equazioni di secondo grado - Matematica e Fisica: istruzioni per l`uso

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
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Un trinomio di secondo grado ax +bx+c=0 ( con a , b , c ∈ℜ ) rappresenta una equazione
completa di secondo grado in una incognita. Risolvere l'equazione vuol dire determinare quei o quel
valore che sostituito al posto della variabile x rende il primo membro uguale a zero. Le soluzioni di
una equazione talvolta sono anche chiamate radici. Nel risolvere una equazione di secondo grado si
potranno avere i seguenti casi:
1) c = 0
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In tal caso l'equazione diventa ax +bx=0 . Tale equazione viene denominata spuria.
Per risolverla raccogliamo la x a fattor comune e si avrà:
x (ax+b)=0
Utilizzando la legge dell'annullamento del prodotto la precedente viene risolta dividendola in due
equazioni distinte ovvero
x=0
ax+b=0 ovvero ax=−b e dividendo tutto per a si ottiene x=−
b
a
Notiamo quindi che se l'equazione è spuria co sono sempre due soluzioni delle quali una è sempre
zero.
2) b = 0
2
ax +c=0 . Questa equazione è denominata pura.
In questo caso l'equazione diventa
In questo caso l'equazione si risolve come segue:
2
ax =−c
2
da cui si ricava x =−
√
c
c
ed infine x =± −
a
a
Notiamo che la radice può essere calcolata solo se il radicando è positivo e data la presenza del
segno meno solo se i coefficienti a e c sono discordi ovvero uno positivo e uno negativo. Solo in
queso caso l'equazione ammette due soluzioni reali ed opposte. Negli altri casi non ci sono
soluzioni reali.
Vediamo adesso invece come si procede se l'equazione è completa cioè se a , b , c≠0 .
In questo caso è necessario calcolare una quantità chiamata delta la cui formula è :
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Δ=b −4⋅a⋅c
Δ>0
Si potranno avere tre casi:
In questo caso troveremo 2 soluzioni reali e distinte
Δ=0 In questo caso troveremo 2 soluzioni reali e coincidenti
Δ<0 In questo caso l'equazione non ammette soluzioni reali
Per determinare le eventuali soluzioni utilizzeremo la seguente espressione:
x 1,2 =
−b± √ Δ
2a