CAPITOLO 16 (parte II)

CAPITOLO 16 (parte II)
Modelli di sorgenti volumetriche di campi
bioelettrici
16.1 Introduzione
Le cellule dei tessuti eccitabili (tessuto nervoso e tessuto muscolare) costituscono delle sorgenti di campi
elettrici (brevemente: sorgenti bioelettriche) generato dai processi di eccitazione/inibizione che
contraddistinguono l’attività elettrica di questi tipi di cellule. Le sorgenti bioelettriche possono essere
descritte in termini di distribuzioni di due tipi elementari di sorgenti: monopoli di corrente e dipoli di
corrente. Tali tipologie di sorgenti sono descritte di seguito.
16.2 Monopolo di corrente
La tipologia più semplice di sorgente bioelettrica è rappresentata dal monopolo di corrente (o sorgente
puntuale). Esso consiste in una pura astrazione concettuale (fisicamente irrealizzabile in senso stretto), che,
tuttavia può essere ben approssimato da specifiche situazioni reali: ciò si verifica, in pratica, ogniqualvolta
un campo elettrico assume, in una regione limitata di spazio, una distribuzione analoga a quella ideale di un
monopolo (sorgente equivalente).
Per fornire una descrizione quantitativa di una sorgente monopolare, si consideri una sorgente puntiforme di
corrente, avente intensità Is, situata in un mezzo conduttore isotropo, omogeneo e di volume infinito, avente
conducibilità σ; la corrente fluirà conseguentemente secondo linee uniformi, dirette radialmente. Pertanto,
l’intensità della densità di corrente J che attraverserà una generica superficie sferica di raggio r arbitrario,
concentrica con la sorgente, sarà data da:
J=
Is
4πr 2
(16.1)
Inoltre, il vettore densità di corrente sarà espresso da:
r
I ∧
J= s2r
4πr
(16.2)
Essendo inoltre
r
r
r
J = σE = −σ∇ϕ
(16.3)
si ha:
r
E=
Is ∧
r
4πσr 2
(16.4)
1
Essendo il campo diretto radialmente, le superfici isopotenziali saranno delle sfere concentriche con la
sorgente puntiforme, con valori di potenziale che diminuiscono all’aumentare del valore di r. In particolare,
dalla Eq. (16.3) si ha:
−σ
I
dϕ
= s2
dr 4πr
(16.5)
Pertanto, l’integrazione rispetto ad r (ponendo φ→0 per r→∞) fornisce:
ϕ=
Is
4πσr
(16.6)
Si osservi che l’espressione del potenziale descritto dall’ Eq. (16.6) per una sorgente puntiforme di corrente è
formalmente identica a quella valida il potenziale generato da una carica puntiforme: una espressione è
ottenibile dall’altra sostituendo Is con Qs (intensità di carica elettrica) e σ con ε (permittività dielettrica).
16.3 Dipolo di corrente
Come menzionato sopra, una sorgente monopolare di corrente isolata non è fisicamente realizzabile (per
conservazione della carica); differentemente, un insieme di sorgenti monopolari di corrente positive e
negative sono fisicamente realizzabili, purché, naturalmente, la somma totale delle intensità di corrente sia
nulla. La tipologia più semplice di sorgente costituita da un insieme di monopoli di corrente è il dipolo di
corrente. Un dipolo è costituito da due monopoli (indicati come sorgente e pozzo), separati da una distanza d
e aventi uguale intensità Is ma segno opposto.
Per il principio di sovrapposizione degli effetti, il potenziale generato in un qualsiasi punto posto a distanza
r1 dal prima monopolo e r2 dal secondo è dato da:
ϕ=
Is
4πσ r1
+
(− I s )
I
= s
4πσ r2 4πσ
⎛1 1⎞
I s r2 − r1
⎜ − ⎟=
⎝ r1 r2 ⎠ 4πσ r1r2
(16.7)
Si osservi che la retta ortogonale alla congiungente i due monopoli e passante per il punto medio di essi
appartiene al luogo dei punti φ=0 (riferimento per il potenziale).
Se la distanza tra i due monopoli è molto minore di quella tra ciascun monopolo e il punto di osservazione,
ossia per d<<r1,r2, è lecito assumere:
⎧r1r2 = r 2
⎨
⎩r2 − r1 = d cos θ
(16.8)
dove r indica il valore medio della distanza dei monopoli dal punto di osservazione, mentre θ rappresenta
l’angolo tra il vettore r e la retta passante per i due monopoli. Con tali approssimazioni il potenziale assume
la seguente espressione:
ϕ=
I s d cos θ
4πσ r 2
(16.9)
→
Introducendo la seguente definizione di momento di dipolo p
→
→
p = I0 d
(16.10)
2
quale vettore (orientato dal monopolo negativo a quello positivo) che caratterizza il dipolo, l’Eq. (16.9)
diviene:
ϕ=
1
→ ^
4πσr 2
p⋅ r
(16.11)
Si osservi che, analogamente al caso del monopolo, anche il potenziale generato da un dipolo di corrente è
formalmente analogo a quello di un dipolo di carica.
L’ Eq. (16.11) permette di ricavare l’espressione della differenza di potenziale elettrico generata dal dipolo
tra due qualsiasi punti i,j appartenenti al conduttore volumetrico (Fig. 1):
⎤
⎡
1 ⎢1 → ^ 1 → ^⎥
Vij = ϕ i − ϕ1 =
p⋅ ri − 2 p⋅ r j
⎥
4πσ ⎢ r 2
rj
⎦
⎣
(16.12)
Fig. 1. Potenziali elettrici generati in un conduttore volumetrico da un dipolo di corrente.
Tale espressione risulta particolarmente utile per lo studio di molte sorgenti bioelettriche. A titolo di
esempio, la sua applicazione per lo studio dei biopotenziali cardiaci sarà presentata nei capitoli successivi.
16.4 Corrente transmembrana di un assone
Si consideri un assone cilindrico, di raggio a, interno ad un mezzo conduttore isotropo e omogeneo, di
conducibilità σo ed estensione infinita. Le correnti ottenute dalla distribuzione della corrente transmembrana
in relazione alla generazione/propagazione di potenziali d’azione all’interno dell’assone rendono
quest’ultimo una sorgente bioelettrica, particolarmente significativa. Assumendo che l’assone sia lungo e
sottile, il sistema mostra simmetria assiale e la corrente transmembrana per unità di lunghezza im(x) può
essere scritta in funzione di un’unica variabile assiale x, disposta lungo l’assone. E’ possibile considerare un
elemento infinitesimo di corrente im(x)dx come una sorgente monopolare di corrente all’interno del mezzo
extracellulare. Di conseguenza, il contributo infinitesimo fornito da tale elemento al potenziale extracellulare
φ0 per l’Eq. (16.6) è dato da:
dϕo =
im d x
4πσo r
(16.13)
Il potenziale totale può essere ottenuto integrando l’Eq. (16.13) lungo l’asse dell’assone:
ϕo =
1
4πσo
∫
im ( x )
(x − x )
' 2
'2
+y +z
'2
dx =
1
im (x )
dx
∫
4πσo
r
(16.14)
avendo assunto che la sorgente sia localizzata (rispetto ad una terna cartesiana x,y,z) nel punto (x,0,0) e il
potenziale sia valutato nel punto (x’,y’,z’).
3
Inoltre, da quanto ricavato nel capitolo 15, im può essere scritta in funzione del potenziale di membrana Vm,
nel modo seguente:
∂ 2Vm
= (ri + ro )im
∂x 2
(16.15)
dove ri e ro indicano la resistenza interna ed esterna per unità di lunghezza.
Nell’ipotesi in cui ri >> ro si ha:
1 ∂ 2Vm
ri ∂x 2
im ≅
(16.16)
Quindi, l’Eq. (16.14) può essere scritta come:
ϕo =
1 1 ∂ 2Vm / ∂x 2
1 1
dx =
∫
4πσo ri
4πσo ri ∫
r
∂ 2Vm / ∂x 2
(x − x' )2 + y' 2 + z' 2
dx
(16.17)
Infine, indicando con σi la conducibilità interna all’assone, si ha:
ri =
1 1
σ i πa 2
(16.16)
Pertanto, l’Eq. (16.17) assume la seguente forma:
ϕo =
a 2 σi ∂ 2Vm / ∂x 2
dx
4σ o ∫
r
(16.19)
4