Tesina di Modellistica e Simulazione
Ch.mo Prof. Giovanni Celentano
Giovanni Pugliese Carratelli M58/30
Settembre 2011
Universitá Federico II, Napoli
Sommario
Questa tesina é stata interamente redatta in LATEX 2ε e i diagrammi presentati sono stati sviluppati
con l’ausilio del pacchetto software Matlab/Simulink, i programmi che gentilmente i Prof. G.
Celentano e L. Celentano hanno messo a disposizione con il loro libro e quelli gentilmente illustrati
durante il corso.
3
Indice
Sommario
3
1 Modellazione di un cavo coassiale tramite un filtro RC
1.1 Descrizione e introduzione per la modellazione e simulazione
trasmissione di dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Dal modello fisico alle equazioni nello spazio degli stati . . . . .
1.3 Simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Trasmissione digitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Trasmissione analogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
di un cavo
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
per la
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
2 Motore a corrente continua modello matematico e simulazioni con e senza
controllore
2.1 Descrizione, e introduzione per la modellazione di un motore elettrico in corrente
continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Modello di un motore elettrico in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Modellazione di un alimentatore per reti elettriche europee e americane
3.1 Descrizione e introduzione per la modellazione e simulazione di un alimentatore
3.2 Modello di un alimentatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Alimentatore collegato alla rete elettrica Europea . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Alimentatore collegato alla rete elettrica USA . . . . . . . . . . . . . . .
4 Modello linearizzato di rollio di una nave
4.1 Descrizione e linearizzazione del modello di rollio di una nave
4.2 Simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Simulazioni con mare poco mosso . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Simulazioni con mare agitato . . . . . . . . . . . . . .
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
8
9
9
12
19
19
19
20
.
.
.
.
.
25
25
26
27
27
28
.
.
.
.
31
31
33
34
35
Capitolo 1
Modellazione di un cavo coassiale
tramite un filtro RC
1.1
Descrizione e introduzione per la modellazione e simulazione di un cavo per la trasmissione di dati
In questo capitolo vedremo come sia possibile modellare un cavo coassiale per la trasmissione di
dati( che siano analogici o digitali ), tramite un modello matematico molto semplice: il filtro
Resistenza-Condensatore.
Un cavo elettrico, come tutti i conduttori é soggetto alla seconda legge di Ohm e presenta dunque
una resistenza al passaggio di corrente.1
E’ facile quindi immaginare che se due cavi sono concentrici tra loro, sebbene si provi ad isolarli sará
saranno comunque presenti capacitá parassite. In virdelle considerazioni fatte dunque ragionevole
schematizzare un cavo per la trasmissione come un filtro RC o una successione di tanti filtri RC
per ogni elemento infinitesimo del cavo( in quest’ultimo caso si devono dimensionare le capacitá
e le resistenze in maniera opportuna);nel nostro caso verrá considerato il cavo di lunghezza pari
ad 1m. A questo proposito vedremo come si crea il modello nello spazio degli stati, e mostreremo
delle simulazioni di uso analizzandone limiti, pregi e casi particolari. L’immagine che segue mostra
il modello Simulink usato:
1 resistenza
proporzionale alla lunghezza e inversamente alla sezione
7
Modellazione di un cavo coassiale tramite un filtro RC
1.2
Dal modello fisico alle equazioni nello spazio degli stati
Il modello fisico del cavo comé schematizzabile come un filtro RC come segue.
Consideriamo allora, per avere un rappresentazione in forma i-s-u implicita, che la variabile in
ingresso sia la tensione applicata e l’uscita considerata sia la tensione sulla resistenza RL sulla
destra (detta resistenza di carico). E’ allora facile poter scrivere:
ẋ = −
RC + RL x
u
+
RC RL C
RC C
Da questa equazione si possono facilmente ricavare la matrice dinamica, la matrice degli ingressi,
matrice delle uscite e la matrice ingressi-uscite ( o di trasmissione ) come segue:
i
h
i
h i
h i
h
RC +RL
1
A1,1 = − R
,
B
=
,
C
=
,
D
=
1
0
1,1
1,1
1,1
RC C
C RL C
Definite queste matrici abbiamo una rappresentazione nello spazio degli stati del cavo. Ricordiamo a tal proposito che sebbene questa non sia l’unico modello associabile al nostro cavo nella
pratica la rappresentazione ottenuta e la descrizione fisica del problema vengono fatti coincidere.
Il fatto che piú modelli matematici possano descrivere un singolo sistema fisico corrisponde al fatto che si possono prende in considerazione diverse grandezze fisiche ad esame. Infatti nel nostro
caso abbiamo in analisi le tensioni ma potevamo prendere in considerazione le correnti ad esempio.
Cambiare dunque il valore (e le grandezze fisiche ) delle matrici A,B,C,D corrisponde quindi a fare
8
1.3. Simulazioni
ruotare il sistema di riferimento. Avendo ora illustrato i passaggi per la descrizione matematica
del nostro cavo possiamo adesso concentrarci sulla simulazione del circuito preso in esame.
1.3
1.3.1
Simulazioni
Trasmissione digitale
Iniziamo a descrivere i risultati ottenuti dalle simulazioni partendo supponendo di utilizzare il cavo
per una trasmissione di tipo digitale. Un segnale digitale sebbene sia schematizzabile come un segnale tempo discreto e quantizzato con valori discreti nell’inseme[0, 1] nella realtá della trasmissioni
si ha una corrispondenza tra i livelli logici 0, 1 con delle tensioni ( nel nostro caso 0v, 5v). Per di piú
presenta sempre un certo tempo di salita e un certo tempo di discesa e dunque non é immediato il
passaggio dal valore logico 0 ad 1 e viceversa. L’interpretazione del livello logico puó dunque essere
ambigua nel caso in cui la tensione in uscita dal cavo sia particolarmente bassa; ad esempio: come
si puó interpretare la tensione in uscita da un cavo se questa é pari a 2, 5v? La risposta a questa
domanda risiede nella cacpacitá di alcuni circuiti digitali di ripristinare i livelli logici. Sebbene non
vogliamo analizzare questo aspetto che riguarda altri sistemi ben piú complessi del cavo in esame,
é buona norma cercare di costruire cavi che riducano al minimo le cadute di tensione su di essi;
cadute queste che come giá accennato potrebbero portare ad una cattiva interpretazione dei livelli
logici nelle trasmissioni digitali.
Mostriamo allora delle simulazioni, utilizzando come segnale digitale una onda quadra tra 0v e 5v
ad un certa frequenza e vediamo cosa accade in uscita dal nostro sistema. I parametri utilizzati
sono:
RC = 100, RL = 500, C = 10− 5
Il segnale di ingresso ( per la parte di analisi dell’uso del cavo per trasmissioni digitali resterá
lo stesso) é quello mostrato nella seguente figura:
Con i valori impostati per il sistema il segnale di uscita risulta essere come il seguente:
9
Modellazione di un cavo coassiale tramite un filtro RC
Si osservi come l’ampiezza di questo segnale sia giá piú bassa rispetto a quella del segnale in
ingresso. Si noti anche come il tempo di salita del segnale in uscita sia differente rispetto a quello
del segnale in ingresso cioé é presente un transitorio ( dato in questo caso dalla presenza della
capacitá ) che comporta un tempo di salita (e di discesa)al segnale in uscita. Tuttavia questo
profilo diverso per il segnale ancora non detta forti ambiguit sui livelli logici.
Adesso modifichiamo i valori alcuni valori del sistema e verifichiamo quello che accade al segnale in
uscita, poniamo dunque a tal proposito C = 10− 4ohm aumentando cioé di un ordine di grandezza
la capacitá
Si osservi come giá la variazione della capacitá risulti in una degenerazione totale del segnale in
uscita ed una difficile interpretazione dei livelli logici. E’ anche chiaro che la variazione di capacitá
10
1.3. Simulazioni
di un ordine di grandezza non é apprezzabile su cavi di piccola dimensione ma diventa un fatto
possibile su cavi aventi lunghezze sensibili ( si pensi ad esempio ai cavi usati per le connessione
di rete Ethernet, questi per avere una buona comunicazione possono essere lunghi al massimo 100
metri). Risulta essere quindi molto importante creare buone guaine isolanti al fine di farle resistere
agli agenti atmosferici e cambi di temperatura; migliori sono gli isolanti tanto minori infatti saranno
le capacitá parassite.
Degenerazioni ancora peggiori per trasmissioni digitali si possono avere con variazioni di due
ordini di grandezza della capcitá (C = 10− 3) parassita come mostrato nella seguente immagine:
Visto quanto puó far degenerare la qualitá del segnale con un variazioni delle capcitá parassite
mostriamo cosa accade con una resistenza RC = 75ohm ( resistenza tipica dei cavi per ogni metro
)
Come nel caso di con RC = 100 il segnale, sebbene minimamente distorto nel profilo risulta
ben distinguibile e con ragionevoli valori delle ampiezze.
11
Modellazione di un cavo coassiale tramite un filtro RC
Tuttavia se dovesse per qualunque motivo cresce la resistenza interna ( ad esempio per via di una
variazione di temperatura o uno scarso isolamento)del cavo passando dai tipici 75ohm a circa 250
il segnale non solo perde il profilo originale ma riceve un forte riduzione in ampiezza che potrebbe
ancora una volta portare ad una cattiva interpretazione dei livelli logici a valle del cavo come
mostrato nella prossima figura:
E’ doveroso quindi in questa parte conclusiva fare una osservazione a riguardo del fatto che la
crescita di uno dei due parametri R o C porta il sistema cavo a distorcere il segnale. Questo é
dovuto al fatto che il prodotto 1/RC nel modello preso in esame la cosi detta costante di tempo
del sistema.
1.3.2
Trasmissione analogica
Prendiamo ora il caso che il cavo che é stato modellato venga impiegato nella trasmissione di un
segnale analogico o tempo continuo 2 . In questa circostanza per chiarire al meglio il funzionamento
verranno mostri oltre ai grafici nel dominio del tempo delle evoluzioni del segnale, anche i grafici
della funzione di trasferimento del cavo al variare di parametri. In questa fase iniziale consideriamo
il cavo con i parametri uguali a quelli usati nel primo caso della trasmissione digitale cioé RC =
100, RL = 500, C = 10− 5; consideriamo anche un segnale di ingresso avente questa forma analitica:
u(t) = sin(2π100t) + sin(2π1000t)
e mostrato nel seguente grafico:
2 sebbene il termine analogico e tempo continuo sia usati come sinonimi la differenza é che un segnale tempo
continuo ha il domino del tempo con una inifitá non numerabile di valori ma ció non é detto per le ampiezze; per
segnale analogico invece si intende un segnale che sia un infinitá non numerabile di valori temporali e di ampiezza.
In questo testo vengono usati come sinonimi
12
1.3. Simulazioni
Questo segnale é composto da due sinusoidi a diversa frequenza sommate tra loro. Siccome il
nostro modello del cavo é un modello lineare é possibile applicare il principio di sovrapposizione
degli effetti e dunque l’uscita del sistema risulterá anche essa composta da due sinusoidi sempre
a due frequenze diverse magari con una differenza di fase e/o di ampiezza rispetto all’ingresso.
L’uscita del nostro sistema a questo ingresso visualizza proprio questa variazione di ampiezza (
passa dal valore di circa 1v a circa 0.8) e la soppressione delle sinusoide a 1000Hz 3 ).
Il caso semplice di questo segnale puó essere esteso a segnali ben piú complessi. Un esempio di
grande carattere pratico puó essere quello della trasmissione di un segnale vocale appositamente
3 é
anche presente un differenza di fase sebbene non si visualizzi correttamente nel grafico
13
Modellazione di un cavo coassiale tramite un filtro RC
registrato. E’ chiaro che in realtá il segnale vocale una variazione di pressione dell’aria intorno
alla sorgente del suono; per mettere quindi in ingresso un segnale vocale in un cavo ( o filtro Rc )
é necessario usare un apposito trasduttore ( microfono ), che permette una corrispondenza 1 a 1(
idealmente almeno ) tra il profilo della pressione e una tensione elettrica.
Il profilo del segnale in che dunque verrá messo in ingresso al sistema per la nostra simulazione
(mantenendo i parametri di iniziali ) é quello della registrazione dell’autore di questo testo nel
pronunciare la frase “Salve Professore”. L’immagine che segue mostra il grafico:
Con questi parametri allora l’uscita sará:
E’ evidente che il cavo che stiamo simulando distorce fortemente il segnale vocale registrato (
o almeno un parte di esso, delle componenti armoniche di esso); cioé il segnale vocale in uscita dal
14
1.3. Simulazioni
nostro sistema non corrisponde, a quello messo in ingresso come avveniva nel caso precedente con
la sinusoide. Un ingrandimento permette una migliore interpretazione grafica.
Ecco la prima parte del segnale in ingresso:
e la relativa uscita:
Si osservi da questi grafici come il segnale risulta distorto ed attenuto. Esso risulta distorto solo
in alcune frequenze. Vediamo ora cosa accade variando i paramenti RC lasciando RL inalterato
essendo questo il carico. Poniamo ad esempio RC = 1; in questo caso l’uscita sará:
15
Modellazione di un cavo coassiale tramite un filtro RC
Il semplice passaggio del valore di resistenza da 100 a 1 permette un passaggio del segnale senza
eccessive distorsioni sul cavo. Sono allora evidenti i vantaggi di bassi valori per le capacitá parassite
e delle resistenze interne del cavo che si possono ottenere costruendo cavi di ragionevole sezione e
con buoni isolanti per ridurre le capacitá parassite.
Per chiarire ulteriormente quanto detto é bene introdurre il concetto di banda passante. Questo
concetto é intrinsecamente legato all’uso di strumenti matematici quali le trasformate nello spazio
delle frequenze di cui non si parlerá e dunque verrá dato per scontato il fatto che un segnale possa
essere rappresentato univocamente oltre che nel tempo anche in frequenza.
Guardiamo allora lo spettro del segnale che mettiamo in ingresso al sistema e successivamente
mostriamo il diagramma di Bode della funzione di risposta armonica del nostro cavo, un volta con
RC = 100 ed una volta con RC = 1.
La rappresentazione in frequenza ( il grafico delle ampiezze é il centrale) del segnale in ingresso é:
Si osservi come la parte principale del contenuto spettrale sia nelle frequenze comprese tra 0Hz e
2000Hz Ora guardiamo la funzione di risposta armonica del nostro filtro con RC = 100
16
1.3. Simulazioni
Ora da questi due grafici si capisce una proprietá molto importante, cioé il sistema ( lasciando
perdere i valori della fase ) lascia passare alcune frequenze(o armoniche) ed altre no. Nel caso
appena mostrato le frequenze che non subiscono alterazioni possono considerarsi quelle a partire
da 0Hz fino a circa 1000Hz. Siccome il nostro segnale in ingresso ha componenti spettrali fino a
2000Hz circa quelle nell’intervallo tra 1000Hz e 2000Hz vengono attenuate ed ecco il perché nei
primi grafici del segnale vocale mostrati il segnale in uscita risulta avere un profilo diverso( come
se fosse “meno preciso” ). Il circuito che modella il cavo allora é un filtro in frequenza.
Passiamo ora nel caso in cui RC = 1 il diagramma di Bode della funzione di trasferimento risulta
essere il seguente:
17
Modellazione di un cavo coassiale tramite un filtro RC
Si osservi quindi come le componenti che non vengono attenuate sono quelle fino a 105 Hz ed
essendo le componenti importanti del segnale in ingresso fino a 2000Hz quando esso é posto in
ingresso ad un cavo con RC = 1 non risulta distorto in nessuna delle sue armoniche principali. In
altre parole il cavo presenta un certa banda passante (intervallo di frequenze significative dove non
vengono soresse o ridotte armoniche in ingresso) e questa per una corretta ricezione del segnale in
uscita deve essere sempre maggiore della banda del segnale.
18
Capitolo 2
Motore a corrente continua
modello matematico e simulazioni
con e senza controllore
2.1
Descrizione, e introduzione per la modellazione di un
motore elettrico in corrente continua
In questa parte di questa tesina si vuole costruire il modello matematico di un motore elettrico. Come per tutti i sistemi fisici piú modelli matematici possono rappresentare il sistema fisico. Per modellare questo sistema verrá considerata come variabile di ingresso la tensione ai capi dell’armatura
dello statore e come uscita la velocitá angolare dell’albero.
2.2
Modello di un motore elettrico in corrente continua
Schematicamente é possibile rappresentare la parte elettrica del motore un circuito RL in quanto
sicuramente questa presenterá una resistenza al passaggio della corrente, e gli avvolgimenti(sia dello statore che del rotore) possono essere immaginati come un singolo induttore.Nel circuito appena
descritto vi é poi da tenere presente anche la forza elettro-motrice necessaria al movimento dell’asse(caduta di tensione e nell’immagine che segue). Schematicamente si puó quindi rappresentare il
tutto come nella seguente immagine:
19
Motore a corrente continua modello matematico e simulazioni con e senza controllore
Il modello matematico di tale schema é abbastanza semplice se si considera Va = u1 , la corrente
che scorre nel circuito i = x1 ed Cr = u2 ed ω = x2 . Applicando l’equilibrio elettrico si ha infatti
che:
u1 = Rx1 + Lx˙1 + e
(2.1)
,tenendo a mente poi che la forza elettromotrice puó considerarsi proporzionale alla velocitá angolare si puó riscrivere la precedente equazione come segue:
u1 = Rx1 + Lx˙1 + Kv x2
Oltre alla parte elettrica appena considerata si deve applicare l’equilibrio meccanico all’albero di
rotazione ( che costituisce la parte rotorica); si ha dunque che la coppia motrice Cm é proporzionale
alla corrente e quindi: Cm = Kc x1 . Ma la coppia motrice deve essere bilanciata come segue:
Kc x1 = I x˙2 + Ka x2 + u2
per il secondo principio della dinamica e dove Ka x2 é il termine viscoso é u2 é l’ingresso di
disturbo ovvero al coppia resistente Cr . In conclusione si ha quindi un sistema dove l’uscita si
considera y = x2 . Il sistema é quindi cosi definito:
Kv
u1
R
x1 −
x2 +
L
L
L
Ka
u2
Kc
x1 −
x2 +
x˙2 =
I
I
I
x˙1 = −
2.3
Simulazioni
In questa sezione verranno eseguite delle simulazioni di un motore a corrente continua tramite il
seguente modello Simulink:
20
2.3. Simulazioni
Per effettuare delle simulazioni, si ipotizza uno scenario realistico di utilizzo del motore. Lo
scenario ipotizzato é quello in cui si suppone di usare il motore ( con annessi bracci e leveraggi e
organi meccanici a a valle ) per ottenere forme di pasta asciutta a partire da blocchi di pasta senza
alcuna forma precisa ( processo detto di trafiliatura). La parte descrizione meccanica di tutti i
meccanismi necessari per ottenere l’effetto desiderato non verrá effettuata; basti peró pensare, che
si posso ridurre all’asse del motore tutte le coppie resistenti che si generano nei vari meccanismi a
valle del motore in questione.
Questo tipo di macchinario si trova si a livello industriale che per usi piú “casalinghi”; le immagini
che seguono mostrano entrambi i casi.
Per modellare il carico a cui sará sottoposto il motore si é pensato di modellare la funzione
di coppia resistente ridotta all’asse di rotazione come un segnale detto a dente di sega come
mostrato nella figura che segue:
21
Motore a corrente continua modello matematico e simulazioni con e senza controllore
Il motivo per cui si ipotizza questo segnale é il seguente: la coppia resistente ( ridotta all’asse
del motore ) cresce rapidissimamente nel momento in cui la pasta inizia a passare attraverso i fori
che le daranno forma, e inizia a discendere ( si suppone ) linearmente a man mano che il blocco di
pasta esce dai fori che le daranno forma. Il periodo assunto per questa operazione e di due secondi.
Con questo segnale vogliamo analizzare le differenze presenti in uscita prima considerando il sistema
senza alcun controllo e successivamente con un controllore a relé avente una certa isteresi.
I parametri impostati per il motore sono i seguenti: L = 0, 25H, R = 224ohm, I = 3, 22KgM 2 ,
Kv =,Kc = 2, 6 Kv = 416,Ka = 0, 032
Quando il sistema é senza controllore l’applicazione del carico descritto prima produce un’uscita
come quella della seguente immagine:
Si noti come il sistema é “lento” a rispondere alle variazioni di carico, e come il numero di giri
oscilli sensibilmente lungo i due secondi di applicazione della coppia resistente. Per risolvere questo
problema si puó quindi ricorrere all’uso di un dispositivo detto relé a isteresti realizzando cosi un
controllo a ciclo chiuso sul nostro motore. L’uscita in termini di Rpm assume quindi l’andamento
seguente:
22
2.3. Simulazioni
Si osservi come il relé produca sul numero di giri delle oscillazioni ( nettamente minori in
periodo ed in ampiezza rispetto al precedente caso ) intorno al valore di 1000Rpm. E’ chiaro che
questa situazione migliora di gran lunga la situazione precedente dove l’ampiezza ed il periodo delle
oscillazioni erano sensibilmente maggiori.
Nonostante i vantaggi portati dall’uso del relé si osservi peró che il relé deve essere non solo
bene progettato( in termini di durata o ore di lavoro ) ma anche ben tarato. Infatti l’isteresi del
componente deve essere appositamente dimensionata in modo tale da evitare un numero eccessivo
di oscillazioni attorno al valore desiderato agli Rpm. Una fascia di isteresi molto stretta infatti
produce un fenomeno detto chattering ; il nome di questo fenomeno é dovuto al fatto che i relé nel
momento in cui viene raggiunta una delle due soglie generano un rumore. Con una stretta banda
di isteresi il rumori sono ripetuti ad elevata frequenza assumendo un processo veloce come quello
del motore. Il susseguirsi di rumori assomigliano ad un chiacchiericcio che si puó sentire in una
stanza ( chat infatti in inglese vuol dire chiacchierare, ed ecco da dove proviene il nome).
23
Capitolo 3
Modellazione di un alimentatore
per reti elettriche europee e
americane
3.1
Descrizione e introduzione per la modellazione e simulazione di un alimentatore
Un alimentatore é un componente elettronico in grado di fornire un segnale DC ad una apparecchiatura avendo in ingresso un segnale AC ( tipicamente quello della rete elettrica ). Da alcuni anni
a questa parte gli alimentatori sono in grado di funzionare sia con la tensione della rete europea
a 220V di ampiezza e 50Hz di frequenza sia con le reti americane a 110v di ampiezza e 60Hz di
frequenza.
In questa parte della tesina analizziamo il comportamento di un alimentatore ( anche chiamato
in inglese P.S.U, Power Supply Unit ) modellandolo con una resistenza, un induttore, un condensatore ed un diodo. Il diodo é un componente elettronico a semiconduttore avente la seguente
relazione caratteristica:
id
Vd = ηVt log( + 1)
I0
dove I0 é la corrente inversa,η é un parametro che varia a seconda del processo con cui é costruito
25
Modellazione di un alimentatore per reti elettriche europee e americane
ed in fine VT é una tensione (detta tensione termica) che dipende dalla temperatura e dalla costante
di Boltzmann.
Il legame I − V ( essendo non lineare come si evince dalla precedente immagine) puó essere
modellato come una resistenza del tipo rd (id ); in sostanza il diodo, specie quando in serie con una
resistenza si puó approssimare proprio come una resistenza.
3.2
Modello di un alimentatore
Il modello utilizzato per descrivere un alimentatore é quello descritto in figura.
Applicando i principi di Kirchoff si arriva alle seguenti due equazioni tenendo a mente il legame
tensione-corrente del diodo:
x˙1 =
−Rg x1 − x2 − rd id
x1
x2
x˙2 =
+
y = x2
L
C
Rg C
Il modello cosi ottenuto vieni poi portato in forma di stato e puó essere simulato con il seguente
schema Simulink:
26
3.3. Simulazioni
3.3
Simulazioni
L’alimentatore che verrá in questa sezione simulato ha i seguenti parametri:
C = 8(10− 3),Rg = 350, resistenza diretta del diodo Rd d = 350,resistenza inversa del diodo Ri d =
1000, resistenza di carico R = 100.
3.3.1
Alimentatore collegato alla rete elettrica Europea
Il primo scenario di simulazione sará quello in cui l’alimentatore é collegato alla rete elettrica
europea e dunque il segnale di ingresso avrá la seguente forma analitica:u(t) = 220sin(2π50t)
Il grafico di questo segnale é riportato nella figura seguente.
L’uscita corrispondente a questo segnale di ingresso e la seguente:
27
Modellazione di un alimentatore per reti elettriche europee e americane
Si osservi come il sistema produca in uscita un segnale che oscilla intorno a 12V . Si noti anche
come le oscillazioni siano abbastanza ridotte e dunque il sistema si comporta abbastanza bene e le
presentazioni sono accettabili. Questo é quasi un segnale DC; con lo schema usato infatti é giá un
buon risultato.Per eliminare le oscillazioni si dovrebbero utilizzare schemi elettronici piú complessi.
Mostriamo anche il segnale della corrente erogata con il grafico che segue:
3.3.2
Alimentatore collegato alla rete elettrica USA
Questo secondo scenario di simulazione sará quello in cui l’alimentatore é collegato alla rete elettrica
degli stati uniti (USA) e dunque il segnale di ingresso avrá la seguente forma analitica:110sin(2π60t).
Il grafico di questo segnale ŕiportato nella figura seguente.
28
3.3. Simulazioni
L’uscita corrispondente a questo segnale di ingresso é la seguente:
E’ da osservare come l’ampiezza del segnale si sia ridotta di circa la metá grazie al fatto che
abbiamo modellato un sistema lineare.
Stesso cosa per la corrente:
29
Modellazione di un alimentatore per reti elettriche europee e americane
In conclusione é bene chiarire come in queste simulazioni ci si sia concentrati maggiormente ad
ottenere un profilo di tensione almeno simile ad uno a DC rispetto ad avere una elevati valore di
corrente erogata.
30
Capitolo 4
Modello linearizzato di rollio di
una nave
4.1
Descrizione e linearizzazione del modello di rollio di una
nave
Si vuole in questa sezione del documento costruire un modello che descriva il comportamento di
rollio di una nave. Per i passaggi che seguiranno ci riferiremo alla seguente figura:
Il moto di rollio é modellabile in termini angolari come:
I ϕ̈ = M
(4.1)
Indicando con G il centro di gravitá ( baricentro della parte non immersa, o anche detta opera
morta) e con P il peso (uguale alla spinta) della nave il momento MP dovuto al peso della nave é
calcolabile con la seguente relazione:
1
MP = −P [r(1 + tg 2 ϕ) − a]sinϕ
2
(4.2)
ove r é il raggio metacentrico (cioé la distanza sottesa tra il centro di spinta - il baricentro della
parte sommersa - e il centro di gravitá) ed a la quota del baricentro di tutta la nave ( anche detto
31
Modello linearizzato di rollio di una nave
centro di gravitá).
Il momento dato dal baricentro é invece dato dalla seguente equazione:
Ma = −Ka1ϕ ϕ̇ − Ka1ϕ ϕ̇2 sign(ϕ̇)
(4.3)
E’ possibile dunque considerare come modello per la descrizione del rollio della nave la seguente
equazione:
1
I φ̈ + Ka1ϕ ϕ̇ + Ka2ϕ ϕ̇2 sign(ϕ̇) + P [r(1 + tg 2 ϕ) − a]sinϕ = u + d
(4.4)
2
E’evidente che si tratti di un modello non lineare e dunque di non facile integrazione. Facendo
ulteriori ipotesi semplificative si puó arrivare alla seguente equazione differenziale lineare ed a
coefficienti costanti:
ÿ + a1 ẏ + a2 y = b(u + d)
(4.5)
I coefficienti di questa equazione sono
b=
1
Ka1
P (r − a)
, a1 =
, a2 =
I
I
I
(4.6)
Dove u é l’eventuale segnale di controllo, e d é il disturbo prodotto da onde vento etc.
Il segnale di controllo per una nave tipicamente agisce sul movimento di alcuni profili ( che immersi
in un fluido sono soggetti alla teoria dei profili portanti )che permettono (solo in condizioni di
avanzamento della nave ) di stabilizzarne il rollio.
La seguente immagine mostra i profili della nave:
Oltre al segnale di controllo nel sistema descritto vi é anche un ingresso di disturbo, come ad
esempio puø’ essere il momento generato moto ondoso. Il moto ondoso é descrivibile come un
sinusoide avente la seguente forma:
32
4.2. Simulazioni
2
dove l’altezza dell’onda da considerare é 2A0 e k = ωg . Con questo tipo si ’segnale’ del mare si
dimostra che il momento risultante da mettere in ingresso al modello di rollio della nave é:
1
ρB 2 LA0 ω 2
(4.7)
12
dove B é la larghezza della nave, ρ la densitá dell’acqua ed ω la pulsazione delle onde. Si
√
osservi come se la pulsazione del moto ondoso si avvicina a quella di rollio ωr = a2 anche piccole
ampiezze delle onde producano sensibili rollii.
d = M0 =
4.2
Simulazioni
In questa sezione verranno mostrate alcune simulazioni del moto di rollio di una nave con il modello
linearizzato introdotto nel precedente paragrafo. Le simulazioni sono state effettuare utilizzando
esclusivamente l’ambiente Matlab con il sistema di integrazione di equazioni differenziali ODE45.
Si allega il codice utilizzato sia per la definizione dei parametri che per la risoluzione dell’equazione.
function pdot = nave(t,p)
B=3;%larghezza
L=10;%lunghezza
P=2000;%peso
r=5;%raggio meta centrico
a=2.5;%altezza baricentro
A_0=2;%semi altezza onda
I=7; % momento di inerzia
ro=1000;%densit dell’ acqua
ka1=5;%costante attrito
a_1 = ka1/I; %paramentro derivata prima
a_2 = (P*(r-a))/I;%parametro funzione y
b=1/I;%costante b
w=sqrt((a_1/b)/(I))%0.5; variabile tra 1/2 e w_r
k=w^2/9.81;%definizione di k
M_0=(1/12)*B^2*L*A_0*w^2*ro;%momento di disturbo
d=1/b*M_0*sin(w*t-k*0);%funzione forzante del sistema
pdot = zeros(size(p));
33
Modello linearizzato di rollio di una nave
pdot(1) = p(2);
pdot(2) = d - a_1*p(2) - (a_2)*p(1);
[t,p] = ode45(’tt’,[0 200],p0);
plot(t,p)
4.2.1
Simulazioni con mare poco mosso
I dati per la simulazione sono evidenziati nel codice. I due segnali di ingresso usati hanno entrambi
una semi altezza dell’onda pari ad A0 = 2. Si vuole allora mettere in mostra la differenza di
comportamento che si evidenzia al solo variare della lunghezza d’onda o di periodo con un onda
che investe la barca di traverso. Il grafico del segnale di ingresso, ovvero del momento disturbante
con ω = 0.5 é il seguente:
L’uscita corrispondente in termini di angolo di rollio é la seguente:
34
4.2. Simulazioni
Le oscillazioni con questo tipo di moto ondoso non sono significative e sebbene la situazione
sia migliorabile con l’uso degli stabilizzatori, é ancora possibile una navigazione senza eccessivi
pericoli.
4.2.2
Simulazioni con mare agitato
Radicalmente diversa diventa la situazione si ha quando la pulsazione del moto ondoso si avvicina
a ωR e la semi ampiezza resta invariata. I due grafici che seguono mostrano prima l’ingresso in
termini di momento e successivamente l’inclinazione.
Si osservi come ora l’angolo di rollio sia ben oltre i 90 rendendo la navigazione sia pericolosa
che scomoda. Una situazione ancora peggiore si ha con una semi altezza delle onde pari a A0 = 4(
conω = ωR ) dove la nave addirittura si capovolge come nella seconda immagine che segue!
35
Modello linearizzato di rollio di una nave
36
