03/11/2009
La conservazione dell’energia
Leggi della dinamica
Rotazione
Punti di applicazione
Diversi
Ttot = Iω
Traslazione
Unico punto di
applicazione
Ftot = ma
•Il lavoro delle forze
•L’energia cinetica
•L’energia potenziale per forze “conservative”
•La conservazione dell’energia totale in assenza di attriti
Statica
Leve
Ftot = 0
Equilibrio traslazionale
•La conservazione dell’energia in presenza di attriti: il calore.
Ttot = 0
Equilibrio rotazionale
1
Il lavoro di una forza
Fm
0
Peso
2
Lavoro: forza e spostamento
La forza peso comprime la molla che si
deforma di x cm.
La forza con cui la molla si oppone alla compressione
È pari a
Fm = - K x
Tutte le volte che la forza applicata induce uno spostamento
diciamo che la forza ha compiuto un lavoro sul sistema a cui è applicata
Perché questa definizione?
Attenzione: la deformazione cresce
nel tempo
Lavoro Æ effetto
x
La compressione smette quando si
giunge all’equilibrio fra
Fm e il Peso: Fm + Peso = 0
Kx = Peso
spostamento
deformazione
x = Peso/K
La forza peso e la forza elastica della molla hanno compiuto un lavoro?
3
4
1
03/11/2009
v
Il lavoro di una forza
Fm
Fm
Quindi:
Che si
trasforma
in un corpo
in movimento
•Compressione della molla: deformazione della molla
•Il sistema si ferma all’equilibrio fra peso e forza elastica
•Il sistema ha acquisito la capacità di compiere altro lavoro:
Peso
Peso
abbiamo
bbi
““caricato”
i t ” lla molla
ll
abbiamo fornito energia alla molla
Il sistema in seguito alla deformazione
della molla acquisisce una “capacità” (chiamiamola energia)
Può compiere a sua volta un lavoro
mettendo in moto un corpo
5
Ma il peso che aveva capacità di fare lavoro sulla molla all’inizio (molla estesa)
perde questa capacità quando scende comprimendo la molla.
Quindi: perchè la forza F compia lavoro, è essenziale che ci sia uno spostamento
6
del punto di applicazione della forza.
F
Tutta l’ampiezza della forza
Va in moto del carrello
La forza peso durante la compressione lenta
Eguaglia la forza della molla che cresce:
Lavoro = P * Spostamento
0
S
P
Lavoro = P * Spostamento
Per la scelta
del sistema
di coordinate
Tutta l’ampiezza della forza
Viene bilanciata dalla reazione dei binari
F
x
Joule (J) è l’unità di misura del lavoro
Corrisponde al lavoro fatto da una forza di 1 N
che induce uno spostamento di 1 m
Solo la componente parallela della forza
Induce moto
F||
F
Consideriamo SOLO la componente della forza parallela allo spostamento:
Perché?
F⊥
7
l’ampiezza della forza perpendicolare al moto
Viene bilanciata dalla reazione dei binari
8
2
03/11/2009
Ruolo della dissipazione
Approfondimento
facoltativo
La forza peso durante la compressione lenta
Eguaglia la forza della molla che cresce:
Se il peso passa da 0 a P, abbiamo una deformazione rapida della molla:
Questo implica la presenza di dissipazione in termini di calore dissipato dalla molla
Lavoro = F * Spostamento
Prodotto scalare
0
S
Lavoro = P * Spostamento = P x
F
P = kx
k
x
Se non voglio avere dissipazione devo fare cambiamenti che implichino
Velocità molto basse.
Per la scelta
del sistema
di coordinate
Posso farlo pensando che istante per istante il peso aumenti in modo
da essere sempre bilanciato con la forza elastica della molla, che nel
processo di compressione cresce:
Lpeso = kx2
Esempio: P = 100 N; x = 10 cm
Lavoro = 100 N x 0.1 m= 10 Nm = 10 J
Attenzione: il lavoro della molla?
Felastica
0
Esattamente uguale e contrario a quello fatto sulla molla.
9
10
Approfondimento
facoltativo
La forza elastica non è costante durante la compressione:
F = - kx
Istante per istante
Allora il lavoro fatto dal peso sarà kx2/2
In realta’ si può calcolare
più esattamente che L = kx2/2
Lmolla = -kx2/2
Approfondimento
facoltativo
P(x) = - kx
(è diretta in verso
contrario allo spostamento)
Possiamo generalizzare la definizione:
Risultato generale:
Lavoro = F1S1 + F2 S2 + F3 S3 + ……
Lavoro =
Area del grafico
Forza - spostamento
Lavoro = F x Spostamento
S = deformazione
F
F
S1 S2
x1
Come facciamo a calcolare il lavoro?
F1=-kx1
x
x2
x
x
F2=-kx2
x
F=-kx
Possiamo generalizzare la definizione:
Lavoro = F1S1 + F2 S2 + F3 S3 + ……
Lavoromolla =
11
−
kx 2
2
Compressione !!!
12
3
03/11/2009
La molla viene deformata a discapito del lavoro della forza peso.
Il lavoro di compressione della molla è calcolabile e risulta in realtà
Pari alla metà di quanto calcolato in base al peso che comprime la molla:
Il lavoro fatto sulla molla è disponibile per:
generare moto (v)
o ulteriore deformazione.
Lavoromolla =
−
kx 2
2
Compressione !!!
Lavoro negativo : compressione
Quale legame c’è fra il lavoro e la velocità impartita??
E in generale tutte le volte in
cui gli spostamenti sono
in verso opposto
alle forze (molla)
N.B.
Chi ha compiuto questo lavoro per deformare la molla?
La forza PESO
F=ma
È una relazione fra la forza impartita e l’accelerazione
LPeso = kx2/2
13
14
Esempio: supponiamo di spingere su un piano orizzontale un oggetto con
una forza F diretta lungo il piano.
Spazio percorso = s =
Velocità = v =
at
a 2
t
2
Energia cinetica
Questo appena visto è un risultato generale:
v
t=
a
Lavoro fatto dalle forze = variazione dell’energia cinetica
F
K = mv2/2
s=
a v2 v2
=
2 a 2 2a
L = Kfin - Kin
v2
v2
Lavoro = F * s = ma * s = ma *
=m
2
2a
Stato
finale
15
Unità di K:
Kg* m2/s2 = (Kg * m/s2)*m = N*m = J
Stato
iniziale
16
4
03/11/2009
esempio
K = 10 N/m
esempio
Serve 1 N per deformare la molla di 10 cm
0
x
Deformiamo la molla di x = 10cm
0
x
F
Ora la molla è carica di energia
e può compiere lavoro generando
a sua volta energia cinetica secondo
la relazione:
x = deformazione
L = Kfin – Kin=0.05J
x = deformazione
Ovvero:
Lavoro fatto contro la molla = Kx2/2 = 10 * 0.01/2 = 0.05 J
v
2
Un corpo di massa 100g viene lanciato dalla molla con v tale che:
Ora la molla è in grado di compiere un lavoro uguale e contrario
espandendosi
N.B. la forza elastica della molla ha compiuto un lavoro uguale
e contrario.
Kx2/2 = Kfin= m
2
fin
mv2/2 = 0.05 J
v = 0.05 * 2 / m = 0.05 * 2 / 0.1 = 1m / s
17
18
Esempio: piano inclinato
Energia cinetica
Il lavoro……..
P|| = (h/D) P = (h/D) mg
Assenza di attrito
h molto piccolo
Il corpo “sparato” dalla molla urta contro un materiale e lo deforma o
mette in moto per urto un secondo corpo, etc., etc…
P
P||
P
S
h
Definiamo Energia Cinetica la quantità K=mv2/2
P||
D
D
h
Lavoro delle forze = Kfin - Kin
D
z
K alla fine del movimento
K all’inizio del movimento
Il cubo scivola: il suo peso compie il lavoro
19
P|| S ≅ P|| D
Lavoro gravitazionale (discesa!) = mgh
=
h
mgD = mgh
D
20
5
03/11/2009
Assenza di attrito
Ora l’energia cinetica….
Assenza di attrito
Possiamo dire qual è la velocità finale?
h molto piccolo
h molto piccolo
h
L = mgD = mgh
D
P||
D≅S
L=
P||
h
mgD = mgh
D
S
S
D≅S
Kfin = L
v2 = 2gh
h
h
D
D
z
z
Il cubo parte da fermo
Kin = 0
Kfin = L
mv2/2
mv2/2 = mgh
h = 10 cm
v2 = 2gh
v = 2 gh = 20 * 0.1 = 1.4m / s
Indipendente dalla massa!!
21
22
Condizioni iniziali:
Inizialmente fermo
In cima, fermo.
Il segno del lavoro
Lo sciatore che scende
lungo un pendio di dislivello H
arriverebbe a valle con una velocità
LFext = Fext s > 0
v = 2 gH
LPeso = − mgh < 0
S
Indipendentemente
dal percorso!
h
Fext
P||
h = 100 m
D
v = 2 gH = 20 *100 ≅ 45m / s ≅ 150km / h
Se il moto è molto lento….non c’è attrito (o molto poco) e
LF = - Lpeso
Il corpo sale contro la forza peso a discapito di qualche altro lavoro (muscolare)
Per fortuna c’è un po’ di attrito!!
23
24
6
03/11/2009
Condizioni iniziali:
Inizialmente fermo
In cima, fermo.
Il segno del lavoro
Energia cinetica, lavoro e attrito
LFext = Fext S > 0
LPeso = − mgh < 0
K = mv2/2
Lavoro forze di attrito
Sempre negativo
S
L + La = Kfin - Kin
h
Fext
Stato
finale
P||
Stato
iniziale
D
Se il moto non è lento…. c’è attrito e la forza di attrito compie lavoro
Kfin = Kin+L+La < Kin+L
LF = - Lpeso + La
La = -Fa * S sempre negativo
Il corpo sale contro la forza peso e l’attrito a discapito di
qualche altro lavoro (muscolare) e generando calore sul piano
Le forze di attrito limitano la conversione di lavoro meccanico in energia cinetica.
25
Energia potenziale
26
Scelta di convenienza…
UN ESEMPIO: la forza gravitazionale
L = mgh
0
xin
h
P
xfin
x
Scegliamo di suddividere le forze che possono agire su un sistema in:
L = mg (xfin – xin) = mgxfin – mgxin = -Ufin + Uin= -(Ufin-Uin) = - ∆U
U = -mgx
1. Forze gravitazionali
2 Forze
2.
F
di attrito
i
è detta energia potenziale gravitazionale
3. Tutte le altre forze che agiscono sul sistema
Quella forma di energia che un corpo ha per il fatto si essere in una
determinata posizione (raggiunta con un certo spostamento….)
Il lavoro fatto da TUTTE le forze serve a modificare l’energia cinetica del sistema
Forze per cui L = - ∆U sono dette forze conservative
27
28
7
03/11/2009
Forze di attrito
Lg = - ∆Ug = mg(xfin-xin)
Esempio: caduta di un corpo
Energia Cinetica
… in caduta….
Kin = 0
Lavoro delle forze = Lg + La = Kfin – Kin
Peso
Viene fatto dal peso un
lavoro positivo
h
Forze conservative sono quelle per cui il lavoro fatto NON dipende dal percorso
x0
LPeso = mgh > 0
e si trasforma in
Energia cinetica
In teoria….. Non si compie lavoro:
K fin =
Si guadagna lavoro nella prima meta’ del
Percorso (L>0) e si compie lavoro nella
seconda metà (L<0) …
h
x1
mv 2
= LPeso
2
x
29
30
Esempio: sollevamento di un corpo
Esempio: la ruota del lunapark
Cabina di massa m
… in salita….soggetto anche a una forza F verso
l’alto
è mgh nel tragitto in discesa
Mentre è –mgh nel tragitto in salita, ma !!!!
Ltot = LF + LPeso = Fh − mgh ≥ 0
Viene fatto dal peso un
lavoro negativo e dalla
forza F un lavoro positivo
positivo.
h
F
Il lavoro di F in eccesso
rispetto a quello del peso
si trasforma in
Energia cinetica
Kin = 0
Il lavoro fatto dalle forze gravitazionali
Kin = 0
h
Le forze di attrito del p
perno della ruota
agiscono sempre in modo da fare un lavoro
negativo:
Lavoro delle forze = Lg + La = Kfin
Peso
K fin =
mv 2
= LF+LPeso
2
31
• A ogni giro il lavoro totale della gravitazione
è nullo: Lg = 0
Kfin < 0 ???
• La <0
• ∆K = Kfin <0
32
8
03/11/2009
Analizziamo mezzo giro:
Analizziamo mezzo giro, con attrito grande:
Cabina di massa m, v=vi
Cabina di massa m, v=vi
Il lavoro fatto dalle forze gravitazionali
Lavoro delle forze = mgh - |La| = Kfin
è mgh nel tragitto in discesa
Mentre le forze di attrito fanno lavoro negativo
Kin = 0
h
Kin = 0
Paragonabile a mgh
h
SE mgh - |La| = 0.1 mgh:
Lavoro delle forze = Lg + La = Kfin
Kfin = 0.1 mgh
Lavoro delle forze = mgh - |La| = Kfin
Kfin = mgh - |La|
Modulo di L=|L| è
Il valore con segno positivo
vfin
E in salita????
Se l’attrito è piccolo, mgh – |La| > 0
Anche se non ci fosse attrito…
Lavoro delle forze = - mgh = 0 – Kfin = -0.1 mgh
33
Non arriva in cima!!!!
Lavoro delle forze = Lg + La + Lext = Kfin – Kin
Esempio con il pendolo
Se non c’e’ attrito e non ci sono altre forze oltre alla gravitazione………….
t = 0s
0
v = v0 = 0
x = x0
L = mg (xfin – xin) = -Ufin + Uin
L = mgh
0
x0
Uin – Ufin = Kfin – Kin
Uin + Kin = Ufin + Kfin
x
U0 = mgx0
x
xin
xfin
34
K0 = m
v02
=0
2
Emec = U0 +0 = U0
Emec = U + K = costante
35
36
9
03/11/2009
Esempio con il pendolo
Esempio con il pendolo
t = T/4
0
v = v1 > 0
x = x1 < x0
x0
h
Un quarto di periodo
v2
K1 = m 1
2
x
Valore iniziale di Emec
U
U0
U1
6
v22
=0
2
Emec = U2 = U0
4
2
0
37
K2 = m
8
energia [J]
Da cui:
Mezzo periodo
U2 = mgx2 = U0
x
Emec = U1 +K1 = U0
v2
m 1 = mgh
2
v1 = 2 gh
v = v2 = 0
x = x2= x0
x2
U1 = mgx1
v1
x1
t = T/2
0
K
Senza attrito
0
200
400
600
38
tempo (s)
Lavoro e calore
Esempio con il pendolo
LF = Fs > 0
LPeso = − mgh < 0
0
0
LA = − µD mgS < 0
h
x2
U2 = mgx
g 2 = U0
x1
S
Fext
x
x
U0
7
energia [J]
D
U1
6
5
4
La forza di attrito compie lavoro negativo
Kin = Kfin =0
Lf = ∆Emec = ∆U + ∆K <0
3
LF = ∆Ug - LA+∆K = ∆Ug – LA = ∆Ug + Q
2
1
0
P||
FA=µDP⊥S
Con attrito
0
200
400
600
39
Calore(>0) fornito al cubo
40
tempo (s)
10
03/11/2009
Lavoro e calore
Lavoro muscolare
LF = Fs > 0
F = forza
muscolare
LPeso = − mgh < 0
LA = − µD mgS < 0
∆Uk = kx2/2
F = forza muscolare
h
0
S
Lm + LF = ∆Uk + ∆K
S
Fext
P||
FA=µDP⊥S
D
•attrito sul piano (LA),
•lavoro (chimico-elettrico) nel nostro muscolo, LF
•e “attrito interno” nel muscolo, Lm < 0
La + Lmuscolo + Lm + LF = ∆Ug
Q=-LA-Lm>0
x
LF = lavoro muscolare (elettrico, chimico)
Lm = lavoro contro le forze di attrito interno del muscolo < 0
LF = ∆Uk + ∆K –Lm = ∆Uk + ∆K + Q
Lmuscolo + LF = ∆Ug +Q
41
-2mgx+kx2 + Q=0
N.B. se F = mg, allora LF=-mgx
x = 2mg/k-Q
42
gravitazionali
Forze
A
T
T
R
I
T
O
elastiche
S
P
O
altre…. Elettromagnetiche, nucleari, etc..
S
T
A
M
E
Il LAVORO induce una
Lavoro = Forza * Spostamento
VARIAZIONE di ENERGIA N
T
O
Leggi della dinamica
Traslazione
Unico punto di
applicazione
Ftot = ma
Rotazione
Punti di applicazione
Diversi
Ttot = Iω
Cinetica
ENERGIA
Potenziale: gravitazionale, elastica, etc…
Leggi di conservazione
Conservazione
dell’energia
Conservazione della
Quantità di moto
p = mv
CALORE
43
44
11
03/11/2009
Leggi di conservazione
in Fisica
Ftot = F1 + F2 +…= ma
Ftot = m
Leggi di conservazione
in Fisica
(v2 − v1 )
(t2 − t1 )
Ftot =
equilibrio
Ftot =
Ftot = 0
( mv2 − mv1 )
=0
(t2 − t1 )
Se un corpo non è soggetto a forze
(o le forze si equilibrano) : Ftot =0
( mv2 − mv1 )
=0
(t2 − t1 )
( mv2 − mv1 )
(t2 − t1 )
mv2 − mv1 = 0
F1
F2
mv è detta quantità di moto
mv2 = mv1
È un vettore !!!! Perché la velocità è un vettore
45
46
Conservazione della
quantità di moto per
un sistema di corpi
Conservazione della
quantità di moto
Quantità di moto = p = mv
3
1
v
2
Quantità di moto totale = p1 + p2 + p3….
m
Per un SISTEMA di CORPI non soggetto a forze
ESTERNE o per cui le forze si equilibrano:
v
p=mv
La quantità di moto totale è costante
p = m V = costante
m1
v1
v2
m2
P = m1 V1 + m2 V2
v1
m1
m2
v2
È costante
47
PRIMA
DOPO
48
12
03/11/2009
Per un SISTEMA di CORPI che urtano
senza deformarsi si conserva l’energia cinetica:
3
1
v
2
L’energia cinetica si conserva in un urto elastico:
m2
m1
m1
v1
v2
PRIMA
m2
v2
v2
K = m1 1 + m2 2
2
2
È costante
v1
m1
m2
v2
DOPO
Quindi Æ ptot = costante
Ktot = costante
in un urto “elastico”
49
50
Ptotprima = m1u
m2
Ptotprima = Ptotdopo
Ptotdopo = m1v1 + m2 v2
Conservazione della quantita’ di moto
m1
Conservazione dell’energia cinetica
K totprima = m1
51
u2
2
dopo
= m1
K tot
v12
v2
+ m2 2
2
2
dopo
K totprima = K tot
52
13
03/11/2009
m1u = m1v1 + m2 v2
v1 = u −
m2
v2
m1
v2 =
u2
v2
v2
m1
= m1 1 + m2 2
2
2
2
v1 =
2
m
m1u 2 = m1 u − 2 v2 + m2 v22
m
1
m
2um2 v2 = + m2 v22 1 + 2
m1
v2 =
v1 =
v2 = 2u
Se m1 >> m2
m1 − m2
u
m2 + m1
u è la velocità
della massa m1 prima
dell’urto.
2u
m2
1 +
m1
m2 − m1
u
m2 + m1
2u
m2
1 +
m1
v1 = u
v2 = u
Se m1 = m2
v1 = 0
v2 = 0
Se m1 << m2
v1 = -u
53
54
Ftot = 0
Questo è vero anche se alcune forze INTERNE AL SISTEMA agiscono:
1
v2
v1
2
1. La forza peso degli oggetti che è bilanciata esattamente dal piano.
2. Le forze legate al contatto dei corpi, ovvero al vero e proprio urto.
F12 = -F21
Trascuriamo invece, nell’esempio, l’attrito.
F21
1
Ftot = F12 + F21 = 0
2 F12
Ftot = 0
v1
Sistema di due corpi che urtano
55
1
2
v2
56
14
03/11/2009
Esempio sulla conservazione della quantità di moto.
v2 = u
Se m1 = m2
Anche se ci sono forze INTERNE al sistema di corpi
v1 = 0
la quantità di moto totale del sistema rimane invariata.
F12 = -F21
Infatti
In ogni istante
Ftot = 0
Sistema di due corpi che urtano
v1 > 0
v1=0
57
Esempio sulla conservazione della quantità di moto.
v1 = 0
v2 = 0
v1 = 0
v2=0
v2 = 0
58
v2 > 0
Esempio sulla conservazione della quantità di moto.
v2 = 2u
Se m1 >> m2
v2 = 0
Se m1 << m2
m1
<<
v1 = -u
v1 = -u
m2
m1
Al crescere della massa m2, la sfera pesante tende a rimanere ferma.
>>
m2
Al crescere della massa m2, la sfera pesante tende a rimanere ferma.
59
60
15
03/11/2009
Esempio sulla conservazione della quantità di moto.
Esempio sulla conservazione della quantità di moto.
Il cannone spara mentre e’ sul vagone: applica una forza sul proiettile e subisce
una forza (il “rinculo”) uguale e contraria che trasmette al vagone
che va nel verso opposto al proiettile
Fcannone
Il cannone spara mentre e’ sul vagone: applica una forza sul proiettile e subisce
una forza (il “rinculo”) uguale e contraria che trasmette al vagone
che va nel verso opposto al proiettile
Fproiettile
Fvagone
Il vagone dopo il colpo si muove di moto rettilineo uniforme in direzione
Opposta al colpo sparato.
Il vagone dopo il colpo si muove di moto rettilineo uniforme in direzione
Opposta al colpo sparato.
61
62
Esempio sulla conservazione della quantità di moto.
Il cannone spara mentre e’ sul vagone: applica una forza sul proiettile e subisce
una forza (il “rinculo”) uguale e contraria che trasmette al vagone
che va nel verso opposto al proiettile
Esempio: quantità di moto
(ppalla + pmuro )prima = (ppalla + pmuro )dopo
p = m V = costante
ppi + pmi = ppo + pmo
pmi = 0 inizialmente il muro è fermo
Ma vi è stato uno
Spostamento
p
netto
Del centro di massa di
Tutto il sistema
Quando il proiettile colpisce la parete del vagone e ci si conficca applica una
Forza al vagone che lo fa fermare: in questo modo la quantità di moto
Non è variata, ovvero rimane NULLA.
Muro: Massa
molto grande
ppi=mvi
pmuro
ppi = ppo + pmo
63
ppo=mvo
64
16
03/11/2009
Autotest 2.
Esempio: quantità di moto
ppi = ppo + pmo
1. Un corpo di massa M= 500 g è posto a un’altezza di 10 m da terra.
- Quanto vale la sua energia potenziale?
- Se cade a terra con quale velocità arriverà a toccare il suolo?
Visto dall’alto
2. Una molla di costante elastica k=0.1 N/m viene compressa di 10 cm.
- quanto vale la sua energia potenziale elastica?
- se viene rilasciata a quale velocità si trova la sua estremità quando
si è riespansa fino alla condizione di equilibrio?
x
pix
pox
3. Applichiamo una forza di 50 N a un corpo di massa M=2 Kg per 10 ms.
quanto vale la sua velocità dopo questa interazione?
piy
poy
4. L’equipaggio di un pendolo semplice viene sollevato in modo da essere a
10 cm da terra e pi lasciato. Quanto vale la velocità dell’equipaggio
quando passa per il punto di minore altezza rispetto al terreno?
y
ppi,x = ppo,x + pmo,x
piy = -poy
ppi,y = ppo,y + pmo,y
65
66
17
