Proprietà delle funzioni

Proprietà delle funzioni
M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler
Funzioni crescenti e decrescenti
Una funzione f è crescente in (a, b) se f (x1) ≤ f (x2)
quando x1 < x2.
Una funzione f è decrescente in (a, b) se f (x1) ≥ f (x2)
quando x1 < x2.
Crescente
Decrescente
Crescente
Estremi di una funzione
Una funzione f definita su un intervallo [a, b] ha
un massimo in x = c in [a, b], chiamato max 𝑓, se
f ( x)  f (c) per ogni x in [a, b] .
Una funzione f definita su un intervallo [a, b] ha
un minimo in x = d in [a, b], chiamato m𝑖𝑛 𝑓, se
f ( x)  f (d ) per ogni x in [a, b].
max 𝑓
a
b
m𝑖𝑛 𝑓
c
d
Funzioni monotone
Definizione: Una funzione f si dice monotona
crescente se è sempre crescente.
Definizione: Una funzione f si dice monotona
decrescente se è sempre decrescente.
Definizione: Una funzione f si dice strettamente
monotona se è strettamente crescente (vale il
segno < invece di ≤) o strettamente decrescente
(vale il segno > invece di ≥).
Esempio: la funzione lineare e
monotona (strettamente) crescente o
y
decrescente
Monotona
decrescente
5
10
𝑦=− 𝑥+
3
3
In generale una
retta ha
equazione:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞
Dove m è il
coefficiente
angolare e q è
intercetta.
(– 1, 5)
(2, 0)
x
Esempio: funzione costante 𝑦 = 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅
Ad esempio (x) = – 3.
Trovare il dominio, l’ immagine.y
E’ invertibile?
Soluzione: Il dominio
é (– , ).
L’ immagine è {– 3}.
La funzione costante
non è invertibile.
x
Retta orizzontale
(0, – 3)
Esempio. Retta verticale 𝑥 = 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅
x = – 3.
E’ una funzione?
y
Trovare il dominio, il codominio.
Il dominio di
questa relazione,
che non è una
funzione, è {– 3}.
Il codominio è
(– , ).
Retta verticale
( – 3, 0)
x
x  3
Funzioni Limitate
• Una funzione 𝑓: 𝐴 ⊆ 𝑅 → 𝑅 si dice
superiormente limitata se la sua immagine
𝑓(𝐴) è un sottoinsieme di R superiormente
limitato.
• Una funzione 𝑓: 𝐴 ⊆ 𝑅 → 𝑅 si dice
inferiormente limitata se la sua immagine
𝑓(𝐴) è un sottoinsieme di R inferiormente
limitato.
• Una funzione 𝑓: 𝐴 ⊆ 𝑅 → 𝑅 si dice limitata se
lo è superiormente e inferiormente.
Funzione quadratica o parabola:
Dominio?
R
Immagine?
[0, ∞)
E’ monotona?
No.
E’ decrescente
per x<0 e crescente
per x>0.
In x=0 c’e’ un minimo
E’ invertibile?
no
E’ limitata?
inferiormente
𝑦 = 𝑥2
Caso simmetrico: 𝑦 = −
Dominio?
R
Immagine?
(−∞, 0]
E’ monotona?
No. E’ crescente
per x<0 e decrescente
per x>0.
In x=0 c’e’ un massimo
E’ invertibile?
no
E’ limitata?
superiormente
2
𝑥
Caso generale: Se a, b e c sono numeri reali con a  0 la
funzione
f (x) = ax2 + bx + c
é chiamata funzione quadratica.
Il suo grafico è una parabola.
Ogni parabola è simmetrica rispetto ad un asse chiamato
asse di simmetria.
y
IL punto di intersezione tra
la parabola e l’ asse è
chiamato vertice della
parabola.
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f (x) = ax2 + bx + c
vertice
x
Asse di
simmetria
11
y
a>0
concavità
verso l’ alto
f(x) = ax2 + bx + c
x
Il vertice è minimo
y
x
Il vertice è il massimo
f(x) = ax2 + bx + c
a<0
concavità
verso il basso
Funzioni pari e dispari
Definizione: Una funzione 𝑓: 𝑅 → 𝑅 si dice pari
se
𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ 𝑅.
Definizione: Una funzione 𝑓: 𝑅 → 𝑅 si dice
dispari se
𝑓 𝑥 = −𝑓 −𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ 𝑅.
𝐄𝐬𝐞𝐦𝐩𝐢𝐨. Funzione potenza
𝑛
𝑦 = 𝑎𝑥 , 𝑎 > 0, 𝑛 naturale pari
Cresce per
x>0 e
decresce for
x<0
E’ una
funzione pari
𝑓 𝑥
= 𝑓(−𝑥)
f(-x)
f(x)
-x
x
𝑛
𝑎𝑥 ,
𝐅𝐮𝐧𝐳𝐢𝐨𝐧𝐞 𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐳𝐚 𝑦 =
𝑎 > 0, con 𝑛 naturale dispari
E’ una funzione
dispari
𝑓 𝑥 = −𝑓(−𝑥)
Cresce per
ogni x
f(x)
-x
x
f(-x)
𝑝
𝐅𝐮𝐧𝐳𝐢𝐨𝐧𝐞 𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐳𝐚 𝑦 = 𝑎𝑥 ,
𝑎 > 0, 𝑝 >5 0 razionale
𝑦=
7
𝑥2
𝑦 = 𝑥2
𝑦=
3
𝑥2
𝑥3
=
Dominio: {x>0}
E’ invertibile?
sì
𝑦=
𝑦=
1
𝑥2
1
𝑥3
= 𝑥
=
3
𝑥
Iperbole 𝑦 =
1
𝑥
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝐷
𝑥𝜖 𝑅 ∶ 𝑥 ≠ 0
Il punto x è
singolare
Funzioni periodiche
𝐃𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢𝐳𝐢𝐨𝐧𝐞: Una funzione 𝑓: 𝐴 ⊆ 𝑅 → 𝑅 si
dice periodica se esiste 𝑇 > 0 tale che, per ogni
𝑥 ∈ 𝐴, si ha: 𝑥 + 𝑇 ∈ 𝐴 ed inoltre
𝑓 𝑥+𝑇 =𝑓 𝑥 .
Il più piccolo 𝑇 per cui vale la relazione sopra è
detto periodo della funzione.
Esempio. Funzione seno.
Per tracciare il grafico della funzione seno y = sen x localizziamo
dei punti strategici. Sono i punti di massimo, minimo e le
intersezioni con l’ asse delle x
x
0
sen x
0

2
1

3
2
2
0
-1
0
Un singolo ciclo è chiamato periodo 𝟐𝝅.
3

2



y
1
sen x

2
2
1
E’ una funzione invertibile?
no

3
2
2
5
2
x
Esempio. Funzione coseno.
Per tracciare il grafico della funzione coseno y = cos x localizziamo
dei punti strategici. Sono i punti di massimo, minimo e le
intersezioni con l’ asse delle x
x
0
cos x
1

2
0

3
2
2
-1
0
1
In rosso è tracciato il periodo 𝟐𝝅.

3
2



y
1

2
2
1
E’ una funzione invertibile?
no
y = cos x

3
2
2
5
2
x
Esempio. Funzione tangente.
senx
La funzione tangente y = tan x è definita tan x  .
cos x
Nei valori in cui cos x = 0, la funzione tangente non è definita.
y
Proprietà di y = tan x
1. dominio : tutti i reali x

x  k  k   
2
2. immagine: (–, +)
3. periodo: 
E’ invertibile? no
E’ monotona? no
E’ limitata? no

2
 3
2

2
periodo:
3
2
x
Esempio. Funzione cotangente.
cos x
La funzione cotangente y = cot x è definita cot x 
.
senx
Nei valori in cui sen x = 0, la funzione cotangente non è definita.
y
Proprietà di y = cot x
y  cot x
1. dominio : tutti i reali
x x  k k   
2. immagine: (–, +)
3. periodo: 
E’ invertibile? no
E’ monotona? no
E’ limitata? no

3
2
 

2

 3
2
2
x   periodo:
x  0 x  
x
2
x  2
Funzione inversa del seno.
Affinchè una funzione ammetta inversa, dve essere una
funzione iniettiva e soddisfare il Test della linea
orizzontale.
f(x) = sen x non verifica il Test della linea orizzontale
Affinchè esista la funzione inversa dobbiamo considerare
una sua restrizione. y
y = sen x
1

1
sen x ammette una
funzione inversa in
questo intervallo.

x
Restrizione di una funzione
Definizione: Una funzione 𝑓: 𝐴 ⊆ 𝑅 → 𝑅 e un
sottoinsieme 𝐵 ⊆ 𝐴, si dice restrizione di f a B
una funzione g: 𝐵 ⊆ 𝑅 → 𝑅 tale che
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ 𝐵.
La funzione inversa del seno è definita da
y = arcsen x se e solo se
sin y = x.
Angolo il cui seno è x
Il dominio di y = arcsen x è [–1, 1].
Il codominio di y = arcsen x è [–/2 , /2].
Esempio:
a. arcsin 1  
2 6
b. sin
1
3 
2
3
sin   3
3
2
Questo è un altro modo di scrivere arcsen x.
Per ottenere il grafico si riflette il grafico della funzione seno rispetto
alla bisettrice del I quadrante.
    
 ,1 a 1, 
2   2
y = arcsin(x)
y
y = sin(x)
 3   3  
 ,
 

3 2  a  2 ,3

 


 2   2  
 ,
 

4 2  a  2 ,4

 




arcsen( x) e sen 1 ( x)
x
Grafici di sen x ed arcsen x
Funzione inversa del coseno.
f(x) = cos x deve essere ristretta in modo che ammetta
funzione inversa.
y
1

y = cos x

1
cos x ha una funzione
inversa su questo
intervallo.
2
x
La funzione inversa del coseno è definita da
y = arccos x se e solo se
cos y = x.
Angolo il cui coseno è x
Il dominio di y = arccos x è [–1, 1].
Il codominio di y = arccos x è [0 , ].
Esempio:
a.) arccos 1  
2 3
 5
1 
3
b.) cos  


 2  6
cos 5   3
6
2
Questo è un altro modo di scrivere arccos x.
Funzione inversa del coseno.
Scegliamo una restrizione del coseno in modo che ammetta funzione
inversa. Ad esempio la zona delimitata dal riquadro rosso sotto.
In questo modo il dominio della funzione inversa diventa
[-1,1], mentre l’ immagine [0, π]
y = cos(x)
y
y
y = arccos(x)


5/6
2/3
/2

2/3
/3
/3
2/3

4/3
5/3
x
2
/3
/6



x
Funzione inversa della tangente.
f(x) = tan x deve essere ristretta affinchè ammetta
y
inversa.
y = tan x

2
 3
2

2
tan x ammette funzione
inversa su questo
intervallo.
3
2 x
La funzione inversa della funzione tangente è
definita da
y = arctan x se e solo se
tan y = x.
Angolo la cui tangente è x
Il dominio di y = arctan x è (,.)
L’ immagine di y = arctan x è [–/2 , /2].
Esempio:
a.) arctan 3  
3
6
b.) tan 1 3  
3
tan   3
3
Questo è un altro modo di scrivere arctan x.
Funzione inversa della tangente.
Come per la funzione seno il dominio che genera la
funzione inversa è   ,   .
 2 2 
y=tan(x)
4
y
y
y=arctan(x)
/2
3
2
/4

/2
/4
/4
/2
x
4
2
2

2
/4
3
/2
4
  
D    ,  e Cod   ,  
 2 2
  
D   ,   e Cod    , 
 2 2
4
x
6
arcsen(x) arccos(x) arctan(x)
Dominio
1  x  1 1  x  1    x  
Codominio    x  
0 x 
2
2


2
x

2
Altre funzioni speciali:
Funzioni esponenziali
E’ monotona? sì
E’ invertibile? sì
E’ limitata?
inferiormente
y
Immagine: (0, )
(0, 1)
x
Dominio: (–, )
Il grafico di f(x) = ax, a > 1
Il grafico di f(x) = ax, 0 < a <1
y
E’ monotona? sì
E’ invertibile? sì
E’ limitata?
inferiormente
Immagine: (0, )
(0, 1)
x
Dominio: (–, )
Il grafico di f(x) = ex
y
x
-2
-1
0
1
2
6
4
2
x
–2
2
f(x)
∿0.14
∿0.38
1
∿2.72
∿7.39
Funzione logaritmo
Per x  0 e 0  a  1,
y = loga x se e solo se x = a y.
La funzione definita da f (x) = loga x è chiamata
funzione logaritmo con base a.
Ogni equazione logaritmica ha una corrispondente equazione
esponenziale: y = loga x is equivalent to x = a y
Il logaritmo è un
esponente!
La funzione logaritmo è l’ inversa della funzione esponenziale.
Funzione esponenziale:
y = ax
Funzione logaritmica: y = logax è equivalente a x = ay
Funzione logaritmo
Poichè la funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione
esponenziale con la stessa base, il suo grafico è la riflessione del
grafico della funzione esponenziale rispetto alla retta y = x.
x
y
y
=
2
y=x
x
2x
–2
1
4
–1
1
2
0
1
1
2
2
3
4
8
y = log2 x
Inters. con x
x
(1, 0)
E’ monotona? sì
E’ invertibile? sì
E’ limitata? no
Grafici della funzione logaritmo
0<a<1
a>1
Es.
f ( x)  log3 x
y 3
y
f ( x)  log1/ 3 x
1
y  
 3
x
(0, 1)
x
y
(0, 1)
(1,0)
x
y  log3 x
(1,0)
x
y  log1/ 3 x
Esercizi
1. Trovare il campo di esistenza delle seguenti
funzioni:
•
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑥−1
;
𝑥
1−4𝑥
3
;
1
[[− , 1]]
2
•
𝑓 𝑥 =
•
•
𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥 2 ; [−2 ≤ 𝑥 ≤ 2]
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔4 𝑥 + 2 ; [𝑥 > −2]
•
•
𝑓 𝑥 =
[𝑥 ≥ 1 𝑜 𝑥 < 0 ]
𝑥 2 −9
𝑙𝑜𝑔4
𝑥
𝑓 𝑥 =𝑒
𝑥2 −4
𝑥
; [−3 < 𝑥 < 0 𝑜 𝑥 > 3]
; [𝑥 ≠ 0]
Esercizi
2. Trovare il campo di esistenza delle seguenti
funzioni:
•
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
•
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
•
𝑓 𝑥 =
•
𝑓 𝑥 =
•
𝑓 𝑥 =
•
𝑓 𝑥 =
𝑥 2 −25
;
2−𝑥
1−4𝑥
3𝑥−1
−𝑥+2
3
; [𝑥 ≠
1
]
3
; [−1 ≤ 𝑥 ≤ 5 ]
[𝑥 ≤ −5 𝑜 2 < 𝑥 ≤ 5]
𝑥+1
𝑐𝑜𝑠 2
𝑥 −9
𝑥
𝑙𝑜𝑔 2
𝑥 −1
2 −4𝑥
−𝑥
𝑒
;
; [𝑥 ≠ ±3]
; [−1 < 𝑥 < 0 𝑜 𝑥 > 1]
[𝑅]
Esercizi
3. Stabilire se le seguenti funzioni sono pari o
dispari:
•
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 1 [𝑝𝑎𝑟𝑖]
•
𝑓 𝑥 =
•
𝑓 𝑥 =
•
𝑓 𝑥 =
•
𝑓 𝑥 =
𝑥 2 +2
; [𝑝𝑎𝑟𝑖]
4
𝑥
𝑥 3 ; [𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖
]
𝑥 2 +2
; [𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖]
𝑥
𝑥 2 − 2𝑥 + 2; [𝑛é
𝑝𝑎𝑟𝑖 𝑛é 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖]