ESERCIZI PER CASA – QUINTA E SESTA SETTIMANA
Università degli Studi di Trento – Corso di Laurea in Matematica
Corso di Teoria dei Numeri e Crittografia – A.A. 2011/12
30 marzo 2012
Un criterio di divisibilità per 7. Usiamo la notazione (dk−1 · · · d1 d0 )10 per indicare la rappresentazione decimale del numero naturale n (nel solito modo). Dimostrate che (dk−1 · · · d1 d0 )10
è multiplo di 7 se e solo se (dk−1 · · · d1 )10 − 2d0 è multiplo di 7.
Suggerimento: Mostrate che 10a + b è multiplo di 7 se e solo se a − 2b è multiplo di 7.
MCM. Calcolate il minimo comune multiplo degli interi da 1 a 10. Ora trovate il minimo
comune multiplo degli interi da 1 a 100; di quest’ultimo basta che esibiate la scomposizione in
fattori primi, non serve che ne troviate il valore numerico.
Frittata. Un cestino contiene un certo numero di uova. Se rimuoviamo le uova 2, 3, 4, 5 o 6
alla volta, il numero di uova che rimangono nel cestino è 1, 2, 3, 4 o 5, rispettivamente. Se
invece rimuoviamo le uova 7 alla volta, il cestino rimane vuoto. Quant’è il minimo numero di
uova che conteneva il cestino?
Sistemi di congruenze. Risolvete (cioè trovate tutte le soluzioni) della congruenza 25 x ≡ 49
(mod 97), e di ciascuno dei seguenti sistemi di congruenze:
x ≡ 8 (mod 9)
x ≡ 11 (mod 9)
x ≡ 11 (mod 15)
x ≡ 10 (mod 11)
x ≡ 13 (mod 11)
x ≡ 17 (mod 21)
x ≡ 12 (mod 13)
x ≡ 9 (mod 13)
x ≡ 31 (mod 35)
(notare che per l’ultimo sistema bisogna spezzare ciascuna congruenza in due rispetto a moduli
coprimi, e si fa grazie al Teorema Cinese dei resti, dopodiché. . .).
Complessità del crivello di Eratostene. Ricordo brevemente come funziona. Serve per
determinare tutti i primi fino ad un limite fissato n. Si parte con una tabella contenente i
numeri naturali fino ad n. Poi se ne cancellano tutti i multipli di 2 (cioè i numeri pari), quindi
quelli di 3,
√ poi quelli di 5, e cosı́ via. Una volta cancellati tutti i multipli dei primi che non
superano n (perché?), nella tabella rimangono solo 1 ed i numeri primi (che non superano√n).
(Notate che non è necessario avere a disposizione una tabella dei primi che non superano n,
perché il crivello stesso la produce man mano.)
Ci si può ragionevolmente aspettare che il crivello di Eratostene sia meno efficiente del metodo delle divisioni per tentativi (cioè eseguire le divisioni di un certo n per 2, 3, . . . , bnc) se
utilizzato per determinare se un numero assegnato è primo, ma che possa essere piú efficiente
se si vogliono ottenere tutti i primi che non superano n. Dimostrate quest’ultima affermazione.
Piú precisamente, dimostrate che il tempo per l’esecuzione del crivello di Eratostene cosı́ come
descritto (trascurando questioni di memoria e, piú in generale, come amministrare una tabella cosı́ lunga), è O(n log2 n), mentre il tempo per ottenere una tabella tutti i primi che non
superano n controllandoli uno ad uno mediante le divisioni per tentativi è O(n3/2 log n).
1
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ESERCIZI PER CASA – QUINTA E SESTA SETTIMANA
Un’applicazione del Piccolo Teorema di Fermat. Dimostrate che n2 − n è multiplo di 2
per ogni intero n; che n3 − n è multiplo di 6; che n5 − n è multiplo di 30.
Ora mostrate anche che i numeri 2, 6 e 30 in questi enunciati sono i migliori possibili, cioè
non si possono rimpiazzare con dei loro multipli propri.1
Servono ancora le divisioni per tentativi? Piú dell’87% dei numeri naturali ha (almeno)
un fattore minore di 100. Piú del 91% dei numeri naturali ha un fattore minore di 1000. Piú
del 93% dei numeri naturali ha un fattore minore di 10000.
Date un significato preciso a queste affermazioni, e spiegate come si possa utilizzare un
calcolatore per dimostrarle.
Suggerimento: Esattamente la frazione 27/35 dei numeri naturali ha un fattore minore di 10.
Dica trentatre. Stimate quanti sono i primi che hanno al massimo venti cifre decimali e che
finiscono con 33 (cioè che hanno 3 come cifra delle unità e delle decine).
Probabilità di essere primo con m. Fissato un intero positivo m, dimostrate che
]{n ≤ x | (n, m) = 1}
ϕ(m)
lim
=
.
x→∞
x
m
Esprimiamo questo risultato dicendo che la probabilità che un numero naturale n sia primo con
m è ϕ(m)/m.
Potenza modulo m. Calcolate le ultime tre cifre decimali di 72
1000.
100 −1
, cioè il suo resto modulo
Fattorizzazione di numeri particolari. Scomponete in fattori primi i numeri 315 −1, 105 −1
e 106 − 1.
Ora scrivete una frazione con denominatore primo la cui espansione decimale sia periodica
di periodo minimo 5.
Suggerimento: Per la prima parte, oltre a basarsi sul lemma fatto a lezione sui numeri della forma
an − 1 conviene usare anche altri metodi, ad esempio 315 − 1 è sia differenza di due cubi che differenza
di due quinte potenze. Questo dà già due fattorizzazioni diverse, poi mediante l’algoritmo di Euclide si
possono calcolare dei massimi comun divisori di fattori già trovati, ecc.
Numeri di Mersenne non primi. Trovate il piú piccolo fattore primo di 211 − 1, 223 − 1,
229 − 1, 237 − 1. Potete tranquillamente fare i conti a mano, ma se volete aiutatevi con una
calcolatrice portatile (non è necessario un computer!).
1Nota: Un modo alternativo (ma ce n’è uno molto piú semplice!) per giungere alla conclusione è usare le
identità
!
n
n −n=2
,
2
!
!
!
!
n
n
n
n
n − n = 30
+ 150
+ 240
+ 120
.
2
3
4
5
P
P
che sono casi particolari della formula generale nk = kh=0 αh nh , dove αh = kj=1 (−1)h+j nj j k per h = 0, . . . , k.
Altra nota: Secondo l’esercizio, il polinomio a coefficienti razionali (n5 − n)/30, ad esempio, pur non essendo
a coefficienti interi, ma solo razionali, assume solo valori interi assegnando valori interi ad n. Secondo la nota
precedente poi tale polinomio si scrive come combinazione lineare a coefficienti interi di polinomi binomiali nk .
Questo è un caso particolare di un fatto generale. Infatti, si può mostrare che i polinomi in n di grado al piú d
che assumono valori
interi
per ogni valore intero di n sonoesattamente le combinazioni lineari a coefficienti interi
dei polinomi n0 = 1, n1 = n, n2 = n(n − 1)/2, . . . , nd = n(n − 1) · · · (n − d + 1)/d!.
2
!
!
n
n
n −n=6
+6
,
2
3
3
5
