Lezione del 2/4/2007. - Benvenuti da poincare.unile.it

Sistemi dinamici-parte2
Equazioni di Lagrange per il punto materiale
AM Cherubini
2 Aprile 2007
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Warning!
➢Warning!
➢Da Newton a
Lagrange
➢Cambio
coordinate:
coordinate polari
del piano
➢Punto vincolato
ad una curva
➢Lagrangiana
➢Punto vincolato
ad una superficie
➢Sfera
➢R2
➢Riassumendo...
Queste slides sono solo un supporto alla lezione: studiate sui
libri.
■ Ogni riferimento ad argomenti studiati in altri corsi e’ da
ritenersi del tutto intenzionale: il corso non e’ autoreferenziale
e si richiedono nozioni di analisi, fisica etc. gia’ studiate.
■ Gli esercizi sono indispensabili per capire la teoria ( ...e
costituiscono programma d’esame)
■
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Da Newton a Lagrange
➢Warning!
➢Da Newton a
Lagrange
➢Cambio
coordinate:
coordinate polari
del piano
➢Punto vincolato
ad una curva
➢Lagrangiana
➢Punto vincolato
ad una superficie
➢Sfera
➢R2
➢Riassumendo...
Attenzione: in generale useremo equazioni differenziali al secondo
ordine
Equazione di Newton per un punto P in R3
(1)
m a = F(P, v, t) P = (x, y, z)
proiettando sugli assi coordinati
..
m x= F x
..
m y = Fy
..
(2)
m z = Fz
E’ invariante per cambi di coordinate arbitrari?
■ Posso usare la stessa equazione se il punto e’ vincolato a
muoversi su di una curva o su di una superficie?
■
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Cambio coordinate: coordinate polari del piano
➢Warning!
➢Da Newton a
Lagrange
➢Cambio
coordinate:
coordinate polari
del piano
➢Punto vincolato
ad una curva
➢Lagrangiana
➢Punto vincolato
ad una superficie
➢Sfera
➢R2
➢Riassumendo...
eθ
e
r
r
θ
(x, y) = w (r, θ) = (w1 (r, θ) , w2 (r, θ))
x = r cos θ
er =
dw
= (cos θ, sin θ)
dr
(3)
y = r sin θ
eθ =
1 dw
= (− sin θ, cos θ)
r dθ
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Le velocita’ cambiano con la matrice jacobiana w′ della trasformazione
ṙ
θ̇
′
v = (ẋ, ẏ) = w (r, θ)
!
ATTENZIONE AL RANGO DI w′
Per ricavare le equazioni scalari nelle nuove variabili devo proiettare (2) lungo i versori
tangenti alle nuove linee coordinate
..
ar =r −rθ̇
2
Fr = F · e r
..
aθ = r θ +2ṙθ̇
Fθ = F · e θ
Le nuove equazioni hanno una forma molto diversa dalle (2)
..
2
m r= m rθ̇ + Fr
..
mr θ = Fθ − 2m ṙθ̇
Esiste una forma piu’ generale delle (2) invariante per cambi di coordinate?
(4)
Punto vincolato ad una curva
➢Warning!
➢Da Newton a
Lagrange
➢Cambio
coordinate:
coordinate polari
del piano
➢Punto vincolato
ad una curva
➢Lagrangiana
➢Punto vincolato
ad una superficie
➢Sfera
➢R2
➢Riassumendo...
θ
t
Un punto vincolato a muoversi su una curva e’ soggetto, oltre
che alla forza ’nota’ F a una forza Φ che lo ’vincola’ a rimanere
sulla curva. La direzione di Φ e’ normale alla curva ma la sua
intensita’ non e’ nota a priori e sara’ funzione del moto.
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Le coordinate di P devono soddisfare le equazioni che definiscono la curva e l’equazione
(1) con la forza incognita Φ(cfr. moltiplicatori di Lagrange)
ma = F + Φ
(5)
Come ricavare equazioni per il moto?
Prendiamo per esempio un punto soggetto al peso F = −mgj ma vincolato a muoversi
lungo una circonferenza di raggio R . La sua traiettoria, se fosse libero di muoversi sul
piano, sarebbe una parabola.
Parametrizzo la circonferenza con un angolo, come nella figura.
x = R sin θ
y = −R cos θ
Definisco il versore tangente alla curva nel punto P
t = (cos θ, sin θ)
e il versore normale
n = (sin θ, − cos θ)
Ricavo l’accelerazione
..
2
a = R θ t − θ̇ n
Proiettando lungo il versore tangente si ottiene l’equazione per θ
g
θ= − sin θ
R
..
Risolvendo questa equazione si trova una legge per il moto del punto vincolato alla
circonferenza (e a posteriori si determina il valore di Φ)
C’e’ un modo di generalizzare questo procedimento?
L’energia cinetica per P e’
e si ha
1
1
2
K = mv = mR2 θ̇2
2
2
..
m θ=
d d
K
dt dθ̇
La forza e’ conservativa F = −grad V e la sua energia potenziale e’
V = mgy = −mg cos θ
(6)
Lagrangiana per il pendolo
➢Warning!
➢Da Newton a
Lagrange
➢Cambio
coordinate:
coordinate polari
del piano
➢Punto vincolato
ad una curva
➢Lagrangiana
➢Punto vincolato
ad una superficie
➢Sfera
➢R2
➢Riassumendo...
Se definisco la funzione
˙ − V (θ) Lagrangiana
L(θ, θ̇) = K(θ)
l’equazione (6)per il pendolo si ottiene da
d d
d
L eq. di Lagrange
L=
dt dθ̇
dθ
(7)
Se si cambia parametrizzazione
θ = w(q) θ̇ =
dw(q)
˙q
dq
(w regolare e invertibile )
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Per sostituzione di variabili, la lagrangiana in (q, q̇) e’
dw(q)
L̃ (q, q̇) = L w(q),
˙q
dq
In questa parametrizzazione l’equazione del moto ha la stessa forma di (7)
d
d d
L̃ = L̃
dt dq̇
dq
Si e’ quindi costruita un’equazione equivalente a quella di Newton ma invariante in
forma per cambi di coordinate.
Punto vincolato ad una superficie
Se il punto, soggetto ad una forza conservativa di potenziale V , e’ vincolato
ad una superficie regolare S di R3 definita da una equazione G(x, y, z) = 0 si
puo’ ripetere il procedimento. La superficie e’ (localmente) parametrizzata da
q = (q1 , q2 ), cioe’ (x, y, z) = w(q1 , q2 ) con w diffeomorfismo tra un aperto di
R2 e un aperto di S
q_2
w
S
q_1
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Il piano tangente in un punto ha come base i vettori tangenti alle linee coordinate
dw(q)
dqi
i = 1, 2
Le equazioni pure per il moto di P si ottengono proiettando l’equazione (5) sul piano
tangente alla superficie in P e sono date dal sistema
d d
d
L=
L
dt dq̇1
dq1
d
d d
L=
L
dt dq̇2
dq2
dove
L (q, q̇) = K (q, q̇) − V (q)
Esempio di parametrizzazione: coo. polari per la sfera
➢Warning!
➢Da Newton a
Lagrange
➢Cambio
coordinate:
coordinate polari
del piano
➢Punto vincolato
ad una curva
➢Lagrangiana
➢Punto vincolato
ad una superficie
➢Sfera
➢R2
➢Riassumendo...
z
P
11111
00000
11111
00000
θ
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
111111
000000
111111
000000
φ
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
y
x
x = R sin θ cos φ y = R sin θ sin φ z = R cos θ
Attenzione: questa parametrizzazione non vale sui poli.
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R2
➢Warning!
➢Da Newton a
Lagrange
➢Cambio
coordinate:
coordinate polari
del piano
➢Punto vincolato
ad una curva
➢Lagrangiana
➢Punto vincolato
ad una superficie
➢Sfera
➢R2
➢Riassumendo...
Il piano e’ un caso particolare di superficie (lo spazio tangente e’
il piano stesso); in coordinate cartesiane il punto soggetto ad una
forza conservativa F di potenziale V avra’ lagrangiana
1 2
2
L(x, y, ẋ, ẏ) = m ẋ + ẏ − V (x, y)
2
Le equazioni di Lagrange associate sono le eq. di Newton
(2)
(senza la z..); in coo. polari la lagrangiana L̃ r, θ, ṙ, θ̇ si ottiene
per sostituzione, applicando il cambio di variabili (3)
1 2 2
2
L̃ r, θ, ṙ, θ̇ = m r θ̇ + ṙ − Ṽ (r, θ)
2
e le equazioni (4) sono le equazioni di Lagrange associate a L̃
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Infatti, ricordando che Ṽ = V (x(r, θ), y(r, θ)) si ha
d
d
d
d
d
V x + Ṽ y = −F · er = −Fr
Ṽ (r, θ) =
dr
dx dr
dy dr
d
d
d
d
d
V x + Ṽ y = −rF · eθ = −rFθ
Ṽ (r, θ) =
dθ
dx dθ
dy dθ
Attenzione:
Quindi
d
dθ P
= reθ .
d
d d
..
L̃ = m r
L̃ = mrθ̇2 + Fr
dt dṙ
dr
..
d
d d
2
L̃ = mr θ +2mrṙθ̇
L̃ = rFθ
dt dθ̇
dθ
Equazioni:
d d
L̃ =
dt dṙ
d d
L̃ =
dt dθ̇
d
..
L̃ ⇒ m r= m rθ̇2 + Fr
dr
..
d ˜
L ⇒ mr θ = Fθ − 2m ṙθ̇
dθ
Riassumendo...
➢Warning!
➢Da Newton a
Lagrange
➢Cambio
coordinate:
coordinate polari
del piano
➢Punto vincolato
ad una curva
➢Lagrangiana
➢Punto vincolato
ad una superficie
➢Sfera
➢R2
➢Riassumendo...
Nel caso di un punto materiale, libero o vincolato ad una
curva o superficie, e soggetto a forze conservative e,
eventualmente, a reazioni vincolari e’ possibile scrivere un
sistema di equazioni differenziali scalari che descrive il moto
del punto, a partire da una funzione scalare dipendente dalle
coordinate del punto e dalla velocita’.
■ Il sistema e’ equivalente a quello che si ottiene proiettando
l’equazione di Newton (con le forze vincolari) sullo spazio
tangente alla varieta’
■ La forma delle equazioni e’ invariante per cambi di coordinate.
■
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