fenomeni di trasporto (quantità di moto, calore, materia, carica

FENOMENI DI TRASPORTO
(QUANTITÀ DI MOTO, CALORE, MATERIA, CARICA ELETTRICA)
Abbiamo visto che i fenomeni di attrito viscoso determinano un trasporto di quantità di moto. La
dv ( z )
legge di Newton τ zx = −η x
ci dice che la densità di flusso di quantità di moto1 nella direzione
dz
z ( τ zx ) è proporzionale al tasso di variazione della componente x della velocità di flusso valutato
nella direzione z. Il segno negativo ci dice che la quantità di moto fluisce in verso opposto a quello
del gradiente di velocità. La legge di Newton è un esempio di una relazione che si trova in fenomeni
di trasporto presenti in diversi domini della fisica: nei fenomeni di trasporto si ha spesso una
relazione lineare tra la densità di flusso della grandezza che viene trasportata ed il gradiente di una
variabile intensiva associata al fenomeno.
Questa semplice relazione di proporzionalità rappresenta un comportamento macroscopico che,
almeno per alcuni sistemi, può essere derivato, predetto, da una modellizzazione microscopica del
sistema stesso, come abbiamo fatto per spiegare la viscosità nei gas e nei liquidi. Tuttavia va detto
che, se una semplice relazione di proporzionalità rappresenta il comportamente “normale” di un
sistema, possono esistere importanti eccezioni, come ad esempio il comportamento non newtoniano
di molte sostanze, che trova in genere una spiegazione microscopica nella loro natura composita
(emulsioni, sospensioni, etc) o come il comportamento non ohmico nella conduzione elettrica di
certi materiali.
Legge di Fourier
Consideriamo ora un sistema termodinamico per il quale una variabile intensiva non abbia valore
uniforme, ma vari da punto a punto. Un sistema del genere non è in equilibrio e si assiste al
trasporto di una quantità fisica associata alla variabile intensiva, tendente al raggiungimento o al
ripristino di una condizione di equilibrio. Se, ad esempio, la temperatura non è uniforme si ha
passaggio di energia dalla zona calda a quella fredda:
⇒ Proprietà fisica trasportata: energia (calore)
⇒ “Causa” del trasporto: gradiente di temperatura
La legge fenomenologica del trasporto di calore per conduzione fu formulata da Fourier (17681830) nel 1815. La legge di Fourier afferma che la quantità di calore che fluisce attraverso un
elemento di superficie isoterma di area ∆S in un intervallo di tempo ∆t vale:
dT
∆Q = − k
∆S∆t
(2)
dn
dT
è la derivata direzionale della temperatura, valutata lungo la normale alla superficie,
dove
dn
orientata nel verso delle temperature crescenti e quindi rappresenta la componente del gradiente
r
della temperatura ∇T , in valore e segno, lungo la direzione individuata dal gradiente stesso. La
quantità k è detta conducibilità termica (o conduttività termica) ed è una proprietà del materiale e
dipende dalla temperatura. La legge di Fourier può essere riscritta come
∆Q
dT
JU ≡
= −k
dn
∆S ∆t
La quantità a primo membro rappresenta la densità di flusso del calore. Essa è proporzionale al
gradiente della temperatura: la legge di Fourier ha quindi la forma tipica di una relazione di
trasporto. Essa può essere espressa vettorialmente come:
r
r
JU = − k∇T
(3)
1
Per intensità di flusso di una certa grandezza si intende la quantità della grandezza considerata che fluisce nell’unità di
tempo attraverso una superficie di area unitaria disposta ortogonalmente alla direzione del flusso.
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In Tabella 1 sono riportati i valori della conducibilità termica per alcuni materiali. Si nota una
grande variabilità per questo parametro che ha valori distribuiti su cinque ordini di grandezza.
Tabella 1 Valori di conducibilità termica
Sono cattivi conduttori di calore i gas e gli amorfi, mentre i metalli sono ottimi conduttori. La
conducibilità termica non varia molto con la temperatura per i liquidi, per i materiali amorfi e per i
gas, per i quali è del tipo k ∝ T . Nei metalli k presenta un massimo a bassa temperatura che è di
due o tre ordini di grandezza maggiore del valore riscontrato a temperatura ambiente. Per il rame ad
W
W
a 273 K.
a T = 20 K , che scende a k = 387
esempio, k = 20000
mK
mK
La legge di Fourier può essere utilizzata per dedurre una relazione che leghi la variazione spaziale
della temperatura con quella temporale. Prima di dedurre questa relazione nella sua forma generale,
consideriamo un esempio particolarmente semplice ed importante: quello legato alla trasmissione
del calore attraverso una parete indefinita, come quella schematizzata in Figura 1. Supponiamo che
la parete sia formata da un materiale omogeneo di densità ρ e calore specifico c. Consideriamo una
porzione infinitesima della parete, costituita da un parallelepipedo di base dS, altezza dx e massa
dm = ρdSdx (anch’esso schematizzato in figura). Questo volumetto scambia calore con il resto
della parete attraverso le basi situate rispettivamente a x e a x+dx. Per la simmetria del problema
non scambia calore attraverso la sua superficie laterale: il flusso di calore è parallelo all’asse x. In
 ∂T 
particolare esso assorbe il calore dQ1 = − k 
 dSdt dalla porzione di parete che gli sta a sinistra
 ∂x  x
 ∂T 
e cede il calore dQ2 = − k 
 dSdt a destra. Complessivamente, quindi, il parallelepipedo
 ∂x  x + dx
assorbe una quantità di calore pari a:
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  ∂T   ∂T 
 ∂ 2T 
 ∂ 2T  
 ∂T 
 ∂T 
dQ1 − dQ2 = − k 
 dSdt + k 
 dSdt ≅ k − 
 +
 + dx 2   dSdt = k  2  dxdSdt
 ∂x  x
 ∂x  x + dx
 ∂x  x
 ∂x  x 
  ∂x  x  ∂x  x
Di consequenza la sua temperatura varia secondo la relazione
 ∂ 2T 
∂ 2T ρc ∂T
k  2  dxdSdt = c dm dT = cρdxdSdT ⇒
=
2
 ∂x  x
∂x
k ∂t
Questa equazione differenziale alle derivate parziali regola la variazione di temperatura in funzione
della posizione e del tempo. Essa è nota come equazione di Fourier e, come vedremo, può essere
generalizzata al caso in cui la temperatura sia funzione di tutte e tre le coordinate spaziali.
Figura 1 Trasmissione del calore attraverso una parete indefinita
In condizioni di regime, la parete raggiungerà una situazione in cui la temperatura sarà ancora
funzione di x ma non varierà più al trascorrere del tempo. La situazione a regime è quindi
caratterizzata dalle seguenti condizioni:

T ( x = 0 ) = T0

T ( x = s ) = T1
 ∂T

=0
 ∂t
2
La terza condizione implica quindi ∂ T2 = 0 ⇒ T (x ) = α + βx . Applicando le prime due
∂x
condizioni, si determina completamente il profilo di temperatura all’interno della parete, che vale:
T −T
T ( x ) = T0 − 0 1 x
s
La temperatura scende linearmente (quindi a gradiente costante) da x=0 a x=s.
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Per arrivare ad un’espressione generale dell’equazione di Fourier, consideriamo un materiale
omogeneo, di calore specifico c, all’interno del quale non vi siano sorgenti di calore. Se isoliamo
una superficie chiusa Σ, che racchiuda un volume V di materiale (cfr. Figura 2), il principio di
conservazione dell’energia implica che il flusso di energia che esce da essa sia pari ed opposto al
tasso di variazione di energia racchiuso al suo interno. Questo fatto è sintetizzato nella relazione:
r
dq
(4)
∫Σ JU ⋅ nˆ dS = −V∫ dt dV
dove q è l’energia termica per unità di volume. Questa equazione prende il nome di equazione di
continuità in forma integrale. Essa può essere ulteriormente elaborata, applicando il teorema di
Gauss, che dice che l’integrale di flusso di un campo vettoriale esteso ad una superficie chiusa è
uguale all’integrale della divergenza del campo stesso, esteso al volume racchiuso dalla superficie.
Nel caso nostro, questo significa che:
r
r r
(5)
∫ JU ⋅ nˆ dS = ∫ ∇ ⋅ JU dV
Σ
V
Figura 2 Flusso di calore attraverso una superficie chiusa
Combinando la (4) e la (5) si ottiene:
r r
dq
dq 
r r
∫V ∇ ⋅ JU dV = −V∫ dt dV ⇒ V∫  ∇ ⋅ JU + dt dV = 0
Data l’arbitrarietà di V, la nullità dell’integrale di volume implica la nullità della funzione
integranda:
r r
dq
∇ ⋅ JU = −
(6)
dt
La (6) ha lo stesso contenuto fisico della (4), ma è un espressione puntuale, locale della
conservazione dell’energia. Il primo membro della (6) dipende dalla temperatura attraverso la legge
di Fourier (3):
r r
r
r
 ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T 
2
(7)
∇ ⋅ JU = ∇ ⋅ − k∇T = − k∇ T = − k  2 + 2 + 2 
∂y
∂z 
 ∂x
(
)
dove si è introdotto l’operatore laplaciano ∇ 2 . Per il secondo membro della (6), invece, vale la
relazione
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∂q
∂T
= ρc
(8)
∂t
∂t
Sostituendo la (7) e la (8) nella (6) si ottiene l’equazione di Fourier o equazione differenziale della
conduzione termica:
 ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T  ρc ∂T
∇ 2T =  2 + 2 + 2  =
(9)
∂y
∂z  k ∂t
 ∂x
Si noti che questa equazione non è invariante rispetto alla sostituzione di t con –t, rispecchiando con
ciò l’irreversibilità del fenomeno.
dQ = mcdT
⇒ dq = ρcdT
⇒
Resistenza termica
Si consideri la parete composita rappresentata in Figura 3 e si assuma che T0 > Tn . Il calore fluisce
da sinistra verso destra, mentre la temperatura varia linearmente all’interno di ciascuno degli n
elementi che costituiscono la parete. Il gradiente termico varia da un elemento all’altro dato che
sono formati da materiali con conducibilità termiche diverse.
Figura 3 Flusso di calore attraverso una parete composta da n strati diversi
In condizioni stazionarie la temperatura è funzione soltanto di x e non varia con il tempo. La
quantità di calore che fluisce nell’unità di tempo attraverso una sezione qualsiasi della parete (ossia
per qualunque valore di x) vale:
r
dQ
dT
= ∫ JU ⋅ iˆ dS = JU S = − kS
(si è usata la (3)).
dt S
dx
Visto che l’energia si conserva, il primo membro di questa relazione ha lo stesso valore
indipendentemente da dove lo si valuti, quindi il prodotto tra il gradiente termico valutato nell’i-mo
strato della parete moltiplicato per la conducibilità termica del materiale di quello strato deve avere
il medesimo valore per tutti gli strati che costituiscono la parete:
 ∆x  dQ
dQ
T −T
dQ
≡ Ri
(10)
= − ki S i i −1 ⇒ Ti −1 − Ti =  i 
dt
xi − xi −1
dt
 ki S  dt
Quindi la caduta di temperatura agli estremi di una parete è pari al prodotto tra la quantità di calore
che fluisce attraverso di essa nell’unità di tempo per una quantità che è data dal rapporto tra lo
spessore della parete e la sua sezione retta moltiplicata per la conducibilità termica. Questa quantità
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K
. In effetti la (10) ha la stessa forma della
W
legge di Ohm: in questo caso abbiamo il flusso di energia termica al posto del flusso di carica
elettrica e la caduta di temperatura al posto della caduta di tensione. Anche la resistenza termica
dipende dai parametri geometrici del materiale in modo identico a quanto accade per la resistenza
elettrica: è proporzionale allo spessore del materiale ed inversamente proporzionale all’area della
sezione trasversa. In entrambi i casi la costante di proporzionalità e il reciproco della conduttività
(termica o eletrica a seconda del caso). La resistenza termica di una serie di conduttori termici è
data dalla somma delle resistenze dei singoli elementi. Infatti per la parete composita abbiamo:
n
dQ n
T0 − Tn = ∑ Ti − Ti −1 =
∑ Ri
dt i =1
i =1
A parità di caduta di temperatura, il flusso termico è tanto minore quanto è maggiore la resistenza
termica. Quindi, se la parete deve assolvere a funzioni di isolamento termico, occorre utilizzare
materiali coibentanti ad elevata resistenza termica, cioè di elevato spessore e bassa conduttività
termica.
prende il nome di resistenza termica e si misura in
Figura 4 Meccanismi di trasmissione del calore (T0>TA)
Abbiamo studiato come varia la temperatura all’interno di una parete per effetto della conduzione
termica. Se la parete è a contatto con un fluido (l’aria ad esempio), la temperatura T0 sulla
superficie della parete non coincide con la temperatura del fluido ad una certa distanza da essa TA.
Questo perché i processi di trasporto di energia da solido a fluido sono complessi: infatti oltre al
fenomeno della conduzione abbiamo processi di convezione (naturali o forzati) e di irraggiamento.
Una descrizione puntuale di tutti questi processi è piuttosto complessa e va al di là degli scopi di
questo corso. In prima approssimazione il fenomeno è descitto da una relazione empirica formulata
da Newton:
∆Q = h(T0 − TA )S∆t ⇒ JU = h(T0 − TA )
W
dove h è una costante che prende il nome di conducibilità termica esterna (u.m. 2 ). A titolo di
m K
W
.
esempio, nel caso di un filo caldo in aria h = 10
m2 K
Se, nell’esempio precedente sulla parete composita, questa separa due ambienti a temperature
TA > T0 e TB < Tn rispettivamente (cfr. Figura 5), abbiamo che:
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TA − TB =
n

dQ  1
1

+
+ ∑ Ri 
dt  ShA ShB i =1 
Figura 5 Caduta di temperatura tra due ambienti separati da una parete
Conduzione di calore in un filo percorso da corrente elettrica
Abbiamo considerato finora casi di trasporto di calore in assenza di sorgenti di calore. Valutiamo
adesso un esempio in cui il calore viene prodotto e trasportato. Facendo riferimento alla Figura 6,
consideriamo un filo percorso da corrente elettrica. In realtà limiteremo la nostra attenzione ad una
porzione di filo di lunghezza L, trascurando effetti di bordo (filo indefinito). Per effetto Joule, al
passaggio di corrente elettrica è associata una produzione di calore pari a:
L
J 2V
W = I 2R = J 2S 2
=
σS
σ
Qui abbiamo supposto che la densità di corrente elettrica J sia uniforme sulla sezione del filo e
L
dove σ è la conducibilità elettrica del materiale di cui è
abbiamo usato la relazione R =
σS
costituito il filo. Questo calore è prodotto uniformemente su tutto il volume del filo. Il termine di
sorgente di calore che useremo nel seguito sarà quindi la quantità di calore prodotta per unità di
W
volume e unità di tempo (u.m. 2 ):
m
2
W J
Se ≡
=
V
σ
Indichiamo con r la distanza dall’asse del cilindro. Valutiamo il bilancio energetico relativo ad una
corona cilindrica avente per base una corona circolare di raggi r e r+∆r. In condizioni stazionarie la
temperatura ha una dipendenza da r ma non dal tempo, quindi deve valere la relazione:
 POTENZA PRODOTTA   POTENZA ENTRANTE   POTENZA USCENTE 
 = 0
 − 
 + 


  DALLA CORONA
  NELLA CORONA
 NELLA CORONA
La potenza prodotta nella corona cilindrica è
2πr∆rLS e
Per la simmetria del problema il calore fluisce dall’asse del cilindro verso l’esterno, con simmetria
radiale in tutte le sezioni rette del cilindro. Quindi il flusso di calore attraverso la superficie laterale
interna della corona è quello entrante, mentre il flusso attraverso la superficie laterale esterna è
quello uscente. Queste due quantità valgono rispettivamente
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2πrL( J U )r = 2πL(rJ U )r
2πL(rJ U )r + ∆r
Il bilancio energetico è pertanto:
2πr∆rLS e + 2πL[(rJU )r − (rJU )r + ∆r ] = 0 ⇒ rS e =
(rJU )r + ∆r − (rJU )r
∆r
Figura 6 Porzione di filio percorso da corrente elettrica
Nel limite di ∆r → 0 il secondo membro è la derivata di rJU :
d (rJU )
rS e =
dr
Questa equazione differenziale è a variabili separabili e fornisce un’espressione per la densità di
flusso di energia:
1
C
(11)
JU = Se r + 1
2
r
La costante di integrazione C1 deve essere nulla perché in caso contrario avremmo una singolarità
per r=0, corrispondente ad una densità di flusso energetico infinita.
1
Quindi JU = Se r : la densità di flusso termico aumenta linearmente con r. Come verifica del
2
risultato, possiamo valutare il flusso termico complessivo sulla superficie laterale del filo: esso deve
essere pari alla potenza prodotta per effetto Joule W. In effetti:
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Se R
2πRL = SeV = W
2
Per ottenere l’andamento della temperatura con r, occorre combinare la legge di Fourier
dT
JU = − k
con la (11):
dr
JU (R )2πRL =
1
dT
S e r = −k
2
dr
⇒
∫ dT = −
Se
Se 2
(
)
rdr
T
r
r + C2
⇒
=
−
2k ∫
4k
La costante di integrazione si determina imponendo la condizione al contorno T (R ) = T0 . Il risultato
è:
2
Se R 2   r  
T (r ) − T0 =
1 −   
4k   R  
Se R 2
rappresenta il massimo incremento
4k
termico rispetto alla temperatura misurata sulla superficie del conduttore. Si noti l’analogia formale
con il profilo di velocità in un tubo di flusso in regime di Hagen-Poiseuille: avevamo trovato infatti
2
∆pL R 2   r  
v(r ) =
1 −    .
4η   R  
L’andamento della temperatura è parabolico e il termine
Diffusione
La diffusione è un fenomeno di trasporto proprio di tutti gli stati di aggregazione della materia. Due
sostanze, mutuamente solubili, se messe a contatto diffondono l’una nell’altra fino a quando la
concentrazione di ciascuna delle due sostanze diventa uniforme sull’intero sistema.
Figura 7 Mutua diffusione di due sostanze
La legge fenomenologica che regola questo fenomeno è la legge di Fick che può essere espressa
come:
r
r
J ci = − D∇ci con i = 1,2
(12)
dni
indica la sua concentrazione
dV
r
espressa in moli al metro cubo (oppure in numero di molecole al metro cubo), J ci la densità di
flusso di materia, riferita alla sostanza i espressa in moli al metro quadro al secondo (oppure
numero di molecole al metro quadro al secondo) e D è il coefficiente di diffusione o diffusività, che
dove l’indice i indica la sostanza che si considera, ci ( x, y, z , t ) =
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si esprime in m2s-1. La diffusione è la conseguenza del moto di agitazione termica delle molecole,
ed avviene con meccanismi diversi a seconda dello stato di aggregazione del materiale. La
diffusività è maggiore per la fase gassosa, dato l’elevato cammino libero medio delle molecole ed è
minima nei solidi, dove avviene per meccanismi particolari ed è apprezzabile a temperature non
distanti dal punto di fusione.
Tabella 2 Coefficienti di diffusione
Il fenomeno della diffusione ha luogo anche quando si mettono a contatto due campioni della stessa
sostanza. Si parla in questo caso di autodiffusione. Essa è misurabile utilizzando isotopi diversi
dello stesso elemento, riconoscibili per differenza di massa ed eventualmente per fenomeni di
decadimento radioattivo, se si usano isotopi instabili. Valori del coefficiente di autodiffusione e
mutua diffusione sono riportati in Tabella 2. Nel caso dei fluidi, la determinazione della diffusività
deve essere effettuata al netto dei fenomeni convettivi che contribuiscono al processo di trasporto.
Nei gas la diffusività dipende dalla radice quadrata della temperatura ed è inversamente
proporzionale alla pressione. Anche per i liquidi D cresce con la temperatura, in modo più marcato
che per i gas.
Figura 8 Coefficiente del carbonio nel ferro in funzione della temperatura (C. Wert, 1950)
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Nel caso dei solidi, la dipendenza dalla temperatura può essere parametrizzata come:
 E 
D = D0 exp − D  con D0 e ED costanti
(13)
 k BT 
In Figura 8 è riportato il risultato di una serie di misure effettuate da C. Wert nel 1950 sulla
diffusione del carbonio nel ferro. I dati sono in ottimo accordo con l’andamento esponenziale (13)
ed il parametro ED può essere ricavato dalla pendenza della curva. Questo particolare fenomeno di
diffusione in fase solida ha importanza nella lavorazione degli acciai. In generale, come del resto si
evince dalla Tabella 2, i coefficienti di diffusione nei solidi sono estremamente bassi.
Anche per il fenomeno del trasporto di materia, come per quello del trasporto di calore, si può
arrivare ad una equazione che fornisce una relazione tra la variazione spaziale e quella temporale
della concentrazione. Se Σ è una superficie chiusa, il flusso di materia che esce dal volume V
racchiuso da Σ è, in assenza di sorgenti
r
dn
d
dc
(14)
∫Σ J c ⋅ nˆ dS = − dt = − dt V∫ cdV = −V∫ dt dV
dove n è il numero di moli contenute nel volume V.
L’integrale di superficie che figura a primo membro della (14) può essere trasformato in integrale di
volume grazie al teorema di Gauss:
r
r r
r r
dc
dc
ˆ
⋅
=
∇
⋅
=
−
⇒
∇
⋅ Jc = −
dV
J
n
dS
J
dV
∫Σ c
∫V c
∫V dt
dt
(15)
La (15) esprime in forma locale la conservazione della materia. Utilizzando la (12) per la densità di
flusso di materia abbiamo:
r
r
dc
dc
∇ ⋅ − D ∇c = − D ∇ 2 c = −
⇒ D ∇ 2c =
dt
dt
Questa equazione differenziale è identica all’equazione di Fourier (9).
(
)
Conduzione elettrica
Accenniamo brevemente ad un altro fenomeno di trasporto, quello della carica elettrica. Abbiamo
già avuto modo di notare l’analogia tra la resistenza termica e quella elettrica. In effetti la legge di
Ohm non è altro che un ulteriore esempio di relazione lineare tra la densità di flusso di una
grandezza, la carica elettrica in questo caso, ed il gradiente di una proprietà intensiva del sistema
studiato, il potenziale elettrico. Facendo riferimento alla porzione di conduttore cilindrico mostrata
in Figura 9, la legge di Ohm viene usualmente presentata come
V1 − V2 = RI
dove V1 − V2 è la caduta di potenziale elettrico, R la resistenza elettrica della porzione di conduttore
r
dq
è la corrente elettrica (espressa in ampere), ossia la quantità
considerata e I = ∫ J q ⋅ nˆ dS = J q S =
dt
S
di portatori di carica che attraversano una qualunque sezione del conduttore nell’unità di tempo.
Nella relazione precedente abbiamo assunto che la densità di flusso di carica elettrica J q abbia lo
stesso valore per tutti i punti di una sezione retta del conduttore. Questa assunzione è ragionevole
per correnti continue o a bassa frequenza.
Il verso della corrente è quello dei portatori di carica positivi. Ogni materiale è caratterizato da una
specifica conducibilità elettrica σ che ne determina la resistenza:
l
x − x ∆x
R=
= 2 1=
σS
σS
σS
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Figura 9 Porzione di conduttore elettrico percorso da una corrente elettrica I
La legge di Ohm può quindi essere riscritta in termini della densità di flusso di carica elettrica
come:
∆x
dV
x→0
→ J q = −σ
V1 − V2 = −∆V =
J q S ∆
σS
dx
che può essere estesa allo spazio tridimensionale come
r
r
J q = −σ ∇V
Questa espressione è formalmente identica alla legge di Fourier e alla legge di Fick.
La legge di Ohm ha origine fenomenologica, ma può essere derivata nell’ambito dei modelli che
descrivono la conduzione elettrica nei metalli o nelle soluzioni elettrolitiche. Tuttavia non tutti i
conduttori elettrici seguono la legge di Ohm: esistono importanti eccezioni quali la conduzione
elettrica nei gas ionizzati ed il comportamento delle giunzioni tra semiconduttori a diverso
drogaggio utilizzate nei dispositivi elettronici.
Conduzione termica nei gas
Tutte le leggi che esprimono fenomeni di trasporto (legge di Newton, di Fourier, di Fick, di Ohm)
riguardano proprietà macroscopiche di sistemi complessi e furono formulate a partire da
osservazioni sperimentali. Tutti i modelli che ambiscono a descrivere a livello microspocico questi
fenomeni devono essere in grado di comportare come conseguenza e quindi di giustificare queste
leggi macroscopiche. Inoltre devono anche essere in grado di predire un valore per le costanti che
entrano in queste leggi, quali la viscosità, le conducibilità termica, etc.
Abbiamo dedotto la legge di Newton per i fenomeni viscosi nei gas e nei liquidi. Adesso, con
argomenti identici a quelli usati per la viscosità, ci proponiamo di esprimere la legge di Fourier sul
trasporto di calore nel caso dei gas, utilizzando il modello cinetico per i gas ideali.
Consideriamo un recipiente contenente un gas descrivibile come gas ideale. Supponiamo che vi sia
un flusso di calore in una direzione, che individuiamo come direzione (e verso) dell’asse delle x di
una terna cartesiana. Abbiamo visto a proposito della viscosità nei gas che, se indichiamo con NV il
numero di molecole per unità di volume e con v la loro velocità media, il numero di molecole per
unità di volume che in ogni momento si muovono nella direzione e verso dell’asse x è, per l’ipotesi
11
 1
di caoticità del moto molecolare, pari a  NV  = NV . Il numero di molecole che in un secondo
23
 6
attraversano una superficie unitaria parallela al piano coordinato yz, situata ad una coordinata x0
arbitraria muovendosi nel verso delle x crescenti (e viceversa) è pari a quello contenuto in un
1
cilindro di base unitaria ed altezza v : NV v (=numero di molecole per unità di superficie per unità
6
di tempo). L’energia associata a questo flusso di molecole è
1
Φ A = NV v K ( x0 − λ )
(16)
6
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57
dove K ( x ) è l’energia cinetica traslazionale media di una molecola valutata alla coordinata x e λ è
il libero cammino medio. L’energia cinetica media è valutata alla coordinata x0 − λ in quanto le
molecole che attraversano la sezione considerata hanno subito l’ultimo urto proprio a quella
coordinata. Per il flusso nel verso delle x decrescenti si trova un’espressione analoga alla (16):
1
Φ B = NV v K ( x0 + λ )
(17)
6
Se non c’è flusso di calore la (16) e la (17) sono uguali: infatti la temperatura è l’espressione
macroscopica dell’energia cinetica media delle molecole e se non c’è gradiente termico non c’è
flusso di calore e non c’è neppure variazione dell’energia cinetica. In presenza di flusso di calore
invece, c’è un gradiente termico e quindi l’energia cinetica varia con x. Dato che la temperatura non
varia apprezzabilmente sulla distanza di qualche libero cammino medio, possiamo usare la
relazione seguente (approssimazione lineare):
∂K
K ( x0 ± λ ) = K ( x0 ) ± λ
∂x
La densità di flusso di energia netto nella direzione delle x crescenti è pertanto:
N v λ ∂K
 N v λ ∂K  ∂T
JU = Φ A − Φ B = −
=−
(18)

3V ∂x
 3V ∂T  ∂x
L’energia interna del gas è è data semplicemente dal prodotto tra l’energia cinetica traslazionale
molecolare media per il numero di molecole presenti nel sistema2 :
U = NK
Per un gas ideale, l’energia interna è legata al calore specifico a volume costante dalla relazione
1 ∂U N ∂K
∂K M
cV =
=
cV
(19)
=
⇒
M ∂T M ∂T
∂T N
Combinando la (18) e la (19) si ottiene:
∂T
∂T
1
 N v λ M  ∂T
JU = − 
cV 
= − ρv λcV
= −k
(20)
∂x
∂x
3
 3V N  ∂x
Questa espressione è proprio la legge di Fourier. Se vogliamo esplicitare la dipendenza della
conducibilità termica k dalla temperatura dobbiamo esprimere in funzione di questa variabile sia la
velocità media delle molecole che il loro libero cammino medio.
Per questi parametri il modello cinetico prevede le seguenti espressioni (che abbiamo dedotto
quando abbiamo introdotto il modello cinetico):

8k B T
v =
πm


1
λ =

2 N V πd 2
Se si sostituiscono nella (20) si trova:
2 mk BT cV
k=
3 π 3 d2
Quindi la conducibilità termica cresce con la radice quadrata della temperatura e non dipende dalla
pressione. Per quanto il calcolo che abbiamo svolto non sia completamente rigoroso, esso è in grado
di fornire la dipendenza corretta di k dalle variabili di stato del gas.
2
Questo è corretto per i gas monoatomici. Per i gas poliatomici concorrono a definire l’energia interna gradi di libertà
molecolari non traslazionali (rotazionali e vibrazionali)
M. Masera Complementi di Fisica A.A. 2006/7
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