1 OLIGOPOLIO – Marco Alderighi Introduzione Nelle precedenti

OLIGOPOLIO – Marco Alderighi
Introduzione
Nelle precedenti lezioni abbiamo visto differenti forme di mercato quali la concorrenza perfetta e il
monopolio. Queste due strutture di mercato sono assai diverse1, tuttavia entrambe contengono un
elemento comune: l'assenza di interazione strategica. Nel caso di concorrenza perfetta le imprese
non considerano il comportamento delle altre imprese perchè considerano la loro dimensione e la
dimensione dei propri “concorrenti” così piccole da non poter influire sul prezzo di mercato. Nel
caso di monopolio, l'impresa non considera il comportamento di altre imprese perché è sola ad
operare sul mercato.
In queste note tratteremo dell'oligopolio e cioè di un contesto dove le imprese interagiscono tra loro
in quanto il loro numero è limitato ma maggiore di uno. Come abbiamo visto nella lezione sulla
teoria dei giochi, l’interazione tra pochi giocatori può essere catturata da un modello di interazione
strategica.
In realtà, quando abbiamo analizzato le differenti tecniche di "pricing" del monopolista (o delle
imprese in presenza di potere di mercato) abbiamo già implicitamente trattato contesti strategici
dove diversi giocatori monopolista e consumatori interagivano. Tuttavia questa parte era possibile
svolgerla anche non considerando la teoria dei giochi. Ad esempio nella tariffa a due parti quando ci
sono comsumatori eterogenei (interessati e poco interessati all'acquisto del prodotto), il monopolista
vuole indurre “self-selection” nei consumatori per aumentare i suoi profitti. I consumatori e il
monopolista in questo caso si comportano in modo strategico. Il gioco che abbiamo considerato è
molto simile ad un gioco sequenziale. Prima gioca il monopolista che sceglie due tipi di contratto
C1=(T1,P1) e C2=(T2,P2), poi gioca il consumatore che sceglie il contratto C1 o C2. Quando il
monopolista disegna i due contratti tiene conto delle mosse del consumatore. Sa infatti che il
consumatore vuole massimizzare la sua utilità (il suo payoff) e quindi confeziona due tipi di
contratti dove ciascun consumatore (sia il consumatore interessato che quello non interessato)
scelgono il contratto che lascia loro maggiore utilità2.
Cournot - competizione simultanea nelle quantità
L'oligopolio è una struttura di mercato caratterizzata da poche imprese e presenza di "barriere
all'entrata". Il basso numero di imprese indica l'esistenza di interazione strategica. Tratteremo
l'oligopolio attraverso la teoria dei giochi.
1
In concorrenza perfetta vi sono molte imprese e si assume che queste siano price-taker cioè che assumano il prezzo
come dato (nessuna impresa singolarmente è in grado di influenzare il prezzo di mercato). Queste imprese nelle
decisioni di produzione infatti guardano al prezzo di mercato e decidono la quantità di produzione guardando
unicamente ai propri costi marginali. Nel lungo periodo, in concorrenza perfetta vi è libertà di entrata ed uscita. Le
decisioni di entrata ed uscita derivano dall'esistenza di extra-profitti positivi o negativi delle imprese. In monopolio, vi è
una sola impresa, ci sono barriere all'entrata (cioè non è permesso o non è facile per altre imprese entrare sul mercato).
Nelle decisioni di produzione, le imprese guardano ai propri costi marginali e alla domanda di mercato (da cui calcolano
i ricavi marginali).
2
In realtà, la tariffa a due parti con giocatori eterogenei è più semplice trattarla al di fuori della teoria dei giochi in
quanto si tratta di giochi informazione asimmetrica, e cioè giochi dove il monopolista non conosce quale consumatore si
presenterà. Un modo alternativo per rappresentare correttamente questo gioco con gli strumenti a nostra disposizione è
quello di immaginare la seguente situazione. Prima il giocatore 1 (monopolista) disegna i due contratti C1 e C2.
Successivamente il giocatore 2 (consumatore interessato) sceglie uno dei due contratti oppure di non acquistare. Infine
il giocatore 3 (consumatore poco interessato) sceglie uno dei due contratti oppure di non acquistare.
1
La prima trattazione “moderna” di oligopolio risale a Cournot (1838). Cournot ipotizzava che due
imprese scegliessero ciascuna il quantitivo da portare su un mercato dove il prezzo veniva a essere
determinato dalla domanda. Chiaramente Cournot non ha utilizzato la teoria dei giochi per risolvere
il problema di ottimizzazione delle imprese in quanto la teoria dei giochi non esisteva, tuttavia il
risultato ottenuto da Cournot corrisponde all'equilibrio di Nash quando le imprese competono tra
loro scegliendo la quantità da produrre.
Supponete che in un mercato ci siano due imprese con costi marginali pari a MC = c = 2 e costi
fissi nulli e che la curva di domanda inversa è data da: P = 14 − Q = 14 − ( QA + QB ) . Supponete che
le imprese scelgano quanto produrre.
I profitti dell'impresa A sono dati da:
π A = ( P − c ) QA = (14 − QA − QB − c ) QA .
Mentre i profitti dell'impresa B sono dati da:
π B = ( P − c ) QB = (14 − QA − QB − c ) QB .
Nella tabella successiva abbiamo rappresentato il caso P = 14.1 − Q (per evitare equilibri multipli
che spesso si formano nel caso discreto). Come si può notare, supponendo che l'impresa A e B
possano solo produrre quantitativi discreti allora la soluzione di questo gioco è che l'impresa A e
l'impresa B produrranno un quantitativo pari a 4.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0
0
0
11.1
0
20.2
0
27.3
0
32.4
0
35.5
0
36.6
0
35.7
0
32.8
1
11.1
0
10.1
10.1
9.1
18.2
8.1
24.3
7.1
28.4
6.1
30.5
5.1
30.6
4.1
28.7
3.1
24.8
2
20.2
0
18.2
9.1
16.2
16.2
14.2
21.3
12.2
24.4
10.2
25.5
8.2
24.6
6.2
21.7
4.2
16.8
3
27.3
0
24.3
8.1
21.3
14.2
18.3
18.3
15.3
20.4
12.3
20.5
9.3
18.6
6.3
14.7
3.3
8.8
4
32.4
0
28.4
7.1
24.4
12.2
20.4
15.3
16.4
16.4
12.4
15.5
8.4
12.6
4.4
7.7
0.4
0.8
5
35.5
0
30.5
6.1
25.5
10.2
20.5
12.3
15.5
12.4
10.5
10.5
5.5
6.6
0.5
0.7
-4.5
-7.2
6
36.6
0
30.6
5.1
24.6
8.2
18.6
9.3
12.6
8.4
6.6
5.5
0.6
0.6
-5.4
-6.3
-11.4 -15.2
7
35.7
0
28.7
4.1
21.7
6.2
14.7
6.3
7.7
4.4
0.7
0.5
-6.3
-5.4
-13.3 -13.3
-20.3 -23.2
8
32.8
0
24.8
3.1
16.8
4.2
8.8
3.3
0.8
0.4
-7.2
-4.5
-15.2 -11.4
-23.2 -20.3
-31.2 -31.2
Risoluzione analitica
Per determinare la soluzione nella precedente tabella abbiamo cercato l'equilibrio di Nash. Cioè
quella combinazione di strategie tali per cui ciascuna è risposta ottima alla mossa dell'avversario.
Per risolvere il problema nel caso continuo cerchiamo quindi la funzione di risposta ottima.
Cioè qual è il meglio che un’impresa può fare per data scelta della sua avversaria. In altre parole
qual è la quantità che conviene produrre all’impresa A se ipotizza che l'altra impresa produca una
certa quantità QB .
Calcoliamo i ricavi marginali di A. La curva di domanda residuale P = (14 − QB ) − QA . La curva di
ricavo marginale quando l'impresa B ha scelto QB e l'impresa A sceglie QA , ha doppia pendenza
rispetto alla curva di domanda residuale e quindi: MRA = (14 − QB ) − 2QA .
[Alternativamente si può ottenere la curva del ricavo marginale di A, scrivendo l’equazione dei
ricavi totali: RTA = (14 − QA − QB ) QA e differenziando rispetto a QA .]
Per determinare la quantità ottima che l'impresa A deve produrre per data quantità di B allora:
MRA = MC A quindi (14 − QB ) − 2QA = 2
La funzione di risposta ottima (chiamata anche funzione di reazione è: QA* ( QB ) = 6 − QB 2 .
Analogamente per B si ha: QB* ( QA ) = 6 − QA 2
2
In equilibrio (equilibrio di Nash) la strategia dell'impresa A deve essere risposta ottima alla strategia
dell'impresa B e viceversa.
Risolvo quindi il sistema:
⎧⎪QA* ( QB ) = 6 − QB 2
⎨ *
⎪⎩QB ( QA ) = 6 − QA 2
Sostituendo la seconda equazione nella prima, si ottiene: QA* ( QB ) = 6 − ( 6 − QA 2 ) 2 e quindi:
QA = 4 e QB = 4 .
Questo viene chiamato equilibrio di Nash del Duopolio alla Cournot. Impropriamente si può
definire equilibrio di Cournot o di Nash-Cournot.
Formula rapida di risoluzione nel caso simmetrico.
So che in equilibrio QA = QB = Qi . Quindi: (14 − Qi ) − 2Qi = 2 , da cui ottengo QA = QB = 4 .
La Funzione di reazione (funzione di risposta ottima)
Nel grafico vi è una rappresentazione delle funzioni di reazione (funzioni di risposta ottima). La
figura, ci fornisce anche l'intuizione di come Cournot ha immaginato si raggiungesse l'equilibrio. Le
quantità offerte da ciascuna impresa si aggiustano come reazione alla quantità offerta dall'altra
impresa. In equilibrio le imprese non modificano le quantità offerte in quanto ciascuna quantità
offerta è risposta ottima alla quantità offerta dall'altra impresa.
Imprese con diversi costi marginali.e costi fissi.
Supponiamo che l'impresa A abbia i precedenti costi marginali mentre l'impresa B abbia costi
marginali MCB = 4 .
La funzione di risposta dell'impresa A rimane la medesima essendo questa determinata dalla
domanda (residuale e dai suoi costi marginali), e cioè: QA* ( QB ) = 6 − QB 2 . L'impresa B invece ha
la medesima curva di ricavi marginali: MRB = (14 − QA ) − 2QB che eguagliata ai ricavi marginali
(14 − QA ) − 2QB = 4 , Quindi:
otteniamo: QA = 6 − ( 6 − QA 2 ) 2 = 14 3 e QB = 8 3 .
pari a 4 produce:
QB* ( QA ) = 5 − QA 2 . Risolvendo il sistema
Come si può notare l'impresa con costi più elevati tende a produrre meno mentre l'impresa con costi
inferiori produce di più.
3
Questo corrisponde anche al caso in cui vengano introdotte delle tasse o aumentino i costi marginali
la curva di reazione si sposta verso l’interno e quindi si riducono le quantità offerte.
Cournot con N imprese
Analizziamo ora il caso in cui ci sono N imprese con costi marginali costanti, costi fissi nulli e
curva di domanda lineare. In questo caso, all'aumentare di N il prezzo di equilibrio tende al prezzo
di concorrenza perfetta cioè il prezzo è pari ai costi marginali. Supponiamo che ci siano N imprese
con costi marginali uguali e pari a MCi = c . La curva di domanda inversa è P = a − bQ . La
domanda residuale di una generica impresa è data da: P = ( a − bQ−i ) − bqi dove Q− i è la quantità
offerta da tutte le imprese ad esclusione dell’impresa i e qi è la quantità offerta dall’impresa i. I
ricavi marginali di i sono quindi: MRi = ( a − bQ− i ) − 2bqi . La funzione di risposta ottima è data
dalla soluzione della seguente espressione: ( a − bQ− i ) − 2bqi = c
Ora sappiamo che in equilibrio tutte le imprese producono la stessa quantità e quindi usiamo la
formula di simmetria sostituendo Q−i = ( N − 1) q e qi = q , quindi: a − b ( N + 1) q = c . Da cui:
q = ( a − c ) b ( N + 1) , Q = ( a − c ) N
( N + 1) b
e P = a − (a − c) N
( N + 1) = cN ( N + 1) + a ( N + 1) .
Quindi, aumentando il numero di imprese si raggiunge una quantità tale per cui le imprese vendono
ad un prezzo pari al costo marginale. Cournot immaginava che la concorrenza perfetta fosse quindi
il caso “limite” di oligopolio quando il numero di imprese tende ad infinito.
Bertrand - competizione simultanea nei prezzi
Nel caso di Bertrand le imprese competono nei prezzi. Analizziamo il caso di competizione nei
prezzi in caso di prodotti omogenei. La funzione di domanda inversa di mercato è sempre
P = 14 − Q . La funzione di domanda di mercato è Q = 14 − P .
Si fanno le seguenti ipotesi. L'impresa che offre il prezzo più basso ottiene tutto il mercato. Se le
imprese offrono lo stesso prezzo il mercato viene diviso a metà.
Le quantità domandate per l’impresa A e B sono:
se PA < PB
se PB < PA
⎧14 − P
⎧14 − P
⎪
⎪
QA = ⎨(14 − P ) 2 se PA = PB
QB = ⎨(14 − P ) 2 se PB = PA
⎪0
⎪0
se PA > PB
se PB > PA
⎩
⎩
I profitti dell’impresa A e B sono quindi: π A = ( PA − c ) QA e π B = ( PB − c ) QB .
Esempio nel discreto.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
-14
-14
-28
0
-28
0
-28
0
-28
0
-28
0
-28
0
-28
0
-28
0
1
0
-28
-6.5
-6.5
-13
0
-13
0
-13
0
-13
0
-13
0
-13
0
-13
0
2
0
-28
0
-13
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
-28
0
-13
0
0
5.5
5.5
11
0
11
0
11
0
11
0
11
0
4
0
-28
0
-13
0
0
0
11
10
10
20
0
20
0
20
0
20
0
5
0
-28
0
-13
0
0
0
11
0
20
13.5
13.5
27
0
27
0
27
0
6
0
-28
0
-13
0
0
0
11
0
20
0
27
16
16
32
0
32
0
7
0
-28
0
-13
0
0
0
11
0
20
0
27
0
32
17.5
17.5
35
0
8
0
-28
0
-13
0
0
0
11
0
20
0
27
0
32
0
35
18
18
4
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
1.8
-1.22 -1.22
-2.44
0
-2.44
0
-2.44
0
-2.44
0
-2.44
0
-2.44
0
-2.44
0
-2.44
0
2
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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0 -2.44
0
0
1.18
1.18
2.36
0
2.36
0
2.36
0
2.36
0
2.36
0
2.36
0
2.4
0 -2.44
0
0
0
2.36
2.32
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4.64
0
4.64
0
4.64
0
4.64
0
4.64
0
2.6
0 -2.44
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0
2.36
0
4.64
3.42
3.42
6.84
0
6.84
0
6.84
0
6.84
0
2.8
0 -2.44
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0
0
2.36
0
4.64
0
6.84
4.48
4.48
8.96
0
8.96
0
8.96
0
3
0 -2.44
0
0
0
2.36
0
4.64
0
6.84
0
8.96
5.5
5.5
11
0
11
0
3.2
0 -2.44
0
0
0
2.36
0
4.64
0
6.84
0
8.96
0
11
6.48
6.48
12.96
0
3.4
0 -2.44
0
0
0
2.36
0
4.64
0
6.84
0
8.96
0
11
0 12.96
7.42
7.42
I valori di equilibrio sono quelli indicati nel grafico dal riquadro. Come si osserva ci sono due
equilibri di Nash nella parte alta del grafico, tuttavia se noi immaginiamo che il prezzo sia una
variabile continua e non discreta l’equilibrio dove le imprese giocano PA = PB = 3 in corrispondenza
dei payoff (5.5,5.5) scompare e sopravvive solo quello in cui entrambe le imprese giocano
PA = PB = 2 e i payoff sono (0,0). Nella seconda parte della tabella infatti abbiamo proposto un
secondo caso dove le imprese possono offrire prezzi discreti con un incremento minimo di 0.2.
Come si vede in questo caso, la coppia di strategie PA = PB = 3 non sono più un equilibrio di Nash.
Risoluzione analitica
Nel continuo non è possibile utilizzare (quando i prodotti sono omogenei) il calcolo differenziale
per giungere ad una soluzione in quanto vi è una discontinuità nella funzione di ricavo totale (e più
in generale nella funzione di profitto). Infatti non è possibile calcolare il ricavo marginale.
Per trovare l'equilibrio del gioco dobbiamo procedere verificando quali possibili candidati sono
effettivamente un equilibrio, e cioè se entrambi i giocatori hanno o non hanno un incentivo a
deviare. Supponete che i due giocatori stiano offrendo lo stesso prezzo ad esempio PA = PB = P . Il
profitto del giocatore A è: π A ( PA = P, PB = P ) = ( P − c ) QA = ( P − c )(14 − P ) 2 . Allora ciascun
giocatore vuole offrire un po’ meno del suo avversario in quanto in questo modo otterrà tutto il
mercato al posto di metà del mercato.In questo caso offrendo un ε in meno il giocatore A ottiene
un profitto pari a: π A ( PA = P − ε , PB = P ) = ( P − c ) QA = ( P − ε − c )(14 − P + ε ) e quindi
l’incremento di profitto è dato da:
Δπ A = ( P − c ) QA = ( P − ε − c )(14 − P + ε ) − ( P − c )(14 − P ) 2 =
= ( P − c )(14 − P ) 2 + o (1) > 0 se P > c
dove o (1) è una quantità che dipende da ε e può essere scelta piccola a piacere scegliendo ε
sufficientemente piccolo.
Verifichiamo che PA = PB = P = c è l’equilibrio del gioco. Se le imprese hanno prezzi uguali e
P > c l'impresa A ha incentivo a deviare ed abbassare il prezzo. Lo stesso vale per l'impresa B.
Sacrificando di pochissimo la profittabilità di ogni unità, A è in grado di (più che) raddoppiare la
quantità venduta. Di conseguenza i profitti sono circa doppi. PA = PB = P > c non può essere quindi
un equilibrio.
Supponiamo invece che PA > PB > c . In questo caso il profitto di A è nullo e quello di B è positivo.
In questo caso A sarebbe incentivato ad abbassare il suo prezzo fino al prezzo di PB e a ridurlo
nuovamente al di sotto di PB , in questo caso l’impresa A farebbe profitti positivi. Quindi
PA > PB > c non può essere un equilibrio. Lo stesso vale per l'impresa B quando: PB > PA > c .
5
Anche il caso PA ≥ c > PB non può essere un equilibrio in quanto l’impresa B fa profitti negativi ed
ha quindi un incentivo ad aumentare i prezzi. Lo stesso per PB ≥ c > PA .
Infine se entrambe le imprese scelgono PA = PB = P = c nessuna delle due imprese ha un incentivo a
deviare dall’equilibrio. Quindi questa è la soluzione del gioco. Sapendo che entrambi i giocatori si
comportano in questo modo, allora l'equilibrio che si viene a formare è dato da una situazione dove
i prezzi eguagliano i costi marginali. In questo caso nessuno delle due imprese ha un incentivo a
deviare. Cioè modificando il prezzo fa profitti uguali o inferiori.
Bertrand con costi differenti
Nel caso in cui i costi marginali sono differenti, allora l'impresa con costi marginali più alti offre al
prezzo pari ai costi marginali e l’altra impresa offre ad un prezzo leggermente al di sotto dei costi
marginali dell'avversario.
Cournot e Bertrand: esempi empirici
Nei settori oligopolistici i risultati che osserviamo in termini di prossimità al modello di Cournot o
di Bertrand dipendono in primo luogo dai settori e dal tipo di interazione. Solitamente nelle aste e
cioè nei giochi non ripetuti si assiste una situazione di competizione più accesa nei prezzi. Nei casi
di giochi ripetuti o con limiti alla capacità si assiste ad una competizione meno forte nei prezzi e
questi contesti si avvicinano di più al risultato dato dal modello di Cournot.
Paradosso di Bertrand
Guardiamo ora ad un esempio specifico di duopolio alla Bertrand e alla Cournot nel caso in cui
valgano le precedenti ipotesi ma che i costi fissi3 siano F=5.
In Cournot abbiamo che i profitti delle imprese A e B sono: π A = π B = 4* 4 − 5 = 11 . Mentre nel
caso di Bertrand sono: π A = π B = 0 − 5 = −5 .
Il paradosso di Bertrand ci dice che imprese che competono nei prezzi ed hanno costi fissi fanno
profitti negativi. Questo fatto non corrisponde alla realtà dove noi osserviamo che le imprese (che
solitamente hanno costi fissi positivi) competono nei prezzi e non necessariamente hanno profitti
negativi. Il paradosso di Bertrand ci dice che abbiamo da una parte un modello di oligopolio, quello
alla Cournot, che fornisce risultati realistici (profitti positivi, prezzi al di sopra dei costi marginali
quando il numero di imprese è ridotto) ma che assume una competizione nelle quantità (poco
realistica). Dall'altra parte abbiamo un modello, quello alla Bertrand, che fornisce risultati poco
realistici partendo da assunzioni realistiche (competizione nei prezzi).
Vi sono state diverse proposte per ovviare al paradosso di Bertrand. Ad esempio si può assumere
che le imprese competano nei prezzi ma i prodotti sono differenziati. Un altro modo è quello di
assumere che le imprese colludano cioè si accordino al fine di tenere prezzi più elevati.
Nel seguito di questa nota analizziamo il caso di Cournot e Bertrand con prodotti differenziati e poi
analizziamo il modello di differenziazione orizzontale alla Hotelling.
Prodotti differenziati alla Cournot
Supponiamo che due imprese producano prodotti differenziati.
In questo caso possiamo modificare il modello di Cournot immaginando che i prodotti siano
sostituti ma non perfetti sostituti. In questo caso: PA = 14 − ( QA + α QB ) e PB = 14 − ( QB + α QA ) ,
dove α fornisce una misura del grado di sostituzione tra i prodotti. Se α = 1 allora i prodotti sono
3
Quando ci sono costi fissi, la regola di pricing (sia nell'oligopolio alla Bertrand che alla Cournot) non varia, poichè i
costi fissi non entrano nell'ottimizzazione dell'impresa. I costi fissi sono sostenuti dall'impresa indipendentemente dal
fatto che questa decida di produrre oppure no e quindi non vanno considerati nel momento della decisione di quanto
produrre una volta che si è sul mercato. Vanno invece considerati qualora si dovesse decidere se entrare od uscire da un
mercato.
6
omogenei e se α = 0 allora i prodotti sono totalmente differenziati e quindi ciascuna impresa è
come se fosse monopolista. Per semplicità assumiamo che α = 1 2 . I costi marginali sono pari a 2.
Cerchiamo le curve di reazione e la soluzione di questo gioco. La curva di reazione di A è pari a:
14 − 2QA − QB 2 = 2 e quindi: QA* ( QB ) = 6 − QB 4 . Analogamente per B si ha: QB* ( QA ) = 6 − QA 4 .
Risolvendo il sistema, si ha: QA = QB = 24 5 . Rispetto al caso precedente le quantità di equilibrio
sono aumentate.
Prodotti differenziati alla Bertrand
Supponiamo ora che queste imprese con la precedente curva di domanda competano nei prezzi e
non nelle quantità. Le curve di domanda inverse sono date come nel caso precendente da:
PA = 14 − ( QA + α QB ) e PB = 14 − ( QB + α QA ) , dove α = 1 2 . Dalle precedenti equazioni possiamo
risolvere per le curve di domanda dirette e cioè: QA = 2 PB 3 − 4 PA 3 + 28 3 e
QB = 2 PA 3 − 4 PB 3 + 28 3 .In questo caso possiamo quindi pensare che la competizione avvenga in
termini di prezzo. Il profitto di un'impresa A è: π A = ( PA − c ) QA = ( PA − c )( 2 PB 3 − 4 PA 3 + 28 3) .
La massimizzazione del profitto (attraverso le condizioni del primo ordine) mi fornisce:
d π A PA = d {( PA − c )( 2 PB 3 − 4 PA 3 + 28 3)} / dPA = 2 PB 3 − 8 PA 3 + 12 = 0 .
La funzione di risposta ottima dell'impresa A è: PA* ( PB ) = PB 4 + 9 2 . Analogamente per l'impresa
B avrò PB* ( PA ) = PA 4 + 9 2 . Utilizzando anche in questo caso la formula veloce in quanto le curve
di reazione sono simmetriche ottengo: P = P 4 + 9 2 = 6 e la quantità di equilibrio è data da:
QA = 16 3 .
Cournot come risultato di un gioco sequenziale dove prima le imprese scelgono le capacità e poi i
prezzi
Kreps e Scheinkman (1983) hanno dimostrato che l'equilibrio di Cournot può essere visto come un
gioco dove le imprese prima investono in capacità e poi competono sui prezzi.
Oligopolio con scelta sequenziale
E’ possibile immaginare che le imprese non scelgano simultaneamente ma che un’impresa, che
chiameremo leader scelga per prima e una seconda impresa che chiameremo follower scelga per
seconda. Le variabili decisionali possono essere quantità o prezzo come nei casi precedenti. Questi
giochi vanno sotto il nome di oligopolio alla Stackelberg nella quantità o nel prezzo. Vediamoli
brevemente.
Stackelberg nelle quantità
Supponiamo ora che un'impresa possa scegliere per prima e l'altra impresa scelga successivamente.
Cosa succede nel caso in cui la variabile strategica sia la quantità?
E' un gioco sequenziale nel quale prima gioca l'impresa L (leader) e poi l'impresa F (follower).
Essendo un gioco sequenziale lo risolviamo con backward induction e quindi assumiamo che
l'impresa L risolva il problema dell'impresa F.
L'impresa L sa che l'impresa F ha come funzione di reazione: QF* ( QL ) = 6 − QL 2 . Avendo questa
informazione l'impresa leader può anche ipotizzare come si modifica la sua funzione domanda
(percepita) a seconda della quantità che lei offrirà e quindi:
P = 14 − ( QL + QF* ( QL ) ) = 14 − QL − ( 6 − QL 2 ) = 8 − QL 2.
La curva di ricavo marginale sarà quindi: MRL = 8 − QL . Eguagliando ricavi marginali a costi
marginali otteniamo: 8 − QL = 2. , e cioè: QL = 6 e QF = 2 . I profitti del leader e del follower
7
saranno: π L = ( PL − 2 ) QL = 36 e π F = ( PF − 2 ) QF = 12 . In questo caso vi è un vantaggio della
prima mossa (first-mover advantage) del leader. E vi è quindi un vantaggio per il leader nel legarsi
le mani. Preducendo una quantità pari a 6 può aumentare i suoi profitti perchè sa di indurrre il
follower a produrre meno.
Stackelberg nei prezzi (Bertrand con prodotti differenziati)
Anche in questo caso si risolve il gioco backward. La funzione di risposta ottima del follower è:
PF* ( PL ) = PL 4 + 9 2 .
La curva di domanda del leader è quindi:
QL = 2 PF 3 − 4 PL 3 + 28 3 = ( 2 3)( PL 4 + 9 2 ) − 4 PL 3 + 28 3 = 37 3 − 7 PL 6
La funzione di profitto del leader sarà: π L = ( PL − 2 ) QL = ( PL − 2 )( 37 3 − 7 PL 6 ) . Le condizioni del
primo ordine richiedono che:
d π L PL = d {( PL − 2 )( 37 3 − 7 PL 6 )} / dPL = 44 3 − 7 PL 3 = 0 .
Quindi: PL = 44 7 = 6.2857 e PF = 85 14 = 6.0714 . Da ciò rileviamo che il follower tiene i prezzi
leggermente più bassi e di conseguenza vende una quantità maggiore. Infatti: QL = 5 e
QF = 38 7 = 5.4386 . I profitti del leader sono: π L = ( 85 14 − 2 ) *5 = 285 14 = 20.357 e i profitti del
follower sono: π F = ( 44 7 − 2 ) *38 7 = 1140 49 = 23.265 . In questo caso ha un vantaggio l'impresa
follower in quanto potendo muovere per seconda può scegliere un prezzo leggermente più basso del
leader e prendergli parte del mercato. Quando vi è una competizione nei prezzi non conviene
scegliere per primo e quindi non conviene legarsi le mani. Si parla in questo caso di vantaggio della
seconda mossa (second-mover advantage).
La competizione monopolistica
Il modello di competizione monopolistica (Chamberlain, 1933) riassume alcuni aspetti del
monopolio e della concorrenza perfetta. In primo luogo le imprese detengono potere di mercato (e
quindi fronteggiano una curva di domanda che è inclinata negativamente, questo perché i prodotti
sono differenziati) mentre non esistono barriere all’entrata e quindi le imprese non possono fare
(extra-)profitti positivi. La prima caratteristica avvicina il modello di competizione monopolistica al
monopolio mentre la seconda caratteristica lo avvicina alla concorrenza perfetta. Questo modello si
adatta molto bene ai mercati dei beni di largo consumo (dentifrici, pasta, detersivi, etc..) dove i
prodotti sono differenziati ma non vi sono forti barriere all’entrata (come ad esempio nel mercato
dell’auto e dell’hardware).
Il modello di competizione monopolistica è stato analizzato in molte varianti4. Noi presenteremo un
modello di concorrenza monopolistica adattando il modello di Cournot con N prodotti differenziati
ammettendo la possibilità di entrata.
Sia pi = A − α ∑ q j −qi la curva di domanda inversa dell’impresa i . Assumiamo che α > 0 e che
j ≠i
quindi i prodotti siano tra loro sostituti. Infatti, questa formulazione implica che i prodotti i e j
siano sostituti lordi e cioè che quando il prezzo del bene j sale, la quantità domandata del bene j
diminuisce e quindi la quantità domandata del bene i sale. Assumiamo che la funzione di costo
totale delle imprese sia C ( qi ) = F + cqi . Dalla curva di domanda residuale pi = A − α Q− i − qi ,
otteniamo: la curva del ricavo marginale MRi = A − α Q− i − 2qi eguagliando ricavo marginale a
4
I modelli di concorrenza monopolistica vengono utilizzati soprattutto nell’ambito dell’economia internazionale, grazie
alla loro maggiore facilità computazionale rispetto ai modelli di oligopolio. Uno dei più famosi modelli di concorrenza
monopolistica è dovuto a Stiglitz (1977). Noi non tratteremo questo modello in quanto non necessario nel proseguo.
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costo marginale e sfruttando la simmetria otteniamo:
q = ( A − c ) (α ( N − 1) + 2 ) e pi = c + ( A − c ) (α ( N − 1) + 2 ) .
A − α ( N − 1) q − 2q = c . Da cui:
Il profitto della singola impresa è quindi dato:
π i = ( pi − c ) qi − F = ( A − c )
2
(α ( N − 1) + 2 )
2
−F.
Ora conoscendo il valore di F e ipotizzando libera entrata possiamo scrivere la seconda condizione
di equilibrio π i = 0 che ci serve per calcolare il numero esatto di imprese sul mercato. Da cui
otteniamo (omettiamo il problema dei numeri interi):
1 ⎛ A−c
⎞
N = 1+ ⎜
− 2⎟
α⎝ F
⎠
Il modello di Hotelling in duopolio
Finora abbiamo trattato modelli di differenziazione del prodotto senza aver formalizzato in base a
quali criteri i prodotti risultano differenti. Il modello di Hotelling si occupa di dare una
formalizzazione spaziale (spazio geografico, o spazio dei prodotti) alla differenziazione orizzontale
dei prodotti. Qui si intende che le imprese possono scegliere sedi differenti e quindi talune imprese
saranno più “vicine” geograficamente ad alcuni consumatori e più “lontane” ad altri consumatori.
Tuttavia, si può anche intendere che le imprese possano scegliere prodotti con caratteristiche
differenti. Ad esempio due network radiofonici possono differenziare i loro prodotti scegliendo il
tipo di musica che trasmettono. Da una parte possiamo posizionare la musica classica e dall’altra
l’heavy metal. Posizioni intermedie possono essere occupate da generi quali, la musica leggera o il
jazz. Immaginando che un’impresa produca succhi d’arancia, questa può scegliere ad esempio
quanto dolce sia il succo. Da una parte l’impresa può produrre un succo d’arancia non zuccherato,
poco zuccherato, abbastanza o molto zuccherato.
Il modello di Hotelling fa assunzioni sul comportamento dei consumatori e su quello delle imprese.
Il lato della domanda.
Si ipotizza che i consumatori siano distribuiti uniformemente su un segmento di lunghezza 1 e che
la numerosità dei consumatori sia data da M. In aggiunta si assume che la localizzazione dei
consumatori dia informazioni sul prodotto ideale. Nell’interpretazione geografica per ciascun
consumatore l’ubicazione ideale dell’impresa sarebbe sotto casa, nell’interpretazione nello spazio
delle caratteristiche, l’ubicazione del consumatore fornisce informazioni sul prodotto preferito (a
parità di prezzo). Se il consumatore si sposta dal consumare il prodotto ideale ha un costo di
trasporto proporzionale alla sua “distanza”. I costi di trasporto possono essere definiti come:
T = t x − x A , dove t è il costo unitario di trasporto, x è la localizzazione del consumatore e x A è il
prodotto che effettivamente può acquistare. Assumiamo che i consumatori domandino solo un’unità
di prodotto se il prezzo complessivo (che comprende il prezzo pagato all’impresa o prezzo di
fabbrica e i costi di trasporto) P = m + T è al di sotto del suo prezzo di riserva v . Nel caso vi siano
più offerenti, il consumatore sceglie di acquistare dove ottiene maggiore utilità.
Il lato dell’offerta.
Ipotizziamo che ci siano due imprese localizzate ai vertici del segmento di Hotelling. L’impresa A è
localizzata in 0 e l’impresa B è localizzata in 1.
0
x
1
9
Vi sono modelli più complessi dove la decisione di localizzazione avviene nel primo stadio di un
gioco e la decisione sui prezzi avviene nel secondo stadio. Noi ipotizziamo che le imprese abbiano
già deciso dove localizzarsi e quindi decidano solo quale prezzo offrire.
Ipotizziamo che vi siano costi marginali pari a c e costi fissi F. La funzione di profitto dell’impresa
è al solito data da: π i = ( pi − c ) qi ( pi , p j ) − F . Chiaramente per calcolare il profitto è necessario
sapere quale è la curva di domanda di ciascuna impresa, qi ( pi , p j ) .
Per sapere se il consumatore x sceglie dall’impresa A o dall’impresa B dobbiamo confrontare
l’utilità che egli ottiene nei due casi. L’utilità del consumatore quando sceglie di acquistare in A è
data da: U x ( A ) = v − p A − t x − 0 mentre quando sceglie di acquistare in B è data da:
U x ( B ) = v − pB − t x − 1 .
Acquisterà
in
A
se v − p A − t x − 0 > v − pB − t x − 1
e
cioè:
p A + tx < pB + t − tx o p A < pB + t − 2tx . Viceversa acquisterà da B se p A > pB + t − 2tx . Come si
vede il fatto che un consumatore decida di acquistare il proprio prodotto dall’impresa A o
dall’impresa B dipende dal prezzo che queste imprese offrono, dalla localizzazione relativa del
consumatore e dal costo unitario di trasporto t. Nel caso in cui t sia pari a zero il modello diventa il
modello di Bertrand con prodotti omogenei. Tra tutti i consumatori appartenenti al segmento di
Hotelling ve ne è uno che assume un ruolo più importante degli altri in quanto, per dato livello dei
prezzi offerti e dei costi di trasporto questo consumatore è indifferente tra acquistare dall’impresa A
o dall’impresa B. Questo consumatore assume il nome di consumatore pivotale. Nota che per questo
consumatore vale: p A = pB + t − 2tx . Risolvendo per x otteniamo:
x = 1 2 + ( pB − p A ) 2t
pA
pA +t x
pB
pB +t(1- x)
0
xPiv
1
Se i prezzi offerti dalle due imprese sono uguali, il consumatore pivotale è localizzato al centro del
segmento di Hotelling. Chiaramente se p A < pB allora il consumatore pivotale sarà spostato nella
parte destra del segmento. Il consumatore pivotale fornisce immediatamente informazioni quindi
sulle quote di mercato delle imprese. L’impresa A ha quota di mercato pari a x e l’impresa B ha
quota di mercato pari a 1 − x . Infine moltiplicando questi valori per M otteniamo la domanda.
Se conosciamo le quote di mercato in funzione dei prezzi possiamo anche vedere come i profitti
delle imprese variano in funzione dei propri prezzi e dei prezzi dei concorrenti e quindi possiamo
calcolare la soluzione di equilibrio.
π A = ( p A − c ) (1 2 + ( pB − p A ) 2t ) M − F
π B = ( pB − c ) (1 2 + ( p A − pB ) 2t ) M − F
Ora possiamo calcolare la funzione di risposta ottima dell’impresa A al prezzo pB . Dobbiamo
differenziare rispetto a p A la funzione di profitto:
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d π A dp A = (1 2 + ( pB − p A ) 2t − ( p A − c ) 2t ) M = 0
da cui: p A = ( t + pB + c ) 2 e in modo analogo: pB = ( t + p A + c ) 2 . Utilizzando la simmetria
ottengo: p = t + c .
Ciascuna impresa adesso può fissare un prezzo al di sopra del costo marginale. Maggiori sono i
costi di trasporto e quindi maggiore è la differenziazione del prodotto e più alti sono i prezzi di
equilibrio.
Hotelling in monopolio
Il modello di Hotelling può essere impiegato anche in monopolio. Chiaramente in questo caso
l’impresa ha un interesse a localizzarsi al centro del mercato e poiché è monopolista tenderà a
coprire l’intero mercato mettendo i prezzi più elevati possibili. Poiché i consumatori più “difficili”
sono quelli localizzati all’estremo del segmento di Hotelling, il monopolista si deve interessare che
questi acquistino il prodotto e quindi sceglierà un prezzo pM tale che:
U x =0 ( M ) = v − pM − t 0 − 1 2 = 0 e quindi. pM = v − t 2 .
Il profitto corrispondente sarà quindi:
πi = (v − t 2 − c) M − F .
Proliferazione dei marchi in monopolio
Il fatto che il prezzo di monopolio sia pM = v − t 2 e non pM = v dipende dal fatto che i
consumatori hanno dei costi di trasporto e quindi la necessità di servire tutti i consumatori spinge il
monopolista ad abbassare il prezzo sotto il valore di riserva. Se il monopolista potesse offrire
differenti tipi di prodotto, o idealmente, infinite varietà del prodotto potrebbe quindi porre il prezzo
pari a pM = v . Chiaramente questo non è possibile in quanto ci sono solitamente dei costi fissi per
ogni prodotto aggiunto. Scriviamo la generica funzione di profitto immaginando che il monopolista
offra varietà di prodotto in numero di n. Il monopolista sceglierà di localizzarle in posizioni
equidistanti per minimizzare i costi di trasporto degli acquirenti e il prezzo che può offrire è dato
da: pM = v − t 2n quindi il profitto è dato da: π i = ( v − t 2n − c ) M − nF . Il numero ideale di
prodotti è quindi dato da n che massimizza i profitti e quindi derivando rispetto a n la funzione di
profitto e ponendo la derivata uguale a zero, ottengo: n = Mt 2 F .
p
p
V
p1
p0
0
1/4
1/2
3/4
1
La proliferazione dei marchi viene utilizzata dalle imprese che operano su un mercato con un’altra
finalità e cioè di limitare l’accesso degli avversari nel mercato e poter competere in modo più
acceso con gli entranti con le imprese più vicine ai nuovi entranti e tenere prezzi più alti nel caso di
impianti localizzati lontano dai nuovi entranti.
11
Discriminazione dei prezzi in monopolio
Quando i costi fissi sono importanti l’impresa può decidere di produrre un solo prodotto e applicare
una strategia di pricing che tende a discriminare i prezzi in base alla “posizione” del consumatore.
La soluzione ottimale sarà pM = v − t x − 1 2 .
Fusioni e acquisizioni
Il tema delle fusioni e delle acquisizioni è molto complesso. In questo paragrafo faremo solo un
accenno. Noi ci concentreremo ad analizzare fusioni orizzontali, cioè tra imprese che appartengono
allo stesso segmento della filiera produttiva. Ci sono due ragioni principali perché avvengono le
fusioni orizzontali. La prima è dovuta ad una razionalizzazione dei costi. Possono infatti essere
eliminate alcune duplicazioni (questo è l’aspetto buono delle fusioni). La seconda è dovuta ad un
aumento del potere di monopolio delle imprese e quindi alla possibilità di tenere prezzi più alti.
(questo è l’aspetto cattivo delle fusioni).5
Il modello di Hotelling sembra particolarmente interessante per spiegare gli effetti di una fusione
orizzontali. In particolare è utile vedere che se vi sono più imprese sul mercato, la fusione di alcune
di queste soprattutto se vicine tra loro, porta ad una diminuzione della competizione e quindi ad un
aumento dei prezzi.
Bertrand con costi di switching.
I costi di switching si verificano quando un acquirente ha compiuto un investimento specifico per
un particolare venditore e questo costo deve essere sostenuto nuovamente per altri venditori.
(Pensate ad esempio il caso delle banche, della telefonia, etc..). I costi di switching sono associati
alla presenza di relazioni di lungo termine, costi di compilazione, mancanza di informazione (non
familiarità con l’esistenza di altri venditore, costi di ricerca, mancanza di informazioni chiare e
trasparenti), affezione al marchio, e rischi relativi al cambiamento.
Supponiamo che vi siano due imprese, A e B, che ciascuna detenga metà del mercato M/2 e che
abbiano costi marginali pari a c e che competano nei prezzi. I costi di switching sono pari a s .
Calcoliamo i prezzi che verranno scelte dalle imprese.
In primo luogo cerchiamo equilibri simmetrici e quindi equilibri tali che p A = pB = p .
L’impresa A ha un incentivo a deviare dall’equilibrio solo se deviando ottiene un profitto maggiore.
Se sceglie p A = pB = p e quindi non devia, ottiene un profitto pari a: π *A = ( p − c ) M 2 . Se devia
ottiene un profitto pari a: π Adev = ( p − c − s ) M . L’impresa A non ha un incentivo a deviare se
π *A ≥ π Adev e cioè se p ≤ c + 2s . Il massimo prezzo sostenibile è quindi dato da p A = pB = p = c + 2s .
Nel caso in cui i consumatori non abbiano scelto il proprio fornitore è possibile osservare che le
imprese competono ferocemente nella prima fase e successivamente, quando si sono spartite il
mercato, competono in modo meno acceso.
5
Nel caso di fusioni verticali, vi è un ulteriore aspetto da considerare che è l’eliminazione del problema della doppia
marginalizzazione del monopolista.
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