ESERCIZI RISOLTI DAL LIBRO
“ An Introduction to Astrobiology”, Ed. Gilmour, Septhon
ESERCIZIO 1:
(Q. 2.1 pag. 48)
Quesito:
Quale sarebbe la temperatura efficace della Terra se il Sole fosse sostituito da una stella 10 000
volte più luminosa?
Soluzione (pag.304):
Sappiamo che la relazione che lega la luminosità al flusso è:
Segue, quindi, che all’aumentare della luminosità di un fattore
il flusso subisce un identico
incremento. Sappiamo inoltre che la temperatura efficace è legata al flusso di radiazione dalla legge
di Stefan-Boltzmann:
Pertanto, affinchè F cresca di
volte bisogna che
aumenti di un fattore
Questo implica che la temperatura efficace passi dal valore attuale
.
.
a
ESERCIZIO 2:
(Q. 2.2 pag. 48)
Quesito:
A che distanza dal Sole dovrebbe orbitare la Terra per avere la
volte più luminoso?
attuale, se il Sole diventasse
Soluzione (pag.304):
Per la legge di Stefan-Boltzmann, perché la
flusso. Affinchè F resti costante, se
rimanga la stessa bisogna che non cambi neanche il
, per la relazione
r deve essere 100 A.U. anziché 1 A.U.
Questa distanza è circa 2.5 volte l’orbita del nanopianeta Plutone.
ESERCIZIO 3:
(Q. 3.1 pag. 89)
Quesito:
Sapendo che
e che
.
stimare il rapporto
Soluzione (pag.305):
Sappiamo che
, da cui
e
.
Segue che:
L’accelerazione gravitazionale sulla superficie di Marte è il 40% di quella della Terra.
ESERCIZIO 4:
(Q. 3.5 pag. 109)
Quesito:
L’energia cinetica media di una molecola è data da
indipendente da m , da cui:
a) In base a questa formula che cosa si può dire sulla probabilità che hanno differenti gas di
essere persi da un’atmosfera planetaria per fuga termica?
b) Nell’atmosfera di Marte i due costituenti più abbondanti sono
rapporto
e
. Calcolare il
sapendo che i pesi atomici di C, N, O sono 12, 14, 16.
Soluzione (pag.307):
a) In base alla relazione
appare evidente che quanto più piccola è la massa della
singola molecola, tanto più alta è la probabilità che questa (ricordare la distribuzione
maxwelliana) superi la velocità di fuga.
b) Dai dati del problema si deduce facilmente che il peso molecolare della
è 44
(
), mentre quello del
è 28 (
). Supponendo di trovare le due molecole
nelle medesime condizioni ambientali di temperatura, il rapporto diventa:
ESERCIZIO 5:
(Q. 3.6 pag. 112)
Quesito:
a) Colloca Marte, Venere e la Luna in ordine di velocità di fuga crescente.
b) Quali fattori oltre alla velocità influiscono sulla probabilità che materiale sfuggito a questi
corpi in seguito ad un impatto raggiunga la Terra?
Soluzione (pag.307):
a) Da
segue che la velocità di fuga è data da:
Conoscendo i valori della massa e del raggio dei corpi considerati dal problema si può
costruire la seguente tabella:
Marte
Venere
Luna
0.107
0.815
0.012
0.532
0.950
0.273
0.448
0.926
0.210
5.0
10.4
2.4
In ordine crescente di velocità di fuga i corpi risultano: Luna, Marte, Venere.
b) La probabilità che del materiale proveniente da questi corpi raggiunga la Terra dipende
anche da:
1) Esistenza o meno di un’atmosfera sul corpo considerato. Ad esempio nel caso di Venere
la combinazione di un’alta velocità di fuga e di una densa atmosfera fa sì che parte del
materiale eiettato in seguito ad un impatto venga vaporizzato durante il passaggio
nell’atmosfera;
2) Distanza della Terra;
3) Posizione nel Sistema Solare. Ad esempio, la prossimità al Sole o ad un grande pianeta
può diminuire (per effetto gravitazionale) la probabilità che il materiale raggiunga la
Terra.
ESERCIZIO 6:
(Q. 4.2 pag. 139)
Quesito:
Sapendo che i periodi di rivoluzione di Io e Europa attorno a Giove sono rispettivamente 1.769138
e 3.551181 giorni, calcolare il rapporto i semiassi maggiori delle orbite e fra le accelerazioni
mareali AEu /AIo che Giove esercita sui due satelliti.
Soluzione (pag.309):
Trascurando le masse dei satelliti rispetto a quella di Giove, dalla III legge di Keplero si ottiene che:
aIo/aEu = 0.6284
Quando un grande satellite gira attorno ad un pianeta gigante, l’attrazione mareale del pianeta
distorce la forma del satellite. Questo crea un rigonfiamento mareale centrato sul lato rivolto verso
il pianeta ed un uguale rigonfiamento nell’emisfero opposto. La dimensione di questi rigonfiamenti
dipende dalla massa e dalla distanza del pianeta (la forza di marea, data da:
è inversamente proporzionale al cubo della distanza dal pianeta) e dal materiale di cui è fatto il
satellite. La distorsione dei globi associata con variazioni nel luogo o nella dimensione del
rigonfiamento mareale riscalda il satellite mediante una specie di frizione interna.
Nel caso dei satelliti Io e Europa il rapporto fra le due accelerazioni mareali AEu/AIo è:
L’entità del riscaldamento mareale dipende anche da altri fattori come l’eccentricità forzata
dell’orbita (e = 0.0041 per Io e 0.0094 per Europa) e le proprietà interne del corpo.
ESERCIZIO 7:
(Q. 4.10 pag. 158)
Quesito:
La pressione in un liquido di densità ρ alla profondità d vale:
con g = accelerazione di gravità. Riferendoci all’immagine chiamiamo
la densità dell’acqua e
la densità della una lastra di ghiaccio di spessore (h+w), che emerge h dall’acqua, mentre w è
immerso. Trascurando la pressione atmosferica, calcoliamo P sulla superficie inferiore della lastra
di ghiaccio a seconda della salinità su Europa:
a) Ricavare dall’ultima equazione un’espressione per w;
b) Usare l’equazione modificata per calcolare la minima e la massima w in base ai valori di
estremi e sapendo che h = 100 m.
Soluzione (pag.307):
a) Partendo semplicemente da
si ottiene con passaggi algebrici elementari:
b) Se
segue che
A w bisogna aggiungere
.
, per cui la lastra è spessa
Se
quindi lo spessore della lastra è
.
ESERCIZIO 8:
(Q. 4.11 pag. 161)
Quesito:
Sulla Terra
,
e
Su Europa
,
e
Calcolare la pressione sul fondo dell’oceano della Terra e di Europa.
Soluzione (pag.312):
Sappiamo che:
Terra:
Europa:
.
.
ESERCIZIO 9:
(Q. 5.4 pag. 198)
Quesito:
Supponiamo che il 50% della superficie di Titano sia ricoperta da un oceano di metano-etano-azoto
profondo
e denso
. L’oceano è composto per il 70% in massa di metano,
per il 25% in massa di etano e per il 5% in massa di azoto. Supponendo che il metano sia perduto
dall’atmosfera al ritmo di
l’atmosfera (dichiarare ogni ipotesi che si fa).
, calcolare per quanto tempo l’oceano può rifornire
Soluzione (pag.315):
Il volume dell’oceano è
dove
è il raggio di Titano;
è la profondità dell’oceano in questione. La massa di metano nell’oceano è
.
La
massa
di
metano
persa
in
1
sec
dall’atmosfera
è
. Pertanto il tempo T per il quale l’oceano può rifornire l’atmosfera di
metano è:
Questo valore è dello stesso ordine di grandezza dell’età del sistema solare e suggerisce pertanto
che questo può essere un meccanismo plausibile per mantenere metano nell’atmosfera di Titano.
L’ipotesi che si è fatta è che il metano perso dall’atmosfera sia immediatamente sostituito da quello
ceduto dall’oceano.
ESERCIZIO 10:
(Q. 6.1 pag. 205)
Quesito:
Il flusso di energia prodotto dal Sole è:
-
sulla Terra pari a
-
su Giove pari a
essendo
AU.
Calcolare il massimo flusso di Giove visto dalla Terra
, trascurando gli effetti
dell’assorbimento delle atmosfere e stimando essere l’albedo di Giove
e il suo raggio
Soluzione (pag.317):
Il massimo flusso di Giove si ha quando il pianeta è in opposizione, sia perché è alla minima
distanza dalla Terra (5.2 - 1 = 4.2 AU), sia perché mostra alla Terra l’intero disco illuminato.
Sapendo che la luminosità di Giove è distribuita solo su una semisfera di area
flusso richiesto dal problema può essere scritto nella forma seguente:
La luminosità è data da
con
Sostituendo gli appositi valori otteniamo:
, segue che il
.
Confrontiamo ora questo flusso con quello che α CenA produce sulla Terra sapendo che
e
.
Risulta facilmente che:
Giove è, quindi, 11.82 volte più brillante di α CenA, pari a 2.68 magnitudini, raggiungendo m J = 2.44 (mα=+0.24).
ESERCIZIO 11:
(Q. 6.2 pag. 206)
Quesito:
Calcolare il massimo flusso
di Giove visto da α Cen A e la sua magnitudine apparente,
sapendo che una stella di magnitudine bolometrica 0 produce un flusso di
.
Calcolare inoltre la magnitudine apparente del Sole visto da α Cen A e il rapporto
.
Soluzione (pag.317):
Il flusso di Giove quando il suo emisfero illuminato è rivolto verso α Cen A è:
Visto da α Cen A il Sole produce un flusso di
produce sulla Terra. La sua magnitudine bolometrica sarà allora:
pari a quello che α CenA
Questi calcoli sarebbero esatti se α Centauri si trovasse sull’eclittica. In realtà la sua latitudine eclittica è
circa –45° per cui la massima luminosità è solo l’ 85.64 % di quella calcolata.
ESERCIZIO 12:
(Q. 6.3 pag. 216)
Quesito:
Per una lente di massa M che devia i raggi di un oggetto S distante
Einstein è:
dove
è il raggio di Schwarzschild =
dall’osservatore, il raggio di
.
Ricordare che:
1)
2) per
il raggio di Einstein è dato da
Quale sarebbe il
molto distante (
Confrontare
di α Cen A (
.
) se deviasse la luce di un oggetto
)?
con il limite di diffrazione di un telescopio di 8 m nel visibile.
Soluzione (pag.317):
Sapendo che:
Il valore di
Il
potere
è dato da:
risolutivo
di
un
telescopio
di
800
cm
di
diametro
(d)
è
dato
da
.
ESERCIZIO 13:
(Q. 9.1 pag. 289, 290)
Quesito:
Civiltà sufficientemente avanzate potrebbero costruire attorno ad una stella enormi anelli o sfere
complete chiamate “Sfere di Dyson” con raggi confrontabili con le orbite planetarie godendo
dell’intera energia della stella e di un immenso spazio per vivere. Una civiltà costruisce una sfera di
Dyson di
di raggio attorno ad un BH di 5 masse solari. Calcolare:
1) l’accelerazione di gravità alla superficie della sfera di Dyson
2) Quanti abitanti potrebbero vivere sulla sfera se la densità di popolazione fosse, come sulla
Terra, di
.
Soluzione (pag.325):
1)
2) La superficie della sfera di Dyson è:
molto simile alla Terra.
Se la densità di popolazione è di
alla superficie della sfera di Dyson potrebbero
vivere
persone pari a circa 5 milioni di volte quelli che attualmente abitano sulla
superficie terrestre.
