Data la seguente struttura ad albero

ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE “E. Fermi”
- Statistica e Calcolo delle probabilità –
Inferenza Statistica – Esercizi svolti
- A.S. 2012/2013 – Prof. S. CREDIDIO
STIMA PUNTUALE DI UNA MEDIA
1) Da una popolazione di 10.000 sbarre metalliche viene estratto, in blocco, un campione
di 200 elementi. Determinare la lunghezza media delle sbarre sapendo che la lunghezza
media del campione è x =21 (cm), con s=0,5 (cm), e l’errore medio di campionamento.
I dati in nostro possesso sono:
1. La media del campione ( x =21 cm)
2. La deviazione standard del campione (s=0,5 cm).
Poiché la media campionaria è uno stimatore corretto della media della popolazione, possiamo
assumere, quale parametro della stessa,    X  21 cm. L’errore che si commette nella stima
(errore medio di campionamento), è dato dalla deviazione standard della media campionaria, cioè:
X=
X=
2
n
=

n
2 N n
n N 1
, (estrazione Bernouilliana)
=

n
N n
N 1
, (estrazione in “in blocco”)
dove  è la deviazione standard della popolazione che, non essendo in nostro possesso, va stimata
con la varianza campionaria a disposizione. Cioè:
n 2
s
n 1
N 1 n 2
s
s b 2=varianza campionaria corretta nel caso “in blocco” =
N n 1
s B 2=varianza campionaria corretta nel caso “Bernouilliano” =
(come si nota quella “in blocco” è data da quella “Bernoulliana” moltiplicata per
N 1
)
N
In pratica, trattandosi di estrazione in blocco, si ha:
N 1 n 2
10.000  1 200
s =
.
0,25=0,25123……
s b 2=
N n 1
10.000 200  1
s b = 0,25123.......  0,50
X=
2 N n
n N 1
=

n
N n
0,5 10.000  200
 0,03 (errore medio di campionamento)
=
10.000  1
N 1
200
2) Da una popolazione di 3.000 studenti universitari si è estratto un campione di 100
elementi, i cui pesi sono i seguenti:
Pesi
(Kg)
Numero
studenti
62,5
67,5
72,5
77,5
82,5
87,5
92,5
10
14
16
20
18
12
10
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Determinare il peso medio di tutta la popolazione e lo scarto quadratico medio della
media.
Per determinare il peso medio della popolazione basta calcolare il peso medio del campione
(media campionaria), che risulta dato da:
1
n
1
(62,5 *10  67,5 *14  ......  92,5 *10) = 77,4
100
 f i 11
Lo scarto quadratico medio della media, non essendo specificato se si tratta di estrazione
“Bernouilliana” o “in blocco”, va calcolato per entrambi. Per cui procediamo innanzitutto, al
calcolo della varianza e della deviazione standard campionaria, costruendo la seguente
tabella (l’esercizio si presta all’uso del foglio excel…..) :
X=
x
i
* fi =
Peso
62,5
67,5
72,5
77,5
82,5
87,5
92,5
Totale
Numero
10
14
16
20
18
12
10
x i- x
-14,9
-9,9
-4,9
0,1
5,1
10,1
15,1
(xi- x )2
222,01
98,01
24,01
0,01
26,01
102,01
228,01
7.949
Da cui, ricordando il concetto di stima corretta (che si ottiene dividendo per n-1), la varianza
campionaria risulta:
s 2 = 1/(100-1)*
s =

(xi- x )2= 1/99 * 7.949 = 80,29 Kg2
80,29 = 8,96 Kg
Nel caso “Bernouilliano”:
X=
2
n
=

n
=
8,96
100
 0,896 Kg
Nel caso di “estrazione in blocco”:
X=
2 N n
n N 1
=

n
N n
8,96
=
N 1
100
3.000  100
 0,881 Kg
3.000  1
STIMA PUNTUALE DELLA DIFFERENZA TRA MEDIE
1) Da una popolazione di 2.000 pile, si estrae in blocco un campione di 100 pile che
presenta una vita media di 24 ore, con scarto quadratico di ore 1,5.
Da un’altra popolazione di 3.000 pile si estrae in blocco un campione di 200 pile che
presenta una vita media di 22 ore e scarto quadratico di ore 2.
Dare una stima puntuale della differenza media delle durate delle due popolazioni di
pile.
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La differenza delle medie delle due popolazioni viene stimata mediante la differenza delle
medie dei due campioni. Cioè:

 X 1 - X 2 = 24 – 22 = 2 ore
Per le varianze corrette dei due campioni le formule risultano le seguenti:
N1  1 n1
2
s1 = 2.000-1/2.000 * 100/99 *1,52  2,27 ore2
N1 n1  1
N  1 n2
2
s 2 = 3.000-1/3.000 * 200/199 *22  4 ore2
s 2 2= 2
N 2 n2  1
s 1 2=
Per cui le varianze delle medie campionarie saranno:
 X 1 2=
X2
2
 1 2 N1  n1
.
n1
2
N1  1
=
2
s1 N 1  n1
.
= 2,27/99 * 2.000-100/1.999 = 0,0217 ore2
n1 N 1  1
2
N 2  n2
s 2 N 2  n2
.
.
=
=
= 4/199 * 3.000-200/2.999 = 0,0187 ore2
n2 N 2  2
n2 N 2  1
2
Da cui :
2
X1  X 2
=  X 1 2+  X 2 2= 0,0217+0,0187= 0,0404 ore2
Da qui l’errore medio di campionamento:

X1  X 2
=
2
X1  X 2
=
0,0404 = 0,2 ore
Conclusione: la differenza delle medie delle due popolazioni di pile è 2 ore, con errore medio di
campionamento di 0,2 ore (cioè 0,2 * 60 minuti = 12 minuti).
STIMA PUNTUALE DI UNA FREQUENZA
1) Su 500 famiglie di una cittadina, 20 hanno una doppia automobile. Determinare la
percentuale della popolazione che possiede la doppia automobile.
Dalla teoria sappiamo che:
f = frequenza campionaria = x/n = 20/500 = 0,04 famiglie
Per cui, essendo F uno stimatore corretto, avremo che il suo valore, p=K/N, frequenza relativa della
popolazione, può essere assunto pari a 0,04 famiglie. In pratica:
p = f = 0,04 famiglie (parametro della popolazione)
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Riguardo all’errore medio di campionamento, essendo ignoti  p =
p(1  p) N  n
.
n
N 1
corrispondenti valori campionari. Per cui:
Bernouilliano, e  p =
sf =
f (1  f )
=
n
p(1  p)
n
nel caso
nel caso “in blocco”, occorre stimarli mediante i
0,04.0,96
= 0,009
500
Conclusione: dai dati del campione si stima che il 4% della popolazione possiede doppia
automobile, con un errore della stima dello 0,9 %. Se la popolazione di partenza fosse di 100.000
famiglie, 4.000 famiglie avrebbero una doppia automobile, con un errore dello 0,9%.
 Da un’indagine comunale, condotta sulle 3.000 di un determinato paese, riguardo al
possedere un impiego lavorativo, su un campione di 200 elementi è risultato che 90 di
esse lo hanno avuto. Determinare il numero di donne nel comune che possiede un
impiego e l’errore nella stima.
f = frequenza campionaria = x/n = 90/200 = 0,45 donne, cioè il 45%
In pratica:
p = f = 0,45 donne (parametro della popolazione)
Riguardo all’errore medio di campionamento, essendo ignoto  p =
sf =
f (1  f )
=
n
p(1  p)
, avremo:
n
0,45.0,55
= 0,035
200
Conclusione: dai dati del campione si stima che il 45% delle donne della popolazione, cioè
3.000*0,45 = 1.350 donne, possiede un impiego, con un errore nella stima del 3,5 %, cioè
0,035*3000 = 105 (cioè di 105 unità in più o in meno).
****************************** FINE ESERCIZI SVOLTI **************************
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Inferenza Statistica – Esercizi da svolgere
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Esercizi da svolgere:
1) In una comunità di bambini, le età risultano le seguenti:
2, 3, 6, 8, 11.
Dopo aver elencato tutti i possibili campioni di numerosità 2, estraibili da essa con
ripetizione, determinare:
a. media e varianza della popolazione;
b. la distribuzione di probabilità della media campionaria;
c. la media e la varianza della media campionaria, verificando le note relazioni.
Risolvere il problema precedente, nell’ipotesi che il campionamento avvenga senza ripetizione.
[ a) =6 – =10,8 ; b)  X =6 –  X 2=5,4 ]
2) Il peso di 750 piccole lamine ha una distribuzione normale con media m=58 g e scarto
quadratico medio s=0,5 g.
Estratti 20 campioni, di ampiezza 10, calcolare.
a) La media campionaria e lo scarto quadratico medio, nel caso di estrazione
“Bernouilliana”;
b) La media campionaria e lo scarto quadratico medio, nel caso di estrazione “in
blocco”.
[ a)  X =58 –  X =0,3 ; b)  X =58 –  X =0,298]
3) Cinque confezioni di legumi in scatola contengono, rispettivamente, grammi 236, 238, 241,
241, 243 di prodotto sgocciolato.
a) Formare tutti i campioni di dimensione due, senza reinserimento;
b) Calcolare la media della popolazione;
c) Calcolare la varianza e lo scarto quadratico medio della popolazione;
d) Calcolare la media di ciascun campione,
e) Calcolare la media delle medie campionarie;
f) Calcolare la varianza delle medie campionarie;
g) Calcolare la varianza di ciascun campione;
h) Calcolare la media delle varianze campionarie.
[b) =240 c) =6,8 -  ; e)  X =240 –  X 2=2,55 h) 
2
S2
=]
4) Da una popolazione di 1.000 lamine, si estrae in blocco un campione di 125 lamine che
presenta una lunghezza media di 14 cm, con scarto quadratico di cm 2.
Da un’altra popolazione di 2.000 lamine si estrae in blocco un campione di 100 lamine che
presenta una lunghezza media di 1 cm.
Dare una stima puntuale della differenza media delle lunghezze delle due popolazioni
di lamine.
5) Per una fornitura di 2.500 lampadine è stata calcolata la durata media di 1.275 ore, con uno
scarto quadratico medio di 120 ore.
Si estraggono dalla popolazione 200 campioni di 35 lampadine ciascuno.
Determinare media e varianza della media campionaria, sia nel caso do estrazione con
ripetizione che senza ripetizione.
[ a)  X =1.275 –  X 2=411,42 ; b)  X =1.275 –  X 2=405,83]
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Inferenza Statistica – Esercizi da svolgere
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6) Da una popolazione di 10.000 puntine per giradischi, si estrae un campione di 200 puntine
che presenta un peso medio di 5 g, con varianza di 0,09 g2. Stimare il peso medio delle
puntine e dare una stima dell’errore medio di campionamento, sia nel caso Bernouilliano che
non.
[ a)  X =5 –  X =0,0212 ; b)  X =5 –  X =0,0210]
7) Un campione di 10 lampadine ha mostrato una vita media di 1.200 h, ed uno scarto
quadratico medio di 100 h. Stimare la media e lo scarto quadratico medio della popolazione
da cui è estratto il campione.
[ =1.200 - =105,4

8) Un campione di 200 lampadine ha una durata media di 5 mesi e 6 giorni, con uno scarto
quadratico medio di 1 mese e 3 giorni. Un altro campione, di dimensione 300, estratto da
un’altra popolazione di tipo diverso, ha una durata media di 6 mesi e 24 giorni, con uno
scarto quadratico medio di 2 mesi e 9 giorni.
Stimare la differenza media delle due durate, ipotizzando popolazioni infinite e mesi di 30
giorni.
[
X1  X 2
=1,6 – 
X1  X 2
=0,154 ]
9) Su un campione di 300 individui, estratti da una popolazione di 8000 indigeni, 60 sono
risultati positivi al test dell’HIV.
Determinare una stima degli individui affetti dal morbo nella popolazione di partenza, e
l’errore che si commette.
[ p=0,2 – 1.600 individui -  =0,0227 ]
10) Un campione di 15 bulloni presenta un foro di larghezza media 3,2 cm, con scarto di 0,2 cm,
estratti da una scatola di 500 pezzi. Un altro campione, di dimensione 20, estratto da un’altra
scatola di 800 pezzi, ha una larghezza media di 2,8 cm, con uno scarto quadratico medio di
0,15 cm.
Stimare la differenza media delle due larghezze e l’errore medio di campionamento.
[
X1  X 2
=0,4 – 
X1  X 2
=0,063 ]
11) Da una scatola di 600 pile, 25 sono risultate fasulle su un campione, estratto in blocco, di 40
pezzi.
Determinare una stima dei pezzi non utilizzabili nella popolazione di partenza, e l’errore che
si commette nella stima.
[ p=0,625 – 375 pezzi -  =0,074 ]
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