Disequazioni
Le disequazioni sono disuguaglianze fra due espressioni di cui almeno una contenente delle lettere (espressione
letterale). Le lettere che vi compaiono si chiamano incognite della disequazione.
Risolvere le disequazioni
Risolvere le disequazioni vuol dire trovare l’ INSIEME dei valori che, sostituiti alle incognite, rendono vera la
disuguaglianza. L’insieme delle soluzioni delle disequazioni si chiama S.
Struttura della disequazione
Come nelle equazioni l’espressione a sinistra dell’uguale si chiama primo membro; quella a destra secondo membro.
Se un membro è vuoto si mette 0.
Tipi di disequazioni
Analogamente alle equazioni le disequazioni si classificano per il numero di incognite presenti e per il grado massimo
delle incognite (l’esponente delle lettere). Ad esempio avremo:
Disequazioni di primo grado ad una incognita Æ contengono solo la x
Disequazioni di secondo grado ad una incognita Æ contengono la x2 e la x
Disequazioni di terzo grado ad una incognita Æ contengono la x3, la x2 e la x
Disequazioni di primo grado a due incognite Æ contengono la x e la y.
Disequazioni equivalenti
Si chiamano equivalenti due disequazioni che ammettono lo stesso insieme di soluzioni S.
Principi di equivalenza delle disequazioni
1° principio
Se si aggiunge o si toglie uno stesso numero o una espressione in entrambi i membri della disequazione
allora si ottiene una disequazione equivalente.
Il primo principio è importante perché ci permette di:
spostare un termine qualsiasi da un membro all’altro cambiandogli il segno (Legge del trasporto)
eliminare due termini uguali quando sono presenti in membri diversi.
2° principio
Se si divide o si moltiplica ogni membro dell’equazione per lo stesso numero POSITIVO allora si ottiene
una equazione equivalente.
Se si divide o si moltiplica ogni membro dell’equazione per lo stesso numero NEGATIVO allora si
ottiene una equazione equivalente SE SI INVERTE LA DISUGUAGLIANZA.
Il secondo principio è importante perché ci permette di:
eliminare lo stesso mcm da entrambi i membri
trasformare la forma normale in soluzione dell’equazione.
Forma normale di una disequazione
Si chiama forma normale una disequazione nella quale nel primo membro compare solo un monomio in x e nel
secondo membro solo un numero (senza la x).
Forma normaleÆ ax > b (con a e b numeri relativi interi)
Dalla forma normale si ottiene la soluzione facendo x>b/a
Esempi: se 3x>6 allora x>6/3>2
se 4x<-1 allora x<-1/4 se 5x>0 allora x>0/5>0
1
Risolvere le disequazioni di primo grado con termini interi:
1.
2.
3.
4.
5.
liberare da tutte le parentesi
trasportare tutti i termini con la x nel primo membro
trasportare tutti i termini noti nel secondo membro
scrivere la forma normale ax>b
trovare la soluzione
Risolvere le disequazioni di primo grado con termini frazionari:
1.
2.
3.
4.
5.
liberare da tutte le parentesi
calcolare un unico mcm per tutti i termini
trasformare i termini con l’mcm
eliminare l’mcm
risolvere ora l’equazione con i termini interi (vedi sopra)
Rappresentazione delle soluzioni
Insiemi di riferimento:
Nel rappresentare l’insieme delle soluzioni di una disequazione è opportuno indicare a quale insieme numerico ci si
riferisce; gli insiemi numerici sono: numeri Naturali {0, 1, 2, 3, …}; interi relativi {… -2, -1, 0, 1, 2, …};
(razionali) {… -1/2, 3/4, 0, 1, -0.5, …}; (reali) (come i razionali + le radici).
-10
-5
0
5
10
x
-10
-5
0
5
10
x
-10
-5
0
5
10
x
e
Ad esempio nella disequazione x + 1 < 4 ( la cui soluzione è x < 3) l’insieme S delle soluzioni è completamente
definito in , e , ma è solo parzialmente definito in .
S: {x ∈ / x < 3}(insieme infinito) S: {x ∈ / x < 3}(insieme infinito) S: {x ∈ / x < 3}(insieme infinito)
S: {0, 1, 2}(insieme finito)
Metodo grafico:
Per rappresentare graficamente l’insieme delle soluzioni si utilizza la retta orientata dei valori di x (ascisse).
Si rappresenta l’insieme S delle soluzioni con una riga continua; sui valori al limite dell’insieme si mette un pallino
vuoto se sono esclusi; un pallino pieno se sono compresi.
Esempi:
x > 24
x ≤ 18
5
5
10
10
20
15
20
15
2
25
25
30
30
x
x
Metodo insiemistico:
Per rappresentare l’insieme delle soluzioni con il linguaggio dell’insiemistica si utilizzano i codici degli intervalli.
A tale proposito introduciamo il concetto di estremo infinito sinistro (- ∞) e estremo infinito destro (+ ∞) indicando
con questi termini rispettivamente il più grande valore negativo ed il più grande valore positivo.
Si rappresenta l’insieme S delle soluzioni con un intervallo fra due valori chiuso da parentesi; sui valori al limite
dell’intervallo si mette una parentesi tonda prima dell’estremo infinito sinistro e dopo l’estremo infinito destro; per i
valori intermedi si usa una parentesi quadra inclusiva (normale) o esclusiva (inversa). Vediamo degli esempi di questi
codici:
Soluzione:
Soluzione:
Soluzione:
Soluzione:
Soluzione:
Soluzione:
S:
S:
S:
S:
S:
S:
x > -6
x < -5
x ≤ 15
x ≥ -11
x>x
x≤x
]-6; +∞)
(-∞; -5 [
(-∞; 15 ]
[-11; +∞)
(∅) insieme vuoto Æ nessuna soluzione (IMPOSSIBILE)
(-∞;+∞) tutto l’insieme (∀x)Æ ogni x è soluzione (INDETERMINATO)
Problemi risovibili con disequazioni
Le disequazioni (come le equazioni) sono un potente mezzo per risolvere innumerevoli problemi di aritmetica,
geometria e scienze.
Per riuscire a risolvere un problema con una disequazione è necessario analizzare bene il testo del problema per trovare
le informazioni che ci permettono di “costruire” la disequazione risolvente. E’ ovvio che un problema risolvibile con
una disequazione deve ammettere un insieme S di risultati accettabili.
In generale bisogna fare due cose:
1. Trovare nel testo una informazione che ci permetta di indicare l’incognita o le incognite x.
2. Trovare nel testo il modo di costruire la disuguaglianza che sarà la struttura della disequazione.
Una informazione può essere usata solo una volta. Se la costruzione è esatta, la soluzione della disequazione restituirà
un insieme di soluzioni la cui accettabilità va verificata.
Esempio: Per iscriversi ad un corso di tennis ci sono 2 possibilità:
1. pagare 4 EUR per ogni ora di lezione e 48 EUR per l’iscrizione.
2. pagare 6 EUR per ogni ora di lezione con iscrizione gratis.
Con poche ore di lezione è certamente più conveniente la numero 2 visto che non si paga l’iscrizione.
Si vuole però sapere DOPO QUANTE ORE di lezione diventerà più conveniente l’ipotesi n.1.
Se chiamo x le ore di lezione cercate allora avrò:
spesa per l’ipotesi numero 1 Æ 4x + 48
spesa per l’ipotesi numero 2 Æ 6x
Il problema chiede dopo quante ore la spesa per l’ipotesi 1 diventa più conveniente cioè MINORE della spesa per
l’ipotesi numero 2. Questo ci guida a scrivere la disequazione: 4x + 48 < 6x che dobbiamo risolvere
4x – 6x < -48
-2x < -48
moltiplico per -1 (per cambiare i segni) ma devo invertire la disuguaglianza
2x > 48
forma normale
x > 24
soluzione. La soluzione ottenuta è un insieme di numeri positivi quindi è accettabile.
L’ipotesi numero 1 diventa conveniente DOPO 24 ore (cioè dalla 25a ora in poi)
Rappresentazione delle soluzioni in modo grafico e con intervallo di valori.
S:
5
S:
]24; +∞)
10
15
20
3
25
30
x
