Teorema di Talete
Un fascio di rette parallele determina su due trasversali due insiemi di segmenti direttamente
proporzionali.
Si forniscono 3 dimostrazioni dello stesso teorema.
Dimostrazione 1:
a) A segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra
trasversale (già dimostrato per assurdo).
b) Alla somma di due segmenti su una trasversale corrisponde la somma dei segmenti
corrispondenti sull’altra.
a) e b) sono la condizione necessaria e sufficiente affinché due insiemi in corrispondenza biunivoca
siano direttamente proporzionali. Il teorema resta pertanto dimostrato.
Dimostrazione 2: (simile a quella fornita da Euclide nei suoi Elementi VI, 2):
Si considerino le rette parallele d, e, f tagliate dalle
trasversali a, b. Per semplificare si conduca per A la
parallela c a b.
La tesi è dunque che BD:AD=CE:AE.
Si congiungano gli estremi D e E con B e C. I triangoli
BDE e CDE sono equivalenti perché hanno la stessa
base DE e la stessa altezza (distanza fra due rette
parallele). Ma DE è anche base del triangolo ADE.
Allora BDE:ADE=CDE:ADE.
Ma BDE:ADE= BD:DA (avendo la stessa altezza le
aree stanno come le due basi AD e BD). La stessa
cosa vale per CDE:ADE=CE:AEA (anch’essi stessa
altezza). Di conseguenza BD:AD=CE:AE.
Dimostrazione 3:
Siano AB e CD due segmenti su una delle due trasversali.
Si
supponga
che
AB
e
CD
siano
commensurabili. Ciò significa che esiste un
segmento AK contenuto n volte in AB (in figura
3 volte) e m volte in CD (in figura 2 volte),
cioè AB/CD=n/m
Conducendo le rette parallele per i punti di
divisione di AB e CD otterremo i corrispondenti
segmenti tutti congruenti a A’K’. Si deduce che
A’K’ è contenuto n volte in A’B’ e m volte in
C’D’.
Quindi
A’B’/C’D’=n/m=AB/CD.
Ciò
dimostra la diretta proporzionalità.
Se AB e CD sono incommensurabili la
dimostrazione utilizza il caso di segmenti
commensurabili
e
ci
arriva
per
“approssimazioni” utilizzando il concetto di
classi contigue.
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Inverso del Teorema di Talete?
Vale l’inverso del teorema di Talete?
Un semplice controesempio si ottiene considerando su una delle due trasversali due punti A, B e il
loro punto medio C e sull’altra trasversale due punti D, E e il loro punto medio F in modo tale che
la lunghezza di AB sia diversa da quella di DE. In generale, anche se AC : CB = DF : FE, le rette
c,d,e non sono parallele.
Questo significa che “i segmenti staccati su due trasversali da un fascio di rette sono
proporzionali” non è condizione sufficiente per concludere che “le rette del fascio sono parallele”.
Tuttavia spesso si è utilizzata la seguente proprietà vera:
“una retta che determina su due lati di un triangolo, o sui loro prolungamenti, segmenti
proporzionali, è parallela al terzo lato”. Una cosa simile si è usata anche nel caso del trapezio.
Tale teorema può essere considerato come l’inverso del seguente corollario del teorema di Talete
“una retta parallela a un lato di un triangolo determina sugli altri due lati, o sui loro prolungamenti,
segmenti proporzionali”.
Cosa cambia nel caso del triangolo e del trapezio?
Si osservi che è come si partisse da due rette già parallele. Nel caso del trapezio evidentemente le
due basi sono già parallele e nel triangolo il vertice è come se vincolasse la situazione, cioè anche
qui è come se ci fosse già una retta parallela alla base.
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Non si può dunque invertire il teorema di Talete?
Si osservino più attentamente ipotesi e tesi del teorema.
Dato un fascio di rette parallele e prese qualsiasi due trasversali…allora segmenti in
corrispondenza biunivoca.
Invertendo si dovrebbe dire: dato un fascio di rette, se considerata qualunque coppia di
trasversali su di esse si determinano insiemi di segmenti proporzionali allora le rette sono parallele.
La proprietà deve valere qualunque coppia di trasversali.
Si consideri il controesempio precedente (caso di proporzionalità 1, cioè congruenza)
Sulla trasversale f le rette c,d,e non staccano segmenti congruenti (si noti IK e KL) nonostante AC
e CB, EF e FE fossero congruenti. Non valendo per ogni trasversale non si verifica l’ipotesi
dell’inverso del teorema di Talete e le rette c,d,e non sono parallele.
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Conseguenze del Teorema di Talete
1) La parallela ad un lato di un triangolo
divide gli altri due lati in parti
proporzionali.
2) Se una retta divide in parti proporzionali due lati di un triangolo (o determina sui loro
prolungamenti segmenti proporzionali) è parallela al terzo lato.
3) La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali
agli altri due lati.
4) La bisettrice di un angolo esterno di un triangolo, se non è parallela la lato opposto, ne
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incontra il prolungamento in un punto che determina con gli estremi di quel lato segmento
proporzionali agli altri due lati.
5) Costruire
il
segmento
quarto
proporzionale dati tre segmenti.
6) Dividere un segmento in parti proporzionali a più segmenti dati (caso particolare in parti
uguali)
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Misura della piramide
L'aneddoto ripreso da Plutarco (in
Convivio dei Sette Sapienti, 2, 147 A)
racconta che il faraone Amasis
avrebbe voluto mettere alla prova la
perizia
scientifica
di
Talete,
sfidandolo a misurare l'altezza della
piramide di Cheope; superata la
prova, il faraone gli espresse la sua
ammirazione,
dichiarandosi
«stupefatto del modo in cui hai
misurato la piramide senza il minimo
imbarazzo
e
senza
strumenti.
Piantata un'asta al limite dell'ombra
proiettata dalla piramide, poiché i raggi del sole, investendo l'asta e la piramide formavano
due triangoli, hai dimostrato che l'altezza dell'asta e quella della piramide stanno nella stessa
proporzione in cui stanno le loro ombre».
Ad esempio se l'ombra del bastone fosse doppia della sua altezza, allora anche l'ombra della
piramide sarebbe doppia rispetto alla sua altezza.
Immagini
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L'isola misteriosa capitolo , XIV di Jules Verne
L'indomani, 16 aprile, domenica di Pasqua, i coloni uscirono dai Camini allo spuntar del giorno, e
provvidero a lavare la loro biancheria e a pulire i loro abiti. L'ingegnere si proponeva di fabbricare
del sapone, appena avesse potuto procurarsi le materie prime necessarie, soda o potassa, grasso
od olio. Anche l'importante problema del rinnovamento del guardaroba sarebbe stato trattato a
tempo e luogo. A ogni modo, i vestiti sarebbero durati certo sei mesi ancora giacché erano solidi e
potevano resistere alla fatica dei lavori manuali. Ma tutto sarebbe dipeso dalla posizione dell'isola
rispetto alle terre abitate: fatto, questo, che sarebbe stato determinato in quello stesso giorno,
tempo permettendo. Ora, il sole, sorgendo su di un orizzonte limpido, annunciava una giornata
magnifica, una di quelle belle giornate d'autunno che sono come l'estremo addio della stagione
calda. Si trattava, perciò, di completare gli elementi di osservazione della vigilia, misurando
l'altitudine dell'altipiano di Bellavista al di sopra del livello del mare. - Non vi occorre uno strumento
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analogo a quello di cui vi siete servito ieri? - domandò Harbert all'ingegnere. - No, ragazzo mio, rispose questi, - procederemo diversamente, ma in un modo quasi altrettanto preciso. Harbert, che
amava istruirsi su tutte le cose, segui l'ingegnere, che s'allontanò dalla base della muraglia di
granito, discendendo sino alla spiaggia. Nel frattempo, Pencroff, Nab e il giornalista si occupavano
di vari altri lavori. Cyrus Smith si era munito di una specie di pertica diritta e lunga circa dodici
piedi*, che aveva misurata con la maggior esattezza possibile confrontandola con la propria
statura, che conosceva con una buona approssimazione. Harbert portava un filo a piombo, che
Cyrus Smith gli aveva dato, vale a dire una semplice pietra fissata all'estremità di una fibra
flessibile. Arrivato a una ventina di piedi dal limite della spiaggia, e a cinquecento piedi circa dalla
muraglia di granito, che si drizzava perpendicolarmente, Cyrus Smith conficcò la pertica per due
piedi nella sabbia e, rincalzandola con cura, pervenne, a mezzo del filo a piombo, a rizzarla
perpendicolarmente al piano dell'orizzonte. Fatto questo, indietreggiò di quel tanto ch'era
necessario perché, mettendosi egli prono sulla sabbia, il raggio visivo, partito dal suo occhio,
sfiorasse contemporaneamente l'estremità della pertica e la cresta della muraglia. Poi segnò
accuratamente quel punto con un paletto. Allora, rivolgendosi a Harbert:
- Conosci le prime nozioni della geometria? - gli chiese.
- Un po', signor Cyrus - rispose Harbert, che non voleva spingersi troppo oltre.
- Ricordi bene quali sono le proprietà di due triangoli simili?
- Sì - rispose Harbert. - I loro lati omologhi sono proporzionali.
- Ebbene, ragazzo mio, or ora, io ho costruito due triangoli simili, tutti e due rettangoli: il primo, il
più piccolo, ha per lati la pertica perpendicolare e la distanza che separa il paletto dalla parte
inferiore della pertica, e per ipotenusa il mio raggio visivo; il secondo ha per lati la muraglia
perpendicolare, di cui dobbiamo misurare l'altezza, la distanza che separa il paletto dalla base di
detta muraglia e il mio raggio visivo formante l'ipotenusa anche di questo secondo triangolo, la
quale viene a essere cosi il prolungamento di quella del primo.
- Ah! Signor Cyrus, ho capito! - esclamò Harbert. - Come la distanza dal paletto alla pertica è
proporzionale alla distanza dal paletto alla base della muraglia, così l'altezza della pertica è
proporzionale all'altezza di questa muraglia.
- Proprio così, Harbert, - rispose l'ingegnere - e quando avremo misurato le due prime distanze,
conoscendo l'altezza della pertica, non ci resterà da fare che un calcolo di proporzione, per aver
l'altezza della muraglia, evitandoci la fatica di misurarla direttamente.
Furono prese le due distanze orizzontali, per mezzo della pertica stessa, la cui lunghezza
emergente dalla sabbia era esattamente di dieci piedi. La prima distanza era di quindici piedi, tra il
paletto e il punto ove la pertica era affondata nella sabbia. La seconda distanza, fra il paletto e la
base della muraglia, era di cinquecento piedi. . Prese queste misure, Cyrus Smith e il ragazzo
tornarono ai Camini. Qui giunto, l'ingegnere prese una pietra piatta, che aveva raccolta durante
una delle precedenti escursioni; specie di schisto d'ardesia, sul quale era facile tracciare delle cifre
servendosi di una conchiglia aguzza. Egli stabilI, dunque, la proporzione seguente:
15 : 500 = 10 : x 500 x 10 = 5.000 5.000/15 = 333,33
Da cui risultò che la muraglia di granito misurava trecentotrentatré piedi di altezza: Cyrus Smith
riprese allora lo strumento che aveva fabbricato il giorno prima, i due bracci del quale, per mezzo
della loro divaricazione, gli davano la distanza angolare dalla stella alfa all'orizzonte. Egli misurò
con grande esattezza l'apertura di detto angolo su di una circonferenza, che divise in
trecentosessanta parti uguali. L'angolo così ottenuto era di dieci gradi. Quindi, la distanza angolare
totale fra il polo e l'orizzonte, aggiungendo a essa i ventisette gradi che separano l'alfa del polo
antartico e riportando al livello del mare l'altitudine dell'altipiano sul quale era stata fatta
l'osservazione, fu trovata essere di trentasette gradi. Cyrus Smith trasse da ciò la conclusione che
l'isola di Lincoln era situata al trentasettesimo grado di latitudine australe; oppure, prevedendo un
errore di cinque gradi, data l'imperfezione delle sue operazioni, che essa doveva trovarsi fra il
trentacinquesimo e il quarantesimo parallelo. Per completare le coordinate dell'isola, rimaneva da
conoscere la longitudine e questa l'ingegnere avrebbe tentato di determinarla in quello stesso
giorno, a mezzodì, cioè al momento in cui il sole sarebbe passato al meridiano.
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