno così due circuiti magnetici, ciascuno con una sua fmm ed una

sua riluttanza costante. Il metodo di studio consiste quindi nell’analizzare separatamente i
due circuiti magnetici, e sovrapporre poi le grandezze.
Se la macchina è lineare, si possono sovrapporre direttamente gli effetti, cioè f.e.m. e flussi; al contrario, se la macchina
è NON lineare, occorre precedere come per la costruzione di Potier, cioè si sovrappongono le cause (le f.m.m) e si passa
all’effetto risultante (f.e.m. e flusso) tramite la caratteristica di magnetizzazione.
Individuato il metodo di studio, si applica ora tale metodo, per determinare i diagrammi fasoriali-vettoriali (cioè i
diagrammi in cui si sovrappongono i fasori elettrici ed i vettori spaziali della macchina). Prima, occorre però introdurre
alcune definizioni e ipotesi.
NOMENCLATURA E ASSUNZIONI
Nell’Introduzione si era detto che l’asse polare di rotore è detto asse d e l’asse interpolare asse q , e si era osservato che

i due assi sono in quadratura elettrica. Ora, sull’asse polare di rotore stanno i vettori spaziali fmm di eccitazione M f e

flusso di eccitazione Φ f , ed il fasore flusso concatenato di eccitazioneΨf ; in quadratura rispetto aΨf sta il fasore
 
fem di eccitazioneEf ; si riconosce quindi che M f Φ f Ψf sono sull’asse d , mentre Ef sta sull’asse q .

MOT
Si ricorda poi che il fasore elettricof ed il vettore spaziale Φ f , rispetto al fasore
GEN
q q
Ef
Ef
f.e.m.Ef sono in quadratura in anticipo nel funzionamento da generatore, ed in

ritardo nel funzionamento da motore; la direzione di q viene associata a quella diEf ,

f Φ f
Φ f f
per cui, rispetto a d, l’asse q è in ritardo in un generatore, ed in anticipo in un motore.
d
d


In base alle definizioni date, gli assi secondo cui viene scomposta M a sono d e q, per cui le due componenti di M a




sono indicate con M ad e M aq ; le direzioni di M ad e M aq dipendono dal modo di funzionamento. Ad esempio, in
fig. 13.2 sono mostrate le loro direzioni nei 4 modi di funzionamento della MS, considerando l’istante in cui la corrente

è massima nella fase a (e quindi il vettore spaziale M a è in fase con l’asse magnetico della fase a)
24
26

Mf
d


M aq


MOT che si comporta da L
GEN con carico C
GEN con carico L
q


Ma

M ad

M ad
d 
Mf


M aq


Ma
q

M aq
 
M ad


d
MOT che si comporta da C


M ad

Ma
q

Ma

Mf

Mf
 
M aq
d

q


Fig.13.2: direzione e verso di M ad e M aq per i 4 modi di funzionamento della MS.

Per il tracciamento dei diagrammi fasoriali, il vettore spaziale fmm M a
è sostituito con il fasore elettrico correnteIa , di componentiIad
sull’asse d e Iaq sull’asse q ; inoltre, per ragioni di comodità, si
introduce l’angolo  fra l’asse q edIa (cioè fraEf edIa, diretto daEf
adIa); le proiezioni diIa sugli assi d e q sono quindi I ad  I a sin() ,

I aq  I a cos() . Nel funzionamento da generatore ( Φ f in quadratura in
GEN
Ef //q
q

Iaq
d
γ
Ef //q
Ia
q
MOT

Iaq
Ia
γ
d

Iad  f //d
anticipo suEf ), si ha  -  + 90 = 0, mentre nel funzionamento da

Fig. 13.3: assi d e q , vettori spaziali, fasori,
motore ( Φ f in quadratura in ritardo suEf ) si ha  -  - 90 = 0.
nel funzionamento da generatore e motore.
Nel seguito si analizza prima il caso di MS anisotropa lineare, poi quello di MS anisotropa NON lineare.
La trattazione è svolta con riferimento al caso di generatore (quindi si considera E = - j  ).

 f //d
Iad
MS ANISOTROPA LINEARE: COSTRUZIONE DELLE DUE REATTANZE.
Nel caso di macchina lineare si possono sovrapporre direttamente le f.e.m. indotte dai flussi generati dalle varie
correnti: occorre quindi considerare le varie correnti, le fmm ed i flussi che esse generano, e le fem corrispondenti.


La corrente di eccitazione If produce M f , che genera Φ f eΨf ;Ψf induceEf = - j f .

 
Nella MS isotropa, la corrente di armatura Ia produce M a , che genera Φ r Φ ΨrΨℓ ;Ψr induceEr = - j r ,
Ψℓ induceEℓ = - j ℓ ; nel caso di macchina lineare, vi è proporzionalità fra flussi e correnti, per cui si possono
definire delle reattanze che legano le fem direttamente alle correnti: Er = - j Xr Ia , Eℓ = - j X ℓ Ia .
In modo analogo, nella MS anisotropa le componenti Iad , Iaq producono
q


rispettivamente M ad e M aq , che generanoΨrd eΨrq ; Ψrd induce
Erd = - j rd, Ψrq induceErq = - j rq; se la macchina è lineare,
Ef Erd E
rq
si possono definire delle opportune reattanze tali che Erd = - j Xrd Iad ,
Erq = - j Xrq Iaq ; la dispersione non è influenzata
dalla riluttanza del
j XℓIa


GEN

E
u
traferro, per cui non è necessario scomporre Ia: M a genera Φ eΨℓ ;
Eud
V f
Ψℓ induceEℓ = - j ℓ = - j X ℓ Ia (si ricorda che il flusso disperso è

quello che si chiude prima di attraversare il traferro, quindi è indipendente

Iaq
dalla riluttanza del traferro stesso).
Ia

A questo punto, la sommaEf +Erd +Erq dà la f.e.m. totale Eu , da
 f //d γ
cui, tolta la c.d.t. j XℓIa dovuta alla reattanza di dispersione Xℓ , si ha la
Iad
d
tensione di fase Vf . La legge alla maglia (motore) è Vf + j XℓIa =Eu
O
Fig. 13.4: diagramma vettoriale di una MS
con Eu = Ef +Erd +Erq = Ef - j XrdIad - j XrqIaq .
anisotropa lineare (generatore)
Si ottiene il diagramma vettoriale di fig. 13.4.
Si noti che la retta ortogonale all’asse q spiccata dall’apice diEu identificaErq , e la differenzaEu -Erq coincide
con la fem risultante agente lungo l’asse q, cioèEf +Erd ; tale risultante è indicata conEud . Questa osservazione è
utile per la successiva costruzione di Arnold-Blondel.


Per poter effettuare tale costruzione, occorre però conoscere la posizione dell’asse d (per ricavare I ad ed I aq ).
A questo fine, siano A e B gli estremi del fasore j XℓIa , e si prolunghi AB fino ad incontrare in C l’asse q (fig.13.5).
Erq
X rq I aq
L’angolo fra BC ed Erq è , per cui BC 

 X rq I a ; ne segue che per identificare la posizione
cos() cos()
dell’asse q è sufficiente tracciare un fasore j XrqIa , perché l’asse q è la retta che congiunge il punto C, vertice del
fasore j XrqIa , con il punto O, origine del sistema dq.
25
27
Si prolunghi poi ancora il fasore j XℓIa , fino ad intersecare in D la retta ortogonale all’asse q, passante per gli apici di
E
X I
Ef edErd (fig. 13.5); si ha BD  rd  rd ad  X rd I a , quindi il punto D è ottenibile tramite un fasore j
sin()
sin()
XrdIa; poi, dal punto D, mandando la perpendicolare all’asse q si identifica immediatamente il fasore Ef .
La costruzione si esegue dunque nel seguente modo (fig. 13.6a):
- partendo da Vf ,Ia ,  , dall’apice diVf si disegna il fasore j XℓIa , e si ha Eu ;
- dall’apice di Eu si spiccano i fasori j XrqIa e j XrdIa ;
- il fasore j XrqIa identifica il punto C, e dunque l’asse q;
- il fasore j XrdIa identifica il punto D, e dunque il fasoreEf ;
- noto il modulo di Ef , dalla caratteristica di magnetizzazione si ricava If = Ef / Kf .
La costruzione si può ulteriormente semplificare se si introducono le reattanze sincrone Xsd = Xrd + Xℓ , Xsq = Xrq
+ Xℓ , perché i punti C e D si possono trovare direttamente daVf , senza bisogno di tracciareEu (fig. 13.6b).
q
q
j XrdIa
q
D
C
D
Erd

B
j XrqIa
Eu
j XℓIa
Erq
Eu
D
Ef
C
Ef
Ef
C
Vf
j XsqIa
j XℓIa
Vf
A

Fig. 13.5: identificazione
dell’asse q e del fasore Ef
j XsdIa
Vf

Ia

Fig. 13.6a: Costruzione
delle 2 reattanze Xrd, Xrq

Ia
Fig. 13.6b: Costruzione
delle 2 reattanze Xsd, Xsq
MS ANISOTROPA NON LINEARE: COSTRUZIONE DI ARNOLD-BLONDEL
Come anticipato, se la macchina è non lineare, si possono sovrapporre le f.m.m. ma non le f.e.m.. Più precisamente, si
possono sovrapporre le f.e.m. dei circuiti magnetici lineari (cioè Erq ed Eℓ , dato che sia il circuito magnetico di asse
q sia la dispersione si svolgono per la maggior parte in aria), ma non le f.e.m. dei circuiti saturabili (cioèEf eErd ).
Per miglior comprensione, si consideri la Fig. 13.7, in cui sono mostrati i flussi di asse d (Fig. 13.7a), di asse q (Fig.
13.7b),e di dispersione in cava (Fig.13.7c). Si vede che nel circuito di asse d i tratti in aria sono limitati ai due traferri, di
lunghezza molto ridotta rispetto a tutto il resto del percorso, che si svolge nel ferro; al contrario, sia per l’asse q, sia per
il flusso di dispersione, il tratto in ferro è paragonabile a quello in aria, per cui in tali circuiti non può esserci saturazione
(la riluttanza del tratto in aria è elevata => il flusso è basso => l’induzione è bassa => non si raggiunge la saturazione).
STATORE DENTATO



Ma

Ma
ROTORE
Fig. 13.7a: flusso di asse d
FLUSSO DI
DISPERSIONE
Fig. 13.7b: flusso di asse q
CONDUTTORI
Fig. 13.7c: flusso di dispersione di un conduttore in cava
La costruzione adottata prende il nome di Costruzione di Arnold-Blondel (dal nome dei proponenti), e ricalca l’inizio
della costruzione delle 2 reattanze, per poi procedere in modo analogo alla Costruzione di Potier (Fig. 13.8).
26
28
Partendo da Vf , Ia ,  , dall’apice diVf si disegna il fasore j XℓIa , e si
identificano il fasore Eu ed il punto B; dall’apice di Eu si spicca il fasore
jXrqIa e si identifica il punto C, e dunque l’asse q; la retta ortogonale a q e
passante per B dàErq ; la differenza Eu -Erq identifica la f.e.m. risultante di
asse d, detta Eud ; entrando nella caratteristica di magnetizzazione, in
corrispondenza di Eud si ricava la corrente di eccitazione risultante di asse d,

detta Iud ; il vettore spaziale Iud sta ovviamente sull’asse d (perché è in
quadratura in anticipo rispetto a Eud ); essendo nota la posizione dell’asse d (in
quadratura in anticipo rispetto aEud ), si ricavano le componenti del vettore


corrente I ad ed I aq ; tramite il coefficiente di Potier , si calcola la corrente di




reazione di asse d, I ad ; infine, la composizione vettoriale I f  I ad  I ud dà
la corrente di eccitazione If .
q
C
Allora X sd I a cos()  E f sin()  V f
Quindi P  3V f I a cos() 
3V f E f
X sd
 X sd

X sd  X sq
 1  V f

 X sq

X sq


X sd  X sq
cos() sin() .
X sq
sin()  3V f 2
Erq B
j XℓIa
Eu
Eud
Vf

Iud
La coppia è C = P / Ωo ; si riconosce che esistono 2 contributi (fig. 13.10), il
1° (dipendente da sin()) è detto di eccitazione, perché è dovuto alla presenza
della eccitazione, il 2° (dipendente da sin(2)) è detto di anisotropia, perché
dipende appunto dalla presenza di una anisotropia del circuito magnetico.
Si osserva inoltre che può esistere una coppia anche in assenza di eccitazione
(cioè, se Ef = 0): in tal caso, si parla di MS a riluttanza.

 I ad

If
d
Fig.13.8: Costruzione di Arnold-Blondel
q
D
H

C
j XsdIa
j XsqIa
Ef
A
Vf
X sd  X sq
sin(2) .
X sd X sq 2
In alternativa, le espressioni delle potenze si possono ricavare tramite i fasori
(Fig. 13.9b). Usando le reattanze sincrone, la legge alla maglia si può scrivere
Vf + j XsdIad + j XsqIaq = Ef . Ponendo l’asse reale sull’asse q, si ha
Vf = Vf e - j δ = Vf (cosδ - j sinδ ) Iad = - j Iad Iaq = Iaq Ef = Ef .
Allora
Vf cosδ - j Vf sinδ + Xsd Iad + j Xsq Iaq - Ef = 0
da cui
Vf cosδ + Xsd Iad - Ef = 0 e - Vf sinδ + Xsq Iaq = 0 .
Si possono quindi ricavare le componenti della corrente
Iad = (Ef - Vf cosδ ) / Xsd
e Iaq = Vf sinδ / Xsq ;
quindi la corrente risulta Ia = Iad +Iaq = - j Iad + Iaq
= - j (Ef - Vf cosδ ) / Xsd + Vf sinδ / Xsq .
Si può quindi ricavare la potenza apparente complessa
A = 3Vf Ia =3 Vf (cosδ - j sinδ )[ j (Ef - Vf cosδ ) / Xsd + Vf sinδ / Xsq]=
 Vf 2

Vf Ef
Vf 2
 3
sin(2) 
sin() 
sin(2) 
2 X sd
X sd
 2 X sq



2
2
V f E f

Vf
Vf
 j3 
cos() 
cos 2 () 
sin 2 () 
X sd
X sq
 X sd



3V f E f
X sd  X sq
sin()  3V f 2
sin(2)
Si ritova P 
X sd
X sd X sq 2
Ia

POTENZA E COPPIA DI MS ANISOTROPA LINEARE
Con riferimento alla fig. 13.9a, si ha:
DH  X sd I a cos()  DG sin()  ( DF  FG ) sin()  ( E f  OG cos()) sin()
 AG 
 AD 
OG  AG  AO  AO 
 1  AO 
 1  V f
AO


 AC 
j XrqIa
Ia


F
O

Fig. 13.9a: costruzione per la
determinazione della potenza P
q
Re
j XsdIad
Ef
j XsqIaq
Vf
Iaq
d
Im


Ia
Iad
Fig. 13.9b: diagramma fasoriale per
la determinazione della potenza P
Ctot
Canis
Cecc

Fig.13.10: coppia di una MS anisotropa
27
29
ESERCIZI SU ALTERNATORE LINEARE ISOTROPO.
ES1. Un alternatore trifase isotropo presenta, per corrente di eccitazione pari alla nominale, una fem di fase a vuoto Eo
= 3500 V e una corrente di corto circuito Ik = 32.94 A. La macchina è collegata in parallelo ad una rete di potenza
infinita di tensione concatenata Vn = 5 kV. Nell’ipotesi di mantenere costante la corrente di eccitazione al valore
nominale:
1) per cosφ = 1, si calcoli la potenza attiva PG e la corrente IG erogata dall’alternatore, e l’angolo di carico δ;
2) per una riduzione di potenza generata (rispetto al caso precedente) ΔP = 37.22 kW, si calcoli la potenza reattiva QG
e la corrente IG erogata dall’alternatore, il fattore di potenza cosφ, l’angolo di caricoδ.
[1) δ = 34.43°; IG = 18.6 A; PG = 161.1 kW;
2) δ = 25.78°; QG = 21.58 kVar; cosφ= 0.985; IG = 14.54 A]
Es2. Un alternatore monofase isotropo ha resistenza di indotto Ri = 1.0Ω e reattanza sincrona Xs = 4.5Ω; l’alternatore
fornisce una potenza attiva Pc = 4 kW ad un carico di resistenza Rc = 14 Ω e reattanza Xc = 10 Ω. Determinare la
variazione di tensione Δv% e l’angolo di carico δ.
[ Eo = 352.6 V; Δv% = 21.26%; δ = 8.49°]
28
Es3. Una linea trifase alimenta alla tensione concatenata Vc = 660V tre motori aventi le seguenti caratteristiche:
motore
tipo
Potenza attiva assorbita [kW]
Fattore di potenza
1
asincrono
75
cos1 = 0.81 R
2
asincrono
150
cos2 = 0.84 R
3
sincrono
125
cos3
Il motore sincrono è a rotore liscio, non saturo con reattanza sincrona Xs = 2.5  e presenta resistenza di indotto
trascurabile. Determinare:
- la potenza reattiva dei due motori asincroni,
- la potenza reattiva, la corrente assorbita, la fem a vuoto, del motore sincrono quando esso è eccitato in modo da avere
cos3 = 0.85 R o cos3 = 0.85 A;
- la corrente complessivamente assorbita dai tre motori e il fattore di potenza complessivo dell’impianto, nelle
condizioni del punto precedente;
- la corrente assorbita, la fem a vuoto, il fattore di potenza, del motore sincrono, nel caso l’insieme dei tre motori non
assorba potenza reattiva dalla linea.
[cos3 = 0.85 R: Q1 = 54.3 kVar, Q2 = 96.9 kVar, Q3 = 77.5 kVar, Irete = 365.7 A, I3 = 128.7 A, Eo = 345.7 V;
cos3 = 0.85 A: Q1 = 54.3 kVar, Q2 = 96.9 kVar, Q3 = -77.5 kVar, Irete = 312.9 A, I3 = 128.7 A, Eo = 614.6 V;
Qrete = 0: Q3 = -151.2 kVar, 3 = -50.42°, I3 = 171.6 A, Eo = 762.4 V.]
29
Es 6.5 pag 531 Slemon: alternatore trifase connesso alla rete
6
An  60 10
p  2
3
fn  60
Vn  13.2 10
x s  1.2
Pp  0
6
Condizione di funzionamento 1: cos=1, V1 = Vn,
Pm1  50 10
Ie1  1000
Condizione di funzionamento 2: sottoeccitazione, V2 = Vn, I2 = In, P2 = Pm1 Determinare Ie2
Condizione di funzionamento 3: condizione limite di stabilità, V3 = Vn, P3 = Pm1 Determinare Ie3 ed I3
Dire se questa condizione è accettabile per un funzionamento continuativo
In 
Vf 
An
3
In  2.624  10
3  Vn
Vn
Vf  7.621  10
3
Zn 
Ωo 
3
Vn
2
120  fn 2  π

60
p
Condizione di funzionamento 1: cos  = 1 =>
Eo 1 
2

Vf  Xs I1
Eo 1  1.078  10
2
Zn  2.904
An
Xs  3.485
Ωo  376.991
A1  Pm1
coeff ang mcar.traf 
caratt traf
4
Xs  x s Zn
j Xs In
A1
I1 
3  Eo 1
3  Vn
mcar.traf
mcar.traf  18.668
Ie1
Vn/3
3
I1  2.187  10
Eo
In
 10.778
3
Condizione di funzionamento 2
j Xs I
La tensione di rete Vf non cambia, mentre Eo cala (perché la macchina lavora in sottoeccitazione) =>
per far sì che il triangolo delle tensioni si chiuda, Eo si inclina verso sinistra, e j Xs I si inclina verso il basso
Di conseguenza, la corrente si inclina anch'essa verso sinistra,cioè va in anticipo su Vf
Vn/3
Eo
MODO1
I2  In
2
Q2   A2  P2
MODO2
cosϕ2 
MODO3
cosϕ2 
6
2
Q2  10
I2  In
P2
 33.166
Eo 2 
A2  An
 Vn2

 P2  
 Q2
 Xs

3  Vn
Xs
2
2
Se V2 = Vn I2 = In => A2 = An
P2  Pm1
cosϕ2  0.833
A2
Se V2 = Vn I2 = In => A2 = An
P2  Pm1
Eo 2  8.041  10
I
3
A2  An
2

Eo 2   Xs I2  cosϕ2   Vf  Xs I2  1  cosϕ2


2
2
Eo 2  8.041  10
3
Eo 2  8.041  10
3
P e Vf non cambiano => I cos  non cambia => cos 2 = I1 cos 1 / I2 = I1 / In
I1
cosϕ2  0.833
In

Eo 2 
Trovata Eo2 in uno dei modi precedenti, si ha
Condizione di funzionamento 3
Xs I2  cosϕ2

2

 Vf  Xs I2  1  cosϕ2

3  Eo 2
Ie2 
mcar.traf
2

2
Ie2  746.107
j Xs I
P3  Pm1
Vn/3
Il limite di stabilità si ha quando la coppia è massima, e ciò si verifica quando Eo è ortogonale alla tensione
Eo = Xs I cosϕ = Xs
2
I3 
Eo 3  Vf
Xs
P
3 V
Eo 3  Xs
P3
3  Vn
Eo 3  7.621  10
3
3  Eo 3
Ie3 
mcar.traf
Ie3  707.107
2
3
I3  3.093  10
I3 > In => NON accettabile per funzionamento continuativo
I



Eo
30
Esempio1 pag 479 Slemon: alternatore trifase connesso alla rete
An  100  10
3
p  6
fn  60
Vn  2300
Xls  7.9
Xρs  56.5
Condizione di funzionamento 1: funzionamento a vuoto, allacciato a rete, Pin1 = 3750 W, Ie1 = 23 A
Condizione di funzionamento 2: V2 = Vn, I2 = In, cos = 0.9 R Determinare Ie2
Condizione di funzionamento 3: V3 = Vn, I3 = 15 A, Ie3 =20 A Determinare la coppia C3
Condizione di funzionamento 4: V4 = Vn, Ie4 = 20 A, condizione limite di stabilità.
Determinare la potenza e la coppia in ingresso che portano la macchina in tale condizione
In 
An
In  25.102
3  Vn
Xs  64.4
Xs  Xls  Xρs
Vf 
Vn
Vf  1.328  10
3
Ωo 
3
120  fn 2  π

p
60
Ωo  125.664
3
Condizione di funzionamento 1: Pin1  3.75 10
Ie1  23
A vuoto in parallelo alla rete, la fem Eo uguaglia la tensione di fase Eo 1  Vf
Condizione di funzionamento 2:
I2  In
cosϕ2  0.9
mcar.traf 
mcar.traf  100
3  Eo 1
mcar.traf
Ie1
j Xs I
Eo 2  3
Ie2 
Ie2  43.295
mcar.traf
mcar.traf  Ie3
3
Eo
Eo 3 
Eo 3  1.155  10
3
2
2

Eo 2   Xs I2  cosϕ2   Vf  Xs I2  1  cosϕ2

 Eo 2  2.5  103
2
Condizione di funzionamento 3:
2
I3  15
2
Ie3  20
2
2
2
2
Eo = ( Xs I cosϕ)  ( Vf  Xs I sinϕ) = ( Xs I)  ( Vf )  2  Vf  Xs I sinϕ
2
sinϕ3 

Eo 3  Xs I3
2  Vf 2
2  Xs I3  Vf
cosϕ3 
sinϕ3  0.531
Condizione di funzionamento 4
Ie4  20
2
Eo  ( Xs I)  Vf = 2  Vf  Xs I sinϕ

2
2
I4 
2
I4  27.325
Xs
cosϕ4 
Eo 4
Xs I4
oppure, usando la formula di Crepaz
P4
Cmax4 
Ωo
Cmax4  568.411
P4  3  Vf  I4  cosϕ4
Pmax 
Pin4  P4  Pin1
 
I

Il limite di stabilità si ha quando la coppia è massima, e ciò si verifica quando Eo è ortogonale alla tensione
j Xs
Vf  Eo 4
Vn/3
180
acos cosϕ3 
 32.096
π
3  Vf  I3  cosϕ3
C3 
C3  402.842
Ωo
1  sinϕ3
Eo 4  Eo 3
2
P4  7.143  10
3  Eo 4  Vf
Pin4  7.518  10
I
Vn/3
4
4
Pmax  7.143  10
Xs
 57.735
3
I


4
Eo
Esempio2 pag 483 Slemon: la macchina precedente funziona da motore, con Pmecc = 75 kW e cos  = 0.8 A .
Le resitenze di armatura e eccitazione sono Rs = 0.81 e Re = 1.2. Nel funzionamento a pieno carico
determinare la corrente di campo Ie5 e il rendimento 5. Determinare la coppia massima Cmax6 alla corrente di
eccitazione precedente, ed i corrispondenti valori di I e cosφ.
NOTA: Rs<<Xs => si tiene conto di Rs solo nel calcolo di  (anche perché, tutta la teoria si basa su Rs
j Xs I
trascurabile)
2
3
cosϕ5  0.8 sinϕ5   1  cosϕ5
Pn  75 10
Rs  0.81 Re  1.2
Pin5
4
Vn/3
Pin5  Pn  Pin1 Pin5  7.875  10
I5 
I5  24.71
cosϕ5  3  Vn
Eo
Eo 5  3
2
2
3
Eo 5  Xs I5  cosϕ5  Vf  Xs I5  sinϕ5
Eo 5  2.614  10 Ie5 
Ie5  45.27
I  
mcar.traf
1
2
2
Pp5  Pin1  3  Rs I5  Re Ie5
Pp5  7693
η5 
η5  0.907
1
1  Pp5  Pn
3  Eo 6  Vf
Vf 
180

j Xs I
Eo 6  Eo 5
Cmax6 
Cmax6  1286.6
φ6  atan
φ6 
 26.9 Vn/3

π
Xs Ωo
Eo 6
I


XsI
6
2
2
3
I6 > In => NON acc.
XsI6  Vf  Eo 6
XsI6  2.932  10
I6 
I6  45.523
Eo
Xs




31
Esempio3 pag 485 Slemon: motore trifase, con cos in anticipo
j Xs
Vn
3
2
An  15 10
p  6 fn  60
Vn  220 Vf 
Vf  127
cosϕn  0.8 sinϕn   1  cosϕn
3
Vo
Prova in corto
Prova a vuoto Ieo  6.7
Vo  Vn
Eo o 
Iek  6.7
Ik  57
Vn/3
3
Nella condizione di pieno carico, determinare la corrente di eccitazione Ien e la potenza reattiva Qn
Eo o
An
I  
Xs 
Xs  2.228
In 
In  39.365
Ik
3  Vn
Vo
mcar.traf 
Ieo
mcar.traf  32.836
mcar.traf
Ien  10.174
Qn 
3  Vn In  sinϕn
Esempio4 pag 488 Slemon: alternatore trifase isolato, con carico induttivo
Qn  9  10
3
cosϕcar  0.9 sinϕcar 
1  cosϕcar
Condizione di funzionamento 1: Ie1 = Ieo; I1 = In; determinare quanto si abbassa la tensione ai morsetti
Condizione di funzionamento 2: V2 = Vn; I2 = In; determinare Ie2, e quanto aumenta Eo
Condizione di funzionamento 1
Vf1 

2
Eo 1  Xs In  cosϕcar
Condizione di funzionamento 2
Eo 2  3
Ie2 
mcar.traf
Ie2  9.661
Δv% 
j Xs I
Vf1
 Eo 1

 Vf  1  100  107.3 Eo  100  48.2
1
 1

Eo
Vf1  61.266
Xs In cosϕcar2  Vf  Xs In sinϕcar2
Eo 2 
2
Eo 1  Eo o
Ie1 = Ieo =>
2  Xs In sinϕcar
Eo
Xs In cosϕn2  Vf  Xs In sinϕn2
Eo n 
3
Eo n  3
Ien 
mcar.traf
Eo n  192.868
 18.958
I
Vn/3
 
Eo 2  183.143
 Eo 2


 1  100 Δv%  44.2
 Vf

I
Esempio5 pag 495 Slemon: alternatore trifase con carico induttivo
Caratt magnetizz
3
An  11 10
In 
An
3  Vn
T
Iecar  ( 0.08 0.3 0.75 1 2 3 4 5 6 )
p  4
fn  60
In  57.735
Vn  110

φn  acos cosϕn
3
Rs  26 10

T
Eecar  ( 3 10 20 26 43 57 68 77 85 )
Ppm  980
cosϕn  0.9
α  0.029
Xd  0.157
180
φn 
 25.842
π
Determinare la corrente di eccitazione e la variazione di tensione quando la macchina opera in condizioni nominali
PROCEDIMENTO DI INTERPOLAZIONE LINEARE
Per determinare l'ordinata di un punto di cui si conosce l'ascissa (o viceversa),
si effettua una interpolazione lineare, a partire dai due punti noti esterni al
punto incognito
Se è noto x con x1 < x < x2 ,si ha
y = y1  Δy = y1  ( x  x1) 
Se è noto y con y1 < y < y2 ,si ha
x = x1  Δx = x1  ( y  y1) 
y2  y1
y2
y
y1
y
x
x2  x1
x2  x1
y2  y1
x1
x
x2
32
La corrente di eccitazione si ricava con la costruzione di Potier. Si pone l'asse reale in quadratura su Vf
Vf 
Vn
i
Vf  63.509i
φI  φ = 90
φI = 90  φ
Is = In exp( j  φI)
3
Is  In expi 

 φn
2

π
Eu  Vf  ( Rs  i  Xd)  Is
x1  4
y1  68
x2  5
180
Is  25.166  51.962i
Is  57.735
arg( Is) 
Eu  7.504  68.811i
Eu  69.219
arg( Eu ) 
y2  77
y  Eu
mod_Iu  x1  ( y  y1) 
 64.2
π
180
(Rs+j Xd) Is
 96.2
π
Vf
x2  x1
Eu
y2  y1
 
mod_Iu  4.135
Iu  mod_Iu expi  arg ( Eu ) 
 
π 
 Iu  4.111  0.448i
2 
Ie  Iu  α Is
x1  5
Iu  4.135
Ie  4.841  1.955i
y1  77
x2  6
y2  85
Ie  5.221
x  Ie
arg( Iu) 
180
arg( Ie) 
180
π
π
mod_Eo  y1  ( x  x1) 
 173.8
I
 158
Iu
Is
y2  y1
Is
Re
Ie
x2  x1
mod_Eo  78.766
 mod_Eo  1  100  24.025
 Vf



Variazione di tensione
Esempio6 pag 497 Slemon: generatore trifase con cos unitario
Con riferimento alla macchina dell'esercizio precedente, determinare la corrente di eccitazione ed il rendimento,
quando la macchina opera come generatore con cos unitario e con corrente e tensione nominali
La corrente di eccitazione si ricava con la costruzione di Potier
π
Is  In exp i 
 2
Is  57.735i
Eu  Vf  ( Rs  i  Xd)  Is
Eu  9.064  65.01i
x1  3
y1  57
x2  4
y2  68
y  Eu
(Rs+j Xd) Is
Eu  65.639
arg( Eu ) 
mod_Iu  x1  ( y  y1) 
180
π
 97.9
Vn/3
x2  x1
Eu
y2  y1

mod_Iu  3.785
Iu  mod_Iu expi  arg ( Eu ) 
 
π 

2 
Ie  Iu  α Is
Perdite
Ie  3.749  2.197i
2
Pp  3  Rs  Is    Ppm
Pe  3  Vf  Is
Potenza erogata
Rendimento
Iu  3.749  0.523i
η 
Pe
Pe  Pp
3
Pp 10
Pe 10
 1.24
3
 11
Iu  3.785
arg( Iu) 
180
Ie  4.345
arg( Ie) 
180
π
π
Is
 172.1
 149.6
Is
Iu
Re
Ie
η  0.899
33
Esercizi tratti da Mohan, Cap.15, "Synchronous Motor Drives", pag 446
Es. 15.2. Un servomotore BL a MP a 2 poli presenta una costante di coppia pari a K T = 0.5Nm/A. Determinare i valori delle
correnti nelle tre fasi statoriche, se la macchina deve produrre una holding torque di 0.75 Nm, quando l'asse magnetico del
rotore forma un angolo meccanico m = 20° rispetto all'asse della fase A di statore.
T = KT Ia sin( γ)
T
Ia =
KT sin( γ)
A parità di coppia, conviene avere sin() massimo, in modo
da avere corrente minima => si assume  = 90, da cui sin() = 1
T
Ia =
KT
T
Ia 
Ia  1.5 valore rms della corrente di fase
KT
Per determinare i valori istantanei delle correnti di fase, occorre determinare la posizione del fasore elettrico corrente di fase,
poi da fasore si passa a valore istantaneo.

La posizione del fasore corrente si ricava da quella del vettore spaziale corrente di armatura Ia , dato che il fasore elettrico

corrente della fase A è in fase con Ia (ovviamente, devono valere le solite ipotesi: vettori spaziali e fasori elettrici ruotano
nello stesso senso antiorario, il riferimento spaziale per la fmm è l'asse magnetico della fase a, l'asse Reale del piano
complesso è in fase con il riferimento spaziale, l'istante t = 0 è quello in cui è massima la corrente nella fase a)
T  0.75
KT  0.5


La posizione di Ia è  + e , perché  è la posizione di Ia rispetto al vettore spaziale fmm

di eccitazione Mf , Mf è i n fase con l'asse polare, l'asse polare è sfasato di e rispetto al
riferimento (l'asse magnetico della fase a). Essendo la macchina a 2 poli, e = m = 20°.


Si è detto che si assume  = 90° ; trattandosi di un motore, Mf è in ritardo su Ia
Si conclude che il fasore elettrico corrente della fase A ha fase  + e = 90+20 = 110°
Per passare al valore istantaneo, si moltiplica per 2 (perché il modulo dei fasori è il valore
rms della sinusoide) e si aggiunge la fase
θ  20
π
γ  90
180
2  Ia cos θ  γ 

ia 
180
2 π 
3
 Ia

γ = 90
θe

If
Re

π
2  Ia cos( θ  γ)
ia  0.726
I moduli di iB ed iC si ottengono per le relazioni esistenti in un sistema trifase
ib 
Im
 ib  2.089

ic 
2  Ia cos θ  γ 

2 π 
3


Im
Ia
Ib
Re
ic  1.364
Allo stesso risultato si perviene se si proiettano i 3 fasori corrente sull'asse reale
ia(t)  2 Icos(ω t)

Ic
2
ib(t)  2 Icos(ωt  π)
3
4
ic (t)  2 Icos(ω t  π)
3 34
Es. 15.4. Un servomotore BL a MP presenta le seguenti caratteristiche: resistenza di fase statorica Ra = 8 , induttanza
fase-fase Lphph = 16 mH, costante di fem K E = 43.3 V / k rpm, numero poli p = 2. Nel funzionamento sinusoidale a coppia
massima (sin() = 1) e con una velocità N = 10 krpm, la macchina assorbe una corrente di fase di Ia = 10 A (rms).
In questa condizione di funzionamento, determinare la tensione di fase e il fattore di potenza. Ripetere poi i calcoli con la
stessa corrente di fase e la stessa velocità, ma  = 60° e  = 120°.
N  10 10
3
3
p  2
Lph.ph  16 10
L'induttanza di fase è metà di quella fase fase
ω 
p
2
 N
2 π
3
ω  1.047  10
60
Zavet  Ra  i Xs
Ra  8
φZ  arg Zavet
j Xs Ia
Vf
2
Xs  8.378

Za  Zavet
43.3
KE 
1000
Lph.ph
La 
Xs  ω La
Ia  10

Ef 
KE N
3
Za  11.584
φZ
Ra Ia
Ef
Ef  250
180
π
 46.321
Per trovare la tensione di fase, occorre risolvere il diagramma fasoriale.
Per prima cosa, seguendo la maglia degli angoli, si ha una relazione fra gli angoli caratteristici:
 +  +  - 90 = 0 (tale relazione è indipendente dal sistema di riferimento)
δ
φ
Per risolvere il diagramma si può procedere considerando le componenti scalari dei fasori, oppure
considerando i fasori come grandezze vettoriali; in questo caso, occorre definire un sistema di
riferimento, e esprimere in questo sistema di riferimento i fasori. Si procede in entrambi i modi.
2
Vf ( γ) 
Vfx( γ)  Vfy( γ)
γ  φ  φV  90 = 0
γ  60
γ  90
π
180
π
180
γ  120 
π
180
2
φ( γ) 
2

 φV( γ)  γ
Vfx( γ)  83.776
Vfy( γ)  329.993 Vf ( γ)  340.461 φV( γ) 
Vfx( γ)  112.552
Vfy( γ)  277.387 Vf ( γ)  299.352 φV( γ) 
MODO2: si considerano i fasori.
Si considera un asse Reale generico e si esprimono i fasori
(NOTA: la fase di un fasore va DA asse reale A fasore)



Vf = Vf  exp( j  φV)
Ef = Ef  exp( j  φE)
Ia = Ia exp( j  φI)
180
π
180
π
180
π
 5.15
φ( γ) 
 14.245 φ( γ) 
 22.085 φ( γ) 
180
π
180
π
180
π
 14.245
 7.915
Re
Vf
Ra Ia
Ef

Vf = Ef  ( cosφE  j  sinφE)  Za Ia ( cos( φZ  φI)  j  sin( φZ  φI) )
φE
φV
Vf_Re( γ φE φI)  Ef  cos( φE)  Za Ia cos( φZ  φI)
φI
Vf_Im( γ φE φI)  Ef  sin( φE)  Za Ia sin( φZ  φI)
φ  φV  φI = 0
If
γ
 35.15
j Xs Ia
Sviluppando la legge alla maglia si ha
  
Vf = Ef  Za Ia = Ef  exp( j  φE)  Za Ia exp[ j  ( φZ  φI) ]
Vf_Re( γ φE φI)  Vf_Im( γ φE φI)
Vf ( γ φE φI)  Vf_Re( γ φE φI)  i  Vf_Im( γ φE φI)
Ia
φ
Vfy( γ)  361.163 Vf ( γ)  362.627 φV( γ) 
2
Ra Ia
φV
Vfx( γ)  32.552
Vf_mod( γ φE φI) 
γ
Ef
Vfx( γ) 
 Vfy( γ) 
π
If
γ
Vf
Vfy( γ)  Ef  Ra Ia sin( γ)  Xs Ia cos( γ)
φV( γ)  atan
γ
j Xs Ia
MODO1: si considerano le componenti scalari.
Si traccia il diagramma in una situazione generica e si esprimono le due componenti orizzontale
e verticale di Vf (qui indicate con Vfx e Vfy). Poi si ricava lo sfasamento  fra tensione e corrente.
Vfx( γ)  Xs Ia sin( γ)  Ra Ia cos( γ)
Ia
2
φV( γ φE φI)  arg ( Vf ( γ φE φI) )
δ
φ
Ia
γ
If
φ( γ φE φI)  φV( γ φE φI)  φI
35
Re // If =>
γ  60
φE 
π
π
2
π
Vf_mod( γ φE φI( γ) )  340.468
π
180
Vf_Re( γ φE φI( γ) )  112.552
γ  60
φE  0
π
π
Vf_mod( γ φE φI( γ) )  340.468
γ  120 
π
180
Vf_mod( γ φE φI( γ) )  299.358
φ( γ φE φI( γ) ) 
π
π
 104.245 φ( γ φE φI( γ) ) 
180
π
180
π
 112.085 φ( γ φE φI( γ) ) 
180
π
Ra Ia
Ef
 35.15
 14.245
180
π
 5.15
δ
π
φI
γ
 7.915
If
j Xs Ia
2
φ( γ φE φI( γ) ) 
180
π
 35.15
180
π
Re
 14.245 φ( γ φE φI( γ) ) 
180
π
Ra Ia
Ef
φV
 14.245
φI
δ
Vf_Im( γ φE φI( γ) )  112.552
φV( γ φE φI( γ) ) 
Re
Vf
Vf_Im( γ φE φI( γ) )  83.776
180
Ia
φE
φV
φ
π
Vf_Im( γ φE φI( γ) )  32.552
φV( γ φE φI( γ) ) 
Vf_Re( γ φE φI( γ) )  277.394
 95.15
φI( γ)  γ 
φV( γ φE φI( γ) ) 
Vf_Re( γ φE φI( γ) )  330
180
180
φI  γ  90 = 0
Vf_mod( γ φE φI( γ) )  362.634
γ  90
π
180
Vf_Im( γ φE φI( γ) )  277.394
φV( γ φE φI( γ) ) 
Vf_Re( γ φE φI( γ) )  361.17
180
180
Vf_Im( γ φE φI( γ) )  330
φV( γ φE φI( γ) ) 
Vf_mod( γ φE φI( γ) )  299.358
Re // Ef =>
Vf_Im( γ φE φI( γ) )  361.17
φV( γ φE φI( γ) ) 
Vf_Re( γ φE φI( γ) )  83.776
180
γ  120 
Vf
Vf_Re( γ φE φI( γ) )  32.552
180
Vf_mod( γ φE φI( γ) )  362.634
γ  90
j Xs Ia
φI( γ)  γ
 22.085 φ( γ φE φI( γ) ) 
180
π
 7.915
φ
Ia
γ
If
NOTA: piuttosto che posizionare l'asse reale in posizione generica, di solito è più semplice posizionare l'asse reale su un
fasore, e partire da quella condizione particolare
Re in fase con If
j Xs Ia
φI = γ
φE = 90
φV = γ  φ = 90  δ
φ = φV  γ
  
Vf = Ef  Za Ia = Ef  exp( j  φE)  Za Ia exp[ j  ( φZ  φI) ]
Vf

Vf = Ef  ( cosφE  j  sinφE)  Za Ia ( cos( φZ  φI)  j  sin( φZ  φI) )

Vf = j  Ef  Za Ia ( cos( φZ  γ)  j  sin( φZ  γ) )
Ra Ia
Ef
Re_Vf ( γ)  Za Ia cos( φZ  γ)
Im_Vf ( γ)  Ef  Za Ia sin( φZ  γ)
Vf ( γ)  Re_Vf ( γ)  i Im_Vf ( γ)
δ
Ia
φE
mod_Vf ( γ) 
φV
φ
2
Re_Vf ( γ)  Im_Vf ( γ)
2
φV( γ)  arg ( Vf ( γ) )
φ( γ)  φV( γ)  γ
φI
γ
If
Re
36
γ  60
γ  90
π
180
π
180
γ  120 
π
180
mod_Vf ( γ)  362.634
Re_Vf ( γ)  32.552
Im_Vf ( γ)  361.17
φV( γ) 
mod_Vf ( γ)  340.468
Re_Vf ( γ)  83.776
Im_Vf ( γ)  330
φV( γ) 
mod_Vf ( γ)  299.358
Re_Vf ( γ)  112.552
Im_Vf ( γ)  277.394
φV( γ) 
j Xs Ia
Re in fase con Ef
Re
δ
Ia
φ
π
180
γ  120 
π
180
180
π
 104.245
φ( γ) 
 112.085
φ( γ) 
φI  γ  90 = 0
π
180
π
180
π
 35.15
 14.245
 7.915
φI = γ  90

Vf = Ef  Za Ia ( sin( φZ  γ)  j  cos( φZ  γ) )
φI
γ  90
π
180

Vf = Ef  Za Ia ( cos( φZ  γ  90)  j  sin( φZ  γ  90) )
φV
π
180
φ( γ) 

Vf = Ef  ( cosφE  j  sinφE)  Za Ia ( cos( φZ  φI)  j  sin( φZ  φI) )
Ra Ia
Ef
180
π
 95.15
φ = 90  γ  δ = 90  γ  φV
  
Vf = Ef  Za Ia = Ef  exp( j  φE)  Za Ia exp[ j  ( φZ  φI) ]
Vf
γ  60
φV = δ
φE = 0
180
γ
If
Im_Vf ( γ)  Za Ia cos( φZ  γ)
Re_Vf ( γ)  Ef  Za Ia sin( φZ  γ)
Vf ( γ)  Re_Vf ( γ)  i Im_Vf ( γ)
mod_Vf ( γ) 
φV( γ)  arg ( Vf ( γ) )
2
Re_Vf ( γ)  Im_Vf ( γ)
φ( γ)  φV( γ)  γ  90
mod_Vf ( γ)  362.634
Re_Vf ( γ)  361.17
Im_Vf ( γ)  32.552
φV( γ) 
mod_Vf ( γ)  340.468
Re_Vf ( γ)  330
Im_Vf ( γ)  83.776
φV( γ) 
mod_Vf ( γ)  299.358
Re_Vf ( γ)  277.394
Im_Vf ( γ)  112.552
φV( γ) 
180
π
180
π
180
π
2
π
180
 5.15
φ( γ) 
 14.245
φ( γ) 
 22.085
φ( γ) 
180
π
180
π
180
π
 35.15
 14.245
 7.915
Le 3 situazioni corrispondono ai seguenti diagrammi fasoriali
j Xs Ia
j Xs Ia
Ra Ia
Vf
Ef
Vf
φ Ia
γ
If
j Xs Ia
Ra Ia
Ra Ia
Ef
Ef
φ
Ia
γ
Vf
If
φ
Ia
γ
 = 60: cos in ritardo,
Vf aumenta rispetto a  = 90
coppia non massima
 = 120: cos in anticipo ( => rifaso)
Vf cala rispetto a  = 90
Ia smagnetizzante (opposta If)
coppia non massima
If
37
Caratteristiche di funzionamento di un alternatore lineare isotropo
Si consideri un alternatore trifase isotropo avente i seguenti dati nominali e di prova:
potenza nominale
An [MVA]
10
tensione nominale
Vn [kV]
11
fattore di potenza nominale
cosϕn
0.8 (rit.)
frequenza
fn [Hz]
50
resistenza di indotto (per fase, colleg. Y), a 75 °C
Ri [mΩ]
70
resistenza avvolg. di eccitazione, a 75 °C
Recc [Ω]
0.20
perdite addizionali (a corrente nominale)
paddn [kW]
50
perdite meccaniche a velocità nominale
pm [kW]
110
perdite a vuoto totali a velocità e tensione nominale
po [kW]
180
corrente di eccitazione a vuoto a tensione nominale
ieon [A]
180
Ic.to [A]
150
corrente di indotto in c.to c.to, con ie = 50A
caduta di tensione su ogni spazzola
ΔVs [V]
1
La caratteristica di magnetizzazione Vo(iecc) a velocità nominale è descritta, in modo normalizzato,
mediante le seguenti coppie di valori percentuali (iecc%=100⋅iecc/ieon Vo%=100⋅Vo/Vn)
iecc%
Vo%
20
22
40
43
60
63
80
83
100
100
130
115
170
125
220
134
280
142
Si chiede di tracciare la caratteristica di magnetizzazione effettiva e linearizzata (caratteristica di
traferro) e di calcolare le seguenti grandezze:
1. il coefficiente angolare della caratteristica di traferro;
2. la reattanza sincrona Xs;
3. la corrente di eccitazione e l'angolo di carico, nel caso in cui la tensione di indotto sia pari alla
nominale e la corrente sia pari alla nominale, per cosϕ = 1; cosϕn ; 0rit ; 0ant;
4. la variazione di tensione nel funzionamento nominale;
5. la corrente di guasto per corto circuito netto trifase ai morsetti;
6. la corrente di indotto, per tensione pari alla nominale, carico nullo, e corrente di eccitazione
pari al 60% ed al 30% della corrente di eccitazione in condizioni nominali;
7. la massima potenza reattiva erogabile ed assorbibile dall’alternatore;
8. la tensione ai morsetti dell’induttore e la potenza da esso assorbita, per pieno carico nominale e
fattore di potenza pari al nominale;
9. le perdite ed il rendimento convenzionali, in condizioni nominali;
10. le perdite ed il rendimento convenzionali, per una corrente di indotto pari al 30% della
nominale e cosϕ = cosϕn.
38
39
40
41
CARATTERISTICHE DI FUNZIONAMENTO DI UN ALTERNATORE LINEARE
An := 10⋅ 10
6
Vn := 11⋅ 10
Corrente di eccitaz a vuoto
Perdite addiz.
3
cosφn := 0.8
∆Vs := 1
Resistenza indotto
ieon := 180
Paddn := 50⋅ 10
fn := 50
3
Perdite meccan
2
( X⋅ I) +
2
V
3
+ 2⋅
V
3
Perdite a vuoto
Pmecc := 110 ⋅ 10
Vn
Zn :=
Recc := 0.20
Po := 180 ⋅ 10
3
2
Zn = 12.1
An
⎛
δ ( V , I , cosφ, X) := atan⎜
2
⋅ X⋅ I⋅ 1 − cosφ
In = 524.864
3 ⋅ Vn
Resistenza eccitaz.
Ri := 0.07
Impedenza nominale
Eo ( V , I , cosφ, X) :=
An
In :=
⎞
cosφ
2
V
⎜ 1 − cosφ +
3 ⋅ X⋅ I ⎠
⎝
3
T
Iecc.pu := ( 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.3 1.7 2.2 2.8 )
Caratt di magnetizz
per punti
T
Vo.pu := ( 0.22 0.43 0.63 0.83 1 1.15 1.25 1.34 1.42 )
1 Coeff angolare della caratteristica di traferro
mcar.traf :=
Vo.pu ⋅ Vn
2
Iecc.pu ⋅ ieon
k := 0 .. last( Vo.pu)
mcar.traf = 64.167
iecc := 1 .. 400
2
2 reattanza
sincrona
Ii50 := 150
Vo50 := mcar.traf ⋅ 50
3
Vo50 = 3.208 × 10
Vo50
Xs :=
3 ⋅ Ii50
Xs = 12.349
Xs
Zn
= 1.021
2.5 .10
4
2 .10
4
Vo.pu ⋅ Vn
k
1.5 .10
4
mcar.traf ⋅ iecc
1 .10
4
Vn
5000
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
Iecc.pu ⋅ ieon , iecc
k
3.
Vo1 :=
Vo2 :=
3 ⋅ Eo ( Vn , In , 1 , Xs)
3 ⋅ Eo ( Vn , In , cosφn , Xs)
4
Vo1 = 1.572 × 10
4
Vo2 = 1.988 × 10
Ie1 :=
Ie2 :=
Vo1
mcar.traf
Vo2
mcar.traf
δ ( Vn , In , 1 , Xs) ⋅
180
δ ( Vn , In , cosφn , Xs) ⋅
180
Ie1 = 244.943
Ie2 = 309.819
π
π
= 45.583
= 26.857
Von := Vo2
ien := Ie2
ieM := ien
Queste sono le condizoni nominali => danno Von e ien
NOTA: ien = ieccMAX, ed In = IiMAX, perché le condizioni nominali sono quelle di limite termico della macchina.
NOTA: Von è molto elevata perché stiamo considerando la caratteristica di traferro; se considerassimo la caratteristica reale,
a pari valori di iecc si hanno valori di Vo ben più bassi => anche Von sarebbe più bassa
42
Vo3 := Vn +
4
3 ⋅ Xs⋅ In
Vo3 = 2.223 × 10
Ie3 :=
Vo3
Ie3 = 346.383
mcar.traf
NOTA: Nel caso 3, la corrente di eccitazione risulta superiore al valore nominale (che è il valore massimo ammissibile).
Significa che questo tipo di funzionamento non è ammesso, cioè con cos φ = 0 R deve essere I<In
Vo4 := Vn −
3 ⋅ Xs⋅ In
Vo4 = −226.255
Vo4
Ie4 :=
Ie4 = −3.526
mcar.traf
NOTA: Nel caso 4, per avere In occore Vo4 < 0, cioè iecc4 < 0; significa che occorre invertire il campo e quindi si inverte la
fem ai morsetti; è funzionamneto possibile, ma solo transitorio.
5 corrente di guasto
6
IG :=
∆V = 8.88 × 10
Von
3 ⋅ Xs
IG
In
3
Vo5 := 0.3⋅ i en⋅ mcar.traf
Vo5 = 5.964 × 10
Vo6 := 0.6⋅ i en⋅ mcar.traf
Vo6 = 1.193 × 10
I5 :=
4
ImaxC :=
4
VoM := mcar.traf ⋅ ieM
3 ⋅ Xs⋅ In = 1.123 × 10
IG = 929.456
7. massima potenza reattiva
8
3
∆V := Von − Vn
4 variazione di tensione
VoM = 1.988 × 10
Veccn := Recc⋅ ien + 2 ⋅ ∆Vs
Vn
3 ⋅ Xs
ImaxL :=
= 1.771
Vn − Vo5
Vo6 − Vn
ImaxC = 514.286
VoM − Vn
2
4
Pcun = 5.785 × 10
I6 = 43.388
3 ⋅ Xs
Qc :=
3 ⋅ Xs
QL :=
Peccn := Veccn⋅ i en
Presa :=
(
)
Pecc := Recc⋅ Ie7 + 2 ⋅ ∆Vs ⋅ Ie7
Pecc = 9.002 × 10
Presa :=
3
3 ⋅ Vn⋅ α ⋅ In⋅ cosφn
6
3 ⋅ Vn⋅ In⋅ cosφn
5
Pptotn := Po + Peccn + Pcun + Paddn
Vo7 = 1.33 × 10
Pcu := 3 ⋅ Ri⋅ ( α ⋅ In)
3
Pcu = 5.207 × 10
6
Presa = 2.4 × 10
2
4
Pptotn = 3.077 × 10
Vo7
Ie7 :=
1
η :=
1+
Pptotn
η = 0.963
Presa
Ie7 = 207.219
mcar.traf
Padd := Paddn⋅ α
3
Padd = 4.5 × 10
Rendimento
2
4
Presa = 8 × 10
α := 0.3
3 ⋅ Eo ( Vn , α ⋅ In , cosφn , Xs)
Vo7 :=
6
3 ⋅ Vn⋅ ImaxL QL = 7.91 × 10
Peccn = 1.982 × 10
Rendimento
10 perdite e rendimento
3 ⋅ Vn⋅ ImaxC Qc = 9.798 × 10
ImaxL = 415.17
9 perdite e rendimento in condizioni nominali
Pcun := 3 ⋅ Ri⋅ In
I5 = 235.449
3 ⋅ Xs
I6 :=
Veccn = 63.964
4
Pptot := Po + Pecc + Pcu + Padd
5
Pptot = 1.987 × 10
1
η :=
1+
Pptot
η = 0.924
Presa
43
6