L`accelerazione - Progetto e

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO
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CORSO DI LAUREA IN TUTELA E BENESSERE ANIMALE
Corso di : FISICA MEDICA
Docente: Dott. Chiucchi Riccardo
A.A. 2015 /2016
mail:[email protected]
Medicina Veterinaria: CFU 5 (corso integrato con Statistica e
Informatica : CFU 5)
Tutela e benessere animale: CFU 5
Durata del corso: 35 ore
L’accelerazione
L’accelerazione a è una grandezza fisica vettoriale chi esprime la
variazione di velocità di un corpo in un certo intervallo di tempo.
Accelerazione media
Consideriamo il moto di un corpo negli istanti di tempo tiniziale=ti e
tfinale=tf. Indicando con vi la velocità iniziale del corpo nell’istante ti e
con vf la sua velocità finale nell’istante tf, si definisce accelerazione
media a m , la grandezza vettoriale data dal rapporto tra la variazione
di velocità del corpo nell’intervallo di tempo considerato cioè:
a
a
m
m
v
t
v
t
v v
t t
finale
finale
v
t
iniziale
iniziale
0
0
L’accelerazione media ha le seguenti caratteristiche:
 Il vettore
a ha la stessa direzione e lo stesso verso del vettore
v
v e modulo pari a
;
t
m
 rappresenta la rapidità con cui varia la velocità quindi è nullo
quando la velocità rimane costante;
 la sua unità di misura nel SI, essendo ottenuta dal rapporto tra
una velocità (m/s) e un intervallo di tempo è il m/s2 (m/s-2);
 può essere dello stesso segno della velocità o anche di segno
opposto (auto che procede con velocità positiva che inizia
frenare).
Accelerazione istantanea
Analogamente al caso della velocità istantanea, l’accelerazione
istantanea viene calcolata assumendo un intervallo di tempo t
talmente piccolo da tendere a zero. In linguaggio matematico si ha:
a
ist
lim
t
0
v
t
e, ricordando il significato di derivata:
a
ist
dv
dt
Moto uniformemente accelerato
Un moto viene detto uniformemente accelerato quando
l’accelerazione è costante.
Tale moto nel grafico velocità-tempo è rappresentato da una retta
(proporzionalità diretta tra la velocità e l’intervallo di tempo) che
può avere le seguenti caratteristiche:
 passare per l’origine degli assi, nel caso in cui la velocità iniziale
è nulla all’istante iniziale t0=0s;
 intersecare l’asse della velocità (asse delle ordinate)
nell’ordinata che ha esattamente come valore la velocità
iniziale;
esempio:
 avere pendenza negativa se la velocità finale è minore della
velocità iniziale.
Legge oraria del moto uniformemente accelerato
Per determinare la legge oraria del moto uniformemente accelerato,
si può procedere analiticamente o per via grafica.

Dimostrazione analitica
Consideriamo il moto rettilineo uniformemente accelerato di un
corpo.
La velocità sarà data dalla formula
da cui si ottiene
Integrando al primo membro tra lo spazio generico s e quello iniziale
s0 ed eseguendo la stessa operazione al secondo membro tra
l’istante t generico e quello iniziale t0 si ha:
Si procede analogamente con la formula dell’accelerazione:
da cui si ottiene
; integrando
risolvendo l’integrale si ricava l’espressione della velocità
che andremo sostituire all’interno dell’integrale come indicato dalla
freccia rossa.
Sostituendo si ottiene
da cui si ottiene:
Legge oraria del moto
uniformemente accelerato
 Dimostrazione geometrica
Per ricavare da legge oraria del molto uniformemente accelerato
consideriamo inizialmente il grafico velocità-tempo del moto
rettilineo uniforme riportato della figura seguente.
Supponiamo di voler determinare lo spazio percorso
x
nell’intervallo di tempo t che va da quattro secondi a dieci secondi.
Considerando che la velocità è costante e vale 6m/s si ha:
v
x
da cui
t
x
v t 6
m
(10 4)s 36m
s
Dalla figura si deduce che il
prodotto tra la velocità v e
l’intervallo
di
tempo
t,
rappresenta l’area del rettangolo
verde. Ricordando che x=v t,
possiamo affermare che lo spazio
percorso x, equivale all’area
sottesa la curva v nell’intervallo
di tempo t.
Analizziamo ora nel grafico velocità-tempo, un moto che avviene ad
accelerazione costante come quello illustrato la seguente figura:
Lo spazio percorso tra l’istante iniziale t0 e l’istante generico t,
geometricamente sarà dato dall’area del parallelogramma che ha
per basi v0 e v.
Ricordando che t0=0s la formula a
v v
t t
m
diviene a
0
0
m
v v
t
0
si
ricava la relazione che lega la velocità all’accelerazione e
all’intervallo di tempo, nel moto uniformemente accelerato:
v
v
at
0
L’area del parallelogramma sarà quindi data da:
Area
base maggiore base min ore
altezza
2
Ricordando che l’area rappresenta lo spazio percorso s, si ottiene:
v
Area s(t)
s(t)
2v
0
2
at
0
at v
t da cui
2
2v
at
at
t
vt
2
2
2
0
2
t
2
0
0
se all’istante iniziale t0 il corpo aveva già percorso uno spazio s0, si
ottiene la formula generale seguente:
2
s(t) s
0
vt
0
at
2
Consideriamo ora il caso particolare in cui s0=0m e v0=0m/s. Il
grafico velocità tempo abbiamo già visto che sarà una retta passante
per l’origine come quella rappresentata nella figura seguente.
E’ evidente che l’area sottesa la curva cioè lo spazio percorso, nel
tempo t, in questo caso, è rappresentata dall’area del triangolo
verde.
La sua area sarà quindi data da: Area base altezza .
2
2
Sostituendo si ottiene: s(t) t v t at at che è l’equazione della
2
2
2
legge oraria del moto uniformemente accelerato vista
2
precedentemente ( s(t)
s
0
vt
0
at
), dove i primi due termini
2
al secondo membro sono nulli.
Grafico spazio-tempo (del moto rettilineo uniformemente accelerato)
Analizzando l’equazione della legge oraria s(t) s
2
0
vt
0
at del moto
2
rettilineo uniformemente accelerato, si evince che il grafico è
costituito da un arco di parabola (equazione di secondo grado nella
variabile t) chi ha la concavità rivolta verso l’alto se l’accelerazione è
positiva mentre è rivolta verso il basso con un’accelerazione
negativa (decelerazione) come illustrato nella figura seguente.
Accelerazione positiva
a>0ms-2
s0>0m
Accelerazione negativa decelerazione
a<0ms-2
s0>0m
In generale possiamo riassumere i grafici spazio – tempo (x,t),
velocità tempo (v,t), e accelerazione e tempo (a,t) nella seguente
tabella: