Lezione 1 - I blog di Unica

Il campo magnetico
Così come il campo elettrico è generato da una carica
ed esercita una forza su una carica, il campo magnetico
è generato da, ed esercita forza su due diverse entità:
 un magnete
 una particella carica in movimento.
Nella vita quotidiana siamo circondati da fenomeni
magnetici: che utilizziamo per le più svariate
applicazioni:
Scorie di ferro raccolte da
un magnete in acciaieria
 le vecchie cassette musicali e video.
 I lettori CD e DVD
 Gli hard disk nei computer;
 Microfoni di cuffie, TV, computer, telefoni.
 Nelle automobili: iniettori benzina, finestrini
elettronici
 Allarmi di sicurezza, citofoni, chiusura e apertura
automatica delle porte
Cosa produce un campo magnetico ?
Potremmo pensare che come il campo elettrico è prodotto dalla carica elettrica, anche
il campo magnetico sia prodotto da una carica magnetica, ma non è così !!
Il campo magnetico può essere prodotto in 2 modi:
B
 Da cariche elettriche in movimento; ad esempio la
corrente in un circuito.
Dallo SPIN delle particelle elementari (ad esempio gli
elettroni stessi)
SPIN: proprio come massa e la carica, lo spin è una
proprietà fondamentale delle particelle elementari
Lo spin si raffigura come una rotazione della particella
attorno al proprio asse, che dà origine ad un momento
di dipolo magnetico (indicato dalla freccia viola) in
grado di generare un piccolissimo campo magnetico
attorno a sé
Girando in senso orario o antiorario, lo spin può essere
orientato ‘up’ oppure ‘down’
Campo magnetico nella materia
N
N
 normalmente gli elettroni negli orbitali
atomici si accoppiano a due a due con spin
opposti, cosicché loro il campo magnetico
risultante si cancella; questo è un bene:
immaginate se il nostro corpo fosse una
calamita: ogni volta che passiamo davanti al
frigo rimarremmo attaccati alla porta…
 In alcuni materiali una porzione degli
elettroni rimane spaiata: c’è un momento
di spin risultante su ciascun atomo. Se gli
spin sono orientati casualmente, il
momento magnetico risultante è nullo, ed il
materiale si dice paramagnetico.
 In alcuni casi gli spin si allineano
concordemente, dando vita ad un campo
magnetico macroscopico: il materiale si
dice ferromagnetico. Dunque un magnete
è un materiale con gli spin tutti
concordemente allineati.
Forza del campo magnetico
Il campo magnetico (B) esercita una forza (detta forza di Lorentz) su una
particella di carica q che si muove con velocità v:

 
F  qv  B
q

 q0
F
q0
 
vB
si dice prodotto vettore
Il prodotto vettore è orientato perpendicolarmente
ad entrambi i vettori velocità e campo magnetico.
Dunque la direzione della forza esercitata da un
campo magnetico su una particella carica è sempre
perpendicolare sia al campo magnetico che alla
velocità della particella
Il verso di F è dato dalla regola della mano destra: se
v è diretta lungo l’indice e B lungo il medio, F sarà
orientata verso il pollice se q > 0, in verso opposto al
pollice se q < 0.
Forza del campo magnetico

 
F  qv  B
 0

v
q
Il modulo (intensità) della forza è dato dal prodotto
dei moduli di carica, velocità, e campo, moltiplicato
per il seno dell’angolo formato dai vettori v e B:

F  q v B sin   q A

B
  180o

v

B
A: area del parallelogramma
formato dai vettori v e B
Dunque se v e B sono paralleli, concordi o
discordi, la forza di Lorentz è nulla; dati v e B, la
forza massima si ha quando questi sono
perpendicolari; in tal caso:
F  qvB
Forza del campo magnetico
Camera a bolle per la
rilevazione del moto
di particelle cariche
La forza di Lorentz non ha mai una componente diretta
parallelamente alla velocità, e dunque il campo magnetico non
può mai cambiare il modulo di v e di conseguenza l’energia
cinetica della particella. Il campo magnetico può soltanto
cambiare la direzione della particella.
In figura sono mostrate le tracce di 2 particelle cariche, un
elettrone (-e) ed un positrone (+e) generate in una camera a
bolle riempita di idrogeno liquido da una raggio gamma
(radiazione elettromagnetica di alta energia) che viaggia con
velocità v; nella camera c’è un forte campo magnetico B
perpendicolare al piano, diretto nel verso uscente dal foglio.
B
-e
-e
+e
v
Il raggio gamma non lascia traccia all’interno della
camera perché neutro, ma quando si scontra con gli
atomi di idrogeno si disintegra, generando una
coppia (+e, -e); a causa della forza di Lorentz le
cariche percorrono orbite circolari, il cui verso di
rotazione dipende dal segno della carica, secondo la
regola della mano destra: l’elettrone ruota in senso
antiorario, il positrone in senso orario
Unità di misura del campo magnetico
Nel Sistema Internazionale l’unità di misura del campo
magnetico è il Tesla (T), in onore del grande scienziato e
inventore serbo. Dalla formula di Lorentz segue che un Tesla è
uguale a Newton per secondo su Coulomb per metro:
Nikola Tesla
(1856 –1943)
B  F   1T  Nm  N
qv
Am
C
s
Un’altra unità storicamente molto utilizzata
4
1
Tesla

10
Gauss
per esprimere il campo magnetico è il Gauss:
Linee del campo magnetico
Possiamo rappresentare il campo magnetico mediante linee di campo, similarmente al
caso del campo elettrico (vediamo in figura il campo di una barretta magnetica):
 In ogni punto della linea, la direzione della tangente in quel punto determina la
direzione del campo magnetico
 La spaziatura delle linee indica l’intensità del campo: più le linee sono vicine più il
campo è forte
A differenza dell’elettricità, che è prodotta da due
entità distinte (cariche positive e cariche negative), il
magnetismo è prodotto da un’entità unica e
indivisibile: il dipolo magnetico. Ne segue che:
Tutte le linee formano percorsi chiusi (anche quelle
non mostrate in fugura): escono sempre da un polo
(detto polo nord) ed entrano nell’altro polo (polo sud).
Dalla densità delle linee si vede che il campo
magnetico è più intenso vicino ai poli che non nella
regione intermedia vicino la superficie della barretta
Indipendentemente dalla forma, sperimentalmente si
trova sempre che poli opposti si attraggono, poli
uguali si respingono
Linee del campo magnetico
Altre due forme molto comuni di campo magnetico sono:
 Il ferro di cavallo: le linee di campo sono approssimativamente circolari
 Il magnete a forma di C: il campo tra i poli è uniforme
Il campo magnetico terrestre
La terra ha un suo campo magnetico, prodotto dal nucleo terrestre (costituito da
Ferro liquido ad altissima T) per ragioni ancora ignote. La presenza del campo
magnetico è immediatamente verificabile mediante la bussola, che essenzialmente è
un aghetto magnetico libero di ruotare attorno ad un perno centrale: l’ago si allinea
parallelamente al campo, e così ci indica la direzione
sulla superficie terrestre:
B  104 T  1Gauss
Due cose da notare in figura:
Le linee di campo ENTRANO nel
nord geografico ed ESCONO dal sud
GEOGRAFICO: dunque quello che
chiamiamo ‘polo nord’ è in realtà il
polo sud magnetico, e viceversa
L’asse magnetico non è esattamente
allineato all’asse polare geografico: c’è
un angolo di 11.5o di differenza.
Problema 28.1
Siamo in un Laboratorio: un protone entra nella camera in
direzione Sud  Nord con velocità v ed energia cinetica di
8.510-13 J. Un campo magnetico uniforme di intensità
B=1.210-3 T, è diretto verso l’alto (i punti verdi indicano le
linee di flusso che attraversano il piano della figura).
x

 
F  e v  B  e v B xˆ
Calcolare la forza FB esercitata dal campo magnetico sul
protone, ricordando che la massa del protone è 1.6710-27
Kg (si trascuri il campo magnetico terrestre)
Ricordiamo che: il campo magnetico cambia la direzione
della particella, ma NON può mai cambiare il modulo della
velocità
1
2 Ek
17 1013 J
2
7 m
Ek  mPv  v 

 3.2 10
27
2
mP
1.67 10 Kg
s
F  1.6 1019C  3.2 107
m
1.2 103T  6.14 1015 N
s
Effetto Thomson e la scoperta dell’elettrone
 In figura vediamo un tubo a raggi catodici (in pratica il vecchio televisore con
schermo di vetro), inventato da J.J. Thomson nel 1897 all’Università di Cambrige, che
diede la prima dimostrazione dell’esistenza dell’elettrone.
 Particelle cariche (che adesso sappiamo essere elettroni) vengono emesse da un
filamento incandescente ed accelerate dal campo generato da V; il raggio elettronico
attraversa la fenditura C e viaggiando in linea retta arriva al centro dello schermo, dove
colpisce una sostanza fluorescente generando un segnale luminoso.
 Utilizzando il campo elettrico di un condensatore piano e il campo magnetico
generato da una bobina, il raggio elettronico viene deflesso verticalmente; dalla
misura della deflessione Thomson calcola il rapporto tra massa e carica dell’elettrone
Effetto Thomson e la scoperta dell’elettrone
y
FE  e E
FB  e vB
Thomson procede nel modo seguente:
1) Applica soltanto il campo elettrico, e misura
la deflessione lungo y del raggio elettronico
(abbiamo già ricavato la formula nel caso della
stampante a getto d’inchiostro):
Applicando la regola della mano
destra per cariche negative, si ha
che la forza magnetica sugli
elettroni è diretta in verso
opposto alla forza elettrica. Le
crocette verdi indicano campo
magnetico entrante nella pagina
at
 eE  L 
y

 
2  2m  v 
2
2) Applica un campo magnetico d’intensità tale da
compensare esattamente la forza elettrica ed annullare
la deflessione. Dalla condizione di deflessione nulla ricava
il valore della velocità del raggio elettronico lungo x:
3) sostituendo la formula (2) nell’espressione (1):
E  vB  v 
2
E
B
(1)
(2)
e B 2 L2
m B 2 L2
y
 
2m E
e 2 yE
Effetto Thomson e la scoperta dell’elettrone
m B 2 L2

e 2 yE
Tutte le quantità del membro di destra sono note: L è la lunghezza dei piatti del
condensatore, y la deflessione dovuta al solo campo elettrico, B il valore del campo
magnetico che compensa la deflessione dovuta al campo elettrico. Dunque il rapporto
m/e è totalmente determinato
Thomson scopre una cosa clamorosa: il rapporto m/e è qualche migliaio di volte più
piccolo dell’entità più leggera allora conosciuta, ovvero l’atomo di idrogeno!!
me 
mp
1836.15
Effetto Hall
Edwin Herbert Hall
(1855 -1938)
Abbiamo visto che un raggio di elettroni che viaggia nel vuoto può
essere deflesso dal campo magnetico. Possiamo chiederci se
anche la carica che viaggia spinta dal campo elettrico con
velocità di drift all’interno di un conduttore sia deflessa dal
campo magnetico.
La risposta è affermativa, come dimostrato nel 1879 da Edwin H.
Hall, uno studente di dottorato di 24 anni della Johns Hopkins
University (in seguito divenne Professore ad Harvard).
L’esperimento Hall, è uno dei più importanti della storia della fisica della
materia, e ancora oggi, a distanza di quasi 140 anni, è uno degli
esperimenti fondamentali che si compiono quando si studia un materiale
conduttore. Perché è così importante?
1) Ci permette di stabilire se la carica di un conduttore è positiva o
negativa, ovvero se le cariche mobili sono elettroni di valenza (+) o di
conduzione (-)
2) Ci permette di stimare la densità di carica, ovvero la quantità di
portatori per unità di volume
Effetto Hall su cariche negative
All’equilibrio:
Effetto Hall
 Una corrente di elettroni di conduzione (-) si muove lungo
un nastro di rame con velocità di drift vd
 Un campo magnetico B entrante nella pagina deflette gli
elettroni verso il bordo di destra
 Gli elettroni accumulati progressivamente a destra
lasciano scompensata una corrispondente quantità di carica
positiva sul bordo di sinistra: si genera un doppio strato
 Il doppio strato genera un campo elettrico E trasversale
alla corrente; il campo esercita una forza sugli elettroni
opposta a quella del campo magnetico
 all’equilibrio, forza elettrica e magnetica si compensano
e la deflessione è annullata; da questo momento le cariche
del doppio strato si muovono lungo la striscia con velocità vd
 Se le cariche in moto fossero positive (elettroni di
valenza) ? Campo magnetico ed elettrico avrebbero verso
opposto, così come la differenza di potenziale tra i due strati
l
d
A
-
+
+ 
FE
+
+ 
+ FB
+
+
+

B
+
i
Effetto Hall
Se E è il campo elettrico trasversale alla direzione
della corrente, la differenza di potenziale tra i due
strati di carica è:
All’equilibrio, l’uguaglianza delle
forze elettrica e magnetica dà:
V  Ed
E
e E  e vd B  vd 
B
Ricordiamo che la definizione generale
di velocità di drift è:
vd 
Qui A è l’area della sezione attraversata dalla
corrente nella striscia (l’area rossa in figura)
J
i

n e An e
Adl
E J
BJ
1

n

Mettendo insieme i risultati:
B ne
eE eRH
E EA Vl


Si definisce coefficiente di Hall: RH 
JB iB iB
RH è dato da quantità facilmente misurabili; il segno di RH ci dice se i portatori sono
cariche + o -; l’inverso di RH ci dà la densità di portatori nel conduttore.
Carica in moto circolare
Una particella si muove di moto circolare uniforme
(velocità costante in modulo) se la forza agente sulla
particella è costante, perpendicolare alla velocità
della particella, e diretta verso il centro (forza
centripeta). Un sasso legato ad una corda e fatto
roteare nel piano, o un satellite in orbita circolare
attorno alla Terra, sono esempi di forza centripeta.
Un altro esempio è mostrato in Figura: un raggio di
elettroni è iniettato in una camera chiusa da un
cannone elettronico (G). Gli elettroni entrano con
velocità v parallela al piano del foglio, e sono
accelerati da un campo magnetico B uniforme
diretto in senso uscente dal foglio.
La forza magnetica deflette continuativamente gli elettroni, e poiché velocità
dell’elettrone e il campo magnetico sono sempre perpendicolari tra loro, l’elettrone
esegue una traiettoria puramente circolare. La traiettoria è visibile in foto poiché gli
atomi del gas presenti nella camera emettono luce quando collidono con gli elettroni
in moto circolare
Cinematica del moto circolare uniforme

v
r
v2
mv
ma  m  q vB  r 
r
qB
-
a

B
Il raggio r dell’orbita è proporzionale al modulo di v
(maggiore la velocità, più grande è il circolo compiuto) e
inversamente proporzionale al campo magnetico
Il periodo T (tempo di
percorrenza di un giro) è

r  B
a
 +
v
2 r 2 mv 2 m
T


v
v qB
qB
La frequenza (numero di giri
compiuti nell’unità di tempo) è
qB
1
 
T 2 m
E’ più comunemente definita
frequenza la quantità:
qB
  2 
m
NB: T, , e  dipendono dal rapporto q/m ma non da v (a
patto che v sia molto minore della velocità della luce,
altrimenti dobbiamo considerare effetti relativistici).
Problema 28.3
v0
L
In Figura è rappresentato uno spettrometro di massa,
utilizzato per misurare la massa di particelle cariche.
Una particella di massa m ignota e carica q= 1.6  1019 C è emessa dalla sorgente S e accelerato dal
potenziale V=1000 V. La carica entra nella camera
attraverso una fenditura e viene deflessa dal campo
B=80 mT perpendicolare al moto; la carica colpisce
una lastra fotografica nel punto distante x=1.6254 m
dalla fenditura. Calcolare m in unità di massa atomica
u (1 u = 1.6605 10-27 kg = Massa del C12/12)
Dal moto circolare uniforme si ha:
q Bx
x mv
r 
m
2 qB
2v
L’unico dato mancante è il modulo della velocità della particella; poiché v non cambia a
causa del campo magnetico, esso sarà uguale alla velocità d’ingresso v0 della particella
nella fenditura. Nel tratto L che separa la carica dalla fenditura, l’accelerazione è
costante e la velocità lineare nel tempo:
q
qV
a E
; v  at;
m
mL
1 2
y  at
2
Problema 28.3
q= 1.6  10-19 C; V=1000 V; B=80 mT ; x=1.6254 m (1 u = 1.6605 10-27 kg)
Calcoliamo il tempo t0 impiegato dalla carica per
arrivare alla fenditura:
1 2
2L
L  at0  t0 
2
a
2qV
v0  at0  2 La 
m
Da cui si ricava la velocità v0 d’ingresso nella
camera
qBx
qB 2 x 2
m
m
2v0
8V
Sostituendo v0 nell’espressione della massa:
1.6 1019 C  6.4 103T 2  2.64m2
25
2
m

3
.
38

10
Kg

2
.
05

10
amu
3
810 V
2
2
2
m2CT 2 m2C  Ns 
m  Ns 
m  Ns 
s2


 
      N  Kg
V
V  Cm  C V  m 
N m 
m
m
Traiettoria elicoidale
Se la velocità d’ingresso della particella nel
campo magnetico ha una componente
parallela al campo, il moto della particella
sarà elicoidale, ovvero circolare nel piano, e
rettilineo uniforme nella direzione di B
  
v  v  v||
v  v sin  v||  v cos 
La componente parallela determina il
passo dell’elica, ovvero la distanza tra due
spire adiacenti; la componente
perpendicolare determina il moto
circolare uniforme nel piano
Problema 28.4
Un elettrone (m=9.11  10-31 Kg) con energia cinetica
E=22.5 eV si muove in un campo magnetico uniforme
B=4.55  10-4 T; l’angolo tra campo magnetico e
velocità è = 65.5°; calcolare il passo p della traiettoria
ad elica compiuta dall’elettrone
Dall’energia cinetica ricaviamo il modulo della velocità,
e dall’angolo la sua componente parallela al campo:
2 Ek
2 Ek
v
 v|| 
cos 
m
m
45 1.6 1019 J
m
0
6
6 m
v|| 
cos 65.5  2.8 10  0.4  1.16 10
31
9.1110 Kg
s
s


Problema 28.4
Un elettrone (m=9.11  10-31 Kg) con energia cinetica
E=22.5 eV si muove in un campo magnetico uniforme
B=4.55  10-4 T; l’angolo tra campo magnetico e
velocità è = 65.5°; calcolare il passo p della traiettoria
ad elica compiuta dall’elettrone
m
v||  1.16 10
s
6
Essendo la velocità parallela costante, essa è
uguale al rapporto tra passo e periodo, per cui
p
2 m 2 1.16 106  9.111031
v||   p  v||T  v||

m  9.12 cm
19
4
T
qB
1.6 10  4.55 10
 m
Ns Kg
qB    v   m
m
s
 qB 
La bottiglia magnetica
z
In figura vediamo la traiettoria
di una particella carica in un
campo magnetico non
uniforme; la particella (q>0) si
muove a spirale da sinistra a
destra; le linee di forza di B si
addensano agli estremi dove B
è più intenso. Con B aumenta la
frequenza di rotazione e
diminuisce il raggio
Notiamo che il campo magnetico in figura cambia di direzione lungo la linea di flusso;
di conseguenza FB, essendo perpendicolare a B, non è più parallela al piano di
rotazione (in viola) ma ha una componente lungo l’asse z; nella regione di destra FB,z è
negativa, per cui se B è abbastanza intenso, la particella può frenare e ritornare
indietro lungo lo stesso moto elicoidale; nella regione di sinistra FB,z è positiva, dunque
la particella può invertire il moto lungo z e tornare verso l’interno del tubo di flusso;
nel piano il verso del moto circolare resta invariato, si inverte soltanto la direzione
perpendicolare al piano. Questa particolare conformazione di campo magnetico si dice
bottiglia magnetica, poiché è in grado di intrappolare le particelle cariche in un moto
elicoidale oscillatorio perpetuo.
Le fasce di van Allen
Il campo magnetico terrestre intrappola
elettroni e protoni emessi dal sole che
raggiungono la terra: queste particelle entrano
nel campo magnetico, e spiraleggiando si
muovono lungo le linee di flusso, rimbalzando
da un polo all’altro in pochi secondi
Accumulandosi nella regione mediana, le
particelle formano le fasce di Van Allen,
regioni di forma toroidale dense di particelle
cariche, le quali scontrandosi tra loro emettono
radiazione elettromagnetica di alta energia.
La fascia più interna si estende tra 1000 a 6000
Km di altitudine, e contiene concentrazioni di
elettroni con energie di centinaia di keV e
protoni che superano i 100 MeV
I pannelli fotovoltaici, i circuiti integrati e i sensori dei satelliti in orbita possono
rimanere danneggiati dalla radiazione, per cui il posizionamento di un satellite tenta il
più possibile di evitare la presenza delle fasce di Van Allen. I sensori del telescopio
spaziale Hubble vengono spenti quando l'apparecchio attraversa la fascia interna.
L’aurora polare (boreale o australe)
La comparsa di macchie solari segnala l’espulsione dal
Sole di grandi quantità di particelle, che viaggiano
nello spazio (vento solare). Queste raggiunge la Terra
in 50 ore a velocità 400-800 km/s. Il campo terrestre
funziona come scudo, proteggendo la Terra, ma a
causa della grande quantità di carica, può formarsi un
campo elettrico che annulla la riflessione ai poli e
permette al vento solare di penetrare la magnetosfera
e interagire con la ionosfera (100 – 500 km); le
particelle cariche colpiscono gli atomi dell'atmosfera
che diseccitandosi emettono luce producendo il
fenomeno delle aurore
Aurora australe nello stato Victoria,
Australia
L’aurora è caratterizzata da bande luminose
di forma e colore rapidamente mutevoli nel
tempo e nello spazio, tipicamente rosso
(emesso da molecole di azoto) e verde
(emesso da atomi di ossigeno). Le aurore
sono visibili in due regioni attorno ai poli
magnetici dette ovali aurorali.
Ciclotroni e sincrotroni
Ciclotrone di 12 pollici di diametro
(Università di Rutgers, New Jersey)
Sincrotrone ESRF, Grenoble
La possibilità di generare raggi di particelle
cariche (elettroni, protoni) ad alta energia è di
grande importanza per lo studio delle proprietà
fondamentali della materia. Facendo collidere
questi raggi con gli atomi si è scoperto che i
nuclei sono formati da protoni e neutroni, e che
questi a loro volta sono formati da quarks e
gluoni.
Come generare raggi di alta energia? gli elettroni
sono leggerissimi e possono essere accelerati da
un campo elettrico in regioni di spazio molto
piccole. Per accelerare particelle più pesanti,
come ad es. i protoni, una buona strategia è
utilizzare una combinazione di campo elettrico e
magnetico, che obblighi la particella ad
attraversare ripetutamente una stessa regione
di potenziale: dopo molte iterazioni, la particella
acquisirà una grande energia cinetica. Due
tipologie di acceleratori basati sull’utilizzo del
campo magnetico sono il ciclotrone e il
sincrotrone.
Il ciclotrone
V
B
S
In Figura è illustrato lo schema di un ciclotrone:
particelle cariche (ad es. protoni) circolano a causa di
una campo magnetico B. Il protone si muove
nell’intercapedine di due semicerchi cavi di rame,
connessi ad una differenza di potenziale V oscillante
con frequenzanosc; quando la carica attraversa lo spazio
tra i semicerchi, essa viene accelerata da V verso uno
dei due; quando la carica è nell’intercapedine di un
semicerchio il campo elettrico è schermato, e la carica
subisce soltanto la rotazione dovuta a B; se
l’oscillazione di V è in fase con la circolazione del
protone nel campo magnetico (nosc = nB ), il moto
risultante è quello descritto dalla linea rossa
tratteggiata: la carica circola, accelerando
progressivamente (dunque aumentando il raggio ed il
modulo della velocità) ogni volta che attraversa lo
spazio tra i due semicerchi. Il processo si ripete finché il
raggio è tale da raggiungere l’orlo del semicerchio. A
questo punto il protone viene eiettato con grande
energia cinetica nella regione priva di campo magnetico
Il ciclotrone
V
B
Condizione di risonanza:
qB
1
B  
 osc
T 2 m
La frequenza dell’oscillatore elettrico è fissata,
così come carica e massa della particella. Per
realizzare la condizione di risonanza è necessario
aggiustare il campo B in modo che:
2 mosc
B
q
Un’applicazione importante del ciclotrone è la
radioterapia anticancro con protoni o neutroni
veloci; i neutroni non possono essere direttamente
accelerati dal campo elettrico, ma vengono generati
dall’urto tra raggi di protoni con atomi di berillio:
dalla collisione si generano fasci di neutroni
indirizzati verso le cellule tumorali
Problema 28.5
Un ciclotrone lavora alla frequenza di 12 MHz; il raggio dei semidischi è R=53 cm;
a) calcolare l’intensità del campo magnetico B necessaria ad accelerare un nucleo di
deuterio (1 protone + 1 neutrone). La massa del deuterio è m=3.34 10-27 Kg.
b) Calcolare l’energia cinetica massima dei nuclei di deuterio (quella con cui escono dai
piatti semicircolari)
a) La condizione di risonanza è verificata per:
2 mosc 2  3.34 1027 Kg 12 106
B

 1.57 T
19
q
1.6 10 Cs
mv
b) Il raggio dell’orbita circolare r è dato dalla relazione: r 
qB
La velocità di uscita dai piatti è quindi:
vmax
q BR 1.6 1019 C 1.57 T  0.53m
8 m


 0.4 10
27
m
3.34 10 Kg
s
NB: è una velocità molto alta, quella della luce è 3108 m/s !
3.34 1027  0.4 1016
 Ek 
 0.267 1011 J
2
2
Forza magnetica su un filo percorso da corrente
Abbiamo visto nell’effetto Hall che un campo
magnetico esercita una forza sugli elettroni che si
muovono in un conduttore. Poiché gli elettroni
non possono essere espulsi dal conduttore, questa
forza viene trasmessa alla massa del conduttore.
Se il conduttore è rigido non succede nulla; se il
conduttore è flessibile o mobile, può essere
spostato o deflesso dalla forza di Lorentz
esercitata sulle cariche in movimento che
transitano nel conduttore.
In Figura vediamo una spira flessibile conduttrice
che nel tratto centrale attraversa un campo
magnetico perpendicolare di verso uscente dalla
figura:
In assenza di corrente (a) non succede nulla
in presenza di corrente diretta verso l’alto, (b) la
spira è deflessa verso destra
se la corrente è verso il basso (c) la spira è
deflessa verso sinistra
Forza magnetica su un filo percorso da corrente

 
FB  q vd  B
In Figura si suppone che la corrente sia dovuta a cariche
negative, per cui vd ha verso opposto ad i ed FB è diretta
verso destra; NB: se la corrente fosse dovuta a cariche
positive, vd avrebbe verso opposto a quello mostrato in
figura, ma FB sarebbe ancora verso destra: se si inverte
simultaneamente segno della carica e verso della velocità,
la forza di Lorentz rimane invariata.
Se si inverte il verso della corrente o del campo magnetico,
si verifica facilmente che FB è diretta verso sinistra. Dunque:
La forza sulla spira dipende soltanto dal verso della
corrente e del campo magnetico; il fatto che le cariche
siano + o – è ininfluente.
Se q è la carica che attraversa il filo nel tempo t, si ottiene:

FB
i L
L
q  i t  i  FB  qvd B  i L B
vd
L è il segmento di spira percorso dalla carica nel tempo t
Forza magnetica su un filo percorso da corrente
Nel caso generale di campo magnetico non
perpendicolare alla direzione del filo, la forza di
Lorentz diviene: 
 
FB  i L  B
Ove L è un vettore avente modulo uguale alla
lunghezza della porzione di filo immersa nel
campo magnetico, direzione uguale a quella
del filo, e verso uguale a quello di i
i

dL
Nel caso di un filo non rettilineo, si ricorre agli
strumenti dell’analisi: si definisce un segmento
infinitesimo di filo dL e si calcola la forza di Lorentz

 
associata:
dFB  i dL  B
La forza totale su un segmento L non rettilineo sarà
quindi la somma integrale delle forze su ciascuna
sezione infinitesima:


L 
FB  i  dL  B
0
Problema 28.6
Un filo rettilineo orizzontale di rame è percorso da corrente
i= 28 A (diretta in senso uscente dalla pagina). Calcolare
l’intensità e la direzione del campo magnetico necessario a
mantenere il filo ‘in sospensione’, ovvero a bilanciare la
forza di gravità. La densità lineare (massa per unità di
lunghezza) del filo è r46.6 g/m.
In sospensione (ovvero all’equilibrio) deve essere:
mg r g
FB  i L B  mg  B 

iL
i
(46.6 10-3 Kg/m)(9.8 m/s 2 )
B
 16.3 10-3T
28A
Momento torcente su una spira percorsa da
corrente
La maggior parte del lavoro nel
mondo è svolta dai motori
elettrici. La forza alla base del
motore elettrico è la forza di
Lorentz esercitata sulla spira
percorsa da corrente.
In Figura è mostrato un semplice
motore, consistente in una spira
chiusa percorsa da corrente
immersa in un campo magnetico.
Le due forze magnetiche F e –F
producono una torsione che
tende a ruotare la spira attorno al
suo asse centrale.
Momento torcente sulla spira
i vettori a e b (frecce rosse) hanno
modulo uguale alle lunghezze a, b dei lati
della spira; la loro direzione indica il verso
della corrente. Assumiamo B (freccia
verde) parallelo all’asse x, ed il lato lungo
a parallelo all’asse y

 
F1  ia  B  i a B zˆ

 
F3  ia  B  i a B zˆ
 

F2  ib  B  ibB sin( ) yˆ
 


F4  ib  B  ibB sin(   ) yˆ  ibB sin( ) yˆ   F2
Sui due lati corti b, le forze sono dirette lungo y, uguali in modulo ed opposte in
verso, per cui si compensano
Sui due lati lunghi a, le forze sono dirette lungo z, uguali in modulo ed opposte in
verso; si noti però che esse non sono applicate lungo la stessa linea d’azione, per cui
esercitano un momento torcente sulla spira. La torsione tende a far ruotare la spira in
modo che la normale al piano della spira si allinei al campo magnetico
Momento torcente sulla spira


r1

r2

il momento torcente totale della
coppia di forze F1, F3 è dunque:
Si definisce momento torcente (torsione) di una
forza rispetto ad un braccio (vettore ruotato
dall’applicazione della forza) il prodotto vettoriale
del braccio per la forza; i momenti torcenti delle
forze F1, F3 rispetto ai bracci r1, r2, sono dati da:
  b
b
ˆ
1  r1  F1  F1 sin( ) y  iaB sin( ) yˆ
2
2


 


 2  r2  F3  (r1 )  ( F1 )  1




  1   2  ia b B sin( ) yˆ  iAB sin( ) yˆ
(A =ab: area della spira)
 il momento torcente è diretto lungo l’asse di rotazione della spira
 equivale all’angolo formato dalla normale al piano della spira col campo
magnetico: la torsione ruota la spira in modo che n sia parallelo e concorde con B
 > 0 (0 <  <  : rotazione in senso orario
 < 0 ( <  < 2  : rotazione in senso antiorario
Momento torcente sulla spira
  iAB sin( )
orario
anti-orario


Inverto la corrente:
anti-orario
orario

B
Il verso di rotazione della spira
è facilmente individuato dalla
regola della mano destra:
orientando le 4 dita nel verso
della corrente, il pollice dà la
direzione della normale
Dalla spira alla bobina
Se invece di una spira si ha una serie di spire o
avvolgimenti, supponendo che queste siano avvolte così
strettamente tra loro da poter considerare identiche la
dimensione di ogni spira ed il piano di avvolgimento, si
ha quella che si chiama una bobina piana. Per N
avvolgimenti, il momento torcente della bobina è la
somma dei momenti di ciascuna spira:
  NiAB sin( )
Questa espressione, ricavata per una bobina
rettangolare, vale in realtà per qualsiasi bobina piana
di area A, qualunque sia la sua forma, purché B sia
uniforme in tutta l’area della bobina.
Ad esempio, per la bobina cilindrica (in figura) di
raggio r, la torsione è:
  Ni( r 2 ) B sin( )
Il motore elettrico
Come funziona un motore elettrico? Il campo magnetico fa
ruotare la bobina in modo da allineare n col campo; una volta
allineati ( = 0), il sistema è in equilibrio ed il moto si interrompe;
al fine di avere un moto continuo, il verso della corrente deve
essere invertito sistematicamente non appena n sta per allinearsi
col campo, in modo da continuare il moto con lo stesso verso di
rotazione. L’inversione automatica della corrente viene realizzata
mediante un commutatore interconnesso tra la spira rotante e i
contatti che forniscono la corrente
0     0

i
0     0
n̂
n̂

B
i


B
Momento di dipolo della bobina
La bobina immersa in un campo magnetico si comporta essenzialmente come un
momento di dipolo magnetico, il quale ruota per allineare il proprio asse col campo
magnetico, col polo nord del dipolo più vicino al polo sud del campo, e viceversa.
n̂
i

S
Possiamo quindi definire momento di dipolo
magnetico il vettore:
N

B

  N i A nˆ
il momento torcente può quindi essere quindi
riscritto come:



  B
In similitudine col momento torcente del
dipolo elettrico: 
 
  p E
Dalle equazioni precedenti si ha (NB:  ha la
dimensione del lavoro, per cui si misura in J):
J
   A m 
T
2
Energia potenziale del dipolo magnetico
La bobina, come un qualsiasi dipolo, per il fatto di essere immersa in un campo
magnetico possiede un’energia potenziale. L’energia potenziale del dipolo nel campo
magnetico è data da:
 
U      B
 
In analogia con l’energia potenziale del dipolo elettrico: U     p  E
Energia potenziale minima (momento e campo
paralleli):
  0  U 0   B
Energia potenziale massima (momento e campo
anti-paralleli):
    U ( )   B
Lavoro del campo magnetico
Dati due angoli di rotazione i e f, consideriamo il lavoro compiuto dal campo
magnetico per ruotare il dipolo da i a f. Per definizione di lavoro, si ha:
L  U  U f  Ui 
Utilizzando l’espressione dell’energia potenziale magnetica si ha:


L  U i   U  f    B cos f   cosi 
i  
f  0
Ad esempio il lavoro fatto dal campo per
ruotare il dipolo da i =  (punto di massima
energia) a f = 0 (minima energia) è
chiaramente:
L  U    U 0  2 B
Problema 28.8
Consideriamo una bobina circolare con N=200
spire, A= 210-4 m2, ed i =100 A. La bobina è
ferma in un campo magnetico uniforme B = 1 T,
col momento magnetico allineato con B.
a)
Regola della mano destra:
i
si determini il verso della corrente nella
bobina
b) Calcolare il lavoro che un agente esterno
deve compiere contro il campo magnetico
per ruotare la bobina di un angolo di 90°
rispetto al campo
L  U  / 2  U 0   B  NiAB
L  200 100 A  2 104 m2 1T  4 J