Esercizi sulle radici primitive

ESERCIZI SU CONGRUENZE E RADICI PRIMITIVE
UNIVERSITÀ DI TRENTO – TEORIA ALGEBRICA DEI NUMERI (2014/15)
MCM. Calcolate il minimo comune multiplo degli interi da 1 a 10. Ora trovate il minimo
comune multiplo degli interi da 1 a 100; di quest’ultimo basta che esibiate la scomposizione in
fattori primi, non serve che ne troviate il valore numerico.
Terne pitagoriche. Dimostrate che se x, y, z sono interi tali che x2 + y 2 = z 2 , allora xyz ≡ 0
(mod 60).
[Suggerimento: Studiate che valori possono assumere x2 , y 2 e z 2 modulo 4, 3 e 5 se soddisfano
l’equazione.]
Un’applicazione del Piccolo Teorema di Fermat. Dimostrate che n2 − n è multiplo di 2
per ogni intero n; che n3 − n è multiplo di 6; che n5 − n è multiplo di 30.
Ora mostrate anche che i numeri 2, 6 e 30 in questi enunciati sono i migliori possibili, cioè
non si possono rimpiazzare con dei loro multipli propri.1
Phi di Eulero. Mostrate che ϕ(n) è pari per ogni intero n > 2.
Quali sono gli interi positivi n tali che ϕ(n) sia un multiplo di 3?
E quelli per cui ϕ(n) non sia un multiplo di 4?
Ordini degli elementi di F∗37 . Ripartite gli elementi di F∗37 a seconda del loro ordine moltiplicativo (cioè elencate quelli di ciascun possibile ordine).
Rappresentate graficamente (mediante un diagrama di Hasse, quindi con linee ascendenti a
rappresentare le inclusioni) l’insieme parzialmente ordinato dei sottogruppi di F∗37 .
La piú piccola radice primitiva modulo p. Per ogni primo p minore di 30 trovate la piú
piccola radice primitiva positiva modulo p, cioè il piú piccolo intero positivo a tale che ā = a+pZ
abbia ordine p − 1 in U (Z/pZ) (o, in altra terminologia, tale che ā sia un generatore (del gruppo
moltiplicativo) di Fp = Z/pZ).
[Suggerimento: Essendo p piccolo in questi casi basta calcolare l’ordine di 2, 3, 5 (ma non 4, perché?),
ecc., modulo p, fino a trovarne uno che abbia ordine p − 1. Per primi p piú grandi invece converrebbe
seguire una strategia migliore, come accennato nel suggerimento del prossimo esercizio.]
1Nota: Un modo alternativo (ma ce n’è uno molto piú semplice!) per giungere alla conclusione è usare le
identità
!
!
!
!
!
!
!
n
n
n
n
n
n
n
2
3
5
n −n=2
, n −n=6
+6
, n − n = 30
+ 150
+ 240
+ 120
.
2
2
3
2
3
4
5
P
P
che sono casi particolari della formula generale nk = kh=0 αh nh , dove αh = kj=1 (−1)h+j nj j k per h = 0, . . . , k.
Altra nota: Secondo l’esercizio, il polinomio a coefficienti razionali (n5 − n)/30, ad esempio, pur non essendo
a coefficienti interi, ma solo razionali, assume solo valori interi assegnando valori interi ad n. Secondo la nota
precedente poi tale polinomio si scrive come combinazione lineare a coefficienti interi di polinomi binomiali nk .
Questo è un caso particolare di un fatto generale. Infatti, si può mostrare che i polinomi in n di grado al piú d
che assumono valori
interi
per ogni valore intero di n sonoesattamente le combinazioni lineari a coefficienti interi
dei polinomi n0 = 1, n1 = n, n2 = n(n − 1)/2, . . . , nd = n(n − 1) · · · (n − d + 1)/d!.
1
Generatore di Fp . Trovate un generatore (del gruppo moltiplicativo) di F241 .
[Suggerimento: Notate che la probabilità che un elemento random di F∗241 sia un generatore è
ϕ(240)/240 = 4/15, quindi quasi uno su tre va bene, non dovremmo metterci molto. Possiamo procedere come nella dimostrazione che Fq è ciclico vista a lezione. Cerchiamo quindi per cominciare un
elemento di ordine multiplo di 16, cioè che non sia radice di x120 − 1 in F241 . Proviamo con 2, con
il metodo dei quadrati ripetuti, quindi 22 , 24 , ecc., ma anche senza arrivare a 2120 potremmo notare
che 212 ≡ −1 mod 241, e quindi 2 non va bene (però fate questi conti!). Ripartiamo con 3, quindi
con 5 (perché non proviamo 4?), ecc., finchè non troviamo (presto) un intero r con r120 6≡ 1 mod 241.
(Se aveste già visto la Legge di Reciprocità Quadratica, sarebbe molto piú rapido calcolare i simboli di
3
2
), ( 241
), ecc.) Dunque l’ordine di r è un multiplo di 16, e quindi possiamo ricavare da r
Legendre ( 241
un elemento di ordine 16. Prima di proseguire cercando elementi di ordine 3 e 5, conviene controllare
se per caso l’ordine di r è anche multiplo di 3 e 5 (perché in fondo un r ∈ F∗241 di ordine multiplo di 16,
quale quello appena trovato, ha probabilità 8/15, cioè circa 53%, di essere addirittura un generatore).
(Alcuni generatori di F∗241 sono ad esempio 13, 14, 31, 34, 35, 37, 39, 42, 46, 51, 52, 55, 56, . . ., ma ce
n’è anche uno piú piccolo.)]
Radici primitive modulo pα . Determinate un (rappresentante intero di un) generatore di
U(Z/1331Z). (In altre parole, una radice primitiva modulo 1331.)
Ora determinate un intero di ordine moltiplicativo (esattamente) 22 modulo 1331.
Infine, determinate tutti gli elementi di ordine esattamente 10 in U(Z/625Z).
Radici primitive modulo 2pα . Se p è un primo dispari, ecco come ricavare un generatore di
U (Z/2pα Z) da uno di U (Z/pα Z). Se l’intero g è una radice primitiva modulo pα , mostrate che
quello dispari fra g e g + pα è una radice primitiva modulo 2pα .
Gruppi isomorfi o no. Ricordando che il prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordini
coprimi è ciclico (e ovviamente ha ordine il prodotto degli ordini), mostrate che U (Z/104Z) ∼
=
U (Z/105Z).
Ora mostrate che U (Z/65Z) (cosı́ come vari altri) non è isomorfo ai gruppi precedenti, pur
avendo lo stesso ordine (e pure lo stesso esponente).
[Suggerimento: Per rispondere alla seconda domanda potete, ad esempio, mostrare che il terzo gruppo
ha un numero di elementi di ordine 2 diverso dai primi due.]
Equazioni modulo n. Trovate tutte le soluzioni della congruenza x2 ≡ 1 (mod 800).
Quanti sono gli elementi di U (Z/800Z) il cui ordine divide 10 (cioè, quante sono le soluzioni
della congruenza x10 ≡ 1 (mod 800))? E quanti di ordine esattamente 10? E quanti di ordine
che divide 30?
[Suggerimento: Alla prima domanda si potrebbe anche rispondere riscrivendo la congruenza nella
forma (x − 1)(x + 1) ≡ 0 (mod 800), vale a dire 800 | (x − 1)(x + 1), discutendo poi separatamente
i primi 2 e 5 e distinguendo vari casi. Però questa strada non sarebbe praticabile per le domande
successive. Perciò vi conviene piuttosto esprimere il gruppo U (Z/800Z) come prodotto diretto di gruppi
della forma U (Z/pα Z), di cui ora conoscete la struttura.]
Ancora equazioni modulo n. Ha soluzioni la congruenza x3 − x − 1 ≡ 0 (mod 32)? E la
congruenza x3 −x−1 ≡ 0 (mod 27)? E la congruenza x3 −x−1 ≡ 0 (mod 25)? Eventualmente,
riuscite a trovare tutte le soluzioni?
Ha soluzioni la congruenza x7 − x + 3 ≡ 0 (mod 84)?
[Suggerimento: Pur essendo i moduli piccoli, evitate la tentazione di provare semplicemente tutti i
possibili valori per x, e cercate di sfruttare la scorciatoia seguente. Se una congruenza è soddisfatta
modulo n allora è soddisfatta anche modulo ogni divisore di n. Quindi se una congruenza modulo n già
non ha soluzioni modulo un certo divisore di n (che dovete scoprire), non ne avrà nemmeno modulo n.]