Politecnico di Torino
CeTeM
Fisica II
8
Esercitazioni
Esercizi svolti
Esercizio 8.1
Un avvolgimento di forma toroidale e sezione rettangolare è costituito da N = 100 spire; i
raggi interno ed esterno sono rispettivamente r1 = 5cm e r2 = 6cm e la larghezza del toroide
è a = 1cm.
Calcolare l'induttanza del toroide e l'energia magnetica in esso immagazzinata nell'ipotesi
che nel circuito scorra una corrente I = 5A.
Soluzione:
Il campo magnetico all'interno dell'avvolgimento forma delle linee di forza circolari e il suo
modulo, che per ragioni di simmetria dipende solo dalla distanza r dall'asse del toroide, si
può calcolare tramite il teorema di Ampère e risulta essere
µ0 N I
.
2 πr
B (r ) =
Conseguentemente il flusso magnetico attraverso la sezione del toroide vale
r
$ = a∫
∫ B ⋅ ndS
ΦB =
r2
r1
sezione
B( r ) dr = a
µ0 NI
2π
∫
r2
r1
dr µ0 NIa r2
=
ln .
r
2π
r1
Essendo il flusso ΦB concatenato a N spire, l'induttanza è dunque
L =
N ΦB
I
µ0 N 2 a r2
=
ln
≈ 3. 65 µH ,
2π
r1
mentre l'energia magnetica è
W =
1
2
LI 2 =
µ0 N 2 I 2 a r2
ln
≈ 4. 56 × 10 −5 J .
4π
r1
Si può verificare che l'energia magnetica avrebbe potuto essere calcolata anche
integrando la densità di energia all'interno del toroide, ottenendo il medesimo risultato
W =
∫
wdV =
volume
∫
volume
1 B
2
2 µ0
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dV =
1
2 µ0
∫
r2
r1
B 2 ( r ) a 2 πrdr =
µ0 N 2 I 2 a
4π
∫
r2
r1
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dr
r
=
µ0 N 2 I 2 a r2
ln
.
4π
r1
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Esercitazioni
Esercizio 8.2
Si consideri un cavo coassiale costituito da due superfici cilindriche di raggi r1 e r2 > r1 ,
percorse da correnti (uniformemente distribuite) di intensità I. Determinare l'energia
magnetica immagazzinata (per unità di lunghezza) e l'induttanza (per unità di lunghezza)
di tale cavo.
Soluzione:
Per ragioni di simmetria il campo magnetico forma linee di forza circolari centrate sull'asse
del cavo e il suo modulo dipende solo dalla distanza da tale asse. Utilizzando il teorema di
Ampère si dimostra che il campo magnetico è presente solo nella regione compresa tra i
due conduttori e ha modulo
B (r ) =
µ0 I
,
2 πr
dove r indica appunto la distanza dall'asse.
La densità di energia magnetica è quindi anch'essa funzione della distanza dall'asse e
vale
2
µ I2
1 B (r )
w(r) =
= 02 2 .
2 µ0
8π r
Per l'energia immagazzinata in un tratto di lunghezza l avremo pertanto
W=
∫ wdV = ∫
volume
r2
r1
w( r ) l 2πrdr =
µ0 I 2 l r2 dr µ0 I 2 l r2
∫ = 4π ln r
4π r1 r
1
L'induttanza può poi essere calcolata facilmente osservando che
L=
2W µ0 l r2
=
ln .
I2
2π r1
Si vede facilmente che entrambe le grandezze calcolate su un generico tratto di cavo
dipendono (linearmente) solo dalla lunghezza l del tratto e non dalla posizione assoluta di
questo. Ha quindi senso definire le densità di energia magnetica e induttanza per unità di
lunghezza nel seguente modo naturale
W µ0 I 2 r2
W=
=
ln
l
4π
r1
L
µ r
L=
= 0 ln 2 .
l 2π r1
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Esercitazioni
Esercizio 8.3
Una bobina di N spire è avvolta attorno ad un lungo solenoide di sezione circolare di
raggio R, avente n spire per unità di lunghezza.
Calcolare il coefficiente di mutua induzione tra bobina e solenoide.
Soluzione:
Detta I la corrente nel solenoide, il campo al suo interno ha modulo B = µ0 nI. Il flusso
concatenato con la bobina è quindi
ΦB = NBπR 2 = Nµ0 nIπR2 ,
per cui il coefficiente di mutua induzione risulta essere
M =
ΦB
I
= N µ0 n πR 2 .
Esercizi proposti
Esercizio 8.4
Calcolare l’induttanza per unità di lunghezza di una linea di trasmissione a piattina,
costituita da due conduttori cilindrici di raggio a = 0.25mm e posti a distanza (interasse)
d = 5mm. Un filo viene usato come conduttore di andata e l’altro come conduttore di
ritorno. Si ipotizzi che la corrente scorra interamente sulla superficie dei due conduttori.
Che cosa succede se questa ipotesi viene rimossa e ad esempio la corrente risulta
distribuita uniformemente nei conduttori?
Risultato:
µ0 d − a
L =
ln
≈ 118
. µH / m
π
a
Se la corrente è distribuita l’induttanza aumenta leggermente in conseguenza del flusso
autoconcatenato a ciascun filo.
Esercizio 8.5
Nel centro di una spira di raggio R si trova una seconda spira molto piccola di area
A << R2 ; i piani delle due spire formano un angolo θ. Si calcoli la mutua induttanza M del
sistema.
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Esercitazioni
Risultato:
M≈
µ0 A cosθ
2R
Esercizio 8.6
Un generatore di corrente sinusoidale a
frequenza f impone una corrente I(t) di
ampiezza I0 in un avvolgimento di induttanza L.
La tensione V(t) ai capi dell’avvolgimento viene
misurata da un oscilloscopio con la
convenzione di segno mostrata in figura
(convenzione degli utilizzatori). Mostrare che
V(t) è ancora sinusoidale con la stessa
frequenza ma sfasata in anticipo di un quarto di
periodo e determinarne l’ampiezza V0 .
l
I(t)
Risultato:
I ( t ) = I 0 sen( 2πft )
V ( t ) = V0 cos( 2πft )
V0 = 2πfLI 0
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L
V(t)
l
l
