Vettori Geometrici

Corso di Laurea in Disegno Industriale
Corso di “Metodi Numerici per il Design”
30 Settembre 2002
Vettori Geometrici
1
Vettori Geometrici
2
Metodi Matematici per il Design Lezione 3 pag. 1
1
Segmento orientato
z
P2
y
P1
Direzione: questa
Verso: da P1 a P2
Lunghezza = P1P2
x
3
Vettore Geometrico
z
B
P
B’
VETTORE v
APPLICATO
ALL’ORIGINE
B”
O
A
A’
x
A”
y
UNO QUALSIASI DI QUESTI SEGMENTI
ORIENTATI RAPPRESENTA LO STESSO
VETTORE GEOMETRICO v
IL MODULO DEL VETTORE È LA LUNGHEZZA DEL SEGMENTO
4
Metodi Matematici per il Design Lezione 3 pag. 2
2
Coseni Direttori
I coseni direttori sono i coseni dei tre angoli α β e γ che il
vettore v forma rispettivamente con i semiassi positivi x,
y, z.
z
v
γ
β
α
O
y
x
I coseni direttori NON sono fra loro indipendenti
5
Somma di due vettori
b
b
a+
a
a
a
b
b
REGOLA DEL
PARALLELOGRAMMA
6
Metodi Matematici per il Design Lezione 3 pag. 3
3
an
Somma di n vettori
a 1+
a
3
a1
an
…+
+
a2
...
a2
7
Differenza di due vettori
-b
b
b
a-
a
a
b
REGOLA DEL
PARALLELOGRAMMA
8
Metodi Matematici per il Design Lezione 3 pag. 4
4
Prodotto di un Vettore geometrico
per un Numero
a•b, con b numero reale, è un vettore:
– Stessa direzione di a
– Modulo = | a | • |b|
– Verso: concorde con a se b >0, altrimenti discorde.
a
2a
b=2
a
,5
-1
b = -1,5
9
Corrispondenza fra
Vettori Geometrici
e Vettori Algebrici
(TITOLO)
10
Metodi Matematici per il Design Lezione 3 pag. 5
5
Definizione di Punto Vettore (Punto Rappresentatore)
• Dato un sistema cartesiano nello spazio (3 assi)
• Punto vettore (o rappresentatore): è il secondo estremo di
un vettore applicato all’origine
v
P (x,y,z)
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Corrispondenza fra Vettore Geometrico e vettore Algebrico
• Dato un vettore geometrico v
• Prendiamo un riferimento cartesiano con origine in A
• Il punto rappresentatore B ha coordinate (x, y ,z)
Corrispondenza biunivoca fra la terna ordinata (x, y ,z) (vettore
algebrico a 3 componenti) e il punto B (secondo estremo di v)
B (x,y,z)
z
 x   v1 
v
   
v =  y =  v 2 
 z   v 3 
A
y
x
x y z SONO LE COMPONENTI DI v
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Metodi Matematici per il Design Lezione 3 pag. 6
6
Somma di due vettori geometrici-algebrici
b
z
b
a+
a
a
b
a2
(a+b)2
x
b2
y
LA REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA ILLUSTRA LA
CORRISPONDENZA FRA SOMMA DI DUE VETTORI GEOMETRICi E
SOMMA DI DUE VETTORI ALGEBRICi A 3 COMPONENTI
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Applicazione della Differenza di due vettori
A(a1,a2,a3)
a-
z
b
a
b
B (b1,b2,b3)
y
x
Il vettore applicato in B e avente per secondo estremo A
(a-b) corrisponde al vettore algebrico:
 a1 − b1 
a − b 
2
 2
a 3 − b3 
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Metodi Matematici per il Design Lezione 3 pag. 7
7
Esempi
1) Dati i due punti A(1,-5,3) B(7,-2,0) individuare il vettore algebrico
applicato in B e di secondo estremo A:
 1 − 7   − 6
v =  − 5 + 2 = − 3
 3 − 0   3 
2) Dato il vettore v applicato in B(2,0,-5):
individuarne il secondo estremo A.
 8 
 3
v = − 
2
− 2


A=(8+2, -3/2+0, -2-5)
15
Prodotto di un Vettore geometricoalgebrico per un Numero
Dalla definizione di prodotto di vettore geometrico
per un numero si evince immediatamente la
corrispondenza in R3:
vettori algebrici proporzionali
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Metodi Matematici per il Design Lezione 3 pag. 8
8
Applicazioni
1) Una qualsiasi terna (a b c) di numeri proporzionali a x y z
(componenti di v) determina un vettore parallelo a v
2) (a b c) si dicono parametri direttori (individuano una
direzione e un verso del vettore geometrico)
z
1,5v
v
(a b c) = (1,5x 1,5y 1,5z )
(a b c) = (x y z)
O
y
x
-0,5v
(a b c) = (-0,5x -0,5y -0,5z )
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Parallelismo fra vettori - Esempio 1
Dati i due vettori geometrici che hanno come corrispondenti i vettori algebrici
 8 
v =  − 1/ 2
 − 12 
verificare che sono paralleli.
 4 
w =  − 1/ 4
 − 6 
I due vettori geometrici sono paralleli, infatti le componenti dei
vettori algebrici corrispondenti sono proporzionali, con fattore di
proporzionalità 1/2
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Metodi Matematici per il Design Lezione 3 pag. 9
9
Parallelismo fra vettori - Esempio 2
Dato il vettore geometrico il cui corrispondente algebrico è


− 2
v =  0 
 7 


 3 
individuare un vettore parallelo a v e di modulo raddoppiato
 
 − 4
w= 0 
 14 
 
 3 
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Versori degli assi
• i è il vettore di direzione l’asse x, verso positivo
e modulo 1 si dice versore dell’asse x
• j è il versore dell’asse y
• k è il versore dell’asse z
z
k
O
i
 1
i = 0
0
0 
j =  1
0 
j
y
x
 0
k = 0
 1
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Metodi Matematici per il Design Lezione 3 pag. 10
10
Componenti di un Vettore geometrico e algebrico
• Dati un riferimento cartesiano e un vettore v applicato in O
• Moltiplichiamo le coordinate del punto rappresentatore P per
i tre versori degli assi rispettivi
z
I NUMERI x y z SONO
zk
LE COMPONENTI DI v
P(x,y,z)
v
I VETTORI xi yj zk SONO
I COMPONENTI DI v
yj
O
y
xi
xi + yj + zk = v
La somma di questi tre vettori è v (forma cartesiana)
Ogni vettore può essere espresso come combinazione
21
lineare dei tre versori
x
Forma cartesiana di un vettore geometrico
z
zk
v
O
xi
xi + yj + zk = v
P(x,y,z)
yj
y
x
La somma di questi tre vettori è v (forma cartesiana)
Ogni vettore geometrico può essere espresso come combinazione
lineare dei tre versori degli assi
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Metodi Matematici per il Design Lezione 3 pag. 11
11
Componenti di un Vettore: Esempi
Scrivere in forma cartesiana il seguente vettore:
z
zk
v
 2 
v =  − 3 
 7 
P(x,y,z)
v = 2i -3j+7k
yj
O
y
xi
x
2,-3,7 sono le componenti del vettore algebrico
2i,-3j,7k sono i componenti del vettore geometrico
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Coseni direttori di vettori geometrici-algebrici
Dalla definizione di coseni direttori geometrici segue che
i coseni direttori algebrici sono determinati dal rapporto
tra le componenti del vettore (coordinate cartesiane del punto
vettore) e il suo modulo (lunghezza del vettore geometrico)
γ
v
cos β =
β
α
v1
cos α =
cos γ =
O
y
v + v 22 + v 23
2
1
v2
v + v 22 + v 23
2
1
v3
v + v 22 + v 23
2
1
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
x
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Metodi Matematici per il Design Lezione 3 pag. 12
12
Esempio sui coseni direttori
Dato il vettore
 2 
v = − 3


 7 
determinarne una terna di parametri e i coseni direttori.
a=2
b=-3
c=7
cos α =
cos β =
cos γ =
2
2
=
4 + 9 + 49
62
−3
−3
=
4 + 9 + 49
62
7
7
=
4 + 9 + 49
62
25
Prodotto scalare geometrico e algebrico
Dati due vettori geometrici a e b e chiamato θ
l’angolo fra essi compreso
si definisce prodotto scalare il numero |a||b|cosθ
θ
Si può dimostrare che:
θ = a1 b 1+a 2b 2+a 3b 3
|a||b|cosθ
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Metodi Matematici per il Design Lezione 3 pag. 13
13
Applicazioni del prodotto scalare
1) La perpendicolarità fra vettori geometrici si stabilisce
attraverso l’ortogonalità fra i corrispondenti vettori algebrici:
prodotto scalare nullo
2) Il coseno dell’angolo compreso fra due vettori geometrici si
determina come rapporto fra il prodotto scalare dei due
vettori e il prodotto dei loro moduli
27
Esempi di applicazioni del prodotto scalare
1) Dati i due vettori
− 2
v =  0  ,
 9 
verificarne la perpendicolarità
 9
 2
w =  18

 1







V• w=-9+0+9=0 prodotto scalare nullo: vettori perpendicolari
2) Dati i due vettori
− 2
v =  3  ,
 1 
 9 
w =  0 
 − 1 
individuare il coseno dell’angolo fra essi compreso
cosθ =(V•w)/ | V
|| w | =
( − 18 − 1)
=
4 + 9 + 1 81 + 1
− 19
1148
28
Metodi Matematici per il Design Lezione 3 pag. 14
14
Prodotto vettore
Il prodotto vettore aΛ
Λb fra due vettori dati a e b, che formano
fra loro un angolo θ, si definisce come il vettore:
θ
– di modulo = |a||b|senθ
– di direzione perpendicolare al piano formato dai due vettori dati
– di verso determinato con la regola della mano destra
b
aΛ
Λb
a
29
Prodotto vettore algebrico-geometrico
Si può dimostrare che il vettore algebrico corrispondente al
aΛ
Λb è il seguente:
a b - a b 
3 2
 2 3
 a3b1 - a1b3


a
b
a
b
 1 2
2 1
30
Metodi Matematici per il Design Lezione 3 pag. 15
15
Applicazione del prodotto vettore
Dati due vettori a e b applicati nello stesso punto è
determinabile un triangolo come segue
a-
b
b
a
θ
L’area del triangolo è la metà del modulo del prodotto vettore:
|a||b|senθ
31
FINE
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Metodi Matematici per il Design Lezione 3 pag. 16
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