Macchine termiche e frigoriferi Una macchina

Macchine termiche e frigoriferi
Una macchina termica è una macchina che, grazie ad una sequenza di
trasformazioni termodinamiche di una data sostanza, produce lavoro
che può essere utilizzato.
Una macchina solitamente lavora su di un ciclo di trasformazioni e di
conseguenza la variazione di energia interna della sostanza utilizzata è
nulla, ΔU = 0. Durante un ciclo la sostanza viene posta a contatto con
dei serbatoi con i quali può scambiare calore. Globalmente dal punto di
vista energetico in un ciclo riconosciamo tre quantità
1. calore assorbito dalla sostanza QH > 0
2. calore ceduto dalla sostanza QC < 0
3. lavoro prodotto W.
Abbiamo che
ΔU = 0 ⇒ Q - W = 0 ⇒ |QH| - |QC| = W
allora
|QH| > |QC| ⇒ W > 0
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Fisica 1
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Tutti i cicli compiuti dalla macchina termica sono uguali, definiamo
allora il rendimento η o efficienza termica
QH − QC
QC
W
η=
=
= 1−
QH
QH
QH
Dato che |QH| > |QC|, η < 1 sempre, per avere η = 1 deve essere |QC| = 0,
ciò è però impossibile per il secondo principio della termodinamica.
Il secondo principio della termodinamica nell’enunciato di Kelvin –
Planck per le macchine termiche afferma
Una macchina termica che lavora tra due dati serbatoi non può
avere come unico effetto la conversione di tutto il calore assorbito
dalla sorgente più calda in lavoro, ci deve essere sempre anche uno
scambio di calore (ceduto) con la sorgente a temperatura più bassa,
ovvero |QC| ≠ 0
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Una macchina frigorifera è una macchina che assorbe calore da un
serbatoio freddo (|QC|) e, utilizzando del lavoro fornito dall’esterno,
cede calore al serbatoio più caldo (|QH|).
Il rendimento di un frigorifero è il coefficiente di prestazione ξ
QC
ξ=
W
Dato che |QC| = |QH| - |W|, ξ può essere > 1, ξ non può tuttavia essere ∞,
in questo caso infatti dovrebbe essere W = 0, ma questo è proibito dal
secondo principio della termodinamica secondo l’enunciato di
Clausius
Una macchina frigorifera che lavora tra due dati serbatoi non può
avere come unico risultato il passaggio di calore dalla sorgente più
fredda a quella più calda, è sempre necessario fornire lavoro dall’
esterno
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La macchina di Carnot
La macchina di Carnot è una particolare macchina che lavora su di un
ciclo reversibile composto da quattro trasformazioni
1.
2.
3.
4.
espansione isoterma da A a B
espansione adiabatica da B a C
compressione isoterma da C a D
compressione adiabatica da D a A
Gli scambi di calore avvengono unicamente durante le trasformazioni
isoterme, in particolare durante l’espansione il sistema acquista calore
Q1 dalla sorgente a temperatura T1 e durante la compressione cede calore
Q2 alla sorgente a temperatura T2. Questo particolare ciclo risulta essere
di grande importanza in termodinamica. Infatti esso è il ciclo con il più
alto rendimento, fra tutti quelli immaginabili una volta scelti i due
Serbatoi (teorema di Carnot).
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Analizziamo ora il ciclo di Carnot compiuto da un gas ideale
1. Espansione isoterma da a a b
QH
a →b
Vb
= W = nRTH ln > 0
Va
2. Espansione adiabatica da b a c
Q b→c = 0 ⇒ W b→c = −ΔU b→c = − ncV (Tc − Tb )
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3. Compressione isoterma da c a d
QC
c →d
=W
c→d
Vd
= nRTC ln < 0
Vc
4. Compressione adiabatica da d ad a
Q d →a = 0 ⇒ W d →a = −ΔU d →a = −ncV (Ta − Td )
Pertanto si ha
QC
nRTC ln(Vd Vc )
W
TC ln(Vc Vd )
=1−
= 1−
= 1−
ηC =
QH
QH
nRTH ln(Vb Va )
TH ln(Vb Va )
Notiamo che, essendo QC < 0, quando togliamo il modulo dobbiamo
invertire i termini del logaritmo
Utilizziamo ora le trasformazioni adiabatiche per ricavare il valore del
rapporto tra i due logaritmi.
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Trasformazione adiabatica da b a c
nRTH
nRTC
pbVb = pcVc ; pb =
e pc =
⇒ THVbγ −1 = TCVcγ −1
Vb
Vc
γ
γ
Trasformazione adiabatica da d ad a
p aV a
γ
nRT C
nRT H
= p dV d ; p d =
e pa =
⇒ T H V aγ − 1 = T C V dγ − 1
Vd
Va
γ
Dividiamo ora membro a membro le due equazioni trovate
γ −1
γ −1
⎛ Vb ⎞
TH Vb
TCVc
=
⇒ ⎜⎜ ⎟⎟
γ −1
γ −1
TH Va
TCVd
⎝ Va ⎠
γ −1
⎛ Vc
= ⎜⎜
⎝ Vd
⎞
⎟⎟
⎠
γ −1
Vb Vc
⇒
=
Va Vd
Essendo uguali gli argomenti dei logaritmi, come conseguenza, avremo
che sono uguali anche i logaritmi, per cui troviamo
QC
TC
= 1−
ηC = 1 −
QH
TH
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Questo risultato è di grande importanza poiché collega la temperatura
dell’isoterma al calore scambiato durante la trasformazione isoterma.
Quindi possiamo pensare di utilizzare il calore scambiato come misura
della temperatura. Inoltre, come vedremo, la relazione trovata tra calori
e temperature non dipende dalla sostanza utilizzata per il ciclo di
Carnot. Abbiamo così individuato un modo per misurare T che è sempre
riproducibile e che ci permette inoltre di fissare lo zero della scala delle
temperature. Infatti se QC = 0, allora TC = 0, ovvero se un sistema compie
una trasformazione isoterma reversibile in cui non c’è scambio di calore,
allora la T a cui la trasformazione avviene si chiama zero assoluto.
Possiamo allora affermare che allo zero assoluto trasformazioni isoterme
ed adiabatiche coincidono.
Risulta così finalmente definita una scala per la temperatura, che prende
il nome di scala termodinamica e la cui unità di misura è il grado
Kelvin.
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Dimostriamo ora che i due enunciati del secondo principio della
termodinamica sono equivalenti. Proseguiamo per assurdo, ovvero
partiamo negando uno dei due enunciati e dimostriamo che viene negato
anche l’altro, e viceversa. Neghiamo l’enunciato di Kelvin – Planck.
Prendiamo allora una macchina termica che converta in lavoro W tutto il
calore assorbito (|QH|) da una sorgente a T1 > T2 ed utilizziamo il lavoro
ottenuto per far funzionare tra le due sorgenti a temperatura T1 e T2 un
frigorifero che preleva il calore |Q’C| dalla sorgente fredda e cede il
calore |Q’H| alla sorgente calda, avremo la situazione in figura
T1
T1
T1
|QH|
|Q’H | - |QH|
|Q’H|
≡
+
W
W
T2
W = QH
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|Q’C|
T2
|Q’C|
T2
W = QH − QC
'
'
Fisica 1
QC' = QH' − QH
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Abbiamo così costruito un frigorifero che viola il secondo principio nell’
enunciato di Clausius. Vediamo ora di partire negando Clausius e di
verificare che di conseguenza neghiamo anche Kelvin – Planck.
Scegliamo le due macchine in modo che i calori scambiati da ciascuna
con la sorgente fredda siano uguali, |Q’C| = |QC|
T1
T1
T1
|Q’H|
|QH | - |Q’H|
|QH|
+
|Q’C|
T2
Q C' = Q
'
H
W
|QC|
T2
W = QH − QC
≡
W
T2
W = Q H − Q H'
Abbiamo così realizzato la macchina termica perfetta e violato il secondo
principio nell’enunciato di Kelvin-Planck.
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Teorema di Carnot
Nessuna macchina che lavori tra due dati serbatoi ha un rendimento
superiore a quello di una macchina di Carnot che lavori tra gli stessi
due serbatoi
La dimostrazione procede per assurdo. Consideriamo due macchine, una
Di Carnot (C) ed una qualunque (M), che lavorini tra gli stessi serbatoi a
Temperatura TH e TC.
Macchina di Carnot C
Macchina qualunque M
• assorbe |QH| dal serbatoio caldo
• assorbe |Q’H| dal serbatoio caldo
• produce il lavoro W
• produce il lavoro W
• cede il calore |QC| = |QH| - W al
• cede il calore |Q’C| = |Q’H| -W al
serbatoio freddo
serbatoio freddo
• rendimento ηC = W/|QH|
• rendimento ηΜ = W/|Q’H|
Partiamo dall’ipotesi che
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ηC < η Μ
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Avremo
W
W
'
'
< ' ⇒ QH > QH ⇒ QH − QH > 0
QH
QH
Utilizziamo la macchina reversibile di Carnot come frigorifero alimentato
dal lavoro della macchina M, abbiamo così
T1
|Q’H|
W
|Q’C|
T2
|QH|
T1
|QH | - |Q’H|
≡
|QC| - |Q’C|
T2
|QC|
W = QH − QC e W = QH − QC ⇒ QH − QC = QH − QC
'
'
'
'
un motore perfetto
QH − QH' = QC − QC' > 0 Ho realizzato
o
e violato il 2 principio (Clausius)
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Fisica 1
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Quindi l’ipotesi da cui siamo partiti è falsa e possiamo affermare che
ηC ≥ ηM
per ogni macchina M che opera tra gli stessi serbatoi tra cui opera la
macchina di Carnot.
Ci chiediamo ora se tra tutte le possibili macchine di Carnot che operano
tra i serbatoi a T1 e T2, ve ne sia una che ha un rendimento più alto
delle altre.
Consideriamo allora due macchine di Carnot (C1 e C2) che lavorano tra
i due serbatoi T1 e T2 e seguiamo lo stesso schema della dimostrazione
precedente. Utilizziamo la macchina C1 come frigorifero e la C2 come
macchina termica, per il teorema di Carnot appena dimostrato sarà
ηC1 ≥ ηC2
Se adesso invertiamo i ruoli e utilizziamo C2 come frigorifero e C1 come
macchina termica, otteniamo
η ≥η
C2
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C1
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Le ultime due relazioni possono coesistere solo in un caso, ovvero
ηC1 = ηC2
Allora tutte le macchine di Carnot che operano tra due dati serbatoi
hanno lo stesso rendimento, indipendentemente dalla lunghezza delle
isoterme del ciclo e dalla sostanza utilizzata per le trasformazioni
termodinamiche (Corollario al teorema di Carnot).
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