Testo e soluzione

FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE
Anno Accademico 2009-2010, seconda prova parziale, 17 Giugno 2010
Scrivere il proprio nome e cognome e indicare il numero di ogni esercizio.
Commentare brevemente i passaggi, scrivere sempre la formula usata prima di
sostituire i valori numerici, ricordando di indicare le unità di misura. Soluzioni ed
esiti alla pagina http://qinf.fisica.unimi.it/˜paris/fisbio.html
Esercizio 1: In una condotta orizzontale di sezione A 1 = 5.00 cm2 scorre acqua. In un secondo
tratto della condotta la sezione diventa A 2 = 3.50 cm2 . Si calcoli
a) la velocita‘ v1 del fluido nel primo tratto sapendo che nel secondo si ha v 2 = 1.00 m/s;
b) la pressione p2 del fluido nel secondo tratto sapendo che nel primo si ha p 1 = 0.040 atm.
Esercizio 2: Due di moli di gas perfetto biatomico, inizialmente a pressione p A =
1.00 · 105 N/m2 e volume VA = 5.00 l, compiono un ciclo termodinamico composto dalle
seguenti trasformazioni: (AB): espansione isobara fino a raddoppiare il volume iniziale; (BC):
compressione isocora fino a dimezzare la pressione; (CD): isobara fino al volume iniziale;
(DA) isocora fino alla pressione iniziale. Svolgere i seguenti punti:
a) Disegnare il ciclo nel piano V-p, calcolare pressioni e volumi nei punti B, C e D e
individuare nel ciclo i punti a temperatura minima e massima e determinarle. Calcolare il
lavoro complessivo compiuto dal gas.
b) Calcolare le quantità di calore scambiate nelle varie trasformazioni, specificandone il
segno. Calcolare il rendimento del ciclo e confrontarlo con il rendimento di un ciclo di
Carnot che lavori tra le medesime temperature minima e massima.
Esercizio 3: Una bottiglia con pareti adiabatiche di capacita V 0 = 1l contiene un gas perfetto
monoatomico a pressione atmosferica. La bottiglia viene chiusa, immersa in acqua e portata
velocemente ad una profondita H = 100m, dove viene aperta mantenenendola capovolta. Si
determini:
a) la pressione pH dell’acqua alla profondita H;
b) quanta acqua entra nella bottiglia quando viene riaperta alla profondità H.
Recupero Meccanica: Una pallina di massa m = 100 g é fissata ad una fune di
lunghezza L = 1m. In questo modo la pallina pu ó percorrere una circonferenza
nel piano verticale. Supponendo che la pallina parta dalla posizione A con
velocità iniziale vA e raggiunga la posizione C con velocitá nulla calcolare il
modulo della velocità iniziale vA ed il modulo della velocità nel punto B.
C
B
L
A
Recupero Elettrostatica: Una carica positiva Q = 5.00 ·
C é fissato ad un punto O. Una
−23
particella di massa m = 1.00 · 10
Kg e carica negativa q = −2.00 · 10−17 C si muove di moto
circolare uniforme su una circonferenza di centro O e raggio R = 1.00 · 10 −6 m. Si determini
il modulo della velocità dell carica q;
10 −15
FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE
Anno Accademico 2009-2010, prima prova parziale del 29 Aprile 2010
Soluzione esercizio 1:
a) Per l’equazione di continuità abbiamo A 1 v1 = A2 v2 e dunque v1 = v2 A2 /A1 ' 0.7 m/s;
b) considerando il fatto che la condotta é orizzontale e usando il teorema di Bernoulli
abbiamo che p1 + 12 dv12 = p2 + 21 dv22 e dunque p2 = p1 + 12 d(v12 − v22 ) ' 3797 Pa dove abbiamo
usato la conversione p1 = 0.040 atm = 4052 Pa.
Soluzione esercizio 2:
a) Nel piano V-p il ciclo corrisponde ad un rettangolo con i vertici nei punti A,B,C e D.
Abbiamo pB = pA , VB = 2VA , pC = 12 pA , VC = VB = 2VA , pD = pC = 21 pA , VD = VA . Il lavoro
corrisponde all’area sottesa dal ciclo, ovvero L = (p A − pC )(VB − VA ) = 250 J. Usando
la legge dei gas perfetti P V = nRT abbiamo che il punto ha temperatura maggiore
corrisponde al punto del ciclo con pressione e volume massimi ovvero il punto B per cui
si ha TB = pB VB /(nR) ' 60.2 K. Analogamente abbiamo che il punto a temperatura minima
é il punto D per cui abbiamo TD = pD VD /(nR) = 41 TB ' 15.05 K.
b) La trasformazione AB si svolge a pressione costante, per cui Q AB = nCp ∆T =
7
7
2 (nRTB − nRTA ) = 2 PA (VB − VA ) = 1750 J. La trasformazione BC si svolge a volume
costante, per cui QBC = nCv ∆T = 52 (nRTC − nRTB ) = 25 VB (pC − pA ) = −1250 J. Inoltre
QCD = −QAB /2 e QDA = −QBC /2. Il rendimento del ciclo vale η = L tot /Qass ' 0.1 mentre il
rendimento di un ciclo di Carnot con le medesime temperature minima e massima vale
ηc = 1 − TD /TB ' 0.75.
Soluzione esercizio 3:
a) Usando la legge di Stevino abbiamo che p H = p0 + dgH ' 1.08 · 106 N/m2 .
b) Portare la bottiglia alla profondità H significa sottoporre il gas ad una compressione
adiabatica dalla pressione p0 alla pressione pH . Il volume finale si ottiene dalla relazione
P0 V0γ = PH VHγ dove, essendo il gas monoatomico, γ = C p /Cv = 5/3. Si ha VH =
V0 (p0/pH )3/5 ' 0.24l e dunque nella bottiglia entrano V 0 − V H = 0.76l di acqua.
Soluzione recupero meccanica:
Prendiamo un sistema di riferimento con origine nella posizione A. Inizialmente la pallina
2 mentre nel punto C possiede solo energia
possiede solo energia cinetica EA = 12 mvA
√
potenziale EC = 2mgL. Uguagliando queste due espressioni si ottiene v A = 4gL ' 6.26 m/sec.
2 + mgL per cui, uguagliando questa
Nel punto B l’energia della pallina é data da E B = 12 mvB
q
√
2 − 2gL =
espressione ad EA (oppure ad EC ) si ottiene vB = vA
2gL ' 4.43 m/sec.
Soluzione recupero elettrostatica:
La forza centripeta necessaria a mantenere la carica q in moto circolare coincide con la
forza di Coulomb tra le due cariche e dunqe si ha kqQ/R 2 = mv 2 /R da cui v ' 9.5 · 103 m/s.