Proprietà delle funzioni

Proprietà delle funzioni
M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler
Funzioni crescenti e decrescenti
Una funzione f è crescente in (a, b) se f (x1) ≤ f (x2)
quando x1 ≤ x2.
Una funzione f è decrescente in (a, b) se f (x1) ≥ f (x2)
quando x1 ≤ x2.
Crescente
Decrescente
Crescente
Estremi di una funzione
Una funzione f definita su un intervallo [a, b] ha un
massimo in 𝑥 = 𝑐 in [a, b], chiamato max 𝑓, se
f ( x)  f (c) per ogni 𝑥 in [a, b] .
Una funzione f definita su un intervallo [a, b] ha
un minimo in x = d in [a, b], chiamato m𝑖𝑛 𝑓, se
f ( x)  f (d ) per ogni 𝑥 in [a, b].
max 𝑓
a
b
m𝑖𝑛 𝑓
c
d
Funzioni monotone
Definizione: Una funzione f si dice monotona crescente
se è sempre crescente.
Definizione: Una funzione f si dice monotona
decrescente se è sempre decrescente.
Definizione: Una funzione f si dice strettamente
monotona se è strettamente crescente (vale il segno <
invece di ≤) o strettamente decrescente (vale il segno >
invece di ≥).
Esempio: la funzione lineare e monotona
(strettamente) crescente o decrescente
y
Monotona
decrescente
5
10
𝑦=− 𝑥+
3
3
In generale una
retta ha
equazione:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞
dove 𝑚 è il
coefficiente
angolare e q è
intercetta.
(– 1, 5)
(2, 0)
x
Esempio: funzione costante 𝑦 = 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ
Ad esempio (𝑥) = – 3.
Trovare il dominio, l’ immagine.
E’ invertibile?
Soluzione: Il dominio è
(– , ).
L’ immagine è {– 3}.
La funzione costante non
è invertibile.
y
x
Retta orizzontale
(𝑥, −3)
Esempio. Retta verticale 𝑥 = 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ
𝑥 = −3 (si intende l’insieme (−3, 𝑦) con 𝑦 non
vincolato).
y
E’ una funzione?
Trovare il dominio, il codominio.
Retta verticale
Il dominio di
questa relazione,
(−3, 𝑦)
che non è una
funzione, è {−3}.
Il codominio è
x  3
(– , ).
x
Funzioni Limitate
• Una funzione 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ → ℝ si dice
superiormente limitata se la sua immagine
𝑓(𝐴) è un sottoinsieme di ℝ superiormente
limitato.
• Una funzione 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ → ℝ si dice
inferiormente limitata se la sua immagine
𝑓(𝐴) è un sottoinsieme di ℝ inferiormente
limitato.
• Una funzione 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ → ℝ si dice limitata se
lo è superiormente e inferiormente.
Funzione quadratica o parabola:
𝑦 = 𝑥 2 , dominio (−∞, ∞)
Immagine?
[0, ∞)
È monotona?
No.
È decrescente
per 𝑥 ≤ 0 e crescente
per 𝑥 ≥ 0.
In 𝑥 = 0 c’è un minimo
È invertibile?
no
È limitata?
inferiormente
Caso simmetrico:
𝑦 = − 𝑥 2 , dominio (−∞, ∞)
Immagine?
(−∞, 0]
È monotona?
No.
E’ crescente
per 𝑥 ≤ 0 e decrescente
per 𝑥 ≥ 0.
In 𝑥 = 0 c’è un massimo
È invertibile?
no
È limitata?
superiormente
Caso generale: Se 𝑎, 𝑏 e 𝑐 sono numeri reali con 𝑎 ≠ 0
la funzione
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
è chiamata funzione quadratica. Il suo grafico è una
parabola.
Ogni parabola è simmetrica rispetto ad un asse
chiamato asse di simmetria. y
Il punto di intersezione
tra la parabola e l’asse è
chiamato vertice della
parabola.
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f (x) = ax2 + bx + c
vertice
x
Asse di
simmetria
11
f(x) = ax2 + bx + c
a>0
y
concavità
verso l’alto
x
Il vertice è minimo
y
x
Il vertice è il massimo
f(x) = ax2 + bx + c
a<0
concavità
verso il basso
Funzioni pari e dispari
Definizione: Una funzione 𝑓: ℝ → ℝ si dice pari
se
𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ 𝑅.
Definizione: Una funzione 𝑓: ℝ → ℝ si dice
dispari se
𝑓 𝑥 = −𝑓 −𝑥 , ∀ 𝑥 ∈ 𝑅.
𝐄𝐬𝐞𝐦𝐩𝐢𝐨. Funzione potenza
𝑦 = 𝑎𝑥 𝑛 , 𝑎 > 0 (𝑎 < 0), 𝑛 naturale pari
E’ una
funzione pari
𝑓 𝑥
= 𝑓(−𝑥)
Cresce per
𝑥 ≥0e
decresce
for 𝑥 ≤ 0
f(-x)
f(x)
-x
x
Funzione potenza
𝑦 = 𝑎𝑥 𝑛 , 𝑎 > 0 (𝑎 < 0), con 𝑛 naturale dispari
E’ una funzione
dispari
Cresce per
ogni 𝑥
𝑓 𝑥 = −𝑓(−𝑥)
f(x)
-x
x
f(-x)
Funzione potenza
𝑦 = 𝑎𝑥 𝑝 , 𝑎 > 0 (𝑎 < 0), 𝑝 > 0 un numero reale
𝑦=
7
𝑥2
𝑦=
5
𝑥2
𝑦=
3
𝑥2
=
𝑥3
Dominio: {𝑥 ≥ 0}
E’ invertibile?
sì
𝑦=
1
𝑥2
= 𝑥
𝑦=
1
𝑥3
=
3
𝑥
Iperbole 𝑦 =
1
𝑥
Dominio
𝑥 ∈ℝ|𝑥 ≠0
Il punto 𝑥 è
singolare
Altri esempi di funzioni potenza
Funzioni periodiche
Definizione: Una funzione 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ → ℝ si dice
periodica se esiste 𝑇 > 0 tale che, per ogni
𝑥 ∈ 𝐴, si ha: 𝑥 + 𝑇 ∈ 𝐴 ed inoltre
𝑓 𝑥+𝑇 =𝑓 𝑥 .
Il più piccolo 𝑇 per cui vale la relazione sopra è
detto periodo della funzione.
Esempio. Funzione seno.
Per tracciare il grafico della funzione seno 𝑦 = sen 𝑥, 𝑥 ∈ ℝ
localizziamo dei punti strategici. Sono i punti di massimo,
minimo e le intersezioni con l’asse delle 𝑥

3
x
0
Un singolo ciclo è

2
2
2
chiamato
sen x
0
1
0
-1
0
periodo 𝟐𝝅
Esempio. Funzione coseno.
Per tracciare il grafico della funzione coseno 𝑦 = cos 𝑥
localizziamo dei punti strategici. Sono i punti di massimo, minimo
e le intersezioni con l’ asse delle 𝑥
x
0
cos x
1

2
0

-1
3
2
0
2
1
In rosso è tracciato
il periodo 𝟐𝝅.
Esempio. Funzione tangente.
sin 𝑥
La funzione tangente 𝑦 = tan 𝑥 è definita tan 𝑥 =
cos 𝑥
Nei valori in cui cos x = 0, la funzione tangente non è definita.
y
Proprietà di y = tan x
1. dominio: tutti i reali
𝜋
𝑥 ≠ + 𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ)

2
2. immagine: (–, +)
3. periodo: 
È invertibile? no
È monotona? no
È limitata? no
2
 3
2

2
periodo:
3
2
x
Esempio. Funzione cotangente.
cos 𝑥
La funzione cotangente 𝑦 = cot 𝑥 è definita cot 𝑥 =
sin 𝑥
Nei valori in cui sen x = 0, la funzione cotangente non è definita.
.
y
Proprietà di y = cot x
y  cot x
1. dominio: tutti i reali
𝑥 ≠ 𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ)
2. immagine: (–, +)
3. periodo: 
È invertibile? no
È monotona? no
È limitata? no

3
2
 

2
x  
x0

 3
2
2
x 
periodo:
x
2
x  2
Funzione inversa del seno.
Affinchè una funzione ammetta inversa, deve essere
una funzione iniettiva e soddisfare il Test della linea
orizzontale.
f(x) = sen x non verifica il Test della linea orizzontale.
Affinchè esista la funzione inversa dobbiamo
considerare una sua restrizione.
Restrizione di una funzione
Definizione: Dati una funzione 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ → ℝe
un sottoinsieme 𝐵 ⊆ 𝐴, si dice restrizione di f a
B una funzione 𝑔 ∶ 𝐵 ⊆ ℝ → ℝ tale che
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐵.
Esempio. sen:
𝜋 𝜋
− ,
2 2
→ [−1,1] è invertibile.
La funzione inversa del seno è definita da
y = arcsen x se e solo se
sin y = x.
Angolo il cui seno è x
Il dominio di y = arcsen x è [–1, 1].
Il codominio di y = arcsen x è [–/2 , /2].
Esempio:
a. arcsin 1  
2 6
b. sin
1
3 
2
3
sin   3
3
2
Questo è un altro modo di scrivere arcsen x.
Per ottenere il grafico si riflette il grafico della funzione seno rispetto
alla bisettrice del I quadrante.
y = arcsin(x)
    
 ,1 a 1, 
2   2

 ,
3


 ,
4

y
y = sin(x)
3  3  
a
, 


2   2 3
2  2 
a

,
2   2 4 




arcsen𝑥 o sen−1 𝑥 in blue
x
Grafici di sen x ed arcsen x
Funzione inversa del coseno.
𝑓 𝑥 = cos 𝑥 deve essere ristretta in modo che
ammetta funzione inversa.
cos: 0, 𝜋 → [−1,1] è invertibile
La funzione inversa del coseno è definita da
y = arccos x se e solo se
cos y = x.
Angolo il cui coseno è x
Il dominio di y = arccos x è [–1, 1].
Il codominio di y = arccos x è [0 , ].
Esempio:
a.) arccos 1  
2 3
 5
1 
3
b.) cos  


 2  6
cos 5   3
6
2
Questo è un altro modo di scrivere arccos x.
Funzione inversa del coseno.
Scegliamo una restrizione del coseno in modo che ammetta
funzione inversa. Ad esempio la zona delimitata dal riquadro
rosso sotto.
In questo modo il dominio della funzione inversa
diventa [-1,1], mentre l’ immagine [0, π]
y
y = arccos(x)

Grafico di
arccos 𝑥 = cos−1 𝑥
5/6
2/3
/2
/3
/6


x
Funzione inversa della tangente.
f(x) = tan x deve essere ristretta affinchè ammetta
y
inversa.
y = tan x

2
 3
2

2
tan x ammette funzione
inversa su questo
intervallo.
3
2 x
La funzione inversa della funzione tangente è
definita da
y = arctan x se e solo se
tan y = x.
Angolo la cui tangente è x
Il dominio di y = arctan x è (−∞, ∞)
𝜋 𝜋
L’ immagine di y = arctan x è − ,
2 2
Esempio:
.
a.) arctan 3  
3
6
b.) tan 1 3  
3
tan   3
3
Questo è un altro modo di scrivere arctan x.
Funzione inversa della tangente.
Come per la funzione seno il dominio che genera la
funzione inversa è   ,   .
 2 2 
y=tan(x)
4
y
y
y=arctan(x)
/2
3
2
/4

/2
/4
/4
/2
x
4
2
2

2
/4
3
/2
4
  
D    ,  e Cod   ,  
 2 2
  
D   ,   e Cod    , 
 2 2
4
x
6
arcsen(x)
Dominio
Codominio
arccos(x) arctan(x)
1  x  1 1  x  1    x  


2
x

2
0 x 


2
x

2
Altre funzioni speciali:
Funzioni esponenziali 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 , 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 0
È monotona? sì
È invertibile? sì
È limitata?
inferiormente
y
Immagine: (0, )
(0, 1)
x
Dominio: (–, )
Il grafico di f(x) = ax, a > 1
Il grafico di f(x) = ax, 0 < a <1
y
È monotona? sì
È invertibile? sì
È limitata?
inferiormente
Immagine: (0, )
(0, 1)
x
Dominio: (–, )
Il grafico di f(x) = ex
y
x
-2
-1
0
1
2
6
4
2
f(x)
∿0.14
∿0.38
1
∿2.72
∿7.39
x
–2
2
Il numero 𝑒 = 2.71828 è il numero di Nepero
Funzione logaritmo
Per x  0 e 0  a  1,
y = loga x se e solo se x = a y.
La funzione definita da f (x) = loga x è chiamata
funzione logaritmo con base a.
Ogni equazione logaritmica ha una corrispondente
equazione esponenziale: y = loga x se e solo se x = a y
Il logaritmo è un
esponente!
La funzione logaritmo è l’inversa della funzione
esponenziale.
Funzione logaritmo
Poichè la funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione
esponenziale con la stessa base, il suo grafico è la riflessione del
grafico della funzione esponenziale rispetto alla retta y = x.
x
2x
–2
1
4
–1
1
2
0
1
1
2
2
3
4
8
y
y = 2x
y=x
y = log2 x
Inters. con x
x
(1, 0)
È monotona? sì
È invertibile? sì
È limitata? no
Logaritmo naturale
Il logaritmo in base 𝑒 si chiama logaritmo naturale
e si scrive
ln𝑥 = log 𝑒 𝑥
Grafici della funzione logaritmo
0<a<1
a>1
Es.
f ( x)  log1/ 3 x
f ( x)  log3 x
y 3
y
1
y  
 3
x
(0, 1)
x
y
(0, 1)
(1,0)
x
y  log3 x
(1,0)
x
y  log1/ 3 x
Esercizi
1. Trovare il campo di esistenza delle seguenti
funzioni:
•
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥; [ 2𝑘𝜋, π + 2𝑘π , 𝑘 =
0, ±1, ±2, … ]
1−4𝑥
3
•
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
•
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔4 𝑥 + 2 ; [𝑥 > −2]
•
•
𝑓 𝑥 =
𝑥 2 −9
𝑙𝑜𝑔4
𝑥
𝑓 𝑥 =𝑒
𝑥2 −4
𝑥
;
1
[[− , 1]]
2
; [−3 < 𝑥 < 0 𝑜 𝑥 > 3]
; [𝑥 ≠ 0]
Soluzione 1. Trovare il campo di esistenza della seguente
funzione:
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ∈ 0, 𝜋 + 𝑘2𝜋
⇒ 𝑥 ∈ 𝑘2𝜋, 𝜋 + 𝑘2𝜋 .
Soluzione 2. Trovare il campo di esistenza della seguente
funzione:
1 − 4𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
3
1 − 4𝑥
∈ −1,1 ⇒
3
1 − 4𝑥
−1 ≤
≤1
3
Risolvendo le due disequazione si trova la soluzione.
2. Trovare l’immagine e l’inversa della funzione
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
1−4𝑥
3
Una trasformazione lineare 𝑚𝑥 + 𝑞 dilata (0 < 𝑚 < 1),
restringe (𝑚 > 1) e traslata una data funzione di 𝑞.
Per 𝑚 < 0 c’è in più una riflessione rispetto all’asse delle 𝑦.
Per trovare l’immagine basta calcolare gli estremi 𝑓
𝜋 𝜋
2 2
L’immagine è data da − ,
1
−
2
.
L’inversa si trova così
1 − 4𝑥
1 − 4𝑥
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
⇔ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 =
⇔
3
3
⇔
1−3𝑠𝑒𝑛𝑦
4
=
𝑥, quindi 𝑓 −1
𝑦 =
1−3𝑠𝑒𝑛𝑦
.
4
,𝑓 1 .
3. Stabilire se le seguenti funzioni sono pari o
dispari:
•
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 1 [𝑝𝑎𝑟𝑖]
•
𝑓 𝑥 =
•
𝑓 𝑥 =
𝑥 2 +2
; [𝑝𝑎𝑟𝑖]
4
𝑥
𝑥 3 ; [𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖
𝑥 2 +2
;
𝑥
2
]
•
𝑓 𝑥 =
•
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2𝑥 + 2; [𝑛é 𝑝𝑎𝑟𝑖 𝑛é 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖]
•
cosh(𝑥)
[𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖]
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
=
;
2
senh(𝑥)
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
=
2
le ultime due funzioni si chiamano coseno
iperbolico e seno iperbolico.
Soluzione 14 )
𝑓 𝑥 =
𝑥 2 −9
𝑙𝑜𝑔4
𝑥
𝑥 2 −9
𝑥
Il dominio è dato dalla condizione
> 0.
Visto che 𝑥 2 − 9 = 𝑥 − 3 𝑥 + 3 = 0 i punti critici del
numeratore sono 𝑥 = 3, 𝑥 = −3. Il denominatore ha solo
𝑥 = 0 come punto critico.
-3
0
3
Num.
+
0
-
-
-
0
+
Den.
-
-
-
0
+
+
+
Frazione -
0
+
n.d.
-
0
+
Il dominio della funzione è dato da −3,0 ∪ 3, ∞ .