Macchine termiche e frigoriferi Una macchina termica è una macchina che, grazie ad una sequenza di trasformazioni termodinamiche di una data sostanza, produce lavoro che può essere utilizzato. Una macchina solitamente lavora su di un ciclo di trasformazioni e di conseguenza la variazione di energia interna della sostanza utilizzata è nulla, ΔU = 0. Durante un ciclo la sostanza viene posta a contatto con dei serbatoi con i quali può scambiare calore. Globalmente dal punto di vista energetico in un ciclo riconosciamo tre quantità 1. calore assorbito dalla sostanza QH > 0 2. calore ceduto dalla sostanza QC < 0 3. lavoro prodotto W. Abbiamo che ΔU = 0 ⇒ Q - W = 0 ⇒ |QH| - |QC| = W allora |QH| > |QC| ⇒ W > 0 A.A.2009/10 Fisica 1 1 Tutti i cicli compiuti dalla macchina termica sono uguali, definiamo allora il rendimento η o efficienza termica QH − QC QC W η= = = 1− QH QH QH Dato che |QH| > |QC|, η < 1 sempre, per avere η = 1 deve essere |QC| = 0, ciò è però impossibile per il secondo principio della termodinamica. Il secondo principio della termodinamica nell’enunciato di Kelvin – Planck per le macchine termiche afferma Una macchina termica che lavora tra due dati serbatoi non può avere come unico effetto la conversione di tutto il calore assorbito dalla sorgente più calda in lavoro, ci deve essere sempre anche uno scambio di calore (ceduto) con la sorgente a temperatura più bassa, ovvero |QC| ≠ 0 A.A.2009/10 Fisica 1 2 Una macchina frigorifera è una macchina che assorbe calore da un serbatoio freddo (|QC|) e, utilizzando del lavoro fornito dall’esterno, cede calore al serbatoio più caldo (|QH|). Il rendimento di un frigorifero è il coefficiente di prestazione ξ QC ξ= W Dato che |QC| = |QH| - |W|, ξ può essere > 1, ξ non può tuttavia essere ∞, in questo caso infatti dovrebbe essere W = 0, ma questo è proibito dal secondo principio della termodinamica secondo l’enunciato di Clausius Una macchina frigorifera che lavora tra due dati serbatoi non può avere come unico risultato il passaggio di calore dalla sorgente più fredda a quella più calda, è sempre necessario fornire lavoro dall’ esterno A.A.2009/10 Fisica 1 3 La macchina di Carnot La macchina di Carnot è una particolare macchina che lavora su di un ciclo reversibile composto da quattro trasformazioni 1. 2. 3. 4. espansione isoterma da A a B espansione adiabatica da B a C compressione isoterma da C a D compressione adiabatica da D a A Gli scambi di calore avvengono unicamente durante le trasformazioni isoterme, in particolare durante l’espansione il sistema acquista calore Q1 dalla sorgente a temperatura T1 e durante la compressione cede calore Q2 alla sorgente a temperatura T2. Questo particolare ciclo risulta essere di grande importanza in termodinamica. Infatti esso è il ciclo con il più alto rendimento, fra tutti quelli immaginabili una volta scelti i due Serbatoi (teorema di Carnot). A.A.2009/10 Fisica 1 4 Analizziamo ora il ciclo di Carnot compiuto da un gas ideale 1. Espansione isoterma da a a b QH a →b Vb = W = nRTH ln > 0 Va 2. Espansione adiabatica da b a c Q b→c = 0 ⇒ W b→c = −ΔU b→c = − ncV (Tc − Tb ) A.A.2009/10 Fisica 1 5 3. Compressione isoterma da c a d QC c →d =W c→d Vd = nRTC ln < 0 Vc 4. Compressione adiabatica da d ad a Q d →a = 0 ⇒ W d →a = −ΔU d →a = −ncV (Ta − Td ) Pertanto si ha QC nRTC ln(Vd Vc ) W TC ln(Vc Vd ) =1− = 1− = 1− ηC = QH QH nRTH ln(Vb Va ) TH ln(Vb Va ) Notiamo che, essendo QC < 0, quando togliamo il modulo dobbiamo invertire i termini del logaritmo Utilizziamo ora le trasformazioni adiabatiche per ricavare il valore del rapporto tra i due logaritmi. A.A.2009/10 Fisica 1 6 Trasformazione adiabatica da b a c nRTH nRTC pbVb = pcVc ; pb = e pc = ⇒ THVbγ −1 = TCVcγ −1 Vb Vc γ γ Trasformazione adiabatica da d ad a p aV a γ nRT C nRT H = p dV d ; p d = e pa = ⇒ T H V aγ − 1 = T C V dγ − 1 Vd Va γ Dividiamo ora membro a membro le due equazioni trovate γ −1 γ −1 ⎛ Vb ⎞ TH Vb TCVc = ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ γ −1 γ −1 TH Va TCVd ⎝ Va ⎠ γ −1 ⎛ Vc = ⎜⎜ ⎝ Vd ⎞ ⎟⎟ ⎠ γ −1 Vb Vc ⇒ = Va Vd Essendo uguali gli argomenti dei logaritmi, come conseguenza, avremo che sono uguali anche i logaritmi, per cui troviamo QC TC = 1− ηC = 1 − QH TH A.A.2009/10 Fisica 1 7 Questo risultato è di grande importanza poiché collega la temperatura dell’isoterma al calore scambiato durante la trasformazione isoterma. Quindi possiamo pensare di utilizzare il calore scambiato come misura della temperatura. Inoltre, come vedremo, la relazione trovata tra calori e temperature non dipende dalla sostanza utilizzata per il ciclo di Carnot. Abbiamo così individuato un modo per misurare T che è sempre riproducibile e che ci permette inoltre di fissare lo zero della scala delle temperature. Infatti se QC = 0, allora TC = 0, ovvero se un sistema compie una trasformazione isoterma reversibile in cui non c’è scambio di calore, allora la T a cui la trasformazione avviene si chiama zero assoluto. Possiamo allora affermare che allo zero assoluto trasformazioni isoterme ed adiabatiche coincidono. Risulta così finalmente definita una scala per la temperatura, che prende il nome di scala termodinamica e la cui unità di misura è il grado Kelvin. A.A.2009/10 Fisica 1 8 Dimostriamo ora che i due enunciati del secondo principio della termodinamica sono equivalenti. Proseguiamo per assurdo, ovvero partiamo negando uno dei due enunciati e dimostriamo che viene negato anche l’altro, e viceversa. Neghiamo l’enunciato di Kelvin – Planck. Prendiamo allora una macchina termica che converta in lavoro W tutto il calore assorbito (|QH|) da una sorgente a T1 > T2 ed utilizziamo il lavoro ottenuto per far funzionare tra le due sorgenti a temperatura T1 e T2 un frigorifero che preleva il calore |Q’C| dalla sorgente fredda e cede il calore |Q’H| alla sorgente calda, avremo la situazione in figura T1 T1 T1 |QH| |Q’H | - |QH| |Q’H| ≡ + W W T2 W = QH A.A.2009/10 |Q’C| T2 |Q’C| T2 W = QH − QC ' ' Fisica 1 QC' = QH' − QH 9 Abbiamo così costruito un frigorifero che viola il secondo principio nell’ enunciato di Clausius. Vediamo ora di partire negando Clausius e di verificare che di conseguenza neghiamo anche Kelvin – Planck. Scegliamo le due macchine in modo che i calori scambiati da ciascuna con la sorgente fredda siano uguali, |Q’C| = |QC| T1 T1 T1 |Q’H| |QH | - |Q’H| |QH| + |Q’C| T2 Q C' = Q ' H W |QC| T2 W = QH − QC ≡ W T2 W = Q H − Q H' Abbiamo così realizzato la macchina termica perfetta e violato il secondo principio nell’enunciato di Kelvin-Planck. A.A.2009/10 Fisica 1 10 Teorema di Carnot Nessuna macchina che lavori tra due dati serbatoi ha un rendimento superiore a quello di una macchina di Carnot che lavori tra gli stessi due serbatoi La dimostrazione procede per assurdo. Consideriamo due macchine, una Di Carnot (C) ed una qualunque (M), che lavorini tra gli stessi serbatoi a Temperatura TH e TC. Macchina di Carnot C Macchina qualunque M • assorbe |QH| dal serbatoio caldo • assorbe |Q’H| dal serbatoio caldo • produce il lavoro W • produce il lavoro W • cede il calore |QC| = |QH| - W al • cede il calore |Q’C| = |Q’H| -W al serbatoio freddo serbatoio freddo • rendimento ηC = W/|QH| • rendimento ηΜ = W/|Q’H| Partiamo dall’ipotesi che A.A.2009/10 ηC < η Μ Fisica 1 11 Avremo W W ' ' < ' ⇒ QH > QH ⇒ QH − QH > 0 QH QH Utilizziamo la macchina reversibile di Carnot come frigorifero alimentato dal lavoro della macchina M, abbiamo così T1 |Q’H| W |Q’C| T2 |QH| T1 |QH | - |Q’H| ≡ |QC| - |Q’C| T2 |QC| W = QH − QC e W = QH − QC ⇒ QH − QC = QH − QC ' ' ' ' un motore perfetto QH − QH' = QC − QC' > 0 Ho realizzato o e violato il 2 principio (Clausius) A.A.2009/10 Fisica 1 12 Quindi l’ipotesi da cui siamo partiti è falsa e possiamo affermare che ηC ≥ ηM per ogni macchina M che opera tra gli stessi serbatoi tra cui opera la macchina di Carnot. Ci chiediamo ora se tra tutte le possibili macchine di Carnot che operano tra i serbatoi a T1 e T2, ve ne sia una che ha un rendimento più alto delle altre. Consideriamo allora due macchine di Carnot (C1 e C2) che lavorano tra i due serbatoi T1 e T2 e seguiamo lo stesso schema della dimostrazione precedente. Utilizziamo la macchina C1 come frigorifero e la C2 come macchina termica, per il teorema di Carnot appena dimostrato sarà ηC1 ≥ ηC2 Se adesso invertiamo i ruoli e utilizziamo C2 come frigorifero e C1 come macchina termica, otteniamo η ≥η C2 A.A.2009/10 Fisica 1 C1 13 Le ultime due relazioni possono coesistere solo in un caso, ovvero ηC1 = ηC2 Allora tutte le macchine di Carnot che operano tra due dati serbatoi hanno lo stesso rendimento, indipendentemente dalla lunghezza delle isoterme del ciclo e dalla sostanza utilizzata per le trasformazioni termodinamiche (Corollario al teorema di Carnot). A.A.2009/10 Fisica 1 14