x - CIRIAF

Università degli Studi di Perugia
Sezione di Fisica Tecnica
Fisica Tecnica Ambientale
Lezione del 2 marzo 2015
Ing. Francesco D’Alessandro
[email protected]
Corso di Laurea in Ingegneria Edile e Architettura A.A. 2014/2015
1
Riferimenti
Francesco D’Alessandro
Università degli Studi di Perugia
Dipartimento di Ingegneria Civile ed Ambientale
Tel: 075 5853573
E - mail: [email protected]
2
www.ciriaf.it/ft
3
www.ciriaf.it/ft
4
Argomenti
• Riepilogo trasmissione di calore
• Riepilogo conduzione
• Trasmissione di calore per conduzione in regime
variabile: MURO DI FOURIER
• Applicazione del Muro di Fourier
• Esempi numerici
5
Unità di misura
6
Unità di misura
7
Unità di misura
8
Riepilogo
9
Modalità di trasmissione del calore
1. Conduzione
–
–
–
Tipica di solidi
Avviene tra elementi contigui e fissi nello spazio a temperatura diversa
Il parametro principale è la conducibilità termica
2. Convezione
–
–
–
Deve partecipare un fluido
È associata a trasporto di massa
Il parametro è il coefficiente di convezione
3. Irraggiamento
–
–
Avviene tra corpi posti l’uno in presenza dell’altro a temperature diverse
L’energia dipende dalla quarta potenza della temperatura
10
Conduzione
Il manico scotta!
La conduzione è il principale sistema di trasmissione di calore nei solidi. Afferrando il
manico di una pentola riscaldata il calore sarà condotto attraverso il metallo verso la
mano.
11
Modalità di trasmissione del calore
1. Conduzione
–
–
–
Tipica di solidi
Avviene tra elementi contigui e fissi nello spazio a temperatura diversa
Il parametro principale è la conducibilità termica
2. Convezione
–
–
–
Deve partecipare un fluido
È associata a trasporto di massa
Il parametro è il coefficiente di convezione
3. Irraggiamento
–
–
Avviene tra corpi posti l’uno in presenza dell’altro a temperature diverse
L’energia dipende dalla quarta potenza della temperatura
12
Convezione
L’aria più calda è meno
densa,
pertanto
sale
attraverso gli strati più
freddi.
La convezione è il principale sistema di trasmissione di calore nei liquidi e gas. L’aria calda
sopra la pentola sale verso l’alto poichè è più leggera dell’aria fredda che la sovrasta.
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Modalità di trasmissione del calore
1. Conduzione
–
–
–
Tipica di solidi
Avviene tra elementi contigui e fissi nello spazio a temperatura diversa
Il parametro principale è la conducibilità termica
2. Convezione
–
–
–
Deve partecipare un fluido
È associata a trasporto di massa
Il parametro è il coefficiente di convezione
3. Irraggiamento
–
–
Avviene tra corpi posti l’uno in presenza dell’altro a temperature diverse
L’energia dipende dalla quarta potenza della temperatura
14
Irraggiamento
L’emissione di calore per
irraggiamento è generata da
tutti gli oggetti che si trovano ad
una temperatura al di sopra
dello zero assoluto.
L’irraggiamento è la sola modalità di trasmissione del calore che non richiede materia
come mezzo di trasporto. E’ quindi l’unica possibilità di trasferire calore attraverso il vuoto.
15
Conduzione
–
–
–
–
La trasmissione di calore per conduzione si verifica
all'interno dei corpi, fra elementi di materia contigui e
che mantengono inalterata nel tempo la loro posizione.
La trasmissione di calore per conduzione è tipica dei
corpi solidi.
Nei liquidi e negli aeriformi prevale un diverso
meccanismo di trasmissione del calore, la convezione,
ed il contributo della conduzione diventa trascurabile.
Il parametro principale è la conducibilità termica l.
16
Postulato di Fourier
Estrapolazione dell’evidenza
sperimentale
T
dQn  l  d  dS 
n
POSTULATO DI FOURIER
“La quantità di calore dQn che attraversa in direzione normale, nel tempo dτ , una
superficie infinitesima di area dS, comunque orientata all'interno del campo termico, è
proporzionale a dS, al tempo dτ, alla conducibilità termica λ del materiale ed al gradiente
della temperatura ∂T/∂n misurato in direzione ortogonale alla giacitura di dS.”
17
Conducibilità termica e materiali
La conducibilità termica l caratterizza i materiali per la loro
attitudine a trasmettere calore nel loro interno; essa è stata
introdotta per mezzo del Postulato di Fourier e si misura, nel
Sistema Internazionale, in W/mK.
T
dQn  l  d  dS 
n
I valori numerici di l variano fortemente a seconda del materiale
considerato: si va dai centesimi di W/mK per i gas fino a
centinaia di W/mK per i metalli.
18
Equazione di Fourier
l   2T  2T  2T  H  T
 2  2  2    
  x
y
z  l  
• L'equazione di Fourier è lo strumento fondamentale per lo studio dei campi
termici all'interno dei corpi: in linea di principio, note le condizioni al contorno,
integrandola nel volume, si ottiene l'andamento spaziale della temperatura ad un
certo istante; poi, effettuando ulteriori integrazioni spaziali in tempi successivi, è
possibile seguire nel tempo le modifiche della configurazione spaziale della
temperatura.
19
Equazione di Fourier – casi particolari
•
In regime stazionario ed in assenza di sviluppo interno di calore, l'equazione di
Fourier diventa:
l   2T  2T  2T  H  T
 2  2  2    
  x
y
z  l  
Diffusività termica D
[m2/s]
l   2T  2T  2T 
 2  2  2 0
  x
y
z 
20
Equazione di Fourier – casi particolari
•
Se , l e  sono indipendenti dalla temperatura:
 2T  2T  2T
 2  2 0
2
x
y
z
•
la distribuzione delle temperature è indipendente dalla natura del corpo: in regime
stazionario il campo termico dipende soltanto dalla geometria del corpo e dalle
condizioni ai limiti.
21
Parete piana in regime stazionario
Andamento della
temperatura
q = dQ/(dS d τ )
Flusso termico per
unità di superficie
x
T  T1  T1  T2 
s
q
l
s
(T1  T2 )
[K]
[W/m2]
T
T1
T2
F
x
s
La quantità di calore che si trasmette, per unità
di superficie e di tempo, in regime stazionario
attraverso una parete omogenea di spessore s,
è direttamente proporzionale alla conducibilità
l del materiale ed alla differenza fra le
temperature delle facce estreme ed è
inversamente proporzionale allo spessore s
della parete.
22
Trasmissione di calore per
conduzione in regime variabile
Muro di Fourier
23
Consideriamo un mezzo solido seminfinito, costituito da un semispazio di materiale
omogeneo e isotropo, delimitato da una superficie limite piana.
Le proprietà termofisiche del mezzo, calore specifico γ, densità ρ, conducibilità termica λ,
sono indipendenti dalla temperatura e dal tempo.
Non siano presenti sviluppi interni di calore (H=0).
24
Impostiamo un
andamento nel tempo
della temperatura sulla
superficie limite T(0,) di
tipo sinusoidale
T (0, τ )  Tm   o senωτ
Tm = valore medio temporale della temperatura sulla superficie limite;
o = semiampiezza dell'oscillazione sulla superficie limite;
o = periodo dell'oscillazione;
w = 2/o = pulsazione dell'oscillazione.
25
Inizialmente il mezzo si trovi ad una
temperatura costante ed uniforme
Tm, quindi sia sottoposto
all'oscillazione di temperatura sulla
faccia limite; esiste un transitorio
iniziale, esaurito il quale si
instaurano, in una generica sezione,
cicli successivi di temperatura tra
loro identici: il regime si dice
permanente stabilizzato.
Collochiamo l’origine dei tempi ad un istante tale che gli effetti del transitorio siano esauriti.
Poiché la temperatura non dipende da y e z, e avendo ipotizzato l’assenza di sviluppo interno
di calore, l’equazione di Fourier :
λ   2T  2T  2T



2
2

γρ  x
y
z 2

diventa
 H  T
  
 λ  τ


 2T T
D 2 

x
26
Diffusività termica D
•
λ
[m2/s] •
𝛾𝜌
è una caratteristica intrinseca del corpo in quanto dipende
esclusivamente da parametri relativi al materiale di cui è composto.
La diffusività termica può essere vista come il rapporto tra la capacità
che ha un materiale di condurre energia termica (conducibilità l), e la
sua capacità di accumulare energia (capacità termica volumica = *).
3
𝑊 𝑘𝑔𝐾 𝑚
• Un alto valore di diffusività termica indica una veloce propagazione
𝐷=
𝑚𝐾
𝐽
𝑘𝑔
dell’energia termica, mentre un valore basso, indica che nel materiale è
preponderante l’accumulo.
ATTENZIONE:
ERRORE NEL
LIBRO
Valori di diffusività termica D per alcuni materiali
𝐷=
D (m2/s * 10-5)
D (m2/s * 10-7)
27
La soluzione dell’equazione
 2T T
D 2 

x
è
T ( x , )  Tm  0 e
dove
 x
sen( w  x )


D 0
Il prodotto βx è un numero puro; esso è denominato ritardo di fase e misura lo sfasamento, in
radianti, tra l'oscillazione termica all'ascissa x e quella imposta sulla superficie limite.
28
L’equazione
T ( x , )  Tm  0 e  x sen( w  x )
mostra che la variazione di temperatura, ad una data distanza x dalla superficie limite
x = 0, ha ancora un andamento sinusoidale, con lo stesso periodo di oscillazione che si ha sulla
superficie limite.
La semiampiezza decresce con legge esponenziale
 ( x )   o e  βx
29
RICHIAMI: Onde sinusoidali
Effetto della variazione della fase
Effetto della variazione dell’ampiezza
30
Nel dominio del tempo
T (0, τ )  Tm  o senωτ

T ( x , )  Tm  0 e  x sen( w  x )
31
La semiampiezza decresce con legge esponenziale

l 0
Nel dominio dello spazio
 ( x )   o e  x   o e
x
T ( x , )  Tm  0 e  x sen( w  x )
(x) è l’inviluppo dei valori massimi (e minimi) degli andamenti di temperatura in funzione di
x, costruiti per qualsivoglia valore di . In figura sono costruiti gli andamenti relativi a due
istanti 1 e 2, in funzione della distanza x dalla superficie limite.
32
Il rapporto tra la semiampiezza di oscillazione a distanza x e quella sulla superficie limite
prende il nome di fattore di smorzamento μ(x) dell'oscillazione termica:
T (0, τ )  Tm  o senωτ
T ( x , )  Tm  0 e  x sen( w  x )
( x ) 
( x )
 e  x  e
o
x

D 0
Il tempo di ritardo r è definito come l'intervallo di tempo che intercorre tra l'istante in cui
si verificano un massimo o un minimo di temperatura sulla faccia limite e l'istante in cui essi
si trasmettono sulla sezione ad ascissa x
T ( x , )  Tm  0 e  x sen( w  x )
x x  0
x  0 
r 


w 2 D 2 l
Osservazioni:
• la semiampiezza di oscillazione decresce all'aumentare dell'ascissa x
• il tempo di ritardo aumenta all'aumentare dell'ascissa x
33

34
Andamento del fattore di smorzamento  di alcuni materiali in
funzione dello spessore della parete.
D (m2/s * 10-5)
( x ) 
( x )
 e  x  e
o
x

D 0
1
Rame
0,8
0 = 24 h
0,6

D (m2/s * 10-7)
Fibra di vetro
0,4
Calcestruzzo
0,2
Muro di
mattoni
0
x(m)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
35
Andamento del tempo di ritardo r di alcuni materiali in funzione dello
spessore della parete.
D (m2/s * 10-5)
τr 
βx x τ 0

ω 2 πD
35
0 = 24 h
30
25
Muro di mattoni
20
r(h)
D (m2/s * 10-7)
Calcestruzzo
Fibra di vetro
15
Rame
10
5
x(m)
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
36
Il flusso termico per unità di superficie che attraversa la faccia limite può essere valutato per
mezzo del postulato di Fourier:
T
dQn  l  d  dS
n
q
Q
T
 l
A
x
Nel caso della superficie
limite x=0
Q  λ  τ  A
T
x
x 0
T ( x , )  Tm  0 e  x sen( w  x )
x 0
q  l0  (sin w  cosw )
Il flusso termico ha, come la temperatura, un andamento periodico.
Il flusso entrante nel mezzo è mediamente nullo; infatti esso ha segno positivo in
un semi-periodo, durante il quale il calore è accumulato dal mezzo stesso, ed ha
segno negativo nel successivo semi-periodo, durante il quale è restituito all'esterno.
37
Applicazioni del muro di Fourier
Parete esposta a variazioni
climatiche giornaliere
38
Andamento qualitativo della
temperatura giornaliera esterna durante
la stagione invernale
REGIME STAZIONARIO
Andamento qualitativo della
temperatura giornaliera esterna durante
la stagione estiva
REGIME VARIABILE
39
Quando la superficie esterna di una parete è sottoposta ad una sollecitazione termica
periodica la sua temperatura varia in accordo con essa. Le oscillazioni termiche si
propagano attraverso gli strati del muro.
Le oscillazioni periodiche di temperatura su ogni strato della parete e sulla faccia interna
si verificheranno con un certo ritardo τ e con un fattore di smorzamento μ (Teoria del
Muro di Fourier).
40
Se consideriamo una parete come una porzione del mezzo seminfinito (visto prima) compresa
tra il piano ad ascissa x = 0 e quello ad ascissa x=s (s è lo spessore della parete), allora
l'andamento nel tempo della temperatura sulla faccia interna della parete è dato da:
T ( s , )  Tm  0  e   s sinw  s 
41
Vogliamo calcolare lo smorzamento μ e il tempo di ritardo tr in corrispondenza della superficie
interna di una parete esposta a variazioni climatiche giornaliere.
Sulla faccia esterna di una parete, a seguito delle variazioni climatiche giornaliere,
si stabilisce un andamento periodico della temperatura di periodo 0 = 24h.
Sia inoltre: Tmax = 45°C; Tmin = 20°C, pertanto: Θ0 = 12,5°C; Tm = 32,5°C.
a) Muratura di pietra
b) Lastra di polistirolo
sa = 2 m
λa = 3.5 W/mK
γa = 0.84 kJ/kgK= 840 J/kgK
ρa = 2800 kg/m3
sb = 0.024 m
λb = 0.042 W/mK
γb = 2.4 kJ/kgK= 2400 J/kgK
ρb = 25 kg/m3
Da = 1.5*10-6 m2/s
Db = 7*10-7 m2/s
42
a) Muratura di pietra
b) Lastra di polistirolo
sa = 2 m
λa = 3.5 W/mK
γa = 0.84 kJ/kgK
ρa = 2800 kg/m3
sb = 0.024 m
λb = 0.042 W/mK
γb = 2.4 kJ/kgK
ρb = 25 kg/m3
Da = 1.5*10-6 m2/s
Db = 7*10-7 m2/s
Se fossimo in condizioni di regime stazionario il flusso di calore che viene trasmesso per
conduzione attraverso le due pareti sarebbe lo stesso poiché:
la
sa

lb
sb
 1,75
43
r 
a) Muratura di pietra
b) Lastra di polistirolo
sa = 2 m
λa = 3.5 W/mK
γa = 0.84 kJ/kgK
ρa = 2800 kg/m3
sb = 0.024 m
λb = 0.042 W/mK
γb = 2.4 kJ/kgK
ρb = 25 kg/m3
Da = 1.5*10-6 m2/s
Db = 7*10-7 m2/s
s 0
2
86400

 38 h
6
2   D 2   1 ,5  10
In virtù dell'elevato spessore della parete
il tempo di ritardo è molto elevato, pari
a circa 1 giorno e mezzo.
r 
s 0
0 ,024
86400

 0 ,6 h
7
2  D
2
  7  10
Per effetto del modesto spessore della
parete il tempo di ritardo è modesto,
dell'ordine di circa mezz'ora.
44
 e
s
a) Muratura di pietra
b) Lastra di polistirolo
sa = 2 m
λa = 3.5 W/mK
γa = 0.84 kJ/kgK
ρa = 2800 kg/m3
sb = 0.024 m
λb = 0.042 W/mK
γb = 2.4 kJ/kgK
ρb = 25 kg/m3
Da = 1.5*10-6 m2/s
Db = 7*10-7 m2/s

D 0
e
2

6
1 ,510 86400
 5  10 5
 s    0  5  10 5  12,5  0,0006 C
La temperatura sulla faccia interna si
mantiene costante e pari a 32,5 °C.
 e
s

D 0
e
 0, 024

710
7
86400
 0,84
 s     0  0,84 12,5  10,5 C
La temperatura sulla faccia interna varia
tra 22 e 43°C.
Il flusso termico in condizioni di regime variabile, è diverso nei due casi in quanto
regolato da valori differenti della temperatura sulla superficie interna della parete.
45