Esercizi di Elettromagnetismo e Elettrodinamica

Esercizi di Elettromagnetismo e
Elettrodinamica
L. Cappiello, R. Pettorino, A. Porzio, S. Solimeno
Dipartimento di Scienze Fisiche
Università di Napoli “Federico II
Queste note sono sottoposte a continue revisioni al fine di rimuovere errori e chiarire
passaggi e sviluppi spesso contorti. Di ciò gli autori si scusano con gli studenti confermando la disponibilità a chiarire attraverso contatti personali esercizi e metodi di calcolo
non suﬃcientemente chiari.
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Indice
1 Metodi matematici della Elettrodinamica
1.1 Identità vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Operatori diﬀerenziali . . . . . . . . . . . . .
1.3 Identità di Green . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Decomposizione campi vettoriali . . . . . . . .
1.5 Valutazione asintotica . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Metodo della fase stazionaria (SP) . .
1.5.2 Metodo dello steepest descent (SD) . .
1.5.3 Metodo WKB . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Equazione di Helmholtz . . . . . . . .
1.6 Sistemi caotici . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Funzioni speciali . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Distribuzioni . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Funzioni di Bessel, Hankel e Struve . .
1.7.3 Funzioni di Mathieu . . . . . . . . . .
1.7.4 Funzione di Airy . . . . . . . . . . . .
1.7.5 Integrali ellittici . . . . . . . . . . . . .
1.8 Trasformate integrali . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Trasformata di Fourier . . . . . . . . .
1.8.2 Trasformate di Hankel (Fourier-Bessel)
1.8.3 Trasformata di Hilbert . . . . . . . . .
1.9 Sistemi dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Richiami di teoria della relatività
2.1 4-Vettori e 4-tensori dello spazio-tempo
2.1.1 Trasformazioni di Lorentz . . .
2.1.2 Riferimento proprio . . . . . . .
2.2 4-Tensori elettromagnetici . . . . . . .
2.3 Mezzi in movimento . . . . . . . . . .
2.4 Invarianti del campo e.m. . . . . . . .
2.5 4-Tensore degli sforzi elettromagnetici .
2.6 4-vettore d’onda . . . . . . . . . . . . .
2.7 4-vettore quantità di moto . . . . . . .
2.7.1 Eﬀetto Compton . . . . . . . .
2.7.2 Comptonizzazione . . . . . . . .
2.7.3 Eﬀetto Sunayev-Zeldovich . . .
2.7.4 Eﬀetto Mössbauer . . . . . . . .
2.8 Processi di diﬀusione . . . . . . . . . .
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6
Indice
2.8.1 Trasformazioni sezioni d’urto diﬀerenziali . .
2.8.2 Riferimenti utilizzati nello scattering elastico
2.8.3 Spazio delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Moto dello spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Campi e.m. in sistemi rotanti . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Eﬀetto Sagnac . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Propagazione in spazi curvi . . . . . . . . . . . . .
2.11.1 Metrica di Schwarzshild . . . . . . . . . . .
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3 Interazioni elettriche e magnetiche
3.1 Multipoli elettrici e magnetici . . . . . . . . . . . . .
3.2 Interazioni elettrostatiche . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Interazioni tra conduttori . . . . . . . . . . .
3.2.2 Multipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Interazione elettroni-nucleo . . . . . . . . . . .
3.2.4 Interazione elettrone-elettrone in un atomo . .
3.2.5 Interazione elettrone-elettrone in una molecola
3.2.6 Elettroni di un metallo . . . . . . . . . . . . .
3.3 Interazioni nei cristalli . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Campo locale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Interazioni in dielettrici non omogenei . . . .
3.4 Forze di van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Interazioni magnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Bobine di Helmholtz . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Magnetismo nei solidi . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Materiali diamagnetici . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Materiali ferromagnetici . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Equazioni di Bloch . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.6 Approssimazione di onda rotante . . . . . . .
3.5.7 Accoppiamento spin nell’NMR . . . . . . . . .
4 Teoria delle orbite
4.1 Lagrangiana ed Hamiltoniana . . . . . .
4.1.0.1 Oscillazioni di betatrone
4.2 Lagrangiana covariante . . . . . . . . . .
4.2.1 Eﬀetto Stewart-Tolman . . . . . .
4.3 Invarianti adiabatici . . . . . . . . . . .
4.3.1 Specchi e bottiglie magnetiche . .
4.3.2 Tokamak . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Campo magnetico terrestre . . . .
4.3.4 Vento solare . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Aurora boreale . . . . . . . . . .
4.3.6 Accelerazione di Fermi . . . . . .
4.4 Elettroni in un’onda piana . . . . . . . .
4.5 Reazione di radiazione . . . . . . . . . .
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Indice
7
5 Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
5.1 Lenti elettrostatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Lenti magnetostatiche . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Elettroni in un’onda piana . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Reazione di radiazione . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Tubi a microonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Klystron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Magnetron . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Tubo ad onda progressiva (TWT) . . . . . .
5.6 Forza ponderomotrice . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Pinzette ottiche . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Trappole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 MOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Trappola di Paul . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.3 Trappola di Penning . . . . . . . . . . . . .
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6 Acceleratori di particelle
6.0.4 LINAC . . . . . . . . . . . . . . .
6.0.5 Ciclotrone . . . . . . . . . . . . .
6.0.6 Microtrone . . . . . . . . . . . . .
6.0.7 Sincrotrone . . . . . . . . . . . .
6.0.8 Ondulatori . . . . . . . . . . . . .
6.1 Tubi a microonde . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Klystron . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Magnetron . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Tubo ad onda progressiva (TWT)
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7 Campi di cariche in movimento
7.0.4 Funzioni di Green scalare nel dominio della frequenza
7.0.5 Funzioni di Green diadica nel dominio della frequenza
7.0.6 Funzioni di Green nel dominio del tempo . . . . . . .
7.1 Potenziali di Liénard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Gauge di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Interazioni tra cariche in movimento . . . . . . . . . . . . .
7.4 Campi irradiati da multipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Densità spettrale energia e potenza irradiata . . . . . . . . .
7.6 Interazione atomi-sciami di particelle cariche . . . . . . . . .
7.6.1 Esperimento di Franck ed Hertz . . . . . . . . . . . .
7.7 Radiazione Cerenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Radiazione di frenamento (Bremsstrhalung) . . . . . . . . .
7.9 Radiazione di sincrotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9.1 Radiazione di ciclotrone . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9.2 Radiazione di ondulatore . . . . . . . . . . . . . . . .
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263
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268
276
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279
290
293
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297
. 297
. 298
. 299
. 300
8 Onde elettromagnetiche
8.1 Teoremi di reciprocità . .
8.2 Teorema dell’energia . . .
8.3 Onde piane . . . . . . . .
8.4 Focalizzazione onde piane
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8
Indice
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
8.12
8.13
8.14
Tecnica SNOM . . . . . . . . . . .
Equazione dei raggi . . . . . . . . .
Campi bidimensionali . . . . . . . .
Campi in coordinate cilindriche . .
8.8.1 Modi polarizzati linearmente
Campi in coordinate sferiche . . . .
Fibre ottiche . . . . . . . . . . . . .
Guide d’onda . . . . . . . . . . . .
Oscillazioni di una cavità . . . . . .
Scattering di Mie . . . . . . . . . .
Potenziali di Debye . . . . . . . . .
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9 Relazioni costitutive
9.1 Modello di Drude . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Polarizzazione molecolare . . . . . . . . . . . .
9.3 Funzione dielettrica per elettroni delocalizzati
9.4 Oscillatori di Lorentz . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Relazioni di dispersione di Kramers-Kronig . .
9.6 Dispersione in ottica . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Formula di Sellmeyer . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Mezzi anisotropi . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9 Isolatori di Faraday . . . . . . . . . . . . . . .
9.10 Mezzi periodici . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.11 Pacchetti d’onda in mezzi dispersivi. . . . . .
9.12 Mezzi non-lineari: Eﬀetto Kerr . . . . . . . .
9.12.0.1 compressione impulsi. Impulsi
9.13 Riepilogo grandezze elettriche e magnetiche .
9.14 Costanti di uso generale . . . . . . . . . . . .
Indice analitico e dei nomi
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ulttracorti .
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. 362
. 363
. 363
. 365
. 365
. 365
. 367
. 368
. 369
. 370
. 370
. 371
. 373
375
Elenco delle figure
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
coordinate sferoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
da M. A. Lieberman and A. J. Lichtenberg, Phys. Rev. A 5, 1852 (1972)
Funzioni di Bessel di ordine intero di prima e seconda specie . . . . . . .
Funzioni di Bessel modificate di prima e seconda specie . . . . . . . . . .
Regioni di stabilità delle funzioni di Mathieu. Quando la coppia di parametri a, q cade nelle regioni comprese tra la curva più in basso e quella
successiva, tra la terza e la quarta, e così via l’esponente caratteristico μ
risulta reale.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Rappresentazione espansa della Fig. precedente relativa alla regione di
stabilitò a0 (q) < a < b1 (q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Integrali ellittici E (ξ) (curva in basso) e K (ξ) (curva in alto) in funzione
di z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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25
34
38
40
. 45
. 46
. 47
2.1 Spettrometro a singolo cristallo per la determinazione dello spettro di
sorgenti di raggi gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Geometria dell’eﬀetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Rappresentazione schematica di una cavità a 4 specchi con due modi che
si propagano in verso orario ed antiorario. Quando la cavità è posta su
un piano che ruota rigidamente attorno ad un asse, i vettori d’onda locali dipendono localmente dallo shift Doppler, dando così luogo ad una
diﬀerenza tra le fasi accumulate in un giro completo dai due modi. . . . . .
2.4 Geometria della deflessione di un raggio luminoso in prossimità di un buco
nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Angolo di deflessione di un raggio luminoso da parte di una black-hole . . .
75
75
87
92
92
3.1
3.2
3.3
3.4
Rappresentazione schematica di un quadrupolo magnetico . . . . . . . . . 96
Rappresentazione schematica di un sestupolo magnetico . . . . . . . . . . . 96
Potenziale all’interno del nucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Geometria relativa al calcolo della costante di Madelung per un cristallo di
NaCl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.6 Coppia di bobine di Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.7 Andamento di 4a∆Aφ / (μ0 Iρ) lungo l’asse z/a di un quadrupolo costituito
da due spire di raggio a e distanti tra loro 2Z, per Z/a = 1.2, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2.125
3.8 Suscettività di un campione in prossimità di una risonanza nucleare . . . . 130
4.1 Traiettorie spiraliformi di ioni ed elettroni in un campo magnetico uniforme 138
4.2 Traiettorie dell’elettrone relative ai casi a, b e c. . . . . . . . . . . . . . . . 140
9
10
Elenco delle figure
4.3 Configurazione del campo tra i magneti di un ciclotrone. La curvatura
delle linee di campo sulla periferia produce una utile focalizzazione delle
particelle (da M. Raiser, Theory and Design of Charged Particle Beams,
J. Wiley N. Y. 1994 Fig. 3.17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Moto a rosetta di un elettrone in un’orbita ellittica di Bohr. Dopo una
rivoluzione completa attorno al nucleo l’asse maggiore risulta ruotato di un
angolo ∆φ = π (αZ/k)2 , con α costante di struttura fine. . . . . . . . . . .
4.6 Particelle cariche intrappolate in una bottiglia magnetica. La forza di
Lorentz trattiene tra i due punti di massimo di B le particelle con angoli
di lancio ϑ tali che sin2 ϑ > Bmin /Bmax da physics.miami.edu . . . . . . . .
4.7 Rappresentazione schematica di un Tokamak in grado di confinare un plasma da fusione in una regione toroidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Andamento schematico delle linee del campo magnetico terrestre . . . . . .
4.9 fasce di radiazione di Van Allen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Traiettorie delle particelle intrappolate nelle linee di cammpo terrestre
e che danno luogo alle fasce di radiazione di van Allen teachingsofmerlin.wordpress.com . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Rappresentazione schematica della fascia interna ed esterna di van Allen.
Le distanze sono espresse in unità di raggi terrestri. image.gsfc.nasa.gov. .
4.12 Contorni ad intensità costante di protoni di energia >0.1 MeV (Source
AP8 Trapped Proton Environment for Solar Maximum and Solar Minimum
Author US National Space Data Center) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14 Riflessione di uno ione da parte di una nuvola magnetizzata in espansione
(contrazione) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16 Aurora boreale sopra il Bear Lake in Alaska (da Wikipedia) . . . . . . . .
4.17 da M. A. Lieberman and A. J. Lichtenberg, Phys. Rev. A 5, 1852 (1972) .
4.18 Parte della separatrice a forma di ragnatela relativa alla mappatura per
α = π/2 e K=0.6 (da A. J. Lichtenberg and B. P. Wood, Phys. Rev. Lett.
62, 2213(1989); Phys. Rev. A 39 2153 (1989) . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.19 Andamento schematico della sezione d’urto di un elettrone atomico in funzione della frequenza nell’approssimazione di una risonanza singola.. Si
possono individuare tre regioni: bassa frequenza (o regione di Rayleigh) in
cui la polarizzabilità è costante e si osserva una variazione con la quarta
potenza di ω; una regione di risonanza, in cui l’elettrone viene eccitato
ad un livello risonante, ed infine una regione in alta frequenza in cui l’elettrone risponde solo al campo incidente e si comporta quindi come l’elettrone
libero della diﬀusione alla Thomson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Traiettoria di una particella carica che attraversa una regione con campo
uniforme diretto lungo z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Traiettoria di una particella carica che attraversa una regione con campo
uniforme decelerante diretto lungo z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Riflessione di una congruenza di traiettorie da parte di un campo uniforme
decelerante diretto lungo z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Immagine virtuale della sorgente di particelle cariche emesse da una superficie piana sotto l’azione di un campo accelerante (da H. Liebl loc. cit. pag.
181) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Rappresentazione schematica di una lente elettrostatica . . . . . . . . . .
142
146
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158
159
159
161
161
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164
168
169
179
. 182
. 182
. 183
. 184
. 186
Elenco delle figure
11
5.7 Schemi di lenti elettrostatiche costituite (in alto) da una coppia di diaframmi a potenziali diversi e (in baso) da cilindri coessiali da encyclopedia2.thefreedictionary.com . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.8 Focalizzazione degli elettroni emessi da da un catado mediante una lente
elettronica formata da due diaframmi circolari. La famiglia di curve rappresenta le sezioni delle superfici equipotenziali da encyclopedia2.thefreedictionary.com187
5.9 Rappresentazione schematica di una lente sottile a doppia apertura. . . . . 189
5.10 Lente Einzel asimmetrica con i due elettrodi esterni a terra.(da www.cnf.cornell.edu)
190
5.11 Superfici equipotenziali di una lente elettrostatica Einzel . . . . . . . . . . 190
5.12 Potenziale V0 e derivate V00 e V000 all’interno (z1 , z2 ) di una lente elettrostatica einzel simmetrica.
. ´
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
³
2
3
d
5.13 Andamento di 16 dζ ln V0 in funzione di z/R . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.14 Traiettoria di un raggio parassiale in una lente Einzel simmetrica . . . . . 192
5.15 !/f in funzione di d/R calcolata con la formula approssimata (??) . . . . . 192
5.16 Rappresentazione schematica di un quadrupolo elettrico costituito da 4
cililindri posti a potenziali alternativamente pari a V e -V . . . . . . . . . . 193
5.17 Superfici equipotenziali per un quadrupolo elettrico . . . . . . . . . . . . . 193
5.18 Microscopio elettronico a scansione. Un fascio di elettroni vien messo a
fuoco sul campione. Dalla regione di impatto del fascio focalizzato vengono sia emessi elettroni secondari che riflessi parte di quelli incidenti. I
rivelatori posti a lato raccolgono questi elettroni e ne misurano le energie.
da www.astarmathsandphysics.com . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.19 Rappresentazione schematica di una lente magnetica . . . . . . . . . . . . 197
5.20 Rappresentazione schematica della forza agente su un elettrone mentre
attraversa una lente magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.21 Andamento dell’inversa lunghezza focale di un quadrupolo magnetico al
variare della distanza tra le due spire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.22 Sezione di un quadrupolo magnetico inserito su una linea di trasporto di
fasci di particelle cariche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.23 Lente magnetica a quadrupolo trasverso da www.helmholtz-berlin.de . . . 203
5.24 Andamento schematico della sezione d’urto di un elettrone atomico in funzione della frequenza nell’approssimazione di una risonanza singola.. Si
possono individuare tre regioni: bassa frequenza (o regione di Rayleigh) in
cui la polarizzabilità è costante e si osserva una variazione con la quarta
potenza di ω; una regione di risonanza, in cui l’elettrone viene eccitato
ad un livello risonante, ed infine una regione in alta frequenza in cui l’elettrone risponde solo al campo incidente e si comporta quindi come l’elettrone
libero della diﬀusione alla Thomson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.25 Rappresentazione schematica di un klystron . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.28 Pressione di radiazione agente su un atomo investito da due fasci contropropaganti in funzione della velocità assiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.29 Rappresentazione schematica di una trappola MOT. Gli atomi da intrappolare e raﬀreddare vengono investiti da tre coppie di fasci conrpropaganti
diretti lungo gli assi x,y e z. Il campo magnetico quadrupolare è utilizzato
per modulare spazialmente per eﬀetto Zeeman la frequenza di transizione,
determinando così l’intrappolamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
12
Elenco delle figure
5.30 Schema di una trappola MOT 1D. Gli atomi sono sottoposti ad una pressione di radiazione dipendente dalla posizione lungo l’asse, ottenuta variando spazialmente il detuning per eﬀetto Zeeman. In basso sono indicati gli
spostamenti dei livelli accoppiati con i due fasci con polarizzazioni circolari
σ ± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.31 Struttura iperfine delle transizioni del Rb utilizzate nel raﬀreddamento laser221
5.32 Rappresentazione schematica del campo in una trappola di Paul. La trappola è circondata da una bobina che crea un campo magnetico che obbliga
le particelle cariche a spiralizzare attorno a B. A loro volta gli elettrodi
creano un potenziale di quadrupolo oscillante proporzionale a U + V cos (Ωt) .223
5.33 Traiettorie tipiche di trappole Penning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.1 Rappresentazione schematica del LINAC proposto da Widerøe. Esso era
costituito da una sequenza di tubi di drift a cui veniva applicata una
diﬀerenza di potenziale a RF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.2 Vista di SLAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.6 Andamento della energia potenziale V∝ (cos φ + φ sin φs ) in funzione della fase. I tratti orizzontali rappresentano l’energia totale T+V. (da Edwards&al, loc. cit. pag. 225, Fig. 2.19) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.7 Orbite nello spazio φ − ∆E per η > 0 e (a) φs = π (b) φs = 5π/6 (c)
φs = 2π/3 (da Edwards&al, loc. cit. pag. 225, Fig. 2.20) . . . . . . . . . . 230
6.8 Rappresentazione schematica di un ciclotrone. Al centro è riportata la
camera a vuoto a forma di una doppia D metallica, compresa tra due
elettromagneti. Alle due D è applicata una tensione oscillante che crea
un campo localizzato tra i due bordi rettilinei aﬀacciati. Attraversando
ciclicamente questa regione gli ioni vengono accelerati. . . . . . . . . . . . 232
6.9 Traiettorie spiraliformi degli ioni all’interno di un ciclotrone. Gli ioni, iniettati al centro sono sottoposti ad un campo magnetico uniforme verticali
che li obbliga a descrivere orbite circolari. Attraversando il campo elettrico
oscillante localizzato tra le due D gli ioni vengono accelerati finendo cosè
per descrivere orbite circolari spiralizzanti verso la periferia. . . . . . . . . 232
6.10 Grafico di cosϕ in funzione dell’energia cinetica T per un ciclotrone a
frequenza fissa (adattato da E. Persico&al loc.cit.) . . . . . . . . . . . . . . 236
6.11 Le particelle emesse da una sorgente (blu) vengono accelerate in n microtrone e descrivono circonferenze di raggi crescenti. . . . . . . . . . . . . 238
6.12 Rappresentazione schematica della sezione trasversale di un sincrotrone . . 238
6.13 Pianta di un sincrotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.14 Schema di un moderno anello di accumulazione utilizzato per generare
radiazione di sincrotrone attraverso l’inserzione d ondulatori . . . . . . . . 239
6.15 Rappresentazione schematica della traiettoria di un elettrone nel campo di
un ondulatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.17 Rappresentazione schematica di un klystron . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Elenco delle figure
13
7.1 Rappresentazione schematica dell’interazione tra un atomo ed un elettrone
suﬃcientemente veloce. La nuvola di elettroni atomici viene eccitata dalle
componenti spettrali del campo prodotto dall’elettrone “proiettile” a frequenze “f” coincidenti con le risonanze dell’atomo. Perché ciò avvenga la
regione in cui si estende il campo a frequenza f deve comprendere la nuvola
elettronica che circonda l’atomo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.2 Sezione d’urto di eccitazione dell’idrogeno in funzione dell’energia degli
elettroni. Le curve continue sono teoriche (cf. H.S.W. Massey and E.H.S.
Burhop, “Electronic and Ionic Impact Phenomena” , Clarendon Press, Oxford (1952)) mentre quella tratteggiata è stata misurata da W.L. Fite et
al., Phys. Rev. vol. 116, pg. 356 (1959). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.3 Radiazione di bremsstrhalung emessa nella collisione tra due particelle (da
www4.nau.edu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.4 From: Elements of X-ray Diﬀraction, B.D.Cullity, Addison-Wesley Publishing, Third Edition, 1967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.5 Geometria relativa ad una carica che descrive un’orbita circolare. L’osservatore in P sarà investito da un impulso di radiazione emesso mentre l’elettrone percorre l’arco di traiettoria indicato in figura. Per utilizzare questa
radiazione si utilizzano anelli di accumulazione in cui, come schematizzato in (b), gli elettroni passano attraverso dei magneti curvanti, emettendo
impulsi di radiazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7.7 Distribuzione delle intensità delle armoniche in funzione dell’ordine m. . . . 284
7.8 (a) Spettro della radiazione di sincrotrone emessa lungo il piano dell’orbita;
(b) andamento temporale della radiazione vista da un osservatore. Si nota
che questa è costituita da una sequenza periodica di impulsi con periodo
pari al tempo T di circolazione dell’elettrone. Il rapporto tra T e la durata
del singolo impulso è circa uguale al numero di armoniche presenti nello
spettro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
7.9 da NIST Far Ultraviolet Physics Group / Synchrotron Ultraviolet Radiation Facility SURF III http://physics.nist.gov/MajResFac/SURF/SURF/sr.html289
7.10 da NIST Far Ultraviolet Physics Group / Synchrotron Ultraviolet Radiation Facility SURF IIIhttp://physics.nist.gov/MajResFac/SURF/SURF/sr.html289
8.1 Schema di principio di un apparato SNOM. Il cilindro che termina a punta
rappresenta una fibra ottica cava utilizzata per illuminare il campione. Il
campo riflesso dal campione può essere raccolto dalla stessa fibra. Il sistema può anche lavorare in trsmissione misurando l’intensità trasmessa dal
campione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Campo vicino |Ex | ( sinistra ) e |Ez | (destra). Curve tratteggiate: z =
0.04 λ,.1 λ (sinistra) e z = 0.1 λ,.5 λ (destra). Le curve a tratto continuo
più interne rappresentano i campi a z = 0, mentre quelle più esterne si
riferiscono alle distribuzioni
√ misurate con microscopi ideali che lasciano
passare valori di |kx | < k0 / 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Centri di curvatura delle sezioni principali di un fronte d’onda che si propaga in un mezzo omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Caustiche relative a due sezioni prinncipali di un fronte d’onda . . . . . . .
8.5 Caustica per i raggi di una sorgente puntiforme che vengono rifratti da una
superficie piana (da O. N. Stavroudis, The Optics of Rays, Wavefronts and
Caustics,Academic Press, N. Y. 1972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303
303
305
305
306
14
Elenco delle figure
8.7 Raggi trasmessi da una lentte illuminata da una sorgente puntiforme. All’aumentare dell’altezza h i raggi vengono convogliati verso l’asse ottico ad
una distanza s0h decrescente dalla lente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
8.8 Sezioni delle caustiche per p > 1 (superiore) e p < 1 (inferiore
. . . . . . . 311
√
8.9 Curve di dispersione per modi TE (H) u tan(u − m π2 ) = V 2 − u2 e TM
n2 √
(E) u tan(u − m π2 ) = n12 V 2 − u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
2
8.10 Alcune tipiche fibre ottiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
8.12 Rappresentazione schematica con l’indicazione del nucleo centrale di raggio
a e di indice di rifrazione uniforme n1 , circondato da un mantello di indice
n2 (< n1 ). Un modo di propagazione è costituito da na congruenza di raggi
che incidono sul mantello con angolo maggiore dell’angolo critico ϑc =
arcsin (n2 /n1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
8.13 Rappresentazione schematica del cono di accettanza di una fibra ottica . . 328
8.14 Legame tra angolo di accettazione ϑmax di una fibra ed angolo critico ϑc
relativo all’interfaccia tra nucleo e mantello . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
8.17 Andamento di K1 (x) / [xK0 (x)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
8.18 Anadamenti delle funzioni K1 (x) (8x − 1) /K0 (x) (8x − 3) (sinistra) e J1 (x) / (xJ0 (x))
(destra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
ln 2+2γ)
8.19 Andamento della funzione − K1 (x)x(lnKx−2
. . . . . . . . . . . . . . . . 334
0 (x)
8.20 Relazione di dispersione del modo TE01 in prossimità della frquenza di
cut-oﬀ V=2.4.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
8.22 Geometria di una guida d’onda rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
8.24 linee di campo elettriche (continue) e magnetiche (tratteggiate) dei modi
H10 , H20 , H11 , H21 , E11 , E21 di una guida rettangolare (da F. E. Borgnis and
C. H. Papas, loc.cit.pag. 336) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
8.25 linee di campo elettriche (continue) e magnetiche (tratteggiate) dei modi
H11 , H21 , E01 , H01 , E11 di una guida circolare (da F. E. Borgnis and C. H.
Papas, loc.cit.pag. 336) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
8.26 Guida circolare caricata periodicamente di dischi forati ed eccitata da un
klystron collegato con una guida rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
8.27 Sezione longitudinale della guida circolare con inseriti circolari forati . . . . 342
8.28 Andamento di β/k in funzione di kb per diversi valori del rapportob/a (da
Chu and Hansen, J. Appl. Phys. 18, 996 (1947) . . . . . . . . . . . . . . . 343
8.29 Tipica curva di dispersione ω − β del modo TM01 di una guida cilindrica uniforme (curva tratteggiata) e caricata periodicamente di diaframmi
(tratto intero). (da K. Wille, The Physics of Particle Accelerators, Oxford
Univ. Press, Oxford 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
8.30 (da K. Wille, The Physics of Particle Accelerators, Oxford Univ. Press,
Oxford 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
8.31 Linee di campo elettrico per una cavità cilindrica che risuona sul modo
TM011 . Il campo lungo l’asse del cilindro di altezza ha varia come sin πz/h 349
9.1 Modulo del coeﬃciente di riflessione per incidenza normale per un metallo
per diversi valori di γ/ω p = 0.05, 0, 1, 02, 0, 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
9.2 Parte reale (tendente a π/4 per ω → ∞) ed immaginaria dell’angolo di
Brewster per un metallo descritto dal modello di Drude con ω p =frequenza
di plasma e γ = ω p /10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
Elenco delle figure
15
9.3 Refractive index vs. wavelength for BK7 glass, showing measured points
(blue crosses) and the Sellmeier equation (red line). . . . . . . . . . . . . . 365
16
Elenco delle figure
Elenco delle tabelle
8.1 Campi relativi ai vari modi TE di una cavità rettangolare di lati a, b e c
ed indici l, m ed n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
9.1
9.2
9.3
9.4
Dimensioni e unità di misura. . .
Dimensioni e unità di misura. . .
Dimensioni e unità di misura. . .
Riepilogo unità Gaussiane e MKS
.
.
.
.
17
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.
371
372
372
372
Prefazione
Il testo è rivolto a studenti sia della laurea triennale che di quella magistrale. Queste note
possono essere utilizzate a corredo di insegnamenti dei corsi di laurea in Fisica, Chimica,
Biotecnologie ed Ingegneria.
Le grandezze sono espresse per la maggior parte dei cai in unità del sistema MKSA1 .
L’energia è data a seconda dei casi in Joule (J), elettron-volt (eV ), cm−1 , Hertz (Hz).
Per i valori delle costanti fisiche fondamentali ci si è riferiti a quelli riportati nell’articolo The fundamental physical constants di E. R. Cohen e B. N. Taylor, apparso in
Physics Today, Aug. 1996 pp. 9-13. Maggiori informazioni sulle costanti della fisica si
possono ottenere consultando vari siti, tra i quali si segnala quello del N.I.S.T.2
1
2
Vedi R.A. Nelson, ”Guide for metric practice” , in Physics Today, pp. 15-16, Aug. 1996
http://physics.nist.gov/cuu/Constants/
19
Capitolo 1
Metodi matematici della
Elettrodinamica
1.1
Identità vettoriali
Esercizio 1.1.1. Verificare le seguenti (a) identità vettoriali:
a × (b × c) = b (a · c) − (b · a) c ,
a × (b × c) = b × (a × c) + c × (b × a) ,
(a × b) · (c × d) = (a · c) (b · d) − (a · d) (b · c)
e (b) relazioni diﬀerenziali tra vettori di
uno spazio 3D:
5 (a · b)
5 · (a × b)
5 × (f a)
5 × (a × b)
5 × (5 × a)
52 (f g)
52 (f a)
5 5 · (f a)
5 × 5 × (f a)
1.2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
a × 5 × b + b × 5 × a + ( a · 5) b+ (b · 5) a ,
a·5×b−b·5×a,
f 5 ×a + ∇f × a
a5 · b − b5 · a − (a · 5) b + (b · 5) a ,
5 5 ·a − 52 a ,
f 52 g + g 52 f + 2 5 f · 5g ,
f 52 a + a 52 f + 2 (5f · 5) a ,
(5f ) 5 ·a + f 5 5 · a+ 5 f × 5 × a + (5f · 5) a + (a · 5) 5 f ,
(1.1)
a,
(5f ) × 5 × a − a 52 f + (a · 5) 5f + f 5 × 5 ×a + 5f 5 ·a − (5f · 5)
Operatori diﬀerenziali
Si consideri una connessione aﬃne a 3 dimensioni ed un generico sistema di coordinate
uμ per definire un generico punto P (u1 , u2 , u3 ). Lo spostamento tra due punti vicini è
rappresentato da
¡
¢
¡
¢ −
→
P x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 − P x1 , x2 , x3 ≡ dx = dxi ei (P )
21
22
Metodi matematici della Elettrodinamica
dove i vettori ei (xj ) formano una base di rappresentazione, dipendente dalle coordinate
xj . La dipendenza dei vettori ei (P ) dal punto è descritta dalla relazione diﬀerenziale
ei (P + dP ) − ei (P ) = Γkij (P ) ek (P ) dxj
(1.2)
in cui sono presenti i coeﬃcienti di connessione Γkij (P ) . Nello spazio vetoriale è definito
un prodotto scalare definito dall’insieme di prodotti ove si è posto
ei · ej ≡ gij
A gij è dato il nome di tensore metrico mentre si dà il nome di tensore duale di gij e lo
sindica con giJ il tensore che soddisfa le seguenti condizioni:
gim gmj ≡ δ ij
Se si rappresenta gij come una matrice 3 × 3 [gij ], [g im ] è l’inverso di [gij ].
La distanza tra due punti vicini è data da
−
→ −
→
dx · dx = ds2 = dxi dxj ei · ej ≡ dxi dxj gij
Dalla (1.2) discende che
gii0 ,k dxk ≡ Γkij ek · ei0 dxj + Γki0 j ei · ek dxj
¡
¢
= Γkij gki0 + Γki0 j gik dxj
dove col simbolo , k posto a pedice si è indicata la derivata ∂k = ∂x∂ k rispetto alla
coordinata xk .Ne segue, e la dimostrazione vene lasciata come esercizio, che Γijk risulta
legato al tensore metrico dalla relazione:
1
Γijk = Γikj = g im (gmj,k + gmk,j − gjk,m )
2
(1.3)
A questa regola che descrive come muovere in modo legittimo un vettore lungo una curva
sulla varietà senza mutarne la direzione si dà il nome di connessione di Levi-Civita . I
coeﬃcienti della connessione così definiti prendono il nome di coeﬃcienti di Christoﬀel di
seconda specie, per distinguerli da Γijk = gim Γm
jk detti invece di prima specie.
Si definisce derivata covariante di un campo vettoriale V = V i ei la quantità
Dj Vji = V,ji + Γijk V k
e viene indicata con
V;ji = V,ji + Γijk V k
Ne discende che si ha
¢
¡
Dj V = V,ji + Γijk V k ei
In particolare la divergenza è data da:
∇ · V = Di V i = V;ii = V,ii + Γiik V k
Tenuto conto che
gim (gmk,i − gik,m ) = 0
(1.4)
1.2 Operatori diﬀerenziali
23
si ha
1
Γiik = gim gmi,k
2
D’altra parte
¢¤
£ ¡
£ ¡ k ¢¤
det gij xk + dxk
δ ln det gij x
= ln
det [gij (xk )]
³£
¡ ¢¤−1 £
¡
¢¤´
gmi xk + dxk
= ln det gim xk
¤
£
= ln det 1 + [gim ]−1 [δgmi ]
¢¤
£
¡
= ln 1 + T r [gim ]−1 [δgmi ]
¢
¡
= T r [gim ]−1 [δgmi ]
Pertanto, si ha
Γiik
¢
¡
−1
1 im
1 T r [gim ] [δgmi ]
=
g gmi,k =
2
2
dxk
1 δ ln det [gij ] 1
1 √
=
= ∂k ln g = √ ∂k g
k
2
dx
2
g
avendo posto g = det [gij ]. Ne discende che
¡√ k ¢
1
1
√
gV
V;ii = V,ii + √ (∂k g) V k = √ ∂k
g
g
Esercizio 1.2.1. Si consideri un sistema di
tensore metrico1
⎡ 2
h1
⎣
gij = 0
0
(1.5)
coordinate curvilinee ortogonali associate al
⎤
0 0
h22 0 ⎦
0 h23
Calcolare la divergenza ed il Laplaciano di un campo vettoriale
Soluzione: Dalla relazione (1.5) discende che
¡
¢
1
∂k h1 h2 h3 V k
h1 h2 h3
µ
¶
1
hi hj
=
∂k
Vk
h1 h2 h3
hk
V;ii =
Per quanto riguarda il Laplaciano
1
∂k
∇V =
h1 h2 h3
2
µ
¶
hi hj
∂k V
hk
Esercizio 1.2.2. Esprimere ∇, ∇·, ∇× e ∇2 in coordinate (a) cilindriche e (b) sferiche
1
v.p.e. P. Moon and D. E. Spencer, Field Theory Handbook, Springer, Berlin, 1961
24
Metodi matematici della Elettrodinamica
Soluzione: (a) In coordinate cilindriche risulta
hρ = 1 , hz = 1 , hφ = ρ
dimodochè
∂
∂
1 ∂
+ ez
+ eφ
∂ρ
∂z
ρ ∂φ
¶
µ
∂
∂ 1
1 ∂
ρeρ + ρez +
eφ ·
=
ρ ∂ρ
∂z
∂φ ρ
⎡
⎤
eρ ez eφ
∂
1 ∂ ⎦
∂
= ⎣ ∂ρ
∂z
ρ ∂φ
1 1
ρ
∂2
1 ∂ ∂
1 ∂2
ρ + 2 + 2 2,
=
ρ ∂ρ ∂ρ ∂z
ρ ∂φ
∇ = eρ
∇·
∇×
∇2
(b) In coordinate sferiche
hr = 1 , hθ = r , hφ = r sin θ
Ne discende che
∂
1 ∂
1 ∂
+ eθ
+ eφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
¶
µ
∂ 2
∂
∂ 1
1
r sin θer +
sin θeθ +
eφ ·
= 2
r sin θ ∂r
∂θ
∂φ sin θ
⎡
⎤
er eθ
eφ
1 ∂
1
∂ ⎦
∂
= ⎣ ∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
1
r
r sin θ
µ
¶
1 ∂
1
∂
1 ∂2
1 ∂ 2∂
,
+
sin θ +
= 2 r
r ∂r ∂r r2 sin θ ∂θ
∂θ sin2 θ ∂φ2
∇ = er
∇·
∇×
∇2
Esercizio 1.2.3. In alcuni casi può convenir utilizzare coordinate sferoidali ξ, η, φ definite
dalle relazioni:
ξ =
rA + rB
rA − rB
y
, η=
, φ = arctan
R
R
x
(∞ ≥ ξ ≥ 1 , −1 ≤ η ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 2π)
(1.6)
con R distanza tra i fuochi A e B, φ anomalia rispetto all’asse z. Le superfici a ξ = const e
η = const corrispondono rispettivamente ad ellissoidi ed iperboloidi confocali di rotazione
attorno all’asse z. (a) Calcolare i fattori di scala e l’operatore Laplaciano
Soluzione: Si può facilente dimostrare che lo Jacobiano di questo sistema di coordinate
è dato da
¢ R
R3 ¡ 2
∂ (x, y, z)
=
ξ − η 2 = rA rB
∂ (ξ, η, φ)
8
2
Pertanto, un elemento di volume dV è espresso da
dV =
R
rA rB dξdηdφ = hξ hη hφ dξdηdφ
2
1.3 Identità di Green
25
Figura 1.1: coordinate sferoidali
Ad esse corrisponde la seguente espressione per gli elementi di lunghezza:
¶
µ
¢¡
¢ 2
R2 ξ 2 − η 2 2 ξ 2 − η 2 2 ¡ 2
2
2
d =
dξ +
dη + ξ − 1 1 − η dφ
4
1 − η2
ξ2 − 1
per cui
R
hξ =
2
s
ξ2 − η2
R
, hη =
2
2
ξ −1
s
ξ2 − η2
R
,
h
=
φ
1 − η2
2
q¡
¢
ξ 2 − 1 (1 − η 2 )
Inoltre, il Laplaciano si scrive nella forma
½ ∙
¸
∙
¸
∂
∂
4
∂
2
2
2 ∂
(ξ − 1)
+
(1 − η )
∇ =
∂ξ
∂η
∂η
R2 (ξ 2 − η 2 ) ∂ξ
¾
2
1
∂
+ 2
2
(ξ − 1)(1 − η ) ∂φ2
1.3
Identità di Green
Esercizio 1.3.1. Giustificare le seguenti identità di Green
I
Z
¢
¡ 2
ψ∇ϕ · n̂dS prima identità
ψ∇ ϕ + ∇ψ · ∇ϕ dV =
V
Z
V
∂V
[ψ∇ · (ε∇ϕ) − ϕ∇ · (ε∇ψ)] dV
Z
V
=
I
∂V
¶
µ
∂
∂
ε ψ ϕ − ϕ ψ dS seconda identità
∂n
∂n
G (r, r0 ) ∇02 ψ (r0 ) d3 r0 = ψ (r)
¶
I µ
0
0
0 ∂ψ (r )
0 ∂G (r, r )
+
G (r, r )
− ψ (r )
dS 0
∂n
∂n
∂V
terza identità
(1.7)
26
Metodi matematici della Elettrodinamica
dove ϕ è una generica funzione diﬀerenziabile 2 volte, ϕ è diﬀerenziabile 1 volta in (1.7-a)
1
e due volte nelle altre due, mentre ε (r) è una sola volta diﬀerenziabile. G (r, r0 ) = 4π|r−r
0|
è soluzione dell’equazione di Poisson
∇2 G (r, r0 ) = −δ (3) (r − r0 )
(1.8)
Soluzione: (a) Segue dall”applicazione del teorema della divergenza all’identità
∇ · ψ∇ϕ = ψ∇2 ϕ + ∇ψ · ∇ϕ
(b) Come per (a) partendo da εψ∇ϕ
(c) Discende da (b) tenendo conto della (1.8)
Esercizio 1.3.2. Dimostrare che per un campo vettoriale S (r) diﬀerenziabile in un un
volume illimitato sussiste la seguente identità vettoriale
Z
S (r0 )
2
d3 r0
S (r) = −∇
0
V 4π |r − r |
Soluzione: Dal momento che
∇2
1
= −δ(3) (r − r0 )
4π |r − r0 |
si ha
2
−∇
1.4
Z
V
Z
S (r0 )
3 0
dr =
δ(3) (r − r0 ) S (r0 ) d3 r0
0
4π |r − r |
V
= S (r0 )
Decomposizione campi vettoriali
Il teorema di partizione di Helmholtz 2 aﬀerma che un campo vettoriale si decomporre
in modo univoco nella somma di un campo a divergenza nulla (trasverso) e di uno
irrotazionale (solenoidale)
Esercizio 1.4.1. Verificare che l’operatore3
Pij (r, r0 ) = δ ij δ (3) (r − r0 ) −
1
∂2
0
∂xi ∂xj 4π |r − r0 |
soddisfa la seguente relazione:
∂
Pij (r, r0 ) = 0 .
∂xi
2
3
v.p.e. C. H. Papas, loc. cit. pag. 298, Sez. 1.4
v. G. L. Brrill & B. Goodman, Am. J. Phys. 35, 832 (1967)
(1.9)
1.5 Valutazione asintotica
27
Esercizio 1.4.2. Utilizzando gli operatori Pij (r, r0 ) (v. Eq. (1.9)) e
1
∂2
0
∂xi ∂xj 4π |r − r0 |
Tij (r, r0 ) =
dimostrare che un generico campo vettoriale S (r) si decompone in un campo trasverso
ST (r) ed solenoidale SL (r) dati rispettivamente da da
¶
Z
Z µ
1
0
0
0
3 0
∇
Pij (r, r ) Sj (r ) d r êi = S (r) − ∇
· S (r0 ) d3 r0 (1.10)
ST (r) =
0
4π |r − r |
V
V
e
SL (r) =
Z
V
1.5
Z µ
∇0
Tij (r, r ) Si (r ) d r êj = ∇
0
0
3 0
V
1
4π |r − r0 |
¶
· S (r0 ) d3 r0
(1.11)
Valutazione asintotica
Si consideri l’integrale4
I (k) =
Z
a
e−ikh(s) ν (s) g (s) ds
0
con h (s) una funzione monotona di s nell’intervallo (0, a) ,
´
³
Ra
1
1
exp − y + y−a dy
s
³
´
ν (s) = R a
1
1
exp − y + y−a dy
0
una funzione, introdotta da van der Corput, detta neutralizzatore tale che
ν (0) = 1 , ν (a) = 0
mentre le derivate tendono a 0 quando s tende ad ognuno degli estremi dall’interno di
(0, a) . Si assuma inoltre che
h (s) = h0 + sρ u (s)
g (s) = sγ v (s)
cone ρ > 0 e 0 > Re γ > −1 mentre u e v sono funzioni analitiche diverse da 0 per s = 0.
Introducendo ora la variabile
xρ = sρ u (s)
I (k) si riscrive nella forma
−ikh0
I (k) = e
Z
a
ρ
e−ikεx xγ f (x) ν (x) dx
0
con x > 0, ε = sgn u (0) e
f (x) =
4
g (s) ds
h (s) − h0 dx
per una introduzione generale alla valutazione asintotica v.p.e. I. N. Bleistein, Mathematical Methods
for Wave Phenomena, Academic Press, Orlando (1984)
28
Metodi matematici della Elettrodinamica
Se f (x) è diﬀerenziabile N-volte, procedendo per successive integrazioni per parti si
ottiene5 :
N
−1
X
dn
ikh0
e I (k) = −
h(−n−1) (x; k) n [f (x) ν (x)]|x(a)
+ R0,N
(1.12)
0
dx
n=0
dove
Z
N
RN = (−1)
x(a)
h(−N) (x; k)
0
e
=
h(−n−1) (x; k)
Z x+∞(−iε)1/ρ
x
= −
1
n!
Z
dxn
Z
xn +∞(−iε)1/ρ
xn
x+∞(−iε)1/ρ
x
dN
[f (x) ν (x)] dx
dxN
dxn−1 · · ·
Z
x1 +∞(−iε)1/ρ
ρ
xγ0 e−ikεx0 dx0
x1
ρ
(x0 − x)n xγ0 e−ikεx0 dx0
Sostituendo queste ultime espressioni nella (1.12) si ottiene
´ π n+γ+1
³
n+γ+1
N
−1
e−i 2 ε ρ dn
Γ
X
ρ
1
1
ikh0
e I (k) =
f (x)|0 + R0,N
n+γ+1
ρ n=0 n!
dxn
k ρ
= eikh0 I0 (k; N) + RN
Si può ora dimostrare che per k → ∞ RN è un infinitesimo dello stesso ordine di
³ N +γ+1 ´
RN = O k− ρ
Introducendo ora il neutralizzatore ν a (x) che presenta le stesse proprietà di ν (x) per
x = a, si perviene ad analogo risultato. Ne discende che più in generale si ha
Z a
−ikh0
I (k) = e
e−ikh(s) g (s) ds
0
³ N +γ+1 ´
(1.13)
= I0 (k; N) + Ia (k; N) + O k− ρ
ovvero per h (s) monotona in (0, a) I (k) è esprimibile in funzione dei contributi dei due
estemi dell’intervallo di integrazione.
1.5.1
Metodo della fase stazionaria (SP)
In molti casi h0 (s) si annulla in più punti di (0, a) e g (s) può risultare singolare. In tal
caso (0, a) va suddiviso in tanti sottointervalli contigui (0, a) = (0, a1 )∪(a1 , a2 ) · · ·∪(am , a)
in ciascuno dei quali h (s) risulta monotona e per i quali vale l’espansione (1.13).
Esercizio 1.5.1. Dimostrare che se è presente un solo punto a fase stazionaria (sadle
point) in s = sSP si ha al primo ordine in k
Z ∞
e−ikh(s) g (s) ds ∼ ISP + I0
0
5
v.p.e. S. Solimeno, B. Crosignani, P. D Porto, Guiding, Diﬀraction and Confinement of Optical
Radiation, Academic Press, Orlando (1986), Cap. V
1.5 Valutazione asintotica
29
dove
ISP =
s
¡
¢
e−ikh(0) g (0)
√
+ 0 k−3/2
0
2πk h (0)
I0 =
con ε = sgn h00 (sSP ) .
1.5.2
¡ −1 ¢
2π
−iεπ/4−ikh(sSP )
e
g
(s
)
+
0
k
SP
k |h00 (sSP )|
(1.14)
Metodo dello steepest descent (SD)
Esercizio 1.5.2. Si analizzi al tendere di k → ∞ l’integrale
Z ∞
e−ikh(s) g (s) ds
I (k) =
(1.15)
−∞
con h (s) e g (s) funzioni analitiche tali che la derivata
punto del piano complesso z
d
h (z)
dz
si annulli in un generico
d
h (z) si annulli in un
Soluzione: Per estendre il metodo SP al caso in cui la derivata dz
generico punto del piano complesso z, si utilizza il metodo SD consistente nel modificare
l’intervallo di integrazione (−∞, ∞) nel cammino ΓSD che passi per il punto sella zSDP
di h (z) , supposto per il momento unico. Si pone infatti
µZ
Z ¶
X
I (k) =
g (z) e−ikh(z) dz +
+
rq e−ikh(sq )
ΓSD
ΓB
q
dove ΓB rappresenta un insieme di cammini che circondano eventuali branch-cuts di g,
mentre rq sta per il q-esimo residuo di un eventuale polo di g compreso tra il cammino
di integrazione iniziale e ΓSD + ΓB . Intanto, lungo ΓSD h (z) si può scrivere come h (z) =
Re h (zSD ) + i Im h (z) con Im h (z) che presenta un singolo massimo in zSD . Ne discende
che, per ζ ∈ ΓSD si può trasformare ζ nella nuova variabile reale u tale che:
p
ζ → u = ± Im h (zSD ) − Im h (ζ)
R
In tal modo l’integrale ΓSD · · · diventa
−ikh(zSDP )
ISD = e
Z
ΓSD
2
2
g [ζ (u)] e−ku
dζ
du
du
Per k → ∞ il fattore e−ku decresce rapidamente allontanandosi da u = 0 ed il contributo
maggiore all’integrale viene da g (zSD ) . Pertanto,
¯
¡ ¢
dζ ¯¯
−ikh(zSD )
g (zSD )
+ 0 k−1
ISD = e
¯
du SD
s
¡ −1 ¢
2π
−iπ/4−ikh(zSD )
=
g
(z
)
+
0
k
e
(1.16)
SD
kh00 (zSD )
30
Metodi matematici della Elettrodinamica
Esercizio 1.5.3. Con riferimento al precedente esercizio dimostrare che integrando per
parti l’Eq. (1.16) si estende alla serie asintotica:
s
2π
ISD =
e−iπ/4−ikh(zSP ) g (zSD )
00
kh (zSD )
∙
¸
¾
½
0000
5 h0002
1 g00
i h000 g0 1 h
+
+ ···
(1.17)
−
− 00
× 1+
2k h002 g
4 h002 12 h003
h g
Esercizio 1.5.4. Valutare asintoticamente un integrale del tipo di Fourier
Z
I (k) = e−ikr cos(β−θ) g (β) dβ
Γ
con Γ un cammino sul piano complesso β
Soluzione: Poichè
1.5.3
d
h (β)
dβ
si annulla per β = θ dall’Eq. (1.16) discende:
r
¡ ¢
2π −i(kr−π/4)
ISD =
g (θ) + 0 k−1
e
kr
(1.18)
Metodo WKB
Un problema ricorrente è quello di integrare l’equazione di Helmholtz
∙ 2
¸
d
2
+ k (x) u = 0
dx2
(1.19)
dove il vettore d’onda k (x) è funzione di x. La (1.19) può essere integrata ricorrendo al
metodo asintotico WKB6 .
Ponendo
k2 (x) = k02 n2 (x)
La funzione
soddisfa l’equazione
µ
¤
£ Rx
sin k0 n (x0 ) dx0 + π4
p
f (x) =
k0 n (x)
(1.20)
¶
d2
3n02 − 2nn00
2 2
+
k
n
(x)
f
=
f (x) .
0
dx2
4n2
con f 0 = df (x) /dx. Se il lato destro di questa equazione si può trascurare, f (x) è un
integrale dell’Eq.(1.19): il che accade per k0 → ∞. uniformemente nell’intervallo di
integrazione.
Se k (x) → 0 per x → x0 il lato destro tende ad esplodere e f (x) non soddisfa più la
(1.19). In questa regione la (1.19) si riduce all’equazione di Airy (v. Sez. 1.7.4)
∙ 2
¸
d
(1.21)
+ (x − x0 ) K0 f = 0 ,
dx2
¯
d 2
con K0 = k02 dx
g (x)¯x=x0 , soddisfatta dalla funzione Ai (−K0 (x − x0 )) (v. Eq. (1.45)).
6
v.p.e. G. Esposito, G. Marmo and G.
Sudarshan, “From Classical to Quantum Mechanics”, Cambridge U. P., Cambridge 2004,
S. Flügge, Practical Quantum Mechanics, Springer-Verlag, Berlin 1974, Sez. E.
Sez. 4.8;
1.6 Sistemi caotici
1.5.4
31
Equazione di Helmholtz
Esercizio 1.5.5. Estendere il metodo WKB all’integrazione dell’equazione di Helmholtz
nello spazio a 3 dimensioni
£ 2
¤
∇ + k02 n2 (r) u (r) = 0
(1.22)
per k0 → ∞ partendo dalla serie asintotica di Luneburg e Kline7
ik0 S(r)
u (r) ∼ e
∞
X
Am (r)
(ik0 )m
m=0
(1.23)
dove il simbolo ∼ sta ad indicare che
u (r) ∼ eik0 S(r)
N
X
Am (r)
m
m=0
(ik0 )
¡
¢
+ o k0−N
(1.24)
¡
¢
con o ko−N simbolo di Landau che indica una funzione che decresce più rapidamente di
k0−N
Soluzione: Inserendo i termini della serie (1.23) nella (1.22) si ottiene:
N
X
Qm (r)
m
m=0
(ik0 )
¡
¢
= o k0−N+2
dove
Q0 = |∇S|2 − n2
¡
¢
Q1 = ∇2 S + 2∇S · ∇ A0
¡
¢
Qm = ∇2 S + 2∇S · ∇ Am−1 + ∇2 Am−1
L’Eq. (1.24) è soddisfatta a tutti gli ordini solo se
Qm = 0 m = 0, 1, . . .
In particolare si ha
|∇S|2 = n2
¢
¡ 2
∇ S + 2∇S · ∇ A0 = 0
(1.25)
All’equazione (1.25-a) si dà il nome di equazione dell’iconale mentre (1.25-b) descrive
il trasporto dell’ampiezza A0 lungo i raggi.
1.6
Sistemi caotici
È ben noto 1-4, che in una grande classe di problemi incontrati con più di un grado di
libertà vi sono campi di parametro per il quale esistono gli invarianti adiabatici che separano i gradi di libertà. Spazio di fase per ogni grado presenta comportamento adiabatico,
7
L. K. Luneburg, Mathematical Theory of Optics Univ. of Caliﬀornia Press, Berkeley, 1964; M. Kline
and I. W. Kay, Electromagnetic Theory and Geometrical Optics, Wiley (Interscence), New York, 1965
32
Metodi matematici della Elettrodinamica
vale a dire la traiettoria della soluzione è una curva chiusa nel piano di fase. Per gli
altri param eter varia, una o più delle invarianti non possono esistere, in modo tale che
la traiettoria di un unico piano di fase è riempimento di aree. Comportamento simile si
trova per uno-dimensionale oscillatori non lineari con coeﬃcienti periodici. Risultati della
teoria adiabatica e numerica! I calcoli sono riassunti nel Rif. 4.
UN uno-dimensionale problema accelerazione nello schema di cui sopra che ha ricevuto
in considerazione attenzione è quello di una palla che rimbalza tra una parte fissa e una
parete oscillante. Il problema è stato esaminato in primo luogo da Fermi5 come un analogo
a un possibile raggi cosmici meccanismo di accelerazione, e sarà qui definita come Fermi
accelerazione prob lem. Presto numerica! Calcoli di Fermi5 e altri6 • 7 ha dato risultati
contrastanti, a volte in energia oscillatoria ad indicare il mancato cambiamento della sfera,
6 e a volte che indica che la quantità di moto trans fer è stocastico, cioè., t a la sfera colpì
il muro con una oscillazione casuale di fase rispetto alla parete oscillazione. 7 Zaslavskii
e Chirikov 8 parzialmente risolto questa contraddizione dal demonio constatandone che
per palla alta velocità, in modo tale che il tempo di transito della sfera era paragonabile
alla parete periodo di oscillazione, un invariante adiabatico esisteva che limita l’energia
escursioni. Per velocità inferiori, hanno ipotizzato che gli invarianti simile non esiste, e
numerica! I calcoli da loro interpretato come verifica della loro si basava zione.
Come viene mostrato in questa carta, il sopra interpreta zione non è completa. L’esame
del piano di fase per il Fermi, il problema è presentato nel sec. Il rivela un gran numero
di isole adiabatico nonadiabatic incorporato in un mare. A seconda delle caratteristiche
del movimento della parete, la fondamentale isola trovata da Zaslavskii e Chirikov non è
generalmente la barriera assoluta per stocasticamente riscaldata particelle, inizialmente
a energie inferiori. Infatti, per forza le funzioni, la barriera assoluta esiste a velocità
molto inferiore rispetto a quella associata alla fondamentale isola. In parte, la tecnica
di esame analitico della lineari del Fermi problema è simile a quello considerato dalla
Greene 9: Determinare i punti fissi nel piano di fase e esaminare la stabilità della moto
su queste singolarità. Se i punti fissi rappresentano ellittica singolarità e la Jacobiana
della moto è equa! Per l’unità, adiabatico orbite esiste nel quartiere di punti fissi. In
caso contrario, il quartiere di la singolarità è generalmente accessibile dal mare stocastico.
Da queste considerazioni, generalmente di una velocità limite u 5 nel piano di fase sotto
la quale non esistono regioni adiabatica. inoltre determinare un semplice limite inferiore
per la stocasticamente accessibile spazio di fase. Questi questionario sono esplorate in
dettaglio nel sec. IIIA e confrontati con i risultati numerici del Sec. II. Una procedura
alternativa per l’esame della adia la notizia della tecnica del batik regioni comporta la
trasformazione delle variabili di un spazio di fase in cui le equazioni alle diﬀerenze può
essere approssimato mediante equazioni diﬀerenziali. Primo integrali dare hamiltoniano
(adiabatica) trajec tories, da cui il movimento non lineare borhood di neigh i punti fissi
possono essere esaminati, resa non lineare ing i confini delle regioni adiabatica. Questo è,
infatti, la tecnica impiegata da Zaslavskii e Chirikov per la risonanza fondamentale tra la
frequenza di oscillazione verticale e la parete di frequenza di oscillazione.
Più armoniche e subarmoniche resonnances possono ugualmente essere esaminato dal
progine formale, rivelando l’intera isola di stabilità non lineare struttura adiabatico regioni e la velocità massima a cui le particelle possono essere riscaldato può anche essere
determinata approssimativamente dal maggiore risonanza di ordine teoria sviluppata dalla
Jaeger e Lichtenberg. 4 Queste tecniche sono presentati nella Sec. IIIB.
Sebbene la nonadiabatic o fase di riempimento tra jectories sono stati chiamati stocastico, ciò non implica che la funzione di ripartizione della velocità delle particelle può
1.6 Sistemi caotici
33
essere determinata mediante l’uso di un casuale fase ipotesi di collisioni particella-parete.
Nella regione del piano di fase in cui esistono isole adiabatico, l’intero piano di fase non
sono disponibili per un nonadiabatic particella, e il random-fase ipotesi potrebbero non
essere applicabili. Anche nella regione del piano di fase adiabatica isole dove non esistono, la fase correlazioni possono persistere tra parete successive collisioni. L’esame di
tali correlazioni e il loro eﬀetto sul calcolo della velocità spazio distribuzione di densità
della Fokker-Planck equazione è l’oggetto del Sec. IV. La Fermi problema esemplifica un
ampia classe di ac celeration problemi che presentano la stessa struttura fase-spazio. Ci
potrebbe essere anche alcune notevoli diﬀerenze, soprattutto se il riscaldamento è descritta da una serie di non-area-conservazione equa. Un esempio che rientrano in quest’ultima
categoria è risonanza ciclotronica riscaldamento in un campo magnetico a specchio. Ove
conveniente, mettiamo a confronto i risultati di un’approssimazione di questo meccanismo
di accelerazione di quella del Fermi.
Esercizio 1.6.1. Si consideri una particella che rimbalza elasticamente tra una parete fissa e una oscillante, come mostrato in Fig. (1.2). GiustificaPer la velocità della parete che
varia con una funzione a dente di sega, Zaslavskii e Chirikov8 hanno ottenuto i seguenti
set di equazioni alle diﬀerenze per il moto delle particelle:
1
un+1 = ±un + Ψn −
2 q
(
¡1
¢2
1
− 2un+1 +
− 2un+1 + 4φn un+1 un+1 > 14 Ψn
2
2
Ψn+1 =
1 − Ψn + 4un+1 un+1 < 14 Ψn
con
¾
½
Ψn (1 − Ψn ) + L/4a
φn = Ψn +
4un+1
con 2a l’ampiezza di picco dell’oscillazione della parete, un la velocità della particella
normalizzata a V, con V/4 l’ampiezza della velocità della parete, n il numero il numero di
collisioni con la parete mobile, Ψn la fase della parete nell’istante della collisione e cambia
da 0 a 12 quando la parete si muove dalla posizione A a B e da 12 a 1 durante il movimento
inverso. Le parentesi {· · · } denotano la parte frazionaria dell’argomento.
Qui : ?a è l’ampiezza di picco della parete oscillante, l è la distanza minima tra
le pareti, è la velocità della particella normalizzata rispetto a V, dove iV è l’ampiezza
della velocità della parete, n è il numero di collisioni con la parete mobile, 1 }1 n è la
fase della parete vibrante al momento della collisione e cambia da O a t, come la parete
si sposta dalla posizione A alla posizione B e t a l durante il movimento di ritorno, e
parentesi graﬀe { • • •} indicano la parte frazionaria dell’argomento. Il segno più in
Eq. (L) corrisponde alla Eq. 2) Durante la fase precedente, e il segno meno per Eq.
(3). UNA semplificazione delle equazioni. (1) - (4) può essere realizzata se permetteremo
alla parete oscillante per impartire momen tum al _PARTICLE, secondo la sua velocità,
senza cambiare manualmente la propria posizione nello spazio. Il problema definito in
questo modo ha la maggior parte delle funzioni di più problemi fisici ed è anche in grado
8
G. M. Zaslawskii and B. V. Chirikov, Sov. Phys. Doklady, 9, 989 (1965)
34
Metodi matematici della Elettrodinamica
Figura 1.2: da M. A. Lieberman and A. J. Lichtenberg, Phys. Rev. A 5, 1852 (1972)
di generalizzazione ad altri forzando funzioni. Si mettono a confronto i risultati dei due
problemi di calcoli numerici. Per semplificare il problema, le equazioni alle diﬀerenze, in
forma normalizzata, diventare
Dove M= l/ 16a, M/u = 2l/vT è normalizzata con il tempo di transito T= 32a/V è
la parete-periodo di oscillazione, e v = uV, la velocità delle particelle.
Abbiamo introdotto il valore assoluto -segni di Eq. (5) per corrispondere alla velocità
inversione, a bassa velocità u l, che è la regione di infedeltà. Queste relazioni semplificate
può essere ottenuto come un’approssimazione il numero esatto per l/a l e ul. Le equazioni
(5) e (6) sono facilmente generalizzato a forza non lineare funzioni; ad esempio, per un
trasferimento cubie slancio abbiamo Onu•l = l onu+ (2w -l) [ (2w -1)2 JI , (7) wn.1 =
{wn+M/onu+t}. (8) per il trasferimento della quantità di moto sinusoidale troviamo u
1 = lun+sinw l , (9) \lin+l=Wn+2rrM/onu+l, (10) con la fase della parete oscillazione
che si estende su 2rr invece dell’unità. Come vedremo, la funzione di forza non lineare è
per molti versi più semplice di quella lineare
La diﬀerenza le equazioni (1) - (4), (5) e (6), (7) e (8), o (9) e (10) sono facilmente
superabili, per centinaia di migliaia di collisioni, su un computer ad alta velocità. Per
esplorare l’intero spazio di fase, dividiamo l’intervallo di fase (O l) o (O, 2rr) in 100
incrementaviene e il campo di velocità (O, Umaxl 200 incrementaviene. Dobbiamo tenere
traccia del numero di volte che una particella si trova all’interno di una qualsiasi delle
20.000 cellule di spazio di fase. I risultati dei calcoli di Eq. (5) e (6), con M = 10, per
dieci particelle, sono riportati in Fig. 2, Dopo le collisioni 163840 parete per particella.
Velocità normalizzata u è misurato verso il basso. Il simbolo in ogni cella rappresenta il
numero di cella professioni secondo la Tabella I. A vuoto significa zero un fatto assodato.
La densità distributionf(u), integrati in fasi e su tutti gli urti, è dato a sinistra della fase
spazio. Le particelle sono inizialmente determinate fasi e bassa velocità, scelti in modo
casuale. Le successive collisioni permettono loro di stocasticamente esplorare la fase dello
spazio disponibile. La fina! Fase piano grafico è indipendente dalle condizioni iniziali delle
particelle. Il totale delle isole sono delimitate da adiatatic curve e quindi sono accessibili
1.7 Funzioni speciali
35
dall’esterno. I centri delle isole sono el liptic singolarità nella fase piane. Vicino a questi
centri, il movimento delle particelle anche tracce fuori traiettorie chiuse, come discuteremo
nel sec. III. Si evidenziano anche per u < tM112, motio linearizzato
Su tutti i principali singolarità è instabile, come è facilmente verificabile dalla numerica
l fase stampa. La ellittica punto singolare dell’isola principale di u/M =l corrisponde a uno
a uno è risonanza tween l’oscillazione delle particelle anq parete oscillante. Le successive
scenograficamente risonanze a velocità inferiori u/M =t, t, t, ..., corrisponde al l 2 l 3 l
4, . . . , Risonanze, rispettivamente. Le altre isole oﬀrire -k risonanze, dove m e k sono
relativamente primi numeri interi. Le posizioni delle ellittiche singolarità e il movimento
linearizzato intorno a loro si ottiene nel sec. III A. Nelle Figg. 3 E 4, ripetiamo il
calcolo della velocità della parete non lineare Eqs. (7) e (8) e le equazioni. (9) e (10),
rispettivamente. In Fig. 3, M = 10, con su 81920 tenparticles, per urti al par. lett. In
Fig. 4, M= 100, con 622 592 collisioni di un unico partito cle. Per questi non lineare
locities ve, le dimensioni dell’adiabatica regioni sono diminuiti a basse velocità a causa
della presenza di ordine superiore risonanze tra il periodo dell’isola e la traiettoria del
medio periodo di vibrazione, come dis aﬀron nel sec. IIIB. Limite di velocità superiore
ub (barriera assoluta) esiste anche, oltre che la moto sia adiabatico, in modo che nessuna
particella può pen etrate dal minore velocità. L’apparente con tradizione di maggiore
adiabaticity parete non lineare di velocità è risolto se la discontinuità a bordo della parete
sega velocità sono inclusi. La moto è localizzato all’interno di un periodo di fase (librazione
nel separatrix di forma ellittica singolarità), l’onda a dente di sega dà luogo
1.7
Funzioni speciali
Per una raccolta delle proprietà delle funzioni speciali più frequentemente utilizzate in
elettrodinamica ed elettromagnetismo si rinvia a: A. Erd élyi, W. Magnus, F. Oberhettinger and F. G. Tricomi, Higher Transcendental Functions, voll. I,II and III, McGraw-Hill
Co., N. Y. 1954
1.7.1
Distribuzioni
Formalmente la delta di Dirac viene definita dalla seguente relazione:
Z ∞
(x)φ (x) dx = φ (0)
−∞
valida per ogni funzione continua φ (x) in un intorno dello zero.
(x) è una distribuzione che soddisfa la proprietà (x) = 0 per x 6= 0, e tale che:
Z ∞
(x)dx = 1
−∞
La derivata distribuzionale della delta è la distribuzione ’ definita a partire da una
funzione di test \operatorname\phi liscia e a supporto compatto:
Z ∞
δ 0 (x)φ (x) dx = −φ0 (0)
−∞
La funzione
può essere considerata come il limite
δ(x) = lim δ n (x)
n→∞
36
Metodi matematici della Elettrodinamica
di alcune particolari successioni di funzioni δn (x) localmente integrabili,
Z ∞
n (x)dx = 1
−∞
tali che ∀ε > 0, ∀a ∈ [ε, +∞]
¯Z
¯
¯
¯
−∞
∞
lim
n (x)dx = 1
−∞
¯ ¯Z ∞
¯
¯ ¯
¯
¯
¯
¯
n (x)dx¯ , ¯
n (x)dx¯ < K
n→∞
−a
Z
a
con K indipendente da n. Le sucessioni
Z −a
Z
n (x)dx ,
∞
n (x)dx
a
−∞
convergono uniformemente a 0
Esercizio 1.7.1. Dimostrare che la funzione delta di Dirac è esprimibile come il limite
delle seguenti successioni9 :
¡
¢
δ (t) = lim N exp −N 2 πt2
N→∞
δ (t) =
δ (t) =
lim N rect (Nt)
N→∞
lim N sin c (Nt)
N→∞
doce
sinc (x) =
sin (x)
,
x
mentre in uno spazio 2D si ha
δ (x, y) =
δ (x, y) =
lim N 2 exp
N→∞
¡£
¡
¢¤¢
−N 2 π x2 + y 2
lim N 2 rect (N x) rect (Ny)
N→∞
lim N 2 sin c (Nx) sin c (Ny)
´
³ p
−1 2
2
2
δ (x, y) = lim π N circ N x + y
N→∞
³
´
p
j1 2πN x2 + y 2
p
δ (x, y) = lim N
N→∞
x2 + y 2
δ (x, y) =
N→∞
Esercizio 1.7.2. Dimostrare che
δ(at) =
9
1
δ(t)
|a|
J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, New York 1968, App. A
(1.26)
1.7 Funzioni speciali
37
Esercizio 1.7.3. Dimostrare che se f è una funzione derivabile e xi sono gli zeri della
funzione, allora:
X δ(x − xi )
δ(f (x)) =
|f 0(xi )|
i
Esercizio 1.7.4. Dimostrare che
δ(3) (r−r0 ẑ) =
1
δ (θ) δ (r − r0 )
sin θ
2πr2
Esercizio 1.7.5. Dimostrare che se f(r0 ) è una funzione derivabile, allora:
¯
¯
Z
¯
f(r − rq (t))
0 (3)
0
3 0
¯ ¯¯
f(r − r )δ (r − rq (trit )) d r = ¯¯
0
ṙ (t)
r −r (t) ¯
¯1 − qc · |r0 −rqq (t)| ¯ ¯
(1.27)
rit
dove
trit = t −
|r0 − rq (trit )|
c
Soluzione: Dal momento che trit è funzione di r0 si ha
Z
f(r − rq (t))
¯
f(r − r0 )δ (3) (r0 − rq (trit )) d3 r0 = ¯¯
∂(x0 −xq (trit ),y 0 −yq (trit ),z 0 −zq (trit )) ¯
¯det
¯
∂(x0 ,y0 ,z 0 )
dove
∂ (x0 − xq (trit ) , y 0 − yq (trit ) , z 0 − zq (trit ))
∂ (x0 , y 0 , z 0 )
⎡
x0 −xq (trit )
x0 −xq (trit )
1 − ẋq (trit ) c|r
−
ẏ
(t
)
q
rit
0 −r (t
c|r0 −rq (trit )|
q rit )|
⎢
y0 −yq (trit )
y0 −yq (trit )
= det ⎣ −ẋq (trit ) c|r0 −rq (trit )| 1 − ẏq (trit ) c|r
0 −r (t
q rit )|
det
0
q (trit )
−ẋq (trit ) c|rz 0−z
−rq (trit )|
= 1−
1.7.2
ṙq (t) r0 − rq (t)
· 0
c
|r − rq (t)|
0
q (trit )
−ẏq (trit ) c|rz 0−z
−rq (trit )|
0
x −xq (trit )
−żq (trit ) c|r
0 −r (t
q rit )|
⎤
⎥
y 0 −yq (trit )
−żq (trit ) c|r
⎦
0 −r (t
q rit )|
z 0 −zq (trit )
1 − żq (trit ) c|r0 −rq (trit )|
Funzioni di Bessel, Hankel e Struve
L’integrale generale dell’equazione di Bessel
x2
¡ 2
¢
d
d2
2
y
+
x
y=0
y
+
x
−
ν
dx2
dx
(1.28)
è espresso in generale dalla combinazione
y (x) = Cj Jν (x) + CY Yν (x)
di funzioni di Bessel di prima Jν (x) e seconda specie Yν (x). Mentre Jν (x) è una funzione
regolare di x per arg (ν) < π, esprimibile mediante la serie
¡ ¢2n
∞
³ x ´ν X
(−1)n x2
Jν (x) =
(1.29)
2 n=0 n!Γ (ν + n + 1)
38
Metodi matematici della Elettrodinamica
Figura 1.3: Funzioni di Bessel di ordine intero di prima e seconda specie
Yν (x) è singolare per x = 0.
Per ν intero risulta (v. Fig. (1.3))
J−n (x) = (−1)n Jn (x)
mentre per ν non intero Jν (x) e J−ν (x) sono linearmente indipendenti mentre
Yν (x) =
Jν (x) cos (νπ) − J−ν (x)
sin (νπ)
Quelle di Hankel sono combinazioni di
Hν(1,2) (x) = Jν (x) ± iYν (x)
(1)
Hankel ha ottenuto la seguente rappresentazione di Hν (x)
1
Hν(1)
e−i 2 πν
(x) =
π
Z
α2
eix cos z+iνz dz
α1
dove α1 = −ε + i∞ + p, α2 = ε − i∞ + p con p una generica quantità reale.
(1.30)
1.7 Funzioni speciali
39
Si hanno le seguenti relazioni di ricorrenza:
2ν
Zν (x) = Zν−1 (x) + Zν+1 (x)
x
d
2 Zν (x) = Zν−1 (x) − Zν+1 (x)
dx
(1.31)
(1,2)
con Zν (x) = Jν (x) , Yν (x) , Hν (x).
L’integrale generale dell’equazione di Bessel modificata
x2
è espresso dalla combinazione
¡ 2
¢
d2
d
2
y
−
x
y
+
x
+
ν
y=0
dx2
dx
(1.32)
y (x) = CI Iν (x) + CK Kν (x)
di funzioni di Bessel modificate di prima Iν (x) e seconda specie Kν (x), legate tra loro
dalle relazioni di ricorrenza
2α
Cν (x) = Cν−1 (x) − Cν+1 (x)
x
d
2 Cν (x) = Cν−1 (x) + Cν+1 (x)
dx
(1.33)
con Cν (x) = Iν (x) , eiνπ Kν (x).
(1)
Iν (x) e Kν (x) (v. Fig. (1.4)) sono esprimibili in funzione di Jν (ix) e Hν (ix):
Iν (x) = i−ν Jν (ix) =
∞
³ x ´ν X
2
n=0
¡ x ¢2n
2
n!Γ (ν + n + 1)
π 1
Kν (x) = i ei 2 πν Hν(1) (ix)
2
(1.34)
L’integrale generale dell’equazione di Bessel sferica, che interviene nella integrazione
dell’equazione di Helmholtz (v. Sez. 7.1)
x2
¤
£
d2
d
y + 2x y + x2 − n (n + 1) y = 0
2
dx
dx
è espresso dalla combinazione
y (x) = Cj jn (x) + Cy yn (x)
di funzioni di Bessel sferiche di prima jn (x) e seconda specie yn (x), espresse da
r
π
jn (x) =
J 1 (x)
2x n+ 2
r
r
π
π
n+1
1 (x)
yn (x) =
Yn+ 1 (x) = (−1)
J
2
2x
2x −n− 2
40
Metodi matematici della Elettrodinamica
Figura 1.4: Funzioni di Bessel modificate di prima e seconda specie
1.7 Funzioni speciali
41
Nel caso dell’equazione di Bessel non omogenea
x2
¡ 2
¢
d
4 (x/2)ν+1
d2
2
¡
¢
y
+
x
y
+
x
−
ν
y
=
√
dx2
dx
πΓ ν + 12
la soluzione generale è data da
y (x) = Cj Jν (x) + CY Yν (x) + Hν (x)
dove
Hν (x) =
sta per la funzione di Struve
∞
³ x ´ν+1 X
2
n=0
¡ ¢2n
(−1)n x2
¡
¢ ¡
¢
Γ n + 32 Γ n + ν + 32
(1.35)
Esercizio 1.7.6. Dimostrare che le funzioni di Bessel Jn (x) di indice n intero sono
rappresentate dagli integrali:
Z 2π
1
Jn (x) =
ei(x cos θ+nθ) dθ
n
2πi 0
Z
1 π
=
cos (nθ − x sin θ) dθ
π 0
Z π
1
=
ei(nθ−x sin θ) dθ
(1.36)
2π −π
Soluzione: Sviluppando eix cos θ in serie si ha
Z
Z 2π
∞
1 X (ix)k 2π
1
ix cos θ+inθ
e
dθ =
cosk θeinθ dθ
2πin 0
2πin k=0 k! 0
k µ ¶ Z 2π
∞
1 X 1 ³ x ´k X k
=
i
ei(2m−k+n)θ dθ
2π k=0 k! 2 m=0 m 0
¡ x ¢k
¡ ¢2m
∞
∞
³ x ´n X
X
(−1)m x2
i2
¡ k+n ¢ ¡ k−n ¢ =
=
= Jn (x)
2
(n
+
m)!m!
!
!
k−n
2
2
m=0
2
=0
Esercizio 1.7.7. Dimostrare la seguente identità di Jacobi
−ix cos θ
e
=
∞
X
(−i)n Jn (x) einθ
(1.37)
n=−∞
Soluzione: Essendo e−ikρ cos θ una funzione periodica in θ si può rappresesentare sotto
forma di serie di Fourier:
∞
X
−ix cos θ
=
Cn einθ
e
n=−∞
dove
1
Cn =
2π
Z
2π
0
Tenuto conto della (??) ne segue la (5.25).
e−ix cos θ−inθ dθ
42
Metodi matematici della Elettrodinamica
Esercizio 1.7.8. Dimostrare che l’onda piana eikr cos θ si può espandere in una serie di
onde sferiche del tipo
ikr cos θ
e
=
∞
X
(2l + 1) il Jl (kr) Pl (cos θ)
l=0
Esercizio 1.7.9. Dimostrare che le funzioni di Bessel Jν (kρ) formano una base ortogonale rispetto al fattore peso ρ, ovvero
Z ∞
δ (k − k0 )
Jν (kρ) Jν (k 0 ρ) ρdρ =
k
0
con k, k0 > 0
Esercizio 1.7.10. Applicando il metodo dello steepest descent (SD) all’Eq. (1.30) ri(1)
cavare l’espressione asintotica di Hν (x)
(1)
Soluzione: Esprimendo Hν (x) con l’integrale (1.30) e confrontando quest’ultimo con
quello di Eq. (1.15) si ha
1
Hν(1)
e−i 2 πν
(x) =
π
Z
α2
ix cos z+iνz
e
α1
dz =
Z
∞
eixh(z) g (z) dz
−∞
−i 1 πν
con h (z) = − cos z e g (z) = e π2 eiνz funzioni analitiche tali che la derivata h0 (α) si
annulla per α = 0. Pertanto, il cammino di massima pendenza ΓSD va da α1 = −ε + i∞
a α2 = ε − i∞ passando per l’origine. Utilizzando l’espansione (1.17) ai ottiene quindi
r
−i 12 πν
2π −i 1 π+ix
e
Hν(1) (x) '
e 4
π
x
½
∙
¸
¾
0000
i h000 g 0 1 h
5 h0002
1 g 00
× 1+
−
− 00
+
+ ···
2x h002 g
4 h002 12 h003
h g
r
µ
¶
4ν 2 − 1
2 ix−i 1 πν−i 1 π
2
4
1+i
e
+ ···
(1.38)
=
πx
8x
(1)
Esercizio 1.7.11. Utizzando l’espressione asintotica di Hν (x) ricavata nell’Es. (1.7.10)
si ricavino le espressioni asintotiche di Jn (x) , Yn (x)
Soluzione: Da (1.38) discende:
r
µ
¶
2
π 1
Jn (x) =
cos x − n − π
(x) '
πx
2 4
r
µ
¶
2
π 1
(1)
sin x − n − π
Yn (x) = Im Hν (x) '
πx
2 4
¡ n ¢
, con α reale, tende per n → ∞ asintoticaEsercizio 1.7.12. Dimostrare che Jn cosh
α
mente a:
³ n ´ exp [n (tanh α − α)]
√
Jn
≈
(1.39)
cosh α
2πn tanh α
Re Hν(1)
1.7 Funzioni speciali
43
Soluzione: Utilizzando la rappresentazione integrale (??) si ha
Z 2π
³ n ´
cos θ
1
Jn
ein( cosh α +θ) dθ
=
n
cosh α
2πi 0
= I1 (n) − I2 (n)
dove
1
I1 (n) =
2πin
Z
ein( cosh α +θ) dθ
Γ
Z ∞
cosh θ
1
I2 (n) = − n−1
ein( cosh α +iθ) dθ
2πi
0
cos θ
Γ è un cammino che parte da θ = 0, passa per il punto sella θSD , legato ad α dalla
relazione:
³π
´
sin θSD = cosh α = sin
+ iα
2
ovvero
π
θSD = + iα
2
per proseguire |θ| → ∞. L’integrale I1 (n) e I2 (n) si possono riscrivere nella forma
Z
θ
1
in sincos
+θ
θ SD
e
dθ
I1 (n) =
2πin Γ
Z ∞
cosh θ
1
I2 (n) = − n−1
en(i cosh α −θ) dθ
2πi
0
Applicando il metodo dello steepest descent10 all’integrale
Z
Z
θ
in sincos
+θ
inh(θ)
θ SD
e
dθ = e
dθ
Γ
si ha
Γ
s
¡ −1 ¢
1
2π
iπ/4+inh(θSD )
e
einh(θ) dθ −→
+
0
n
n→∞ 2πin
nh00 (θSD )
Γ
s
¡
¢
1
2π
eiπ/4+in(cot θSD +θSD ) + 0 n−1
=
n
2πi
−n cot (θSD )
¡
¢
exp [n (tanh α − α)]
√
=
+ 0 n−1
2πn tanh α
1
2πin
Z
D’altro canto
I2 (n) −→ 0
n→∞
(1)
Esercizio 1.7.13. Tenendo conto della rappresentazione (1.30) di Hν (x) sotto forma
(1)
di integrale e della rappresentazione (1.34) di Kν (x) mediante Hν (ix) giustificatre la
seguente rappresentazione integrale
Z ∞
Kν (η) =
e−η cos x cosh (νx) dx
(1.40)
0
10
v. Sez. 1.5.2
44
Metodi matematici della Elettrodinamica
Esercizio 1.7.14. Utilizzando la rappresentazione (1.40) verificare le seguenti espressioni
integrali di K1/3 (η) , K2/3 (η)
¶¸
∙
µ
Z ∞
3
1 3
K1/3 (η) =
dx
exp iη x + x
2
3
−∞
#
" µ
¶r
√ Z ∞
4 2
1 2
3
exp −η 1 + x
1 + x dx ,
=
3
3
0
¶¸
µ
∙
Z ∞
1
3
x exp iη x + x3 dx
K2/3 (η) =
2
3
−∞
#
" µ
¶r
Z ∞
3 + 2x2
4 2
1 2
1
q
exp −η 1 + x
1 + x dx ,
= √
3
3
3 0
1 + 1 x2
3
K5/3 (η) =
4
K2/3 (η) + K1/3 (η)
3η
(1.41)
funzioni queste di particolare rilevanza nel calcolo dello spettro della radiazione di sincrotrone sono le funzioni (v. Eq. (7.35))
Esercizio 1.7.15. Dimostrare che le funzioni di Bessel sferiche sono espresse dalla formula di Rayleigh
µ
¶n
sin x
1 d
n
jn (x) = (−x)
x dx
x
µ
¶n
cos x
1 d
yn (x) = − (−x)n
x dx
x
1.7.3
Funzioni di Mathieu
Esercizio 1.7.16. Un’equazione particolarmente importante è quella di Mathieu11
µ 2
¶
d
+ a − 2q cos (2ζ) u(ζ) = 0 ,
(1.42)
dζ 2
Discutere le proprietà degli integrali di questa equazione. In particolare discuterne la
stabilità, ovvero per quali valori dei parametri a e q le soluzioni risultano limitate per
ζ ∈ (−∞, ∞) .
Soluzione: L’equazione di Mathieu (Eq. (1.42)) ammette in generale due integrali
C(a, q, ζ) e S(a, q, ζ) rispettivamente pari e dispari rispetto a ζ rappresentabili nella forma
di Floquet
C(a, q, ζ) = eiμζ fμ (q, ζ) + e−μζ fμ (q, −ζ)
S(a, q, ζ) = eiμζ fμ (q, ζ) − e−μζ fμ (q, −ζ) ,
(1.43)
con fμ (q, ζ) = fμ (q, ζ + π). Quando l’esponente caratteristico risulta reale sia C che S
sono limitate e l’integrale dell’equazione risulta stabile. Ne discende che sul piano q,a si
11
N. W. McLachlan, Theory and Applications of Mathieu Functions, Oxford Univ. Press, Oxford, 1947;
M. Abramowitz and I. A. Stegun,“Handbook of Mathematical Functions”, Dover Publ., N.Y. (1970),
Cap. 20.
1.7 Funzioni speciali
45
possono inviduare delle regioni di stabilità definendole come quelle per cui μ (q, a) risulta
reale.
In particolare per una sequenza di valori a0 (q) , a1 (q) , . . . C(an (q) , q, ζ) si riduce ad
una funzione periodica cen (q, ζ) = cen (q, ζ + π). Lo stesso accade per S(bn (q) , q, ζ) =
sen (q, ζ) = sen (q, ζ + π) per la sequenza di valori a = b1 (q) , b2 (q) , . . .
L’insieme di autovalori a0 (q) < b1 (q) < a1 (q) < b2 (q) < a2 (q) < . . . ripartisce l’intervalo −∞ < a < ∞ in intervalli a0 (q) < a < b1 (q), a1 (q) < a < b2 (q) , . . . all’interno
dei quali sia C che S sono stabili.
In particolare μ (q, a) tende per assegnato q ad un intero m per a → an e ad m + 1 per
a → bn+1 In particolare per μ intero, ovvero per a = am , bp , eiμζ fμ (q, ζ) e e−iμζ fμ (q, −ζ)
non sono più soluzioni indipendenti, per cui la (1.43) non è più valida. Mentre S(bn , q, ζ) =
sen (q, ζ) è periodica, S(an , q, ζ) è invece una funzione aperiodica.
Quando il punto rappresentativo (a, q) cade in una delle regioni di Fig. 1.5 an (q) <
a < bn+1 (q) eiμζ si comporta come un fattore di fase, per cui l’integrale generale risulta
stabile12 .
Figura 1.5: Regioni di stabilità delle funzioni di Mathieu. Quando la coppia di parametri a, q cade nelle
regioni comprese tra la curva più in basso e quella successiva, tra la terza e la quarta, e così via l’esponente
caratteristico μ risulta reale.
1.7.4
Funzione di Airy
Le funzioni di Airy Ai (x) e Bi (x) sono integrali dell’ED
µ 2
¶
d
+ x f (x) = 0 ,
dx2
In particolare Ai (x) è rappresentato dall’integrale
¶
¶
µ 3
µ 3
Z
Z i∞
1
t
z
1 ∞
+ xt dt =
− zt dz
cos
exp
Ai (x) =
π 0
3
2πi −i∞
3
12
(1.44)
(1.45)
per calcolare le regioni di stabilità v.p.e. http://www.physics.drexel.edu/~tim/open/mat/node6.html
46
Metodi matematici della Elettrodinamica
Figura 1.6: Rappresentazione espansa della Fig. precedente relativa alla regione di stabilitò a0 (q) < a <
b1 (q)
Ai (x) decresce esponenzialmente per x → ∞ mentre è una funzione oscillante per
x < 0:
(
e−(2/3)x x >´0
|x|−1/4
³
Ai (x) = √
2 sin 23 |x|3/2 + π4 x < 0
2 π
mentre Bi (x) esplode per x → ∞
Bi (x) =
1.7.5
3 |x|−1/4 (2/3)x3/2
√
e
x>0
π
Integrali ellittici
K (ϕ, ξ) =
Zϕ
0
dt
p
1 − ξ sin2 t
Zϕ q
1 − ξ sin2 tdt
E (ϕ, ξ) =
(1.46)
0
K (ξ) = K
³π
´
,ξ
³ π2 ´
,ξ
E (ξ) = E
2
sono detti integrali ellittici completi.
Sviluppando in serie rispetto a ξ si ottiene:
¶
µ
3
ϕ 1
− sin (2ϕ) ξ +
(12ϕ − 8sin (2ϕ) + sin (4ϕ))ξ 2 + O[ξ]3
K (ϕ, ξ) = ϕ +
4 8
256
1
1
(−12ϕ + 8sin (2ϕ) − sin (4ϕ))ξ 2 + O[ξ]3
E (ϕ, ξ) = ϕ + (−2ϕ + sin (2ϕ))ξ +
8
256
(1.47)
1.8 Trasformate integrali
47
Figura 1.7: Integrali ellittici E (ξ) (curva in basso) e K (ξ) (curva in alto) in funzione di z
1.8
Trasformate integrali
Per una raccolta delle proprietà delle trasformate integralòi più frequentemente utilizzate
in elettrodinamica ed elettromagnetismo si rinvia a: A. Erd élyi, W. Magnus, F. Oberhettinger and F. G. Tricomi, Tables of Integral Transforms voll. I and II, McGraw-Hill
Co., N. Y. 1954
1.8.1
Trasformata di Fourier
Per una funzione integrabile secondo Lebesgue,
Z ∞
|f (t)| dt < ∞ ,
esiste la trasformata di Fourier
−∞
F {f (t)} = f˜ (ω) =
Z
∞
f (t) eiωt dt .
−∞
Per ω reale f˜ (ω) è limitata e continua non necessariamente integrabile e soddisfa il lemma
di Riemann—Lebesgue,
¯
¯
¯˜ ¯
lim ¯f (z)¯ = 0 .
|z|→∞
Quando anche f˜ (ω) , con ω reale, è integrabile la trasformata è invertibile,
Z ∞
1
f (t) =
f˜ (ω) e−iωt dω .
2π −∞
Queste trasformate soddisfano il teorema di Plancherel
Z ∞
Z ∞
1
∗
f˜ (ω) g̃∗ (ω) dω
f (t) g (t) dt =
2π
0
0
e di Parseval (caso particolare di Plancherel)
Z ∞¯
Z ∞
¯
1
¯ ˜ ¯2
2
|f (t)| ρdρ =
f
(ω)
¯
¯ dω
2π 0
0
48
Metodi matematici della Elettrodinamica
Esercizio 1.8.1. Trasformata di Fourier della delta
Soluzione:
1
δ (x) =
2π
Z
∞
e−iωx dω
−∞
La delta è l’antitrasformata della funzione costante f (x) = 1
1.8.2
Trasformate di Hankel (Fourier-Bessel)
Si definiscono trasformate di Hankel (dette anche trasformate di Fourier-Bessel) le traformate integrali:
Z ∞
f (ρ) Jn (kρ) ρdρ
fHn (k) = Hn {f } =
0
che godono della proprietà di essere coniugate:
Z ∞
fHn (k) Jn (kρ) kdk
f (ρ) =
0
Queste trasformate soddisfano il teorema di Plancherel
Z ∞
Z ∞
f (ρ) g (ρ) ρdρ =
fHn (k) gHn (k) kdk
0
0
e di Parseval (caso particolare di Plancherel)
Z
Z ∞
2
|f (ρ)| ρdρ =
0
∞
0
|fHn (k)|2 kdk
Esercizio 1.8.2. Si consideri una funzione f (ρ, φ) di periodo 2π in φ e ρ ≥ 0 :
∞
1 X
f (ρ, φ) = √
fn (ρ) einφ
2π n=−∞
Calcolare la trasformata di Fourier
F (k) = F {f (ρ, φ)} =
Z Z∞
eik·ρ f (ρ, φ) d2 ρ
−∞
con ρ = ρρ̂ utilizzando le trasformate di Hankel delle funzioni fn (ρ)
Soluzione:
F (k) =
Z
∞
0
Z
2π
dφf (ρ, φ) eikρ cos(φ−φk ) ρdρ
0
Z ∞
Z 2π
∞
X
inφk
e
fn (ρ) ρdρ
einϕ eikρ cos ϕ dϕ
dρ
1
= √
2π n=−∞
=
=
∞
X
√
2π
in einφk
√
2π
n=−∞
∞
X
n=−∞
0
0
Z
∞
Jn (kρ) fn (ρ) ρdρ
0
in einφk fnHn (k)
1.8 Trasformate integrali
49
Esercizio 1.8.3. Calcolare la trasformata di Hankel di ordine 0 della funzione
circ (ρ) =
½
1ρ<1
0ρ>1
Soluzione:
H0 {circ (ρ)} =
Z
∞
circ (ρ) J0 (kρ) ρdρ =
0
Z
1
J0 (kρ) ρdρ
0
Dalle Eqq. (1.31) discende la relazione
d
(xJ1 ) = xJ0
dx
per cui
1
H0 {circ (ρ)} = 2
k
La funzione
³
J1 (k)
k
´2
Z
0
k
1
J0 (x) xdx = 2
k
Z
0
k
d
J1 (k)
(xJ1 ) dx =
dx
k
(1.48)
è nota in ottica come pattern di Airy
Esercizio 1.8.4. Calcolare le trasformate di Hankel di ordine 0 delle seguenti funzioni
f1 (ρ) = 1
1
f2 (ρ) =
ρ
f3 (ρ) = ρm − 2 < Re (m) < −1/2
1
f4 (ρ) = p
ρ2 + z 2
1
f5 (ρ) = 2
ρ + z2
ei|a|ρ
f6 (ρ) =
ρ
1
2 2
f7 (ρ) = e− 2 α ρ
f8 (ρ) = ρ2 f (ρ) =
50
Metodi matematici della Elettrodinamica
Soluzione:
f1H0 (k) =
f2H0 (k) =
f3H0 (k) =
f4H0 (k) =
f5H0 (k) =
f6H0 (k) =
δ (k)
k
1
k
2m+1 Γ (m/2 + 1)
km+2 Γ (−m/2)
e−k|z|
k
K0 (kz)
(
√ i
k < |a|
a2 −k2
1
√
k > |a|
k2 −a2
2
2
e−k /2a
f7H0 (k) =
a2
µ
d2
1 d
f8H0 (ρ) = ρ f (ρ) = −
+
dk 2 k dk
2
¶
fH0 (k)
Esercizio 1.8.5. Calcolare la trasformata di Hankel di ordine n della funzione
Soluzione: Dalla trasformata di Hankel di13
Z
∞
0
e−aρ
ρ
ei|a|ρ
ρ
con Re a > 0
¢n
¡√
2 + k2 − a
a
√
Jn (kρ) e−aρ dρ =
kn a2 + k2
si ha
Z
∞
−ia00 ρ
Jn (kρ) e
0
con a = a0 + ia00 , a0 , a00 > 0
¡√
¢n
a02 − a002 + 2ia0 a00 + k2 − a0 − ia00
√
dρ = lim
n a02 − a002 + 2ia0 a00 + k 2
a0 →0
k
⎧
√
n
⎨ ( −a√002 +k2 −ia00 ) k > a00
kn √−a002 +k2
n
=
⎩ i−n+1 ( a002√−k2 +a00 ) k < a00
kn a002 −k2
Esercizio 1.8.6. Calcolare la trasformata di Fourier della funzione:
Z ∞
1
δ (x − ξ cos ωt) =
ei (x−ξ cos ωt) d
2π −∞
Soluzione: Utilizzando l’identità di Jacobi
e−i
ξ cos θ
=
∞
X
(−i)n Jn ( ξ) einθ
(1.49)
n=−∞
13
v. Erdélyi et al. loc.cit. pag. 47, Sez. 8.7; S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik Table of Integrals, Series
and Products, Academic Press, N.Y. 1965 Sez. 6.671
1.8 Trasformate integrali
si ha
51
Z ∞
∞
1 X
n inθ
(−i) e
Jn ( ξ) ei
δ (x − ξ cos ωt) =
2π n=−∞
−∞
Dal momento che
Z
∞
Jn ( ξ) ei
x
d
0
si ha
∞
1 X
δ (x − ξ cos ωt) =
(−i)n einωt
2π n=−∞
1.8.3
x
d
´n
³p
2
2
ξ − x + ix
p
=
ξ n ξ 2 − x2
³p
³p
´n
´n
ξ 2 − x2 + ix + (−1)n
ξ 2 − x2 − ix
p
ξ n ξ 2 − x2
Trasformata di Hilbert
La trasformata di Hilbert di una funzione g (x) è data da e Hilbert
Z ∞
g (y)
1
dy ,
H [g] = gH (x) = V.P.
π
−∞ y − x
dove V.P. sta per il valor principale dell’integrale.
Esercizio 1.8.7. Dimostrare che la trasformata di Hilbert gode di due importanti proprietà
hH [g] |f i = − hg|H [f ]i
HH [g] = −g
ovvero
Z
∞
−∞
∗
gH
(x) f
(x) dx = −
Z
∞
−∞
g ∗ (x) fH (x) dx
gHH (x) = −g (x)
Esercizio 1.8.8. Dimostrare che la trasformata di Hilbert di una funzione analitica g (x)
priva di poli per Im (x) > 0 o Im (x) < 0 è data rispettivamente da
gH (x) = ig (x) , gH (x) = −ig (x) .
Soluzione: Innanzitutto si osserva che per g (y) regolare in x si può rappresentare gH (x)
nella forma
µZ ∞+iε
¶
Z
g (y)
g (z)
1
dy −
dz
gH (x) = lim
π ε→0 −∞+iε y − x
Γ z−x
dove Γ indica una semicirconferenza di raggio |ε| con centro in x e che si sviluppa per
Im z > (<) 0 in accordo con sign (ε) . Se g (z) non ha poli per Im z > 0 si sceglierà ε > 0.
Nel caso opposto si sceglierà ε < 0. Poichè g (z) si annulla all’infinito si può applicare il
lemma di Riemann ottenendo così
Z
g (z)
1
gH (x) = − lim
dz = −i sign (ε) g (x)
π ε→0 Γ z − x
52
Metodi matematici della Elettrodinamica
Esercizio 1.8.9. Calcolare la trasformata di Hilbert della funzione
g (x) =
1
x−z
con z una quantità complessa
Soluzione: Dall’esercizio precedente discende che
∙
¸
1
1
H
= −i Im [z]
x−z
x−z
Esercizio 1.8.10. Calcolare la trasformata di Hilbert della funzione
g (x) =
Soluzione: Poichè
1
1 + x2
∙
¸
1
1
= − Im
1 + x2
x−i
si ha
∙
1
H
1 + x2
¸
∙ ∙
¸¸
1
= −H Im
x−i
¸
∙
x
i
=
= Im
x−i
1 + x2
Esercizio 1.8.11. Calcolare la trasformata di Hilbert della funzione
g (x) =
Soluzione: Poichè
x
1 + x2
∙
¸
1
1
= Re
1 + x2
x−i
procedendo come si è fatto nel precedente esercizio si ottine
∙
¸
x
1
H
=
2
1+x
1 + x2
Esercizio 1.8.12. Mostrare che le trasformate di Hilbert delle funzioni δ (x) , sinc(x) =
sin(x)
e rect (x) sono date da
x
1
πx
1 − cos (x)
H [sin c (x)] =
¯
¯x
1 ¯¯ x + 12 ¯¯
rect (x) =
ln
π ¯ x − 12 ¯
H [δ (x)] =
1.9 Sistemi dinamici
1.9
53
Sistemi dinamici
E’ tipico della fisica confrontarsi con sistemi molto diversi per dimensioni e numero di
costituenti cercando di utilizzare un numero di parametri suﬃcientemente piccolo. Un
sistema viene percepito attribuendogli uno stato.
Il concetto di sistema dinamico nasce dall’esigenza di costruire un modello matematico
generale in grado di descrivere l’evoluzione nel tempo di tutti i sistemi (fisici e non) secondo
opportune leggi che legano lo stato presente a quello futuro e/o passato.
Lo ’stato’ può essere definito come l’insieme dei valori delle grandezze fisiche di un
sistema che descrivono in modo suﬃcientemente esauriente il sistema al tempo t. Lo
stato di un sistema di particelle cariche, in meccanica, é completamente determinato, ad
un dato istante di tempo, se sono date la posizione e la velocitá di ciascun punto materiale
che lo componga.
Nella teoria dei sistemi dinamici si chiama spazio delle fasi di un sistema lo spazio
i cui punti rappresentano univocamente tutti e soli i possibili stati del sistema. Nella
meccanica classica lo spazio delle fasi di solito rappresenta tutte le possibili posizioni e
velocità di ogni punto materiale. In generale lo spazio delle fasi avrà tante dimensioni
quanti sono i gradi di libertà del sistema. Per un sistema di N punti materiali libere
di muoversi in tutte le direzioni, la determinazione dello stato richiede la conoscenza del
valore di 6N variabili.
L’evoluzione del sistema dinamico continuo può essere rappresentata da una curva nello
spazio delle fasi. Se l’evoluzione avviene ad intervalli discreti di tempo il sistema viene
chiamato discreto, se invece l’evoluzione è continua e la regola è data da un’equazione
diﬀerenziale il sistema viene chiamato continuo. Se il sistema dinamico è discreto la
sua evoluzione appare nello spazio delle fasi come una successione di punti. Esempi di
sistemi discreti sono forniti dagli acceleratori di particelle in cui l’energia viene fornita in
opportune sequenze di cavità acceleratrici. L’evoluzione di un sistema può essere gestita
da forze esterne al sistema (p.e. il campo e.m. di una cavità), oppure da forze interne
dovute all’interazione tra le particelle
Esercizio 1.9.1. La mappa standard, detta anche mappa di Taylor-Greene-Chirikov, è
un particolare sistema dinamico discreto definito sul toro dipendente da un parametro K
in cui si possono osservare transizioni da un sistema ordinato e integrabile ad un sistema
caotico. (a) Verificare che lo spazio delle fasi della mappa standard è il toro bidimensionale in cui generalmente si considerano le coordinate angolari. L’evoluzione è data dalla
successione14 :
xn+1 = xn + yn − K sin xn
yn+1 = yn − K sin xn
(1.50)
Un sistema del tipo (6.5) è trattato nella teoria dei sistemi dinamici come una mappa
bidimensionale che trasforma ad ogni passo la coppia (xn , yn ) in (xn+1 , yn+1 ) . Tra le mappe
più studiate vi è la cosiddetta mappa standard, da:
xn+1 = xn + yn − K sin xn
yn+1 = yn − K sin xn
14
v.p.e.http://mathworld.wolfram.com/StandardMap.html
54
Metodi matematici della Elettrodinamica
dove K è una costante positiva. Per analizzare le zone di stabilità si studia il sistema in
prossimità del punto unito della mappa definito da:
yn+1 = yn
xn+1 = xn
(a) Trovare i punti fissi della mappa standard; (b) linearizzare la mappa intorno ai punti
fissi e verificare per quali dei due risulta instabile
Soluzione: (a) I punti fissi corrispondono a (yn , θn ) = (0, 0) e (0, π)
(b) Linearizzando di ha
dyn+1 = dyn + K cos xn dxn
dxn+1 = dyn+1 + (1 + K cos xn ) dxn
a cui corrispopnde l’equazione caratteristica
λ2 − λ (2 + K cos xn ) + 1 = 0
Ne discende che
Per (0, π) si ha
¯
¯
q
¯
1 ¯¯
2
λ = ¯K cos xn + 2 ± (K cos xn + 2) − 4¯¯
2
(0,π)
λ±
ovvero il punto è stabile per
¯
¯
q
¯
1 ¯¯
2
= ¯K − 2 ± (K − 2) − 4¯¯
2
0<K<4
Per (0, 0) si ha
(0,0)
λ±
e questo punto risulta instabile.
¯
¯
q
¯
1 ¯¯
2
= ¯K + 2 ± (K + 2) − 4¯¯
2
Capitolo 2
Richiami di teoria della relatività
2.1
4-Vettori e 4-tensori dello spazio-tempo
In relatività un evento P è associato ad un punto
−
→
x = xμ eμ
di uno spazio vettoriale avente come basi i vetori eμ e componenti:
xμ = (x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z)
Sulle basi eμ è definito un prodotto scalare
⎡
−1
⎢ 0
eμ · eν = ⎢
⎣ 0
0
che per sistemi inerziali assume la forma:
⎤
0 0 0
1 0 0 ⎥
⎥ = gμν
0 1 0 ⎦
0 0 1
Ne segue che il prodotto scalare di vettori generici è espresso da:
x · y = xμ y ν (eμ · eν ) = xμ y ν gμν
dove si è omesso, seguendo la convenzione di Einstein, il simbolo di somma sugli indici
che appaiono ripetuti in alto ed in basso.
Alle componenti xμ , dette controvarianti, sono associate le componenti covarianti
definite da:
xμ = xν gμν .
Pertanto si avrà
xμ yμ = xμ y μ .
I 4-vettori si possono suddividere in tre classi secondo che xμ xμ > 0, xμ xμ = 0 e xμ xμ < 0.
Nel primo caso il vettore è detto space-like, nullo nel secondo, time-like nel terzo.
Lo scalare
1p
−dxμ dxμ
(2.1)
dτ =
c
associato alla distanza tra due eventi relativi ad una particella che descrive una traiettoria nello spazio-tempo rappresenta l’incremento del tempo proprio della particella. Ne
55
56
Richiami di teoria della relatività
discende che il tempo proprio è quello che vede scorrere un osservatore solidale ad ogni
istante con la particella,
In relatività si distingue tra sistema di laboratorio KL e sistema proprio KP (τ ) associato al tempo proprio di una particella. Quest’ultimo è definito come il sistema inerziale
in cui l’elettrone si trova a riposo all’istante t considerato. Inoltre KP (τ + dτ ) si ottiene
da KP (τ ) spostando parallelamente gli assi coordinati. Gli intervalli di tempo dt in KL
e dτ in KP sono legati tra loro dal fattore relativistico
1
dt
γ=q
.
=
dτ
2
1 − |β|
con β (t) = v (t) /c.
Particolarmente importante è il 4-vettore della velocità
u=
d μ
x eμ = uμ eμ
dτ
di quadrato pari a
uμ uμ = −c2 .
2.1.1
Trasformazioni di Lorentz
Si consideri un sistema inerziale K2 che si muove con velocità costante v = cβ rispetto al
sistema K1 e con assi a quest’ultimo paralleli. Un punto xμ1 in K1 ha in K2 coordinate
xμ2 = Pνμ xν1
con Pνμ rappresentato in notazione matriciale da
#
"
T
γ
−γβ
.
Pνμ =
T
−γβ (γ − 1) β̂ β̂ + 1
(2.2)
Nel caso più generale in cui gli assi di K2 non siano paralleli a quelli di K1 si ha
xμ2 = Λμν xν1
dove
Λμν = Rαμ Pνα
risulta composto da una trasformazione pura (o boost) Pνμ per una rotazione spaziale
∙
¸
1 0
μ
Rν =
0 R
con R una matrice unitaria nello spazio x, y, z. Pertanto nel caso generale Λμν assume la
forma matriciale
#
"
T
γ
−γβ
³
´
T
Λμν =
−γR · β R · (γ − 1) β̂ β̂ + 1
Le trasformazioni di Lorentz formano un gruppo1 .
1
v.p.e. A. O. Barut, Electrodynamics and Classical Theory of Fields, Dover Ed. N.Y. 1980 parte I sez.
5
2.1 4-Vettori e 4-tensori dello spazio-tempo
57
Esercizio 2.1.1. Verificare la seguente identità
³
´n
T
T
(γ − 1) β̂ β̂ + 1⊥ = (γ n − 1) β̂ β̂ + 1
Soluzione: Utilizzando un sistema cartesiano con
⎡
1
T
(γ − 1) β̂ β̂ + 1 = ⎣ 0
0
da cui segue l’identità (3.21).
(2.3)
l’asse ẑ parallelo a β si ha
⎤
0 0
1 0 ⎦
0 γ
Esercizio 2.1.2. Dimostrare che det Λμν = 1
Soluzione: Tenuto conto che
det [Λμν ] = det [Rαμ Pνα ] = det [Rαμ ] det [Pνα ]
e che
det [Rαμ ] = 1
si ha:
det Λμν
#
γ
−γβ T
= det
T
−γβ (γ−1) β̂ β̂ + 1
i
h
T
= γ det (γ−1) β̂ β̂ + 1 − γ 2 βT · β
"
= γ2 − γ2β 2 = 1
Esercizio 2.1.3. (a) Verificare la seguente proprietà
ΛT · G · Λ = G
con G = [gμν ] e Λ = [Λμν ]. Ne
Lorentz e (c) che
⎡
i
⎢ 0
L=⎢
⎣ 0
0
(2.4)
segue (b) che xμ y ν gμν è invariante per trasformazioni di
0
1
0
0
è una matrice initaria..
0
0
1
0
⎤
⎡
0
⎢
0 ⎥
⎥ · [Λμν ] · ⎢
⎣
0 ⎦
1
−i
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
⎤
0
0 ⎥
⎥
0 ⎦
1
Soluzione: Dal momento che
£ ¤
Λ · G · Λ = PT ·
T
tenuto conto che
∙
1 0
0 RT
¸
·G·
∙
1 0
0 R
∙
¸
1 0
0 RT
=
∙
¸
·G·
1 0
0 RT
∙
1 0
0 R
¸
· [P]
¸ ∙
¸
−1 0
·
=G
0 R
58
Richiami di teoria della relatività
si ha:
"
γ
−γβT
T
Λ ·G·Λ =
T
−γβ (γ − 1) β̂ β̂ + 1
∙
¸
−1 0
=
=G
0 1
# "
·
−γ
γβT
T
−γβ (γ−1) β̂ β̂ + 1
#
(b) Dati due generici 4-vettori x, y per le trasformate x0 = Λ · x, y0 = Λ · y si ha
x0T · G · y0 = xT · ΛT · G · Λ · y = xT · G · y
(c) Ponendo
⎡
−i
⎢ 0
G=⎢
⎣ 0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
l’Eq. (2.4) si può riscrivere nella forma
⎤2
0
0 ⎥
⎥
0 ⎦
1
L† · L = 1μν
il che prova che L è unitaria.
Esercizio 2.1.4. Comporre una trasformazione di Lorentz omogenea con una pura
0μ α α
Soluzione: Il prodotto Λ00μ
ν = Pα Rβ Pν è dato in forma matriciale da:
#
# "
γ
−γβT
γ0
−γ 0 β0T
³
´
T
·
0 0T
−γR · β R· (γ−1) β̂ β̂ + 1
−γ 0 β0 (γ 0 −1) β̂ β̂ + 1
⎤
⎡
³ 2
´
¡
¢
γ
γ 0 γ 1 + β 0T · R · β
−γ 0 γβT − γ 0 β0T · R · γ+1
ββ T + 1
³ 02
´
³ 02
´
³ 2
´ ⎦
= ⎣
γ
ββ T + 1
−γ 0 γβ 0 − γ γγ0 +1 β0 β0T + 1 · R · β γ 0 γβ0 · β T + γγ0 +1 β0 β0T + 1 · R · γ+1
"
#
γ 00
−γ 00 β00T
³
´
002
=
−γ 00 R00 · β00 R00 · γγ00 +1 β00 β00T + 1
"
Ne segue che:
¡
¢
γ 00 = γ 0 γ 1 + β0T · R · β
Sostituendo 1 + β0T · R · β con γ 00 /γ 0 γ si ha
γ 00 β00 = γ
γ 0 + γ 00
β + γ 0 RT · β 0
γ+1
e
R00 =
³¡
´
¢ 00 00T
γ 00−1 − 1 β̂ β̂ + 1
µ 2
¶
γ
γ 02 0 0T
γ 0 γ (γ + γ 0 + γ 00 ) 0 T
T
·
R · ββ + 0
β β · R+ 0
ββ +R
γ+1
γ +1
(γ + 1) (γ + 1)
2.1 4-Vettori e 4-tensori dello spazio-tempo
59
Esercizio 2.1.5. Una rotazione finita dell’angolo Φ intorno alla direzione n̂ può essere
rappresentata equivalentemente o dalla matrice R 3×3 o da Q 2×2 utilizzante i parametri
α, β di Cayley-Klein. Confrontare le due rappresentazioni2
Soluzione: Una rotazione dell’angolo Φ intorno alla direzione n̂ trasforma il raggio
vettore r in:
r0 = R (n̂, Φ) · r
con R (n̂, Φ) una matrice 3×3 dipendente da 3 parametri: direzione n̂ e angolo di rotazione
Φ. Per calcolare R (n̂, Φ) risulta utile stabilire un omomorfismo tra lo spazio delle matrici
3 × 3 a elementi reali e le matrici unitarie Q (n̂, Φ) 2 × 2 a temini complessi
∙
¸
α
β
Q (n̂, Φ) =
(2.5)
−β ∗ −α∗
unimodulari, cioè tali che
det Q (n̂, Φ) = |α|2 + |β|2 = 1.
L’omomorfismo associa il raggio vettore r alla matrice Hermitiana
∙
¸
z
x − iy
P (= r) =
x + iy
−z
che viene trasformata da Q per similitudine in P0 (= r0 ):
¸
∙
¸
∙
x0 − iy 0
z
x − iy
z0
0
0
=Q·
· Q†
P (= r ) =
x0 + iy 0
−z 0
x + iy
−z
(2.6)
Esprimendo i parametri di Cayley-Klein in funzione di quelli di Eulero,
α = e0 + ie3
β = e2 + ie1
si ha per una rotazione elementare dΦ intorno alla direzione n̂
1
dQ = i n̂ · σdΦ
2
dove n̂ · σ = ni σ i con σ i matrici di Pauli. Pertanto, per una rotazione finita di un agolo
Φ si ha:
µ
¶
Φ
Q (n̂, Φ) = exp i n̂ · σ
2
Tenendo conto delle proprietà delle σ i :
σ 21
σ1σ2
T r[σi ]
det[σ i ]
2
=
=
=
=
σ 22 = σ 23 = σ 0 = 1
−σ 2 σ 1 = iσ 3 , σ 2 σ 3 = −σ 3 σ 2 = iσ 1 , σ 3 σ 1 = −σ 1 σ 3 = iσ 2
0
−1
v.p.e. H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison Wesley, Reading 1980 Sez. 4.5
(2.7)
60
Richiami di teoria della relatività
si vede facilmente che
(n̂ · σ)2k = 1
(n̂ · σ)2k+1 = n̂ · σ
(2.8)
Ne discende che l’esponenziale della matrice i Φ2 n̂ · σ è espresso da
Φ
Q (n̂, Φ) = ei 2 n̂·σ
X (−1)k µ Φ ¶2k
X (−1)k µ Φ ¶2k+1
i
=
+ in̂ · σ
(2k)!
2
(2k + 1)! 2
k
k
= σ 0 cos
Φ
Φ
+ in̂ · σ sin
2
2
Pertanto i corrispondenti parametri ei sono dati da
Φ
2
Φ
e = n̂ sin
2
e0 = cos
Dalla (2.6) discende che:
£¡
¤
¢
r0 = e20 − e21 − e22 − e23 + 2ee· − 2e0 e× r
ovvero
R (n̂, Φ) = [cos Φ + (1 − cos Φ) n̂n̂ · − sin Φn̂×] r
Esercizio 2.1.6. Comporre due rotazioni
Soluzione: Moltiplicando le matrici Q relative alle due rotazioni si ha:
¶
µ 0
¶
µ
Φ 0
Φ
0
0
Q (n̂ , Φ ) · Q (n̂, Φ) = exp i n̂ · σ exp i n̂ · σ
2
2
µ
¶
µ
¶
Φ
Φ0
Φ0
Φ
0
=
σ 0 cos
+ in̂ · σ sin
· σ 0 cos + in̂ · σ sin
2
2
2
2
µ
¶
0
0
0
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
+ n̂0 sin cos
·σ
= σ 0 cos cos + i n̂ sin cos
2
2
2
2
2
2
Φ
Φ0
− (n̂0 · σ) (n̂ · σ) sin sin
2
2
D’altra parte dalle Eqq. (2.7) discende che:
(n̂0 · σ) (n̂ · σ) = n0i nj σ i σ j = n̂0 · n̂σ 0 + i (n̂0 × n̂) · σ
Ne discende che
¶
µ 0
¶
µ
Φ 0
Φ
Q (n̂ , Φ ) = exp i n̂ · σ exp i n̂ · σ
2
2
00
00
Φ
Φ
+ in̂00 · σ sin
= σ 0 cos
2
2
00
00
(2.9)
2.1 4-Vettori e 4-tensori dello spazio-tempo
61
dove
Φ00
Φ0
Φ
= cos cos − n̂0 · n̂
2
2
2
00
Φ
Φ0
Φ
Φ
Φ0
= n̂ sin cos
+ n̂0 sin cos − n̂0 × n̂
n̂00 sin
2
2
2
2
2
cos
Esercizio 2.1.7. Estendere la rappresentazione delle rotazioni spaziali mediante la matrice Q (n̂, Φ) di (2.5) ai ”boost” Pνμ . Servirsi a tal fine di matrici hermitiane unimodulari
Q (β) 2 × 2 a temini complessi3
¸
∙
α β
Q (β) =
β∗ δ
tali che
det Q (β) = αδ − |β|2 = 1.
ed associare il 4-vettore
xμ = (x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z)
alla matrice Hermitiana
S=
∙
z + ct x − iy
x + iy −z + ct
¸
che viene trasformata da Q (β) in S0 :
¸
∙
¸
∙ 0
z + ct x − iy
z + ct0 x0 − iy 0
0
= Q (β) ·
· Q† (β)
S =
x + iy −z + ct
x0 + iy 0 −z 0 + ct0
Soluzione: Per un boost elementare dΨ lungo la direzione β̂ si ha
1
dQ = − β̂ · σdΨ
2
Pertanto per un boost di ampiezza generica β = tanh Ψ/2 si ha:
µ
¶
Ψ
Q (β) = exp − β̂ · σ
2
Dalle relazioni (2.8) discende che
Ψ
Q (β) = e− 2 β̂·σ
X (−1)k µ Ψ ¶2k
X (−1)k µ Ψ ¶2k+1
−
=
− β̂ · σ
(2k)!
2
(2k + 1)! 2
k
k
= σ 0 cosh
3
Ψ
Ψ
− β̂ · σ sinh
2
2
v.p.e. A. O. Barut, loc. cit. p. 56 Parte I Sez. 5; H. Goldstein, loc. cit. p. 59, Sez. 7.1
(2.10)
62
Richiami di teoria della relatività
2.1.2
Riferimento proprio
Il moto di una particella che descrive un’orbita parametrizzata dal tempo proprio τ , viene
descritto assegnando ad ogni τ un sistema inerziale KP (τ ) tale che KP (τ + ∆τ ) si ottenga
applicando a KP (τ ) una trasformazione di Lorentz omogenea pura Pνμ (τ ) del tipo (2.2)
con β21 = β (τ + ∆τ ) − β (τ ) dove β (τ ) è la velocità della particella vista in KL al tempo
τ . Alle KP (τ ) si dà il nome di riferimento proprio.
Questo però non deve far pensare che KP (τ 0 ) al tempo generico τ 0 si possa ottenere applicando a KP (τ ) una trasformazione pura. Infatti il prodotto di due generiche
trasformazioni pure è equivalente ad una pura per una rotazione:
Pαμ (τ + ∆τ , τ ) Pνα (τ ) = Rαμ (τ + 2∆τ ) Pνα (τ + 2∆τ )
Può sorprendere che mentre gli assi spaziali di KP (τ + ∆τ ) sono paralleli a quelli
di KP (τ ) e quelli di KP (τ + 2∆τ ) a quelli di KP (τ + ∆τ ), quelli di KP (τ + 2∆τ ) e
KP (τ ) in genere non lo sono. Questo significa che non vale la proprietà transitiva per il
parallelismo degli assi spaziali nello spazio-tempo.
Per rendersene conto si assuma che la particella si muova al tempo τ con velocità β
(τ ) rispetto a KL . Dal momento che KP (τ + ∆τ ) si muove con velocità δβ rispetto a
KP (τ ), con | δβ | ¿ 1, trascurando i contributi di ordine superiore a δβ si ha
∙
¸
1
−δβ T
μ
Pα (τ + ∆τ , τ ) =
.
−δβ
1
Pertanto,
Λμν (τ + ∆τ ) = Pαμ (τ + ∆τ , τ ) Λαν (τ )
#
∙
¸ "
T
T
γ
−γβ
1
−δβ
=
·
γ2
−δβ
1
−γβ 1+ γ+1
ββT
#
"
γ2
ββT ]
γ
−γβT − δβT · [1+ γ+1
=
γ2
−γ(β+δβ)
1+γδββT + γ+1
ββT
In particolare risulta
Rαμ (τ + ∆τ )−1 Λ = P (τ + ∆τ )
#
¸ "
∙
γ2
γ
−γβT − δβT · [1+ γ+1
ββT ]
1 0
·
=
γ2
0 R−1
−γ(β+δβ)
1+γδββ T + γ+1
ββT
"
#
γ2
γ
−γβT − δβ T · [1+ γ+1
ββT ]
=
γ2
ββ T ]
−γR−1 · (β + δβ) R−1 · [1+γδββT + γ+1
Perchè R−1 Λ rappresenti una trasformazione pura i due elementi fuori diagonale di quest’ultima matrice debbono essere il trasposto l’uno dell’altro,
µ
¶
γ2
1
T
−1
R · (β + δβ) = β +
1+
ββ
· δβ
(2.11)
γ
γ+1
D’altra parte R−1 deve rappresentare una rotazione infinitesima di un angolo ∆θ, per cui
R−1 = 1 + ∆θ×
2.2 4-Tensori elettromagnetici
63
con ∆θ parallelo all’asse di rotazione. Pertanto, combinando questa espressione di R−1
con (2.11) si ottiene
γ−1 1
∆θ = −
β × δβ
γ β2
Finalmente, dividendo per ∆τ si perviene alla velocità di precessione di questo movimento
ωT =
γ−1
∆θ
γ2 v × a
=− 2 2 v×a=−
∆τ
γ + 1 c2
β c
(2.12)
In conclusione, il riferimento proprio KP (τ ) visto nel sistema di laboratorio KL eﬀettua
un movimento di precessione con la velocità angolare istantanea di Thomas (v. Fig. ??).
Precessione di Thomas di un riferimento che descrive un’orbita circolare
2.2
4-Tensori elettromagnetici
I vettori E, D, H, B di un campo e.m. in un mezzo materiale soddisfano le equazioni di
Maxwell4 :
∂
∇ × E(r, t) = − B(r, t) ,
∂t
∂
∇ × H(r, t) =
D(r, t) + J(r, t) − ∇ × M ,
∂t
∇ · D(r, t) = ρext (r, t) ,
∇ · B(r, t) = 0 .
(2.13)
dove
ρext (r; t) =
X
n
4
qn δ (3) (r − rn (t)) C m−3 ,
X qn
δ (3) (r − rn (t))pn (t) A m−2 ,
J(r; t) =
m
n
n
per una presentazione accurata delle proprietà e dei metodi di integrazione di queste equazioni v.p.e.
G. Franceschetti, “Campi Elettromagnetici”, Boringhieri, Torino 1983 Cap.6; per vari aspetti dell’elettrodinamica v.p.e. R. Stroﬀolini, “Lezioni di Elettrodinamica” a cura di V. Marigliano-Ramaglia
e F. Ventriglia, Bibliopolis, Napoli 2001.
64
Richiami di teoria della relatività
con qn , rn e pn relativi alla carica n-esima introdotta dall’esterno: ovvero, ρext non tiene
conto delle cariche (elettroni e nuclei dei costituenti atomici) del mezzo materiale. M(r, t)
rappresenta la densità del momento magnetico dovuto ai momenti angolari e di spin dei
nuclei e degli elettroni.
Nel vuoto ed in unità SI l’induzione magnetica B (Wb m−2 ) ed il campo elettrico E (V
m−1 ) sono legati al campo magnetico H (A m−1 ) ed allo spostamento elettrico D (C/m2 )
dalle relazioni
9
E = ε−1
0 D = 36π × 10 D ,
B = μ0 H = 4π × 10−7 H ,
(2.14)
dove ε0 (C V−1 m−1 ) e μ0 (Wb A−1 m−1 ) rappresentano la permettività elettrica e permeabilità magnetica. In particolare, ε0 μ0 = 1/c2 .
In molti casi si vuole conoscere il campo creato da una distribuzione di cariche esterne
qnext . Ad esempio qnext può rappresentare le cariche che diﬀondono in un semiconduttore
posto a contatto con un altro materiale. Il sistema risponde riassestando la disposizione
spaziale dei nuclei e modificando le funzioni d’onda elettroniche, dando così luogo ad una
densità di carica indotta −enind , intesa come la modifica della densità di carica elettronica
preesistente dovuta alla distribuzione qnext . Si distingue quindi tra vettore spostamento
D e campo elettrico E legati rispettivamente a qnext e qnext + ρind dalle relazioni
∇ · D(r, t) = qnext (r, t) ,
ε0 ∇ · E(r, t) = qnext (r, t) + ρind (r, t) ,
In un mezzo materiale si pone
D = P + ε0 E,
B = μ0 (H + M)
dove P e M rappresentano rispettivamente la polarizzazione e la magnetizzazione legato
ai momenti magnetici orbitali e di spin
P(r, t) = D(r, t) − ε0 E(r, t) C m−2
−1
M(r, t) = μ−1
.
0 B(r, t) − H(r, t) A m
In particolare
∇ · P (r,t) = −enind (r, t) ,
∇ · M (r,t) = ∇ · H (r,t)
Ne discende che P(r, t) è dovuto al riassestamento delle cariche del materiale prodotto da
next ,
Esercizio 2.2.1. Riscrivere le equazioni di Maxwell (a) per campi sinusoidali H(r, t) =
e−iωt H̃(r), B(r, t) = e−iωt B̃(r), E(r, t) = e−iωt Ẽ(r), D(r, t) = e−iωt D̃(r) e (b) per le relative
ẽ B(r, t) = e−iωt+ik·r B,
ẽ E(r, t) =
trasformate di Fourier 4-dimensionali H(r, t) = e−iωt+ik·r H,
ẽ D(r, t) = e−iωt+ik·r D
ẽ
e−iωt+ik·r E,
2.2 4-Tensori elettromagnetici
65
Soluzione: (a) Trasformando rispetto al tempo
Z ∞
eiωt E(r, t)dt
Ẽ(r) =
−∞
le Eqq. (2.13) si trasformano in:
∇ × Ẽ(r) = iω B̃(r) ,
∇ × H̃(r) = −iω D̃(r) + J̃(r) ,
∇ · D̃(r) = ρ̃ext (r) ,
∇ · B̃(r) = 0 .
(2.15)
(b) Trasformando ulteriormente rispetto ad r queste ultime equazioni si trasformano
¢
¡∂
ẽ B,
ẽ E,
ẽ D,
ẽ P
ẽ e
→ −iω, ∇ → ik nei vettori H,
in un sistema di equazioni algebriche ∂t
ẽext , −en
ẽind , tutti funzioni di (c−1 ω, k):
nelle densità qn
ẽ = ωB
ẽ ,
k×E
ẽ ,
ẽ = −ωD
ẽ + J
k×H
ẽ = ẽ
ik · D
ρq ,
ẽ = 0 .
ik · B
(2.16)
Esercizio 2.2.2. Partendo dall’equazione di conservazione della densità di corrente elettrica J (A m−2 ) e di carica ρext (C m−3 ),
∇·J+
∂
ρ =0
∂t ext
(2.17)
¡
¢
dimostrare che J μ = cρext , J è un 4-vettore detto 4-corrente.
¢
¡ ∂
, ∇ si comporta
da¢4-vettore e che la
Soluzione: Dal momento che l’operatore c ∂t
¡
relazione (2.17) risulta valida in tutti i riferimenti inerziali cρext , J risulta essere un
4-vettore.
∂
∂α Jα = ∇ · J + ρext = 0 ,
(2.18)
∂t
che stabilisce un bilancio tra la variazione locale di carica ed il flusso di corrente.
Esercizio 2.2.3. Costruire con le coppie di vettori E, B e H, D le due coppie di matrici
antisimmetrice Fμν e Gμν
¸
¸
∙
∙
0 − 1c ET
0 −cDT
αβ
αβ
, G =
,
(2.19)
F = 1
cD
H
E
B
c
dove
⎤
⎤
⎡
0
Bz −By
0
Hz −Hy
0
Bx ⎦ , H = ⎣ −Hz
0
Hx ⎦
B = ⎣ −Bz
By −Bx
0
Hy −Hx
0
⎡
(a) Verificare che F e G soddisfano rispettivamente le equazioni
∂γ Fαβ + ∂α Fβγ + ∂β Fγα = 0 ,
∂β Gαβ = −Jα + (∇ × M)α ,
(2.20)
66
Richiami di teoria della relatività
con Jα = (cρext , Jx , Jy , Jz ) = (cρext , J) la 4-corrente e posto ∂μ = ∂x∂μ . M(r, t) è legata ai
momenti di spin dei nuclei e degli elettroni, dipendente in genere non linearmente da B e
dalla temperatura. (b) Provare che F e G sono dei 4-tensori invarianti5 per trasformazioni
di Lorentz.
Soluzione: (a) Le componenti Fαβ di F sono date da:
⎡
⎤
0 − 1c Ex − 1c Ey − 1c Ez
⎢ 1 Ex
0
Bz
−By ⎥
c
⎥ ,
Fαβ = ⎢
⎣ 1 Ey −Bz
⎦
0
B
x
c
1
E
By
−Bx
0
c z
e soddisfano le equazioni
∂
B(r, t) + ∇ × E(r, t) = 0 ,
∂t
∇ · B(r, t) = 0 .
(2.21)
Scegliendo due indici uguali, p.e. α = β, dal momento che Fαβ è antisimmetrico si ha:
∂γ Fαα + ∂α Fαγ + ∂α Fγα = 0 .
Se ad esempio α = 0, β = 1, γ = 2 si ha
1
1
F01 = − Ex , F12 = Bz , F20 = Ey
c
c
Dalle (2.21) discende che
∂2 F01 + ∂0 F12 + ∂1 F20 =
∂
1 ∂
1 ∂
Bz +
Ey −
Ex = 0
∂y
c ∂x
c ∂y
Analogamente se α = 1, β = 2, γ = 3 si ha
F12 = Bz , F23 = Bx , F31 = By
per cui
∂3 F12 + ∂1 F23 + ∂2 F31 = ∇ · B = 0 .
Per quanto riguarda le componenti Gαβ di G si ha
⎤
⎡
0 −cDx −cDy −cDz
⎢ cDx
0
Hz
−Hy ⎥
⎥ ,
Gαβ = ⎢
⎣ cDy −Hz
0
Hx ⎦
cDz
Hy
−Hx
0
e soddisfano le equazioni
∂
D(r, t) + J(r, t) ,
∂t
∇ · D(r, t) = ρext (r, t) ,
∇ × H(r, t) =
5
(2.22)
J.D. Jackson, Elettrodinamica Classica, Zanichelli, Bologna 2011, Sez. 11.11; C.H. Papas, Theory of
Electromagnetic Wave Propagation, Dover Pub. N. Y. 1988, Sez. 7.1; L. D. Landau e E. M.Lifshitz,
Teoria Classica dei Campi, Editori Riuniti Edizioni Mir, Roma, 1976 Sez. IV.30.
2.2 4-Tensori elettromagnetici
67
Per α = 0 si ha
∂β G0β = ∇ · D = ρext (r, t)
mentre per α = 1 risulta
∂β G1β =
∂
∂
∂
Dx + Hz − Hy = −Jx
∂t
∂y
∂z
dove si è introdotta la 4-corrente Jα = (cρext , Jx , Jy , Jz ) = (cρext , J) e posto ∂μ = ∂x∂μ .
(b) Dal momento che Jα + (∇ × M)α e ∂μ sono dei 4-vettore e che l’Eq. (2.20-b)
deve risultare valida in tutti i riferimenti inerziali Gαβ risulta essere un 4-tensore. Un
ragionamento analogo vale per Fαβ .
Esercizio 2.2.4. (a) Dimostrare che il 4-tensore Fαβ può essere espresso nella forma
Fαβ = ∂ β Aα − ∂ α Aβ
¡
¢
con ∂ μ = ∂x∂μ e Aα = Vc , Ax , Ay , Az il potenziale 4-vettore. (b) Esprimere nel vuoto il
quadrivettore Aμ in funzione della quadricorrente J μ
Soluzione: (a) In vista della (2.20-a) Fαβ può essere espresso nella forma
Fαβ = ∂ β Aα − ∂ α Aβ
(2.23)
¡
¢
con ∂ μ = ∂x∂μ e Aα = Vc , Ax , Ay , Az il potenziale 4-vettore.
(b) Nel vuoto imponendo ad Aμ di essere un 4-vettore a divergenza nulla (gauge di
Lorentz ):
∂μ Aμ = 0 ,
(2.24)
ed esprimendo Gαβ in funzione di Fαβ tenendo conto delle relazioni (2.14) l’Eq. (2.20-b)
assume la forma
∂μ ∂ μ Aα = −μ0 [J α − (∇ × M)α ] .
(2.25)
ovvero
¤2 ∂μ ∂ μ A(r, t) = −μ0 (J − ∇ × M) , ¤2 ∂μ ∂ μ V (r, t) = −
1
ρ (r, t) ,
ε0 ext
(2.26)
con ¤2 il d’Alambertiano
1 ∂2
,
c2 ∂t2
Esercizio 2.2.5. Trasformare i campi E, B e H, D da un sistema di riferimento inerziale
a riposo ad un altro che si muove con velocità v
¤2 = ∂μ ∂ μ = ∇2 −
Soluzione: Passando da un sistema di riferimento inerziale a riposo ad un altro che si
muove con velocità v il 4-tensore Fαβ si modifica in F0αβ = Λαμ Λβν Fμν . Lo stesso vale per
Gαβ . Dalle espressioni (2.19) discende che per trasformazioni pure (v. Eq. (2.2)) i campi
si modificano come segue:
∙
¸
∙
¸ ∙
¸
E
=
·
,
B
¸ ∙
¸
∙
∙ 0 ¸
γ
β×
D
γ + (1 − γ) β̂ β̂
D
c
·
.
=
H
H0
−cγβ×
γ + (1 − γ) β̂ β̂
E0
B0
γ + (1 − γ) β̂ β̂
cγβ×
γ
− c β×
γ + (1 − γ) β̂ β̂
(2.27)
68
Richiami di teoria della relatività
Esercizio 2.2.6. Utilizzando il sistema di equazioni (2.27) verificare che se nel sistema
in cui il mezzo è in quiete risulta
D = ε0 εE
B = μ0 H
in un riferimento che si muove con velocità unuforme e costante v valgono le seguenti
relazioni costitutive di Minkowski6
¸
∙
´
1 − β2 ³
ε−1 β
0
× H0
D = ε0 ε
√ 2 1 − β̂ β̂ + β̂ β̂ · E0 +
√
1 − εβ
1 − εβ 2 c
∙
¸
´
1 − β2 ³
ε−1 β
0
B = μ0
√ 2 1 − β̂ β̂ + β̂ β̂ · H0 −
√ 2 × E0
1 − εβ
1 − εβ c
2.3
Mezzi in movimento
Esercizio 2.3.1. Si consideri un mezzo dielettrico caratterizzato a riposo da una costante
dielettrica relativa ε̂ 6= 1 ed una permeabilità magnetica elativa μ̂ = 1. Discutere le
ralazioni costitutive del mezzo quando questo si muove rispetto a KL con velocità costante
v.
Soluzione: I campi E, D, B, H nel sistema Kp a riposo rispetto al mezzo sono legati a
E0 , D0 , B0 , H0 nel sistema di laboratorio KL dalle relazioni (2.27). Poichè in KP D = ε̂ε0 E
e B = μ0 H da (2.27) discende che
⎡
h
i
ε̂ε0 γ + (1 − γ) β̂ β̂
⎤
ε̂ε0 γcβ×
h
i ⎦·
γ
+
(1
−
γ)
β̂
β̂
μ−1
0
∙
¸ ∙ 0 ¸
γ
γ + (1 − γ) β̂ β̂
β×
D
c
=
·
H0
−γcβ×
γ + (1 − γ) β̂ β̂
⎣
γ
−μ−1
0 c β×
∙
E0
B0
¸
Separando le componenti del campo longitudinali da quelle trasverse
∙ 0 ¸ ∙ 0 ¸
∙ 0 ¸
Ek
E⊥
E
=
+
B0
B0k
B0⊥
∙ 0 ¸
∙ 0 ¸ ∙ 0 ¸
Dk
D
D⊥
=
+
0
H
H0k
H0⊥
si ottiene
¸ ∙ 0 ¸
∙ 0 ¸
Ek
Dk
·
=
0
Bk
H0k
∙
¸ ∙ 0 ¸
∙
ε̂ε0
ε̂ε0 cβ×
E⊥
1
·
=
−1 1
−1
0
−cβ×
B⊥
μ0
−μ0 c β×
∙
6
ε̂ε0 0
0 μ−1
0
v. A. Sommerfeld, Electrodynamics, Academic Press, N.Y. 1952
1
β×
c
1
¸ ∙ 0 ¸
D⊥
·
H0⊥
2.4 Invarianti del campo e.m.
Moltiplicando per la matrice
∙
1 0
0 β̂×
∙
69
∙
1 0
0 β̂×
¸
si ottiene
¸
∙
¸
ε̂ε0
ε̂ε0 cβ×
ε̂ε0 cβ×
=
1
−1
1
μ−1
−μ−1
μ−1
0 c β×
0
0 c β μ0 β̂×
¸
∙
¸
¸ ∙
1
1 1c β×
1 0
β×
1
c
=
·
−cβ×
1
0 β̂×
v β̂×
¸ ∙
·
ε̂ε0
Ne discende che
∙
ovvero
ε̂ε0
ε̂ε0 cβ×
−1 1
μ0 c β μ−1
0 β̂×
¸ ∙ 0 ¸ ∙
1
E⊥
·
=
0
B⊥
cβ
¸ ∙ 0 ¸
D⊥
·
H0⊥
β̂×
1
β×
c
¸ ∙
¸ ∙
¸ ∙
¸
E0⊥
D0⊥
ε̂ε0 cβ×
1 1c β
·
·
=
−1
1
cβ 1
μ−1
β̂ × B0⊥
β̂ × H0⊥
0 c β μ0 β̂×
¸
∙
1 1c β
si ottiene
Invertendo
cβ 1
¸ ∙
∙
¸ ∙
¸
¸ ∙
ε̂ε0
D0⊥
ε̂ε0 cβ×
E0⊥
1
− 1c β
2
·
γ
=
·
−1
1
−cβ
1
μ−1
β̂ × B0⊥
β̂ × H0⊥
0 c β μ0 β̂×
∙
ε̂ε0
da cui in definitiva risulta
¸
∙ ¡
¢
¸ ∙
¸
∙
E0⊥
D0⊥
ε̂ − β 2 ε0 ¡c (ε̂ − 1)¢ε0 β
2
=γ
·
− (ε̂ − 1) ε0 β 1 − β 2 ε̂ μ−1
β̂ × H0⊥
β̂ × B0⊥
0
2.4
Invarianti del campo e.m.
Esercizio 2.4.1. (a) Discutere la forma dei seguenti invarianti dei tensori e.m. Fμν e
Gμν
q
p
(F )
5
5
μν
I1
= c det [F ] = c eαβγδ F0α F1β F2γ F3δ
(F )
I2
(G)
I1
c2 μν
F Fμν
4
q
p
−5
−5
μν
= c
det [G ] = c
eαβγδ G0α G1β G2γ G3δ
=
c−2 μν
G Gμν
4
µ
¶
0123
con eαβγδ = segno della permutazione
per α 6= β 6= γ 6= δ e 0 negli altri casi.
αβγδ
(b) Verificare che altri possibili invarianti p.e. del tipo eαβγδ Fαβ Fγδ sono combinazioni di
questi invarianti
(G)
I2
=
Soluzione: (a) Si verfica facilmente che
(F )
I1
(F )
I2
(G)
= cE · B , I1 = c−1 D · H
¢
¢
1¡ 2 2
1 ¡ −2 2
(G)
c B − E2 , I1 =
c H − D2
=
4
4
(2.28)
70
Richiami di teoria della relatività
(b) Tenuto conto che
eαβγδ Fαβ = Fγδ
si ha:
(F )
eαβγδ Fαβ Fγδ = Fγδ Fγδ = I2
D’altra parte
Fαβ Fβγ Fγδ Fδα = Sαγ Sγα
avendo posto
Fαβ Fβγ = Sαγ
Esercizio 2.4.2. Esprimere lo scalare Fαβ Fβγ Fγδ Fδα in funzione degli invarianti dell’eserc. 2.4.1
2.5
4-Tensore degli sforzi elettromagnetici
Moltiplicando scalarmente la prima delle Eqq. (2.13) per H e la seconda per E, ed
integrando su un volume V si ottiene
¶
Z µ
d
∂
d
∂
μ0 H · M(r, t) + E · P(r, t) d3 r ,
Uem = − L + Φ −
(2.29)
dt
dt
∂t
∂t
dove
Uem = Ue + Um =
Z µ
¶
1
1
2
2
μ0 H (r, t) + ε0 E (r, t) d3 r ,
2
2
(2.30)
sta per l’energia e.m. del vuoto accumulata al tempo t nel volume V , L misura il lavoro
compiuto dalle correnti sul campo
Z
d
L (t) = − E(r, t) · J(r, t)d3 r W,
(2.31)
dt
mentre
Φ=
I
S(r, t) · n̂d2 r ,
∂V
rappresenta il flusso del vettore di Poynting 7
S(r, t) = E(r, t) × H(r, t) W m−2 ,
(2.32)
uscente dal volume V . Si noti che mentre S rappresenta il flusso della densità di energia
del campo, c−2 S rappresenta anche la densità del momento della quantità di moto del
campo.
7
Energy Density of a Particle Moving at Uniform Speed from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/EnergyDensityOfAParticleMovingAtUniformSpeed/
Contributed by: Franz Kraﬀt
Electromagnetic
Energy
Density
and
Poynting
Vector
of
a
Relativistic
Oscillator
from
the
Wolfram
Demonstrations
Project
http://demonstrations.wolfram.com/ElectromagneticEnergyDensityAndPoyntingVectorOfARelativistic/
Contributed by: Franz Kraﬀt
2.5 4-Tensore degli sforzi elettromagnetici
71
Il momento esercitato dal campo sul fluido carico è dato da
Z
K = ρext (r, t)r × [E(r, t) + v(r, t) × B(r, t)] d3 r
Esercizio 2.5.1. Costruire col 4-tensore del campo Fμν per il vuoto (a) il 4-tensore degli
sforzi elettromagnetici utilizzando i vettori E, B del campo e (b) relazionarlo alle equazioni
di Maxwell.
Soluzione: (a) Tenuto conto che il 4-tensore degli sforzi elettromagnetici T μν è dato
da:
µ
¶
1 μν αβ
μν
μα ν
T = ε0 F Fα + g F Fαβ
4
esprimendo Fμα in funzione di E, B si ottiene
∙ 1 −1 2
¸
μ0 B (r, t) + 12 ε0 E2 c−1 S T
μν
2
T =
c−1 S
−σ
con S vettore di Pynting, e
σ = [σ ij ]
tensore degli sforzi
1
σ ij = ε0 Ei Ej + Bi Bj −
μ0
µ
¶
1 −1 2 1
2
μ B + ε0 E δ ij
2 0
2
(b) A partire dalle equazioni di Maxwell si mostra che T μν è relazionato con Fμν e con
la quadricorrente J μ dalla relazione:
T,νμν + F μα Jα = 0
dove la virgola denota la derivata parziale, che esprime la conservazione dell’energia
T,ν0ν + F 0α Jα = 0
ovvero
−1
c
e dell’impulso
∂
∂t
µ
¶
1
1 −1 2
2
μ B (r, t) + ε0 E + ∇· S = −E · J
2 0
2
T,νiν = −F iα Jα
ovvero
∂
S + ∇ · σ = ρext E + J × B
∂t
Si noti che ρext E + J × B rappresenta la forza di Lorentz che agisce sulla densità di carica
ρext
c−1
Esercizio 2.5.2. Per un campo e.m. nel vuoto (a) analizzare E0 e B0 in un sistema ottenuto per trasformazione di Lorentz omogenea pura con β̂ = ẑ e x̂ diretti rispettivamente
come E × B ed E. (b) Calcolare il valore di γ per cui E0 e B0 risultano paralleli. (c)
Discutere la forma del 4-tensore T μν in quest’ultimo sistema di riferimento. (d) Calcolare
il valore di γ per cui E0 e B0 risultano perpendicolari
72
Richiami di teoria della relatività
Soluzione: (a) Dall’Eq. (2.27) discende:
∙ 0 ¸ ∙
¸ ∙
¸
E
E x̂
γ + (1 − γ) ẑẑ
cγβ ẑ×
·
=
B0
γ + (1 − γ) ẑẑ
B
− γc β ẑ×
ovvero
∙
Pertanto
0
0
E ×B
¸
E0
B0
=γ
∙
E x̂ + cβ ẑ × B
1
Eβ ŷ + B
c
¸
∙µ
¶
¸
1 2
2
= γ
E β + EB ẑ + Eβ (ẑ × B) × ŷ + cβ (ẑ × B) × B
c
∙µ
¶
¸
1 2
2
2
E β + EB ẑ + Eβ (ẑ × B) × ŷ + cβ (ẑ × B) × B
= γ
c
2
Tenuto conto dell’identità vettoriale
(b × c) ×a = (b · a) c − (a · c) b
si ha
0
0
E ×B
∙µ
¶
¸
1 2
2
E β + EB ẑ + Eβ (ẑ × B) × ŷ + cβ (ẑ × B) × B
= γ
c
µ
¶
1 2
2
2
2
E β + EB − EBy β − cβB ẑ
= γ
c
2
Tenendo conto degli invarianti del campo (v. (2.28)):
(F )
I1
(F )
I2
si ha
= cE · B
¢
1¡ 2 2
c B − E2
=
4
³
´
(F )
E0 × B0 = γ 2 −2c−1 βI2 + EB − EBy β 2 ẑ
D’altra parte per E0 e B0 paralleli By = 0 per cui deve risultare
(F )
−2c−1 βI2
(F )
+ EB = −2c−1 βI2
(F )
+ c−1 I1
=0
Ne segue che
(F )
1I
β = 1(F )
2 I2
Il sistema di riferimento in cui E0 e B0 risultano paralleli è detto canonico.
(c) Nel sistema canonico T μν assume la forma:
⎤
⎡
0
¶ 1 0 0
µ
⎢ 0 1 0
1 −1 2 1
0 ⎥
⎥
μ0 B + ε0 E2 ⎢
T μν =
⎣ 0 0 −1 0 ⎦
2
2
0 0 0 −1
2.6 4-vettore d’onda
2.6
73
4-vettore d’onda
In molte situazioni i campi e le correnti sono rappresentati da onde piane
Aα (xν ) = Ãα exp (ikμ xμ )
J α (xν ) = J˜α exp (ikμ xμ )
Fαβ (xν ) = F̃αβ exp (ikμ xμ )
Gαβ (xν ) = G̃αβ exp (ikμ xμ )
dove kμ = (−c−1 ω, k) sta per il 4-vettore d’onda.
In particolare k si può esprimere nella forma
³
´ω
k = ñ ω, k̂
c
³
´
con ñ ω, k̂ l’indice di rifrazione e k̂ direzione di propagazione dell’onda. Pertanto si ha:
h ³
´
i ω2
kμ kμ = ñ2 ω, k̂ − 1 2 .
c
Applicando a kμ = (c−1 ω, k) la trasformazione di Lorentz omogenea kμ si modifica in
(c ω 0 , k0 ) , ovvero:
−1
ω
v + (γ − 1) v̂v̂ · k
c2
= γ (ω − v · k) ≡ ω + δω .
k0 = k − γ
ω0
(2.33)
da un
Esercizio 2.6.1. Si consideri
³
´ un mezzo isotropo nel sistema K
´
³ L . caratterizzato
indice di rifrazione ñL ω, k̂ = ñL (ω) . (a) Analizzare ñ0 = ñ ω 0 , k̂0 in un sistema di
riferimento inerziale generico. (b) In particolare esprimere ñ0 in funzione dell’angolo θ0
formato da k0 con v.
Soluzione8 : Tenendo conto della legge di trasformazione (8.4) di k si ha:
r
ω
ω2
0
k = k2 + 2γ 2 2 k · v+ (γ 2 − 1) (k · v̂)2 + γ 2 2 β 2
c
c
Un mezzo isotropo se a riposo, quando si muove con velocità v appare dotato di un
indice di rifrazione ñ0 tale da soddisfare le relazioni:
k0 = ñ0
ω0 0
ω
ω
k̂ = ñL (ω) (1 + (γ − 1) v̂v̂) · k̂ − γ 2 v ,
c
c
c
ovvero risulta anisotropo. Ne segue che
q
ñ2L + 2γ 2 ñL β cos θ + (γ 2 − 1) ñ2L cos2 θ + γ 2 β 2
ck 0
0
ñ = 0 =
ω
γ (1 + ñL β cos θ)
8
v. C. H. Papas loc. cit. 298 Sez. 7.5
(2.34)
74
Richiami di teoria della relatività
con θ l’angolo formato da k con v. D’altra parte l’ angolo θ0 formato da k0 con v è legato
a θ dalla relazione:
γ (ñ0 cos θ0 − β)
,
cos θ = q
2
0
2 0
02
2
0
ñ sin θ + γ (ñ cos θ − β)
mentre
ñ0 cos θ0 =
ñL cos θ + β
,
1 + ñL β cos θ
che combinate tra loro danno
¢
¤
£ ¡
¢
¤
¡
¢
£
¡
1 − ñL 2 − 1 γ 2 β 2 cos2 θ ñ02 + 2 ñL 2 − 1 γ 2 β cos θ ñ0 − γ 2 ñL 2 − β 2 = 0
Risolvendo si ottiene
q
¡
¢
1 + γ 2 (ñL 2 − 1) 1 − β 2 cos2 θ0 − γ 2 β (ñL 2 − 1) cos θ0
ñ0 =
1 − (ñL 2 − 1) γ 2 β 2 cos2 θ0
2.7
4-vettore quantità di moto
Dalla (9.8) discende anche che in assenza di correnti
kT · ε̃ · Ẽ = 0
Ad un elettrone che si muove nel vuoto in un campo e.m descritto dal 4-vettore Aμ è
associato il 4-vettore quantità di moto
πμ = me uμ = pμ + eAμ
¡
¢
¡
¢
con pμ = 1c E, p il 4-impulso ed Aμ = 1c V, A il 4-potenziale del campo. π μ gode
dell’importante proprietà
π μ π μ = −m2e c2 ,
ovvero
1
(E + eV )2 = −m2e c2
2
c
con E l’energia della particella. Ne discende che l’energia E è espressa da:
q
E = m2e c4 + c2 |p+eA|2 − eV
|p + eA|2 −
(2.35)
In particolare per A = 0 questa equazione si riduce a
E = me c2 γ − eV
2.7.1
(2.36)
Eﬀetto Compton
Rutherford e Andrade utilizzarono uno spettrometro di Bragg per determinare le lunghezze
d’onda dei raggi gamma emessi dal radio B (v. Fig. 2.1). Un sottile fascio di raggi gamma
proveniente da un composto radioattivo, reso collimato facendolo passare attraverso una
sottile fenditura in un blocco di piombo, veniva riflesso da un cristallo di rocca su una
lastra fotografica. Ruotando il cristallo di circa 150 gradi, ottennero una serie di righe
2.7 4-vettore quantità di moto
75
sottili corrispondenti allo spettro emesso dal radio B. Questo metodo fu poi utilizzato per
misurare le lunghezze d’onda dei raggi gamma emessi da molte altre sostanze radioattive.
Con uno spettrometro a cristallo di tipo Bragg si è riusciti a misurare lunghezze d’onda
pari a 0.016 Å.
I raggi gamma sono radiazioni e.m. i cui fotoni hanno energie comprese generalmente
tra 10 keV e 10 MeV . Essi sono prodotti quando un nucleo cambia assetto per eﬀetto di
collisioni con altri nuclei o per emissione spontanea (radioattività) di particelle alfa e beta.
In questi casi modificandosi l’energia di interazione coulombiana tra i nucleoni o riorientandosi gli spin dei nucleoni vengono emessi fotoni gamma. Un esempio di generazione
è fornito dal ciclo CNO ; un altro è quello del cobalto-60, che decade spontaneamente in
nichel-60 eccitato attraverso il decadimento beta
60
27 Co
−
→60
28 Ni* + e + ν̄ e
60
con ν̄ e l’antineutrino elettronico. Il nucleo eccitato 60
28 Ni* decade radiativamente in 28 Ni
emettendo raggi gamma. Questo processo è simile a quello del decadimento radiativo
di atomi eccitati. I protoni e neutroni del nucleo di 60
28 Ni* decadono ai rispettivi stati
fondamentali attraverso transizioni di multipolo sia elettrico che magnetico coinvolgenti
sia le cariche associate ai protoni che gli spin 1/2 dei nucleoni.
Per rivelare i raggi gamma oggi si utilizzano scintillatori (p.e. cristalli di BaF2 o CsI),
camere a ionizzazione e microstrisce al silicio.
Esercizio 2.7.1. Se un elettrone accelera durante l’interazione con raggi γ, o X, il campo emesso oscillerà per eﬀetto Doppler ad una frequenza leggermente diversa da quella
dell’onda incidente. In genere questo eﬀetto è del tutto trascurabile, ma diventa importante per fotoni con energie confrontabili con quella di riposo dell’elettrone (511 keV ).
Questo fenomeno fu osservato nel 1922 da Arthur H. Compton9 utilizzando fotoni X da
Figura 2.1: Spettrometro a singolo cristallo per
la determinazione dello spettro di sorgenti di raggi
gamma.
9
Figura 2.2: Geometria relativa all’eﬀetto Compton.
A.H. Compton, Phys. Rev., 22:09, 1923;–, Phys. Rev., 21:483, 1923; A.H. Compton and S.K. Allison,
“X-Rays in Theory and Experiments”, Van Nostrand Company, New York, 1935; A.H. Compton and
A.W. Simon, Phys. Rev., 26:289, 1925; C.T.R. Wilson, Proc. of the Royal Society (London), 104:1,
1923.
76
Richiami di teoria della relatività
0.7 Å prodotti da un tubo Roentgen a catodo di Mo alimentato a 50 kV . Usando come
bersaglio per gli X un foglio di grafite, Compton10 osservò nello spettro trasmesso a varie
energie due picchi, di cui uno alla stessa lunghezza d’onda del fascio incidente ed un altro alla lunghezza d’onda prevista dall’ultima formula. Mentre quest’ultimo picco andava
attribuito al trasferimento di parte dell’energia agli elettroni liberi, l’altro era dovuto agli
elettroni di “core” che non subivano alcun eﬀetto di rinculo apprezzabile, restando saldamente legati al nucleo. In esperimenti successivi Compton riuscì a rivelare gli elettroni
di rinculo dimostrando che la quantità di moto e l’energia si conservano nel processo.
Analizzare l’interazione γ-elettrone riconducendola alla collisione tra un fotone di energia
~ω ed impulso ~k con un elettrone
Soluzione: L’interazione campo-particella può essere ricondotta alla collisione tra un
fotone di energia ~ω ed impulso ~k con un elettrone. Varranno quindi le relazioni di
conservazione dell’energia e dell’impulso (vedi Fig. 2.2)
~ω i + Ei = ~ωf + Ef ,
~ki = ~kf + pf ,
(2.37)
dove ki,f sta per il vettore d’onda iniziale e finale. Ei e Ef rappresentano rispettivamente
l’energia iniziale e finale dell’elettrone e sono legate ai rispettivi impulsi dalla relazione
relativistica
p
E = m2e c4 + p2 c2 .
Nello scrivere queste relazioni si è supposto che per eﬀetto dell’interazione il campo di
vettore d’onda ki perda un fotone mentre quello di vettore d’onda kf ne acquisti uno. Se
si indica con θ l’angolo formato da kf con ki e si tratta l’elettrone relativisticamente si
può facilmente verificare che esiste tra ωi e ω f la relazione
ω f = ω i P (Eγ , θ) ,
dove P (Eγ , θ) sta per il rapporto tra l’energia del fotone γ diﬀuso e quello incidente
(Eγ = ~ω i )
1
P (Eγ , θ) =
,
(2.38)
λC
1 + 2πc ωi (1 − cos θ)
ovvero in termini di lunghezze d’onda:
λf = λi + λC (1 − cos θ) ,
dove
h
= 2.42631058 × 10−12 m
(2.39)
me c
è la cosiddetta lunghezza d’onda di Compton per l’elettrone: essa coincide con la lunghezza
d’onda di un fotone di energia pari a quella di riposo dell’elettrone. Ne segue che l’energia
del fotone diﬀuso varia al variare dell’angolo di diﬀusione θ.
E’ importante notare che il raggio di Compton rC = λC /2π risulta legato al raggio di
Bohr ed alla costante di struttura fine dalle relazione
λC =
rC = αa0 .
10
v.p.e. E. Landi Degl’Innocenti, “Spettroscopia Atomica e Processi Radiativi”, Springer-Verlag, Milano
2009, Sez. 15.6.
2.7 4-vettore quantità di moto
77
Inoltre, introducendo il raggio classico dell’elettrone definito come quello di una distribuzione uniforme sferica di energia elettrostatica pari all’energia di riposo me c2 ,
1
e2
re =
= 2, 8179402894 × 10−15 m ,
2
4πε0 me c
si vede facilmente che
re = αrC = α2 a0 .
2.7.2
Comptonizzazione
Esercizio 2.7.2. Si consideri lo scattering di un’onda e.m. piana da parte di un elettrone
che si muove con velocità v perpendicolare al vettore k dell’onda incidente. Analizzare
l’andamento del k0 relativo all’onda scatterata nella direzione −k̂.
Soluzione: Dal sistema (8.4) discende che
ω
v
c2
= γω ≡ ω + δω .
k0 = k − γ
ω0
Si osserva che la fequenza dell’onda back-scatterata è maggiore di quella incidente. Per
elettroni che si muovoono con velocità relatistiche questo fatto segnala la presenza di
un eﬀetto Compton inverso. Questo è facilmente riscontrabile: quando un elettrone di
altissima energia, ad esempio generato dai raggi cosmici, interagisce con un fotone a bassa
energia quale ad esempio quello dovuto alla radiazione cosmica di fondo. Avendo carica
energetica più alta, sarà l’elettrone a cedere energia al fotone. E’ questo importantissimo
processo che permette di generare fasci di fotoni ad alta energia (centinaia di MeV).
2.7.3
Eﬀetto Sunayev-Zeldovich
2.7.4
Eﬀetto Mössbauer
Si consideri ora l’assorbimento di un fotone γ di frequenza angolare ω da parte di un
atomo di massa m inizialmente a riposo, che presenta una risonanza a frequenza angolare
|ω if |. Limitandosi a considerare una collisione collineare il sistema di equazioni (2.37) si
riduce a
p
~ω + mc2 =
m∗2 c4 + p2 c2 ,
~ω = cp ,
dove la massa m∗ dell’atomo eccitato è legata a quella dell’atomo allo stato fondamentale
dalla relazione
m∗ c2 = mc2 + ~ |ω if | .
¶
µ
||ω if |
Quindi, la frequenza di assorbimento risonante ω a = |ω if | 1 + 2mc2 diﬀerisce da quella
¶
µ
||ω if |
di emissione ω e = |ωif | 1 − 2mc2 della quantità
~ |ω if |2
ωa − ωe =
.
mc2
(2.40)
78
Richiami di teoria della relatività
Si immagini ora di misurare in funzione della temperatura l’assorbimento e l’emissione risonante di raggi gamma in un cristallo. Fintantoché la quantità ora calcolata
è più piccola del contributo dovuto all’eﬀetto Doppler, allora si può anche non tenerne
conto. Man mano che si abbassa la temperatura si arriva alla situazione in cui questo
rapporto diventa maggiore di quello Doppler e sia l’assorbimento che l’emissione di fotoni
si riducono drasticamente. Nel 1958 Mössbauer11 , un chimico-fisico di Monaco, studiando
il comportamento di nuclei di 191 Ir bombardati a 129 keV , si accorse che raﬀreddando sia
la sorgente di γ che il bersaglio, l’assorbimento aumentava piuttosto che diminuire.
La ragione di questo comportamento “anomalo”, divenuto noto come eﬀetto Mossbauer, risiedeva nel fatto che la formula (2.40) presuppone che il fotone γ interagisca
coi singoli atomi, non interagenti tra loro. Inserendo il singolo atomo in un cristallo, la
massa m che appare nella (2.40) va moltiplicata per il numero totale di nuclei presenti,
dell’ordine di 6 × 1023 , dimodoché |(ωa − ω e ) /ω if | diventa dell’ordine di 10−25 : questo
significa che sia l’assorbimento che l’emissione dei γ avvengono senza rinculo.
Mössbauer12 , abbassando la temperatura del cristallo assorbitore e della sorgente da
400 K a 88 K, non faceva altro che aumentare il numero dei nuclei che prendevano parte
collettivamente al processo di interazione con un singolo γ. Con questa scoperta s’era
trovato il modo di applicare la spettroscopia gamma ai solidi.
Per analizzare delle risonanze γ si misura l’assorbimento in funzione dell’energia dei
γ incidenti. Se si dispone di fasci molto monocromatici, ottenuti eliminando gli eﬀetti
dovuti al rinculo, basta variarne la frequenza per ispezionare una riga di assorbimento del
materiale da studiare. Per ottenere questa scansione in frequenza si imprime alla sorgente
dei γ un moto oscillatorio che per eﬀetto Doppler si trasforma in una modulazione in
frequenza. Poiché le righe d’assorbimento γ hanno delle larghezze dell’ordine dei GHz
mentre ν ' 1019 Hz, sono suﬃcienti velocità dell’ordine di v ' c × 10−10 ' 0 − 5 ×
10−2 m s−1 .
2.8
Processi di diﬀusione
2.8.1
Trasformazioni sezioni d’urto diﬀerenziali
2.8.2
Riferimenti utilizzati nello scattering elastico
2.8.3
Spazio delle fasi
2.9
Moto dello spin
Esercizio 2.9.1. Discutere l’equazione del moto dello spin sottoposto ad un campo magnetico BP nel suo sistema poprio (a) caso non relativistico, (b) caso relativistico
Soluzione: (a) s eﬀettua un moto di precessione attorno a BP
d
ege
s × BP + ωT × s .
s=
dτ
2me
11
12
R.L. Mössbauer, Zeit. fur Physik, 151:124, 1958; H. Frauenfelder, “The Mossbauer eﬀect”, W.A.
Benjamin N. Y. 1962.
premio Nobel per la fisica nel 1961.
2.9 Moto dello spin
79
(b) Nel caso relativistico si deve tener conto della precessione di Thomas
d
ege
s × BP + ωT × s .
s=
dτ
2me
(2.41)
dove il termine proporzionale al vettore di Thomas ω T rappresenta il contributo dovuto
alla precessione di KP
γ2
d
ωT =
β× β
γ+1
dτ
Esercizio 2.9.2. Lo spin si può trattare come un 4-vettore sα che nel sistema proprio
KP dell’elettrone assume la forma sαP = (s,0), ovvero ha componente temporale nulla e
componente spaziale coincidente con s. Ne segue che
sα uα = 0
(2.42)
con uλ 4-velocità dell’elettrone. Assumendo dsα /dτ dipendente solo da sα , uα , u̇α =
duα /dτ e Fαβ , e lineare in sα e Fαβ , Bargmann, Michel e Telegdi13 espressero l’equazione
del moto sα in forma covariante nella forma14
¢
¢
d α A1 αβ
A2 ¡
A3 ¡
s = 2 F sβ + 2 sλ Fλμ uμ uα + 2 sλ u̇λ uα ,
dτ
c
c
c
(2.43)
Dimostrare che per ge ' 2 e γ ' 1 questa equazione si riduce a:
d α
e αβ
F sβ .
s =
dt
me
con A1 , A2 e A3 opportune costanti tali da garantire (a) il rispetto della condizione (2.42),
e (b) che nel sistema proprio la (2.43) si riduca all’equazione di precessione
d
s = s × ω c = γ g s × B,
dt
(2.44)
con ωc frequenza di ciclotrone (=2 frequenza di Larmor)
ωc = 2ωL = γ g B ,
(2.45)
e γ g = ge μ|B = ge 2me e rapporto giromagnetico
Soluzione: Dalla condizione (2.42) discende per l’equazione del moto BMT che
¶
¶
µ
µ
A1 A2
A3
αβ
− 2 uα F sβ + 1 + 2 sλ u̇λ = 0 .
2
c
c
c
Dovendo questa relazione valere per il moto più generale, deve risultare Ac21 − Ac22 = 1+ Ac23 =
0. Inoltre nel sistema proprio (2.43) deve ridare la (2.44). Pertanto si ha:
13
14
¡
¢ ¤ ¡
¢
d α
ge e £ αβ
s =
F sβ + sλ Fλμ uμ uα − sλ u̇λ uα .
dτ
2me
V. Bargmann, L. Michel and V. L. Telegdi, Phys. Rev. Lett. 2, 435 (1959); A.P.Balachandran,
G.Marmo, A.Stern, B-S.Skagerstam, Phys.Lett.89B (1980)199; – in ”Gauge Symmetries and Fibre
Bundles”, Lecture Notes in Physics ,188 Springer, Berlin 1983, Capitolo 5 Relativistic Spinning Particle
v. C. Altucci et al. loc. cit. pag. 120 Sez. 5.2.1
80
Richiami di teoria della relatività
Tenuto conto che
u̇λ =
e λμ
F uμ
me
si ottiene:
³g
´¡
¢ i
d α
e h ge αβ
e
s =
F sβ +
− 1 sλ Fλμ uμ uα .
dτ
me 2
2
Infine, per ge ' 2 e γ ' 1 questa equazione si riduce a::
(2.46)
d α
e αβ
F sβ .
s =
dt
me
Esprimendo ora le componenti sαL (sL , s4L ) in KL in funzione di sαP (0, sP ) in KP
γ2 + 1
ββ · sP
γ+1
= γβ · sP
sL = sP +
s0L
15
e tenendo conto dei componenti di Fαβ
L si ottiene :
¶
µ
e
1
d
s=
s× B− β×E .
dt
me
2c
A questo moto corrisponde il potenziale:
µ
¶
1
Vs campo = ge μB B − β × E ·s ,
2c
2.10
(2.47)
(2.48)
Campi e.m. in sistemi rotanti
Secondo la relatività speciale un momento di dipolo magnetico m sviluppa un momento
dipolare elettrico p=v/cXm. Einstein e Laub ha proposto un esperimento per testare
questo pre- dizione. Se una lastra di materiale isolante con dielettrico con- stant E e permeabilità p, si muove attraverso un campo magnetico con velocità uniforme, la magnetizzazione risultante densità dovrebbe essere accompagnata da una polarizzazione densità. Il
elec tric- campo associato con la polarizzazione contribuisce al potenziale misurabile tra le
opposte facce della lastra. È diﬃcile creare un movimento uniforme lastra di materiale in
laboratorio. Nel 1913 M. Wilson e H. A. Wilson7 pub blico- i risultati di un esperimento
in cui una rotazione- me dium è stato sostituito con uno in moto uniforme. Come- tazioni
era che la rotazione è localmente equivalenti a moto uniforme. Il potenziale che hanno
misurato concordato con la previsione della relatività speciale.
In tbeir esperimento un cilindro è stato ruotato in un campo magnetico uniforme tbat
parallelamente al tbe a:xè di rotazione. L’essenza del tbe esperimento sbown nella Fig. l.
Contatti mea- che tbe diﬀerenza di potenziale tra interno ed esterno tbe sur- facce di tbe
cilindro rotante. Tra tbe problemi tbe Wil- figli era tbe creazione di una materia! Per
wbicb botb IJ- e E sono significativamente diverso dall’unità. Tbeir soluzione ingegnosa
utilizzata piccolo 1/8. sfere di acciaio, e uno è stato rivestito eacb witb tbinly tenuta wa:x
.
15
v.p.e. J. D. Jackson, , “Classical Electrodynamics”, J. Wiley and Sons, New York, 1962, E1. 11.170
2.10 Campi e.m. in sistemi rotanti
81
Si supponga che un corpo con data e, p, 6 subisce un movimento arbitrario, e che vp
è la velocità istantanea in P. La formulazione delle equazioni costitutive in movimento le
coordinate è un soggetto di interesse attuale per la letteratura recente. I diversi approcci
produce risultati che accettano di primo ordine di velocità, ma diﬀeriscono in termini di
ordine superiore, che sono purtroppo molto diﬃculto misurare con precisione. L’approccio generale in questa carta è stata suggerita dal Professor M$müller (autore di [ 2]) e si
riscontra anche in un certo numero di articoli specializzati [ 7] - [ 9]. I t consiste nell’aﬀermare che le equazioni costitutive di un corpo a riposo, cioè (2), nel riposo istantaneo telaio
[ 2] di un punto P, modifiche dovute all’accelerazione ceppo sono trascurati. Il riposo istantaneo telaio Sp di P, che è il telaio inerziale avente una velocità vp rispetto al sistema
di laboratorio S, varia da punto a punto e dall’istante per istante. Tale variazione è noto
per influenzare la forma delle equazioni di Maxwell nel sistema accelerato, ma questo fatto
non ha importanza per noi, i nostri calcoli sono per Realizzato in laboratorio. Si deve
pertanto aﬀermare che il costitutivo le equazioni (2) tenere a riposo il telaio istantaneo di
P, e che le corrispondenti equazioni (4) in S sono ancora valide, purché u viene interpretato
come la velocità istantanea in PAG. Analogamente, condizioni al contorno (7) tenere in
una zona di confine punto Q, v è preso tob e la velocità istantanea di D. Questi principi
sono stati recentemente applicati da Mo per la diﬀusione di un’onda piana con una sfera
rotante non conduttivo [ 9 ] . In questo documento, si considera la loro applicazione a
situazioni che sono di più diretto interesse per gli ingegneri. Queste situazioni sono stati
selezionati in base alla loro matematica semplicità, ma la loro analisi può servire come
guida al solutioofn m ore problemi complessi.
this fact is of no importance to us, as our calculations are perPassando da sistemi
inerziali a quelli accelerati si assume generalmente che le distanze spaziali siano soggette
solo alla contrazione di Lorentz, ovvero che i calibri di riferimento non risentino delle
accelerazioni16 .
Esercizio 2.10.1. Si consideri un sistema inerziale KL ed un sistema KR , detto di
Born17 , che ruota con velocità angolare costante Ω rispetto a KL . (a) Passare dalla metrica
di Minkowski in KL a quella in KR eﬀettuando le trasformazioni18
t0 = t, x = ρ cos (Ωt + φ) , y = ρ sin (Ωt + φ) , z 0 = z
(a) Esprimere la distanza tra due eventi in KL utilizzando le coordinate cilindriche di KR
con asse z parallelo a Ω. Utilizzare questa espressione per definire la metrica di KR (b)
Scrivere le equazioni di Maxwell in KR
Soluzione: Si verifica facilmente che:
ds2 = −c2 dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2
¡
¢
0
= − c2 − ρ2 Ω2 dt2 + dρ2 + ρ2 dφ2 + dz 2 + 2cρ2 Ωdtdφ
16
17
zv.p.e. C. Mōller, The Theory of Relativity, Clarendon Press, Oxford, 1072 Sez. 8.3 e 8.9; van Bladel,
Proc. IEEE 61, 260 (1973)
Born, M. (1909). Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitäts-Prinzipes Ann.
Phys. 30: 1. 1909 Wikisource translation: The Theory of the Rigid Electron in the Kinematics of the
Principle of Relativity
18
v.p.e. C. Mōller, The Theory of Relativity, Clarendon Press, Oxford, 1072
82
Richiami di teoria della relatività
Ne discende che in KR il tensore metrico è espresso da:
⎡ ³
⎤
¡ ¢2 ´
− 1 − ρ2 Ωc
0 0 ρ2 Ωc
⎢
⎥
⎢
0
1 0 0 ⎥
gμν = ⎢
⎥
⎣
0
0 1 0 ⎦
0 0 ρ2
ρ2 Ωc
La presenza del termine non-diagonale gρφ segnala che il sistema di Born non è ortogonale.
Con riferimento allo spazio tangente delle derivate direzionali si ha
µ ¶2
µ ¶2
µ ¶2
c2 − ρ2 Ω2 ∂
1 ∂
Ω∂ ∂
∂
+
= − 2
+2
∂s
c ∂t
c ∂t ∂φ
ρ2
∂φ
µ ¶2 µ ¶2
∂
∂
+
+
∂ρ
∂z 0
Esercizio 2.10.2. Le equazioni di Maxwell in assenza di sorgenti in KR sono date da19 :
√
∂
∇ × −g00 E = − B ,
∂t
√
1 ∂
∇ × −g00 B = 2 E ,
c ∂t
∇ · E = 0,
∇ · B = 0.
(2.49)
¡
¢
2
dove −g00 = 1 − ρ2 Ωc . Ricavare l’equazione soddisfatta da B
Soluzione: Semplici calcoli portano a scrivere
¡√
¢
√
1 ∂2
B + ∇ × −g00 ∇ × −g00 B = 0
2
2
c ∂t
Tenuto conto che
√
√
1
−g00 ∇ × −g00 B = −g00 ∇ × B − ∇g00 × B
2
ne segue che
¡√
¢
√
1
∇ × −g00 ∇ × −g00 B = −∇ × (g00 ∇ × B) − ∇ × (∇g00 × B)
2
1
= − (g00 ∇ + ∇g00 ) × (∇ × B) − ∇ × (∇g00 × B)
2
ovvero, tenendo conto che ∇ · B = 0,
¡√
¢
√
∇ × −g00 ∇ × −g00 B
¡
¢
1
1
= g00 ∇2 − ∇g00 × ∇× B + ∇g00 · 5B − B · 5∇g00
2
2
2
= g00 ∇ B
¡
¤
¢
1£
+ ∇g00 · 5 + ∇2 g00 − (5∇g00 ) · B
¸
∙2
1
1¡ 2 ¢ 1
2
∇ g00 − (5∇g00 ) · B
= g00 ∇ + ∇g00 · 5 +
2
2
2
19
v.p.e. T. C. Mo, J. Math. Phys. 11, 2589 (1970), Sec. 4A.; K. S. Thorne, R. H. Price and D. A.
Macdonald, Black Holes: The Membrane Paradigm, Yale University Press, New Haven, 1988
2.10 Campi e.m. in sistemi rotanti
83
In definitiva tenuto conto che
2
∇ g00
si ha
"
¶
µ ¶2 µ 2
µ ¶2
1 ∂
∂
Ω
Ω
2
ρ =4
=
+
2
c
∂ρ
ρ ∂ρ
c
1 ∂2
+ g00 ∇2 −
2
2
c ∂t
µ ¶2
µ ¶2 µ ¶2 #
Ω
∂
Ω
Ω
ρ +2
−
ρ̂ρ̂· B = 0
c
∂ρ
c
c
Esercizio 2.10.3. In un famoso articolo del 1939 L. Schiﬀ20 , utilizzando il formalismo della relatività generale, provò che le equazioni di Maxwell assumono in un sistema
rotante con velocità Ω la seguente forma:
∂
B = 0 ,
∂t
∂
∇ × B − ε0 μ0 E = μ0 (J + j) ,
∂t
1
∇·E =
(ρ + σ) ,
ε0
∇ · B = 0.
∇×E+
(2.50)
con v =Ω×r,
σ = ε0 ∇ · (v × B)
j = ε0 {∇ × [v × (E − v × B)] + v × (∇ × E)}
(2.51)
Dimostrare che risulta soddisfatta la relazione di continuità:
∂
(ρ + σ) = 0
∂t
Esercizio 2.10.4. Con riferimento al precedente Eserc. 2.10.3 risolvere le equazioni
perturbativamente al primo ordine in Ω
∇ (J + j) +
Soluzione: All’ordine 0 il sistema si riduce a:
∂
∇ × E(0) + B(0) = 0 ,
∂t
∂
∇ × B(0) − ε0 μ0 E(0) = μ0 J(0) ,
∂t
1 (0)
∇ · E(0) =
ρ ,
ε0
∇ · B(0) = 0 .
Al primo ordine invece si ottiene
∂ (1)
B
= 0 ,
∂t
∂
∇ × B(1) − ε0 μ0 E(1) = μ0 j(1) ,
∂t
1 (1)
∇ · E(1) =
σ ,
ε0
∇ · B(1) = 0 .
∇ × E(1) +
20
v. L.I. Schiﬀ, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S. 25, 391 (1939)
84
Richiami di teoria della relatività
con
¡
¢
σ (1) = ε0 ∇ · v × B(0)
£
¡
¢
¡
¢¤
j(1) = ε0 ∇ × v × E(0) + v × ∇ × E(0)
avendo trascurato termini quadratici in v
Esercizio 2.10.5. Si consideri una soluzione delle equazioni di Maxwell-Schiﬀ dell’Eserc. 2.10.3 del tipo
E = E0 eiS(r,t)
B = B0 eiS(r,t)
discusso nell’Eserc. 1.5.5.Si ignorino le derivate di v rispetto a quelle di S (r,t)
Soluzione: In via preliminare si ha
ε−1
0 σ = ∇ · (v × B) ' v · 5 × B ' iv · k × B
ε−1
0 j = ∇ × [v × (E − v × B)] + v × (∇ × E)
' ∇ × (v × E) + v × (∇ × E)
' (E · 5) v = Ω × E
Ne discende che
k × E0 − ωB0
ω
k × B0 + 2 E0
c
k · E0
k · B0
= 0 ,
1
= − 2 Ω × E0 ,
c
= −v · k × B0 ,
= 0.
Degno di nota è il fatto che il campo elettrico non è più in generale perpendicolare a k
Infatti
k · E0 = −v · k × B0 = −ωv · k × (k × E0 )
ovvero
(1 + ωv · k) k · E0 = ωk 2 v · E0
Risolvendo rispetto a E0 si ottiene:
k × (k × E0 ) +
ovvero
µ³ ´
ω 2
c
−k
2
¶
³ ω ´2
c
E0 = −
ω
Ω × E0
c2
ω
Ω × E0 − k (k · E0 )
c2
ω
ωk 2
= − 2 Ω × E0 −
v · E0 k
c
1 + ωv · k
E0 = −
In particolare per E0 parallelo a Ω si ha:
µ³ ´
ω 2
c
−k
2
¶
E0 = 0
ovvero la propagazione non risente della rotazione.
2.10 Campi e.m. in sistemi rotanti
85
Esercizio 2.10.6. Mostrare che le equazioni di Maxwell-Shiﬀ si possono ottenere con
considerazioni classiche partendo dalle seguenti regole di trasformazione21
t0 = t
ρ0 = ρ , J0 = J−ρv
B0 = B , E0 = E + v×B
con v =Ω×r
Soluzione: Tenuto conto della conservazione delle cariche e dei volumi si ha che per
un osservatore che si muove con velocità v le sorgenti in KL e KR , indicate con un apice,
sono date da
ρ0 = ρ , J0 = J − ρv
D’altra parte passando da KL e KR la forza di Lorentz F agente sulle cariche non cambia,
per cui
F = ρE + J × B
= ρ0 E0 + J0 × B0
Discende così per i campi:
B0 = B , E0 = E + v×B
Per scrivere le equazioni di Maxwell si deve tener conto delle leggi di trasformazione
temporali nei due sistemi. un sistema rotante
v =Ω×r
Il tasso di variazione di un generico vettore A in KL è legato a quello in KR dalla relazione
di trasformazione:
µ
¶0
d
d
A=
A +Ω×A
dt
dt
Per un punto fisso del sistema rotante risulta
µ
¶0 µ
¶0
d
∂
A =
A
dt
∂t
D’altra parte
ovvero
µ
¶0
∂
d
∂
A = A + v · ∇A =
A +Ω×A
dt
∂t
∂t
µ
¶0
∂
∂
A=
A + Ω × A − v · ∇A
∂t
∂t
Dal momento che ∇ · v = 0 quest’ultima equazione si può riscrivere nella forma
µ
¶0
∂
∂
A + (∇ · A) v =
A + ∇ × (v × A)
∂t
∂t
21
v G. E. Modesitt, Am. J. Phys. 38, 1487 (1970)
86
Richiami di teoria della relatività
In particolare per il vettore B (∇·B = 0) si ha
µ
¶0
∂
∂
B=
B + ∇ × (v × B)
∂t
∂t
mentre tenuto conto che ∇·E = ε−1
0 ρ
dove
0
j = −v ×
Inoltre tenuto conto che
µ
µ
¶0
∂
E + ∇ × (v × E)
∂t
µ
¶0
∂ 0
=
E + ∇ × (v × j0 )
∂t
∂
E + ε−1
0 ρv =
∂t
¶0
∂
B + ∇ × [v × (E0 − v × B)]
∂t
E0 = E + v×B
si ha
∇0 · E0 = ∇0 · E + ∇0 · v × B =
1
(ρ + σ)
ε0
dove
σ = ∇0 · (v × B0 )
In definitiva si ha
∂ 0
B
∂t
∂
= ε0 E0 + J + i
∂t
= 0
1
=
(ρ + σ)
ε0
∇0 × E0 = −
∇0 × H0
∇0 · B0
∇0 · E0
2.10.1
Eﬀetto Sagnac
Esercizio 2.10.7. Si consideri un interferometro formato da 4 specchi (v. Fig. 2.3) ai
vertici di un quadrato e poggiati rigidamente su una piattaforma ruotante intorno ad un
asse perpendicolare con velocità angolare costante Ω Un laser inietta nell’interferometro
un fascio a frequenza ω che, diviso in due da un beam-splitter percorre il quadrato in
versi opposti. Calcolare la diﬀerenza di fase tra due raggi che percorrono in senso orario
ed antioarario i lati del quadrato. Per velocità degli specchi non relativistiche si può
assumere γ = 1. I due fasci controrotanti si possano trattare nel sistema rotante come
onde localmente piane caratterizzate dai 4-vettori di propagazione (ω 0 , ±k0 ) legati a quelli
(ω, ±k) del sistema di laboratorio dalle relazioni:
ω
v
c2
= ω−v·k
k0 = k −
ω0
2.10 Campi e.m. in sistemi rotanti
87
Figura 2.3: Rappresentazione schematica di una cavità a 4 specchi con due modi che si propagano in
verso orario ed antiorario. Quando la cavità è posta su un piano che ruota rigidamente attorno ad un
asse, i vettori d’onda locali dipendono localmente dallo shift Doppler, dando così luogo ad una diﬀerenza
tra le fasi accumulate in un giro completo dai due modi.
Soluzione: Per velocità non relativistiche si ha per i vettori d’onda dei due fasci
controrotanti (±):
k(±)0 (r) = k(±) (r) ±
Ω
r×Ω
c2
Pertanto la fase accumulata percorrendo l’intera traiettoria chiusa è data da
(±)
∆ϕ
=
=
I
I
k(±)0 (r) · d
(±)
k
Ω
·d ± 2
c
I
(r × Ω) · d
Pertanto si ha
(+)
∆ϕ
(−)
− ∆ϕ
I
I
ω
ω
= 2 (r × Ω) · d = 2 2 (r × d ) ·Ω
c
c
ω
= 4 2 AΩ
c
ovvero la diﬀerenza dei ritardi di fase è proporzionale alla velocità di rotazione Ω. Questo
ritardo di fase si traduce in uno spostamento delle frange di interferenza, che si formano
all’uscita della cavità viene con la sovrapposizione dei due modi. Questo
spostamen¡
¢
to fornisce
un
segnale
contenente
un
componente
proporzionale
a
cos
∆ϕ
=
−
∆ϕ
+
−
¡ 4ωΩ ¢
cos c2 A . La presenza di questa componente è nota come eﬀetto Sagnac, dal nome di
chi la scoprì nel 1911.
88
2.11
Richiami di teoria della relatività
Propagazione in spazi curvi
La discussione delle Sezz. 1.2 e 2.1 può essere facilmente estesa al caso di uno spazio
curvo rappresentato da un tensore metrico 4 × 4
¸
∙
g00 0T
gαβ =
0 [gij ]
in cui l’elemento −1 è stato sostituito da una funzione g00 delle 4-coordinate. Per uno
spazio-tempo reso curvo dalla presenza di una distribuzione di masse indipendente dal
tempo il 4-tensore gαβ è funzione delle sole coordinate spaziali. Si vede facilmente che
come l’espressione (1.5) della divergenza resta inalterata. In particolare
g = det [gαβ ] = g00 det [gij ]
p
Questo implica che g = i det [gij ] risulta immaginario.
In uno spazio-tempo ad n linearmente indipendenti vettori infinitesimali dxiα (α =
1, 2, . . . , n) è associato un parallelepipedo di volume
dV =
j
i
ij...n dx1 dx2
· · · dxrn
Il quadrato della variazione del tempo proprio che intercorre tra due eventi ravvicinati
coinvolgenti una massa di prova puntiforme è dato da
X
dτ 2 = −g00 c2 dt2 −
gij dxi dxj
ij
Di particolare importanza per il moto di una massa di prova è l’introduzione della
lunghezza L di una curva dello spazio-tempo che connette due eventi
Z E2 s
X
L=
−g00 c2 ṫ2 −
gij ẋi ẋj dτ
E1
ij
dove si è posto ẋi = dxi /dτ .
La curva di minima lunghezza tra due punti prende il nome di geodesica
Esercizio 2.11.1. Ricavare l’equazione per le geodesiche utilizzando le equazioni di EuleroLagrange
Soluzione: Dalle equazioni di Eulero -Lagrange
q
q
d ∂
∂
α
β
gαβ ẋ ẋ = α gαβ ẋα ẋβ
dτ ∂ ẋα
∂x
discende il sistema di equazioni
con Γαβγ
d α
ẋ + Γαβγ ẋα ẋβ = 0
dτ
i coeﬃcienti di Christoﬀel di seconda specie (v. Eq. (1.3)).
(2.52)
1
Γαβγ = Γαγβ = g αm (gmβ,γ + gmγ,β − gβγ,m )
(2.53)
2
Esercizio 2.11.2. Dimostrare che dalla (2.52) discende che se in un punto di una geodesica ẋα ẋα = 0 il 4-vettore ẋα risulta nullo lungo tutta la geodesica. A questa curva
vien dato il nome di geodesica nulla. Le geodesiche nulle rappresentano le traiettorie dei
fotoni. Nel caso in cui la tangente risulta nulla
2.11 Propagazione in spazi curvi
2.11.1
89
Metrica di Schwarzshild
Esercizio 2.11.3. Di particolare importanza è la metrica di Schwarzshild22 che caratterizza lo spazio intorno ad una massa puntiforme isolata. In tal caso il tensore metrico è
dato da
¡
¢
⎡
⎤
−c2 1 − rrg
0
0
0
1
⎢
⎥
0
0
0
r
1− rg
⎥
gαβ = ⎢
(2.54)
⎣
⎦
0
0
0
r2
0
0
0 r2 sin2 θ
Calcolare i coeﬃcienti di Christoﬀel
Soluzione: Dall’espressione (2.53) discende
⎡ 1
Γ00 Γ001 0
0
0
1
2
3
⎢
Γ
Γ
Γ
Γ
01
11
12
13
Γγαβ = ⎢
⎣ 0 Γ212 Γ122 0
0 Γ313 0 Γ133
dove
Γ001 =
Γ100 =
Γ111 =
Γ122 =
Γ133 =
Γ212 =
Γ313 =
⎤
⎥
⎥
⎦
1 00
g g00,1
2
1
− g11 g00,1
2
1 11
g g11,1
2
1
− g11 g22,1
2
1 11
− g g33,1
2
1 22
g g22,1
2
1 33
g g33,1
2
(2.55)
Esercizio 2.11.4. Verificare che sostituendo la coordinata r con
³
rg ´2
r =r 1+
4r
la metrica (2.54) si trasforma in una metrica isotropa per cui
2
2
ds = c
22
µ
1−
1+
rg
4r
rg
4r
¶2
³
¡
¢¤
rg ´4 £ 2
dt − 1 +
dr + r2 dθ2 + sin2 θdφ2
4r
2
v.p.e. Ya. B. Zeldovich and I. D. Novikov, Stars and Relativity, The Univ. of Chicago Press, 1971 Cap
3. R. C. Tolman, Relativity, Thermodynamics and Cosmology, DoverN. Y. 2011, R. C. Tolman, Rev.
Mod. Phys. 21, 374 (1949): E. F. Taylor and J. A. Wheeler, Exploring Black Holes, Introduction to
General Relativity, Addison Wesley Longman, 2000.
90
Richiami di teoria della relatività
Esercizio 2.11.5. Analizzare le equazioni del moto per un particella di massa M che si
muove in una metrica di Schwarzchild associata ad una massa di raggio
rg = 2
G
M
c3
dove G/c3 = 2.5 × 10−39 s/g . Integrare le equazioni del moto per una particella di prova
che descrive un’orbita equatoriale. (b) Analizzare in particolare la traiettoria di un fotone
Soluzione: (a) La metrica di Schwarzshild caratterizza lo spazio intorno ad una massa
puntiforme isolata. In tal caso l’equazione del moto di una particella di prova discende
dalla Lagrangiana
r
h
³ 2
´i
2
2
L = −Mc e−λ ṫ2 − c−2 eλ ṙ2 + r2 θ̇ + sin2 θφ̇
(2.56)
dove · indica la derivata d/dτ rispetto al tempo proprio τ definito da:
£
¡
¢¤
dτ 2 = e−λ dt2 − c−2 eλ dr2 + r2 dθ2 + sin2 θdφ2
mentre
eλ =
1
1 − rrg
Poichè sia t che φ non appaiono esplicitamente nella (2.56) i momenti coniugati sono
costanti
∂L
= e−λ ṫ = A = const
∂ ṫ
∂L
pφ =
= r2 φ̇ = h = const
∂ φ̇
³
´
−λ 2
−2
λ 2
2 2
e ṙ + r φ̇ = 1. Ne discende
avendo tenuto conto del fatto che il radicando e ṫ −c
che
¡
¢
ṙ2 + e−λ r−2 h2 = c2 A2 − e−λ
pt =
Sostituendo
d
dτ
con
h d
r2 dφ
µ
e e−λ = 1 −
1 dr
r2 dφ
¶2
rg
r
si ottiene
³ c ´2 ¡
¢ e−λ
2
−λ
=
A −e
− 2
h
r
!
Ãµ ¶
2
´
³
M
1
rg
1
= 2 − 1−
+ 2
b
r
J
r
dove
1
=
b2
µ
Ac
h
¶2
³
rg ´ 1
= 1−
R R2
con R distanza distanza di massimo avvicinamento alla massa (v. Fig. 2.5). J = Mh/c
indica il momento della quantità di moto mentre b rappresenta il parametro di impatto
(v. Fig. 2.4).
2.11 Propagazione in spazi curvi
91
Ponendo M = 0 si ottiene l’equazione della traiettoria di un fotone:
µ
¶2
1 dr
1 ³
rg ´ 1
=
−
1
−
r2 dφ
b2
r r2
(2.57)
Sostituendo r con y = R/r si ottiene
µ
dy
dφ
¶2
rg
+ y2 = 1 − −
R
µ
M
J
¶2
R2 + rg R
Ãµ
M
J
¶2
!
1 2
+ 2y y
R
(b) Per un raggio luminoso M = 0 e quest’ultima equazione si riduce a:
µ ¶2
¢
dy
rg ¡ 3
+ y2 = 1 +
y −1
dφ
R
Ne segue che
dy
dφ = q
1 − y 2 + rRg (y 3 − 1)
Ponendo ora
y = cos α
si ottiene
Dal momento che
dφ = q
1−
Ne segue che
Z π/2
µ
cos α +
dα
rg 1−cos3 α
R sin2 α
1 − cos3 α
1
= cos α +
2
1 + cos α
sin α
rg
ed in vista della piccolezza di R si può porre
µ
¶¸
∙
1
rg
cos α +
dα
dφ = 1 +
2R
1 + cos α
−π/2
dφ
2rg
dα = π +
dα
R
¶
1
2rg
dα = π +
= π + ∆φ
1 + cos α
R
ovvero l’angolo di deflessione ∆φ rispetto alla traiettoria rettilinea è dato da (v. Fig. 2.5)
∆φ =
2rg
R
Esercizio 2.11.6. La propagazione in uno spazio con metrica deformata per la presenza
di una massa M può essere descritta23 come quella in uno spazio con indice di rifrazione
23
1
n (r) = q
1−
rg
r
v. J. L. E. Synge, Relativity: the general theory, North-Holland, Amsterdam 1971 Sez. 11.4 Eq. (104)
92
Richiami di teoria della relatività
Figura 2.4: Geometria della deflessione di un raggio luminoso in prossimità di un buco nero
Figura 2.5: Angolo di deflessione di un raggio luminoso da parte di una black-hole
2.11 Propagazione in spazi curvi
e tensore metrico
93
⎡
gij = ⎣
r
r−rg
0
0
⎤
0
0
⎦
0
r2
2
2
0 r sin θ
(2.58)
Analizzare la propagazione di raggi equatoriali utilizzando le equazioni di Eulero-Lagrange
seguendo l’approccio dell’Es. 8.6.5
Soluzione: Tenuto conto che per una traiettoria equatoriale
ds2 =
r
dr2 + r2 dφ2
r − rg
il cammino ottico L si può riscrivere nella forma
Z rB
Z PB
1
q
n (r (s)) ds =
L=
PA
rA
1−
rg
r
r
r
2
ṙ2 + r2 φ̇ ds
r − rg
dove . indica la derivata rispetto a s. Poichè la Lagrangiana risulta indipendente da φ si
ha
r2
q
φ̇ = h
1 − rrg
Pertanto si ha
r
rg 1 dr
ṙ = h 1 −
r r2 dφ
r
rg 1
φ̇ = h 1 −
r r2
Sostituendo queste espressioni di ṙ e φ̇ nella relazione
r
2
ṙ2 + r2 φ̇ = 1
r − rg
si ottiene l’Eq. (2.57).
Capitolo 3
Interazioni elettriche e magnetiche
3.1
Multipoli elettrici e magnetici
Ua distribuzione di carica ρ (r, t) e di corrente J (r, t) , legati tra loro dalla relazione di
continuità
∂
∇ · J (r, t) + ρ (r, t) ,
∂
si possono associare in un volume finito ad una distribuzione di multipoli elettrici Qkm e
magnetici Mkm
Z
∗
Qkm =
rk Ykm
(θ, φ) ρ (r, t) d3 r ,
Z
∗
Mkm =
rk Ykm
(θ, φ) ∇ · (r × J (r, t)) d3 r .
(3.1)
Qkm ha le dimenioni di una carica [q] per [Ll ], mentre Mkm quelle di Qkm × c.
Nel caso in cui si debba tener conto della magnetizzazione M dovuta agli spin elettronici
e nucleari di un atomo si dimostra1 che bisogna aggiungere ai multipoli di ρ e ∇ · (r × J)
rispettivamente i contributi di ∇ · (r×M) e ∇ · M.
Una distribuzione di cariche indipendenti dal tempo contenute in una sfera di raggio
R genera un potenziale che può essere espanso per r > R in armoniche sferiche
∞
l
Ylq (θ, φ)
1 XX 1
V (r) =
Qlq
,
ε0 l=0 q=−l 2l + 1
rl+1
(3.2)
I contributi proporzionali a Q11 , Q10 e Q1,−1 sono di dipolo, mentre quelli proporzionali a
Q22 , Q21 , Q20 , Q2,−1 e Q2,−2 sono associati a quadrupoli elettrici2 .
Ponendo
Z
QNkq = e rk Ykq (θ, φ) nN (r) d3 r
Z
1
0
Qekq = −e
Ykq (θ, φ) ne (r) d3 r.
k+1
r
1
2
v.p.e. J. M. Blatt and V. F. Weisskopf, “Theoretical Nuclear Physics”, J. Wiley & Sons, New York
1952, App. B Eqq. (4.16),(4.19).
v.p.e. S. Flugge, loc. cit. pag. 30, Prob. 54.
95
96
Interazioni elettriche e magnetiche
Figura 3.1: Rappresentazione schematica di un quadrupolo magnetico
Figura 3.2: Rappresentazione schematica di un sestupolo magnetico
ed assumendo con buona approssimazione r0 = r< , r = r> , si ha
Z Z
k
r<
Ykq∗ (θ, φ) Ykq (θ0 , φ0 ) d3 rd3 r0 = QNk,−q Q0ekq
ne (r) nN (r0 ) k+1
r>
per cui
VC k
k
X
1 1
=
QNk,−q Q0ekq .
ε0 2k + 1 q=−k
Esercizio 3.1.1. Calcolare il campo magnetico generato da (a) un quadrupolo magnetico
e (b) da un sestupolo rappresentati in Figg. (3.1) e (3.2)
3.2
3.2.1
Interazioni elettrostatiche
Interazioni tra conduttori
Esercizio 3.2.1. Analizzare la repulsione tra le due lamine di un elettroscopio3
3
The Electroscope from the Wolfram Demonstrations Project http://demonstrations.wolfram.com/TheElectroscope/
Contributed by: Enrique Zeleny
3.2 Interazioni elettrostatiche
3.2.2
97
Multipoli
Esercizio 3.2.2. Con riferimento ad una carica puntiforme q in (r0 , θ0 , φ0 ) rapppresentarla come una sovrapposizione di multipoli4 Qkq
Soluzione: Una carica puntiforme q in (r0 , θ0 , φ0 ) crea un potenziale pari5
∞
∞
k
k
k
qe
1
qe X X
r<
1
qe X r<
∗
=
V (r) =
Y
(θ
,
φ
)
Y
(θ,
φ)
=
P (cos Θ) ,
0
kq
0
k+1 kq
k+1 k
4πε0 |r − r0 |
4πε0 k=0 q=−k 2k + 1 r>
4πε0 k=0 r>
(3.3)
dove r< = min (r, r0 ) , r> = max (r, r0 ). L’ultimo termine, dipendente dal polinomio di
Legendre Pk e dall’angolo Θ l’angolo formato da r e r0 , discende dalla relazione
k
4π X ∗
Y (θ0 , φ0 ) Ykq (θ, φ) = Pk (cos Θ)
2k + 1 q=−k kq
che esprime il cosiddetto teorema di addizione delle armoniche sferiche.
Confrontando (3.3) con (3.2) si vede che la carica spostata dall’origine equivale all’insieme di multipoli
Qkq = qe r0k Ykq∗ (θ0 , φ0 )
Esercizio 3.2.3. Calcolare il potenziale di interazione tra (a) una carica puntiforme di
coordinate (r0 , θ0 , φ0 ) ed una sfera di costante dielettrica di raggio a; (b) come (a) con la
carica sostituita da un dipolo. (c) Discutere il caso limite in cui la distanza dipolo-sfera
tende all’infinito.
Soluzione: La carica associata al potenziale
V (r) =
∞
k
k
1
r<
qe X X
Ykq∗ (θ0 , φ0 ) Ykq (θ, φ) ,
k+1
ε0 k=0 q=−k 2k + 1 r>
induce un potenziale di scattering qe Vsc (r) all’esterno e qe Vtr (r) all’interno della sfera
rappresentati rispettivamente da
∞
k
1 XX
1
Ykq (θ, φ)
Rkq
Vq sc (r) =
ε0 k=0 q=−k 2k + 1
rk+1
∞
k
1
1 XX
Vq tr (r) =
Tkq rk Ykq (θ, φ)
ε0 ε̂ k=0 q=−k 2k + 1
Imponendo la continuità di V (r)+Vsc (r) e Vtr (r) sulla sfera di raggio a e della componente
radiale dell’induzione si ottiene il sistema
ak ∗
Rkq
1
Y (θ0 , φ0 ) + k+1 =
Tkq ak
k+1 kq
a
ε̂
r0
k−1
a
Rkq
k k+1 Ykq∗ (θ0 , φ0 ) − (k + 1) k+2 = kTkq ak−1
a
r0
4
Multipole Fields from the Wolfram Demonstrations Project http://demonstrations.wolfram.com/MultipoleFields/
5
Contributed by: Stephen Wolfram
v.p.e. A.Balzarotti, M. Cini & M. Fanfoni, Atomi, Molecole e Solidi, Springer, Milano 2004, App. A6.
98
Interazioni elettriche e magnetiche
che risolto fornisce
ε̂ − 1 a2k+1 ∗
Y (θ0 , φ0 )
k+1 kq
ε̂ + k+1
r
0
k
2k + 1
1
= qε̂ k+1
Ykq∗ (θ0 , φ0 )
r0 kε̂ + k + 1
Rkq = −q
Tkq
Pertanto si ha
µ ¶k
∞
k
1 ε̂ − 1
a
1 a X X 4π
Vq sc (r) = −
Ykq (θ, φ) Ykq∗ (θ0 , φ0 )
k+1
k+1
4πε0 r0 k=0 q=−k 2k + 1 r
r0
ε̂ + k
Vq tr (r) =
∞
k
2k + 1 rk
1 X X 4π
Ykq (θ, φ) Ykq∗ (θ0 , φ0 )
4πε0 k=0 q=−k 2k + 1 kε̂ + k + 1 r0k+1
Per ε̂ À 1 si ha
µ 2 ¶k
∞
k
a
1
1 ε̂ − 1 a X X 4π
Vq sc (r) = −
Ykq (θ, φ) Ykq∗ (θ0 , φ0 )
k+1
4πε0 ε̂ + 1 Rq k=0 q=−k 2k + 1 r
Rq
+
1 ε̂ − 1 R0 1
4πε0 ε̂ + 1 Rq r
a
ovvero Vsc (r) coincide col potenziale di una carica −q ε̂−1
posta in a2 /Rq e di una
ε̂+1 Rq
a
seconda carica q ε̂−1
al centro della sfera.
ε̂+1 Rq
A questo punto il potenziale di interazione è dato da
1
Vq = qe Vq sc (r0 )
2
(b) Se si sostituisce la carica con un dipolo ℘ V℘ sc (r) è dato da
X
V℘ sc (r) =
℘q ·∇Vq sc (r)
q
Ne discende che
V℘ =
=
X
1
1
℘ · ∇V℘ sc (r) = ℘ · ∇
℘q ·∇Vq sc (r)
2
2
q
1
℘℘ : ∇∇Vq sc (r)
2
(c) Quando r0 → ∞ si ha
1
1 1 ε̂ − 1 a3 X
Vq sc (r) = −
Y1q (θ, φ) Y1q∗ (θ0 , φ0 )
3ε0 r2 ε̂ + 2 Rq2 q=−1
In particolare per θ0 = 0 si ha
1
X
m=−1
∗
Y1m (θ, φ) Y1m
(0, φ0 ) =
3
cos θ
4π
3.2 Interazioni elettrostatiche
99
per cui
Vq sc (r) = −
q 1 ε̂ − 1 a3
cos θ
4πε0 r2 ε̂ + 2 r02
ovvero Vq sc (r) coincide con quello di un dipolo elettrico
q ε̂ − 1 a3
℘=
3 ε̂ + 2 r02
℘ dà luogo ad una energia di interazione pari a
1
1 qe2 ε̂ − 1 a3
Vq = qe Vq sc (rq ) =
2
2 4πε0 ε̂ + 2 r04
Esercizio 3.2.4. Calcolare l’energia di interazione di un dipolo elettrico℘1 posto a distanza R da: (a) un altro dipolo℘2 ; (b) da un atomo di polarizzabilità αp
Soluzione: (a) L’energia di interazione è data da V21 = −℘2 ·E21 dove E21 = −∇2 V21
è il campo elettrico generato dal dipolo 1 nel punto occupato da℘2 . Poichè V21 =
− 4πε10 R2 ℘1 · R̂21 con R̂21 = (R2 − R1 ) /R risulta6
E21
e pertanto
´
1 1 ³
−℘1 + 3℘1 · R̂R̂
=
4πε0 R3
V = −℘2 · E21 =
´
1 1 ³
·℘
−
3℘
℘
:
R̂
R̂
℘
1
1
2
2
4πε0 R3
(b) Nel caso in cui ℘2 = ε0 αp E12 si ha che
1
V21 = − ℘2 · E21
2
In tal caso infatti si deve tener presente che al crescere del momento del dipolo 1 da 0 al
valore finale ℘1 , quello del secondo dipolo cresce proporzionalmete:
dV21
dE21
= −℘2 ·
d℘1
d℘1
= −ε0 αp E12 ·
=
dE21
d℘1
d
1
ε0 αp
|E21 |2
2
d℘1
Ne discende che V21 è pari a
¯2
1
1 ε0 αp 1 ¯¯
¯
2
V = − ε0 αp |E21 | = −
2 6 ¯℘1 − 3℘1 · R̂R̂¯
2
2 (4πε0 ) R
µ
³
´2 ¶
1 ε0 αp 1
2
℘1 + 3 ℘1 · R̂
= −
2 (4πε0 )2 R6
6
per evitare confusoni con l’energia le componenti scalari del campo vengono indicate con Ex,y,z .
100
Interazioni elettriche e magnetiche
3.2.3
Interazione elettroni-nucleo
Esercizio 3.2.5. Esprimere VC k relativo ad uno stato atomico
X
|F jImF i = Rnl (r)
hjImj mI |F mF i |jmj i |ImI i
mj mI
utilizzando le matrici ridotte di multipolo degli elettroni hj kQ0e k k ji e dei protoni del
nucleo hI kQN k k Ii
Soluzione: VC k è proporzionale alla somma su q degli elementi di matrice
¯
¯

®
F jImF ¯QN k,−q Q0e kq ¯ F jImF
X X
¯
¯


®
®
hjImj mI |F mF i jIm0j m0I |F mF hImI |QN k,−q | Im0I i jmj ¯Q0e kq ¯ jm0j
=
mj m0j mI m0I
= hj kQ0e k k ji hI kQN k k Ii
X X

®
®
hjImj mI |F mF i jIm0j m0I |F mF jkmj q|jm0j hIkmI , −q|jm0I i
×
mj m0j mI m0I
In particolare si può dimostrare che
XX X

®
®
hjImj mI |F mF i jIm0j m0I |F mF jkmj q|jm0j hIkmI , −q|Im0I i
q
mj m0j mI m0I
F +j+I
= (−1)
½
I, j, F
j, I, k
¾
dove la quantità in parentesi graﬀe è il cosiddetto simbolo7 6j.
½
¾
1
4π
I, j, F
F +j+I
VC k =
hj kQ0e k k ji hI kQN k k Ii
(−1)
j, I, k
4πε0 2k + 1
(3.4)
Esercizio 3.2.6. (a) Analizzare l’interazione di quadrupolo tra un nucleo e gli elettroni.
(b) Analizzare il caso del deuterone
Soluzione: (a) Per un insieme di cariche qn = e in rn associate allo stato |Ψi, le
componenti del tensore di quadrupolo elettrico sono date da:
Q2q = hΨ |Q2q | Ψi
dove
Q2,±2
Q2,±1
Q20
7
√
6X
=
qn (xn ± iyn )2
4 n
√
6X
= ∓
qn zn (xn ± iyn )
2 n
¢
1X ¡ 2
=
qn 3zn − rn2
2 n
v.p.e.
M. ¾ Weissbluth, Atoms and Molecules, Academic Press, N. Y. 1978 pp.
½
I, j, F
44.
=SixJSymbol[{I,j,F},{j,I,k}]
j, I, k
(3.5)
38-
3.2 Interazioni elettrostatiche
101
Il momento di quadrupolo elettrico del nucleo è dato da
QN =
2
hI, MI = I |QN2,0 | I, MI = Ii
e
dove QN2,0 è un operatore tensoriale del secondo ordine:
r
X 4
eX
π rp2 Y20 (Ωp )
(3zp2 − rp2 ) = e
QN 2,0 =
2 p
5
p
Dal teorema di Wigner-Eckart discende che8
hI, MI = I |QN2,0 | I, MI = Ii = hI kQN2 k Ii hI2I0|IIi
r
√
I(2I − 1)
= (−1)4I 1 + 2I
3 + 11I + 12I 2 + 4I 3
Pertanto tenuto conto che
hI2I0|IIi = ClebschGordan[{I,I},{2,0},{I,I}]
r
√
I(2I − 1)
= (−1)4I 1 + 2I
3 + 11I + 12I 2 + 4I 3
si ha:
hI kQN 2 k Ii
1
√
=
2
2I + 1
s
(I + 1) (2I + 3)
eQ
I (2I − 1)
Analogamente si ha per9 Q0e 2
Q0e =
con
Q0e 2,0
¯
¯
®
2
j, mj = j ¯Q0e 2,0 ¯ j, mj = j
e
X
e X 3zn2 − rn2
=
=
e
2 n
rn5
n
r
4 1
π Y20 (Ωn )
5 rn3
dove la somma è estesa agli elettroni. Ne discende che
s
0
hj kQe 2 k ji
1 (j + 1) (2j + 3) 0
√
eQe
=
2
j (2j − 1)
2j + 1
Sostituendo nella (3.4) si ha per k = 2
VC 2
8
9
1 4π
=
(−1)F +j+I
4πε0 3
½
I, j, F
j, I, 2
¾
hj kQ0e 2 k ji hI kQN 2 k Ii
hI2I0|IIi =ClebschGordan[{I,I},{2,0},{I,I}]
¯
®
jm
Yl 1 j = ¯l 12 jm risultano dalla composizione del momento orbitale l e lo spin s =
1
2
si possono
¯1 ®
¯
esprimere sovrapponendo prodotti di funzioni
 1 d’onda del momento orbitale |lmL ie dello spin 2 ms
pesati dai coeﬃcienti di Clebsch-Gordan l 2 mz ms |jmj i |lml i (v. Appendice D),
¯ 1 ® P
¯1 ®
 1
¯l jm =
¯
mz ,ms l 2 mms |jmj i |lml i ⊗ 2 ms
2
2
102
Interazioni elettriche e magnetiche
dove10
½
con
I, j, F
j, I, 2
¾
= SixJSymbol[{I,j,F},{j,I,k}]
= (−1)−F −I−j
2 [3X (X − 1) − 4I (I + 1) j (j + 1)]
p
(2I − 1) 2I (2I + 1) (2I + 3) (2j − 1) 2j (2j + 1) (2j + 3)
X = I (I + 1) + j (j + 1) − F (F + 1)
Infine

¯
¯
®
F jImF ¯QN k,−q Q0e kq ¯ F jImF
2
= e
3
X
0
Qe QN 4
(X − 1) − I (I + 1) − j (j + 1)
2I (2I − 1) j (2j − 1)
(3.6)
La quantità e2 Q0e QN è nota come costante di accoppiamento di quadrupolo.
(b) Il deuterone ha spin nucleare I = 1 con associato un momento magnetico nucleare
pari a 0.857 μN ed un momento di quadrupolo QD = e 0.0028 (misurato in barns 1
barn = 10−28 m2 ' sezione del nucleo di uranio). pari a
⎤
⎡ 1
−2 0 0
QD = e 0.0028 ⎣ 0 − 12 0⎦
0
0 1
Pertanto (3.6) si riduce a
¯
¯
®

F jImF ¯QN k,−q Q0e kq ¯ F jImF
∙
¸
3
e2 Q0e QN
X (X − 1) − 2j (j + 1)
=
2j (2j − 1) 4
Esercizio 3.2.7. Calcolare l’energia di interazione coulombiana tra la carica nucleare Ze
di un atomo idrogenoide supposta distribuita uniformemente in una sfera di raggio ”b”
ed un elettrone associato ad una funzione d’onda ve (r) ∝ exp(−Zr/a0 ). Utilizzare unità
MKS.
Soluzione: Si cominci con l’assumere una carica Z uniformemente distribuita in una
sfera di raggio assegnato R (raggio del nucleo). In tal caso il potenziale sarà dato da (v.
Fig. (3.3))
( Z
− r³
´ r>R
V (r) =
(3.7)
Z
r2
−3
r<R
2R R2
Pertanto, chiamando ∆V la diﬀerenza tra il potenziale 1/r e V (r)
(
0 ³
´ r>R
∆V (r) =
Z
r2
2R
+ r −3
r<R
2R R2
10
v.p.e.M. Weissbluth, “Atoms and Molecules”, Academic Press, N.Y. 1978 Eq. (18.3-11)
3.2 Interazioni elettrostatiche
103
e trattando ∆V come una perturbazione, si può facilmente calcolare la correzione del
livello n-esimo
2π 2
2 Z4 2
∆E '
R |ψn00 (0)|2 =
R
(3.8)
5
5 n3
Si considerino ora due atomi idrogenoidi corrispondenti a due isotopi di uno stesso elemento. Dal momento che il raggio R varia col numero di massa A di un nucleo secondo
la relazione11
R = r0 A1/3
(3.9)
con
r0 ' 1.2 × 10−15 m = 1.22 F ermi
e che A ' 2Z si avranno correzioni diverse
1 A11/3 2
δ∆E '
r δA
60 n3 0
(3.10)
Indicando con
Figura 3.3: Potenziale all’interno del nucleo per una carica nucleare distribuita uniformemente.
³
´
Zr
exp −2 a0
v 2 (r)
R∞ e
= eZ 4
πa30
4π 0 ve2 (r) r2 dr
la densità di carica associata all’elettrone, l’energia di interazione risulta pari a
Z
Z
ρZ (rp ) ρe (re )
1
Ve−Z =
drp dre = ρe (r) VZ (r) dr
4πε0
re−Z
ρe (r) = −Ze
dove
Z
1
ρZ (r)
VZ (re ) =
dr
4πε0
|r − re |
rappresenta il potenziale VZ associato alla distribuzione di carica ρZ (rp ) del nucleo. Per
calcolare VZ (r) si nota che (i) esso dipende solo dalla distanza re , (ii) all’esterno della
sfera di raggio b coincide con quello di una carica puntiforme Ze:
VZ (r) =
11
Ze 1
4πε0 r
R. Hofstadter, Structure of nuclei and nucleons, Science, 136:1013, 1962, discorso tenuto in occasione
del Nobel
104
Interazioni elettriche e magnetiche
mentre (iii) all’interno della sfera il campo elettrico varia linearmente:
E (r) = c1 r ,
per cui
1
VZ (r) = c1 r2 + c2 .
2
Imponendo ora la continuità di VZ (r) e della derivata per r = b si ha:
Ze 1
4πε0 b2
Ze 1
=
4πε0 b
½
1
c1 b =
1 2
c1 b + c2
2
ovvero
VZ (r) =
Finalmente,
Ve−Z
Ze
4πε0
r
1
1 2
r + 2b
2b3
∙Z b
¶µ
¶
¸
¶
µ
µ
Z ∞
1 2
Z 5 e2
Zr
1
Zr
2
rdr
r dr +
=
exp −2
r +
exp −2
πε0 a30 0
a0
2b3
2b
a0
b
∙
¸
Z 5 e2 3 + c2 − (1 + c2 ) (3 + 6c + 4c2 ) exp (−2c)
+ (1 + 2c) exp (−2c)
=
4πε0 a0
2c3
con c = Zb/a0 . Poichè la carica nucleare è distribuita in volumi di raggio b dell’ordine di
1 F ermi = 10−5 Å c = 2 · 10−5 Z, Ve−Z si semplifica in
Ve−Z =
3.2.4
Z 5 e2 3a20
Z 3 e2 3a0
=
4πε0 a0 Z 2 b2
4πε0 b2
Interazione elettrone-elettrone in un atomo
Esercizio 3.2.8. Calcolare l’energia di interazione (a) diretta e (b) di scambio
¿
À
1
J =
n1 n2 l1 l2 m1 m2 | |n1 n2 l1 l2 m1 m2
r12
À
¿
1
K =
n1 n2 l1 l2 m1 m2 | |n2 n1 l2 l1 m2 m1
r12
tra due elettroni di un atomo associati alle funzioni d’onda Rn1 l1 (r1 ) Yl1 m1 (Ω1 ) e Rn2 l2 (r2 ) Yl2 m2 (Ω2 ) .
Soluzione: (a) Sviluppando in serie di polinomi di Legendre il potenziale di interazione
coulombiano 1/r12
∞
L
L
X
X
1
4π
r<
∗
=
YLM (Ω2 )YLM
(Ω1 )
L+1
r12 L=0 2L + 1 r>
M=−L
si ottiene per l’integrale coulombiano J
Z ∞
Z ∞
∞
L
X
4π
r<
dr1
dr2 L+1
Pn21 l1 (r1 )Pn22 l2 (r2 )
J =
2L + 1 0
r>
0
L=0
l1 l2 L
×Im
1 m2
3.2 Interazioni elettrostatiche
con
l1 l2 L
Im
1 m2
=
Z
105
2
dΩ1 |Yl1 m1 (Ω1 )|
∗
YL0
(Ω1 )
Z
dΩ2 |Yl2 m2 (Ω2 )|2 YL0 (Ω2 )
Dalla formula di Gaunt discende:
Z
∗
∗
(Ω1 )Yl1 m1 (Ω) Yl2∗m2 (Ω) YL,m
(Ω)
dΩ |Yl1 m1 (Ω1 )|2 YL0
1 −m2
Ne discende che
2l1 + 1
hl1 l1 00 |L0i hl1 l1 m1 , −m1 |L0i
= p
4π(2L + 1)
l1 l2 L
=
Im
1 m2
(2l1 + 1) (2l1 + 1)
hl1 l1 00 |L0i hl1 l1 m1 , −m1 |L0i
4π(2L + 1)
hl2 l2 00 |L0i hl2 l2 m2 , −m2 |L0i
l1 l2 L
Ne segue che Im
6= 0 solo per |l1 − l2 | ≤ L ≤ |l1 + l2 |, da cui
1 m2
Z
J =
∞
dr1
0
|l1 +l2 |
X
L=|l1 −l2 |
Z
∞
0
dr2 Pn21 l1 (r1 )Pn22 l2 (r2 )
L
4π
r<
l1 l2 L
× Im
1 m2
L+1
2L + 1 r>
(b) Per quello di scambio si ha
∞
X
4π
K =
2L + 1
L=0
Z
∞
0
dr1
Z
0
l1 l2 L
×Im
1 m2 ,m1 −m2
∞
dr2
L
r<
P (r )Pn2 l2 (r1 )Pn1 l1 (r2 )Pn2 l2 (r2 )
L+1 n1 l1 1
r>
dove
l1 l2 L
Im
1 m2 ,m1 −m2
=
Z
∗
dΩ1 Yl1 m1 (Ω1 ) Yl2∗m2 (Ω1 ) YL,m
(Ω1 )
1 −m2
Z
× dΩ2 Yl2 m2 (Ω2 ) Yl1∗m1 (Ω2 ) YL,m1 −m2 YLM (Ω2 )
Dalla formula di Gaunt discende:
Z
∗
dΩYl1 m1 (Ω) Yl2∗m2 (Ω) YL,m
(Ω)
1 −m2
s
(2l1 + 1)(2l2 + 1)
hl1 l2 00 |L0i hl1 l2 m1 , −m2 |L, m1 − m2 i
= (−1)m1 −m2
4π(2L + 1)
Per cui
l1 l2 L
Im
=
1 m2 ,m1 −m2
(2l1 + 1)(2l2 + 1)
hl1 l2 00 |L0i2 hl1 l2 m1 , −m2 |L, m1 − m2 i2
4π(2L + 1)
106
Interazioni elettriche e magnetiche
In definitiva si ha:
K =
Z
∞
dr1
0
|l1 +l2 |
X
L=|l1 −l2 |
Z
∞
dr2 Pn1 l1 (r1 )Pn2 l2 (r1 )Pn1 l1 (r2 )Pn2 l2 (r2 )
0
L
4π
r<
l1 l2 L
× Im
1 m2 ,m1 −m2
L+1
2L + 1 r>
Esercizio 3.2.9. Calcolare gli integrali coulombiano J0 e di scambio K0 per due elettroni
negli orbitali n1 s e n2 s.
Soluzione:
3.2.5
∞
Z
∞
1 2
Pn1 0 (r1 )Pn22 0 (r2 )
r
0
½> Z r1
¾
Z ∞
Z0 ∞
1 2
1
2
2
dr1 Pn1 0 (r1 )
dr2 Pn2 0 (r2 ) +
dr2 Pn2 0 (r2 )
= 4π
r1 0
r2
0
r1
Z ∞
Z ∞
1
= 4π
dr1
dr2 Pn1 0 (r1 )Pn2 0 (r1 )Pn1 0 (r2 )Pn2 0 (r2 )
r>
0
Z0 ∞
dr1 Pn1 0 (r1 )Pn2 0 (r1 )
= 4π
0
¾
½ Z r1
Z ∞
1
1
dr2 Pn1 0 (r2 )Pn2 0 (r2 ) +
dr2 Pn1 0 (r2 )Pn2 0 (r2 )
×
r1 0
r2
r1
J0 = 4π
K0
Z
dr1
dr2
Interazione elettrone-elettrone in una molecola
Esercizio 3.2.10. Calcolare l’energia di interazione coulombiana tra i due elettroni di
una molecola di idrogeno che occupano rispettivamente l’orbitale atomico u1s (rA ) centrato
sul nucleo A e u1s (rB ) centrato su B12
Z Z 2
u1s (r1A ) u21s (r2B ) 3 3
j=
d r1 d r2
r12
R u21s (r1A ) 3
Soluzione: Innanzitutto conviene notare che
d r1 rappresenta il potenziale in
r12
2
r2 creato dalla distribuzione di carica u1s (r1A ) , ovvero coincide con l’integrale J (r2A ) (v.
12
W. Heitler and F. London, Z.f.Phys. 44, 455 (1927); Y. Sugiura, Z.f. Phys. 45, 484 (1927); L. Pauling
and E. B. Wilson, Introduction to Quantum Mechanics, Dover Publications (1985) p. 343
3.2 Interazioni elettrostatiche
107
Eq. (??)). Pertanto, Utilizzando coordinate sferoidali (v. (1.6)) si ha
j =
=
=
=
=
=
Z Z
Z
u21s (r1A ) u21s (r2B ) 3 3
d r1 d r2 = u21s (r2B ) J (r2A ) d3 r2
r12
µ
¶¶
µ
Z
1
1
2
−2r2A
1+
d3 r2
2π u1s (r2B )
−e
r2A
r2A
µ
¶
Z
1
−2(r1A +r1B )
1+
d3 r2
2πJ (R) − 8π e
r2A
µ
¶
Z
¡ 2
¢
2
3
−2Rξ
1+
ξ − η 2 dξdηdφ
2πJ (R) − R
e
R (ξ − η)
µZ 1 µ
¶ ¶
Z ∞
2
2
3
−2Rξ
2
ξ − η + (ξ + η) dη dξ
e
2πJ (R) − 2πR
R
1
−1
π
2πJ (R) − e−2R (9 + 2R(9 + 2R))
3
Esercizio 3.2.11. Calcolare l’integrale k analogo al precedente ma con gli elettroni associati alla somma degli orbitali u1s (rA ) + u1s (rB )
k =
con
Z Z
Z Z
u21s (r1A ) u21s (r2B ) + u21s (r1B ) u21s (r2A ) 3 3
d r1 d r2
r12
Z Z
u1s (r1A ) u1s (r1B ) u1s (r2A ) u1s (r2B ) 3 3
+
d r1 d r2
r12
u1s (r1A ) u1s (r1B ) u1s (r2A ) u1s (r2B ) 3 3
A−B
d r1 d r2 =
r12
5
espressione calcolata da Sugiura che si ritrova sul libro di Pauling e Wilson, dove
¢
6¡ 2
S (R) (γ + ln R) − S 2 (−R)E1 (−4R) + 2S(R)S(−R)E1 (−2R)
R
¶
µ
1 3 −2R
25 23
2
B =
− + R + 3R + R e
8
4
3
¡
¢
R
con S(R) = u1s (rA ) u1s (rB ) dr = e−R 1 + R + 13 R2 integrale di sovrapposizione, γ =
0.57722... la costante di Eulero-Mascheroni ed E1 (x) la funzione integrale esponenziale.
A =
Esercizio 3.2.12. Calcolare l’energia di interazione tra due elettroni associati alle combinazioni di orbitali atomici v1s (r1A ) , v1s (r2A ) , v1s (r2B )
Soluzione: Seguendo la procedura illustrata nei precedenti esercizi si ottiene
Z Z 2
v1s (r1A ) v1s (r2A ) v1s (r2B ) 3 3
=
d r1 d r2
r12
¶
µµ
¶
¶
µ
1 5
1
1 5
−R
−3R
2R + + R e −
+ R e
=
2
4 8
4 8
108
Interazioni elettriche e magnetiche
Esercizio 3.2.13. Altri integrali di Coulomb e di scambio che intervengono quando si
utilizzano le funzioni d’onda di Heitler-London sono
¶
1
1
1
J =
d3 r1 d3 r2 = j − 2j 0
−
−
r12 r1A r2B
¶
µ
Z Z
1
1
1
d3 r1 d3 r2
K =
v1s (r1A )v1s (r1B )v1s (r2A )v1s (r2B )
−
−
r12 r2A r1B
= k − 2k0 S
Z Z
2
2
v1s
(r1A )v1s
(r2B )
µ
Calcolare j 0 e k0 .
Soluzione: Per normalizzare gli orbitali molecolari che siano combinazioni degli orbitali
atomici v1s , bisogna introdurre l’integrale di sovrapposizione S(R)
S(R) =
Z
1
v1s (rA ) v1s (rB ) dr =
π
Z
exp (−rA − rB ) dr
Per calcolarlo conviene utilizzare le coordinate sferoidali (v. Eq. (1.6)), ottenendo così
1 R3
S (R) =
π 8
Z
¡
¢
exp (−Rξ) ξ 2 − η 2 dξdηdφ =
¶
µ
1 2
1 + R + R exp (−R)
3
(3.11)
Inoltre, il funzionale dell’energia di molecole biatomiche descritte da orbitali molecolari
che siano combinazioni degli orbitali atomici u1s , può essere espresso come combinazione
di un integrale di Coulomb j’ k,
j
Z
Z
1 2
R2
=
v (rA ) dr =
exp (−R (ξ + η)) (ξ + η) dξdη
rB 1s
2
1
1+R
=
−
exp (−2R) ,
R
R
0
(3.12)
e di risonanza k’
k
0
Z
1
R2
=
v1s (rB ) v1s (rA ) dr = −
rB
2
= (1 + R) exp (−R)
Z
exp (−R (ξ − η)) (ξ − η) dξdη
(3.13)
Per calcolare l’energia di interazione tra due elettroni che occupano l’orbitale moleco-
3.2 Interazioni elettrostatiche
109
lare 1sσ si utilizzano integrali del tipo13
Z 2
2
v1s (r1A ) v1s
(r2B )
j =
dr1 dr2
r
¶
µ 12
1 2
11 3
1 2
1
−
+
+ R + R exp (−2R) ,
=
R 2 R
4
2
3
Z
v1s (r1A ) v1s (r2A ) v1s (r1B ) v1s (r2B )
A−B
dr1 dr2 =
k =
r12
5
Z 2
v1s (r1A ) v1s (r2A ) v1s (r2B )
dr1 dr2
=
r12
¶
µ
µµ
¶
¶
1
1 5
1 5
−R
−3R
=
2R + + R e −
+ R e
2
4 8
4 8
Z 2
2
v1s (r1A ) v1s
(r2A )
5
dr1 dr2 =
m =
r12
8
(3.14)
dove
¢
6¡ 2
S (R) (γ + ln R) − S 2 (−R)E1 (4R) + 2S(R)S(−R)E1 (2R)
R
¶
µ
R3 −2R
R
25
2
e
B =
− + 23 + 3R +
8
4
3
A =
essendo γ = 0.57722... la costante di Eulero ed E1 (x) la funzione integrale esponenziale.
Altri integrali di Coulomb e di scambio che intervengono quando si utilizzano le
funzioni d’onda di Heitler-London sono
¶
µ
Z
1
1
1
2
2
j =
v1s (r1A )v1s (r2B )
dr1 dr2 = j − 2j 0
−
−
r12 r1A r2B
¶
µ
Z
1
1
1
dr1 dr2 = k − 2k0 S
K =
v1s (r1A )v1s (r1B )v1s (r2A )v1s (r2B )
−
−
r12 r2A r1B
3.2.6
Elettroni di un metallo
Esercizio 3.2.14. Si considerino gli elettroni di conduzione di un metallo. Questi si
muovono in un potenziale periodico associato agli ioni nei vertici di un reticolo cristallino supposto cubico. Calcolare l’energia di interazione di questo potenziale con un elettrone assimilato ad una particella in una buca di potenziale, come assunto nel modello di
Sommerfeld
Soluzione: Il potenziale associato agli ioni del reticolo soddisfa l’equazione di Poisson
∇2 Vret = −
che trasformata diventa
Ṽret (k) =
13
1
ρ (r)
ε0 ioni
1 ρ̃ioni (k)
ε0 k2
per una descrizione più completa di queste tecniche di integrazione v. J. C. Slater, Quantum Theory
of Molecules and Solids, McGraw-Hill (1963), S. P. McGlynn, L. G. Vanquickenborne, M. Kinoshita
and D.G. Carroll, Introduction to Applied Quantum Chemistry, Holt, Rinehart and Winston (1972)
110
Interazioni elettriche e magnetiche
con k2 = kx2 + ky2 + kz2 ovvero
1
Vret (r) =
ε0
Z
ρ̃ioni (k) ik·r 3
e dk
k2
Ne segue che un elettrone confinato in una scatola cubica di lato L è descritto da una
funzione d’onda
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
1
sin
k̄
x
sin
k̄
y
sin
k̄z z
v1 (r) =
x
y
(L/2)3/2
con kx,y,z L multipli pari di π. Ne segue che l’energia di interazione è data da
Z
¡ ¢ 2¡ ¢ 2¡ ¢
1
2
sin
k̄x x sin k̄y y sin k̄z z Vret (r) d3 r
V = −
3
(L/2) V
Z
Z
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
1
1
ρ̃ioni (k) 3
=
d k sin2 k̄x x sin2 k̄y y sin2 k̄z z eik·r d3 r
3
2
ε0 (L/2)
k
V
Z
ρ̃ioni (k) 2k̄x sin (kx L/2) 2k̄y sin (ky L/2) 2k̄z sin (kz L/2) i(kx +ky +kz )L/2 3
1
1
= −
e
dk
3
ε0 (L/2)
k2
kx2 − 4k̄x2
ky2 − 4k̄y2
kz2 − 4k̄z2
dal momento che
Z
Z L
´
¡ ¢ ikx x
1 L ³ i2k̄x x
2
e
sin k̄x x e dx = −
+ e−i2k̄x x − 1 eikx x dx
4 0
0
!
Ã
1
ei(−2k̄x +kx )L − 1
ei(2k̄x +kx )L − 1
' −
+i
−i
4
2k̄x + kx
−2k̄x + kx
= −i
¢
¡ ikx L
k̄x
2k̄x
−
1
= 2
sin (kx L/2) eikx L/2
e
2
2
2
kx − 4k̄x
kx − 4k̄x
essendo ei2k̄x L = 1.Poichè ρioni (r) = ρioni (r + Rlmn ) per r all’interno del cristallo
X
¡
¢
ρ̃{lmn} δ (3) k − K{lmn}
ρ̃ioni (k) '
lmn
con K{lmn} vettore del reticolo reciproco. Ne discende che
¡
¢
1 X ρ̃ioni{lmn} 2k̄x sin K{lmn}x L/2
1
V = −
2
2
ε0 (L/2)3 lmn K{lmn}
K{lmn}x
− 4k̄x2
¡
¢
¡
¢
2k̄y sin K{lmn}y L/2 2k̄z sin K{lmn}z L/2 i(K{lmn}x +K{lmn}y +K{lmn}z )L/2
e
2
2
K{lmn}y
− 4k̄y2
K{lmn}z
− 4k̄z2
Essendo i contributi più importanti alla sommatoria quelli per cui K{¯lm̄n̄} ' 2k̄ si può
porre
1 1 X
V ' −
ρ̃
ε0 4k̄ 2 lmn ioni{lmn}
¡¡
¡¡
¡¡
¢
¢
¢
¢
¢
¢
sin K{lmn}x − 2k̄x L/2 sin K{lmn}y − 2k̄y L/2 sin K{lmn}z − 2k̄z L/2
¡
¢
¡
¢
¡
¢ (3.15)
K{lmn}x − 2k̄x L/2
K{lmn}y − 2k̄y L/2
K{lmn}z − 2k̄z L/2
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
In conclusione la distribuzione di carica associata alla funzione d’onda sin k̄x x sin k̄y y sin k̄z z
interagisce con la componente di vettore d’onda 2k̄ della distribuzione ionica
3.2 Interazioni elettrostatiche
111
Esercizio 3.2.15. Considerare due elettroni di un metallo descritti da funzioni d’onda
tipiche di una scatola cubica che si annullano sulle pareti
Soluzione: Partendo dall’esercizio precedente si ha che l’elettrone 1 si muove nel
potenziale periodico dell’elettrone 2 di funzione d’onda
v2 (r) =
1
(L/2)3/2
¡
¢
¡
¢
¡
¢
sin k̄2x x sin k̄2y y sin k̄2z z
Prtanto ρ̃ioni{lmn} dovuta al secondo elettrone è data da
Z
¢ 2¡
¢ 2¡
¢ iK
¡
1
2
ρ̃ioni{lmn} =
sin
x
sin
y
sin
z
e {lmn} ·r d3 r
k̄
k̄
k̄
2x
2y
2z
3
(L/2) V
¡¡
¡¡
¡¡
¢
¢
¢
¢
¢
¢
1 sin K{lmn}x − 2k̄2x L/2 sin K{lmn}y − 2k̄2y L/2 sin K{lmn}z − 2k̄2z L/2
¡
¢
¡
¢
¡
¢
=
8
K{lmn}x − 2k̄2x L/2
K{lmn}y − 2k̄2y L/2
K{lmn}z − 2k̄2z L/2
per cui applicando la (3.15) si ha
¡¡
¡¡
¢
¢
¢
¢
1 1 X sin K{lmn}x − 2k̄2x L/2 sin K{lmn}x − 2k̄1x L/2
¡
¢
¡
¢
V ' −
ε0 4k̄12 lmn
K{lmn}x − 2k̄2x L/2
K{lmn}x − 2k̄1x L/2
¡¡
¢
¢
¢
¢
¡¡
sin K{lmn}y − 2k̄2y L/2 sin K{lmn}y − 2k̄1y L/2
¡
¢
¡
¢
K{lmn}y − 2k̄2y L/2
K{lmn}y − 2k̄1y L/2
¡¡
¡¡
¢
¢
¢
¢
sin K{lmn}z − 2k̄2z L/2 sin K{lmn}z − 2k̄1z L/2
¡
¢
¡
¢
K{lmn}z − 2k̄2z L/2
K{lmn}z − 2k̄1z L/2
Se ne evince che i due elettroni interagiscono solo se k̄1 ' k̄2 .
Esercizio 3.2.16. Si considerino due elettroni confinati su un segmento di lunghezza L
e descritti dalla funzione d’onda
¸
∙
2
sin (k1 x1 ) sin (k2 x1 )
Ψ (x1 , x2 ) = det
sin (k1 x2 ) sin (k2 x2 )
L
con k1 e k2 tali che k1,2 L.sono multipli entrambi pari di π. Calcolare l’energia di interazione
assumendo un potenziale del tipo
Z ∞ ik(x1 −x2 )
e
e2
dk
V (x1 , x2 ) =
4πε0 −∞ k 2 + a2
Soluzione: L’energia di interazione sarà data da
Z ∞ Z Z L ik(x1 −x2 )
e
e2
Ψ2 (x1 , x2 ) dx1 dx2 dk
V=
2
2
4πε0 −∞
k +a
0
Sviluppando gli integrali si ottiene
Z Z L
eik(x1 −x2 ) Ψ2 (x1 , x2 ) dx1 dx2
0
³
´
2
2
sin2 (kL/2) k22 k12 (k12 − k22 ) 6k 4 + (k12 − k22 ) − 4k2 (k12 + k22 )
= 32
³
´2 = f (k, k1 , k2 )
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
4
2
(kL/2) (k − 4k1 ) (k − 4k2 ) k + (k1 − k2 ) − 2k (k1 + k2 )
112
Interazioni elettriche e magnetiche
Si può verificare che f (k) è una funzione continua di k . Pertanto applicando il teorema
dei residui si ottiene
Z ∞
e2
f (k, k1 , k2 )
V =
dk
4πε0 −∞ k2 + a2
e2
f (ia, k1 , k2 )
=
2πi
4πε0
2ia
³
´
4
2
2
2
2
2 2
6a
+
4a
(k
+
k
)
+
(k
−
k
)
1
2
1
2
e
2π
=
³
´2
4πε0
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
4
2
(aL/2) a (a + 4k1 ) (a + 4k2 ) a + 2a (k1 + k2 ) + (k1 − k2 )
2
3.3
3.3.1
2
4 sinh2 (aL/2) k12 k22 (k12 − k22 )
Interazioni nei cristalli
Campo locale
Esercizio 3.3.1. Il campo locale in un dieletrico nel punto di raggio vettore r si ottiene
isolando una sfera con centro in r e raggio abbastanza piccolo. Il campo in r è dato dalla
somma del campo medio E + quello creato dalla distribuzione di cariche sulla superficie sferica Esup + quello prodotto dai dipoli elettrici contenuti nella sfera Ep . Mentre il
campo Esup può essere calcolato trattando il dielettrico come un mezzo continuo, Ep va
calcolato tenendo esplicitamente conto della distribuzione dei dipoli ai vertici di un reticolo cristallino. Nel caso in cui questo è del tipo cubico semplice, verificare che Ep è
trascurabile.
Soluzione: Si immagini che il cristallo sia polarizzato lungo l’asse z. In tal caso la
componente Ez (0) creata dai dipoli atomici ℘ = a3 P, posti all’interno di una sfera di
raggio Na, con “a” passo reticolare, e localizzati ai vertici a (lx̂ + mŷ + nẑ) del reticolo
cristallino sarà dato da
℘
Ez (r) = −
4πε0 a3
l2 +m2X
+n2 ≤NN 2
lmn
l2 + m2 − 2n2
(l2 + m2 + n2 )5/2
Questa somma si può facilmente calcolare utilizzando Mathematica: Clear[NN, a, b, c]; a =
IntegerP art[NN 2 − m2 − n2 ]; b = IntegerP art[NN 2 − n2 ]; c = IntegerP art[NN 2 −
m2 ]; Sum[{n, 1, NN }, Sum[{m, −b, b}, Sum[{l = −a, a}, (l2 +m2 −2n2 )/(l2 +m2 +n2 )5/2 ]]]
+Sum[{m, 1, NN}, Sum[{l, −c, c}1/((l2 + m2 )3/2 + Sum[{l, 1, NN}, 1/l3 ]]]. Si vede così
che già per NN = 3 la sommatoria risulta minore di 10−16 .
Esercizio 3.3.2. Il campo locale in un dielettrico nel punto di raggio vettore r si ottiene
isolando una sfera con centro in r e raggio abbastanza piccolo. Il campo in r è dato
dalla somma del campo medio E più quello creato dalla distribuzione di cariche sulla
superficie sferica Esup + quello prodotto dai dipoli elettrici contenuti nella sfera Ep . Mentre
il campo Esup può essere calcolato trattando il dielettrico come un mezzo continuo, Ep va
calcolato tenendo esplicitamente conto della distribuzione dei dipoli ai vertici di un reticolo
cristallino. Nel caso in cui questo è del tipo cubico semplice, verificare che Ep è nullo.
3.3 Interazioni nei cristalli
113
Soluzione: Il campo creato da un dipolo℘ in r0 è dato da
µ
¶
³
´
3
1
1
1
E (r) =
3
R̂
R̂
−
1
·℘
RR
−
∇R
·℘
=
4πε0 R5
R3
4πε0 R3
con R = r − r0 . Pertanto, il campo nel vertice del reticolo cubico R{000} = 0 è dato da
E (0) =
´
X
1 ³
1
3
R̂
−
1
·℘
R̂
{m}
{m}
3
4πε0 a3
R{m}
{m}∈V
con la somma estesa ai vertici R{lmn} ∈ V contenuti in una sfera di raggio Na con 00 a00
passo reticolare. Ne segue che il campo dipende dalla diade
´
³
X
1
Γ=
3R̂{m} R̂{m} − 1
(l2 + m2 + n2 )3/2
{m}∈V
con
lx̂ + mŷ + nẑ
R̂{m} = √
l2 + m2 + n2
Per quanto riguarda i termini fuori diagonale di Γ si ha
Γxy = 3
X
{m}∈V
lm
(l2 + m2 + n2 )3/2
©
ª
Dal momento che ad un generico vertice {lmn} ∈ V corrisponde un altro vertice ¯l, mn ∈
V Γxy risulta nullo e così per gli altri elementi fuori diagonale. D’altra parte
Γxx = 3
X
{m}∈V
l2
(l2 + m2 +
n2 )5/2
−
X
{m}∈V
1
(l2 + m2 + n2 )3/2
Per ragioni di simmetria
X
{m}∈V
l2
(l2 + m2 + n2 )5/2
=
X
m2
=
(l2 + m2 + n2 )5/2
l2 + m2 + n2
1 X
=
3
(l2 + m2 + n2 )5/2
{m}∈V
X
{m}∈V
n2
(l2 + m2 + n2 )5/2
{m}∈V
per cui Γxx = 0. Se ne evince che Γ = 0
Esercizio 3.3.3. Calcolare l’energia di interazione elettrostatica tra gli ioni del cristallo
di NaCl
Soluzione: Gli ioni del cristallo di NaCl sono disposti alternativamente ai vertici di un
reticolo cubico di costante reticolare. Ogni ione è circondato da 6 primi vicini
di carica
√
opposta a distanza a, da 12 secondi vicini aventi la stessa carica e distanti 2a e così via.
Ne discende che l’energia di un singolo ione è data da
µ
¶
e2
12
e2
8
6
V=
−6 + √ − √ + + · · · =
M
4πε0 a
4πε0 a
2
3 2
114
Interazioni elettriche e magnetiche
Figura 3.4: Geometria relativa al calcolo della costante di Madelung per un cristallo di NaCl.
con M costante di Madelung (formula di Benson)14
∞
³π √
´
X
(−1)i+j+k
p
M=
= −12π
sec h2
m2 + n2 = −1.74756
2
i2 + j 2 + k2
m,n=1,3,...
i,j,k=−∞
∞0
X
Esercizio 3.3.4. Calcolare per un cristallo di NaCl il potenziale locale in cui sono immersi i singoli ioni.
Soluzione: Gli ioni del cristallo di NaCl sono disposti alternativamente ai vertici di un
reticolo cubico di costante reticolare a. Ogni ione è circondato da 6 primi √
vicini di carica
opposta a distanza a, da 12 secondi vicini aventi la stessa carica e distanti 2a e così via.
In regioni prive di cariche il potenziale soddisfa l’equazione di Laplace ∇2 V = 0 e può
essere espanso in multipoli
¶
Xµ
1
l
V (r) =
Alm r + Blm l+1 Ylm (θ, φ)
r
lm
Se si sceglie come origine la posizione dello ione in prossimità del quale si vuole calcolare
il potenziale creato dagli altri ioni ed assi coincidenti con quelli del reticolo cristallino si
1
ha che i termini in rn+1
svaniscono e
X
Alm rl Ylm (θ, φ)
V (r) =
lm
Questo potenziale deve risultare invariato imprimendo una rotazione di π/2 attorno a z
ed una riflessione rispetto al piano xy,
³
X
X
π´
l
l
Alm r Ylm (θ, φ) =
Alm r Ylm θ, φ +
2
lm
lm
X
X
Alm rl Ylm (θ, φ) =
Alm rl Ylm (π − θ, φ)
lm
14
lm
http://mathworld.wolfram.com/BensonsFormula.html
Finch, S. R. Madelung’s Constant. §1.10 in Mathematical Constants, pp. 76-81, Cambridge University
Press, Cambridge, 2003.
3.3 Interazioni nei cristalli
115
Poichè queste uguaglianze debbono valere per ogni terna di valori di r, θ, φ deve risultare15
³
X
X
π
π´ X
=
Alm Ylm (θ, φ) =
Alm Ylm θ, φ +
Alm Ylm (θ, φ) eim 2
2
m
m
m
X
X
X
Alm Ylm (θ, φ) =
Alm Ylm (π − θ, φ) =
Alm Ylm (π, φ) (−1)l+m
m
m
m
avendo tenuto conto dell’espressione di Ylm (θ, φ) e Plm (x)
s
(2l + 1) (l − m)! m
Ylm (θ, φ) = (−1)m
Pl (cos θ) eimφ
4π (l + m)!
l+m ¡
¢l
¢
(−1)m ¡
m
2 m/2 d
1
−
x
Pl (x) =
x2 − 1
l
l+m
2 l!
dx
Ne segue che m deve risultare uguale a 0, ±4p ed l = 2q. Si avrà quindi Alm = 0 per
l = 1, 2, 3 mentre per l = 4 V (r) si riduce a
X
V (r) = V0 + r4
(A40 Y40 (θ, φ) + A44 Y44 (θ, φ) + A∗44 Y44∗ (θ, φ))
= V0 + r4
dal momento che
r
m
µ
¶
9
2
0
4
A40 P4 (cos θ) + √ A44 Pl (cos θ) cos 4φ
4π
8!
∗
Ylm̄ (θ, φ) = (−1)m Ylm
(θ, φ)
e
¢
1¡
Y40 (θ, φ) = P40 (x) =
35x4 − 30x2 + 3
8
r
r
¡
¢2
9
9
4
P4 (x) =
105 1 − x2
Y44 (θ, φ) =
4π8!
4π8!
con x = cos θ. In conclusione espandendo il potenziale fino 4 ordine in r si ha
r µ
¶
¡
¡
¢
¢ 210
9 1
4
4
2
2 2
A40 35x − 30x + 3 + √ A44 1 − x cos (4φ)
V (r) = V0 + r
4π 8
8!
Limitandosi a considerare il potenziale lungo l’asse z si ha
r
µ
¶
1
4
q
1
9
4
√
A40 =
+
+
V (x = y = 0, z) = V0 + z
4π
4πε0 a
1 + z2 1 + z 1 − z
¶
µ
1 4
q
6+ z
'
4πε0 a
2
da cui
A40
15
√
π q
=
3 4πε0 a
v. http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html
116
Interazioni elettriche e magnetiche
Lungo l’asse x
r
¶
µ
µ
¶
q
1
210
1
9 3
4
√
V (r) = V0 + x
A40 + √ A44 =
+
+
4π 8
4πε0 a
1 + x2 1 + x 1 − x
8!
¶
µ
1 4
q
6+ x
' V0 +
4πε0 a
2
4
per cui
3
√
2 π
da cui
A44
µ
3
210
A40 + √ A44
8
8!
¶
=
1 q
2 4πε0 a
√
√
π q
10 8! √
q
'
=
π
3 × 16 × 210
4πε0 a
5 4πε0 a
Esercizio 3.3.5. Calcolare la variazione di energia elettrostatica di un cristallo di NaCl
dovuta allo spostamento delle cariche dai vertici del reticolo cristallino
Soluzione: Per piccoli spostamenti dj una generica coppia di ioni in Rlmn e Rl0 m0 n0 il
relativo potenziale si modifica in potenziale crea un momento di dipolo ℘lmn = qlmn δRlmn .
Limitandosi a considerare la sola interazione con i primi vicini si ha
V (Rlmn − Rl0 m0 n0 + δRlmn − δRl0 m0 n0 )
qlmn ql0 m0 n0
1
q
=
4πε0
(X + x)2 + (Y + y)2 + (Z + z)2
dove
X = Xlmn − Xl0 m0 n0
x = δXlmn − δXl0 m0 n0
ed analogamente per le altre quantità. D’altra parte
'
1
q
(X + x)2 + (Y + y)2 + (Z + z)2
X
1
Y
Z
− 3x − 3y − 3z
R R
R
R
2X 2 − Y 2 − Z 2 2 −X 2 + 2Y 2 − Z 2 2 −X 2 − Y 2 + 2Z 2 2
x +
y +
z
+
2R5
2R5
2R5
3XZ
3XY
3Y Z
+ 5 xz +
xy
+
yz
R
R5
R5
√
dove R = X 2 + Y 2 + Z 2 . La somma dei contributi lineari estesi a tutti glio ioni del
cristallo deve annallarsi perchè la configurazione di equilibrio corrisponde ad un minimo di
W. Limitandosi inoltre a considerare l’interazione con i primi vicini si ha qlmn ql0 m0 n0 = −e2
per cui
δV (1) = −
£
X X
1 e2
2 4πε0 a3
ε
{lmn}
(δxlmn − δxl+ε,mn )2 + (δylmn − δyl,m+ε,n )2 + (δzlmn − δzlm,n+ε )2
¤
3.3 Interazioni nei cristalli
117
con ε = ±1. Per i secondi vicini del piano xy
2X 2 − Y 2 2 −X 2 + 2Y 2 2 −X 2 − Y 2 2
x +
y +
z
2R5
2R5
2R5
¢
3XY
1 ¡
+ 5 xy = 3 x2 + y 2 + z 2 + 3xy
R
2a
ed analogamente per gli altri piani. Ne discende che
δV
(2)
X X£
1 e2
=
(δxlmn − δxl+ε,m+ε0 ,n )2 + (δxlmn − δxl+ε,m,n+ε0 )2
3
4 4πε0 a
εε0
{lmn}
+ (δylmn − δyl+ε0 ,m+ε,n )2 + (δylmn − δyl,m+ε,n+ε0 )2
+ (δzlmn − δzl+ε0 ,m,n+ε )2 + (δzlmn − δzl,m+ε0 ,n+ε )2
3.3.2
Interazioni in dielettrici non omogenei
¤
Esercizio 3.3.6. Calcolare l’energia elettrostatica associata (a) ad una carica puntiforme
q in un mezzo di costante dielettrica relativa ε1 distante d da un semispazio z < 0 di
costante ε2 , (b) a due cariche poste rispettivamente nei semispazi z > 0 e z < 0, (c)
ad una generica distribuzione di cariche in z>0 e (d) ad una distribuzione che occupa
entrambi i semispazi.
Soluzione: (a) Il potenziale V (r) può essere associato per z > 0 alla carica q e ad una
carica q’ speculare di q rispetto al piano z = 0
´
( ³
q
q0
+ R2 z > 0
1
R1
V (r) =
00
ε
1 q
4πε0 ε1
z<0
ε2 R1
Imponendo le condizioni al contorno sul piano z = 0
E⊥ (r⊥ , z = 0+ ) = E⊥ (r⊥ , z = 0− )
Dz (r⊥ , z = 0+ ) = Dz (r⊥ , z = 0− )
si ottiene
q + q0 =
ε1 00
q
ε2
Ne segue che
ε2 − ε1
q
ε2 + ε1
2ε2
=
q
ε2 + ε1
q0 = −
q 00
e
q
V (r) =
4πε0 ε1
( ³
1
R1
´
1 1
− εε22 −ε
+ε1 R2
2ε1 1
z<
ε2 +ε1 R1
Pertanto su q agisce un campo elettrico
E=−
q ε2 − ε1 1
ẑ
4πε0 ε1 ε2 + ε1 (2d)2
z>0
0
118
Interazioni elettriche e magnetiche
Se si sposta q del tratto δz il campo E compie un lavoro δL pari a
δL =
q 2 ε2 − ε1 1
δz = δV
4πε0 ε1 ε2 + ε1 (2d)2
Ne segue che all’elettrone va associata un’energia potenziale
V (r) = −
q 2 ε2 − ε1 1
4πε0 ε1 ε2 + ε1 2d
(b) Nel caso di due cariche q1 , q2 poste rispettivamente in r1 , r2 l’energia di interazione
è data per z1 , z2 > 0 da
µ
¶
1 ε2 − ε1 q12
q22
V (r) = −
+
4πε0 ε1 ε2 + ε1 2d1 2d2
µ
µ
¶¶
1
2ε1
1
2ε2
1
q1 q2
+
+
−
4πε0 ε1 ε2 + ε1 |r1 − r2 | ε2 + ε1 |r01 − r2 | |r1 − r02 |
mentre per z1 , −z2 > 0
2
1
1 ε2 − ε1 q12
1 ε2 − ε1 q22
q1 q2
V (r) = −
+
−
4πε0 ε1 ε2 + ε1 2d1 4πε0 ε2 ε2 + ε1 2d2 4πε0 ε2 + ε1 |r1 − r2 |
(c) Per una generica distribuzione di cariche contenute nello spazio z > 0 si ha
Z Z
Z Z
1
ρ (r) ρ (r0 ) 3 3 0
ρ (r) ρ (r0 ) 3 3 0
1 ε2 − ε1
V =−
rd
r
+
d
d rd r
4πε0 ε1
|r − r0 |
4πε0 ε1 ε2 + ε1
|r − r00 |
con r00 = σr0 l’immagine speculare (σ) di r0 rispetto al piano z = 0
(d) mentre per una distribuzione estesa sia a z > 0 che a z < 0
Z Z
Z Z
1
ρ1 (r) ρ1 (r0 ) 3 3 0
ρ2 (r) ρ2 (r0 ) 3 3 0
1
V = −
rd
r
−
d
d rd r
4πε0 ε1
|r − r0 |
4πε0 ε2
|r − r0 |
r,r0 ∈z>0
r,r0 ∈z<0
Z Z
1 ε2 − ε1
ρ1 (r) ρ1 (r0 ) 3 3 0
+
d rd r
4πε0 ε1 ε2 + ε1
|r − σr0 |
r,r0 ∈z>0
Z Z
ρ2 (r) ρ2 (r0 ) 3 3 0
1 ε2 − ε1
−
d rd r
4πε0 ε2 ε2 + ε1
|r − σr0 |
r,r0 ∈z<0
Z Z
2
ρ1 (r) ρ2 (r0 ) 3 3 0
1
d rd r
−
4πε0 ε2 + ε1
|r − r0 |
r∈z>0,r0 ∈z<0
ovvero,
Z Z
ρ (r) ρ (r0 ) 3 3 0
2
1
V = −
d rd r
0
0
4πε0
r,r0 ε (r) + ε (r ) |r − r |
Z Z
ε (r) − ε (σr0 ) ρ (r) ρ (r0 ) 3 3 0
1
d rd r
+
0
0
4πε0
r,r0 ε (r) (ε (r) + ε (r )) |r − σr |
Esercizio 3.3.7. Una sfera dielettrica di raggio a e costante dielettrica ε1 è posta in un
liquido di costante dielettrica ε2 in cui preesisteva un campo elettrico E. Calcolare il campo
elettrico risultante all’interno ed all’esterno della sfera
3.3 Interazioni nei cristalli
119
Figura 3.5
Soluzione: Con riferimento alla Fig. (3.5) si vede facilmente che il potenziale V (r)
è invariante per rotazione intorno all’asse passante pe il centro della sfera e parallelo ad
E. Pertanto, utilizzando coordinate sferiche con centro nella sfera ed orientate secondo E
e tendendo conto che V (r) è soluzione dell’equazione di Laplace, conviene espanderlo in
armoniche sfere Yl0 (θ, φ) = Pl (cos θ) ottenendo così
Ã
!
(1)
X
q
(1)
l
V1 (r, θ) =
Ql rl + l+1
Pl (cos θ)
r
l=0
Ã
!
(2)
X
q
(2)
l
Ql rl + l+1
Pl (cos θ)
V2 (r, θ) =
r
l=0
(1)
(2)
(1)
(2)
con Ql , Ql , ql , ql
sulla sfera
costanti da determinare imponendo: (a) le condizioni al contorno
V1 (a, θ) = V2 (a, θ)
¯
¯
¯
¯
∂
∂
ε1
V1 (r, θ)¯¯
V2 (r, θ)¯¯
= ε2
∂r
∂r
r=a
r=a
(b) la condizione che V1 (r, θ) sia finito per r = 0 e (c) che per r → ∞ ∇V2 → − E . Ne
segue che
3ε2
Er cos θ
ε1 + 2ε2
¸
∙
ε2 − ε1 ³ a ´3
V2 (r, θ) = − 1 +
Er cos θ
ε1 + 2ε2 r
V1 (r, θ) = −
ovvero
3ε2
E
ε1 + 2ε2
ε2 − ε1 ³ a ´3
= −∇V2 = E+
(1 − 3r̂r̂) · E
ε1 + 2ε2 r
E1 = −∇V1 =
E2
Ne discende che il campo all’esterno si arricchisce del contributo di un dipolo elettrico
℘ = 4πε0 ε2
ε2 − ε1 3
aE
ε1 + 2ε2
120
Interazioni elettriche e magnetiche
corrispondente ad una polarizzazione
P=
℘
Vsf era
= 3ε0 ε2
ε2 − ε1
ε2 − ε1
E = αp 3
D
ε1 + 2ε2
ε1 + 2ε2
ovvero la sfera dielettrica si polarizza rispondendo ad un campo locale
Eloc = 3
ε2 − ε1
1
E=
E
ε1 + 2ε2
1 − nα3 p
Questo risultato conferma indirettamente la formula di Clausius-Mossotti16 .
Esercizio 3.3.8. Calcolare (a) il potenziale17 creato da una carica puntiforme posta a
distanza r0 da una sfera dielettrica di raggio 00 a00 , (b) la forza agente sulla carica
Soluzione: Conviene dividire lo spazio in tre regioni : I r < a, II a < r < r0 , III r0 <
r. Dal momento che il sistema è invariante per rotazione intorno all’asse passante per
l’origine e la carica conviene scegliere questo come asse z. Inoltre in un guscio sferico
privo di cariche e compreso tra r = a e r = b il potenziale è soluzione dell’equazione di
Laplace e può essere espresso nella forma
¶
Xµ
1
n
An r + Bn n+1 Pn (cos θ)
r
n
dove An e Bn sono dei generici coeﬃcienti.
Pertanto il potenziale nelle 3 regioni è espresso da:
X
VI =
An rn Pn (cos θ)
n
VII
VIII
µ ¶n
X
q X r
1
=
Pn (cos θ) +
Bn n+1 Pn (cos θ)
4πε0 r0 n r0
r
n
´
³
X
1
q X r0 n
=
Pn (cos θ) +
Bn n+1 Pn (cos θ)
4πε0 r n
r
r
n
Imponendo le condizioni al contorno sulla sfera
VI (a, θ) = VII (a, θ)
¯
¯
¯
¯
∂
∂
¯
ε VI (r, θ)¯
VII (r, θ)¯¯
=
∂r
∂r
r=a
r=a
si ha
µ ¶n
X
1
q X a
An a Pn (cos θ) =
Pn (cos θ) +
Bn n+1 Pn (cos θ)
4πε0 r0 n r0
a
n
n
¶
µ
n
X n+1
X
X
q
a
nAn an−1 Pn (cos θ) =
n
Pn (cos θ) −
Bn n+2 Pn (cos θ)
ε
4πε0 r0 a n
r0
a
n
n
X
16
17
n
v.p.e. C. Altucci et al. Eq. (10.44)
W. K. H. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, Dover Publications Inc., N.
Y. 2005
3.4 Forze di van der Waals
121
Ne discende il sistema di equazioni
n
An a
εnAn an−1
µ ¶n
1
a
q
=
+ Bn n+1
4πε0 r0 r0
a
µ ¶n
n+1
a
q
n
=
− Bn n+2
4πε0 r0 a
r0
a
da cui
An
Bn
µ ¶n
a
q
(n + 1)2
=
(1 + ε) n + 1 4πε0 r0 r0
Ã
!µ ¶
n
qan+1
(n + 1)2 an
a
−1
=
4πε0 r0 (1 + ε) n + 1
r0
(b) Una volta trovato il potenziale si ha che l’energia potenziale è data da
µ
¶
1
q2 X
V = −qVII (r0 , 0) = −
1 + Bn n+1 Pn (1)
4πε0 r0 n
r0
3.4
Forze di van der Waals
Esercizio 3.4.1. Due atomi di idrogeno suﬃcientemente distanti interagiscono tra di essi
come due dipoli (forze di Van der Waals ). Considerando come sistema imperturbato i due
atomi di idrogeno non interagenti nello stato fondamentale, calcolare perturbativamente al
secondo ordine la correzione all’energia dovuta all’interazione dipolo-dipolo (si trascurino
gli spin elettronici).
Soluzione: Sia R la distanza tra i due atomi, r1 la coordinata dell’elettrone legato
all’atomo 1 con origine nel nucleo, r2 l’analogo per l’elettrone dell’atomo 2. I momenti
di dipolo sono ℘1 = −er1 e ℘2 = −e r2 . Si usi il risultato dell’esercizio precedente. La
correzione al primo ordine è nulla mentre al secondo ordine si ricorre alla relazione di
chiusura stabilita nella teoria perturbativa. Si trova
∆E (2) '
C
R6
dove C è una costante.
Esercizio 3.4.2. Si ripeta l’esercizio precedente considerando come stato imperturbato
quello costruito con un atomo nello stato fondamentale e l’altro nel primo stato eccitato
(si trascurino gli spin elettronici).
Soluzione: Dalla teoria delle perturbazioni per stati degeneri discende
∆E ' ±
C
R3
Esercizio 3.4.3. Si consideri un atomo di idrogeno posto ad una distanza R da una
parete metallica perfettamente conduttrice. Usando il metodo delle immagini dell’elettrostatica, (a) calcolare la correzione all’energia dello stato fondamentale al primo ordine
perturbativo; (b) discutere di cosa accade al primo stato eccitato.
122
Interazioni elettriche e magnetiche
Soluzione: L’interazione tra atomo e parete è quella tra il dipolo atomico ℘ = er e
quello immagine ℘i = eri (essendo ri ≡ (x, y, −z)). Quindi dalla Eq. (??) discende
Vad = −
x2 + y 2 + 2z 2
r2
=
−
(1 + cos2 (θ)) (u.a.)
16R3
16R3
dove x, y e z sono le coordinate dell’elettrone rispetto al protone. Per lo stato fondamentale
al primo ordine si ha
1
∆E = − 3
8R
L’atomo viene attirato dalla superficie dando così luogo al fenomeno dell’adsorbimento.
(b) Per il livello degenere n = 2 conviene quantizzare la proiezione del momento angolare
lungo l’asse z. Notiamo subito che
h2p1 |Vad | 2p−1 i = h2s |Vad | 2p−1 i = h2s |Vad | 2p0 i = h2p0 |Vad | 2p±1 i = 0
mentre per i termini diagonali si ha
h2p1 |Vad | 2p1 i = h2p−1 |Vad | 2p−1 i = −
2.25
R3
3
R3
3.5
h2s |Vad | 2si = − 3
R
h2p0 |Vad | 2p0 i = −
In conclusione, il livello 4-volte degenere n = 2 si separa in tre livelli di cui quello più
elevato risulta 2-volte degenere.
Esercizio 3.4.4. Le forze di interazione di van der Waals dipendono dalla fluttuazione
quadratica media del momento di dipolo dell’atomo allo stato fondamentale. Calcolare
h℘2 i = e2 hr2 i per l’atomo di idrogeno.
Soluzione: Dalle espressioni degli elementi di matrice hnlm|r2 |nlmi risulta h100|e2 r2 |100i =
3e2 a20
Esercizio 3.4.5. Due atomi di idrogeno suﬃcientemente distanti interagiscono tra loro
come due dipoli (forze di Van der Waals). Considerando come sistema imperturbato i due
atomi di idrogeno non interagenti nello stato fondamentale, calcolare perturbativamente al
secondo ordine la correzione all’energia dovuta all’interazione dipolo-dipolo (si trascurino
gli spin elettronici).
Soluzione: Sia R la distanza tra i due atomi, r1 la coordinata dell’elettrone legato
all’atomo 1 con origine nel nucleo, r2 l’analogo per l’elettrone dell’atomo 2. I momenti
di dipolo sono ℘1 = −er1 e ℘2 = −e r2 . Si usi il risultato dell’esercizio precedente. La
correzione al primo ordine è nulla mentre al secondo ordine si ricorre alla relazione di
chiusura stabilita nella teoria perturbativa. Si trova
∆E (2) '
dove C è una costante.
C
R6
3.5 Interazioni magnetiche
123
Esercizio 3.4.6. Si ripeta l’esercizio precedente considerando come stato imperturbato
quello costruito con un atomo nello stato fondamentale e l’altro nel primo stato eccitato
(si trascurino gli spin elettronici).
Soluzione: Dalla teoria delle perturbazioni per stati degeneri discende
C
r3
Esercizio 3.4.7. Si consideri un atomo di idrogeno posto ad una distanza R da una
parete metallica perfettamente conduttrice. Usando il metodo delle immagini dell’elettrostatica, (a) calcolare la correzione all’energia dello stato fondamentale al primo ordine
perturbativo; (b) discutere cosa accade al primo stato eccitato.
∆E ' ±
Soluzione: L’interazione tra atomo e parete è rappresentata da quella tra dipolo atomico ℘ = er e immagine ℘i = eri (essendo ri ≡ (x, y, −z)). Quindi, dalla Eq. (??)
discende
x2 + y 2 + 2z 2
r2
Vad = −
=−
(1 + cos2 (θ)) (u.a.)
3
3
16R
16R
dove x, y e z sono le coordinate dell’elettrone rispetto al protone. Per lo stato fondamentale
al primo ordine si ha
1
∆E = − 3
8R
L’atomo viene attirato dalla superficie dando così luogo al fenomeno dell’adsorbimento.
(b) Per il livello degenere n = 2 conviene quantizzare la proiezione del momento angolare
lungo l’asse z. Notiamo subito che
h2p1 |Vad | 2p−1 i = h2s |Vad | 2p−1 i = h2s |Vad | 2p0 i = h2p0 |Vad | 2p±1 i = 0
mentre per i termini diagonali si ha
h2p1 |Vad | 2p1 i = h2p−1 |Vad | 2p−1 i = −
2.25
R3
3
R3
3.5
h2s |Vad | 2si = − 3
R
In conclusione, il livello 4-volte degenere n = 2 si separa in tre livelli di cui quello più
elevato risulta 2-volte degenere.
h2p0 |Vad | 2p0 i = −
3.5
3.5.1
Interazioni magnetiche
Bobine di Helmholtz
Esercizio 3.5.1. (a) Calcolare il potenziale vettore creato da una corrente18 I a forma di
anello circolare di raggio a; (b) calcolare il campo a piccola distanza ρ dall’asse z per una
18
Helmholtz-Coil
Fields
from
the
Wolfram
http://demonstrations.wolfram.com/HelmholtzCoilFields/
Demonstrations
Project
Contributed by: Franz Kraﬀt
Helmholtz Coil from the Wolfram Demonstrations Project http://demonstrations.wolfram.com/HelmholtzCoil/
Contributed by: Thomas Koeppel
124
Interazioni elettriche e magnetiche
coppia di spire coassiali con baricentri in a Z e −Z ed attraversate da correnti I uguali
circolanti in versi opposti; (c) come in b in possimità di z=0.
Soluzione: (a) Utilizzando un sistema di coordinate cilindriche coassiali alla spira
avente origine nel centro della stessa e normalizzando le lunghezze ad R (= 1) , A e B a
μ0 I si ha19
I
μ0 I ds
Aφ (ρ, z) =
4π
r
Z π
cos φ
1
p
= μ0 Ia
dφ
2π 0
z 2 + a2 + ρ2 − 2aρ cos φ
"µ
#
¶ Z π/2
Z π/2 q
ξ
dθ
μ0 I 2
p
−
1−
1 − ξ sin2 θdθ
=
2
π ξ
2
1 − ξ sin θ
0
0
¶
¶
r µµ
ξ
μ0 I a
1−
K [ξ] − E [ξ]
=
π
ρξ
2
µ
¶
r
3
75 2
μ0 I a 3/2
1+ ξ+
ξ
ξ + ···
'
32 ρ
4
128
dove
4ρa
+ (a + ρ)2
e K [ξ] , E [ξ] integrali ellittici (v. (1.46) e Fig. 1.7).
(b) Sviluppando al primo ordine rispetto a ρ si ha per la coppia di bobine (v. Fig.
3.7):
ξ=
z2
Aφ (ρ, z + Z) − Aφ (ρ, z − Z)
!
Ã
a2
1
1
ρ
−
' −μ0 I
4 (a2 + z 2 + 2zZ + Z 2 )3/2 (a2 + z 2 − 2zZ + Z 2 )3/2
= μ0 If (z, Z) ρ
(3.16)
Pertanto, posto
1 ∂
1
d
(ρAφ ) = Aφ + Aφ = 2μ0 If (z, Z)
ρ ∂ρ
ρ
dρ
I ∂
∂
Bρ = − Aφ ' −μ0 2 f (z, Z) ρ
∂z
a ∂z
(c) In prossimità del baricentro f (z, Z) si riduce a
Bz =
f (z, Z) ' −
Za2
3
z
2 (a2 + Z 2 )5/2
Ne discende che
1 ∂
1
∂
Za2
Bz =
z
(ρAφ ) = Aφ + Aφ ' −μ0 I3
ρ ∂ρ
ρ
∂ρ
(a2 + Z 2 )5/2
Bρ = −
19
Zρa2
∂
3
Aφ ' −μ0 I
∂z
2 (a2 + Z 2 )5/2
v.p.e. W. R. Smythe, Static and Dynamic Electricity, McGraw-Hill Co., N. Y. 1950 Sez. 7.10
(3.17)
3.5 Interazioni magnetiche
125
Figura 3.6: Coppia di bobine di Helmholtz
0.2
0.1
6
4
2
2
4
6
0.1
0.2
Figura 3.7: Andamento di 4a∆Aφ / (μ0 Iρ) lungo l’asse z/a di un quadrupolo costituito da due spire di
raggio a e distanti tra loro 2Z, per Z/a = 1.2, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2.
126
3.5.2
Interazioni elettriche e magnetiche
Magnetismo nei solidi
In alcuni materiali ciascun atomo possiede un momento di dipolo permanente a seguito
dell’incompleta cancellazione degli spin elettronici e/o del momento magnetico orbitale.
In assenza di un campo esterno questi momenti risultano orientati in modo disordinato
lungo tutte le direzioni. Inoltre questi dipoli non interagiscono tra loro e sono liberi
di ruotare. L’applicazione di un campo esterno produce un parziale orientamento di
questi dipoli dando così luogo al fenomeno del paramagnetismo. Allineandosi in parte col
campo esterno contribuiscono ad aumentare il campo esterno applicato dando così lugo ad
una permeabilità relativa μr maggiore di 1. Le suscettività sono comprese nell’intervallo
10−5 ÷ 10−2
3.5.3
Materiali diamagnetici
Esercizio 3.5.2. Un atomo diamagnetico non ha un momento magnetico proprio, ma
un campo esterno induce un piccolo momento diretto in verso opposto. In questi casi la
suscettività è negativa. La suscettività magnetica del Si è pari a −0.4 · 10−4 . Calcolare la
densità di flusso e la magnetizzazione in un campo H di 106 A/m
Esercizio 3.5.3. Stimare la suscettività diamagnetica del Si assumendo che gli elettroni
atomici descrivono orbite circolari di un Å
3.5.4
Materiali ferromagnetici
I materiali ferromagnetici posseggono un momento magnetico in assenza di campo esterno.
Queste proprietà sono tipiche dei metalli di transizione Fe (nella forma BCC α ferrite), Co
Ni ed alcuni metalli delle terre rare come il gadolinio (Gd). Essi presentano suscettività
magnetiche molto alte 106 I momenti magnetici permanenti nei materiali ferromagnetici
sono quelli degl termine fondamentale. Inoltre, nei ferromagneti l’accoppiamento tra spin
di atomi adiacenti produce il mutuo allineamento degli stessi. L’origine di queste forze di
accoppiamento è legata alla struttura elettronica del metallo. Si definisce magnetizzazione
di saturazione Ms il valore massimo raggiunto quando tutti i momenti atomici si allineano
col campo esterno.
Esercizio 3.5.4. Calcolare la magnetizzazione di saturazione per singolo atomo di Fe,Ni
e Co sulla base dei termini fondamentali previsti dalle regole di Hund. Discutere perchè
questi valori diﬀeriscono da quelli sperimentali Fe, Co e Ni si ha 2.22 μB (Fe) , 1.72 μB
(Co) e 0.60 μB (Ni)
Esercizio 3.5.5. Calcolare la magnetizzazione di saturazione del Ni che ha una densità
di 8.90 g/cm3
3.5.5
Equazioni di Bloch
Se indichiamo con mN il momento magnetico di un atomo, di qualunque natura esso sia,
l’energia di interazione con un campo magnetico B sarà:
Vm = −mN · B
3.5 Interazioni magnetiche
127
L’interazione con il campo farà sì che l’atomo sia sottoposto ad una forza F = −∇Vm di
trascinamento ed ad un momento T = m × B che provocherà un moto di precessione del
momento magnetico intorno alla direzione del campo magnetico B.
Lo spin I di un nucleo sottoposto ad un campo magnetico costante B0 diretto lungo
l’asse z e ad un campo oscillante 2B1 cos(ωt) diretto lungo x, eﬀettua un movimento di
precessione descritto dall’equazione
d
I = γ N I×[B0 ẑ + 2B1 cos(ωt)x̂]
dt
(3.18)
dove
gI μN
~
sta per il rapporto giromagnetico del nucleo, μN è il magnetone nucleare e gI il fattore di
Landè.
In un sistema x0 , y 0 , z 0 = z
γN =
x = x0 cos(ωt) − y 0 sin(ωt)
y = y 0 cos(ωt) + x0 sin(ωt)
rotante attorno all’asse z con velocità angolare ω la Eq. (3.18) si riduce a
d
I = I×[(ω L − ω) ẑ + γB1 x̂0 + γB1 (cos(2ωt)x̂0 + sin(2ωt)ŷ 0 )]
dt
(3.19)
(ωL = γB0 ) ovvero, lo spin risulta sottoposto ad un campo eﬃcace
Bef f =
1
(ω L − ω) ẑ + B1 x̂0
γN
costante nel tempo e ad un campo ruotante a frequenza 2ω di ampiezza B1 .
Per integrare l’equazione del moto di I si dovrebbe tener conto delle relazioni di commutazione delle tre componenti del momento nucleare. Per semplicità si immaginerà di
trattare I come una grandezza classica. Nel caso in cui ω À |ω L − ω| si può ignorare il
campo rotante, per cui I si muove eﬀettuando un movimento di precessione
I = Ix0 cos(ΩR t + ϕx0 )x̂0 + Iy0 cos(ΩR t + ϕy0 )ŷ 0 + Iz cos(ΩR t + ϕz )ẑ
attorno al vettore di Rabi
ΩR = γ N Bef f
(3.20)
e scambiando col campo oscillante la potenza
P = −~γ N B1 ·
d
I = −~γ 2N B1 · ( I×B0 ) = −2~γ 2N B0 B1 Iy (t) cos(ωt)
dt
(3.21)
D’altra parte
Iy (t) cos(ωt) = Ix0 cos(ΩR t + ϕx0 ) sin(ωt) cos(ωt) + Iy0 cos(ΩR t + ϕy0 ) cos2 (ωt)
Per una frequenza di Rabi molto più piccola di ω si può dividere P in un termine oscillante
a frequenza 2ω ed in un altro lentamente variabile
P (t) = −~γ 2N B0 B1 Iy0 cos(ΩR t + ϕy0 )
128
Interazioni elettriche e magnetiche
che descrive uno scambio periodico di energia tra lo spin ed il campo.
Che lo spin possa restituire periodicamente al campo l’energia acquisita è conseguenza
del fatto che abbiamo trascurato i fenomeni dissipativi legati all’interazione con altri spin
e col reticolo cristallino. Questi fenomeni dipendono dalla temperatura. Infatti il moto
di precessione degli spin nucleari sotto l’eﬀetto dei campi applicati perturba lo stato di
equilibrio del sistema macroscopico. Pertanto, l’equazione del moto dello spin (3.18) andrà
modificata aggiungendovi un termine che descriva la deviazione dall’equilibrio,
d
I = γI×B+Lter (I)
dt
Lter (I) avrà l’eﬀetto di ricondurre I al valore di equilibrio Ieq una volta cessata la perturbazione. Per campi non molto intensi Lter (I) può essere approssimato, come mostrato da
Felix Bloch, con termini lineari in I,
Lter (I) = −
Iz − Ieq
I⊥
ẑ −
τ long
τ tr
In altri termini, una volta cessata la perturbazione la componente longitudinale Iz (parallela al campo applicato) e trasversa I⊥ tendono esponenzialmente ai valori di equilibrio
Ieq e 0 con costanti di tempo generalmente diverse tra loro. Sia τ long che τ tr dipendono
dalla temperatura.
Pertanto, il moto dello spin è descritto dalla cosiddetta equazione di Bloch
d
Iz − Ieq
I⊥
I=−
ẑ −
+ γ N I× (B0 ẑ + 2B1 cos(ωt)x̂)
dt
τk
τ⊥
(3.22)
dove Ieq rappresenta il valore di equilibrio di I, I⊥ sta per la componente trasversa del
vettore, mentre τ k e τ ⊥ indicano rispettivamente i tempi di rilassamento spin-reticolo
e spin-spin. Questa equazione può essere utilizzata anche per analizzare l’interazione
risonante di un fascio laser con un sistema atomico a due livelli.
3.5.6
Approssimazione di onda rotante
Quando la fequenza ω è prossima alla frequenza di Larmor, si possono ignorare nella Eq.
(3.19) i termini oscillanti a frequenza 2ω, riducendo così l’equazione di Bloch (v. (3.22))
nel sistema rotante a frequenza ω ad una equazione a coeﬃcienti costanti,
d
Iz − Ieq
I⊥
I = I × ΩR −
ẑ −
dt
τk
τ⊥
(3.23)
con ΩR = (ω L − ω) ẑ + γB1 x̂0 . Ne discende che nel sistema rotante I eﬀettuerà un movimento di precessione smorzato attorno al vettore di Rabi ΩR , stabilizzandosi esponenzialmente dopo un tempo dell’ordine di τ long e τ tr sul vettore I∞ che rende nulla la derivata
d
I , (v. Eq. (3.22)), Ovvero (ω L − ω) ẑ + γB1 x̂0 ]
dt ∞
I∞ ×ΩR −
da cui
Iz∞ − Ieq
I⊥∞
ẑ −
=0
τk
τ⊥
3.5 Interazioni magnetiche
129
γτ ⊥ Ieq
B1
1 + γ 2N τ ⊥ τ k B12 + τ 2⊥ (ω L − ω)2
= τ ⊥ (ω L − ω) Iy0
Iy0 ∞ =
Ix0 ∞
(3.24)
Ne segue che nel sistema di laboratorio il vettore I∞ ruoterà a velocità ω. In particolare
Ix∞ (t) può essere espressa nella forma
Ix∞ (t) = Ieq τ ⊥ γ N B1 (χ0 cos(ωt) − χ00 sin(ωt))
00
Utilizzando l’Eq. (3.24) si può facilmente dimostrare che χ0 e χ sono rispettivamente la
parte reale ed immaginaria della suscettività complessa
1
00
χ(ω) = χ0 (ω) − iχ (ω) = −i p
1 + γ 2N B21 τ ⊥ τ k + i(ω − ωL )τ ⊥
(3.25)
Da queste considerazioni discende che la componente Ix (t) del momento nucleare
lungo l’asse della bobina di eccitazione di un apparato NMR è proporzionale al campo
magnetico oscillante B1 attraverso la suscettività generalizzata χ.
L’oscillazione a frequenza ω di Ix (t) indurrà a sua volta un potenziale
VNMR (t) = < [VNMR (ω) exp (iωt)]
ai capi della bobina di eccitazione del campione pari a
³
´
00
VNMR (ω) = iLNMR ω χ0 (ω) − iχ (ω) I (ω)
con LNMR un coeﬃciente di proporzionalità dipendente dal numero di momenti nucleari
coinvolti nella risonanza e con
I(t) = < [I (ω) exp(iωt)]
l’ampiezza della corrente che circola nella bobina. Pertanto, ai morsetti A e B del circuito
di eccitazione (vedi Fig. (??)) si vedrà un’impedenza pari a
³
³
´´
00
0
Z (ω) = iω Lbobina + LNMR χ (ω) − iχ (ω)
00
dove Lbobina indica l’induttanza in assenza di risonanza nucleare. Notiamo che χ risulta
massima alla risonanza, che presenta una larghezza pari a Γ = 1/τ ⊥ (v. Fig. (3.8).
Questo tipo di risonanza, tipico di molti fenomeni di interazione tra radiazione e materia,
è caratterizzata da una suscettività complessa della forma
00
χ0 (ω) − iχ (ω) ∝ −i
1
1 + i(ω − ω r )τ
Nota 3.5.6. La relativa riga di assorbimento è chiamata Lorentziana.
Per variare la larghezza Γ della risonanza si deve modificare il tempo di rilassamento
spin-spin. A tal fine si usa sciogliere nell’acqua dei sali di ferro. I momenti magnetici
130
Interazioni elettriche e magnetiche
Figura 3.8: Parte reale ed immaginaria della suscettività di un campione in prossimità di una risonanza
nucleare. In basso è riportato il circuito equivalente visto ai morsetti A e B della bobina di eccitazione
indicata nel precedente schema dell’apparato.
dispersi nell’acqua si termalizzano rapidamente e, interagendo coi protoni, finiscono per
termalizzare rapidamente quest’ultimi.
Utilizzando questa espressione della suscettività si ottiene facilmente la potenza assorbita
1
P (ω) = ~γ N τ ⊥ ωB21 Ieq χ00 (ω)
2
Si vede dunque che per eﬀetto dei rilassamenti la potenza media scambiata non oscilla
00
più alla frequenza di Rabi. Essa presenterà una dipendenza da ω simile a quella di χ (ω).
Esercizio 3.5.7. Discutere il moto di una grandezza vettoriale L descritta dall’Hamiltoniana
H=L·N
in cui N è un vettore costante
Esercizio 3.5.8. Partendo dall’esercizio precedente analizzare il caso in cui l’hamiltoniana della grandezza vettoriale L sia della forma
H = L· (N + M cos (Ωt))
dove M è un vettore perpendicolare a N e di ampiezza molto piccola rispetto a quest’ultimo. Considerare il caso in cui Ω sia prossimo alla frequenza di precessione di L attorno
ad N .
Esercizio 3.5.9. Si consideri un elettrone che descrive un’orbita circolare di raggio “a”
con velocità ω attorno all’origine di un sistema K di assi cartesiani X, Y, Z. Il momento
angolare L (costante) della particella forma un angolo α con ẑ. Calcolare il momento
agolare nel sistema di laboratorio KL (x,y,z) che ruota con velocità angolare ω L (¿ ω)
attorno a Ẑ.
Soluzione: In un sistema cartesiano K 0 (ξ, η, ς) ottenuto ruotando K attorno all’origine
facendo coincidere l’asse ς con L̂ l’orbita dell’elettrone è descritta dalle equazioni
ξ = a cos (ωt)
η = a sin (ωt)
ζ = 0
3.5 Interazioni magnetiche
131
Ne discende che passando da K 0 ad K
X = ξ = a cos (ωt)
Y = cos α η + sin α ς = a cos α sin (ωt)
Z = − sin α η + cos α ζ = −a sin α sin (ωt)
e da K a KL
x = cos (ω L t) X + sin (ωL t) Y = a cos (ω L t) cos (ωt) + a cos α sin (ω L t) sin (ωt)
1
1
(1 − cos α) a cos [(ω + ωL ) t] + (1 − cos α) a cos [(ω − ω L ) t]
=
2
2
2 1
2 1
= a sin α cos [(ω + ωL ) t] + a cos α cos [(ω − ω L ) t]
2
2
y = − sin (ω L t) X + cos (ω L t) Y = −a sin (ω L t) cos (ωt) + a cos α cos (ωL t) sin (ωt)
1
1
= −a sin2 α sin [(ω + ω L ) t] + a cos2 α sin [(ω − ωL ) t]
2
2
z = Z = −a sin α sin (ωt)
Pertanto,
µ
¶
Lx
y ż − z ẏ
2 1
2 1
=
= − − sin α sin [(ω + ω L ) t] + cos α sin [(ω − ω L ) t] ω sin α cos (ωt)
ma2
a2
2
2
µ
¶
2 1
2 1
+ sin α sin (ωt) − sin α (ω + ω L ) cos [(ω + ω L ) t] + cos α (ω − ωL ) cos [(ω − ω L ) t]
2
2
1
1
= ω sin2 α sin α cos (ωt) sin [(ω + ωL ) t] − ω cos2 α sin α cos (ωt) sin [(ω − ω L ) t]
2
2
1
− (ω + ω L ) sin2 α sin α sin (ωt) cos [(ω + ωL ) t]
2
1
+ (ω − ω L ) cos2 α sin α sin (ωt) cos [(ω − ωL ) t]
2
= Lx,ωL sin (ω L t) + Lx,2ω+ωL sin ((2ω + ω L ) t) + Lx,2ω−ωL sin ((2ω − ω L ) t)
dove
Lx,ωL = (ω − ω L cos α) sin α
¶
µ
1
1
ω − ω L sin2 α sin α
Lx,2ω+ωL =
2
2
1
1
ω L sin2 α sin α
Lx,2ω−ωL =
2
2
132
Interazioni elettriche e magnetiche
Espressioni analoghe valgono per Ly mentre
=
=
=
=
Lz
xẏ − y ẋ
=
ma2
a2
µ
¶
2 1
2 1
sin α cos [(ω + ω L ) t] + cos α cos [(ω − ω L ) t]
2
2
¶
µ
2 1
2 1
× − sin α (ω + ωL ) cos [(ω + ω L ) t] + cos α (ω − ω L ) cos [(ω − ω L ) t]
2
2
¶
µ
2 1
2 1
+ − sin α sin [(ω + ω L ) t] + cos α sin [(ω − ωL ) t]
2
2
¶
µ
2 1
2 1
× sin α (ω + ωL ) sin [(ω + ω L ) t] + cos α (ω − ωL ) sin [(ω − ωL ) t]
2
2
1
1
− sin4 α (ω + ω L ) cos2 [(ω + ω L ) t] + cos4 α (ω − ω L ) cos2 [(ω − ω L ) t]
2
2
1 2
− sin αω L cos [(ω + ω L ) t] cos [(ω − ω L ) t]
2
1
1
− sin4 α (ω + ω L ) sin2 [(ω + ωL ) t] + cos4 α (ω − ωL ) sin2 [(ω − ωL ) t]
2
2
1 2
+ sin αωL sin [(ω + ωL ) t] sin [(ω − ω L ) t]
2
1
1
1
− sin4 α (ω + ω L ) + cos4 α (ω − ω L ) − sin2 αω L cos (2ωt) cos (2ω L t)
2
2
2
Lz,0 + Lz,2ω+2ωL cos (2 (ω + ωL ) t) + Lz,2ω−2ωL cos (2 (ω − ω L ) t)
In conclusione il momento angolare dell’elettrone in KL può essere decomposto in componenti oscillanti a varie frequenze
LL = LLz,0 +LL⊥,ωL +LL⊥,2ω+ωL + LL⊥,2ω−ωL + LLz,2ω+2ωL + LLz,2ω−2ωL
In particolare, ignorando le componenti oscillanti ad alte frequenze si vede che LL ' Lz,0 +L⊥,ωL
eﬀettua una precessione intorno all’asse z a frequenza ω L . Inoltre la componente lungo z
presenta due componenti
µ
¶
1 + cos2 α
2
LLz,0 = ma cos α ω −
ωL
2
di cui la prima è legata al moto in K mentre la seconda rappresenta il contributo della rotazione di KL rispetto ad K. In conclusione il passaggio ad un riferimento rotante implica
2α
la precessione di L e l’aggiunta di una compnente costante −ma2 1+cos
ωL dipendente sia
2
dalla velocità di rotazione ωL che dall’inclinazione di L rispetto a ω L , ovvero l’elettrone
acquista un momento angolare pari a
∆LLz = −I⊥ ωL ẑ
dove

®
1 + cos2 α
= m x2 + y 2
2
rappresenta il momento di inerzia medio dell’elettrone rispetto all’asse z.
I⊥ = ma2
3.5 Interazioni magnetiche
133
Esercizio 3.5.10. Si consideri una insieme di elettroni che muovendosi in un campo centrale descrivono orbite circolari di raggio a, con velocità angolari ω e comunque orientate
attorno ai rispettivi nuclei. Applicando ora un campo magnetico costante ed uniforme
B diretto lungo z, si induce una precessione delle orbite. Si calcoli il momento angolare
medio. Si utilizzino le conclusioni dell’esercizio precedente ed il teorema di Larmor.
Soluzione: Dal teorema di Larmor discende che il moto degli elettroni in presenza di
B coincide con quello senza campo in un sistema O che ruoti con velocità ωL rispetto
al laboratorio OL . In O abbiamo quindi un insieme di orbite di raggio a, descritte con
velocità angolare ω con momento angolare costante e comunque diretto diretto rispetto a
B. Ne discende che il momento angolare medio risulta nullo, hLi = 0. Passando da O a
OL LL diﬀerisce da L del termine −ma2 12 (1 + cos2 α) ωL B̂ e si ha
h∆LL i = −ma2
3.5.7
®¢

1¡
2
1 + cos2 α ω L B̂ = −ma2 ω L B̂
2
3
Accoppiamento spin nell’NMR
Esercizio 3.5.11. Si calcoli la suscettività magnetica χ di un insieme di elettroni che si
muovono attorno ai rispettivi nuclei.
Per calcolare χ si deve calcolare la magnetizzazione M indotta da un campo magnetico
B. Essa è proporzionale alla variazione h∆LL i indotta da B (v. esercizio precedente)
e
attraverso il fattore giromagnetico 2m
M=
2
N e
N
N e
m=−
Z h∆LL i = −
Zma2 ω L B̂ = −χB
V
V 2m
V 2m
3
dove Z sta per il numero di elettroni per atomo. Pertanto la suscettività diamagnetica
sarà data da
N e2  2 ® 2
χ=−
Z a
V 6m
3
Esercizio 3.5.12. Calcolare l’eﬀetto sulla risonanza di un nucleo di spin |2 posto in r1 , la
vicinanza di un altro nucleo di spin |2 in r2 , e distante r12 = |r2 − r1 |. Assumere il vettore
r12 = r2 − r1 perpendicolare al campo magnetico B0 (asse z) e supporre che i due nuclei
presentino spostamenti chimici diversi. Dall’entità dello sdoppiamento della risonanza
dedurre la distanza r12 .
Soluzione: Il modo più semplice per studiare questo sistema è quello di partire dalla
hamiltoniana:
H = γ~(1 − σ 1 )B0 · I1 + γ N ~(1 − σ 2 )B0 · I2 +
μ0 1 2 2
γ N ~ [I1 · I2 − 3 (I1 · r̂12 ) (I2 · r̂12 )]
3
4π r12
≡ H0 + ξ (r12 ) V
essendo μ0 la permeabilità del vuoto,
ξ (r12 ) = −
μ0 1 2 2
γN ~
3
4π r12
134
Interazioni elettriche e magnetiche
e
V = I1 · I2 − 3 (I1 · r̂12 ) (I2 · r̂12 )
1
3
= I1z I2z + (I1+ I2− + I1− I2+ ) + (I1+ I2+ + I1− I2− )
4
4
avendo introdotto le componenti I± dello spin nucleare20 . Ponendo ω 1 = 12 γ N (1 − σ 1 )B0
e ω2 = 12 γ N (1 − σ 2 )B0 , ¯e, nell’ipotesi
che ¯ω1 > ®ω 2 si introducono
¯
¯
®
® gli autostati
® di H0 di
energia crescente |1i = ¯− 12 , − 12 , |2i = ¯− 12 , 12 , |3i = ¯ 12 , − 12 , |4i = ¯ 12 , 12 . Pertanto,
(H0 + V) /~ avrà la forma
⎤
⎡
−ω 1 − ω 2 + A
0
0
B
⎥
⎢
0
−ω 1 + ω 2 − A
C
0
⎥
⎢
⎦
⎣
0
C
ω1 − ω2 − A
0
B
0
0
ω1 + ω2 + A
Per V suﬃcientemente debole gli autovalori si possono calcolare perturbativamente21 .
20
21
v.p.e. C. Altucci et al. loc. cit. pag. 120 Appendice F, Eq. (F.3)
per r̂12 orientato arbitrariamente rispetto a B si può consultare [?], vol. II , “Interazione dipolo-dipolo
tra due spin 1/2”, p. 1110
Capitolo 4
Teoria delle orbite
4.1
Lagrangiana ed Hamiltoniana
In meccanica analitica il moto di un generico sistema viene descritta come quella traiettoria qi (t) , q̇i (t), con i = 1, 2, . . . associato ai vari gradi di libertà, che rende stazionario
l’integrale di azione
Z t2
A=
L [qi (t) , q̇i (t) , t] dt
(4.1)
t1
dove L [qi (t) , q̇i (t) , t] sta per la Lagrangiana. Prendendo in considerazione piccole variazioni delle coordinate e delle velocità ed imponendo il principio di minima azione si
ottengono le equazioni di Eulero-Lagrange:
d ∂
∂
−
=0
dt ∂ q̇i ∂qi
(4.2)
La dinamica di una carica puntiforme q di massa m in un campo e.m. è descritta
dall’equazione del moto
q
d
(γv) = (E + v × B)
(4.3)
dt
m
con
1
γ=p
1 − v 2 /c2
il fattore relativistico. Dalla (4.3) discende l’equazione dell’energia
mc2
d
γ = qE · v
dt
(4.4)
Esprimendo i campi mediante i potenziali vettore A (r, t) e scalare V (r, t) il moto è
retto dalla Lagrangiana
1
(4.5)
L = − mc2 + q (v · A − V )
γ
o equivalentemente dall’Hamiltoniana H legata a L dalla trasformazione di Legendre:
H = v · p − L = γmc2 + qV
(4.6)
dove p sta per il momento canonico
p = ∇v L = γmv + qA
135
(4.7)
136
Teoria delle orbite
Esercizio 4.1.1. Verificare che dall’espressione (7.17) discende la formula (4.3) della
forza di Lorentz. Si tenga conto che d/dt = ∂/∂t + v · ∇ + v̇ · ∇v
Esercizio 4.1.2. Si dimostri che due Lagrangiane che diﬀeriscono per una funzione del
tipo dtd Λ, con Λ (r, v, t) una generica funzione, descrivono lo stesso moto
Soluzione: Posto
L0 = L +
si ha per l’azione A0 associata a L0
Z t2
Z
0
0
A =
L dt =
d
Λ
dt
t2
Z
t2
d
Λdt
t1
t1
t1 dt
= A + Λ [r (t2 ) , v (t2 ) , t2 ] − Λ [r (t1 ) , v (t1 ) , t1 ]
0
L dt +
ovvero A0 diﬀerisce da A per una costante. Ne discende che un estremale di A0 coincide
con quello di A, ovvero i due moti sono coincidenti.
Esercizio 4.1.3. Dimostrare che applicando al 4-potenziale Aμ della Lagrangiana (??)
la trasformazione di gauge Aμ → Aμ + ∂ μ Λ, con Λ (xμ , t) una generica funzione tale che
∂μ ∂ μ Λ = 0, si ottengono le stesse equazioni del moto per una carica puntiforme
Soluzione: La trasformazione di gauge modifica la Lagrangiana di partenza L in
µ
¶
∂
d
0
Λ=L−q Λ
L =L+q v·∇−
∂t
dt
che diﬀerisce da L per una derivata totale . Pertanto, in vista del precedente esercizio le
equazioni del moto restano immutate.
Esercizio 4.1.4. Si consideri un elettrone relativistico in un campo magnetico statico.
(a) Dimostrare che il fattore γ è un integrale del moto; (b) esprimere γ = γ (r, p) in
funzione delle variabili coniugate r, p; (c) analizzare il movimento in un campo magnetico
uniforme
Soluzione: (a) In vista di (??) in assenza di un campo elettrico H è data da
H = γme c2
dove
1
γ=p
1 − β2
Poichè γ è proporzionale a H, questi commutano tra loro
{γ, H} = 0
Ne segue che γ è un integrale del moto.
(b) In vista della (4.7)
p + eA = me γv
4.1 Lagrangiana ed Hamiltoniana
si ha
137
1
γ=r
´2
³
|p+eA|
1 − me γc
Ne discende che
γ=
e H si può riscrivere nella forma
s
1+
µ
|p + eA|
me c
¶2
q
H = (me c2 )2 + c2 |p + eA|2
(4.8)
(c) Trattandosi di campi statici e privi di cariche elettriche il potenziale vettore soddisfa
nella gauge di Lorentz, coincidente con quella di Coulomb, la condizione
∇·A=0
Per B uniforme e diretto lungo ẑ A può essere posto uguale a
1
A=− r×B
2
dimodochè la Lagrangiana è data da (v. Eq. (7.17))
1
1
L = − me c2 + ev · (r × B)
γ
2
1
1
= − me c2 − eB · (r × v)
γ
2
Scegliendo un sistema di coordinate cilindriche con l’asse z parallelo a B si ha:
h
³
´i
1
1
2
L = − me c − eB · ρρ̂ × ρ̇ρ̂ + ρφ̇φ̂
γ
2
1
1
= − me c2 − eBρ2 φ̇
γ
2
Pertanto, le equazioni di Eulero-Lagrange assumono la forma
d ∂
L = 0
dt ∂¶ż
µ
d ∂
∂
−
L = 0
dt ∂ ρ̇ ∂ρ
d ∂
L = 0
dt ∂ φ̇
D’altra parte
∂ 1
me c2
∂ ż γ
∂ 1
me c2
−
∂ ρ̇ γ
∂ 1
me c2
−
∂ρ γ
∂ 1
me c2
−
∂ φ̇ γ
−
= γme ż
= γme ρ̇
2
= γme ρφ̇
= γme ρ2 φ̇
138
Teoria delle orbite
Figura 4.1: Traiettorie spiraliformi di ioni ed elettroni in un campo magnetico uniforme
per cui
γme z̈ = 0
2
γme ρ̈ − γme ρφ̇
µ
d
γme ρ2 φ̇ +
dt
Per
φ̇ =
+ eBρφ̇ = 0
¶
1
2
= 0
eBρ
2
eB
≡ ωc
γme
con ωc frequenza di ciclotrone, si ha
ρ̈ = ρ̇ = 0
Pertanto, se si sceglie un sistema di coordinate cilindriche tali che a t = 0 la velocità
dell’elettrone sia pari a
(4.9)
v⊥ = ω c ẑ × r (0)
questo descrive sul piano x-y una circonferenza di raggio |r (0)| con velocità angolare ωc
Esercizio 4.1.5. Si consideri un elettrone non relativistico che si muove (a) in un campo
magnetostatico costante del tipo B = B (x, y) ẑ, (b) in un campo magnetostatico associato
in un sistema di coordinate cilindriche (ρ, φ, z) ad un potenziale vettore A = (0, Aφ (ρ) , 0),
(c) come per (b) con Aφ (ρ) = const
p
Soluzione: In tutti i tre casi sia vk che v⊥ = vx2 + vy2 sono costanti. (a) La proiezione
della traiettoria (v. Fig. 4.1) sul piano x, y perpendicolare al campo B presenta un raggio
di curvatura pari a:
v⊥
ρ (x, y) =
ω c (x, y)
4.1 Lagrangiana ed Hamiltoniana
139
dove
eB (x, y)
me
rapresenta la girofrequenza locale. D’altra parte si ha
ω c (x, y) =
dvx
dvy
= ωc (x, y) vy ,
= −ωc (x, y) vx
dt
dt
(4.10)
(b) Se in coordinate cilindriche (ρ, φ, z) il potenziale vettore è dato da A = (0, Aφ (ρ) , 0)
risulta
1 d
Bz (ρ) =
(ρAφ (ρ))
ρ dρ
per cui
eBz (ρ)
ω c (ρ) =
me
ovvero la forza di Lorentz è data da
³
´
FL = eBz (ρ) ρφ̇ρ̂ + ρ̇φ̂
³
´
= me ω c (ρ) ρωc (ρ) ρ̂ + ρ̇φ̂
2
D’altra parte, muovendosi l’elettrone in un campo magnetostatico v⊥
risulta constante,
ovvero
2
ρ̇2 + ρ2 ω 2c (ρ) = v⊥
Ne discende che
ovvero
φ̇
dφ
ωc
= =p 2
dρ
ρ̇
v⊥ − ρ2 ω 2c
Z ρ
ω c (ρ0 )
p
φ (ρ) =
dρ0
2
v⊥
− ρ02 ω2c (ρ0 )
mentre il tempo sarà dato da
t=
Z
ρ
Ne segue che ρ soddisfa il vincolo
dρ0
p
2
v⊥
− ρ02 ω2c (ρ0 )
v⊥ ≥ |ρωc (ρ)|
(c) Per Aφ (ρ) = const si ha
1
Aφ
ρ
1
e
ω c (ρ) =
Aφ
me ρ
µ
¶
ρ0
e
vφ (ρ) = − Aφ 1 −
me
ρ
Bz (ρ) =
D’altra parte
2
vφ2 (ρ) + vρ2 (ρ) = v⊥
(4.11)
140
Teoria delle orbite
Figura 4.2: Traiettorie dell’elettrone relative ai casi a, b e c.
In vista del vincolo (4.11) deve risultare
¯
¯
¯
¯
ρ
e
0
v⊥ ≥
|Aφ | ¯¯1 − ¯¯
me
ρ
Si potranno quindi distinguere 3 casi a,b, e c . a e b corrispondono alla condizione
v⊥ ≥ mee |Aφ | mentre c corrisponde a mee |Aφ | ≥ v⊥ . A sua volta a e b corrispondono
rispettivamente a ρ0 > 0 e ρ³
0 < 0. Nel
´ casi a e b ρmin ≤ ρ < ∞ con ρmin definito
eAφ
ρ0
rispettivamente da v⊥ = me 1 ∓ ρ
. Nel caso c la traiettoria si sviluppa lungo il
min
centro guida ρ = ρ0 (v. Fig. 4.2)
Esercizio 4.1.6. Calcolare l’orbita di una particella di carica q e massa m che, partendo da condizioni di riposo si muove in un campo magnetico uniforme B con sovrapposto un campo elettrico costante ed uniforme E perpendicolare al primo. Si suggerisce di
decomporre il movimento in una rotazione attorno a B + un movimento di deriva1
Esercizio 4.1.7. Si discutano le equazioni del moto di una particella carica che si muova
nel campo creato da un potenziale del tipo2 A = (0, Aφ (ρ, z, t) , 0)
Soluzione: Dalle equazioni di Hamilton-Jacobi discendono le seguenti equazioni del
moto dei momenti canonici in coordinate cilindriche
q ∂
φ̇ (ρAφ )
m ∂ρ
µ
¶
∂
q
∂
1 ∂
=
− − vz
− ρ̇
ρ Aφ
m
∂t
∂z
ρ ∂ρ
q
∂
=
ρφ̇ Aφ
m ∂z
(ṙ)ρ =
(ṙ)φ
(ṙ)z
1
2
Contributed by: Jeﬀ Bryant and Oleksandr Pavlyk, Charged Particle in Uniform Electric and Magnetic
Fields from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/ChargedParticleInUniformElectricAndMagneticFields/
v.p.e. E. Persico, E. Ferrari & S. E. Segre, Principles of Particle Accelerators, Benjamin, N. Y. 1968,
Sez. 3.2
4.1 Lagrangiana ed Hamiltoniana
141
da cui
q ∂
2
φ̇ (ρAφ ) + ρφ̇
m ∂ρ
µ
¶
∂
1 ∂
q ∂
+ ż
+ ρ̇
ρ Aφ − 2ρ̇φ̇
φ̈ = −
m ∂t
∂z
ρ ∂ρ
∂
q
ρφ̇ Aφ
z̈ =
m ∂z
ρ̈ =
(4.12)
o passando alle componeti del momento
p = mṙ + qA
si ha:
∂
2
Aφ + mρφ̇
∂ρ
Aφ
− mρ̇φ̇
= −q ρ̇
ρ
∂
= qρφ̇ Aφ
∂z
ṗρ = qρφ̇
ṗφ
ṗz
In particolare per la quantità
p = ρpφ
si ha
ṗ = ρ̇pφ + ρṗφ
´ q A
³
φ
= ρ̇ ρφ̇ + qAφ − ρρ̇
− ρρ̇φ̇
m
ρ
= 0
ovvero p è una costante del moto.it
Introducendo ora la funzione
F (ρ, z, t, p) = pφ − qAφ
le Eqq. (4.12) si possono riscrivere nella forma
1
F
m
1 ∂
ρ̈ = − F F
m ∂ρ
1 ∂
z̈ = − F F
m ∂z
ρφ̇ =
4.1.0.1
Oscillazioni di betatrone
Esercizio 4.1.8. Si discutano le equazioni del moto di una particella carica che si muova
nel campo magnetico rappresentato in Fig. (4.3). In particolare si discutino (a) le oscillazioni del raggio di un’orbita circolare che si sviluppa su un piano meridiano e (b) le
oscillazioni della quota z
142
Teoria delle orbite
Figura 4.3: Configurazione del campo tra i magneti di un ciclotrone. La curvatura delle linee di campo
sulla periferia produce una utile focalizzazione delle particelle (da M. Raiser, Theory and Design of
Charged Particle Beams, J. Wiley N. Y. 1994 Fig. 3.17)
Soluzione: In questo caso si possono utilizzare le equazioni del moto dell’esercizio
precedente ignorando la dipendenza dal tempo di Aφ
q ∂
2
φ̇ (ρAφ ) + ρφ̇
m ∂ρ
µ
¶
∂
1 ∂
q
+ ρ̇
ρ Aφ − 2ρ̇φ̇
ż
φ̈ = −
m
∂z
ρ ∂ρ
q
∂
z̈ =
ρφ̇ Aφ
m ∂z
ρ̈ =
ovvero
q
2
ρφ̇Bz + ρφ̇
m
q
φ̈ = − (żBρ + ρ̇Bz ) − 2ρ̇φ̇
m
q
ρφ̇Bρ
z̈ =
m
ρ̈ =
(a) Limitandosi a considerare la traiettoria relativa al piano meridiano (z = 0 e
Bρ = 0) il sistema si riduce a
³q
´
ρ̈ = ρφ̇
Bz + φ̇
m
q
φ̈ = − (żBρ + ρ̇Bz ) − 2ρ̇φ̇
m
D’altra parte essendo γ costante si ha
2
ρ2 φ̇ + ρ̇2 = v2 = const
(4.13)
∂
A
∂z φ
=
4.1 Lagrangiana ed Hamiltoniana
Ne discende che
143
q
ρ̈ = −
m
Ignorando ρ̇ rispetto a v si ha
q
v2
v 2 − ρ̇2 Bz +
ρ
ρ̈ = −
qv
v2
Bz +
m
ρ
Questo sistema ammette una soluzione ρ = ρ0 e φ̇ = φ̇0 con
φ̇0 = −
q
Bz0
m
Bz0 = Bz (ρ0 ) . Sviluppando rispetto a questa traiettoria la primo ordine in ρ−ρ0 ponendo
ρ = ρ0 + δρ
0
δρ
Bz = Bz0 + Bz0
le equazioni del moto si riducono a
δρ̈ = −
³ qv
m
0
Bz0
−
ω2c
´
δρ
(4.14)
ovvero δρ oscilla con una frequenza angolare ω r , detta di betatrone, pari a
√
ωr = ωc0 1 − n
dove
n=
qρ0 0
ρ
0
Bz0 = 0 Bz0
mω c
Bz0
prende il nome di indice di campo.
(b) Fuori del piano meridiano si ha
∂Bρ
∂Bρ
δρ +
δz
∂ρ
∂z
Bρ (ρ, z) =
D’altra parte essendo ∇ × B = ∇ · B = 0 si ha
∂Bz
∂Bρ
=
∂z
∂ρ
∂
∂Bz
1 ∂
(ρBρ ) = Bρ + Bρ = −
ρ ∂ρ
∂ρ
∂z
Pertanto
∂Bρ
δz = Bz0 δz
∂z
Per quanto riguarda l’equazione del moto di z:
Bρ (ρ, z) =
δz̈ =
q
ρ φ̇ B 0 δz
m 0 0 z
Ne discende che δz oscilla verticalmente con un frequenza angolare pari a
√
ω r = ω c0 n
Le Eq.. (4.14) e (4.15) son note come equazioni di Kert-Siebert.
(4.15)
144
4.2
Teoria delle orbite
Lagrangiana covariante
L’integrale di azione (4.1) non è invariante rispetto a trasformazioni di Lorentz. In un
formalismo covariante va sostuito con una quantità scalare, ovvero invariante rispetto a
trasformazioni di Lorentz. Per una carica puntiforme si dimostra che3 :
!
Z s2 Ã r
dxα dxβ q dxα
mc gαβ
(4.16)
+
Aα ds
A=−
ds ds c ds
s1
dove s (τ ) è una funzione monotona del tempo proprio (v. Eq. (2.1))
c2 dτ 2 = −gαβ dxα dxβ
(4.17)
Esercizio 4.2.1. Riscrivere le equazioni di Eulero-Lagrange in forma covariante
Soluzione: Dalla (4.16) discende per la Lagrangiana l’espressione4
r
dxα dxβ q dxα
Lcov = −mc −gαβ
−
Aα
ds ds c ds
(4.18)
che si comporta come uno scalare. D’altra parte le Eqq. (4.2) si modificano in
!
Ã
∂
d
∂
¡ α ¢ − α Lcov = 0
ds ∂ dx
∂x
ds
Sostituendo Lcov con l’espressione (4.18) si ha
∂
∂
mc
¡ dxα ¢ Lcov = q
α dxβ
ds
−gαβ dx
ds ds
α
Facendo tendere s (τ ) a τ si ha −gαβ dx
dτ
∂
∂
ovvero Lcov tende a
¡ dxα ¢ Lcov
dτ
dxβ
dτ
¶
µ
1 ∂
dxα dxβ
q
¡ dxα ¢ gαβ
− Aα
2 ∂ ds
ds ds
c
= c2 per cui
¶
µ
dxα dxβ
∂
q
1
− Aα
= m ¡ dxα ¢ gαβ
2 ∂ dτ
dτ dτ
c
1
dxα dxβ q dxα
Lcov = mgαβ
−
Aα
2
dτ dτ c dτ
(4.19)
Esercizio 4.2.2. Il moto dell’elettrone che orbita attorno ad un nucleo di carica Z si può
descrivere o nel sistema di riferimento proprio KP (t) , o in quello di laboratorio KL . Al
tempo τ /c che vede scorrere un osservatore solidale con KP (t) si dà il nome di tempo
proprio. (a) Scrivere la Lagrangiana covariante; (b) Ricavare l’orbita descritta da un
elettrone
3
4
v.p.e. J. D. Jackson, loc.cit.pag. 80, Sez. 12.1; Barut, loc.cit.pag. 56, Sez. II.2
v.p.e. J. D. Jackson loc.cit.pag. 80, Eq. (12.31); Barut, loc.cit.pag. 56, Sezz. II.2 e II.3
4.2 Lagrangiana covariante
145
Soluzione: (a) L’elettrone si muove nel potenziale Coulombiano
VN = −
con
α=
α~cZ
e2 Z
=−
4πεo r
r
e2
1
=
,
4πε0 ~c
137.035989
(4.20)
costante di struttura fine, ed è descritto dalla Lagrangiana covariante (4.19) In particolare
utilizzando coordinate sferiche si ha per un’orbita equatoriale. Ne discende che
Ã
!
2
2 2
φ̇
+
r
1
ṙ
+V N ṫ
Lcov = me c2 ṫ2 −
2
c2
e con r, φ le coordinate polari nel piano dell’orbita
(b) Dalle equazioni del moto
µ
¶
d ∂
∂
−
Lcov
dτ ∂ ṙ ∂r
¶
µ
d ∂
∂
Lcov
−
dτ ∂ φ̇ ∂φ
µ
¶
d ∂
∂
Lcov
−
dτ ∂ ṫ ∂t
descritta.
= 0,
= 0,
= 0,
discende che:
VN
d
2
ṙ − rφ̇ +
ṫ = 0 ,
dτ
me r
d ³ 2 ´
r φ̇ = 0 ,
¶
µ dτ
d
VN
+ ṫ
= 0,
−
dτ
me c2
Questo sistema è caratterizato dai due integrali del moto:
me r2 φ̇ = ~k ,
−
VN
+ ṫ = A ,
me c2
Pertanto utilizzando la trasformazione
d
~k 1 d
=
dτ
me r2 dφ
e sostituendo r con u = 1/r si ottiene
Ã
µ
¶2 !
d2
1
Zα
u=
,
2u + 1 −
k
a (1 − 2 )
dφ
(4.21)
146
Teoria delle orbite
Figura 4.4: Moto a rosetta di un elettrone in un’orbita ellittica di Bohr. Dopo una rivoluzione completa
2
attorno al nucleo l’asse maggiore risulta ruotato di un angolo ∆φ = π (αZ/k) , con α costante di struttura
fine.
4.2 Lagrangiana covariante
con
Integrando si ottiene
147
³ m ´2 V
1
e
N
=
A.
a (1 − 2 )
~k me u
1
=
r
µ q
¶
¡ Zα ¢2
1 + cos φ 1 − k
a (1 − 2 )
,
(4.22)
Si vede quindi che l’elettrone descrive un moto a rosetta (v. Fig. 4.2.2), con orbite ellittiche di eccentricità ed asse maggiore a ruotante. Per una rotazione completa dell’elettrone attorno al nucleo, corrispondente ad un incremento di φ pari a 2π, l’asse maggiore
ruota dell’angolo
⎞
⎛
s
¶2
¶2
µ
µ
Zα ⎠
Zα
⎝
δφ = 2π 1 − 1 −
'π
k
k
4.2.1
Eﬀetto Stewart-Tolman
Si tratta di un eﬀetto elettrodinamico in virtù del quale in un conduttore in moto non
uniforme si genera una forza elettromotrice non nulla, anche nelle condizioni in cui l’applicazione della legge di induzione di Faraday-Neumann prevederebbe risultato nullo. L’eﬀetto è causato dalla massa finit degli elettroni o, più in generale, dalla massa finita dei
portatori di carica in un conduttore elettrico. Prende il nome da D. Stewart e Richard C.
Tolman5 . In un corpo conduttore in moto accelerato, l’inerzia provoca un ritardo degli
elettroni rispetto al movimento complessivo. In caso di accelerazione lineare, la carica
negativa si accumula all’estremità del corpo, mentre in caso di rotazione la carica negativa si accumula sul bordo esterno. L’accumulo di cariche può essere misurata da un
galvanometro. Questo eﬀetto è proporzionale alla massa dei portatori di carica. È tanto
più significativo in un elettrolita che nei metalli, perché gli ioni sono molto più pesanti.
Storicamente gli esperimenti sul moto non uniforme dei conduttori consentirono di
dimostrare l’esistenza di elettroni liberi nei conduttori e di determinarne il rapporto caricamassa. Sia v la velocità del sistema di riferimento Kcond , solidale col conduttore, rispetto
al sistema di laboratorio KL . Giacché si suppone che l’accelerazione v̇ sia non nulla, gli
elettroni di conduzione risentiranno di una forza inerziale pari a −me v̇. Questa esercita
sull’elettrone lo stesso eﬀetto che creerebbe un campo elettrico di intensità E = me v̇/e.
Nell’esperimento di Stewart-Tolman (vedi figura ??) si imprimeva ad un anello metallico immerso in un campo magnetico uniforme e costante, un moto rotatorio a velocità
me
angolare sinusoidale. Dalla misura delle correnti circolanti si risaliva al rapporto
.
e
Esercizio 4.2.3. Con riferimento all’esperimento di Stewart-Tolman (a) ricavare le equazioni
di Maxwell relative a Kcond . (b) Analizzare la forza e.m. indotta dalle variazioni temporali
della velocità angolare Ω (t) in un anello metallico ruotante attorno al suo asse.
Soluzione: (a) Il campo elettrico eﬃcace agente sugli elettroni di conduzione è dato
da
Econd = EL +
5
me
v̇
e
(4.23)
R.C. Tolman, T.D. Stewart, Phys. Rev. 8, 97 (1917) (scaricabile da wikipedia, Tolman eﬀect); L.D.
Landau, E.M. Lifshitz, L.P. Pitaevskii, Fisica teorica: Elettrodinamica dei mezzi continui, vol. VIII”,
Ed. Riuniti, Roma 1986
148
Teoria delle orbite
Se si esprime EL in funzione di Econd e si sostituisce nella equazione di Maxwell
∇ × EL = −μ0
∂HL
∂t
si ottiene
∂Hcond
∂HL me
= −μ0
+
∇ × v̇
(4.24)
∂t
∂t
e
Decomponendo il movimento in traslatorio (velocità u) e rotatorio (velocità angolare
Ω):
v =u+Ω×r
∇ × Econd = −μ0
e derivando rispetto al tempo, si ha per l’accelerazione:
v̇ = u̇ + Ω × v + Ω̇ × r = u̇ + Ω × u + Ω × (Ω × r) + Ω̇ × r .
I primi due termini sono indipendenti da r per cui si annullano per derivazione rispetto alle
1
coordinate; il terzo termine può essere scritto nella forma: Ω× (Ω × r) = − ∇ |Ω × r|2 ,
2
³
´
il cui rotore è nullo. Resta, infine, ∇× Ω̇ × r = 2Ω̇, sicché la (4.24) si riscrive
∇ × Econd = −μ0
∂HL 2me
+
Ω̇
∂t
e
ovvero
Hcond = HL −
2me
Ω.
eμ0
Si consideri ora la quarta equazione di Maxwell6
∇×H=J
dove J è la densità di corrente. Questa equazione conserva la sua forma se si esprime H
in funzione di Hcond , essendo Ω indipendente dalle coordinate
∇ × Hcond = σEcond
(4.25)
Eliminando Econd dalle (4.24) e (4.25) e tenendo conto che ∇ · HL = ∇ · Hcond = 0 si
ottiene:
∂Hcond
∇2 Hcond = μ0 σ
(4.26)
∂t
coincidente con l’equazione soddisfatta da HL in un conduttore immobile.
All’esterno del conduttore HL verifica l’equazione ∇2 HL = 0 e lo stesso vale per
Hcond . Sulla superficie del conduttore sia Hcond che HL sono continui, mentre diversa
2me
Ω.
è la condizione all’infinito: HL tende a zero, Hcond a un limite finito: −
eμ0
Riassumendo un corpo in rotazione con velocità angolare dipendente dal tempo visto
nel sistema del conduttore Kcond si comporta come se fosse fermo e sottoposto ad un
campo magnetico esterno Hext omogeneo:
Hext = −
6
2me
Ω (t) .
eμ0
(4.27)
∂E
si sta implicitamente assumendo che il campo sia quasi-stazionario, per cui σ/ω À 1 e il termine
∂t
sia trascurabile.
4.3 Invarianti adiabatici
149
Quando il campo magnetico Hext varia nel tempo induce nel conduttore una forza elettromotrice non nulla7 che genera correnti elettriche.
(b) Un anello conduttore in rotazione non costante con velocità angolare Ω (t) (??),
si ha in Kcond
Z
I
Z
Z
∂H
2me
0
· ds +
Ω̇ · ds
∇ × Econd · ds =
Econd · d = f = −μ0
S
S ∂t
S eμ0
2me
2me
dV
+
Ω̇ · S =
Ω̇ · S
= −
dt
eμ0
eμ0
ovvero la f.e.m. è proporzionale alla superficie dell’anello e alla derivata della velocità
angolare.
4.3
Invarianti adiabatici
Esercizio 4.3.1. Si consideri un elettrone non relativistico che si muove in un campo
magnetico statico e spazialmente variabile. Si supponga inoltre che localmente B (r) vari di
(r)
e v⊥ (r)
poco in un intorno di r avente le dimensioni del raggio di curvatura ρp (r) = meB(r)
= vω⊥c (r)
dell’orbita spiraliforme. Espandere la traiettoria in una serie asintotica8 nel parametro di
piccolezza ε = mee :
Soluzione: Si ponga
r (t) = r0 (t) + s (t) + s∗ (t)
dove
s (t) =
∞
X
εn einϕ sn (t)
(4.28)
(4.29)
n=1
con
ϕ=
e
Z
t
ω c (r0 (t0 )) dt0 .
v (t) = u (t) + ṡ (t) + ṡ∗ (t)
con
u = ṙ0 v = ṙ
In particolare
εϕ̇ = B0
(4.30)
dove B0 = B (r0 )Derivando (4.29) si ottiene
ṡ (t) =
∞
X
n=1
¡
¢
εn−1 inB0 sn eiϕ + ṡn−1 ei(n−1)ϕ
∞ ³
³
´
´
X
s̈ (t) =
−n2 B02 εn−2 sn + inεn−1 Ḃ0 sn + B0 ṡn + εn s̈n einϕ
n=1
7
8
si consulti il Landau, Elettrodinamica dei mezzi continui, par. 64
T. G. Northrop, The Adiabatic Motion of Charged Particles (Interscience Tracts on Physics and Astronomy No. 21),Interscience N.Y. 1963; H. Alfvén and C. G. Fälthammar, Cosmical Electrodynamics,
Clarendon Press, London 1963, Sez. 2.3.7; P. C. Clemmow and J. P. Dougherty, Electrodynamics of
Particles and Plasma, Addison-Wesley Publ. Co., Reading 1969, Sez. 4.4; R. Fitzpatrick, Plasma
Physics, lecture notes http://farside.ph.utexas.edu/teaching/plasma/lectures/Plasmahtml.html
150
Teoria delle orbite
dove Ḃ0 = u · OB0 .
Limitandosi ai temini al primo ordine in ε si ha:
¡
¢
¡ ¢
r = r0 + 2ε Re s1 eiϕ + O ε2
¤
¡ ¢
£
v = u + 2 Re (iB0 s1 + εṡ1 ) eiϕ + O ε2
¡
¡ ¢
¢
B = B0 + 2ε Re eiϕ s1 · OB0 + O ε2
dove B = B (r) e B0 = B (r0 ) . Inserendo questi sviluppi nell’equazione del moto non
relativistica
εv̇ = −v × B
dove
εv̇ = εu̇ + 2 Re
e
si ha
nh
´i o
³
¡ ¢
−B02 s1 + iε 2B0 ṡ1 + Ḃ0 s1 eiϕ + O ε2
¤¢
¡
£
−v × B = − u + 2 Re (iB0 s1 + εṡ1 ) eiϕ × B0
¡
¡
¢¢ £ ¡
¢
¤
¡ ¢
−2ε u + 2 Re iB0 s1 eiϕ × Re eiϕ s1 · OB0 + O ε2
´i o
³
nh
εu̇ + 2 Re −B02 s1 + iε 2B0 ṡ1 + Ḃ0 s1 eiϕ
¡
£
¤¢
= − u + 2 Re (iB0 s1 + εṡ1 ) eiϕ × B0
¡
¡
¢¢ £ ¡
¢
¤
¡ ¢
−2ε u + 2 Re iB0 s1 eiϕ × Re eiϕ s1 · OB0 + O ε2
Isolando i termini che non contengono einϕ si ottiene
εu̇ = −u × B0 + iεB0 (s∗1 × s1 − s1 × s∗1 ) · OB0
(4.31)
mentre salvando quelli proporzionali a eiϕ si ha:
³
´
−B02 s1 + iε 2B0 ṡ1 + Ḃ0 s1
= −i (B0 s1 + εṡ1 ) × B0 − εu × (s1 · OB0 )
ovvero
³
´
s1 − is1 × B̂0
h
i
= iε 2B0 ṡ1 + i2ṡ1 × B0 + Ḃ0 s1 + iu × (s1 · OB0 )
B02
(4.32)
In particolare all’ordine 0 e 1 in ε si ha rispettivamente:
e
s1 = is1 × e3
(4.33)
B0 ṡ1 + a + ia × e3 = iu × (s1 · OB0 ) − Ḃ0 s1
(4.34)
dove e3 = B̂0 e a = 2B0 ṡ1 . Ne discende che s1 è combinazione di due versori reali e1 + ie2 ,
mutuamente ortogonali e perpendicolari a e3 :
1
s1 = √ ρ (e1 + ie2 )
2
(4.35)
4.3 Invarianti adiabatici
151
con ρ raggio di girazione. Moltiplicando scalarmente (4.34) per s∗1
i
h
s∗1 · B0 ṡ1 + Ḃ0 s1 + a + ia × e3 − iu × (s1 · O) B0 = 0
e tenendo conto dell’identità
1
s∗1 · (a + ia × e3 ) = √ ρ (e1 − ie2 ) · (a + ia × e3 ) = 0
2
si ottiene
B0 s∗1 · ṡ1 + Ḃ0 s∗1 · s1 − is∗1 · [u × (s1 · O) B0 ] = 0
Ne discende che
B0 Re s∗1 · ṡ1 + Ḃ0 s∗1 · s1 − Re {is∗1 · [u × (s1 · O) B0 ]} = 0
In particolare
=
=
=
=
Re {is∗1 · [u × (s1 · O) B0 ]}
−u · Re [s∗1 × (s1 · O) B0 ]
1
− ρ2 u · [e1 × (e2 · O) − e2 × (e1 · O)] B0
2
∙µ
¶ µ
¶¸
1 2
∂B0z ∂B0y
∂B0z
∂B0x
ρ u · 0, −
,
, 0,
+ −
2
∂y
∂y
∂x
∂x
1
1
− ρ2 u · OB0 = − ρ2 Ḃ0
2
2
(4.36)
Pertanto
1
B0 Re s∗1 · ṡ1 + Ḃ0 s∗1 · s1 = 0
2
Introducendo ora il momento magnetico orbitale
m=
(4.37)
me
|v⊥ − u⊥ |2 = me B0 ρ2
2B0
l’Eq. (4.37) diventa
ṁ = 0
(4.38)
ovvero m è un invariante adiabatico. Ne discende che il momento magnetico si mantiene
costante durante il moto del singolo elettrone lungo la traiettoria di guida r0 (t) .
Esercizio 4.3.2. Si consideri un campo magnetico lentamente variabile nello spazio. (a)
2
Mostrare che la quantità sinB0 ϑ , con ϑ l’angolo formato da u con B0 , è proporzionale al
momento magnetico orbitale m associato alla componente dell’orbita perpendicolare a B0
ed è quindi un invariante adiabatico del moto; (b) ricavare l’equazione del moto del centro
guida dell’elettrone rappresentato da r0 (t) (v. Es. 4.3.1)
Soluzione: (a) All’orbita circolare ε (eiϕ s1 + e−iϕ s∗1 ) è associato il momento magnetico
m definito come la corrente eﬃcace eω c / (2π) moltiplicata per l’area 4πε2 ρ2 della singola
spira:
m = 2eω c ε2 ρ2 = 2Bme ρ2 = B me s1 · s∗1
u2
sin2 ϑ
2 p2⊥
= 2me ⊥ = 2me u2
=
B
B
me B
152
Teoria delle orbite
avendo fatto uso della (4.40) ed indicato con ϑ l’angolo formato da u con B0 . Dal momento
che in un campo magnetostatico u è costante, dalla (4.38) discende che
sin2 ϑ
1 p2
= 2 ⊥ = const
B0
p B
(4.39)
noto come primo invariante adiabatico, si mantiene costante durante il moto lungo la traiettoria di guida r0 (t) . Ne segue che il raggio di curvatura ρ della traiettoria spiraliforme
s
sin2 ϑ 1
|v⊥ − u⊥ |
√
ρ=ε
= εu
(4.40)
B0
B0
B0
√
varia come l’inverso di c B0 .
(b) Dall’Eq. (4.31) discende
¶
µ
m
OB0
u × B0 = ε u̇ +
me
Moltiplicando vettorialmente per B0 si ottiene per la componente di u perpendicolare a
B0 :
¶
µ
ε
m
OB0
u⊥ = 2 B0 × u̇ +
B0
me
D’altra parte
B0 × u̇ = B0 × u·Ou
1
B0 × (B0 · O) B0 + O (ε)
=
B02
per cui
B0
u⊥ = ε 2 ×
B0
Ã
u2k
m
B
×
(B
·
O)
B
+
OB0
0
0
0
B02
me
!
ovvero che il centro guida è caratterizzato da un moto di deriva perpendicolare a B e
proporzionale al gradiente di B0 (gradient drift)), mentre la componente uk è sottoposta
ad una accelerazione:
m
u̇k = −
(OB0 )k + O (ε)
me
Dalla costanza dell’energia discende inoltre
2u2 cos2 ϑ +
m
B0 = const + O (ε)
me
(4.41)
Esercizio 4.3.3. (a) Calcolare l’integrale di azione Jφ , il flusso magnetico orbitale φ ed
il momento magnetico orbitale m di un elettrone che si muove lungo la traiettoria guida
in un campo magnetostatico; (b) verificare che Jφ e φ sono invarianti adiabatici.
Soluzione: Dette qi le generiche coordinate canoniche e pi i rispettivi momenti che
descrivono delle curve chiuse nello spazio delle fasi, si definisce integrale di azione Ji la
quantità
I
Ji =
pi dqi
4.3 Invarianti adiabatici
153
Nel caso di un elettrone che si muove descrivendo una spirale intorno ad una linea di
campo, si ha per l’azione relativa alla coordinata φ:
I
Jφ = pφ dφ
con
I
esteso ad un ciclo (0, 2π) di φ. Dal momento che
p + eA = me v
si ha:
I
Jφ =
p · d = me
= me
= me
I
I
I
I
v·d −e A·d
ZZ
v⊥ · d − e
∇ × A · n̂d2 a
S
ZZ
B · n̂d2 a
v⊥ · d − e
S
D’altra parte
me
I
v⊥ · d
= 2πme ω c ρ2
ZZ
e
B · n̂d2 a = −πme ωc ρ2 = eφ
S
con ω c =
eB
,
γme
ρ raggio di girazione e φ flusso magnetico orbitale. Pertanto
Jφ = πme ωc ρ2 = −eφ = πme
D’altra parte
ρ=
p2
eB 2
ρ =π ⊥
γ
ωc
γme v⊥
p⊥
=
eB
eB
per cui
Jφ = −eφ = π
p2⊥
eγB
(b) Dal momento che Jφ = −eφ sono proporzionali a
4.3.1
me
e
Specchi e bottiglie magnetiche
Uno specchio magnetico è una configurazione di campo magnetico in cui l’intensità cambia
quando ci si sposta lungo una linea di campo. L’eﬀetto a specchio i risultati di una
tendenza da particelle cariche per riprendermi dopo l’alta zona del campo. Particelle
cariche con una componente di velocità perpendicolare al campo, ruotano attorno ad
una linea di campo generalmente in una orbita circolare o elicoidale. La componente
radiale delle linee di campo, accoppiato con il movimento spiraliforme della particella, ha
154
Teoria delle orbite
Figura 4.5
come risultato una forza parallela alla linea di campo e diretta verso la zona di minore
intensità. L’eﬀetto specchio è dovuto alla invarianza adiabatica del momento magnetico.
Per un determinato rapporto di specchio (intensità di campo massima divisa per quella
minima), le particelle con un angolo di lancio ϑ (angolo tra la velocità delle particelle
e il campo magnetico) maggiore di un valore critico si riflettono, quelle con un angolo
più piccolo non vengono catturate. La cattura delle particelle dipende solo dall’angolo ϑ,
indipendentemente dalla carica, dalla massa e dalla velocità.
Una bottiglia magnetica è la sovrapposizione di due specchi magnetici. Per esempio,
due bobine separate da una distanza ridotta, con la stessa corrente nella stessa direzione
produrrà una bottiglia magnetica tra di loro. Particelle con velocità adeguate spiralizzano
ripetutamente da una estremità della regione all’altro e viceversa. Bottiglie magnetiche
possono essere usate per intrappolare particelle cariche, tecnica utilizzata per confinare
plasmi molto caldi con temperature dell’ordine di 106 K. In un modo simile, il campo
geomagnetico non-uniforme intrappola le particelle provenienti dal sole in regioni a forma
di ciambella intorno alla terra chiamate cinture di Van Allen, scoperte nel 1958 analizzando
i dati forniti dal satellite Explorer 1.
Esercizio 4.3.4. Si consideri un campo magnetico che si intensifichi nella direzione positiva dell’asse z come mostrato in figura formando così uno specchio magneticoUtilizzando
l’Eq. (??) analizzare l’andamento di uk lungo z
Soluzione: Dall’Eq. (4.39) segue che
u2k =
m
(B0 max − B0 )
2me
Ne discende che la particella avanza lungo z fin dove B0 (zR ) = B0 max e ϑ (zR ) = ±π/2
dove viene riflessa per poi procedere nella direzione opposta. Se si indica con z = 0 la
posizione in cui le particelle vengono iniettate con angolo di lancio (pitch angle) ϑ (0)
quelle che soddisfano la disuguaglianza
sin2 ϑ (0) ≥
risulteranno riflesse dallo specchio.
B0 (0)
B0 max
4.3 Invarianti adiabatici
155
Figura 4.6: Particelle cariche intrappolate in una bottiglia magnetica. La forza di Lorentz trattiene
tra i due punti di massimo di B le particelle con angoli di lancio ϑ tali che sin2 ϑ > Bmin /Bmax da
physics.miami.edu
Esercizio 4.3.5. Si consideri una bottiglia magnetica (v. Figg. (4.6) e (4.10)) caratterizzata da un rapporto B0 max /B0 min . Per quali valori dell’angolo di lancio ϑ le particelle
vengono trattenute dalla bottiglia9 ?
Soluzione: L’angolo di lancio per le particelle al centro della bottiglia deve soddisfare
la disuguaglianza:
B0 min
sin2 ϑ ≥
B0 max
Esercizio 4.3.6. Calcolare la traiettoria di un elettrone nel campo B di un monopolo
magnetico
Soluzione: Ponendo10
r
r3
con r0 e B0 costanti positive aventi le dimensioni di una lunghezza e di un campo
magnetico, si ha che il moto è descritto dall’equazione:
B = B0 r02
v̇ = −
r02 ω c0
r×v
r3
dove ω c0 = eB0 /me . Pertanto
9
10
d
r2 ω c0
(r × v) = r × v̇ = 0 3 r × (v × r)
dt
r
¢
r02 ω c0 ¡
2
v
−
ṙrr
+
r
=
r3 µ
¶
v
ṙ
d ³r´
2
2
− 2 r = r0 ωc0
= r0 ω c0
r
r
dt r
v.p.e. H. Alvén and al. loc. cit. pag. 149, 2.3; R. Fitzpatrick loc.
· · · /lectures/node21.html
v.p.e. P.C. Clemmow et al., loc.cit.pag. 149, Sez. 4.2.3
cit.
pag.
149
156
Teoria delle orbite
Ne discende che
r × v = r02 ωc0
³r
´
−k
r
con k un vettore costante. In coordinate sferiche (r, θ, φ) con l’asse polare diretto lungo
k si ha
(r × v)r = 0 = r02 ωc0 (1 − k cos θ)
ovvero l’angolo θ formato da r con k è costante e posto pari a θ0 . D’altra parte si ha
(r × v)θ = r2 φ̇ sin θ0 = −r02 ω c0 k sin θ0
Scegliendo ora r0 in modo tale che
k sin θ0 =
v
r0 ωc0
si ha
r2 φ̇ sin θ0 = −r0 v
Tenuto conto che
2
ṙ2 + r2 φ̇ sin2 θ0 = v 2
si ottiene
µ
¶
r02
ṙ = v − r φ̇ sin θ0 = v 1 − 2
r
2
2
2 2
2
2
Scegliendo l’origine del tempo tale che r (0) = r0 si ottiene
r2 = r02 + v 2 t2
In definitiva l’elettrone descrive un’orbita a spirale tangente ad un cono, che con r proveniente dall’infinito e tendente verso il dipolo, che si riflette ad una distanza r0 per poi
ritornare verso l’infinito. Ne discende che la sfera di raggio r0 si comporta come uno
specchio magnetico.
Esercizio 4.3.7. Si consideri una particella intrappolata tra due specchi magnetici
4.3.2
Tokamak
4.3.3
Campo magnetico terrestre
Il campo geomagnetico11 è assimilabile al campo generato da un dipolo magnetico con poli
magnetici non coincidenti con quelli geografici e non statici, e con asse inclinato di 11, 5◦
rispetto all’asse di rotazione terrestre. D’altra parte non può esistere un vero dipolo in
quanto il centro della Terra si trova a temperature ben superiori ai 1043 K (circa 770 ◦ C),
valore della temperatura di Curie al di sopra della quale qualunque minerale ferromagnetico perde le sue proprietà magnetiche, divenendo paramagnetico. Oggi le teorie sono
orientate verso un modello analogo a quello di una dinamo ad autoeccitazione12 .
La struttura complessiva della magnetosfera è fortemente influenzata dalla configurazione del campo magnetico terrestre. Vicino alla superficie del pianeta, il campo
11
12
per un’ampia presentazione v.p.e.
lezioni di Fisica della terra e dell’atmosfera G. Festa
http://people.na.infn.it/~festa/Teaching/TerraAtm/CampoMag_oss.pdf
v.p.e. G. Festa http://people.na.infn.it/~festa/Teaching/TerraAtm/CampoMag_profondo.pdf
4.3 Invarianti adiabatici
157
Figura 4.7: Rappresentazione schematica di un Tokamak in grado di confinare un plasma da fusione in
una regione toroidale
magnetico ha una struttura simile a quella di un dipolo ideale. Le linee di campo sono
orientate più o meno verticalmente alle alte latitudini, all’Equatore sono essenzialmente
orizzontali. Tuttavia, il campo devia da questa ideale configurazione dipolare ad altitudini
elevate. Dall’equatore ai poli, sulla superficie terrestre, il valore del campo varia da poco
più di 20.000 nT ai circa 70.000 nT delle zone polari.
Esso si estende per svariate decine di migliaia di chilometri nello spazio formando una
zona chiamata magnetosfera la cui presenza genera una sorta di scudo elettromagnetico
che devia i raggi cosmici e tutte le particelle cariche riducendo la quantità che raggiunge
il suolo dando origine alle fasce di Van Allen. Il campo magnetico terrestre è falsato in
misura notevole dal vento solare ed, in ultima analisi, dal campo interplanetario, generato
dal sole.
Il vento solare comprime il campo magnetico sulla Terra ad una distanza di circa 10
raggi terrestri (quasi 65.000 km dal pianeta). A questa distanza, il campo magnetico è così
debole che la pressione associata a particelle in fuga dalla gravità terrestre è paragonabile
alla pressione di contrasto del vento solare. Questo equilibrio, con una regione spessa
100 km, è chiamata magnetopausa e segna il confine esterno della magnetosfera. Il limite
inferiore della magnetosfera si trova diverse centinaia di chilometri sopra la superficie
terrestre.
Le regioni periferiche della magnetosfera sono estremamente complesse, soprattutto
alle alte latitudini, dove le linee di campo terrestre sono aperte verso lo spazio.
Fasce di Van Allen è il nome dato al plasma intrappolato nel campo magnetico terrestre. È costituito principalmente da elettroni e protoni e pochi nuclei di elio (particelle
alfa). Le fasce si estendono da un’altitudine di circa 1.000 a circa 60.000 chilometri sopra
la superficie terrestre. Si è pensato che la maggior parte delle particelle che formano le
fasce provengono dal vento solare, e dai raggi cosmici. In realtà ci sono due principali
fasce. L’esterna si estende da circa tre a dieci raggi terrestri (da 13.000 a circa 60.000
km) ed è costituita da elettroni di alta energia (0, 1 ÷ 10 MeV ). Il raggio di girazione
dei protoni sarebbe abbastanza grande per entrare in contatto con l’atmosfera terrestre.
Quella interna è principalmente costituita da elettroni e protoni. Le particelle cariche
158
Teoria delle orbite
Figura 4.8: Andamento schematico delle linee del campo magnetico terrestre
sono sottoprodotti della radiazione cosmica che bombarda l’atmosfera terrestre.
I raggi cosmici sono ioni molto veloci, che bombardano la Terra da tutte le direzioni.
Se il loro numero è piccolo, l’energia di ciascuna particella è molto elevata, in modo che,
quando questi ioni colpiscono i nuclei dei gas atmosferici, producono frammenti che volano
in diverse direzioni. La maggior parte di tali frammenti sono assorbiti dall’atmosfera o
dalla terra, ma alcuni sono anche lanciati verso lo spazio. Se questi sono elettricamente
carichi, ad esempio elettroni o ioni, spesso finiscono intrappolati dal campo magnetico
terrestre. In alcuni casi, i bombardamenti producono anche neutroni. Privi di carica, i
neutroni non interagiscono con il campo magnetico, ma decadono rapidamente in protoni
ed elettroni. Il neutrone è tuttavia radioattivo: in circa 10 minuti decade in un protone,
che cattura la maggior parte dell’energia, un elettrone e neutrino. Dieci minuti è un tempo
abbastanza lungo per coprire metà della distanza da Marte.
Le fasce rappresentano un pericolo per i satelliti, che devono proteggere i loro componenti sensibili con adeguata schermatura se la loro orbita trascorre molto tempo nella
regione delle fasce13 .
Esercizio 4.3.8. Il campo magnetico terrestre cattura particelle cariche dando così origine alle fasce di van Allen. Con riferimento all Fig. (4.10) discutere l’intrappolamento di
elettroni dal campo magnetico terrestre, associando quest’ultimo ad un dipolo ideale14 .
Soluzione: Se si introduce un sistema di coordinate sferiche con l’asse z parallelo al
dipolo magnetico B è dato da:
´
m³
B = 3 cos θr̂ − sin θθ̂
r
Se si indica con
r = r (θ)
13
14
O. Adriani, G. C. Barbarino, G. Bazilevskaya, R. Bellotti, M. Boezio, Bogomolov, E. A.; Bongi, M.;
Bonvicini, V. et al. (2011). The Discovery of Geomagnetically Trapped Cosmic-Ray Antiprotons. The
Astrophysical Journal Letters 737 (2): L29
v.p.e. H. Alfvén et al. loc.cit. pag. 149, Sez. 2.4; C. Störmer, The Polar Aurora, Clarendon Press,
Oxford 1955; R. Fitzpatrick loc. cit. pag. ??.../lectures/node22.html
4.3 Invarianti adiabatici
159
Figura 4.9: fasce di radiazione di Van Allen
Figura 4.10: Traiettorie delle particelle intrappolate nelle linee di cammpo terrestre e che danno luogo
alle fasce di radiazione di van Allen teachingsofmerlin.wordpress.com
160
Teoria delle orbite
l’equazione della generica linea di forza, lungo una linea di campo si ha per l’ascissa
curvilinea s:
ds2 = r2 dθ2 + dr2
Ne discende che
2
2
r tan θ =
ovvero
µ
dr
dθ
¶2
r cos θ = const
Ne segue che le linee di campo sono delle circonferenze passanti per l’origine e centri sul
piano z = 0.
In particolare lungo ogni linea di campo B è dato da
B=
Bmin
sin3
πd−|s|
2d
Pertanto le particelle con angolo di lancio ϑ per s = 0 percorreranno traiettorie composte
da moti di girazione e derive del centro guida che si estendono fino a valori di s = smax
tali che ( v. (4.39))
πd − |smax |
Bmin
sin2 ϑ =
= sin3
Bmax
2d
con d diametro della circonferenza che rappresenta la curva di campo. Ne segue che
l’escursione |smax | tra i due specchi che si formano lungo la curva di campo dipende solo
dall’angolo di iniezione
D’altra parte in vista q
della (4.40) il raggio di girazione ρ dell’orbita spiraliforme
2E
dipende dalla velocità u = m
, con E energia della particella, e varia lungo il tratto di
e
arco della curva di campo secondo la legge
ρ=
C
me u
sin ϑ = √
e B
B
con
r
sin2 ϑ
1p
C=
2me E
e
B
La radiazione della cintura interna, deve la sua esistenza alla straordinaria stabilità
delle orbite delle particelle imprigionate vicino alla Terra. E’ un prodotto della radiazione
cosmica, che di per sé è di piuttosto bassa intensità: solo accumulando particelle nell’arco
di anni la fascia interna raggiunge la sua intensità.
Il flusso di particelle di una data energia diminuisce notevolmente con l’energia. All’equatore magnetico, gli elettroni di energia superiore a 500 keV (5 MeV ) presentano flussi
omnidirezionali da 1, 2 × 106 (3, 7 × 104 ) fino a 9, 4 × 109 ( 2 × 107 ) particelle/cm2 sec.
La fascia di protoni contiene particelle con energia cinetica che varia da circa 100 keV ad
oltre 400 MeV (v. Fig. (4.12)).
4.3.4
Vento solare
Il vento solare è un flusso di particelle cariche rilasciato dall’atmosfera superiore del Sole:
è costituito per la maggior parte da elettroni e protoni di energia normalmente tra 1, 5 e
4.3 Invarianti adiabatici
161
Figura 4.11: Rappresentazione schematica della fascia interna ed esterna di van Allen. Le distanze sono
espresse in unità di raggi terrestri. image.gsfc.nasa.gov.
Figura 4.12: Contorni ad intensità costante di protoni di energia >0.1 MeV (Source AP8 Trapped
Proton Environment for Solar Maximum and Solar Minimum Author US National Space Data Center)
162
Teoria delle orbite
Figura 4.13
10 keV . Il flusso di particelle varia nel tempo in temperatura e velocità. Queste particelle
possono sfuggire alla gravità del sole a causa della loro elevata energia cinetica e l’alta
temperatura della corona. Il vento solare crea un’enorme bolla nel mezzo interstellare
che circonda il Sistema Solare. Altri fenomeni includono le tempeste geomagnetiche che
possono disturbare le reti elettriche terrestri, le aurore boreali, e le code delle comete.
Come il vento solare si avvicina a un pianeta che ha un ben sviluppato campo magnetico (come terra, Giove e Saturno), le particelle vengono deviate dalla forza di Lorentz.
Questa regione, nota come la magnetosfera, fa sì che le particelle viaggino intorno al
pianeta piuttosto che bombardare l’atmosfera o la superficie. La magnetosfera è approssimativamente a forma di emisfero sul lato rivolto verso il Sole. Il confine di questa regione
è la cosiddetta magnetopausa.
Figura 4.14: Riflessione di uno ione da parte di una nuvola magnetizzata in espansione (contrazione)
4.3 Invarianti adiabatici
163
Figura 4.15
4.3.5
Aurora boreale
L’aurora polare, spesso denominata aurora boreale o australe a seconda dell’emisfero in
cui si verifica, è un fenomeno ottico dell’atmosfera terrestre caratterizzato principalmente
da bande luminose di colore rosso-verde-azzurro, detti archi aurorali. Le aurore possono
comunque manifestarsi con un’ampia gamma di forme e colori, rapidamente mutevoli nel
tempo e nello spazio.
Il fenomeno è causato dall’interazione di particelle cariche (protoni ed elettroni) di
origine solare (vento solare) con la ionosfera terrestre (atmosfera tra i 100 — 500 km).
Tali particelle eccitano gli atomi dell’atmosfera che diseccitandosi in seguito emettono
luce di varie lunghezze d’onda. A causa della geometria del campo magnetico terrestre, le
aurore sono visibili in due ristrette fasce attorno ai poli magnetici della Terra, dette ovali
aurorali. Le aurore visibili ad occhio nudo sono prodotte dagli elettroni, mentre quelle di
protoni possono essere osservate solo con l’ausilio di particolari strumenti, sia da terra sia
dallo spazio.
L’origine dell’aurora si trova a 149 milioni di km dalla Terra, cioè sul Sole. La comparsa
di un grande gruppo di macchie solari è la prima avvisaglia di una attività espulsiva di
massa coronale intensa. Le particelle energetiche emesse dal Sole viaggiano nello spazio
formando il vento solare. Questo si muove attraverso lo spazio interplanetario (e quindi
verso la Terra, che può raggiungere in 50 ore) con delle velocità tipicamente comprese
tra i 400 e gli 800 km/s, trascinando con sé parte del campo magnetico solare (campo
magnetico interplanetario). Il vento solare, interagendo con il campo magnetico terrestre
detto anche magnetosfera, lo distorce creando una sorta di bolla magnetica, di forma
simile ad una cometa.
La magnetosfera terrestre funziona come uno scudo, schermando la Terra dall’impatto diretto delle particelle cariche (plasma) che compongono il vento solare. In prima
approssimazione queste particelle scivolano lungo il bordo esterno della magnetosfera
(magnetopausa) e passano oltre la Terra. In realtà, a causa di un processo noto come
riconnessione magnetica (il campo magnetico interplanetario punta in direzione opposta a quello terrestre), il plasma del vento solare può penetrare dentro la magnetosfera e,
dopo complessi processi di accelerazione, interagire con la ionosfera terrestre, depositando
immense quantità di protoni ed elettroni nell’alta atmosfera, e dando luogo, in tal modo,
al fenomeno delle aurore. È da notare che le zone artiche, possedendo una protezione
magnetica minore, risultano le più esposte a questo fenomeno e spesso, per qualche giorno
dopo l’evento, l’ozono si riduce circa di un cinque per cento.
Le aurore sono più intense quando sono in corso tempeste magnetiche causate da una
164
Teoria delle orbite
Figura 4.16: Aurora boreale sopra il Bear Lake in Alaska (da Wikipedia)
forte attività delle macchie solari. La distribuzione dell’intensità delle aurore in altitudine
mostra che si formano prevalentemente ad un’altitudine di 100 km sopra la superficie
terrestre. Sono in genere visibili nelle regioni vicine ai poli, ma possono occasionalmente
essere viste molto più a sud, fino a 40o di latitudine.
Le particelle che si muovono verso la Terra colpiscono l’atmosfera attorno ai poli
formando una specie di anello, chiamato l’ovale aurorale. Questo anello è centrato sul
polo magnetico (spostato di circa 11o rispetto dal polo geografico) ed ha un diametro di
3000 km nei periodi di quiete, per poi crescere quando la magnetosfera è disturbata. Gli
ovali aurorali si trovano generalmente tra 60◦ e 70◦ di latitudine nord e sud.
L’aurora è formata dall’interazione di particelle ad alta energia (in genere elettroni) con
gli atomi neutri dell’alta atmosfera terrestre. Queste particelle possono eccitare (tramite
collisioni) gli elettroni di valenza dell’atomo neutro. Dopo un intervallo di tempo caratteristico, tali elettroni ritornano al loro stato iniziale, emettendo fotoni (particelle di luce).
Questo processo è simile alla scarica al plasma di una lampada al neon.
I particolari colori di un’aurora dipendono da quali gas sono presenti nell’atmosfera,
dal loro stato elettrico e dall’energia delle particelle che li colpiscono. L’ossigeno atomico
è responsabile del colore verde (lunghezza d’onda 557,7 nm) e l’ossigeno molecolare per il
rosso (630 nm). L’azoto causa il colore blu.
4.3.6
Accelerazione di Fermi
Esercizio 4.3.9. Un meccanismo suggerito da Enrico Fermi15 nel 1949 per spiegare l’elevata energia delle particelle cariche presenti nei raggi cosmici, considera particelle cariche
in movimento riflesse dal campo magnetico interstellare, che funge da specchio magnetico. Fermì assunse che le particelle potessero rimbalzare sulle superfici di queste nuvole,
guadagnando o perdendo energia, a seconda che la specchio magnetico si avvicinasse o allontanasse. Si assuma che il mezzo interstellare sia composto di nuvole magnetizzate che
distino mediamente tra loro della quantità L e che si muovino in modo caotico. Tra queste
nuvole si sviluppa un campo magnetico medio le cui linee di forza guidono particelle cariche
15
E. Fermi, Phys. Rev. 75, 1169 (1949)
4.3 Invarianti adiabatici
165
spiraleggianti. (a) Si calcoli la variazione di energia E dovuta ad una singola collisione
normale di una particella con uno specchio, suposto di massa infinita, che si muovono
rispettivamente con velocità v e U. (b) Si calcoli la frequenze media di queste collisioni
e (c) la varazione media di energia nell’unità di tempo. (d) Si calcoli la distribuzione di
equilibrio dell’energia di queste particelle.
Soluzione: (a) Per un semplice urto normale l’energia E della particella può aumentare
o diminuire della quantità16
|v ± U |
E
∆E± = ±
c
con U velocità relativa particella-specchio. Il segno + e − si riferiscono rrispettivamente
a collisioni con velocità opposte (head-on) o concordi.
(b) In una distribuzione omogenea ed isotropa di nuvole poste a distanza media L, la
frequenza ν ± di collisioni dei due tipi è data da
ν± =
|v ± U|
L
(c) Si ottiene quindi in media una variazione di energia nell’unità di tempo pari a
∆E
2c
= ν + ∆E+ − ν − ∆E− =
∆t
L
µ ¶2
U
E = αE
c
(d) Se si indica con F (E) dE la frazione di particelle di energia compresa nell’intervallo
E, E + ∆E in condizioni di equilibrio la frazione di particelle la cui energia aumenta di
∆E deve bilanciare la frazione di particelle che vengono perse nell’intervallo τ
∂ (αEF )
F
=−
∂E
τ
Ne discende che
F (E) = const × E −(1+1/ατ )
ovvero si ottiene una legge di potenza per la distribuzione di energia.
Questo processo casuale dà luogo ad accelerazione di Fermi del secondo ordine in
quanto il guadagno di energia media per collisione con lo specchio dipende dal quadrato
della velocità dello specchio. Una particella carica in vista dell’ammortizzatore anteriore
può passare attraverso gli urti e quindi essere diﬀusa dalla disomogeneità magnetico dietro
lo shock. La particella guadagna energia da questo rimbalzo e vola verso la scarica, dove
si può essere diﬀusa da disomogeneità magnetica davanti allo shock. Questo consente
la particella per rimbalzare avanti e indietro ancora e ancora, guadagnando energia ogni
volta. Poiché l’energia media guadagno dipende solo linearmente dalla velocità d’urto,
questo processo è chiamato primo ordine Fermi accelerazione.
Esercizio 4.3.10. Il modello Fermi-Ulam (FUM) è un sistema dinamico introdotto dal
matematico polacco Stanislaw Ulam nel 1961. FUM è una variante di quello considerato
da Enrico Fermi. Il sistema è costituito da una particella che rimbalza elasticamente
tra una parete fissa e una mobile, di massa infinita. Le pareti rappresentano gli specchi
16
v.p.e. A. Ferrari, Stelle, Galassie e Universo. Fondamenti di Astrofisica, Springer-Verlag, Mi 2011 Sez.
10.2.1
166
Teoria delle orbite
magnetici con i quali le particelle cosmiche si scontrano. Zaslavskii e Chirikov17 hanno
analizzato un modello in cui una particella rimbalza tra una parete fissa ed una mobile
tra A(= l) e B (= l + 2a), con l distanza minima e 2a ampiezza dell’oscillazione, con
velocità Uparete oscillante tra V /4 e −V /4 con profilo a dente di sega.
µ
¶
t
1
V
V
+
−
Uparete (t) = frac
2
T
2
4
con
frac (x) = x − [x]
Alla parete mobile viene associata una fase ϕ (t) = t/T , funzione monotona¡ di t, che
¢
cresce da ϕ (tA ) = ¡tTA a ϕ (t¢B ) tTB = tTA + 12 nel passaggio da A a B, e tra ϕ tA + T2 e
ϕ (tA + T ) = 12 + ϕ tA + T2 = 1 + ϕ (tA ) nel passaggio da B ad A. Indicando con vn la
velocità, normalizzata a V , con cui si muove la particella dopo l’n-esima collisione con la
parete mobile e con ϕn la fase della stessa nel momento
dell’urto,
¡
¢ ¡ dimostrare tche
¢valgono
tn
n+1
le seguenti relazioni tra le coppie di grandezze vn , ϕn = T e vn+1 , ϕn+1 = T
1
vn+1 = sign (δ n ) vn + ϕn −
(
q¡ 2
¢2
1
1
−
2v
+
−
2v
+ 4φn vn+1 δ n > 0
n+1
n+1
2
2
ϕn+1 =
1 − ϕn + 4vn+1 δn ≤ 0
dove
φn
δn
¶
µ
ϕn (1 − ϕn ) + l/ (4a)
= f rac ϕn +
4vn+1
1
= vn+1 − ϕn
4
vn+1 = |vn + Uparete (ϕn )|
¶
µ
M
ϕn+1 = f rac ϕn +
vn+1
dove vn è la velocità della particella dopo l’nesima collisione con la parete fissa, ϕn è
la corrispondente fase della parete mobile, mentre Uparete sta per la velocità della parete
L
mobile ed M = 16a
è il parametro caratteristico del sistema stocastico e {· · · } denota
la parte frazionaria dell’argomento. Se la velocità della parete mobile è una funzione
del tempo abbastanza regolare, dal secondo teorema KAM discende che vi sono curve
invarianti nello spazio delle fasi. Queste curve invarianti agiscono come barriere che
non consentono ad una particella di accelerare ulteriormente e la velocità media di una
popolazione di particelle si satura col tempo. Per esempio, la velocità sinusoidale legge
della parete mobile tali curve esistono, e non per velocità sega diritto che è discontinuo. Di
conseguenza, al primo caso non può accelerare particelle infinitamente, in senso inverso
a quello che succede a quest’ultimo. FUM è diventato negli anni un modello di prototipo
per studiare dinamica non-lineare e accoppiato mapping.
17
J. M. Zaslavskii and B. V. Chirikov, Sov. Phys. Doklady 9, 989 (1965)
4.3 Invarianti adiabatici
167
Esercizio 4.3.11. A. J. Lichtenberg e M. A. Lieberman
Moto delle particelle del tipo che qui si considera è descritta da due ED del primo
ordine accoppiate diﬀeriscono ence equazioni:
un+1 = un + F (un , Ψn )
Ψn+1 = Ψn + A (un+1 ) + G (un , Ψn )
dove F e G sono periodiche in Ψ con un periodo Θ e F, G → 0 quando le forze periodiche
tendono a zero. La funzione A (un+1 ) è scelta per descrivere l’avanzamento della fase Ψn
in assenza della forza periodica applicata. È utile introdurre la variabile φn = Ψn mod Θn
= \ } [n modulo e. I quantitativi delle Nazioni Unite e \ } [n sono spesso opportunamente
scelti per essere, travetti in laterizio-cemento armati, né malized veiocity e fase (rispetto
alla forza) della particie poco prima della sua ennesima collisione con la forza. Se la forza
agisce continuousiy anziché impuisiveiy sul particie, quindi, un riferimento piane, per
esempio, z = z 0, viene scelto da che onu e \ } [n. Spesso è conveniente per quanto riguarda
G in funzione di u1, piuttosto che delle nazioni unite; non Ioss di generalità è invoived.
Le equazioni (15) e (16) definiscono una mappatura in due spazio tridimensionale E_=
(u, d: , ), tali cheLa condizione che la mappatura (17) è un’area pre che serve è che
det(J) = l. Qui J( Pnl = J(u, ..l> 1> n+l lu’ 1> n) è la Jacobiana. E’ ben noto che un
sistema dedynamcali scribable da un hamiltoniano H( q1, • • •q. ,b1 • • •p. ,t) induce
nel 2n -dimensionai spazio di fase del sistema un’area - (misura -) mantenimento flusso
. Così, se la mappatura (17) è ottenuta direttamente da una dimensionali hamiltoniano
H(q 1,P t.t ), deve essere l’area conservazione. Il Zaslavskii-Chirikov le equazioni (1) (4) e le semplici varianti (5) e (6), (7) e (8), e (9) e (10) sono esempi di area preservando
le mappature. Per un tre-dimensionale hamiltoniano, è talvolta possibile, facendo uso
di uno o più integrali del moto, per ottenere un ridotto spazio di fase di meno di sei
dimensioni che subisce un’area di conservazione. Comemai, questo spesso non è questo
il caso. In generale, il flusso in un limitato spazio di fase di due dimensioni non è area
conservazione. Il ravvicinamento al ciclotrone risonanza riscaldamento dato dalla Eq.
(11) - (13) è una esemplificazione di un non-area-conservazione mapping. It shouid da
notare, tuttavia, che in altri circaimate trattamenti del ciclotrone-riscaldamento problem, per porzioni dello spazio dei parametri invarianti, suﬃciente per recuperare l’area di
conservazione. 10 N matrice del mapping , e di Eq. (15) e (16):
Punto fisso s . Le equazioni (15) e (16) possiedono un punto fisso di ordine k = (u, 1>
) quando =Mk(p) e non è un punto fisso di qualsiasi ordine Iess a k, vale a dire un particie
situato esattamente al P riappaiono dopo k collisioni. Per ogni numero intero positivo
valore di k, c’è un denumerabiy insieme infinito di punti fissi. Punti fissi di ordine k in
famiglie di esattamente k. Queste famiglie di punti fissi possono essere organizzati in una
gerarchia, come discusso da Greene. 9 Per ottenere tutti i kth-ordine punti fissi, soive 2k
+ 2 equazioni algebriche
dove m è un intero relativeiy primo a k. Si consideri il veiocity e fase equazioni per il
Fermi probiem semplificata:
linearizzato mappature e la stabilità. È in infedeltà per studiare la stabilità del moto delle particelle nelle vicinanze di un punto fisso 1 di rilevazioni campionarie e senza
preavviso. Locazione A_pn= _L?n- 1, si definisce un mapping linearizzato L da
168
Teoria delle orbite
Figura 4.17: da M. A. Lieberman and A. J. Lichtenberg, Phys. Rev. A 5, 1852 (1972)
Esercizio 4.3.12. Si analizzi un sistema dinamico che rappresenta particelle cariche in
un campo elettrico in presenza di un campo magnetico uniforme. Queste particelle colpiscono periodicamente un oscillatore lineare, venendo così diﬀuse fino a coprire così l’intero
spazio delle fasi18 . Il sistema è caratterizzato dalle relazioni di ricorrenza19
xn+1 = cos α [K sin (2πyn ) + xn ] + sin α yn
yn+1 = − sin α [K sin (2πyn ) + xn ] + cos α yn
dove K misura l’intensità degli urti ed α sta per l’angolo di rotazione tra due collisioni.
Si discutino i punti uniti della mappa e la stabilità degli stessi.
4.4
Elettroni in un’onda piana
Esercizio 4.4.1. Analizzare la traiettoria di un elettrone in un’onda piana monocromatica di frequenza ω che viaggia lungo la direzione n̂. Analizzare i casi (a) onda polarizzata linearmente, (b) onda polarizzata circolarmente con sovrapposto un campo magnetico
statico B0 = B0 n̂ diretto lungo n̂.e (c) come in (b) per B0 = 0 20
18
19
A. J. Lichtenberg e M. A. Lieberman, Regular and Chaotic Dynamics, Springer, N.Y. 1992 p. 238
v. E. Zeleny Dynamics of a Charged Particle in a Magnetic Field with a Kicked Electric Field;
http://demonstrations.wolfram.com/DynamicsOfAChargedParticleInAMagneticFieldWithAKickedElectri/
20
http://www.scholarpedia.org/article/Zaslavsky_web_map
v.p.e. P. C. Clemmow et al. loc. cit. pag. 149 Sez. 4.5.2
4.4 Elettroni in un’onda piana
169
Figura 4.18: Parte della separatrice a forma di ragnatela relativa alla mappatura per α = π/2 e K=0.6
(da A. J. Lichtenberg and B. P. Wood, Phys. Rev. Lett. 62, 2213(1989); Phys. Rev. A 39 2153 (1989)
170
Teoria delle orbite
Soluzione: In via preliminare si ricorda che:
1
L = − me c2 − ev · A + eV
γ
dove
¶¸
∙
µ
1
A (r, t) = A0 exp −iω t − n̂·r
c
V (r, t) = 0
Ne discende che
∙
µ
¶¸
1
1
2
L = − me c − ev · A0 exp −iω t − n̂·r
γ
c
Dalle equazioni di Lagrange
d ∂
∂
L=
L
dt ∂ q̇j
∂qj
discende che
∙
µ
¶¸
d
1
e ³
v´
v
(γv) = iω
1 − · n̂ + n̂ · A0 exp −iω t − n̂ · r
dt
me
c
c
c
£
¡
¢¤
Sostiuendo iωA0 exp −iω t − 1c n̂ · r con −E (r, t) l’equazione del moto assume la forma
e ³
v´
v
d
(γv) = −
1 − · n̂ + n̂ · E .
dt
me
c
c
(4.42)
Moltiplicando scalarmente per n̂ e tenendo conto del fatto che E · n̂ = 0 si ottiene:
e v
d
(γv · n̂) = −
·E
dt
me c
Tenendo ora conto dell’equazione dell’energia
me c2
ne discende che la quantità
d
γ = −eE · v
dt
µ
¶
1
λ = γ 1 − n̂ · v
c
è un invariante del moto. Pertanto la (5.17) si può riscrivere nella forma
µ
¶
e λ
v
d
(γv) = −
+ n̂ · E .
dt
me γ
c
Passando dalla variabile t alla fase ϕ:
µ
¶
1
ϕ = ω t − n̂ · r
c
si ha
d
1 d
= λω
dt
γ dϕ
(4.43)
4.4 Elettroni in un’onda piana
171
In particolare
γv = λω
e
d
r
dϕ
1 d2
d
(γv) = λ2 ω 2
r
dt
γ dϕ2
Sostituendo quest’ultima espressione nella (5.18) si ottiene
∙
µ
¶ ¸
d2
e
ω
d
r=−
E+
E·
r n̂
dϕ2
me ω 2 λ
c
dϕ
(4.44)
(a) Per un’onda polarizzata linearmente si ha
n̂ = ẑ , E = E cos ϕx̂ ,
e l’Eq. (5.19) si riduce a
eE
d2
x = −
cos ϕ
2
dϕ
me ω 2 λ
d2
y = 0
dϕ2
µ
¶
eE
d2
d
z = −
x cos ϕ
dϕ2
cme ωλ dϕ
Da cui integrando si ottiene:
x = α1 + α2 ϕ +
eE
cos ϕ
me ω 2 λ
y = α3 + α4 ϕ
z = α5 + α6 ϕ +
eE
e2 E 2
α2 cos ϕ −
sin 2ϕ
cme ωλ
8cm2e ω3 λ2
(4.45)
con αi costanti dipendenti dalle condizioni iniziali.
(b) Per un’onda polarizzata circolarmente
n̂ = ẑ , E = E (cos ϕx̂ − sin ϕŷ) ,
con sovrapposto un campo magnetico B0 = B0 n̂ si ottiene
d2
eE
Ω d
x = −
cos ϕ +
y
2
2
dϕ
me ω λ
ω dϕ
Ω d
eE
d2
sin ϕ −
x
y =
2
2
dϕ
me ω λ
ω dϕ
∙µ
¶
µ
¶
¸
eE
d2
d
d
z = −
x cos ϕ −
y sin ϕ
dϕ2
cme ωλ
dϕ
dϕ
con
Ω=−
eB0
me λ
(4.46)
172
Teoria delle orbite
la girofrequenza relativistica. Integrando si ha:
E
ϕ sin ϕ
B0 ω
E
ϕ cos ϕ
y = α4 + α3 cos ϕ + α2 sin ϕ +
B0 ω
E2 3
E 2
z = α5 + α6 ϕ + α3
ϕ +
ϕ
2cB0
6cB02
x = α1 + α2 cos ϕ − α3 sin ϕ +
(c) Per Ω = 0 il sistema (5.21) si riduce a:
eE
d2
cos ϕ
x
=
−
dϕ2
me ω 2 λ
eE
d2
sin ϕ
y =
2
dϕ
me ω 2 λ
∙µ
¶
µ
¶
¸
d2
eE
d
d
x cos ϕ −
y sin ϕ
z = −
dϕ2
cme ωλ
dϕ
dϕ
Ne discende che:
eE
cos ϕ
me ω2 λ
eE
sin ϕ
y = α4 +
me ω 2 λ
z = α5 + α6 ϕ
x = α1 −
(4.47)
Esercizio 4.4.2. Pe i casi (a) e (c) dell’Eser. 5.3.1 analizzare la dipendenza della fase
ϕ da t in funzione del campo incidente, assumendo che i coeﬃcienti α1···6 di Eq. (5.20) e
α1 , α4 , α5 , α6 di (5.22) siano nulli.
Soluzione: (a) Dal momento che la fase è data da
³
z´
ϕ=ω t−
c
dalla (5.20) si ottiene
ϕ − ε sin 2ϕ = ωt
dove
ε=
e2 E 2
8c2 m2e ω 2 λ2
Ponendo
ϕ = ωt + ψ
si ha
ψ = ε sin (2ωt + 2ψ)
Per ε ¿ 1 si può sviluppare ψ in serie
ψ = εψ(1) + ε2 ψ(2) + ε3 ψ(3) + · · ·
(4.48)
4.4 Elettroni in un’onda piana
173
che sostituita nella (5.23)
fornisce
³
´
ψ(1) + εψ(2) + · · · = sin 2ωt + 2εψ(1) + 2ε2 ψ(2) + · · · ψ
ψ(1) = sin (2ωt)
ψ(2) = 2 cos (2ωt) sin (2ωt) = sin (4ωt)
´
³
´
³
ψ(3) = sin (2ωt) cos 2εψ(1) + cos (2ωt) sin 2ε2 ψ(2)
= −2 sin3 (2ωt) + 2 cos (2ωt) sin (4ωt)
(b) Per il caso (c) si ha
ϕ = ωt
Esercizio 4.4.3. Un elettrone investito da un’onda piana monocromatica di frequenza ω
polarizzata linearmente, che viaggia lungo la direzione ẑ , descrive un’orbita a forma di 8
espressa parametricamente nella forma,
eE
cos ϕ (t)
me ω 2 λ
ye (t) = 0
e2 E 2
ze (t) = −
sin (2ϕ (t))
8cm2e ω 3 λ2
xe (t) =
dove ϕ (t) è la fase
(4.49)
µ
¶
1
ϕ = ω t − ze (t)
c
che si può approssimare per campi di media intensità con l’espressione:
ϕ (t) = ωt +
e2 E 2
sin (2ωt)
8c2 m2e ω 2 λ2
(a) Rappresentare xe (t) e ze (t) come serie di Fourier utilizzando l’identità di Jacobi:
e−ix cos θ =
∞
X
(−i)n Jn (x) einθ
(4.50)
n=−∞
con Jn (x) funzione di Bessel di ordine n intero. (b) Associando all’elettrone in movimento
una densità di carica
ρe (r, t) = −eδ (3) (r − xe (t) x̂) = −eδ (y) δ (z) δ (x − xe (t))
e di corrente
Je (r,t) = −eδ (y) δ (z) δ (x − xe (t)) ẋe (t) x̂
calcolare le trasformata di Fourier di ρe (r, t) e Je (r,t) (c) Tener conto dell’oscillazione
lungo z.
174
Teoria delle orbite
Soluzione: Ponendo
eE
me ω 2 λ
e2 E 2
ε =
8c2 m2e ω2 λ2
ξ =
e tenendo conto dell’espansione
iθ+iε sin 2θ
e
iθ−iε cos(2θ+ π2 )
= e
=
∞
X
Jn (ε) ei(2n+1)θ
n=−∞
∞
X
ei2θ+i2ε sin 2θ =
Jn (2ε) ei2(n+1)θ
n=−∞
si ha
xe (t)
= cos ϕ (t) = Re eiθ+iε sin(2θ)
ξ
∞
X
=
Jn (ε) cos (2n + 1) θ
(4.51)
n=−∞
e
ze (t)
= sin 2ϕ (t) = Im ei2θ+i2ε sin 2θ
ε
∞
X
=
Jn (2ε) sin 2 (n + 1) θ
(4.52)
n=−∞
(b) Dal momento che xe (t) , ze (t) sono funzioni periodiche di t risulta in generale
ρe (r, t) = −eδ (y) δ (n)
∞
X
[Sn (s) sin (nωt) + Cn (s) cos (nωt)]
n=−∞
dove s sta per l’ascissa curvilinea lungo la traiettoria mentre δ (n) sta per delta lungo la
normale alla traiettoria nel piano x-z. Infine
Z
Sn (s)
sin (nωt)
1 T
δ (s − se (t))
=
dt
(4.53)
T 0
Cn (s)
cos (nωt)
Ignorando per il momento il contributo di ze (t) Sn (s) = Sn (x) e Cn (s) = Cn (x) si
riducono a:
Z
Sn (x)
1 2π
sin (nωt) dt
=
dϕ
δ (x − ξ cos ϕ)
Cn (x)
T 0
cos (nωt) dϕ
Dal momento che
ωt = ϕ − ε sin (2ϕ)
si ha
ω
dt
= 1 − 2ε cos (2ϕ)
dϕ
4.4 Elettroni in un’onda piana
175
Ne discende che
Sn (x)
1
=
Cn (x)
2π
µZ
0
π
+
Z
π
2π ¶
δ (x − ξ cos ϕ) [1 − 2ε cos (2ϕ)]
sin [n (ϕ − ε sin (2ϕ))]
dϕ
sin [n (ϕ − ε sin (2ϕ))]
Per assegnato x l’argomento di δ (x − ξ cos ϕ) si annulla per
ϕ (x) = ± arccos x0
dove
x0 = x/ξ.
Ne segue che
Sn (x)
=
Cn (x)
½
0
1 cos[n(ϕ(x)−ε sin(2ϕ(x)))][1−2ε cos 2ϕ(x)]
πξ
|sin ϕ(x)|
Per ε suﬃcientemente picolo Cn (x) si riduce a
√
¢n
¡
1 cos [n (ϕ (x))]
1 einϕ(x) + e−inϕ(x)
1 Re x0 + i 1 − x02
√
√
√
Cn (x) =
=
=
πξ
2πξ
πξ
1 − x02
1 − x02
1 − x02
µ
¶
X n
¡
¢
1
1
0m
02 (n−m)/2
√
=
1
−
x
x
πξ 1 − x02 m m
In particolare:
1
1
√
πξ 1 − x02
x0
1
√
πξ 1 − x02
1 2x02 − 1
√
πξ 1 − x02
1 −2x03 + 3x0
√
πξ
1 − x02
1 −10x04 + 10x02 + 1
√
πξ
1 − x02
C0 (x) =
C1 (x) =
C2 (x) =
C3 (x) =
C4 (x) =
per cui
δ (x − xe (t)) =
In definitiva
r
2
1
√
(1 + x0 cos ωt
π 1 − x02
¡
¢
¡
¢
+ 2x02 − 1 cos 2ωt + −2x03 + 3x0 cos 3ωt
¢
¢
¡
+ −10x04 + 10x02 + 1 cos 4ωt + · · · .
F {δ (x − xe (t))} =
X
n
Cn (x) [δ (
+ nω) + δ (
− nω)]
176
Teoria delle orbite
(c) Per tener conto anche del movimento lungo z si deve procedere al calcolo di (5.28)
che diﬀerisce per la sostituzione di δ (s − xe (t)) con δ (s − se (t)) . Ne discende che Cn (s)
dx ds
coincide con l’espressione di Cn (x) moltiplicata per dϕ
/ dϕ , ovvero
Cn (s) = Cn (x)
= −
dx
dϕ
ds
dϕ
1 cos [n (ϕ (x) − ε sin (2ϕ (x)))] [1 − 2ε cos 2ϕ (x)]
q
π
ξ 2 sin2 ϕ (x) + 4ε2 cos2 2ϕ (x)
Esercizio 4.4.4. Calcolare il momento angolare orbitale trasferito ad un elettrone investito da un’onda piana monocromatica di frequenza ω0 polarizzata circolarmente, che
viaggia lungo la direzione ẑ
Soluzione: Un elettrone investito da un’onda piana polarizzata circolarmente
E (t) = E Re [(x̂ + iŷ) exp (−iω 0 t)]
descrive un’orbita circolare
re (t) = ρe Re [(x̂ + iŷ) exp (−iω0 t)]
con
ρe =
eE
me ω 20 γ
Pertanto l’onda trasferisce all’elettrone un momento angolare pari a
L = me ρ2e ω 0 ẑ =
=
con S vettore di Poynting
4.5
e2 E 2
ẑ
me ω30 γ 2
2e2
S
me ω 30 ε0 cγ 2
1
S = ε0 cE 2
2
Reazione di radiazione
Esercizio 4.5.1. Si integri l’equazione del moto di un elettrone investito da un’onda polarizzata circolarmente tenendo conto della formula di Abraham-Lorentz21 per la reazione
di radiazione:
2 q2
Frr (t) = −
ȧ (t) .
3 4πε0 c3
21
una prima eq. fu proposta da P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. (London) A 167, 148 (1938); il
problema fu riesaminato da L. D. Landau & al. loc. cit. pag. 4.2.1 Sezz. 75 e 76; un esame critico
delle implicazioni legate alla presenza di soluzioni ”in” e ”out” fu pubblicato da J. A. Wheeler and R.
P. Feynman, Rev. Mod. Phys. 17, 157 (1945); una nuova eq. fu proposta da T. C. Mo e C. H. Papas,
Phys. Rev. D 4, 3566 (1971); queste eqq. sono state riesaminate da G. W. Ford and R. F. O’Connell,
Phys. Lett. A 174 (1993); F. Rohrlich, Phys. Rev. D 60, 084017 (1997); –— Phys. Lett. A 283, 276
(2001); R. Rivera and D. Villaroel, Phys. Rev. E 66, 46618 (2002).
4.5 Reazione di radiazione
177
¡
¢
Soluzione: Tenuto conto che in tal caso t a ϕ = ω t − rc ·n̂ = ωt si ha
2 q2
2 q2ω d
ȧ
(t)
=
−
a (ϕ)
3 4πε0 c3
3 4πε0 c3 dϕ
eE d
2 e2 ω
(cos ϕx̂ − sin ϕŷ)
= −
3
3 4πε0 c me ω2 λ dϕ
eE
2 e2 ω
=
(sin ϕx̂ + cos ϕŷ)
3
3 4πε0 c me ω2 λ
Frr (t) = −
Ne discende che
µ
¶
d2
2 e2 ω
eE
eE
cos
ϕ
+
x
=
sin
ϕ
=
cos (ϕ − ϕrr )
dϕ2
me ω 2 λ
3 4πε0 c3
me ω2 λ cos ϕrr
¶
µ
d2
eE
eE
2 e2 ω
y = −
cos ϕ = −
sin (ϕ − ϕrr )
sin ϕ −
2
2
3
2
dϕ
me ω λ
3 4πε0 c
me ω λ cos ϕrr
∙µ
¶
µ
¶
¸
d2
d
d
eE
x cos ϕ −
y sin ϕ
z =
dϕ2
cme ωλ
dϕ
dϕ
dove
2 e2 ω
3 4πε0 c3
tan ϕrr =
per cui
x = α1 −
y = α4 +
eE
me ω 2 λ cos ϕrr
eE
me ω2 λ cos ϕrr
cos (ϕ − ϕrr )
sin (ϕ − ϕrr )
Ne discende che
d2
eE
eE
z =
[sin (ϕ − ϕrr ) cos ϕ − cos (ϕ − ϕrr ) sin ϕ]
2
2
dϕ
cme ωλ me ω λ cos ϕrr
e4 E 2
1
e2 E 2
2
tan
ϕ
=
=
rr
2
2t
2
3
4
2
6
cme ω λ
4πε0 c me λ
ovvero
z = α5 + α6 ϕ +
e4 E 2
1
t2
3 4πε0 c4 m2e λ2
In conclusione sull’elettrone agisce una forza pari a
F(rad) (ω) =
I˜ (ω)
σ T n̂ = w̃ (ω) σ T n̂ ,
c
(4.54)
dove w̃ (ω) rappresenta la densità spettrale di energia dell’onda incidente di frequenza ω.
Esercizio 4.5.2. Si utilizzi l’espressione (5.34) di F(rad) per calcolare la pressione di
radiazione esercitata sull’elettrone legato di un atomo.
178
Teoria delle orbite
Soluzione: Le considerazioni precedenti si estendono al caso di un elettrone legato
sostituendo α̃ e lib con quella dell’elettrone legato α̃℘ (ω). Ne segue che la sezione d’urto
dell’elettrone libero σT va sostituita da una σ̃ (ω) dipendente dalla frequenza secondo la
legge (v. Fig. ??):
σ̃ (ω) = σ T ω 4 α2℘ (ω) .
(4.55)
Per ω prossimo a quella di risonanza ω f i relativa ad una transizione di dipolo elettrico
da uno stato iniziale |ii ad uno finale |f i la sezione d’urto σ̃ (ω) assume la forma
σ̃ f i (ω) =
γf i
σ f i max
.
π (ω − |ω f i |)2 + γ 2f i
(4.56)
con σ f i max ∝ |℘f i |2 essendo ℘f i = hf |℘ · ˆ| ii l’elemento di matrice della transizione
atomica interessata. Pertanto l’espressione (5.29) si modifica in
F(rad) (ω) = w̃ (ω)
γf i
σ f i max
n̂ .
π (ω − |ωf i |)2 + γ 2f i
(4.57)
Moto di particelle cariche
Esercizio 4.5.3. Analizzare il moto della gocciolina d’olio utilizzata nell’esperimento di
Millikan22 tenendo conto della polarizzazione della gocciolina da parte del campo elettrico23
22
Millikan Oil-Drop Experiment http://demonstrations.wolfram.com/MillikanOilDropExperiment/
Wolfram Demonstrations Project
23
Published: December 1, 2011
Dielectric Sphere in a Uniform Electric Field http://demonstrations.wolfram.com/DielectricSphereInAUniformElectricFie
Wolfram Demonstrations Project
Published: January 2, 2013
4.5 Reazione di radiazione
179
Figura 4.19: Andamento schematico della sezione d’urto di un elettrone atomico in funzione della frequenza nell’approssimazione di una risonanza singola.. Si possono individuare tre regioni: bassa frequenza (o
regione di Rayleigh) in cui la polarizzabilità è costante e si osserva una variazione con la quarta potenza di
ω; una regione di risonanza, in cui l’elettrone viene eccitato ad un livello risonante, ed infine una regione
in alta frequenza in cui l’elettrone risponde solo al campo incidente e si comporta quindi come l’elettrone
libero della diﬀusione alla Thomson.
Capitolo 5
Lenti elettrostatiche,
magnetostatiche e trappole
5.1
Lenti elettrostatiche
Esercizio 5.1.1. Analizzare il passaggio di una particella carica attraverso un campo
uniforme che si estende per un tratto da z=0 a z=L. (a) Discutere l’analogia con la
legge di Snell per la rifrazione di raggi luminosi all’interfaccia tra due dielettrici; (b)
Analizzare la riflessione da parte di un potenziale ritardante; (c) analizzare la riflessione
di una congruenza di traiettorie focalizzata sul piano z=01 ;
Soluzione: Con riferimento alle Fig. 5.1,5.2 e 5.3 una particella di carica q che attraversa un campo uniforme E = E ẑ compreso tra z = 0 e z = L descrive una traiettoria di
equazione
z̈ = −
q dV
m dz
r̈ = 0
D’altra parte
¢
1
1 ¡
T = mv 2 = m ż 2 + ṙ2
2
2
e
T − qV = T1 − qV1 = E
con E energia della carica, per cui
r
r
2
2
2
2q
ż =
T − ṙ2 =
(T1 − qV1 ) + V − T1 sin2 α1
m
m
m
m
Pertanto
t =
Z
z
z1
=
1
q
1
2
m
(T1
cos2
α1 − qV1 ) +
r
r
=q
|ṙ|
2
T sin α1
m 1
2q
V
m
dz 0
(z 0 )
v.p.e. H. Liebl, Applied Charged Particle Optics, Springer Verlag, Berlin, 2008, Sez. 1.2 Figg. 1.8,
1.10, 1.11
181
182
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Figura 5.1: Traiettoria di una particella carica che attraversa una regione con campo uniforme diretto
lungo z
Figura 5.2: Traiettoria di una particella carica che attraversa una regione con campo uniforme decelerante
diretto lungo z
5.1 Lenti elettrostatiche
183
Figura 5.3: Riflessione di una congruenza di traiettorie da parte di un campo uniforme decelerante diretto
lungo z
Per un campo uniforme E= E ẑ si ha
V (z 0 ) = V1 + Ez 0
per cui
Z
z
1
q
dz 0
q
0
cos2 α1 + T1 Ez 0
Z q Ez
T1
1
T1
√ 2
=
sin α1
dx
qE
cos α1 + x
0
µr
¶
q
T1
sin α1
cos2 α1 + Ez − cos α1
= 2
qE
T1
r (z) = sin α1
Per Eq > 0 la particella attraversa tutta la regione del campo ed emerge all’altezza r2
pari a (v. Fig. 5.1)
⎛s
⎞
T1
q (V2 − V1 )
sin α1 ⎝ cos2 α1 +
− cos α1 ⎠
r2 = 2
(5.1)
qE
T1
formando con l’asse z un angolo α2 pari a
r
sin α2 = sin α1
T1
= sin α1
T2
s
E + qV1
E + qV2
Quest’altima relazione risulta simile a quella stabilita dalla legge di Snell che mette in
relazione gli angoli di rifrazione di un raggio luminoso all’interfaccia tra due dielettrici.
(b) Per Eq < 0 la particella attraversa la regione del campo fino a
|qE|
zmax = cos2 α1
T1
184
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Figura 5.4: Immagine virtuale della sorgente di particelle cariche emesse da una superficie piana sotto
l’azione di un campo accelerante (da H. Liebl loc. cit. pag. 181)
per riemergere all’altezza r2 = 2rmax con
T1
sin 2α1
|qE|
rmax =
(c) Un fascio di elettroni focalizzati sul piano z = 0 (v. Fig. 5.3) viene rifocalizzato
alla altezza 2rmax per α1 = π/4.
Esercizio 5.1.2. Analizzare l’immagine virtuale di particelle cariche emesse da una superficie piana sotto l’azione di un campo accelerante2
Soluzione: Le cariche emergono dal potenziale accelerante ad una altezza
⎛s
⎞
T1 L
q (V2 − V1 )
sin α1 ⎝ cos2 α1 +
− cos α1 ⎠
r2 = 2
q (V2 − V1 )
T1
(5.2)
con una pendenza
Quando
V2 −V1
T1
tan α2 = q
À 1 risulta
sin α1
T2
T1
sin α1
=q
1
− sin2 α1
q V2T−V
+ cos2 α1
1
s
T1
sin α1
q (V2 − V1 )
sin α1
' q
1
q V2T−V
1
r2 ' 2L
tan α2
ovvero la carica descrive una traiettoria rettilinea proveniente dal punto di coordinate
z = −L e r = 0
Esercizio 5.1.3. Si analizzi l’azione divergente esercitata da una apertura posta di fronte
ad una superficie al termine di un potenziale accelerante3
2
3
v.p.e. H. Liebl, loc. cit. pag. 181, Sez. 1.4
v.p.e. H. Liebl, loc. cit. pag. 181, Sez. 1.8
5.1 Lenti elettrostatiche
185
Figura 5.5
Esercizio 5.1.4. Si scriva l’equazione del moto di un elettrone nel campo creato da una
lente elettrostatica (v. Figg. 5.6 e 5.7). Questa è caratterizzata da un’asse z e da un
potenziale V (ρ, z) indipendente dalla coordinata φ. (a) Scrivere le equazioni del moto di
un elettrone utilizzando le equazioni di Lagrange. (b) Discutere ed integrare le equazioni
del moto per traiettorie che non si allontanano molto dall’asse z.
Soluzione: Dalle equazioni di Eulero-Lagrange
d ∂
∂
L−e V = 0
dt ∂ ż
∂z
d ∂
∂
L−e V = 0
dt ∂ ρ̇
∂ρ
d ∂
L = 0
dt ∂ φ̇
e dalla Lagrangiana di Eq. (??)
∂
L = −me γ ż
∂ ż
∂
L = me γ ρ̇
∂ ρ̇
∂
L = me γρ2 φ̇
∂ φ̇
discende
e ∂
d
(γ ż) = −
V
dt
me ∂z
d
e ∂
(γ ρ̇) =
V
dt
me ∂ρ
d ³ 2 ´
γρ φ̇ = 0
dt
186
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Figura 5.6: Rappresentazione schematica di una lente elettrostatica
Figura 5.7: Schemi di lenti elettrostatiche costituite (in alto) da una coppia di diaframmi a potenziali
diversi e (in baso) da cilindri coessiali da encyclopedia2.thefreedictionary.com
5.1 Lenti elettrostatiche
187
Figura 5.8: Focalizzazione degli elettroni emessi da da un catado mediante una lente elettronica formata
da due diaframmi circolari. La famiglia di curve rappresenta le sezioni delle superfici equipotenziali da
encyclopedia2.thefreedictionary.com
Dall’ultima equazione discende che l’obita ruota attorno all’asse z con velocità angolare
inversamente proporzionale a ρ2
Esprimendo ρ in funzione di z si ottiene la seguente equazione della traiettoria:
¶"
µ
¶2 #
µ
d ∂
d
∂
d2
(5.3)
V − ρ V
1+
ρ
2V 2 ρ =
dz
∂ρ
dz ∂z
dz
(b) Il potenziale soddisfa l’equazione di Laplace
¸
∙
µ
¶
1 ∂
∂
∂2
ρ
+ 2 V =0
ρ ∂ρ
∂ρ
∂z
(5.4)
In prossimità dell’asse z V può essere convenientemente espresso nella forma
X
V (ρ, z) =
Vn (z) ρ2n
n
In vista della (5.4) si ha che i coeﬃcienti Vn (z) sono legati tra loro dalla relazione di
ricorrenza
d2
1
Vn+1 (z) = −
Vn (z)
(2n + 2)2 dz 2
Ne discende che V (ρ, z) si può esprimere nella forma
V (ρ, z) =
X (−1)n
(2n)
V0
(z)
³ ρ ´2n
2
(n!)2
n
¡ d ¢
∂
V con V00 = dz
V0 e tenendo conto della relazione
Sostituendo nella (5.3) ∂z
∂
1
V ' − V000 ρ
∂ρ
2
(5.5)
188
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
l’Eq. (5.3) si riduce a
¶
1 V000
1 V00 d
d2
ρ=0
+
+
dz 2 2 V0 dz 4 V0
che può essere riscritta nella forma
"
¶2 # ³
µ
´
d2
d
3
1/4
ρV
ln
V
=0.
+
0
0
dz 2 16 dz
µ
(5.6)
(5.7)
Esercizio 5.1.5. Si consideri una lente elettrostatica costituita da due cilindri coassiali
di raggio a che si estendono rispettivamente da (−∞, 0) e (0, ∞), separati da una piccola
gap (v. Fig. 5.7-b). In tal caso si dimostra che il potenziale4 lungo l’asse è espresso da
³
z´
V0 (z) = V1 tanh 1.32
a
Analizzare l’equazione delle traiettorie parassiali. (b) Calcolare la lunghezza focale.
Soluzione: La (5.7) si specializza in:
∙ 2
¸³
´
d
1
3
1/4
+
ρV
=0.
0
dζ 2 16 sinh2 ζ
dove ζ =
2.64
z
a
Esercizio 5.1.6. Basandosi sull’Es. 5.1.4 (a) dimostrare che la traiettoria di un elettrone
soddisfa la seguente equazione
p d µp dρ ¶
V 00 ρ
=− 0
(5.8)
V0
V0
dz
dz
4
da cui discende
¯
Z
p dρ ¯2
1 z2 V000 ρ
¯
√ dz
V0 ¯ = −
(5.9)
dz 1
4 z1
V0
(b) Si consideri una traiettoria proveniente da sinistra (destra) parallelamente all’asse
z che interseca quest’ultimo nel fuoco F2 (F1 ) . Esprimere la pendenza del raggio dρ
che
dz
intercetta F2 (F1 ) in funzione della traiettoria a monte
(c) Si definisce lente sottile con centro in z = 0 quella in cui V000 sia diverso da zero in
un intervallo attorno all’origine piccolo rispetto alle distanze f2 (f1 ) dei fuochi dall’origine
(v. Fig. 5.9). Equivalentemente si può definire lente sottile quella per cui la distanza ρ che
moltiplica V000 nell’Eq. (4.28) coincide con quella a monte. Calcolare i fuochi basandosi
su questa approssimazione
Soluzione: (a) Sviluppando la derivata di (5.8) si ottiene l’Eq. (5.6). Integrando si
perviene alla (5.9)
(b) Dal momento che a monte dρ
= 0 si ha:
dz
¯
Z z2 00
1
V0 ρ (z)
dρ ¯¯
√
=− p
dz
(5.10)
¯
dz z2
V0
4 V0 (z2 ) z1
4
(c) Dal momento che si può porre nell’integrale ρ (z) = ρ1 si ha
Z z2 00
V
1
1
√0 dz
= p
f2
V0
4 V0 (z2 ) z1
v.p.e. S. Bertram, Proc. I.R.E. 28, 418 (1940); J. Appl. Phys. 13, 496 (1942)
5.1 Lenti elettrostatiche
189
Figura 5.9: Rappresentazione schematica di una lente sottile a doppia apertura.
Esercizio 5.1.7. Una lente Einzel (singolo in tedesco)(v. Figg. 5.10 e ??) è formata da
una piastra centrale con apertura circolare (2) posta tra due piastre analoghe (1) e (3). Si
dimostra5 che il potenziale lungo l’asse z all’interno della lente è espresso da
¶∙
µ
¶¸
µ
2R z
R
V1 − V2 V3 − V2
|z| −
arctan − 1
+
V0 (z) =
2d12
2d23
π R
z
¶
µ
V1 − V2 V3 − V2
z + V2
+
(5.11)
+ −
2d12
2d23
dove R rappresenta il raggio dell’apertura e dij le distanze tra le piastre.
(a) analizzare le traiettorie parassiali utilizzando i risultati dell’Es. 5.1.4
(b) discutere il comportamento per V1 = V3 = v, V2 = 0 e d12 = d23
(c) calcolare la lunghezza focale
1. Soluzione: (a) V0 dato da (5.11) può essere riscritto in forma adimensionale
V0 (ζ) = A (ζ arctan ζ + 1) + Bζ + V2
con
µ
¶
V1 − V2 V3 − V2
A =
R
+
πd12
πd23
µ
¶
V1 − V2 V3 − V2
B =
−
R
+
2d12
2d23
5
v.p.e. K. R. Spangenberg, Vacuum Tubes, McGraw-Hill, N. Y. 1948 Eqq. (13.36) e (13.37)
190
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Figura 5.10: Lente Einzel asimmetrica con i due elettrodi esterni a terra.(da www.cnf.cornell.edu)
Figura 5.11: Superfici equipotenziali di una lente elettrostatica Einzel
5.1 Lenti elettrostatiche
191
Figura 5.12: Potenziale V0 e derivate V00 e V000 all’interno (z1 , z2 ) di una lente elettrostatica einzel
simmetrica.
Figura 5.13: Andamento di
3
16
³
d
dζ
ln V0
´2
in funzione di z/R
Ne discende (v. Fig. (5.12))
V00
µ
(ζ) = B + A arctan ζ +
ζ
2
ζ +1
2
V000 (ζ) = A ¡ 2
¢2
ζ +1
¶
Le traiettorie si ottengono integrando l’Eq. (5.7) che contiene la funzione
3
16
µ
d
ln V0
dζ
¶2
3
=
16
Ã
ζ
ζ 2 +1
+ arctan ζ
ζ arctan ζ + 1
!2
diagrammata in Fig. (5.13) per una lente di spessore d/R = 5. (b) Per una lente
simmetrica V1 = V3 = V con piastra interna a V2 = 0 si ha
V1
R
d12
B = 0
A =
e l’equazione parassiale assume la forma
"
#
ζ
d2
1
1
1 arctan ζ + ζ 2 +1 d
ρ=0
+ ¡
+
¢
dζ 2 2 ζ arctan ζ + 1 dz 2 ζ 2 + 1 2 (ζ arctan ζ + 1)
192
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Figura 5.14: Traiettoria di un raggio parassiale in una lente Einzel simmetrica
Figura 5.15: !/f in funzione di d/R calcolata con la formula approssimata (??)
o equivalentemente
⎡
Ã ζ
!2 ⎤
2
+ arctan ζ
2
⎣ d + 3 ζ +1
⎦ ρ (ζ arctan ζ + 1)1/4 = 0
2
16
ζ
arctan
ζ
+
1
dζ
che integrate numericamente forniscono il grafico di Fig. (5.14) (c) La lunghezza
focale calcolata con l’Eq. (??) è data da
1
1
=√
f2
ζ arctan ζ + 1
Z
0
ζ2
1
dζ
¢2 √
¡ 2
ζ arctan ζ + 1
ζ +1
Confrontando il grafico di Fig. (5.15) con la triettoria di Fig. (5.14) si evince che
la formula (??) è aﬀetta da errore dovuto alla sostituzione di ρ (z) con ρ1
5.1 Lenti elettrostatiche
193
Figura 5.16: Rappresentazione schematica di un quadrupolo elettrico costituito da 4 cililindri posti a
potenziali alternativamente pari a V e -V
Figura 5.17: Superfici equipotenziali per un quadrupolo elettrico
194
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Esercizio 5.1.8. Si consideri una lente elettrostatica costituita da quattro elettrodi formanti un quadrupolo (v. Fig. 5.16). (a) Calcolare il potenziale in prossimità dell’asse z
(v. Fig. 5.17) e (b) Analizzare le traiettorie parassiali
Soluzione: (a) Il potenziale
V =
X
m
¢
¡
Vm ρ2 , z ei2mφ
soddisfa l’equazione di Laplace. Pertanto
µ
¶
¸
∙
m2 1 ∂ 2
∂
2 ∂
ρ
− 2 +
Vm = 0
∂ρ2
∂ρ2
ρ
4 ∂z 2
(5.12)
In prossimità dell’asse z Vm può essere convenientemente espresso nella forma
¢ X
¡
Vm ρ2 , z =
Vnm (z) ρ2n
n
doveIn vista della (5.4) si ha che i coeﬃcienti Vnm (z) sono legati tra loro dalla equazione
¶
Xµ
¡ 2
¢ 1 00
2
Vnm n − m + Vn−1,m ρ2n−2 = 0
4
n
da cui discende la relazione di ricorrenza
⎛
n
00
Y
Vn−1,m
⎝
Vnm =
=
4 (m2 − n2 )
q=|m|+1
Ne discende che
V (ρ, φ, z) =
XX
m
n
⎛
⎝
n
Y
q=|m|+1
⎞
1
⎠ V (2(n−|m|))
|m|,m
2
2
4 (m − q )
⎞
1
⎠ V (2(n−|m|)) ρ2n ei2mφ
|m|,m
2
2
4 (m − q )
Scegliendo opportunamente gli assi trasversi si ha
¡
¢
V (ρ, φ, z) = V11 ρ2 + V21 ρ4 + · · · cos 2φ
¡
¢
+ V22 ρ4 + V23 ρ6 + · · · cos 4φ + · · ·
(b) Dalle equazioni di Eulero-Lagrange
d ∂
∂
L−e V
dt ∂ ż
∂z
∂
d ∂
L−e V
dt ∂ ρ̇
∂ρ
d ∂
∂
L−e V
dt ∂ φ̇
∂φ
= 0
= 0
= 0
5.2 Lenti magnetostatiche
195
e dalla Lagrangiana di Eq. (??)
∂
L = −me γ ż
∂ ż
∂
L = me γ ρ̇
∂ ρ̇
∂
L = me γρ2 φ̇
∂ φ̇
discende
Approssimando V (ρ, φ, z) con
d
e ∂
(γ ż) = −
V
dt
me ∂z
d
e ∂
(γ ρ̇) =
V
dt
me ∂ρ
e ∂
d ³ 2 ´
γρ φ̇ =
V
dt
me ∂φ
V (ρ, φ, z) = V11 ρ2 cos 2φ
si ha
d
e
(γ ż) = − V110 ρ2 cos 2φ
dt
me
d
e
(γ ρ̇) = 2 V11 ρ cos 2φ
dt
me
³
´
d
e
γρ2 φ̇ = 2 V11 ρ2 sin 2φ
dt
me
Per velocità non relativistiche si ha:
e 0 2
V ρ cos 2φ
me 11
e
ρ̈ = 2 V11 ρ cos 2φ
me
´
³
e
d
ρ2 φ̇ = 2 V11 ρ2 sin 2φ
dt
me
z̈ = −
5.2
Lenti magnetostatiche
Il potere risolutivo di un microscopio è inversamente proporzionale alla lunghezza d´onda
della radiazione utilizzata. Nel 1931 i tedeschi Ernst Ruska e Max Knoll pensarono
di sostituire le onde e.m. con fasci di elettroni6 . Questi si comportano come onde di
lunghezza d’onda pari a quella di de Broglie:
6
p
1
me c
= 2 (γ − 1)
λe
h
v.p.e. O. Klemperer and H. E. Barnett, ”Electron Optics”, Cambridge Univ. Press, 1971; P. W.
Hawkes, ”Magnetic Electron Lenses”, Springer Verlag, N.Y. 1982
196
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Figura 5.18: Microscopio elettronico a scansione. Un fascio di elettroni vien messo a fuoco sul campione.
Dalla regione di impatto del fascio focalizzato vengono sia emessi elettroni secondari che riflessi parte
di quelli incidenti. I rivelatori posti a lato raccolgono questi elettroni e ne misurano le energie. da
www.astarmathsandphysics.com
Utilizzando fasci elettronici (v. Fig. (5.18)) con energia γ suﬃcientemente elevata si
raggiungono risoluzioni di parecchi ordini di grandezza superiore a quella dei dispositivi
ottici7 .
Esercizio 5.2.1. Si scriva l’equazione del moto di un elettrone in una lente magnetostatica (v. Figg. 5.19 e 5.20). (a) Derivare le equazioni del moto (b) Esaminare il caso in
cui A = (0, 0, Aφ ).
Soluzione: (a) In vista delle equazioni di Hamilton
∂
∂
H = −ṗi ,
H = q̇i
∂qi
∂pi
7
v.p.e. L. Artsimovitch et S. Loukianov, Mouvement des particules chargées dans des champs électriques
et magnétique, Ed. MIR Moscou 1975
5.2 Lenti magnetostatiche
197
Figura 5.19: Rappresentazione schematica di una lente magnetica
Figura 5.20: Rappresentazione schematica della forza agente su un elettrone mentre attraversa una lente
magnetica
198
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
e tenendo conto dell’espressione (4.8) si ha:
s
¶2
µ
|p + eA|
∂
2
me c
1+
= −ṗi
∂qi
me c
s
¶2
µ
∂
|p + eA|
2
me c
1+
= q̇i
∂pi
me c
ovvero:
e
(p + 2eA) · ∇A = −ṗ
γme
1
(2p + eA) = v
γme
(b) Per A = (0, 0, Aφ ) si ha:
∂Aφ
∂Aφ
φ̂ρ̂ +
φ̂ẑ
∂ρ
∂z
µ
¶
∂Aφ
∂Aφ
ρ̂ +
ẑ
p · ∇A = pφ
∂ρ
∂z
µ
¶
∂Aφ
∂Aφ
ρ̂ +
ẑ
A · ∇A = Aφ
∂ρ
∂z
∇A =
Pertanto
In particolare
¶
µ
∂Aφ
∂Aφ
e
ρ̂ +
ẑ
= −ṗ
(pφ + 2Aφ )
γme
∂ρ
∂z
´
1 ³
2p + eAφ φ̂ = q̇
γme
e
∂Aφ
(pφ (0) + 2eAφ )
γme
∂z
e
∂Aφ
= −
(pφ (0) + 2eAφ )
γme
∂ρ
= 0
ṗz = −
ṗρ
ṗφ
2
pz = ż
γme
2
pρ = ρ̇
γme
1
(2pφ (0) + eAφ ) = ρφ̇
γme
Combinando la prima con la quarta equazione e la seconda con la quinta si ottiene
2
2e ∂Aφ
ṗz = − 2 2
(pφ (0) + 2eAφ )
γme
γ me ∂z
2
2e ∂Aφ
ρ̈ =
(pφ (0) + 2eAφ )
ṗρ = − 2 2
γme
γ me ∂ρ
z̈ =
(5.13)
5.2 Lenti magnetostatiche
199
(c) Dall’identità vettoriale
∇ × ∇× = ∇∇ · −∇2
segue che
∇ × ∇ × A = μ0 J = ∇∇ · A − ∇2 A = −∇2 A
∇ × ∇ × B = μ0 ∇ × J = ∇∇ · B − ∇2 B = −∇2 B
ovvero in assenza di J A e B soddisfano l’equazione di Laplace:
∇2 A = ∇2 B = 0
Per campi indipendenti da φ si ha per le componenti Aφ e Bz :
µ
¶
1
∂2
1 ∂ ∂
ρ −
Aφ = 0
+
ρ ∂ρ ∂ρ ρ2 ∂z 2
µ
¶
1 ∂ ∂
∂2
Bz = 0
ρ +
ρ ∂ρ ∂ρ ∂z 2
Ne discende che, in analogia col precedente esercizio si può espandere Bz e Aφ in serie di
potenze di ρ:
Bz (ρ, z) =
∞
X
Bn (z) ρ2n
n=0
=
∞
X
(−1)n
n=0
(n!)2
(2n)
B0
= B0 (z) − B000 (z)
(z)
³ ρ ´2n
2
³ ρ ´2
2
dove B0 (z) = Bz (0, z).
In vista della relazione
∇·B=0
o equivalentemente
1 ∂
∂
(ρBρ ) + Bz = 0
ρ ∂ρ
∂z
si ha
ρ
ρ3
Bρ = − B00 (z) + B0000 (z) + · · ·
2
16
Ragionando in termini di Aφ (ρ, z) si ottiene
³ ρ ´2n+1
(−1)n
(2n)
Aφ (ρ, z) =
(z)
B
0
2
(n!)2 (n + 1)
n=0
´
³
ρ 1
ρ 3
= B0 (z) − B000 (z)
2 2
2
∞
X
200
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Sostituendo queste espansioni in (5.13) si perviene all’equazione del moto:
µ
µ
³ ´3 ¶ ∙
³ ´3 ¶¸
e
0
000 ρ
00 ρ
z̈ = − 2 2 B0 ρ − B0
pφ (0) + e B0 ρ − B0
γ me
2
2
µ
¶∙
¶¸
µ
´
³
3
3 00 2
e
00 ρ
pφ (0) + e B0 ρ − B0
ρ̈ = − 2 2 B0 − B0 ρ
γ me
8
2
Infine, trascurando termini di ordine superiore a ρ si ha
e
pφ (0) B00 ρ
γ 2 m2e
e
ρ̈ = − 2 2 B0 (pφ (0) + eB0 ρ)
γ me
z̈ = −
Per pφ (0) = 0 si ha
z̈ = 0
µ
eB0
ρ̈ = −
γme
ovvero
Per γ ∼ 1
d2
1 1
ρ
+
dz 2
c2 γ 2 − 1
µ
d2
1 1
ρ+ 2
2
dz
2c γ − 1
µ
¶2
eB0
γme
eB0
me
ρ
¶2
ρ=0
¶2
ρ=0
Esprimendo l’energia me c2 (γ − 1) in eV si ottiene
d2
e B02
ρ
+
ρ=0
dz 2
2me V
ovvero
(5.14)
2
d2
10 B0
ρ=0
ρ
+
2.20
×
10
dz 2
V
Esercizio 5.2.2. Con riferimento all’esercizio precedente calcolare (a) la lunghezza focale
di una lente magnetica costituita da una spira circolare perpendicolare all’asse z e centro
in z e (b) l’angolo di rotazione φ.
Soluzione: In prossimità dell’asse z normale ad una lente magnetica formata da una
spira di raggio a attraversata dalla corrente I, il potenziale vettore Aφ (z, ρ) e Bz (z, 0)
sono dati da (v. Eq. (3.16))
Aφ (z, ρ) = μ0 If (z) ρ
Bz (z, 0) = B0 (z) = 2μ0 If (z)
con
f (z) =
a2
1
4 (a2 + z 2 )3/2
5.2 Lenti magnetostatiche
201
Integrando l’equazione parassiale (5.14) della traiettoria per un elettrone proveveniente
da z = −∞ parallelamente all’asse si ha:
¯
Z ∞
d ¯¯
e
=−
B02 ρdz
ρ¯
dz z=∞
8me V −∞
D’altra parte se si trascura la variazione di ρ (z) nel tratto in cui B02 (z) 6= 0 si ottiene:
¯
Z ∞
d ¯¯
e
1
ρ¯
ρ (−∞)
=−
B02 dz ≡ − ρ (−∞)
dz z=∞
8me V
f1
−∞
dove f1 rappresenta la distanza tra le intersezioni della traiettoria rettilinea d’uscita con
l’asse z e con la traiettoria di ingresso; ovvero f1 rappresenta la lunghezza focale. In
particolare per la spira si ha
Z ∞
Z ∞
1
e
eμ20 I 2 1
1
2
=
B0 dz =
dz
−
f1
8me V −∞
2me V 16a −∞ (1 + z 2 )3
eμ20 I 2 1 3
I2
=
π=
(5.15)
2me V 16a 8
97.9V a
Tenuto conto che
φ̇ =
e
B0
2γme
si ottiene
r
Z ∞
Z
1
1.480 × 105 ∞
e
√
φ= √
B0 dz =
B0 dz
2 V 2me −∞
V
−∞
Esercizio 5.2.3. Si consideri un elettrone che viaggi attraverso un quadrupolo magnetico
costituito da due spire parallele di raggio a, distanti 2Z tra loro ed attraversate da correnti
I uguali ed opposte (v. Sez. ). Analizzare la lunghezza focale della lente al variare di Z.
Soluzione: In prossimità dell’asse z del quadrupolo, costituito da due bobine di Helmholtz
coassiali di raggio a, con centri in ±Z dell’asse z di un sistema di coordinate cilindriche,
ed attraversate dalla corrente I, il potenziale vettore Aφ (z, ρ) è dato da (v. Eq. (3.16))
Aφ (z, ρ) = μ0 If (z) ρ
B0 (z) = 2μ0 If (z)
con
1
f (z) = a2
4
Ã
1
(a2 + z 2 − 2zZ + Z 2 )3/2
−
1
(a2 + z 2 + 2zZ + Z 2 )3/2
!
Ne discende che la (5.15) relativa ad una singola sira viene sostituita da
µ ¶
Z
eμ20 I 2 1
1
g
− =
f1
2me V 16a
a
dove
⎛
⎞2
µ ¶ Z ∞
1
Z
1
⎜
⎟
g
=
⎝³
´3/2 − ³
´3/2 ⎠ dz
¡
¡
¢
¢
a
2
2
−∞
1 + z 2 − 2z Za + Za
1 + z 2 + 2z Za + Za
è riportata in Fig. (5.21)
202
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Figura 5.21: Andamento dell’inversa lunghezza focale di un quadrupolo magnetico al variare della distanza
tra le due spire
Figura 5.22: Sezione di un quadrupolo magnetico inserito su una linea di trasporto di fasci di particelle
cariche
Esercizio 5.2.4. Si consideri un quadrupolo magnetico del tipo indicato in figg. 5.22 e
5.23. Calcolare l’azione dello stesso su un fascio di particelle8
Soluzione: Si scelga un sistema di riferimento con l’asse z perpendicolare al piano di
figura. In prossimità di z il campo magnetico è dato da:
Bx = by
By = −bx
Esercizio 5.2.5. Si consideri la lente magnetica di Glazer9 in cui
B0 (z) =
8
9
B1
¡ ¢2
1 + az
Magnet Types in Particle Accelerators from the Wolfram Demonstrations
http://demonstrations.wolfram.com/MagnetTypesInParticleAccelerators/
Project
Contributed by: Jakub Šerých
W. Glazer, Zeit. für Physik 111, 285 (1941); L. Marton and R. G. E. Hutter, Optical constants of a
magnetic type electron microsope, Proc. I.R.E. 32, 546 (1944)
5.2 Lenti magnetostatiche
203
Figura 5.23: Lente magnetica a quadrupolo trasverso da www.helmholtz-berlin.de
Verificare che per questo profilo di campo si può calcolare analiticamente la traiettoria di
un generico elettrone parassiale
Soluzione: Una traiettoria parassiale è definita dall’equazione
!
Ã
1
eB12 a2
d2
+
¡
¢ ρ=0
dζ 2 8me V 1 + ζ 2 2
dove ρ/a = y, ζ = z/a. Ponendo
ζ = cot ϕ , ρ =
v (ϕ)
sin ϕ
e tenendo conto della relazione
d
d
= − sin2 ϕ
,
dζ
dϕ
sostituendo nella (5.16) si ottiene
d
d v
eB12 a2
sin2 ϕ
+
sin ϕv = 0
dϕ
dϕ sin ϕ 8me V
Sviluppando si arriva facilmente all’equazione:
¶
µ 2
eB12 a2
d
v=0
+1+
dϕ2
8me V
Pertanto si ha:
ρ=C
⎛s
eB12 a2
⎞
a
sin ⎝ 1 +
ϕ + ψ⎠
sin ϕ
8me V
(5.16)
204
5.3
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Elettroni in un’onda piana
Esercizio 5.3.1. Analizzare la traiettoria di un elettrone in un’onda piana monocromatica di frequenza ω che viaggia lungo la direzione n̂. Analizzare i casi (a) onda polarizzata linearmente, (b) onda polarizzata circolarmente con sovrapposto un campo magnetico
statico B0 = B0 n̂ diretto lungo n̂.e (c) come in (b) per B0 = 0 10
Soluzione: In via preliminare si ricorda che:
1
L = − me c2 − ev · A + eV
γ
dove
Ne discende che
¶¸
∙
µ
1
A (r, t) = A0 exp −iω t − n̂·r
c
V (r, t) = 0
¶¸
∙
µ
1
1
2
L = − me c − ev · A0 exp −iω t − n̂·r
γ
c
Dalle equazioni di Lagrange
d ∂
∂
L=
L
dt ∂ q̇j
∂qj
discende che
¶¸
∙
µ
d
e ³
v´
v
1
(γv) = iω
1 − · n̂ + n̂ · A0 exp −iω t − n̂ · r
dt
me
c
c
c
£
¡
¢¤
Sostiuendo iωA0 exp −iω t − 1c n̂ · r con −E (r, t) l’equazione del moto assume la forma
e ³
v´
d
v
(γv) = −
1 − · n̂ + n̂ · E .
dt
me
c
c
(5.17)
Moltiplicando scalarmente per n̂ e tenendo conto del fatto che E · n̂ = 0 si ottiene:
e v
d
(γv · n̂) = −
·E
dt
me c
Tenendo ora conto dell’equazione dell’energia
me c2
ne discende che la quantità
d
γ = −eE · v
dt
¶
µ
1
λ = γ 1 − n̂ · v
c
è un invariante del moto. Pertanto la (5.17) si può riscrivere nella forma
µ
¶
d
e λ
v
(γv) = −
+ n̂ · E .
dt
me γ
c
10
v.p.e. P. C. Clemmow et al. loc. cit. pag. 149 Sez. 4.5.2
(5.18)
5.3 Elettroni in un’onda piana
205
Passando dalla variabile t alla fase ϕ:
¶
µ
1
ϕ = ω t − n̂ · r
c
si ha
1 d
d
= λω
dt
γ dϕ
In particolare
γv = λω
d
r
dϕ
e
1 d2
d
r
(γv) = λ2 ω 2
dt
γ dϕ2
Sostituendo quest’ultima espressione nella (5.18) si ottiene
∙
µ
¶ ¸
d2
ω
d
e
E+
E·
r n̂
r=−
dϕ2
me ω 2 λ
c
dϕ
(5.19)
(a) Per un’onda polarizzata linearmente si ha
n̂ = ẑ , E = E cos ϕx̂ ,
e l’Eq. (5.19) si riduce a
d2
eE
cos ϕ
x
=
−
dϕ2
me ω 2 λ
d2
y = 0
dϕ2
µ
¶
eE
d2
d
z = −
x cos ϕ
dϕ2
cme ωλ dϕ
Da cui integrando si ottiene:
x = α1 + α2 ϕ +
eE
cos ϕ
me ω 2 λ
y = α3 + α4 ϕ
z = α5 + α6 ϕ +
eE
e2 E 2
sin 2ϕ
α2 cos ϕ −
cme ωλ
8cm2e ω3 λ2
(5.20)
con αi costanti dipendenti dalle condizioni iniziali.
(b) Per un’onda polarizzata circolarmente
n̂ = ẑ , E = E (cos ϕx̂ − sin ϕŷ) ,
con sovrapposto un campo magnetico B0 = B0 n̂ si ottiene
d2
eE
Ω d
x = −
cos ϕ +
y
2
2
dϕ
me ω λ
ω dϕ
eE
Ω d
d2
y =
sin ϕ −
x
2
2
dϕ
me ω λ
ω dϕ
∙µ
¶
µ
¶
¸
d
d
eE
d2
x cos ϕ −
y sin ϕ
z = −
dϕ2
cme ωλ
dϕ
dϕ
(5.21)
206
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
con
Ω=−
eB0
me λ
la girofrequenza relativistica. Integrando si ha:
E
ϕ sin ϕ
B0 ω
E
ϕ cos ϕ
y = α4 + α3 cos ϕ + α2 sin ϕ +
B0 ω
E 2
E2 3
z = α5 + α6 ϕ + α3
ϕ +
ϕ
2cB0
6cB02
x = α1 + α2 cos ϕ − α3 sin ϕ +
(c) Per Ω = 0 il sistema (5.21) si riduce a:
d2
eE
cos ϕ
x = −
2
dϕ
me ω 2 λ
d2
eE
y =
sin ϕ
2
dϕ
me ω 2 λ
∙µ
¶
µ
¶
¸
d
d
eE
d2
x cos ϕ −
y sin ϕ
z = −
dϕ2
cme ωλ
dϕ
dϕ
Ne discende che:
eE
cos ϕ
me ω2 λ
eE
sin ϕ
y = α4 +
me ω 2 λ
z = α5 + α6 ϕ
x = α1 −
(5.22)
Esercizio 5.3.2. Pe i casi (a) e (c) dell’Eser. 5.3.1 analizzare la dipendenza della fase
ϕ da t in funzione del campo incidente, assumendo che i coeﬃcienti α1···6 di Eq. (5.20) e
α1 , α4 , α5 , α6 di (5.22) siano nulli.
Soluzione: (a) Dal momento che la fase è data da
³
z´
ϕ=ω t−
c
dalla (5.20) si ottiene
ϕ − ε sin 2ϕ = ωt
dove
ε=
e2 E 2
8c2 m2e ω 2 λ2
Ponendo
ϕ = ωt + ψ
si ha
ψ = ε sin (2ωt + 2ψ)
(5.23)
5.3 Elettroni in un’onda piana
207
Per ε ¿ 1 si può sviluppare ψ in serie
ψ = εψ(1) + ε2 ψ(2) + ε3 ψ(3) + · · ·
che sostituita nella (5.23)
fornisce
³
´
ψ(1) + εψ(2) + · · · = sin 2ωt + 2εψ(1) + 2ε2 ψ(2) + · · · ψ
ψ(1) = sin (2ωt)
ψ(2) = 2 cos (2ωt) sin (2ωt) = sin (4ωt)
´
³
´
³
ψ(3) = sin (2ωt) cos 2εψ(1) + cos (2ωt) sin 2ε2 ψ(2)
= −2 sin3 (2ωt) + 2 cos (2ωt) sin (4ωt)
(b) Per il caso (c) si ha
ϕ = ωt
Esercizio 5.3.3. Un elettrone investito da un’onda piana monocromatica di frequenza ω
polarizzata linearmente, che viaggia lungo la direzione ẑ , descrive un’orbita a forma di 8
espressa parametricamente nella forma,
eE
cos ϕ (t)
me ω 2 λ
ye (t) = 0
e2 E 2
ze (t) = −
sin (2ϕ (t))
8cm2e ω 3 λ2
xe (t) =
(5.24)
dove ϕ (t) è la fase
µ
¶
1
ϕ = ω t − ze (t)
c
che si può approssimare per campi di media intensità con l’espressione:
ϕ (t) = ωt +
e2 E 2
sin (2ωt)
8c2 m2e ω 2 λ2
(a) Rappresentare xe (t) e ze (t) come serie di Fourier utilizzando l’identità di Jacobi:
−ix cos θ
e
=
∞
X
(−i)n Jn (x) einθ
(5.25)
n=−∞
con Jn (x) funzione di Bessel di ordine n intero. (b) Associando all’elettrone in movimento
una densità di carica
ρe (r, t) = −eδ (3) (r − xe (t) x̂) = −eδ (y) δ (z) δ (x − xe (t))
e di corrente
Je (r,t) = −eδ (y) δ (z) δ (x − xe (t)) ẋe (t) x̂
calcolare le trasformata di Fourier di ρe (r, t) e Je (r,t) (c) Tener conto dell’oscillazione
lungo z.
208
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Soluzione: Ponendo
eE
me ω 2 λ
e2 E 2
ε =
8c2 m2e ω2 λ2
ξ =
e tenendo conto dell’espansione
iθ+iε sin 2θ
e
iθ−iε cos(2θ+ π2 )
= e
=
∞
X
Jn (ε) ei(2n+1)θ
n=−∞
∞
X
ei2θ+i2ε sin 2θ =
Jn (2ε) ei2(n+1)θ
n=−∞
si ha
xe (t)
= cos ϕ (t) = Re eiθ+iε sin(2θ)
ξ
∞
X
=
Jn (ε) cos (2n + 1) θ
(5.26)
n=−∞
e
ze (t)
= sin 2ϕ (t) = Im ei2θ+i2ε sin 2θ
ε
∞
X
=
Jn (2ε) sin 2 (n + 1) θ
(5.27)
n=−∞
(b) Dal momento che xe (t) , ze (t) sono funzioni periodiche di t risulta in generale
ρe (r, t) = −eδ (y) δ (n)
∞
X
[Sn (s) sin (nωt) + Cn (s) cos (nωt)]
n=−∞
dove s sta per l’ascissa curvilinea lungo la traiettoria mentre δ (n) sta per delta lungo la
normale alla traiettoria nel piano x-z. Infine
Z
Sn (s)
sin (nωt)
1 T
δ (s − se (t))
=
dt
(5.28)
T 0
Cn (s)
cos (nωt)
Ignorando per il momento il contributo di ze (t) Sn (s) = Sn (x) e Cn (s) = Cn (x) si
riducono a:
Z
Sn (x)
1 2π
sin (nωt) dt
=
dϕ
δ (x − ξ cos ϕ)
Cn (x)
T 0
cos (nωt) dϕ
Dal momento che
ωt = ϕ − ε sin (2ϕ)
si ha
ω
dt
= 1 − 2ε cos (2ϕ)
dϕ
5.3 Elettroni in un’onda piana
209
Ne discende che
Sn (x)
1
=
Cn (x)
2π
µZ
0
π
+
Z
π
2π ¶
δ (x − ξ cos ϕ) [1 − 2ε cos (2ϕ)]
sin [n (ϕ − ε sin (2ϕ))]
dϕ
sin [n (ϕ − ε sin (2ϕ))]
Per assegnato x l’argomento di δ (x − ξ cos ϕ) si annulla per
ϕ (x) = ± arccos x0
dove
x0 = x/ξ.
Ne segue che
Sn (x)
=
Cn (x)
½
0
1 cos[n(ϕ(x)−ε sin(2ϕ(x)))][1−2ε cos 2ϕ(x)]
πξ
|sin ϕ(x)|
Per ε suﬃcientemente picolo Cn (x) si riduce a
√
¢n
¡
1 cos [n (ϕ (x))]
1 einϕ(x) + e−inϕ(x)
1 Re x0 + i 1 − x02
√
√
√
Cn (x) =
=
=
πξ
2πξ
πξ
1 − x02
1 − x02
1 − x02
µ
¶
X n
¡
¢
1
1
0m
02 (n−m)/2
√
=
1
−
x
x
πξ 1 − x02 m m
In particolare:
1
1
√
πξ 1 − x02
x0
1
√
πξ 1 − x02
1 2x02 − 1
√
πξ 1 − x02
1 −2x03 + 3x0
√
πξ
1 − x02
1 −10x04 + 10x02 + 1
√
πξ
1 − x02
C0 (x) =
C1 (x) =
C2 (x) =
C3 (x) =
C4 (x) =
per cui
δ (x − xe (t)) =
In definitiva
r
2
1
√
(1 + x0 cos ωt
π 1 − x02
¡
¢
¡
¢
+ 2x02 − 1 cos 2ωt + −2x03 + 3x0 cos 3ωt
¢
¢
¡
+ −10x04 + 10x02 + 1 cos 4ωt + · · · .
F {δ (x − xe (t))} =
X
n
Cn (x) [δ (
+ nω) + δ (
− nω)]
210
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
(c) Per tener conto anche del movimento lungo z si deve procedere al calcolo di (5.28)
che diﬀerisce per la sostituzione di δ (s − xe (t)) con δ (s − se (t)) . Ne discende che Cn (s)
dx ds
coincide con l’espressione di Cn (x) moltiplicata per dϕ
/ dϕ , ovvero
Cn (s) = Cn (x)
= −
dx
dϕ
ds
dϕ
1 cos [n (ϕ (x) − ε sin (2ϕ (x)))] [1 − 2ε cos 2ϕ (x)]
q
π
ξ 2 sin2 ϕ (x) + 4ε2 cos2 2ϕ (x)
Esercizio 5.3.4. Calcolare il momento angolare orbitale trasferito ad un elettrone investito da un’onda piana monocromatica di frequenza ω0 polarizzata circolarmente, che
viaggia lungo la direzione ẑ
Soluzione: Un elettrone investito da un’onda piana polarizzata circolarmente
E (t) = E Re [(x̂ + iŷ) exp (−iω 0 t)]
descrive un’orbita circolare
re (t) = ρe Re [(x̂ + iŷ) exp (−iω0 t)]
con
eE
me ω 20 γ
Pertanto l’onda trasferisce all’elettrone un momento angolare pari a
ρe =
L =
=
con S vettore di Poynting
5.4
me ρ2e ω 0 ẑ
e2 E 2
=
ẑ
me ω30 γ 2
2e2
S
me ω 30 ε0 cγ 2
1
S = ε0 cE 2
2
Reazione di radiazione
Esercizio 5.4.1. Si integri l’equazione del moto di un elettrone investito da un’onda polarizzata circolarmente tenendo conto della formula di Abraham-Lorentz11 per la reazione
di radiazione:
2 q2
Frr (t) = −
ȧ (t) .
3 4πε0 c3
11
una prima eq. fu proposta da P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. (London) A 167, 148 (1938); il problema
fu riesaminato da L. D. Landau e E. M. Lifshitz,”Fisica teorica: Elettrodinamica dei mezzi continui
VIII”, Ed. Riuniti, Roma 1986 Sezz. 75 e 76; un esame critico delle implicazioni legate alla presenza
di soluzioni ”in” e ”out” fu pubblicato da J. A. Wheeler and R. P. Feynman, Rev. Mod. Phys. 17,
157 (1945); una nuova eq. fu proposta da T. C. Mo e C. H. Papas, Phys. Rev. D 4, 3566 (1971);
queste eqq. sono state riesaminate da G. W. Ford and R. F. O’Connell, Phys. Lett. A 174 (1993);
F. Rohrlich, Phys. Rev. D 60, 084017 (1997); –— Phys. Lett. A 283, 276 (2001); R. Rivera and D.
Villaroel, Phys. Rev. E 66, 46618 (2002).
5.4 Reazione di radiazione
211
¡
¢
Soluzione: Tenuto conto che in tal caso t a ϕ = ω t − rc ·n̂ = ωt si ha
2 q2
2 q2ω d
ȧ
(t)
=
−
a (ϕ)
3 4πε0 c3
3 4πε0 c3 dϕ
eE d
2 e2 ω
(cos ϕx̂ − sin ϕŷ)
= −
3
3 4πε0 c me ω2 λ dϕ
eE
2 e2 ω
=
(sin ϕx̂ + cos ϕŷ)
3
3 4πε0 c me ω2 λ
Frr (t) = −
Pertanto
µ
¶
d2
2 e2 ω
eE
eE
cos
ϕ
+
x
=
sin
ϕ
=
cos (ϕ − ϕrr )
dϕ2
me ω 2 λ
3 4πε0 c3
me ω2 λ cos ϕrr
¶
µ
d2
eE
eE
2 e2 ω
y = −
cos ϕ = −
sin (ϕ − ϕrr )
sin ϕ −
2
2
3
2
dϕ
me ω λ
3 4πε0 c
me ω λ cos ϕrr
∙µ
¶
µ
¶
¸
d2
d
d
eE
x cos ϕ −
y sin ϕ
z =
dϕ2
cme ωλ
dϕ
dϕ
dove
2 e2 ω
3 4πε0 c3
tan ϕrr =
per cui
x = α1 −
y = α4 +
eE
me ω 2 λ cos ϕrr
eE
me ω2 λ cos ϕrr
cos (ϕ − ϕrr )
sin (ϕ − ϕrr )
Ne discende che
d2
eE
eE
z =
[sin (ϕ − ϕrr ) cos ϕ − cos (ϕ − ϕrr ) sin ϕ]
2
2
dϕ
cme ωλ me ω λ cos ϕrr
e4 E 2
1
e2 E 2
2
tan
ϕ
=
=
rr
2
2t
2
3
4
2
6
cme ω λ
4πε0 c me λ
ovvero
z = α5 + α6 ϕ +
e4 E 2
1
t2
3 4πε0 c4 m2e λ2
In conclusione sull’elettrone agisce una forza pari a
F(rad) (ω) =
I˜ (ω)
σ T n̂ = w̃ (ω) σ T n̂ ,
c
(5.29)
dove w̃ (ω) rappresenta la densità spettrale di energia dell’onda incidente di frequenza ω.
Esercizio 5.4.2. Si utilizzi l’espressione (5.34) di F(rad) per calcolare la pressione di
radiazione esercitata sull’elettrone legato di un atomo.
212
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Soluzione: Le considerazioni precedenti si estendono al caso di un elettrone legato
sostituendo α̃ e lib con quella dell’elettrone legato α̃℘ (ω). Ne segue che la sezione d’urto
dell’elettrone libero σT va sostituita da una σ̃ (ω) dipendente dalla frequenza secondo la
legge (v. Fig. ??):
σ̃ (ω) = σ T ω 4 α2℘ (ω) .
(5.30)
Per ω prossimo a quella di risonanza ω f i relativa ad una transizione di dipolo elettrico
da uno stato iniziale |ii ad uno finale |f i la sezione d’urto σ̃ (ω) assume la forma
γf i
σ f i max
σ̃ f i (ω) =
.
(5.31)
π (ω − |ω f i |)2 + γ 2f i
con σ f i max ∝ |℘f i |2 essendo ℘f i = hf |℘ · ˆ| ii l’elemento di matrice della transizione
atomica interessata. Ne discende che l’espressione (5.29) si modifica in
γf i
σ f i max
F(rad) (ω) = w̃ (ω)
n̂ .
(5.32)
π (ω − |ωf i |)2 + γ 2f i
5.5
5.5.1
Tubi a microonde
Klystron
I fratelli Russell e Sigurd Varian della Stanford University inventorono il klystron nel
1937. Questi sono usati come amplificatori a microonde e a RF per produrre sia segnali
a bassa potenza per ricevitori supereterodina che di alta potenza per trasmettitori radar
e per acceleratori di particelle. A SLAC, per esempio, i klystron forniscono potenze di
picco dell’ordine di 50 MW per impulso e 50 kW medi a frequenze dell’ordine di 3 GHz.
I klystron oﬀrono il vantaggio di controllare in modo preciso ampiezza, frequenza e fase
dei segnali.
Un fascio di elettroni viene prodotto da un catodo termoionico (un pellet di materiale
riscaldato con bassa funzione lavoro), e accelerati da elettrodi ad alta tensione (tipicamente nell’ordine di decine di kV). Il fascio viene quindi fatto passare attraverso una
cavità. Il segnale a RF viene iniettato nella cavità di ingresso (buncher), il cui campo
agisce sul fascio di elettroni modulandolo in una sequenza di pacchetti (bunches).
Il fascio elettronico è mantenuto focalizzato da un campo magnetico parallelo e trasferito attraverso un tubo di deriva (drift) ad una seconda cavità contenente l’anodo. Durante
l’attraversamento del tubo di drift il fascio subisce una modulazione di velocità da parte del
segnale entrante. All’ingresso della seconda cavità, la modulazione di velocità si trasforma in una modulazione di densità, si formano cioè dei pacchetti di elettroni addensati.
Questi pacchetti, entrando nella cavità, eccitano onde stazionarie alla stessa frequenza del
segnale di ingresso. Il campo così prodotto viene prelevato da appositi accoppiatori.
5.5.2
Magnetron
5.5.3
Tubo ad onda progressiva (TWT)
5.6
Forza ponderomotrice
Esercizio 5.6.1. Si consideri una carica q di massa m in un campo elettrico oscillante
mr̈ = qE (r) cos (ωt)
5.6 Forza ponderomotrice
213
Figura 5.24: Andamento schematico della sezione d’urto di un elettrone atomico in funzione della frequenza nell’approssimazione di una risonanza singola.. Si possono individuare tre regioni: bassa frequenza (o
regione di Rayleigh) in cui la polarizzabilità è costante e si osserva una variazione con la quarta potenza di
ω; una regione di risonanza, in cui l’elettrone viene eccitato ad un livello risonante, ed infine una regione
in alta frequenza in cui l’elettrone risponde solo al campo incidente e si comporta quindi come l’elettrone
libero della diﬀusione alla Thomson.
Figura 5.25: Rappresentazione schematica di un klystron
214
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Figura 5.26
Figura 5.27
5.6 Forza ponderomotrice
215
Analogamente a quanto si è fatto nell’esercizio 4.3.1 si ponga (v. Eq. (4.28))
r (t) = r0 (t) + s1 (t)
dove s1 (t) rappresenta il contributo oscillante alla frequena ω e r0 (t) un contributo di
deriva lentamente variabile. Si derivino le equazioni del moto di r0 (t) e s1 (t)
Soluzione: Ponendo
l’eq. del moto diventa
E (r) = E (r0 ) + ∇E (r0 ) · s1 (t)
m (r̈0 (t) + s̈1 (t))
= q [E (r0 ) + ∇E (r0 ) · s1 (t)] cos (ωt)
(5.33)
Trascurando il contributo di r̈0 (t) si ottiene
ms̈1 (t) = qE (r0 ) cos (ωt)
ovvero
q
E (r0 ) cos (ωt)
mω2
Sostituendo in (5.33) e rimuovendo i contributi oscillanti si ottiene12
s1 (t) = −
mr̈0 (t) = q∇E (r0 ) · s1 (t) cos (ωt) − ms̈1 (t)
q2
q2
= −
∇E
(r
)
·
E
(r
)
=
−
∇ |E (r0 )|2
0
0
2
2
mω
4mω
Se ne evince che la carica viene spinta verso le regioni in cui il campo risulta minimo.
Esercizio 5.6.2. Si consideri una particella di polarizzabilità α℘ (ω) di massa m in un
campo elettrico oscillante
³
´
³
´
E (r,t) = Re Ẽ (r) e−iω0 t = Re Ẽ0 (r) eiϕ(r) e−iω0 t+ikz .
Si calcoli la forza F(rad) esercitata sulla particella.
Soluzione: Se si indica con ρ̃℘ (r) la densità di carica indotta nella sfera polarizzata,
su quest’ultima si esercita una forza
³
´
1
Re 0 ρ̃℘ (r) · Ẽ∗ (r) d3 r
F(rad) =
2
¶
µZ
µ
¶
¯
1
¯
∗
∗
3
dr
Re
ρ̃℘ (r) · Ẽ (r0 ) + (r − r0 ) · ∇Ẽ (r)¯
'
2
r=r0
sf era
¶
µ
¯
1
¯
∗
Re ℘˜ · ∇Ẽ (r)¯
=
2
r=r0
¶
µ
¯
1
¯
∗
∗
.
(5.34)
Re α℘ (ω) Ẽ (r0 ) · ∇Ẽ (r)¯
=
2
r=r0
12
P. Luchini, C. H. Papas, S. Solimeno, Appl. Phys. B28, 15 (1982); A. Ashkin, J. M. Dziedzic, J. E.
Bjorkholm, S. Chu, Opt. Lett. 11 288 (1986). Forze analoghe, utilizzate da Townes per realizzare il
¯ ¯2
¯ ¯
maser ad ammoniaca, si sono incontrate parlando dell’NH3 in Sez. 8.7.4 con F proporzionale a ∇ ¯Ẽ0 ¯
attraverso il momento di dipolo permanente ℘ della molecola.
216
5.6.1
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Pinzette ottiche
Esercizio 5.6.3. La descrizione delle forze associate all’interazione di campi ottici con
particelle immerse in fluido assume una forma particolarmente semplice quando si considerano nanoparticelle di raggio a < λ/20, essendo λ la lunghezza d’onda della radiazione nel
mezzo. In tal caso una nanoparticella dielettrica illuminata da un’onda e.m. si comporta
come un dipolo oscillante alla frequenza del campo incidente. Il moto della particella non
è in grado di seguire le variazioni istantanee di E(r,t), ma è influenzato dal suo inviluppo
Ẽ0 (r).
Soluzione13 : Si consideri una particella sferica di raggio a (< λ/20) , con centro in r0
e indice di rifrazione ñ2 + iκ̃2 , immersa in un fluido di indice ñ1 + iκ̃1 ed investita da
un’onda quasipiana
³
´
³
´
−iω0 t
iϕ(r) −iω 0 t+ikz
E (r,t) = Re Ẽ (r) e
= Re Ẽ0 (r) e
,
e
in cui Ẽ0 (r) varia lentamente sia lungo z che trasversalmente, esprimibile p.e. con
l’integrale di Luneburg-Debye (v. Eqq. (8.6,??) . In tal caso α̃℘ che descrive la risposta dell’intera sfera, calcolabile facendo riferimento al caso elettrostatico in vista della
disuguaglianza a ¿ λ, è data da
|α̃0 |2 k 3
α̃℘ = α̃0 − i
= α̃0℘ − iα̃00℘ ,
2
6πñ1
dove
(ñ2 + iκ̃2 )2 − (ñ1 + iκ̃1 )2
0
00
2
2 = α̃0 − iα̃0 ,
(ñ2 + iκ̃2 ) + (ñ1 + iκ̃1 )
dipende dal salto di indice di rifrazione tra la sfera ed il fluido circostante. Il contributo alla
polarizzabilità proporzionale a k3 (k = ωñ1 /c) tiene conto del fatto che la sfera reirradia
parte della potenza e.m. incidente dando luogo alla diﬀusione di Rayleigh, come si è già
visto per l’elettrone.
´
³
Tenendo conto che ∇Ẽ = eiϕ(r) ∇Ẽ0 + iẼ0 ∇ϕ dalla Eq. (5.34) discende che
α̃0 = 4πa3
(rad)
F
´ ε
³
ε0
0
= Re α̃℘ Ẽ · ∇Ẽ∗ =
2
2
µ
¶
¯ ¯2
1 0 ¯¯ ¯¯2
¯
00 ¯
α̃ ∇ ¯Ẽ0 ¯ + α̃℘ ¯Ẽ0 ¯ ∇ϕ ,
2 ℘
(rad)
ovvero
da un contributo dovuto al gradiente della densità di energia
¶
µ F ¯ è ¯costituita
2
¯ ¯
e.m. α̃0℘ ∇ ¯Ẽ0 ¯ e da un termine proporzionale al gradiente della fase
Ã
|α̃0 |2 k3
α̃000 +
6πñ21
!
¯ ¯2
¯ ¯
¯Ẽ0 ¯ ∇ϕ .
La forza proporzionale al gradiente della densità di energia e.m. tende ad intrappolare
la particella nella regione di massima densità. Nel 1986 Ashkin et al pensarono di utilizzare
questo tipo di forze per catturare nel fuoco di un fascio laser ben focalizzato particelle
micrometriche. Da allora l’uso di queste pinzette ottiche (OT) è stato esteso a diversi
sistemi di micro e nanoparticelle.
13
a cura della D.ssa G. Rusciano
5.7 Trappole
5.7
217
Trappole
Per studiare con un alto grado di precisione le proprietà di atomi isolati occorre mantenerli
fermi in una piccola regione di spazio per un certo intervallo di tempo ricorrendo al
raﬀreddamento mediante laser. In una camera a vuoto un fascio ben collimato di atomi
di sodio 23 Na ottenuti per evaporazione di un campione a una temperatura di 1000 K
viene investito frontalmente da un fascio di luce laser di elevata intensità la cui frequenza è
in risonanza con gli atomi che si muovono con velocità v0 . Quando la frequenza del campo
incidente coincide con una risonanza dell’atomo, α̃℘ (ω) può diventare molto grande e con
essa la pressione di radiazione. Tra i primi a notare questo fatto fu all’inizio del 1900 il
fisico russo P.N. Lebedev.
Assorbendo un fotone, l’atomo passa al primo stato eccitato di energia E = 2.097 eV
e larghezza Γ = 10.566 MHz mentre la sua velocità varia della quantità ∆v1 = v1 −v0 .
In seguito l’atomo ritorna al proprio stato fondamentale emettendo di nuovo un fotone,
subendo una variazione di velocità ∆v10 = v01 −v1 e modificando la direzione del moto di un
angolo φ. Questa serie di processi di assorbimento-emissione si ripete molte volte finché la
velocità degli atomi si riduce di una quantità ∆v per cui non è più possibile l’assorbimento
di fotoni alla frequenza ν di risonanza. Questo eﬀetto è ampiamente sfruttato oggi in
spettroscopia per esercitare azioni meccaniche su atomi mediante fasci laser.
La tecnica di raﬀreddamento laser non funziona per le molecole a causa della complessa
struttura dei livelli elettronici, vibrazionali e rotazionali
La tecnica si fonda sulla pressione di radiazione di un fascio laser a frequenza ω
esercitata su un atomo risonante a frequenza ω f i e che si muove con velocità v. Su di esso
si eserciterà una forza radiativa F(rad) pari a:
F(rad) '
σ f i max
πcγ
1+
µ
I
ω −|ω f i |
γ
¶2 n̂ ,
in cui n̂ indica la direzione di volo dei fotoni, ω = ω (1 − v·n̂/c) è la frequenza vista
dall’atomo e γ sta per la larghezza della transizione. Se l’atomo è investito da due fasci
laser di frequenza ω provenienti rispettivamente da sinistra (n̂) e da destra (−n̂) risulta
sottoposto ad una forza risultante (v. Fig. (5.28)).
Il tasso R± con cui gli atomi diﬀondono fotoni è dato da
R± =
κγ
³
´2
1 + 1 ± 2ωγ β
(5.35)
dove κ sta per il parametro di saturazione
Z
σ f i max
=
I˜in (ω) dω
πcγ
Z
σ f i max
κγ =
I˜in (ω) dω
πγ~ω
κγ~ω
c
tasso di eccitazione
tasso di rilassamento
D’altra parte ogni evento di assorbimento o emissione impartisce all’atomo un impulso
ω
∆p± = ±~
c
κ=
218
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Figura 5.28: Pressione di radiazione agente su un atomo investito da due fasci contropropaganti in
funzione della velocità assiale
Pertanto la forza media sull’atomo dovuta ai fasci che si propagano in direzioni opposte
è data da
F (rad) = ∆p+ R+ − ∆p− R−
⎡
=
κγ~ω ⎢
⎣
c
= −8
κ~ω 2
c
1
³
1+ 1+
4+
³
2ω
γ
β
2ω
γ
β
β
´4 ,
´2 −
1
³
1+ 1−
2ω
γ
β
⎤
⎥
´2 ⎦
(5.36)
Essendo F(rad) opposta a v·n̂n̂ l’atomo viene sottoposto ad una forza viscosa che tende
a ridurre la componente v·n̂ della velocità. Colpendo l’insieme di atomi con più fasci laser,
provenienti da direzioni distribuite sull’intero angolo solido, si indurrà un frenamento
collettivo delle velocità atomiche nelle varie direzioni.
5.7.1
MOT
Per raﬀreddare un insieme di atomi e tenerli confinati in una piccola regione si utilizzano
trappole magnetoottiche14 (MOT) che combinano l’azione di gradienti di campi magnetici,
generati p.e. da coppie di bobine di Helmholtz, e di fasci laser contropropaganti nelle 3
direzioni x,y e z, per intrappolare e raﬀreddare atomi. Le MOT riducono per eﬀetto della
pressione di radiazione le agitazioni termiche. Tale tecnica va sotto il nome di raﬀreda-
14
D. E. Pritchard, E. L. Raab, V. Bagnato, C. E. Wieman and R. N. Watts, Phys. Rev. Lett. 57,
310313 (1986); E. Raab, M. Prentiss, A. Cable, S. Chu and D. Pritchard, Phys. Rev. Lett. 59, 2631
(1987)
5.7 Trappole
219
Figura 5.29: Rappresentazione schematica di una trappola MOT. Gli atomi da intrappolare e raﬀreddare
vengono investiti da tre coppie di fasci conrpropaganti diretti lungo gli assi x,y e z. Il campo magnetico
quadrupolare è utilizzato per modulare spazialmente per eﬀetto Zeeman la frequenza di transizione,
determinando così l’intrappolamento.
mento laser 15 (laser cooling) e fu proposta da Wineland, Dehmelt, Hänsch e Schawlow16
nel ’75 e dimostrata sperimentalmente da Wineland et al. nel ’78.
Una trappola magneto-ottica (MOT) (v. Fig. (5.29) utilizza sia il raﬀreddamento
laser che l’intrappolamento magneto-ottico per produrre campioni di atomi intrappolati a
temperature dell’ordine dei μK. Sfruttando un gran numero di processi di assorbimentodecadimento spontaneo con sezioni d’urto dipendenti dalla posizione atomi con velocità
inziali di centinaia di m/s si possono raﬀreddare fino decine di cm/s.
L’intrappolamento magnetico è ottenuto aggiungendo un campo magnetico di quadrupolo ad un campo laser utilizzato per il raﬀreddamento laser. Ciò determina uno spostamento Zeeman nei livelli, che aumenta col crescere della distanza dal centro. Pertanto la
(5.35) si modifica in
κγ
R± =
´2
³
2gμ0 B
2ω
1 + 1 ± γ β ± |γ
Conseguentemente la forza (5.36) si modifica in
F
15
16
(rad)
κ~ω2
= −8
c
4+
³
β+
2ω
γ
gμ0 B
|ω
β+
2 gμ|γ0 B
´4 ,
Il premio Nobel per la fisica fu assegnato nel 1997 a Chu, Cohen Tannoudji e Phillips per aver sviluppato
le tecniche di raﬀreddamento di molasse di atomi sfruttando la pressione di radiazione indotta da vari
fasci laser confluenti verso il bersaglio da varie direzioni.
v. H. J. Metcalf and P. van der Straten, J. Opt. Soc. Am. B 20, 887 (2003);––, “Laser Cooling
and Trapping”, Springer-Verlag, N. Y. 1999; E. Arimondo, W. D. Phillips, and F. Strumia, ”Laser
Manipulation of Atoms and Ions”, Proc. International School of Physics ”Enrico Fermi” Course
CXVIII, North-Holland, Amsterdam, 1992.
220
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Figura 5.30: Schema di una trappola MOT 1D. Gli atomi sono sottoposti ad una pressione di radiazione
dipendente dalla posizione lungo l’asse, ottenuta variando spazialmente il detuning per eﬀetto Zeeman.
In basso sono indicati gli spostamenti dei livelli accoppiati con i due fasci con polarizzazioni circolari σ ± .
La novità sta nel fatto che F (rad) dipende oltre che dalla velocità β dalla posizione
lungo l’asse attraverso la dipendenza di B da z. Quando gli atomi sono diventati freddi al
punto da poter trascurare β nella espressione di F (rad) per un campo di quadrupolo con
B = αz F (rad) si riduce a
F (rad) = −8
κω
gμ0
c
αz
´4 ,
³
0 αz
4 + 2 gμ|γ
Ne discende che per un atomo che si allontana dal centro della trappola F (rad) agisce come
una forza di richiamo verso il centro.
Dal momento che un atomo normale possiede un momento pari a migliaia di volte
quello di un fotone, il raﬀreddamento di un atomo richiede molti cicli di assorbimentoemissione spontanea, con l’atomo che perde un momento ~k per ciclo. Pertanto perchè
un atomo possa venir raﬀreddato interagendo con un laser, deve possedere una specifica
struttura di livelli, in cui sia presente un ciclo ottico chiuso in cui alla fine di un evento
eccitazione-emissione spontanea, l’atomo ritorna sempre al suo stato iniziale. Per esempio
il 85 Rb presenta un ciclo ottico chiuso tra lo stato 5 S1/2 F = 3 ed il 5 P3/2 F = 4. Una
volta nello stato eccitato l’atomo non può decadere in un 5 P1/2 , che non conserverebbe la
parità, ed in 5 S1/2 F = 2, che richiederebbe un cambio di −2 del momento angolare.
Molti atomi non contengono cicli ottici chiusi. In tal caso vengono utilizzati dei laser
per rieccitare la popolazione nel ciclo ottico dopo che questi atomi sono finiti fuori dal
ciclo. L’intrappolamento magneto-ottico del 85 Rb comporta il ciclo 5 S1/2 F = 3 →5 P3/2
F = 4. Per l’eccitazione il detuning necessario per il raﬀreddamento si accompagna ad
una leggera sovrapposizione con lo stato 5 P3/2 F = 3. Se l’atomo viene eccitato a questo
stato, può decadere sia sull’F = 3, debolmente accoppiato allo stato iperfine superiore,
o a quello più basso F = 2. Se ricade nello stato dark, l’atomo viene escluso dal ciclo
fondamentale⇔stato eccitato, interrompendo così il raﬀreddamento e l’intrappolamento.
Per evitare tutto ciò viene utilizzato un laser di ripompaggio, risonante con la transizione
5
S1/2 F = 2 →5 P3/2 F = 3.
5.7 Trappole
221
Figura 5.31: Struttura iperfine delle transizioni del Rb utilizzate nel raﬀreddamento laser
5.7.2
Trappola di Paul
Gli ioni possono essere intrappolati utilizzando opportune configurazioni di campi elettrici
statici ed oscillanti17 . L’invenzione di trappole ioniche 3D a quadrupolo è dovuta18 a W.
Paul a cui fu assegnato il premio Nobel per la fisica nel 1989.
Con riferimento ad una terna cartesiana x,y,z la trappola 3D consiste di due elettrodi
metallici a forma di iperboli di rivoluzione con fuochi sull’asse z e di un elettrodo ad anello
iperbolico posto a metà strada ta i primi due. Gli ioni vengono intrappolati nello spazio
tra questi tre elettrodi applicando contemporamente un campo oscillante ed uno continuo.
Esercizio 5.7.1. Dimostrare che utilizzando come elettrodi una coppia di iperboli di rivoluzione attorno a z di equazione X 2 + Y 2 − γ Z Z 2 = CZ ed un terzo elettrodo ottenuto
per rotazione di una sezione iperbolica di equazione R2 − γ ρ Z 2 = Cρ attorno all’asse z si
può ottenere un potenziale di quadrupolo
Soluzione: Dall’equazione di Laplace
∆2 V (r) = 0
discende che il più generale potenziale di quadrupolo di rotazione attorno a z è del tipo
x2 + y 2 − 2z 2
V (r) =
r02
Dovendo V (r) risultare costante sulla prima coppia di elettrodi e sull’elettrodo a forma
di anello si deve avere rispettivamente
X 2 + Y 2 − γ Z Z 2 = CZ
X 2 + Y 2 − 2Z 2
= VZ
r02
17
18
per una presentazione generale v.p.e. P. K. Ghosh, Ions Traps, Oxford Univ. Press, Oxford 1995.
W. Paul, H. P. Reinhard and U. von Zahn, Zeit. fur Physik, 152 143 (1958); W. Paul, Rev. Mod.
Phys., 62 531 (1990)
222
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
e
R2 − γ ρ Z 2 = Cρ
R2 − 2Z 2
= Vρ
r02
Pertanto deve risultare γ Z = γ ρ = 2. Inoltre si deve avere
∆V = VZ − Vρ = U + V cos (Ωt) =
CZ − Cρ
r02
La tensione AC è applicata all’ellettrodo a forma d’anello. Gli ioni sono prima sbattuti
assialmente su e giù mentre sono spinti radialmente. Gli ioni sono estratti radialmente
e spinti dentro assialmente. Così facendo la nuvola ionica oscilla tra una configurazione
lunga e stretta e corta e larga.
In definitiva la trappola a quadrupolo crea un potenziale elettrico a forma di punto
sella del tipo
¡
¢
1
V = 2 (U + V cos (Ωt)) x2 + y 2 − 2z 2
r0
con Ω la frequenza del potenziale applicato all’elettrodo anulare.
Ne discende che il moto del singolo ione è descritto dal sistema di equazioni di Mathieu
(v. Eq. (1.42))
4 d2 x
4 2e
+ 2
(U + V cos (Ωt)) x = 0
2
2
Ω dt
Ω mr02
4 d2 y
4 2e
+ 2
(U + V cos (Ωt)) y = 0
2
2
Ω dt
Ω mr02
4 d2 z 4
4e
−
(U + V cos (Ωt)) z = 0
Ω2 dt2 Ω2 mr02
2e
2 2e
Se i parametri a = ± Ω42 mr
2 U, q = ± Ω2 mr2 V sono tali da cadere nelle regioni tratteggiate di
0
0
Fig. ?? la carica oscilla in una regione molto piccola attorno al baricentro della trappola.
In particolare debbono essere sodisfatte le condizioni
bn+1 (q) ≥ a ≥ an (q) stabilità piano x,y
bn+1 (2q) ≥ 2a ≥ an (2q) stabilità asse z
Il fatto di dover soddisfare entrambe le condizioni rende critico la scelta dei parametri.
Per migliorarne la stabilità si può aggiungere un campo magnetico (v. Fig. (5.32)) assiale
che contribuisce alla stabilizzazione delle traiettorie sul piano x-y.
5.7.3
Trappola di Penning
Il nome a queste trappole gli è stato dato da Hans Georg Dehmelt che ne ha costruito
una per primo ispirandosi al vacuometro cdi Penning dove una corrente attraverso un
tubo di scarico in un campo magnetico è proporzionale alla pressione19 . Le trappole di
Penning sono utilizzate per intrappolare particelle cariche utilizzando un campo magnetic
19
v. F. M. Penning, Electrical Discharges in Gases, Philips Technical Library, The Hague 1957
5.7 Trappole
223
Figura 5.32: Rappresentazione schematica del campo in una trappola di Paul. La trappola è circondata
da una bobina che crea un campo magnetico che obbliga le particelle cariche a spiralizzare attorno a B.
A loro volta gli elettrodi creano un potenziale di quadrupolo oscillante proporzionale a U + V cos (Ωt) .
uniforme ed uno elettrico non omogeneo. Questo tipo di trappola è utilizzata per misure
di precisione delle proprietà di ioni e di particelle subatomiche stabili. Esse utilizzano un
campo magnetico uniforme per confinare le particelle radialmente ed un campo elettrico
di quadrupolo per confinarle assialmente. Il campo elettrico è generato utilizzando tre
elettrodi: un anello e due endcaps. L’anello ed i due elettrodi hanno la forma di iperboloidi di rivoluzione. Le particelle si muovono nel piano radiale composto di due modi a
frequenza di magnetrone e di ciclotrone modificata. La somma di queste due frequenze è
la frequenza di ciclotrone. In Fig. (5.33) è riportata una tipica traiettoria per ω+ /ω − = 8.
La somma di queste due frequenze è la frequenza di ciclotrone, che dipende solo dal rapporto q/m e da B. Tale frequenza può essere misurata con estrema precisione e può essere
utilizzata per misurare le masse delle particelle cariche.
224
Lenti elettrostatiche, magnetostatiche e trappole
Figura 5.33: Traiettorie tipiche di trappole Penning
Capitolo 6
Acceleratori di particelle
6.0.4
LINAC
In un acceleratore lineare (spesso abbreviato in LINAC) l’energia di particelle subatomiche
o ioni cresce linearmente sottoponendole ad una serie di potenziali elettrici oscillanti a RF
disposti periodicamente lungo una beamline lineare; questo metodo di accelerazione fu
inventato da Leó Szilárd e costruito nel 1928 da Rolf Widerøe (v. Fig. 6.1). Una o più
sorgenti a radiofrequenza vengono utilizzate per eccitare gli elettrodi cilindrici. Magneti
con campi quadrupolari concentrano il fascio di particelle su un obiettivo. La frequenza
del segnale di pilotaggio e la spaziatura della tensione tra gli elettrodi sono controllati
in modo che la diﬀerenza di tensione massima appare quando la particella attraversa lo
spazio tra i due lettrodi. Questo accelera la particella.
Gli acceleratori lineari trovano molte applicazioni: generano raggi X ed elettroni ad
alta energia per scopi medicinali in radioterapia, servono come iniettori di particelle per
sincrotroni ed anelli di accumulazione, e vengono direttamente utilizzati per ottenere
la massima energia cinetica per particelle quali elettroni e positroni. Linac variano nel
formato cominciando dai tubi a raggi catodici a quello di SLAC National Accelerator di
Menlo Park, California lungo 3.2 km (v. Fig. 6.2).
Esercizio 6.0.2. Si consideri un LINAC formato da una sequenza di tubi di drift equispaziati della distanza L. Analizzare l’accelerazione di una particella1
Soluzione: In corrispondenza dell’interfaccia n-esima tra due tubi di drift la particella
incontra un potenziale acceleratore pari a
Vn+1 = V0 sin (ω RF tn+1 + ϕ)
= V0 sin ϕn+1
con tn tempo di attraversamento del gap n-esima, che induce una variazione di energia
pari a l’energia si ha
En+1 = En + eV sin ϕn+1
(6.1)
Ogni tubo di drift viene attraversato da una singola particella con velocità uniforme
in un tempo τ n+1 + ∆τ n+1 con τ n+1 tempo di attraversamento nominale. Pertanto la fase
1
v. D. A. Edwars &cM. J. Syphers, An Introduction to High Energy Accelerators, J. Wiley, N. Y. 1993,
Sez. 2.2
225
226
Acceleratori di particelle
Figura 6.1: Rappresentazione schematica del LINAC proposto da Widerøe. Esso era costituito da una
sequenza di tubi di drift a cui veniva applicata una diﬀerenza di potenziale a RF
Figura 6.2: Vista di SLAC
227
subisce nel passaggio tra due gap un incremento pari a
ϕn+1 = ϕn + ωRF (τ + ∆τ )n+1
µ
= ϕn + ωRF τ n+1 + ω RF τ n+1
∆τ
τ
¶
(6.2)
n+1
Conviene a questo punto ridefinire la fase sottrandovi la quantità ω RF tn ,
φn = ϕn − ω RF tn
dimodochè la (6.2) diventa
φn+1 + ω RF tn+1 = φn + ωRF tn + ωRF (τ + ∆τ )n+1
Tenuto conto che tn+1 = tn + τ n+1 si ha
φn+1 = φn + ω RF τ n+1
µ
∆τ
τ
¶
n+1
ovvero tenendo conto D’altra parte la deviazione ∆τ n+1 del tempo di attraversamento
nominale è dovuta alle deviazioni del tratto L eﬀettivamente percorso (deviazione dall’asse
del tubbo) e della velocità:
∆τ
∆L ∆v
=
−
τ
L
v
Poichè si lavora con velocità relativistiche èconviene utilizzare il momento p e scrivere
1 ∆p
∆v
= 2
v
γ p
Analogamente conviene esprimere
∆L
L
nella forma
∆L
1 ∆p
= 2
L
γt p
dove γ 2t è un parametro caratteristico della macchina. Pertanto si ha
∆τ
∆p
=η
τ
p
dove η prende il nome di paramettro di scorrimento (slippage). Pertanto, definendo le
fasi modulo 2π si ha
µ ¶
∆p
(6.3)
φn+1 = φn + ηω RF τ n+1
p n+1
D’altra parte, l’energia devia dal valore ideale (6.1) della quantità ∆En+1
∆En+1 = ∆En + eV (sin φn − sin φs )
(6.4)
dove φs è la fase della particella ideale, detta anche fase sincrona. D’altra parte
∆E ³ v ´2 ∆p
=
E
c
p
per cui combinando (6.3) e (6.4) si ottiene il seguente sistema di equazioni alle diﬀerenze
ηω RF τ c2
∆En+1
v2 Es
= ∆En + eV (sin φn − sin φs )
φn+1 = φn +
∆En+1
(6.5)
228
Acceleratori di particelle
Figura 6.3
Figura 6.4
Figura 6.5
229
Figura 6.6: Andamento della energia potenziale V∝ (cos φ + φ sin φs ) in funzione della fase. I tratti
orizzontali rappresentano l’energia totale T+V. (da Edwards&al, loc. cit. pag. 225, Fig. 2.19)
Esercizio 6.0.3. Trattando la variabile discreta n che etichetta i singoli passaggi come
una variabile continua integrare il sistema2 (6.5)
Soluzione: Dalla (6.5) si ottiene
dφ
ηω RF τ c2
=
∆E
dn
v2 Es
d∆E
= eV (sin φ − sin φs )
dn
ovvero, trascurando la variazione
dv
,
dn
si ha:
d2 φ
ηω RF τ eV c2
=
(sin φ − sin φs )
dn2
v 2 Es
Moltiplicando per
(6.6)
(6.7)
d
φ
dn
d d2 φ ηωRF τ eV c2
φ
=
dn dn2
v 2 Es
µ
¶
d
φ (sin φ − sin φs )
dn
e integrando rispetto ad n si ottiene la relazione:
µ ¶2
1 dφ
ηω RF τ eV c2
+
(cos φ + φ sin φs ) = const
2 dn
v2 E0
(6.8)
¡ dφ ¢2
che si può interpretare come la somma di una energia cinetica T = 12 dn
e di un’energia
ηω RF τ eV c2
potenziale V =
(cos φ + φ sin φs ) In Fig. (6.6) è riportato l’andamento della
v 2 E0
energia potenziale V (φ) in funzione della fase per un assegnata fase sincrona φs , mentre i
tratti orizzontali rappresentano l’energia totale T + V . Le particelle di assegnata energia
che intercettano V (φ) in due punti consecutivi formano un pacchetto stabile, mentre le
altre no.
2
v. Edwards&al, loc. cit. pag. 225, Sez. 2.2.1
230
Acceleratori di particelle
Figura 6.7: Orbite nello spazio φ − ∆E per η > 0 e (a) φs = π (b) φs = 5π/6 (c) φs = 2π/3 (da
Edwards&al, loc. cit. pag. 225, Fig. 2.20)
Combinando (6.6-a) con (6.8) si ha che nello spazio delle fasi φ − ∆E le particelle
descrivono orbite che soddisfano l’equazione:
∆E 2 +
2v2 Es eV
(cos φ + φ sin φs ) = const
ηω RF τ c2
In Fig. 6.7) sono riportate alcune orbite. Le particelle che si trovano nelle regioni a
forma di occhio delimitate dalle separatrici descrivono orbite periodiche.
Esercizio 6.0.4. Si consideri il caso in cui φ ' φs .
Soluzione: L’Eq. (6.7) si può approssimare con
d2 ∆φ ηω RF τ eV c2
=
cos φs ∆φ
dn2
v 2 Es
(6.9)
231
Ne discende che la fase eﬀettua un numero ν s di oscillazioni per passaggio attraverso una
sezione di drift pari a
s
ηω RF τ eV c2 cos φs
νs = −
4π 2 v2 Es
a cui corrisponde una grequenza angolare pari a
s
2πν s
ηωRF eV c2 cos φs
= −
Ωs =
τ
τ v 2 Es
6.0.5
(6.10)
Ciclotrone
Un ciclotrone, proposto per la prima volta nel 1932 da George Gamow e Lev Mysovskii
e realizzato da E. Lawrence a Berkeley nel 1932, è usato per accelerare fasci di particelle
cariche (normalmente ioni leggeri) utilizzando una tensione alternata ad alta frequenza,
in associazione con un campo magnetico perpendicolare. Un ciclotrone è un tipo di
acceleratore di particelle accelerate dal centro verso la periferia lungo un percorso a spirale.
Le particelle sono tenute su una traiettoria a spirale da un campo magnetico statico e
accelerate da un campo elettrico a radio frequenza localizzato tra i bordi aﬀacciati di due
elettrodi semicircolari cavi a forma di D. La traiettoria percorsa dalle particelle è a spirale
a partire dal centro. Raggiunto il bordo esterno della macchina il fascio fuoriesce ad alta
velocità, prossima alla velocità della luce3 A = (0, Aφ (ρ, z) , 0).
Il principio sfruttato è la risonanza ionica ciclotronica. All’interno di una camera a
vuoto circolare (v. Fig. 6.8) sono presenti due elettrodi semicircolari cavi a forma di D.
La camera è posta tra le espansioni polari di un potente magnete. Quando una particella
viene introdotta tangenzialmente alla camera, ortogonalmente al campo magnetico, essa
viene deviata e mantenuta su un’orbita circolare per eﬀetto della forza di Lorentz (v. Fig.
4.3). Applicando una opportuna diﬀerenza di potenziale alternata ad alta frequenza tra i
due elettrodi, le particelle subiscono un’accelerazione ogni volta che passano nello spazio
tra essi. Accelerando, il diametro dell’orbita aumenta, fino a quando il fascio non fuoriesce
tangenzialmente dal bordo del dispositivo (v. Fig. 6.9).
La frequenza della tensione applicata alle due D deve corrispondere alla frequenza di
risonanza ciclotronica della particella
q
|q| B
ωc =
1 − β 2,
2πm
Per decenni i ciclotroni sono stati le migliore sorgenti di fasci ad alta energia per
esperimenti di fisica nucleare. I ciclotroni possono essere utilizzati per produrre particelle
di elevata energia per la terapia del cancro. Fasci di ioni accelerati da ciclotroni possono
essere usati, come nella terapia con protoni, per penetrare nel corpo e distruggere i tumori,
riducendo al minimo i danni al tessuto sano lungo il loro percorso. Il ciclotrone può essere
utilizzato per produrre il tecnezio-99, isotopo usato nelle scintigrafie, ottenute mediante
la somministrazione di un tracciante radioattivo che consente l’evidenziazione, a mezzo
di una gammacamera, l’accumulo preferenziale del tracciante nel tessuto che si intende
studiare.
3
v.p.e. E. Persico, E. Ferrari & S. E. Segre, Principles of Particle Accelerators, Benjamin, N. Y. 1968,
Sez. 3.2
232
Acceleratori di particelle
Figura 6.8: Rappresentazione schematica di un ciclotrone. Al centro è riportata la camera a vuoto a
forma di una doppia D metallica, compresa tra due elettromagneti. Alle due D è applicata una tensione
oscillante che crea un campo localizzato tra i due bordi rettilinei aﬀacciati. Attraversando ciclicamente
questa regione gli ioni vengono accelerati.
Figura 6.9: Traiettorie spiraliformi degli ioni all’interno di un ciclotrone. Gli ioni, iniettati al centro
sono sottoposti ad un campo magnetico uniforme verticali che li obbliga a descrivere orbite circolari.
Attraversando il campo elettrico oscillante localizzato tra le due D gli ioni vengono accelerati finendo
cosè per descrivere orbite circolari spiralizzanti verso la periferia.
233
Esercizio 6.0.5. Analizzare il moto a spirale descritto dalle particelle di carica q accelerate in un ciclotrone. Le particelle sono sottoposte ad un campo magnetico uniforme B
diretto verticalmente ed al potenziale
⎧
V0 ρ cos φ > d
⎨
ρ
V (ρ, φ; t) = cos (ωRF t) V0 d cos φ d > ρ cos φ > −d = V0 (ρ, φ) cos (ω RF t)
⎩
−V0 − d > ρ cos φ
localizzato tra i bordi di due camere a forma di D con i lati rettilinei paralleli all’asse y e
distanti 2d tra di loro.
Soluzione:
1
L = − mc2 +
γ
1
= − mc2 +
γ
h
³
´i
1
qB · ρρ̂ × ρ̇ρ̂ + ρφ̇φ̂ − qV0 (ρ cos φ) cos ω RF t
2
1
qBρ2 φ̇ − qV (ρ cos φ) cos ωRF t
2
Pertanto, le equazioni di Eulero-Lagrange assumono la forma
¶
µ
∂
d ∂
−
L = 0
dt ∂ ż ∂z
¶
µ
∂
d ∂
−
L = 0
dt ∂ ρ̇ ∂ρ
µ
¶
d ∂
∂
L = 0
−
dt ∂ φ̇ ∂φ
Se si trascurano gli eﬀetti di bordo il campo magnetico B risulta uniforme e L è indipendente da z. D’altra parte
∂ 1 2
mc
∂ ż γ
∂ 1 2
mc
−
∂ ρ̇ γ
∂ 1 2
mc
−
∂ φ̇ γ
∂
L
∂ φ̇
−
= γmż
= γmρ̇
= γmρ2 φ̇
1
= γmρ2 φ̇ + qBρ2
2
e
∂ 1 2
2
mc = γmρφ̇
∂ρ γ
∂
2
L = γmρφ̇ + qBρφ̇ + qE (ρ cos φ) cos φ cos (ω RF t)
∂ρ
∂
L = −qE (ρ cos φ) ρ sin φ cos (ωRF t)
∂φ
¡
¢
dove E (ρ cos φ) = −∂x V (ρ cos φ). Ne discende che negli intervalli di tempo − 12 τ + tn , 12 τ + tn
relativi all’n-esimo attraversamento del campo elettrico E (φ) localizzato negli intervalli
−
234
Acceleratori di particelle
¡
¢
¡¡
¢
¢
n + 12 π − 12 ∆φ, n + 12 π + 12 ∆φ le equazioni di Eulero-Lagrange assumono la forma:
d
(γ ż) = 0
dt
³
´
d
(γ ρ̇) − φ̇ − ω c γρφ̇ = 0
dt ∙µ
¶
¸
q
1
d
2
=
φ̇ − ω c γρ
E (ρ cos φ) ρ sin φ cos (ω RF t)
dt
2
m
con
ωc = −
(6.11)
qB
γm
frequenza di ciclotrone, che può essere negativa (protoni e ioni) o positiva (elettroni).
All’esterno di questi intervalli i termini di forzamento proporzionali a E (φ) scompaiono
e le particelle si muovono su orbite circolari con centri in (vedi Es. 4.1.4 Eq. (4.9))
³
´
−1
rC = r − ω −1
ρ̇ρ̂
+
ρ
φ̇
φ̂
× ẑ
v
×
ẑ
=
r
−
ω
⊥
c
c
³
´
= r − ω −1
−ρ̇φ̂ + ρφ̇ρ̂
c
φ̇ρ̂
ρ̇φ̂ − ρω−1
= r + ω −1
hc
³ c
´ i
−1
= ω c ρ̇φ̂ − ρ φ̇ − ω c ρ̂
In approssimazione non relativistica e per tempi di attraversamento τ abbastanza
piccoli da poter porre cos (ω RF t) ' cos (ωtn ) e per bordi delle D abbastanza vicini da
poter porre cos φ = 0 e sin φ = (−1)n il sistema (6.11) si può approssimare con
³
´
d
(γ ρ̇) − φ̇ − ωc γρφ̇ = 0
dt
¶ ¸
∙µ
d
q
1
(−1)n E (ρ cos φ) ρ cos (ω RF tn )
φ̇ − ω c ρ2 =
dt
2
m
Esercizio 6.0.6. Analizzare la variazione della fase di una particella accelerata da un
ciclotrone in funzione dell’energia cinetica guadagnata. In particolare il moto a spirale
descritto dalle particelle di carica q accelerate in un ciclotrone. Le particelle sono sottoposte ad un campo magnetico uniforme B diretto verticalmente e ad potenziale V (t) =
V0 cos ω RF t localizzato tra i bordi di due camere a forma di D4
Sia
V (t) = V0 cos (ω RF t)
la tensione oscillante applicata alle due D del ciclotrone e si indichi con
ϕ (t) = ω RF t − φ (t)
(6.12)
la fase della particella accelerata di coordinata angolare φ (t). Sia inoltre L l’energia
trasferita al tempo di transito tn
Ln = (−1)m |q| V (tn ) = (−1)n qV0 cos (ωRF tn ) = |q| V0 sin (ϕn )
4
v.p.e. E. Persico et al. loc. cit. pag. 4.1.7, Sez. 7.2
235
con n = 1, 2, . . .
In particolare
ϕ̇ = ω RF − φ̇
e
φ̇ = c2 |q|
B
E
con E = mc2 γ energia della particella.
Per le assunzioni fatte la variazione di fase viene approssimata con una variazione
continua che varia linearmente in un intero giro. Ne segue che la variazione ∆ϕ nel
transito attraverso una gap è espresso da
¶
µ
¶
µ
ϕ̇
ω RF
ω RF
E−1
∆ϕ = π = π
−1 =π 2
c |q| B
φ̇
φ̇
Pertanto
ovvero
Pertanto si ha
µ
¶
dϕ
∆ϕ
ω RF
π
'
E−1
=
dE
Le
|q| V0 sin ϕ c2 |q| B
µ
¶
d cos ϕ
ωRF
π
=−
E−1
dE
|q| V0 c2 |q| B
π
cos ϕ = cos ϕ0 −
|q| V0
µ
¶
¢
ω RF ¡ 2
2
E − E0 − (E − E0 )
c2 |q| B
dove si è indicato con ϕ0 e E0 la fase e l’energia all’istante di iniezione.
Dal momento che |cos ϕ| ≤ 1 deve risultare
¯
µ
¶¯
¯
¯
¡ 2
¢
ω
π
RF
2
¯≤1
¯cos ϕ0 −
E
−
E
)
−
(E
−
E
0
0
¯
¯
|q| V0 c2 |q| B
Le intercette delle curve di Fig. (6.10) con gli assi cos ϕ = ±1 fissano l’energia massima
ottenibile al variare di cos ϕ0 .
1. Esercizio 6.0.7. Si consideri una particella di carica q accelerata in un ciclotrone
le cui equazioni del moto in coordinate cilindriche sono date da:
³
´
d
(γ ρ̇) − φ̇ − ω c ρφ̇ = 0
dt ∙µ
¶
¸
d
q
1
2
=
φ̇ − ω c γρ
E (ρ cos φ) sin φρ cos (ω RF t)
(6.13)
dt
2
m
Si analizzino le equazioni del moto assumendo che E (ρ cos φ) = E sia indipendente
da ρ e φ, introducendo la fase
ϕ (t) = ωRF t − φ (t) ,
e trascurando il fattore rapidamente oscillante sin (ω RF t + φ (t)) rispetto a sin ϕ (t)
e la velocità radiale ρ̇ rispetto a quella circolare ρφ̇.
236
Acceleratori di particelle
Figura 6.10: Grafico di cosϕ in funzione dell’energia cinetica T per un ciclotrone a frequenza fissa (adattato
da E. Persico&al loc.cit.)
d
dt
Soluzione: Ignorando il termine
riscrivere nella forma:
(γ ρ̇) il sistema di equazioni del moto (6.13) si può
φ̇ = ωc
¶
¸
∙µ
d
qE
1
2
=
ρ sin ϕ (t)
φ̇ − ω c γρ
dt
2
m
Ne discende che la seconda equazione si può riscrivere come segue
ρ̇ =
D’altra parte
s
ρ=c
ne segue che
Pertanto
qE
sin ϕ (t)
ωc0 m
1
1
c p 2
−
=
γ −1
ω2c ω2c0
ωc0
qE
dp 2
sin ϕ (t)
γ −1=
dt
cm
³
´
d
cos ϕ (t) = − sin ϕ (t) ω RF − φ̇
dt
¶
µ
ω c0
= − sin ϕ (t) ωRF −
γ
µ
¶ p
ω c0 d
cm
ω RF −
γ2 − 1
=
qE
γ
dt
237
ovvero
µ
¶
ω c0
d cos ϕ
cm
p
ω RF −
=
qE
γ
d γ2 − 1
d cos ϕ
cm
1
p
=
(γω RF − ωc0 )
2
dγ
qE γ − 1
In definitiva cos ϕ è legato a γ dalla relazione diﬀerenziale
³
´
p
p
cm
cm
cos ϕ =
ωRF γ 2 − 1 −
ω c0 ln γ + γ 2 − 1 + const
qE
qE
ovvero cos ϕ varia col raggio con la seguente legge
Ãr
!
³ ω ´2
mω c0
cB
ω
c0
c0
ωRF ρ −
ln
ρ + const
cos ϕ =
1+
ρ2 +
qE
E
c
c
6.0.6
Microtrone
Le particelle in un classico microtron ottenere emessa da una sorgente (blu), accelerata
una volta per turno (cavità a microonde, grigio), aumentando il loro percorso raggio
fino a quando l’espulsione. Un microtron è un tipo di acceleratore di particelle concetto
originario dal ciclotrone in cui il campo di accelerazione non è applicato attraverso grandi
D-elettrodi, ma attraverso un acceleratore lineare. Il classico microtron è stato inventato
da Vladimir Veksler. L’energia cinetica delle particelle è aumentato di una quantità
costante per campo (metà o un intero giro). I microtroni funzionano a frequenza costante
e campo magnetico in ultrarelativistic limite. In tal modo, esse sono particolarmente
adatti per accelerare gli elettroni. In microtron, dovuta agli elettroni relativistici diversa
massa delle particelle, i percorsi sono diversi per ogni passaggio. Il tempo necessario per
che è proporzionale al numero delle passate. Il rallentare gli elettroni devono un campo
elettrico oscillante, il più velocemente gli elettroni un multiplo intero di tale oscillazione.
In contrasto con la maggior parte degli altri moderni concetti dell’acceleratore, i microtroni consentono di fornire elettroni ad alta energia con un fascio ad alta emittanza e
un alto tasso di ripetizione .
6.0.7
Sincrotrone
Un sincrotrone è un particolare tipo di acceleratore di particelle provenienti dal ciclotrone
in cui il campo magnetico dipende dal tempo, in sincronismo con la variazione di energia
cinetica delle particelle. Il primo elettro-sincrotrone fu costruito da Edwin McMillan
nel 1945, sebbene il principio era già stato pubblicato da Vladimir Veksler. Il primo
sincrotrone a protoni fu progettato da Marcus Oliphant e costruito nel 1952.
Nei primi sincrotroni, la sincronizzazione era ottenuta variando l’intensità del campo
magnetico nel tempo, piuttosto che nello spazio. Mentre i primi sincrotroni e anelli di
accumulazione come ADA utilizzavano esclusivamente la forma toroidale, il principio di
forte focalizzazione scoperto da Ernest Courant e Nicholas Christofilos ha consentito la
completa separazione dell’acceleratore in componenti con funzioni specializzate lungo il
percorso delle particelle a forma di poligoni angolosi.
Un anello di accumulazione è un tipo speciale di sincrotrone in cui l’energia cinetica
delle particelle è mantenuta costante (v. Fig. 6.14).
238
Acceleratori di particelle
Figura 6.11: Le particelle emesse da una sorgente (blu) vengono accelerate in n microtrone e descrivono
circonferenze di raggi crescenti.
Figura 6.12: Rappresentazione schematica della sezione trasversale di un sincrotrone
239
Figura 6.13: Pianta di un sincrotrone
Figura 6.14: Schema di un moderno anello di accumulazione utilizzato per generare radiazione di
sincrotrone attraverso l’inserzione d ondulatori
240
Acceleratori di particelle
Figura 6.15: Rappresentazione schematica della traiettoria di un elettrone nel campo di un ondulatore
Per aumentare l’energia si utilizzano magneti superconduttori. L’energia massima
del fascio si raggiunge quando l’energia persa per l’accelerazione laterale necessaria per
mantenere il percorso del raggio di un cerchio è uguale all’energia aggiunta ogni ciclo.
Particelle più leggere (come ad esempio gli elettroni) perdono una maggiore frazione della
loro energia quando sono deflessi. In pratica, l’energia di elettroni/positroni acceleratori è
limitata da questa perdita radiativa, mentre questo non svolge un ruolo significativo nella
dinamica dei protoni o acceleratori di ione.
A diﬀerenza di un ciclotrone, i sincrotroni sono in grado di accelerare particelle con
energia cinetica iniziale molto piccola.
6.0.8
Ondulatori
Un ondulatore è un dispositivo usato per ottenere radiazione monocromatica in fasci
estremamente collimati. Un tipico ondulatore è schematicamente composto da una serie
di dipoli magnetici disposti in modo tale da generare un campo magnetico trasversale
alternato lungo tutto l’asse del dispositivo. Attraverso l’ondulatore vengono fatti passare
fasci di particelle cariche (il più delle volte elettroni) provenienti da un sincrotrone, un
ciclotrone o un anello di accumulazione. Le particelle, attraversando questa struttura
magnetica periodica, sono forzate a oscillare (v. Fig. 6.15) e quindi a emettere radiazione.
Ogni ondulatore è caratterizzato da un parametro adimensionale K definito come
eBλw
(6.14)
2πmβγc
dove λw /2 è la distanza minima tra due dipoli magnetici il cui campo magnetico è orientato
in verso opposto, e è la carica dell’elettrone, B il campo magnetico, la massa a riposo
dell’elettrone e c la velocità della luce nel vuoto.
Ogni elettrone che attraversi l’ondulatore subisce una forza di Lorentz trasversale a
cui è associata un’accelerazione. L’elettrone oscilla trasversalmente con una frequenza
2π
ω0 =
vk
(6.15)
λw
mentre procede lungo l’asse con velocità media vk con sovrapposte oscillazioni a frequenza
2ω0 . Il fascio di elettroni che passa nell’ondulatore emette radiazione diretta lungo l’asse
K=
241
Figura 6.16:
dell’ondulatore ad una lunghezza d’onda dell’ordine di
λw
λs ∼ 2
2γ
(6.16)
Scegliendo opportunamente λw e γ, si può ottenere radiazione in un range molto ampio
che va dal lontano IR fino ai raggi X ( ∼ 10 pm).
Esercizio 6.0.8. Calcolare la traiettoria di un elettrone di energia γ che si muove sul
piano y-z attraverso un campo magnetico statico
½
B cos ζ x̂ z ∈ (0, L = Nλw )
B (r) =
0z∈
/ (0, L)
dove ζ = λ2πw z, λw rappresenta il periodo spaziale di un ondulatore (wiggler) che può
variare tra alcuni mm e cm. Si assuma che l’elettrone venga iniettato nell’ondulatore con
velocità v (z = 0) = vk ẑ. (b) Analizzare il caso in cui B sia suﬃcientemente piccolo da
poter approssimare la legge del moto con espressioni lineari nel parametro K (v. (6.14)).
(c) Analizzare il movimento dell’elettrone nel sistema di riferimento che si muove con la
stessa velocità di iniezione nell’ondulatore
Soluzione: (a) In via preliminare si ricorda che:
1
L = − me c2 − ev · A + eV
γ
dove
A (r, t) = B
V (r, t) = 0
λw
sin ζ ŷ
2π
242
Acceleratori di particelle
Pertanto
λw
1
L = − me c2 − me Ω sin ζ ẏ
γ
2π
avendo posto
eB
=Ω
me
Dalle equazioni di Lagrange
d ∂
∂
L=
L
dt ∂ q̇j
∂qj
discende che
d ∂
dt ∂ q̇j
Ã r
2
c
1−
³ v ´2
λw
+ Ω sin ζ ẏ
2π
!
= Ω
λw ∂
sin ζ ẏ
2π ∂qj
c
¶
µ
λw
d
= Ω cos ζ ẏδ jz
−γ q̇j + Ω sin ζ δ jy
dt
2π
ovvero
d
(γ ẋ) = 0
dt
d
(γ ẏ) = Ω cos ζ ż
dt
d
(γ ż) = −Ω cos ζ ẏ
dt
Dal momento che il campo elettrico è nullo γ risulta costante. Pertanto si ha
Ω
d
ẏ =
cos ζ ż
dt
γ
Ω
d
ż = − cos ζ ẏ
dt
γ
ovvero
Ω
d
ẏ = cos ζ
dz
γ
Ne segue che
dove K è definito in Eq. (6.14):
(6.17)
ẏ (z) = Kvk sin ζ
K=
Ω
Ωλw
=
γ2πvk
γω0
con ω0 definito in (6.15). Poichè vk2 ≥ ẏ 2 deve risultare
|sin ζ| ≤
Possiamo quindi individuare due regimi,
regime I
:
1
K
1 ≤ K ⇒ z ∈ (0, zmax ) con zmax
regime II 1 ≥ K ⇒ z ∈ (0, L)
λw
=
arcsin
2π
r
1
K
243
Nel regime I l’elettrone rimane intrappolato in un periodo dell’ondulatore ed oscilla avanti
ed indietro. Nel regime II l’elettrone viaggia attraverso l’ondulatore con una legge del moto
rappresentata da
q
ż (z) = vk
ovvero
1
t=
vk
Z
0
ζ
1 − K2 sin2 ζ
¡
¢
dζ 0
−1
2
p
=
ω
K
ζ,
K
0
1 − K2 sin2 ζ 0
(6.18)
con K (ζ, K2 ) integrale ellittico di prima specie (v. Eq. (1.46)).
D’altra parte dalla (6.17) discende che
Ne discende che
K
d
sin ζ
y = ż −1 Kvk sin ζ = p
dz
1 − K2 sin2 ζ
y (z) =
λw
1+K
p
ln
2π K cos ζ + 1 − K2 sin2 ζ
(6.19)
(b) Sviluppando (6.19) rispetto a K si ha:
¸
∙
¢ 3
λw
1¡
3
2
4
y (z) ∼
(1 − cos ζ)K +
2 − 2 cos ζ − 3 cos ζ sin ζ K + O[K]
2π
6
D’altra parte sviluppando K (ζ, K2 ) in serie rispetto a K2 (v. Eq. (??)) e troncando al
primo ordine in K2 si ottiene
∙
µ
¶ ¸
ζ sin 2ζ
−1
−
K2
t (z) ' ω0 ζ +
4
8
Ne discende che al primo ordine in K si ha:
λw
K(1 − cos (ω 0 t))
2π
λw
z (t) ∼
ω0t
2π
y (t) ∼
(6.20)
(c) Nel sistema K 0 che si muove con la velocità di iniezione vk la trasformazione di
Lorentz (2.1.1) si specializza in
Pνμ
∙
γ
−c−1 γvkT
−γvk 1 + (γ − 1)ẑẑ
t
x
y
z
=
=
=
=
=
ovvero:
γt0 + c−1 γvk z 0
x0
y0
¡
¢
γ vk t0 + z 0
¸
(6.21)
244
Acceleratori di particelle
In K 0 si ha z 0 = 0 per cui sostituendo nella (6.20) si ottiene
x0 = x0
λw
y 0 (t0 ) ∼
K(1 − cos (ω0 γt0 ))
2π
z 0 (t) = 0
D’altra parte i campi si modificano come segue (v. (2.27)):
∙
E0
B0
¸
∙
γ + (1 − γ) ẑẑ
γvk × x̂
=
− cγ2 vk ×
γ + (1 − γ) ẑẑ
´ ⎤
³
⎡
−γBvk cos λ2πw γvk t0 ẑ
´
⎦
³
= ⎣
γB cos λ2πw γvk t0 x̂
¸ ∙
·
0
B cos ζ x̂
¸
(6.22)
ovvero in K 0 risulta investito da un’onda e.m. oscillante a frequenza
ω00 = γω0
Pertanto l’elettrone oscillante a frequenza ω 00 sotto l’azione di questo campo, emette un’onda scatterata che nel sistema di laborario presenta una frequenza ω s legata a ω 00 dalla
relazione
¡
¢
ω 00 = γ ω s − ks · vk
¢
¡
= γωs 1 − β k cos θ
dove θ rappresenta l’angolo formato dall’onda scatterata lungo ks con vk . Osservando il
campo irradiato in prossimità dell’asse dell’ondulatore (θ ' 0) si ha
µ
¶
1
2
0
ω 0 ' γωs 1 − β k + β k θ
2
µ
µ
¶ ¶
1 1
1
1
1 − 2 θ2
+
= γωs
2 γ2 2
2γ
¢
ωs ¡
=
1 + γ 2θ2
2γ
ovvero
¢
1
1 1 ¡
' 2
1 + γ 2 θ2
ωs
2γ ω 0
corrispondente alla lunghezza d’onda (v. (6.16))
λs ∼
6.1
6.1.1
(6.23)
¢
λw ¡
2 2
θ
1
+
γ
.
2γ 2
Tubi a microonde
Klystron
I fratelli Russell e Sigurd Varian della Stanford University inventorono il klystron nel
1937. Questi sono usati come amplificatori a microonde e a RF per produrre sia segnali
6.1 Tubi a microonde
245
Figura 6.17: Rappresentazione schematica di un klystron
a bassa potenza per ricevitori supereterodina che di alta potenza per trasmettitori radar
e per acceleratori di particelle. A SLAC, per esempio, i klystron forniscono potenze di
picco dell’ordine di 50 MW per impulso e 50 kW medi a frequenze dell’ordine di 3 GHz.
I klystron oﬀrono il vantaggio di controllare in modo preciso ampiezza, frequenza e fase
dei segnali.
Un fascio di elettroni viene prodotto da un catodo termoionico (un pellet di materiale
riscaldato con bassa funzione lavoro), e accelerati da elettrodi ad alta tensione (tipicamente nell’ordine di decine di kV). Il fascio viene quindi fatto passare attraverso una
cavità. Il segnale a RF viene iniettato nella cavità di ingresso (buncher), il cui campo
agisce sul fascio di elettroni modulandolo in una sequenza di pacchetti (bunches).
Il fascio elettronico è mantenuto focalizzato da un campo magnetico parallelo e trasferito attraverso un tubo di deriva (drift) ad una seconda cavità contenente l’anodo. Durante
l’attraversamento del tubo di drift il fascio subisce una modulazione di velocità da parte del
segnale entrante. All’ingresso della seconda cavità, la modulazione di velocità si trasforma in una modulazione di densità, si formano cioè dei pacchetti di elettroni addensati.
Questi pacchetti, entrando nella cavità, eccitano onde stazionarie alla stessa frequenza del
segnale di ingresso. Il campo così prodotto viene prelevato da appositi accoppiatori.
6.1.2
Magnetron
6.1.3
Tubo ad onda progressiva (TWT)
246
Acceleratori di particelle
Figura 6.18
Figura 6.19
Capitolo 7
Campi di cariche in movimento
7.0.4
Funzioni di Green scalare nel dominio della frequenza
I campi creati da cariche e correnti ooscillanti ad assegnate frequenza soddisfano l’equazione di Helmholtz
µ
¶
ω2 2
2
∇ + 2 ñ ũ (r, ω) = −s̃ (r, ω) ,
(7.1)
c
con s̃ (r, ω) funzione sorgente che può rappresentare la densità di carica ρ̃ (r, ω) o di
corrente J̃ (r, ω) .
Sotto opportune condizioni ũ (r, ω) è legato alle sorgenti s̃ (r, ω) dalla relazione integrale
Z
ũ (r, ω) =
G (r − r0 , k) s̃ (r0 , ω) d3 r0 ,
con k = ω/v e G (r, k) funzione di Green scalare , soluzione dell’equazione
¡ 2
¢
∇ + k2 G (r, k) = −δ (3) (r) ,
equivalente alla coppia di condizioni
¢
¡ 2
∇ + k2 G (r, k) = 0
per r 6= 0 e
Z
¢
¡ 2
∇ + k2 G (r, k) d3 r = −1 .
(7.2)
(7.3)
(7.4)
Esercizio 7.0.1. Calcolare la funzione di Green scalare G (r, k)
Soluzione: Essendo la (7.2) invariante per rotazione intorno all’origine, si può scegliere
G (r, k) funzione solo di r = |r| che soddisfa la coppia di condizioni
¶
µ
1 d 2d
2
(7.5)
r
+ k G (r, k) = 0
r2 dr dr
e
¯
Z r
¯
d
1
0
0 ¯
2
r 0 G (r , k )¯
+k
r02 G (r0 , k) dr0 = −
dr
4π
0
r0 =r
2
247
(7.6)
248
Campi di cariche in movimento
per un generico r 6= 0. Si vede facilmente che la funzione
G (r, k) =
eikr
4πr
(7.7)
soddisfa sia (7.5) che (7.6). Infatti
∇2
D’altra parte
eikr
1 1
1
= eikr ∇2 + ∇2 eikr + 2∇eikr · ∇
r
r r
r
1 1 d 2 d ikr 2ik
r
e − 2
=
r r2 dr dr
r
eikr
1 1 d 2 ikr 2ik
= ik 2 r e − 2 = −k2
r r dr
r
r
¯
Z r
ikr0 ¯
d
e
0
2
2
¯
+k
r0 eikr dr0
r 0 0 ¯
dr r r0 =r
0
Z r
0
ikr
ikr
2 ∂
= ikre − e − ik
eikr dr0
∂k 0
∂ eikr − 1
= (ikr − 1) eikr − k 2
∂k
k
ikr
ikr
= (ikr − 1) e + e − ikreikr − 1 = −1
Esercizio 7.0.2. Calcolare la funzione di Green G (r, k) utilizzando la traformata di
Fourier della relativa equazione di Helmholtz
¢
¡ 2
e (q, k) = −1 .
(7.8)
−q + k2 G
Soluzione: L’Eq. (7.2) può essere integrata passando attraverso la trasformata di
Fourier della stessa
¡ 2
¢
q − k2 G̃ (q, k) = −1 ,
per cui
1
G (r, k) = −
(2π)3
Z
e (q, k) =
G
q2
Dall ’Eq. (7.8) discende
Pertanto
G (r, k) =
=
=
=
=
eiq·r 3
dk
q2 − k2
1
− k2
ZZZ
eiq·r 3
1
dq
q2 − k2
(2π)3
µZ
¶
Z
Z ∞
1
q2
iqr cos θ
dq e
dφ sin θdθ
(2π)3 0 q 2 − k2
Z 1
Z ∞
1
q2
dq
eiqru du
2
2
2
(2π) 0 q − k
−1
Z ∞
iqr
q (e − e−iqr )
i
dq
−
q2 − k2
(2π)2 r 0
Z ∞
i
q
−
eiqr dq
2
2 − k2
q
(2π) r −∞
249
Si assuma a questo punto che
k = lim
ε→0+
si avrà quindi
Z
∞
q
eiqr dq = lim
2
2
ε→0+
−∞ q − k
Z
³ω
Γ
c
+ iε
¡
q−
ω
c
´
qeiqr
¢¡
− iε q +
ω
c
¢ dq
+ iε
avendo indicato con Γ il cammino chiuso che va da −∞ a +∞ e che si chiuda con la
semicirconferenza con Im q ≥ 0 di raggio infinito con centro in q = 0 . Si avrà così
Z ∞
Z
q
qeiqr
iqr
¢¡
¡
¢ dq
e
dq
=
lim
2
2
ε→0+ Γ q − ω − iε
q + ωc
−∞ q − k
c
= 2πi lim residuo
ε→0+
q= ωc +iε
= iπeiqr
¡
q−
ω
c
qeiqr
¢¡
¢
− iε q + ωc
Pertanto
eikr
4πr
Esercizio 7.0.3. Calcolare l’espressione approssimata di G (|r − r0 | , k) per r À r0
G (r, k) =
Soluzione: Per r À r0 si può sviluppare |r − r0 | in serie
1 2 r02 1
r03
sin θ + cos θ sin2 θ 2 + · · ·
2
r
2
r
0
con θ l’angolo formato da r e r , ottenendo così
|r − r0 | = r − cos θr0 +
0
eikr−ikn̂·r
G (|r − r | , k) '
4πr
0
(7.9)
Esercizio 7.0.4. Calcolare la funzione di Green G(2) (ρ, k⊥ ) relativa ad una corrente
sinusoidale e rettilinea immersa in un mezzo di indice di rifrazione ñ (ω)
k0
J̃ (r, ω) = −eδ(2) (ρ) ei β z
³ p
´
Soluzione: La funzione di Green scalare G(2) ρ, k2 − β 2 è soluzione dell’equazione:
¡ 2
¢ (2)
2
∇⊥ + k⊥
G (ρ, k⊥ ) = −δ (2) (ρ) ,
dove
2
k⊥
2
> 0 si ha
Per k⊥
(1)
dove H0
=
k02
µ
¶
1
2
ñ (ω) − 2
β
i (1)
G(2) (ρ, k⊥ ) = H0 (k⊥ ρ)
4
2
è la funzione di Hankel di prima specie di ordine 0, mentre per k⊥
<0
i
G(2) (ρ, k⊥ ) = K0 (|k⊥ | ρ)
4
dove K0 sta per la funzione di Bessel modificata di ordine 0 (v. Eq. (??)).
250
7.0.5
Campi di cariche in movimento
Funzioni di Green diadica nel dominio della frequenza
Esercizio 7.0.5. Legare il campo elettrico Ẽ (r, ω) alla densità di corrente J̃ (r, ω) attraverso l’integrale di convoluzione
Z
Ẽ (r, ω) = iωμ Γ (r − r0 , k) · J̃ (r0 ) d3 r0
(a) Esprimere la funzione di Green tensoriale Γ (r − r0 , k) mediante quella scalare G (r, k) .
(b) Ottenere delle espressioni di Γ (r − r0 , k) per k |r − r0 | ¿ 1 e À 1
Soluzione: (a) Dal momento che Ẽ (r, ω) è legato al potenziale vettore dalla relazione
Ẽ (r, ω) = iωÃ (r, ω) − ∇Ṽ (r, ω)
e che nella gauge di Lorentz
∇ · Ã (r, ω) = iωεμṼ (r, ω)
si ha
¢
¡
Ẽ (r, ω) = −iω 1 + k −2 ∇∇ · Ã (r, ω)
Esprimendo Ã (r, ω) in funzione di J̃ (r0 ) si ha
da cui
¢
¡
Ẽ (r, ω) = −iωμ 1 + k−2 ∇∇ ·
Z
G (r − r0 , k) J̃ (r0 ) d3 r0
¡
¢
1 + k−2 ∇∇ G (R, k)
∙µ
¶
µµ
¶
¶ ¸
3
1
1
1
=
−1 +
n̂n̂ +
−
+i
+1 1 G (R, k) ,
− 3i
kR
kR
kR
(kR)2
(7.10)
Γ (r − r0 , k) =
con R = |r − r0 | e n̂ = (r − r0 ) / |r − r0 | .
(b) Γ si riduce a piccola distanza a
Γ (r − r0 , k) '
1
0
2 (3n̂n̂ − 1) G (R, k) k |r − r | ¿ 1 ,
(kR)
e in vista dell’espansione (??) di G (k, |r − r0 |) a grande distanza a
Γ (r − r0 , k) '
eikr −ikn̂·r0
(1 − n̂n̂) k |r − r0 | À 1 .
e
4πr
che si riduce a piccola e grande distanza rispettivamente a
½ 1
(3n̂n̂ − 1) G (R, k) k |r − r0 | ¿ 1
0
(kR)2
.
Γ (r − r , k) '
(1 − n̂n̂) G (R, k) k |r − r0 | À 1
dove n̂ = R̂. Tenendo conto dell’espansione (7.9) di G (k, |r − r0 |) si ha
0
eikr−ikn̂·r
Γ (r − r , k) '
(1 − n̂n̂) k |r − r0 | À 1 .
4πr
0
7.1 Potenziali di Liénard-Wiechert
7.0.6
251
Funzioni di Green nel dominio del tempo
Esercizio 7.0.6. Integrare l’equazione di Helmholtz scalare nel dominio del tempo
Soluzione: La risposta u(r, t) alla funzione sorgente s(r, t) dell’equazione di Helmholtz
dipendente dal tempo
µ
¶
ε̂μ̂ ∂ 2
2
∇ − 2 2 u(r, t) = −s(r0 , t0 )
c ∂t
si ottiene trasformando quest’ultima nel dominio della frequenza, esprimendo ũ(r, ω) come
convoluzione di s̃ (r0 , ω) per la funzione di Green e ritrasformando l’espressione di ũ(r, ω)
coì ottenuta, ovvero in formule1
Z
Z
1
−iωt
e
u(r, t) =
G (|r − r0 | , k) s̃ (r0 , ω) d3 r0 dω
2π
¢
√
Z ¡ 0
s r , t − c−1 ε̂μ̂ |r − r0 | 3 0
dr
(7.11)
=
4π |r − r0 |
avendo tenuto conto del teorema di convoluzione (v. Eq. (??)) e dello spostamento
temporale (v. Eq. (3.7)),
Z
³
´
p
1
−iωt ik|r−r0 |
0
0
−1
0
e
e
s̃ (r , ω) dω = s r , t − c
ε̂μ̂ |r − r |
2π
Esercizio 7.0.7. Ripetere il precedente esercizio utilizzando G∗ (|r − r0 | , k) al posto di
G (|r − r0 | , k)
Soluzione: Scegliendo come funzione di Green G∗ si ha:
Z Z
1
uant (r, t) =
e−iωt G∗ (|r − r0 | , k) s̃ (r0 , ω) dωd3 r0
2π
¢
√
Z ¡ 0
s r , t + c−1 ε̂μ̂ |r − r0 | 3 0
dr
=
4π |r − r0 |
ovvero si ottiene una soluzione anticipata, fisicamente non realizzabile.
7.1
Potenziali di Liénard-Wiechert
Esercizio 7.1.1. Si calcolino il potenziale scalare e vettore generati da una carica puntiforme q che si muove in un mezzo omogeneo di parametri ε̂μ̂, lungo la traiettoria rq (t)
basandosi sull’Es. 7.0.6
Soluzione: La carica puntiforme è descritta dalla densità di carica ρ(r, t) e dalla
corrente J(r, t)
ρ(r, t) = qδ (3) (r − rq (t))
J(r, t) = qvq (t) δ (3) (r − rq (t))
1
v.p.e. J. R. Oppenheimer, Lectures on Electrodynamics, Gordon & Breach, N. Y. 1970, Cap. 1 Sez. 7
252
Campi di cariche in movimento
Pertanto dall’Eq. (7.11) discende che
q
VLW (r, t) =
4πε0 ε̂
Z
¢¢
¡
¡
√
δ (3) r0 − rq t − c−1 ε̂μ̂ |r − r0 |
d3 r0
|r − r0 |
D’altra parte dall’Eq. (1.27) dell’Es. 1.7.5 discende che
¢¢
¡
√
Z (3) ¡ 0
δ
r − rq t − c−1 ε̂μ̂ |r − r0 |
q
d3 r0
VLW (r, t) =
4πε0 ε̂
|r − r0 |
¯
¯
¯
1
q
¯
¯
¯
=
4πε0 ε̂ R (t) ¯¯1 + √ε̂μ̂β · R̂ (t)¯¯ ¯¯
q
(7.12)
rit
avendo posto
p R (trit )
ε̂μ̂
c
R (t) = rq (t) − r
t = trit +
Procedendo in modo analogo per A si verifica facilmente che
¯
¯
¯
vq (t)
qμ0 μ̂
¯
¯
¯
ALW (r, t) =
4π R ¯¯1 + √ε̂μ̂β · R̂¯¯ ¯¯
q
rit
¯
ε̂μ̂
=
β (t) VLW (r, t)¯rit
c q
Esercizio 7.1.2. Calcolare i campi E(r, t) e H(r, t) generati da una carica utilizzando i
potenziali di Liénard-Wiechert
Soluzione: Il campo elettrico è dato da
E(r, t) = −∇VLW −
∂
ALW
∂t
Per calcolare ∇VLW si tenga presente che
¶
µ
∂
VLW
∇VLW = ∇|trit + ∇trit
∂trit
In particolare, indicando con un apice le grandezze funzioni di trit si ha:
¶
µ
∂
1
R0
∇|trit + ∇trit
∇trit = −
c
∂trit
1 0
=
R̂ − ∇trit β0q · R̂0
c
Pertanto
∇trit
R̂0
³
´
=
0
0
c 1 + βq · R̂
7.1 Potenziali di Liénard-Wiechert
253
D’altra parte
∇|trit VLW =
1
q
∇|trit
4πε0
R (trit ) + β 0q · R (trit )
R̂0 + β0q
q
=
¢
¡
4πε0 R (trit ) + β 0q · R (trit ) 2
e
∂
VLW
∂trit
³
´³
´
³
´
0
0
0
02
1 0
0
0
0
0
0
·
R̂
+
R̂
·
R̂
+
·
R
+
β
1
+
β
β
−
R̂
β
β̇
q
q
q
q
c q
q
=−
³
´3
4πε0
1 + β0q · R̂0
0
dove si è posto β̇q = ∂t∂rit β 0q . Procedendo in modo analogo per
seguente espressione per E(r, t):
E(r, t) =
∂
A
∂t LW
si arriva2 alla
1
q
³
´3
4πε0
1 + β 0q · R̂0
´
³
´
³
´⎤
⎡¡
¢³ 0
0
0
02
0
0
0
0
0
0
1 − β q β q + R̂
β̇q 1 + βq · R̂ − β̇q · R̂ βq + R̂
⎣
⎦ (7.13)
+
R02
cR0
Si nota quindi che il campo contiene un contributo
proporzionale
a
´
³
1
R2
che prevale a piccola
β0q
+ R̂0
distanza su quello radiativo proporzionale a
Procedendo in modo analogo si perviene all’espressione di H(r, t):
H(r, t) = −R̂0 × E(r, t)
Esercizio 7.1.3. Si consideri un elettrone che descrive una traiettoria rettilinea lungo
l’asse z nel vuoto con velocità costante v (a) Si calcolino i potenziali di Liénard-Wiechert
relativi al punto r = (ρ, φ, 0),
VLW (r, t) = −
ALW (r, t) =
e
4πε0 R (trit ) 1 −
vq (trit )
VLW (r, t) .
c2
1
vq (trit )
c
· R̂ (trit )
(7.14)
dove il tempo ritardato trit e quello di rivelazione t del campo sono legati dalla relazione:
t = trit +
|r − r (trit )|
R (trit )
= trit +
c
c
(7.15)
(b) Si discuta l’andamento spaziale del campo elettrico3 e magnetico (v. Es. 7.6.1)
2
3
v. J. R. Oppenheimer, loc. cit. pag. 7.0.6 Sez. 12; P. C. Clemmow et al loc. cit. pag. 149, Sez. 2.2.3
v.p.e. J. R. Oppenheimer, loc. cit. pag. 7.0.6, Sez. 11, P. C. Clemmow et al. loc. cit. pag. 149 Sez.
2.2.2
254
Campi di cariche in movimento
Soluzione: L’elettrone descrive una traiettoria
q rettilinea z (t) = v (t − t0 ) che passa
per z = 0 al tempo t0 . Ne segue che R (trit ) = v2 (trit − t0 )2 + ρ2 . Riscrivendo (7.15)
nella forma
¢
¡ 2
c − v2 (t − trit )2 + 2v 2 (t − t0 ) (t − trit ) − v2 (t − t0 )2 − ρ2 = 0
risolvendo rispetto a t − trit e isolando la radice positiva si ottiene:
q
−v2 (t − t0 ) + c2 v2 (t − t0 )2 + (c2 − v2 ) ρ2
t − trit =
c2 − v 2
Pertanto
z (trit )
=
v
R (trit )
=
c
q
c (t0 − t) + c2 v 2 (t0 − t)2 + (c2 − v 2 ) ρ2
2
2
2
q c −v
v2 (t0 − t) + c2 v2 (t0 − t)2 + (c2 − v2 ) ρ2
c2 − v2
,
Ne discende che
dove
¯
vq
R (trit ) ¯¯
R (trit ) R (trit ) vR(trit )
¯
· R̂ (t)¯ =
−
= R∗
¯1 −
2
c
c
c
c
rit
∗
R =
s
¶
µ
v2
(z − vt) + 1 − 2 ρ2
c
2
Per quanto riguarda i potenziali si ha
VLW (r, t) = −
ALW (r, t) =
e
4πε0 R∗
vq
VLW (r, t)
c2
(b) Il campo elettrico è dato da
E(r, t) =
=
=
=
¶
µ
∂
v ∂
VLW
−∇VLW − ALW = − ∇ + 2 ẑ
∂t
c ∂t
∙
µ
¶¸
∂
1 ³ v ´2 ∂
e
∂
1
ρ̂ + ẑ
+
4πε0 c ∂ρ
∂z v c ∂t
R∗
µµ
¶
µ
¶¶
³ v ´2
v2
2
e
1 − 2 ρρ̂ + ẑ z − vt −
(z − vt)
4πε0 c R∗3
c
c
µ
¶
v2
e R (t)
1− 2
4πε0 R∗3
c
mentre per quello magnetico si ottiene
H(r, t) = ∇ × ALW =
r
ε0 v
× E(r, t)
μ0 c
7.1 Potenziali di Liénard-Wiechert
255
Si osserva che E è diretto lungo R (t) e non secondo R (trit ) . Inoltre |E| è masssimo
sul piano equatoriale (perpendicolare alla velocità)
Eρ (r, t) =
1
e
q
4πε0 1 − v2 ρ2
c2
mentre lungo l’asse è pari a
e 1
Ez (r, t) =
4πε0 z 2
µ
¶
v2
1− 2
c
Esercizio 7.1.4. Si verifichi che l’espressione di E(r, t) del precedente esercizio coincide
con quella fornita da (7.13) per β̇ = 0
Soluzione: Per β̇ = 0 l’Eq. (7.13) si riduce a
´
¡
¢³ 0
¡
¢¡
¢
02
µ
¶
0
2
v2
q 1 − β q R0 βq + R0
e R (t)
q 1 − β q βq + R̂
1− 2
=
=
E(r, t) =
³
´3
4πε0
4πε0
R∗3
4πε0 R∗3
c
1 + β0q · R̂0 R02
Esercizio 7.1.5. Ripetere l’esercizio precedente per un mezzo omogeneo di √
costante dielettrica relativa ε̂ indipendente dalla frequenza analizzando i due casi (a) ε̂v < c e (b)
√
ε̂v > c
Soluzione: (a) Innanzitutto si ha
trit =
c2
t
ε̂
2
− v t0 −
e
∗
R =
s
q
c2 2
v
ε̂
c2
ε̂
(t0 − t)2 +
−
v2
¡ c2
ε̂
¢
− v2 ρ2
¶
µ
v2
(z − vt) + 1 − ε̂ 2 ρ2
c
2
Pertanto
e
4πε0 ε̂R∗
ε̂μ̂vq
ALW (r, t) =
VLW (r, t)
c2
VLW (r, t) = −
e
µ
¶
e R (t)
v2
E(r, t) =
1 − ε̂ 2
4πε0 ε̂ R∗3
c
r
ε0 v
ε̂ × E(r, t)
H(r, t) =
μ0 c
(b) Per
√
ε̂v > c si ha che l’equazione
¶
µ 2
c
2
− v (t − trit )2 + 2v 2 (t − t0 ) (t − trit ) − v2 (t − t0 )2 − ρ2 = 0
ε̂
256
Campi di cariche in movimento
ha radici reali dello stesso segno, positive e negative rispettivamente per t > t0 e t < t0 .
Per t > t0 si ha
q
¡2
¢
2
2
−v (t0 − t) ± cε̂ v 2 (t0 − t)2 + cε̂ − v2 ρ2
t − trit =
c2
− v2
ε̂
Il fatto che ci siano due soluzioni t0rit e t00rit sta a segnalare che il campo in z = 0
per assegnato t è dato da due contributi provenienti dalle posizioni della carica in zq0 =
v (t0rit − t0 ) e zq00 = v (t00rit − t0 ). A questi due valori di trit corrisponde lo stesso valore di
R∗ per cui
2e
4πε0 ε̂R∗
ε̂μ̂vq
ALW (r, t) =
VLW (r, t)
c2
VLW (r, t) = −
Il campo elettrico sarà quindi dato da
µ
¶
v2
e R (t)
1− 2
E(r, t) =
2πε0 R∗3
c
per R∗ reale, ovvero per
2
(z − vt) >
µ
¶
ˆv2
− 1 ρ2
c2
Il campo quindi è diverso da zero solo all’interno di un cono con vertice in z = vt. Queste
proprietà sono tipiche della radiazione Cerenkov discussa in Sez. 7.7.
Esercizio 7.1.6. Analizzare il campo irradiato da un dipolo elettrico4
Esercizio 7.1.7. Calcolare il campo elettrico irradiato da un elettrone che descrive un’assegnata orbita,
r = re (t)
Questo problema fu aﬀrontato inizialmente da Schott nel 1912 [?].
Soluzione: Per risalire ai campi si deve associare alla traiettoria la densità di corrente
J(r,t) = δ (3) (r − re (t)) v (t)
La trasformata di Fourier della corrente sarà quindi data da
Z
1
δ (3) (r − re (t)) v (t) eiωt dt
J̃ (r,ω) = −e
2π
Z
X
1
= −e
eiωtk (s) ds
δ (3) (r − re (s)) v̂e (s)
2π
k
4
Dipole
Antenna
Radiation
Pattern
from
the
Wolfram
http://demonstrations.wolfram.com/DipoleAntennaRadiationPattern/
Demonstrations
Project
Contributed by: Nikolitsa Yannopoulou and Petros Zimourtopoulos (Antennas Research Group,
Xanthi, Thrace, Hellas, EU)
7.1 Potenziali di Liénard-Wiechert
257
dove s è l’ascissa curvilinea lungo la traiettoria e tk (s) il k-esimo istante di tempo corrispondente ad una assegnata ascissa s. Una volta ottenuta la densità di corrente J̃ (r,ω)
il potenziale Ã (r,ω) ed il campo Ẽ (r,ω) si otterranno utilizzando le rappresentazioni
integrali (cf. Es. 7.1.2)
Z
X
e
Ã (r,ω) = μ0
G (|r − r0e (s)| , k) v̂e (s) δ (2) (r0e⊥ (s))
eiωtk (s) ds
2π
k
Z
X
e
Γ (|r − r0 | , k) · v̂e (s) δ (2) (r0e⊥ (s))
Ẽ (r,ω) = −
eiωtk (s) ds
2π
k
con G (|r − r0 | , k) e Γ (|r − r0 | , k) rispettivamente funzioni i Green scalare e tensoriale.
e (k,t) per un elettrone che descrive una traiettoria
Esercizio 7.1.8. Calcolare J̃ (r,ω) e J
rettilinea lungo l’asse z con (a) una generica legge del moto s = s (t), (b) velocità costante
vo ẑ; (c) velocità oscillante v (t) = vo cos (Ωt) ẑ; e (d)
s = vo t + sa arctan
t
τa
Soluzione: (a)
J̃ (r,ω) = −
con tk (z) radice dell’Eq. z = z (t) e
X
e (2)
δ (ρ) ẑ
eiωtk (z)
2π
k
e (k,t) = − e eikz z(t) v̂ (t)
J
2π
(b) tenuto conto che s = vo t si ha
J̃ (r,ω) = −
e
(c) in tal caso s =
vo
Ω
e (k,t) = − e eikz vo t v̂o
J
2π
³ ´
sin (Ωt) e tk (s) = Ω1 arcsin vΩo z +
J̃ (r,ω) = −
e
(d)
ω
e (2)
δ (ρ) v̂o ei vo z
2π
2π
k.
Ω
Pertanto
X 2π
ω
Ω
e
ei Ω ωk
vo δ (2) (ρ) ei Ω arcsin( vo z)
2π
k
e (k,t) = − e eikz vΩo sin(Ωt) v̂ (t)
J
2π
e (2)
δ (ρ) ẑeiωt(z)
2π
con t (z) radice dell’Eq. z = vo t + sa arctan τta e
J̃ (r,ω) = −
e (k,t) = − e eikz (vo t+sa arctan τta ) ẑ
J
2π
258
Campi di cariche in movimento
Esercizio 7.1.9. Si completi l’esercizio precedente calcolando J̃ (r,ω) per un elettrone
che descrive un’orbita (a) circolare di raggio R0 con velocità angolare costante Ω e (b)
spiraliforme con x = R0 cos Ωt, y = R0 sin Ωt, z = vz t.
Soluzione: (a)
J̃ (r,ω) = −
(b)
X ω
e (1)
ei Ω φk
δ (z) δ (1) (ρ − R0 )
2π
k
z
e
J̃ (r,ω) = − eiω vo δ (1) (ρ − R0 ) R0 δ (1)
2π
µ∙
¸ ¶
z
φ−Ω
vo 2π
Esercizio 7.1.10. Si calcolini i potenziali di Liénard-Wiechert relativi ad un elettrone
che descrive un’orbita circolare di raggio R0 e velocità angolare costante Ω
Soluzione:
1
e
VLW (r, t) = −
4πε0 |r − re (trit )| 1 + R̂ (trit ) · βe (trit )
√
ε̂μ̂
ALW (r, t) =
βe (trit ) VLW (r, t) .
c
In tal caso si ha
re (trit ) = Ro (x̂ cos ϕ + ŷ sin ϕ)
q
|r − re (trit )| =
z 2 + (x − Ro cos ϕ)2 + (y − Ro sin ϕ)2
q
=
r2 + R02 − 2xRo cos ϕ − 2yRo sin ϕ
dove ϕ = Ωtrit e
q
r2 + R02 − 2xRo cos ϕ − 2yRo sin ϕ
q
x cos ϕ + y sin ϕ
−1
' trit + c
r2 + R02 − c−1 Ro p
r2 + R02
t = trit + c−1
In particolare per y = 0 si ha
Pertanto
q
Ro x
|r − r (trit )| ' r2 + R02 − p
cos ϕ
r2 + R02
q
r2 + R02 − ε cos ϕ
t = trit + c
−1
e
1
e
4πε0 |r − re (trit )| 1 + R̂ (trit ) · βe (trit )
1
1
= V0
1 − ε cos ϕ 1 + 2δ sin ϕ
VLW (r, t) = −
7.2 Gauge di Coulomb
259
dove
e
p
4πε0 r2 + R02
Ro x
ε = 2
r + R02
Ro Ω
δ =
2c
V0 = −
e
In particolare per r → ∞ si ha ε → 0 per cui
q
−1
r2 + R02
t = trit + c
V (r, t) = V0
dove
1
1 + 2δ sin ϕ
Ω
ϕ = Ωt −
c
Sviluppando in serie di potenze si ottiene
q
r2 + R02
∞
∞
X
X
¡
¢m
1
m
m
=
(−2δ) sin (ϕ) =
(iδ)m eiϕ − e−iϕ
1 + 2δ sin ϕ
m=0
m=0
µ
¶
µ
¶
∞
∞
∞
XX m
X
X
2m
m i(m−2n)ϕ
2m
i2qϕ
(iδ) e
=
=
e
(iδ)
n
m−q
m=0 n
q=0
m=q
µ
¶
∞
∞
X
X
2m+1 2m + 1
i(2q+1)ϕ
e
(iδ)
−
m−q
q=0
m=q
µ
¶
∞
X
1
2q i2qϕ
2
(iδ) e
=
2 F1 q + , q + 1, 2q + 1, −4δ
2
q=0
µ
¶
∞
X
3
2q+1 i(2q+1)ϕ
2
(iδ)
e
−
2 F1 q + , q + 1, 2q + 2, −4δ
2
q=0
A grande distanza
Ro Ω
(−x̂ sin ϕ + ŷ cos ϕ)
c
= 2δ (−x̂ sin ϕ + ŷ cos ϕ)
β (trit ) =
per cui
−x̂ sin ϕ + ŷ cos ϕ
1
ALW (r, t) = β (trit ) VLW (r, t) = 2δV0
.
c
1 + 2δ sin ϕ
7.2
Gauge di Coulomb
In molte situazioni può convenire utilizzare il potenziale scalare istantaneo VC (r, t) che
soddisfa l’equazione di Poisson:
∇2 VC (r, t) = −ρ (r, t)
260
Campi di cariche in movimento
Questa VC (r, t) diﬀerisce dal potenziale utilizzato nella gauge di Lorentz per l’assenza del
2
termine c2∂∂t2 V (r, t) . Per rappresentare i campi è necessario partire dalla decomposizione
della densità di corrente
J (r, t) = JT (r, t) + JL (r, t)
dove JL (r, t) è detta corrente longitudinale o irrotazionale 5
∇ × JL (r, t) = 0
e JT (r, t) corrente trasversa
∇ · JT (r, t) = 0
Pertanto, il potenziale vettore AC (r, t) soddisfa l’equazione di Helmholtz con termine
di sorgente JT (r, t):
µ
¶
∂2
2
∇ − 2 2 AC (r, t) = −μ0 JT (r, t)
c ∂t
Esercizio 7.2.1. Basandosi sull’esercizio 1.4.2 del Cap. 1, decomporre la densità di
corrente J (r, t) = Jl (r, t) + Jt (r, t) nelle componenti trasverse (Jt ) e longitudinali (Jl )(b)
Verificare in particolare l’equivalenza di queste espressioni con le formule (1.10) e (1.11)
del Cap. 1.
Soluzione: (a) Per dividere J nelle due componenti è opportuno riscrivere J (r, t) nella
forma
Z
Z
J (r0 , t) 3 0
∇02 J (r0 , t) 3 0
2
J (r, t) = −∇
r
=
d
dr
4π |r − r0 |
4π |r − r0 |
Dall’identità vettoriale
∇2 J = −∇ × (∇ × J) + ∇∇ · J
segue che
J (r, t) = −
Z
∇0 × (∇0 × J (r0 , t)) 3 0
dr +
4π |r − r0 |
Z
∇0 ∇0 · J (r0 , t) 3 0
dr
4π |r − r0 |
Visto che la decomposizone di una campo vettoriale in una parte solenoidale ed una
irrotazionale è unica, per il teorema di partizione di Helmholtz 6 si ha:
Z
∇0 × (∇0 × J (r0 , t)) 3 0
dr
JT (r, t) = −
4π |r − r0 |
Z
∇0 · J (r0 , t) 3 0
dr
JL (r, t) = −∇
(7.16)
4π |r − r0 |
(b) Decomponendo ∇ × ∇× si ha
¢
Z ¡ 02
∇ − ∇0 ∇0 · J (r0 , t) 3
JT (r, t) = −
dr
4π |r − r0 |
Z
Z
∇0 · J (r0 , t) 3
J (r0 , t) 3
2
= −∇
d r−∇
dr
4π |r − r0 |
4π |r − r0 |
µ
¶
Z
1
= J (r, t) − ∇
∇0
· J (r0 , t) d3 r
0
4π |r − r |
5
6
v.p.e. J. D. Jackson loc. cit. pag. 2.9, Sez. 6.3
v.p.e. C. H. Papas, loc. cit. pag. 298, Sez. 1.4
7.2 Gauge di Coulomb
e
261
Z µ
JL (r) = ∇
∇0
V
1
4π |r − r0 |
¶
· J (r0 ) d3 r0
riottenendo così le Eqq. (1.10) e (1.11).
Esercizio 7.2.2. Calcolare la corrente trasversa associata ad una carica q (ρ (r, t) =
qδ (3) (r − rq (t))) che si muove con velocità vq (t)
Soluzione: Nel caso di una carica puntiforme che si muove con velocità v (t) la densità
di corrente è data da
J (r, t) = qvq (t) δ (3) (Rq (t))
dove Rq (t) = r − rq (t) . Pertanto dalla (1.9) discende per la corrente trasversa
q
JT (r, t) = J (Rq (t)) − ∇0
4π
Ã
vq (t) · Rq (t)
Rq (t)3
!
Esercizio 7.2.3. Con riferimento all’Es. 7.2.2 calcolare il potenziale vettore nella gauge
di Colomb generato da una carica puntiforme q2 che descrive la traiettoria r2 (t)(a) tenendo conto del ritardo e (b) ignorandolo
(a) AC (r, t) è dato da
AC (r, t) = −μ0
Z
JT (R2 (trit )) 3 0
dr
4πR
dove
|r − r0 |
c
R2 (trit ) = r0 − r2 (trit )
R = |r − r0 |
t − trit =
Pertanto
Z
JT (R2 (trit )) 3 0
dr
4πR
¯
Z
1 0 v2 · R2 3 0 ¯¯
q2
= ALW (r, t) − μ0
d r¯
∇
4π
R
R23
rit
AC (r, t) = −μ0
Integrando rispetto ad R2 invece di r0 si ha
AC (r, t) = ALW
D’altra parte
Z
q2
∇
(r, t) − μ0
4π
Z
¯
1
v2 · R2 3 ¯¯
d R2 ¯
|r − R2 − r2 | R23
rit
v2 · R2 3
v2 · (r − r2 )
1
d R2 =
3
|r − R2 − r2 | R2
2 |r − r2 |
262
Campi di cariche in movimento
(b) Ignorando il ritardo si ha
¢
¡
Z
JT R0q (t) 3 0
dr
AC (r, t) = −μ0
4πR
Ã
!
Z
1 0 vq (t) · Rq (t)
q
d3 r0
= A (r, t) − μ0
∇
3
4π
R
Rq (t)
= A (r, t) − μ0
q
3q
(vq (trit ) · R (trit )) R (trit )
3 vq (trit ) + μ0
4πR (trit )
4πR (trit )5
A questo punto va notato che la densità di carica ρ (r, t) e JL (r, t) danno luogo ad un
potenziale che dipende dalla posizione istantanea per cui
7.3
Interazioni tra cariche in movimento
Esercizio 7.3.1. Si considerino i due elettroni dell’atomo d’elio. La Lagrangiana di uno
di questi è data dall’Eq. (7.17) dove V è il potenziale scalare relativo all’interazione
col nucleo e con l’altro elettrone. A invece è legato all’interazione col secondo elettrone.
Esprimere il contributo a L dovuto ai potenziali V12 e A12 espressi mediante i potenziali
ritardati di Liénard-Wiechert.
Soluzione: Il contributo alla Lagrangiana dell’elettrone 1 dovuto all’interazione col
secondo elettrone è espressa da
1
L12 = − mc2 − e (v1 ·A12 (r1 , t) − V12rit (r1 , t))
γ
(7.17)
doveSi calcolino i potenziali di Liénard-Wiechert 7 elativi al punto r = (ρ, φ, 0),
V12rit (r1 , t) = −
A12rit (r1 , t) =
1
e
4πε0 |r1 − r2 (trit )| 1 − n̂ · β (trit )
1
β (trit ) V12rit (r1 , t) .
c 2
dove il tempo di emissione trit da parte dell’elettrone e quello di rivelazione t del campo
sono legati dalla relazione:
p
t = trit + ε̂μ̂c−1 |r1 − r2 (trit )|
Sostituendo abbiamo
L12
7
µ
¶
1 2
1
= − mc − e 2 v1 ·v2 (trit ) − 1 V12rit (r1 , t)
γ
c
Energy Density of a Particle Moving at Uniform Speed from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/EnergyDensityOfAParticleMovingAtUniformSpeed/
Contributed by: Franz Kraﬀt
Electromagnetic
Energy
Density
and
Poynting
Vector
of
a
Relativistic
Oscillator
from
the
Wolfram
Demonstrations
Project
http://demonstrations.wolfram.com/ElectromagneticEnergyDensityAndPoyntingVectorOfARelativistic/
Contributed by: Franz Kraﬀt
7.4 Campi irradiati da multipoli
263
Esercizio 7.3.2. Due elettroni, distanti R tra loro lungo l’asse y, viaggiano parallelamente ed a velocità costante v lungo l’asse x. Calcolare la forza di interazione
Soluzione: Nel sistema proprio KP gli elettroni si respingono con una forza
FP =
e2
ŷ
4πε0 R2
parallela ad ŷ.
D’altra parte la forza FL nel sistema di laboratorio KK è espressa da:
FL = −e (EL + v × BL )
dove
∙
EL
BL
¸
∙
γ + (1 − γ) β̂ β̂
γv×
=
γ
− c2 v×
γ + (1 − γ) β̂ β̂
¸
∙
γEP + (1 − γ) β̂ β̂ · EP
=
− cγ2 v × EP
¸
∙
γEP
=
− cγ2 v × EP
¸
¸ ∙
EP
·
0
Pertanto
q
q
³
´
γ
2
FL = −e γEP − 2 v × (v × EP ) = −e 1 − β EP = 1 − β 2 FP
c
7.4
Campi irradiati da multipoli
Esercizio 7.4.1. Un elettrone investito da un’onda piana monocromatica di frequenza
ω polarizzata linearmente, che viaggia lungo la direzione ẑ , descrive un’orbita a forma
di 8 espressa dalle equazioni del moto discusse nell’esercizio 5.3.3 (a) si associno alla
densità di carica ρ̃e (r, ) (o corrente J̃e (r, )) i momenti di dipolo e quadrupolo dati
rispettivamente da
Z
Z
i
3
℘
˜( ) =
ρ̃e (r, ) rd r =
J̃ (r, ) d3 r
Z ³
Z
´
i
3
Q̃e ( ) = −3 ρ̃e (r, ) rrd r = −3
J̃ (r, ) r + rJ̃ (r, ) d3 r
con ℘
˜ ( ) momento di dipolo elettrico e Q̃e (
quadrupolo elettrico. Calcolare ℘
˜ e Q̃e per le
posizione in serie di Fourier. (b) Tenuto conto
distribuzione di corrente è espresso d
Z
¡
¢
−2
Ẽ (r, ω) = −iωμ 1 + k ∇∇ ·
) una quantità legata al momento di
varie armoniche ottenute dalla decomche il campo elettrico irradiato da una
G (r − r0 , k) J̃ (r0 , ω) d3 r0
e che la funzione di Green scalare G (k, |r − r0 |) per k |r| → ∞ tende a
eikr −ikn̂·r0
G (|r − r | , k) '
e
.
4πr
0
264
Campi di cariche in movimento
dove
r
r
si calcoli Ẽ (r, ω) a grande distanza assumendo che J̃ (r0 ) sia distribuita in una regione
0
tanto piccola da poter considerare costante il fattore di fase e−ikn̂·r .(c) Si utilizzi questa
espressione di Ẽ (r, ω) per calcolare il campo associato ai dipoli elettrici di varie frequenze
associate all’elettrone oscillante8 .
n̂ =
Soluzione: (a) Dall’espressione (??) di ρ̃e (r, ) discende
Z
℘˜ ( ) =
ρ̃e (r, ) rd3 r
∞ Z
1 X
e
=
xCn (x) dx [δ ( − nω) + δ (
2 n=−∞
dove
+ nω)] x̂
Z
xCn (x) dx
Z
Z
1 T
δ (x − xe (t)) cos (nωt) dtdx
=
x
T 0
Z
1 T
xe (t) cos (nωt) dt
=
T 0
Pertanto
Z
1 T
xe (t) cos (nωt) dtx̂
℘n = −e
T 0
Più in generale tenendo conto anche dell’oscillazione lungo z si ha:
Z
1 T
℘n = −e
re (t) cos (nωt) dt
T 0
Analogamente si ha per il momento di quadrupolo
Z
1 T
re (t) re (t) cos (nωt) dt
Qn = −e
T 0
Sostituendo xe (t) con (5.26) si ha
℘m
Z 2π
1
= −ξe
Jn (ε)
cos [(2n + 1) θ] cos (mθ) dθ
2π
0
n=−∞
µZ 2π
∞
ξe 1 X
Jn (ε)
cos [(2n + m + 1) θ] dθ
=
2 2π n=−∞
0
¶
Z 2π
cos [(2n − m + 1) θ] dθ
+
∞
X
0
8
´
m+1
ξe ³
J m−1 (ε) + (−1) 2 J m+1 (ε)
=
2
2
2
v.p.e. J. R. Oppenheimer, loc. cit. pag. 7.0.6, Sez. 8
7.5 Densità spettrale energia e potenza irradiata
265
e
Qm
1
= (ξe)2 x̂x̂
2π
1
x̂x̂
= (ξe)
8π
2
Z
2π
0
Z
2π
0
Ã
∞
X
!2
Jn (ε) cos [(2n + 1) θ]
n=−∞
∞
X
cos (mθ) dθ
Jn (ε) Jn0 (ε) (cos [(2n + 2n0 + m + 1) θ]
n,n0 =−∞
0
+ cos [(2n − 2n + m + 1) θ] + cos [(2n + 2n0 − m + 1) θ]
+ cos [(2n − 2n0 − m + 1) θ] dθ)
∞
X
ξe
Jn (ε) Jn0 (ε)
x̂x̂
=
4
0
n,n =−∞
³
´
× δ n+n0 ,− m+1 + δ n−n0 ,− m+1 + δ n+n0 , m−1 + δ n−n0 , m−1
2
2
2
2
b) Assumendo che J̃ (r0 ) sia distribuita in una regione tanto piccola da poter porre
0
e−ik0 n̂·r = 1 − ik0 n̂ · r0
si ha
eik0 r
Ẽ (r, ω) = −iωμ
(1 − n̂n̂)
4πr
¸
∙
Z
´
k0 ³
0
0
0
0
0
3 0
·
J̃ (r , ω) − i n̂ · J̃ (r , ) r +r J̃ (r , ) d r
2
µ
¶
ik0 r
k0
2 e
= −iω μ
(1 − n̂n̂) · −i℘
˜ + n̂ · Q̃
4πr
6
(c) Conseguentemente si ha:
ei(2m+1)k0 r
Ẽ2m+1 (r, ω) = −i (2m + 1)2 ω2 μ
4πr
µ
¶
k0
× (1 − n̂n̂) · ℘
˜m + i n̂ · Q̃m
6
7.5
Densità spettrale energia e potenza irradiata
Esercizio 7.5.1. Esprimere la potenza irradiata a grande distanza da una distribuzione
di correnti
Soluzione: A grande distanza da una distribuzione di correnti contenute in un volume
266
Campi di cariche in movimento
finito il campo si riduce ad un’onda piana diretta lungo n̂ = k̂. Pertanto
Z
eik·r
μ0 ω ẽ
d3 k
J⊥ (k, ω) 2
Ẽ (r, ω) = i 2
8π
k − ñ2 k02
¶
Z ∞ µZ π
k2
μ0 ω ẽ
ikr cos θ
→i
e
sin θdθ dk
J⊥ (ñk0 n̂, ω)
2
2 2
r→∞ 4π
0
0 k − ñ k0
Z ∞
k2
sin kr
μ0 ω ẽ
J⊥ (ñk0 n̂, ω)
dk
= i
2
2
2
4π
k − ñ k0 kr
0
Z
1 ∞ x sin x
μ0 ω ẽ
dx
= i 2 J⊥ (ñk0 n̂, ω)
4π
r 0 x2 − ñ2 k02 r2
eikr
μ ω ẽ
= i 0 J
⊥ (ñk0 n̂, ω)
2
4πr
ẽ (ñk n̂, ω) . Pertanto la densità spettrale d2 E/dωd2 Ω di
ẽ (ñk n̂, ω) = (1 − n̂n̂) · J
con J
⊥
0
0
energia irradiata9 lungo n̂ per unità di angolo solido è espressa da:
¯2
4π 2 ¯¯
¯
lim
R ¯Ẽ (R, ω)¯
R→∞ ζ
¯2
4π μ20 ω 2 ¯¯ẽ
¯
=
2 ¯J⊥ (ñk0 n̂, ω)¯ .
ζ (8π)
d2 E (n̂, ω)
=
dωd2 Ω
(7.18)
In alternativa si può calcolare la
densità ´spettrale di energia irradiata utilizzando la
³√
e⊥
trasformata di Fourier spaziale J
ε̃k0 n̂, t della distribuzione di corrente e ponendo
T = (t + t0 ) /2 e τ = t − t0 :
∙Z ∞
¸
Z ∞
´
³√
³√
´
d2 E (n̂, ω)
4πμ0 2
∗
−iωt
0
iωt0 0
e
e
J⊥
J⊥
ε̃k0 n̂, t e
dt ·
ε̃k0 n̂, t e dt
=
ω
dωd2 Ω
c
−∞
−∞
Z
d2 P (T )
=
dT
dωdΩ
d2 P (T ) /dωdΩ rappresenta la densità spettrale della potenza irradiata al tempo T :
Z
³√
´
´
d2 P (n̂, ω, T )
4πμ0 2 ∞ −iωτ e∗ ³√
e⊥
J⊥
=
ω
e
ε̃k0 n̂, T + τ /2 · J
ε̃k0 n̂, T − τ /2 dτ
dωdΩ
c
−∞
(7.19)
Inoltre risulta:
Z ∞
Z ∞
¯
¯2
00
¯ẽ
¯
−iωt0 e∗
0
0
e⊥ (kn̂,t00 )dt00
J⊥ (kn̂,t )dt ·
e
eiωt J
¯J⊥ (ñk0 n̂,ω)¯ =
µ −∞
µ
¶
¶
Z−∞
Z ∞
∞
1
1
−iωτ e∗
e⊥ kn̂,t − τ dτ
J⊥ kn̂,t + τ · J
=
dt
e
2
2
−∞
−∞
Esercizio 7.5.2. Si calcoli
terzultimo esercizio.
9
d2 E(n̂,ω)
dωd2 Ω
e
d2 P (n̂,ω,t)
dωd2 Ω
per i casi (a), (b) e (d) considerati nel
J. Schwinger, ”Classical Electrodynamics”, a cura di L.L. de Raad, K. A. Milton, Wy-yangTsai Adv.
Book Program, Boulder, 1998, Sez. 35.1 Eq. (35.32).
7.5 Densità spettrale energia e potenza irradiata
267
Soluzione: (a)
d2 P (n̂, ω, t)
1 ³ e ´2 ³ μ0 ´2 −1
ζ (ω) ω 2 sin2 θ
=
dωd2 Ω
2πZ 2π ∙4π
µ
µ
¶
¶¸
∞
1
1
exp −iωτ − ikz z t + τ + ikz z t − τ
×
2
2
−∞
µ
¶ µ
¶
1
1
×v̂ t + τ · v̂ t − τ dτ
2
2
(b)
´
³
1 ³ e ´2 ³ μ0 ´2 −1
ω
d2 P (n̂, ω, t)
2
2
=
ñ
(ω)
v
cos
θ
ζ
(ω)
ω
sin
θδ
ω
−
dωd2 Ω
2π 2π
4π
c
ovvero
d2 P (n̂,ω,t)
dωd2 Ω
è indipendente da t e diverso da 0 per
ñ (ω) v cos θ = c
ovvero l’elettrone irradia lungo un cono di apertura θ (cf 7.7).
(c)
1 ³ e ´2 ³ μ0 ´2 −1
d2 P (n̂, ω, t)
ζ (ω) ω2 v02 sin2 θ
=
dωd2 Ω
2π 2π ∙ 4π
µ
¶¸
Z ∞
t + 12 τ
t − 12 τ
dτ
exp −i (ω − 2kz vo ) τ − i2kz sa arctan
− arctan
τa
τa
−∞
1 ³ e ´2 ³ μ0 ´2 −1
ζ (ω) ω2 v02 sin2 θ
=
2π 2π
4π
∙
µ
¶¸
Z 4π
Ω
vo
1
exp −iωτ − i2kz cos Ωt sin
Ωτ
Ω
2
0
Esercizio 7.5.3. Utilizzando la formula di Larmor per la potenza irradiata da un elettrone accelerato,
2 e2 a2
P =
(formula di Larmor)
(7.20)
3 4πε0 c3
essendo ”a” l’accelerazione, descrivere l’orbita di un elettrone in un campo magnetico B
Soluzione: Si mmagini che l’elettrone descriva un’orbita piana sotto l’azione di un
campo B0 uniforme diretto lungo B0 = B0 ẑ. Ignorando le perdite per irragiamento esso
ruoterà alla frequenza di ciclotrone
ω cicl = −
e
B0
me
dove il segno − tiene conto del fatto che per B0 > 0 l’elettrone descrive un’orbita circolare
in senso antiorario rispetto a ẑ. D’altra parte
1
A = B0 × r
2
268
Campi di cariche in movimento
per cui
1
1
(p+eA)2 =
H=
2me
2me
µ
¶2
1
1
−me ωcicl ẑ×r + eB0 ẑ×r = me ω 2cicl r2
2
8
D’altra parte
d
2 e2 a2
2 e2 ω 4cicl 2
H=−
=−
r
dt
3 4πε0 c3
3 4πε0 c3
per cui
d 2
16 e2 ω2cicl 2
r =−
r
dt
3 4πε0 me c3
ovvero
r (t) = r (0) e−t/τ
con
τ=
7.6
7.6.1
32 e2 ω 2cicl
3 4πε0 me c3
Interazione atomi-sciami di particelle cariche
Esperimento di Franck ed Hertz
Esercizio 7.6.1. (a) Calcolare il campo generato da un elettrone che viaggi con velocità costante v in un mezzo di costante dielettrica ε̃ (ω); (b) calcolare il campo a grande
distanza in funzione della frequenza ω (v. Es. 7.1.3)
Soluzione: (a) Utilizzando l’espressione (7.22) della trasformata Ẽ(k,ω) del campo
elettrico generato dall’elettrone
Z ∞+i
Z ∞
1
3
Ẽ(r,t) =
dk
dωe−i(ωt−k·r) Ẽ(k,ω)
(2π)4 −∞
−∞+i
µ
¶
Z
Z ∞
c2
1
1 eμ0 ∞+i
−iωt
3
ik·r
v − 2 kk · v δ (ω − k · v)
dωe
ω
d ke
= −i
2
ε̃ω
k2 − ε̃ ωc2
(2π)4 4π −∞+i
−∞
Z ∞+i
1
=
Ẽ(r,ω)e−iωt dω
2π −∞+i
col cammino di integrazione in ω spostato di i con
Ẽ(r,t) → 0 , si ha
>0e
→ 0 al fine di garantire
t→−∞
µ
¶
c2
eik·r
v − 2 kk · v δ (ω − k · v)
Ẽ(r,ω) = C
dk
2
ε̃ω
k2 − ε̃ ωc2
−∞
µ
¶
Z ∞
¢
eik⊥ ·r
c2 ¡
2
¢ v−
= C
kk +k⊥
d k⊥ 2 ω2 ¡
ε̃ω
k⊥ + v2 1 − ε̃β 2
−∞
Z ∞
Z 2π
k⊥ dk⊥
¡
¢
eik⊥ ρ cos φ Ẽ(k⊥ ,ω, φ)dφ
= C
2
ω2
2
k⊥ + v2 1 − ε̃β
0
0
Z
∞
3
avendo posto
C = −i
1 eμ0 i ω z
ωe v
(2π)4 2
7.6 Interazione atomi-sciami di particelle cariche
e posto
269
¶
µ
c2
1
k⊥ ρ̂ cos φ
Ẽ(k⊥ ,ω, φ) = 1 − 2 v −
ε̃ω
ε̃β
Integrando rispetto a φ
1
π
Z
1
π
Z
π/2
−π/2
dφeik⊥ ρ cos φ Ẽ(k⊥ ,ω, φ) ≡ Ẽa (k⊥ ρ,ω)
¶
µ
1
c2
= (J0 + iH0 ) 1 − 2 v − (iJ1 + H−1 ) k⊥ ρ̂
ε̃ω
ε̃β
3π/2
π/2
dφeik⊥ ρ cos φ Ẽ(k⊥ ,ω, φ) ≡ Ẽb (k⊥ ρ,ω)
¶
µ
1
c2
= (J0 − iH0 ) 1 − 2 v − (iJ1 − H−1 ) k⊥ ρ̂
ε̃ω
ε̃β
con J0,1 = J0,1 (k⊥ ρ) funzioni di Bessel di ordine 0 e 1, e H0,−1 = H0,−1 (k⊥ ρ) quelle di
Struve (v. Eq. 1.35), si ottiene
Z ∞
³
´
k⊥ dk⊥
¡
¢
Ẽ
Ẽ(r,ω) = πC
(k
ρ,ω)
+
Ẽ
(k
ρ,ω)
a
⊥
b
⊥
2
2
k⊥
+ ωv2 1 − ε̃β 2
0
´
³
= πC Ẽa (r,ω) + Ẽb (r,ω)
Per calcolare questi ultimi integrali conviene modificare il cammino di integrazione nel
piano complesso di k⊥ = |k⊥ | eiϕk tenendo conto che eik⊥ ρ cos φ tende a 0 per |k⊥ | → ∞
quando sono soddisfatte le coppie di condizioni (a) cos φ > 0, π2 ≥ ϕk ≥ 0 e (b) cos φ <
0, 0 ≥ ϕk ≥ − π2 . D’altra parte l’integrando presenta un polo in
ω+i
k̄⊥ =
v
q
ε̃β 2 − 1
k̄⊥ ¡giace
superiore per ε̃0 β 2 > 1 (I) ed a sinistra dell’asse immaginario con
¢ nel semipiano
0 2
Re k̄⊥ > 0 per ε̃ β < 1 (II).
R∞
R i∞
Per Ẽa il cammino di integrazione 0 · · · dk⊥ può essere modificato in 0 aggiungenR∞
R −i∞
senza
dovi il contributo del residuo in k̄⊥ mentre per Ẽb 0 · · · dk⊥ va modificato in 0
aggiungervi il residuo,
Ẽa (r,ω) =
Ẽb (r,ω) =
Z
i∞
2
k⊥
0
Z −i∞
0
+
2
k⊥
ω2
v2
+
1
¡
¢ Ẽa (k⊥ ρ,ω)k⊥ dk⊥ + iπ Ẽa (k̄⊥ ρ,ω)
1 − ε̃β 2
ω2
v2
1
¡
¢ Ẽb (k⊥ ρ,ω)k⊥ dk⊥
1 − ε̃β 2
(b) Per calcolare il campo a grande distanza conviene utilizzare le espressioni asintotiche
delle funzioni di Struve
µ³ ´ ¶
³ x ´α−1
1
x α−3
¢
Hα (x) = Yα (x) + √ ¡
+O
1
2
2
πΓ α + 2
270
Campi di cariche in movimento
da cui discende
J0 (x) + iH0 (x) ≈
r
³
π´
2
exp ix − i
πx
4
iJ1 (x) + H−1 (x) ≈ i (J1 (x) + iY1 (x)) ≈ i
r
³
2
π
π´
exp ix − i − i
πx
2
4
Ne segue che
r
¶
∙µ
¸
³
c2
π´
1
Ẽa (x,ω) ≈
1− 2 v−
xρ̂ exp ix − i
ε̃ωρ
4
ε̃β
r ∙µ
¶
¸
2π
c2
1
1− 2 v−i
xρ̂ exp (−x)
Ẽa (ix,ω) ≈
x
ε̃ωρ
ε̃β
2π
x
Pertanto
Ẽ(r,ω) = iCπ 2 Ẽa (k̄⊥ ρ,ω)
r
∙µ
¶
¸
q
1
1
c2
eμ0 2πωv
2
1− 2 v−
=
ε̃β − 1ρ̂
¢1/4
¡ 2
32π2
ρ
ε̃v
ε̃β
ε̃β − 1
¶
¶
µ µ
q
π
ω
2
z + ε̃β − 1ρ − i
× exp i
v
4
¢1/4 ∙q
¡ 2
r
¸
eμ0 c 2πωv ε̃β − 1
2
=
ε̃β − 1β − βρ̂
32π2
ρ
ε̃β 2
¶
¶
µ µ
q
π
ω
2
z + ε̃β − 1ρ − i
× exp i
v
4
Se ne evince che l’elettrone irradia lungo le direzioni di un cono di apertura
1
tan θ = p 2
ε̃β − 1
Appare chiaro che i campi così creati sono ben lontani dalle onde piane. Le ampiezze
possono variare significativamente su distanze molto minori delle lunghezze d’onda. Non
c’è quindi da sorprendersi che essi diano luogo in un atomo a transizioni solitamente
proibite nell’approssimazione di dipolo. Questi campi, caratterizzati da un ampio spettro
di frequenze, sono responsabili delle eccitazioni dei vari livelli elettronici per impatto elettronico. A diﬀerenza delle eccitazioni con onde piane, in quest’ultimo caso il campo magnetico non risulta più trascurabile rispetto alla componente elettrica e può quindi indurre
transizioni altrimenti proibite. Un caso interessante si ha ad esempio nella eccitazione di
stati di tripletto nell’elio.
(b) Per calcolare la potenza persa dall’elettrone si può utilizzare il teorema dell’energia
nella forma
Z
³
´
1
−
Re J̃∗ · Ẽ d3 r
2
Z µ
I
¯ ¯2
¯ ¯2 ¶
³ ´
1
¯ ¯
¯ ¯
3
μ0 Im (μ̃) ¯H̃¯ + ε0 Im (ε̃) ¯Ẽ¯ d r+ Re S̃ ·n̂d2 r
= − ω
2
7.6 Interazione atomi-sciami di particelle cariche
271
³ ´
Dal momento che l’integrale di Re S̃ si annulla estendendo l’integrazione a tutto lo
spazio e per Im (μ̃) = 0 si ha
Z
Z ∞ ¯ ¯2
³
´
¯ ¯
∗
3
Re J̃ · Ẽ d r = 2πωε0 Im (ε̃)
ρ ¯Ẽ¯ dρ
0
D’altra parte
Ã
!
Z ∞ ¯ ¯2
¯ ω ¯2 Z ∞ µ k ¶2 µ k ¶2
¯ ¯
¯ ¯
⊥
⊥
ρ ¯Ẽ¯ dρ = e2 μ20 ¯ ¯
ρ
K02 (k⊥ ρ) + β −2 K002 (k⊥ ρ) dρ
ε̃
k0
k0
0
0
Ãµ ¶
!
Z
2
¯ c ¯2 ∞
k
¯ ¯
⊥
K02 (x) + β −2 K002 (x) dx
= e2 μ20 ¯ ¯
ε̃
k
0
0
k0
con K0 funzione di Bessel modificata di seconda specie. Per k⊥ ' βγ
l’integrale si riduce
a
Z ∞
Z ∞ ¯ ¯2
¢
¡ −2 2
e2 μ0 1
C
¯ ¯
02
ρ ¯Ẽ¯ dρ = 2
K
(x)
+
K
(x)
dx = 2
γ
0
0
2
β ε0 |ε̃| 0
|ε̃|
0
con
Z
¢
e2 μ0 ∞ ¡ −2 2
C= 2
γ K0 (x) + K002 (x) dx
β ε0 0
Ne segue che
Z
Z ∞ ¯ ¯2
Z Z
´
³
¯ ¯
∗
3
ρ ¯Ẽ¯ dρdω
Re J̃ · Ẽ d rdω = 2πε0 ω Im (ε̃)
0
Z
ω Im (ε̃)
dω
= 2πε0 C
|ε̃|2
Esercizio 7.6.2. Un elettrone viaggia con velocità v passando in prossimità di un atomo.
Calcolare il campo che agisce sull’atomo visto nel sistema proprio dell’elettrone.
Soluzione: Tenendo conto delle trasformazioni di Lorentz del campo (v. Es. ??) si ha
per la componente di E perpendicolare a v
E⊥ (t) = γ
b
e
2
2
4πε0 (b + γ v 2 t2 )3/2
Questo campo avrà la forma di un impulso tanto più breve quanto più veloce è l’elettrone.
Poiché l’atomo si comporta classicamente come un oscillatore che risuona alla frequenza
ω0 , l’eﬀetto di E⊥ (t) dipenderà dalla componente spettrale10 (v. Problemi precedenti)
Z ∞
1
e 1 1
Ẽ⊥ (ω0 ) =
E⊥ (t) exp (iω 0 t) dt =
(7.21)
ξK0 (ξ)
2π −∞
4π 0 γvb π
dove K0 sta per la funzione di Bessel modificata di ordine 0 mentre ξ = ω 0 b/ (γv). Questo
parametro ξ misura il rapporto tra la durata della collisione τ ∼ b/γv ed il periodo d’oscillazione dell’elettrone legato all’atomo. L’energia ∆E trasferita all’atomo è proporzionale
a
(
¯
¯2
1
1
¯
¯
´ 1, ξ ¿ 1
³
∆E ∝ ¯Ẽ⊥ (ω 0 )¯ ∝ 2 ξ 2 K02 (ξ) ≈ 2
1
1 + γ 2 π2 ξ exp(−2ξ), ξ À 1
b
b
10
V. p.e. J.D. Jackson, loc. cit. pag. 80 Cap. 13.
272
Campi di cariche in movimento
Figura 7.1: Rappresentazione schematica dell’interazione tra un atomo ed un elettrone suﬃcientemente
veloce. La nuvola di elettroni atomici viene eccitata dalle componenti spettrali del campo prodotto
dall’elettrone “proiettile” a frequenze “f” coincidenti con le risonanze dell’atomo. Perché ciò avvenga
la regione in cui si estende il campo a frequenza f deve comprendere la nuvola elettronica che circonda
l’atomo.
Figura 7.2: Sezione d’urto di eccitazione dell’idrogeno in funzione dell’energia degli elettroni. Le curve
continue sono teoriche (cf. H.S.W. Massey and E.H.S. Burhop, “Electronic and Ionic Impact Phenomena”
, Clarendon Press, Oxford (1952)) mentre quella tratteggiata è stata misurata da W.L. Fite et al., Phys.
Rev. vol. 116, pg. 356 (1959).
7.6 Interazione atomi-sciami di particelle cariche
273
Esercizio 7.6.3. Si consideri un atomo bombardato da uno sciame di particelle cariche.
Quando una di queste si avvicina e supera l’atomo, quest’ultimo viene sottoposto ad un
campo elettrico impulsivo che, a sua volta, può produrre una eccitazione o, al limite, la
ionizzazione del bersaglio. Tale fenomeno fu osservato nel 1906 da Lenard, che notò una
notevole perdita di energia da parte di una corrente di elettroni in una ampolla contenente
gas. Successivamente, Franck ed Hertz utilizzarono questo apparato per misurare i livelli
di energia di varie specie atomiche. Calcolare (a) lo spettro del campo prodotto ed (b) il
tasso di perdita di energia da parte di una particella carica che attraversa un gas.
Soluzione: (a) Per studiare l’interazione tra un elettrone che si muove di moto uniforme
con velocità v = vẑ ed un atomo, conviene rappresentare il primo come una corrente di
densità
J(r, t) = −evδ (3) (r − vt)
Trasformando rispetto al tempo, si vede facilmente che l’elettrone in moto equivale ad
e pari a
una sovrapposizione di correnti sinusoidali J
Z ∞
e
J(r, t)ei(ωt−k·r) d3 rdt
J(k, ω) =
−∞
¶
Z ∞ µZ ∞
(3)
i(ωt−k·r) 3
= −ev
δ (r − vt) e
d r dt
−∞
−∞
Z ∞
ei(ω−k·v)t dt
= −ev
−∞
= −2πeδ (ω − k · v) v
che genera il potenziale vettore Ã(k,ω)
ẽ
2πδ (ω − k · v)
J(k, ω)
ẽ
v
A(k,ω) = −μ0
2 = −eμ0
2
ω
k2 − ε̃ c2
k 2 − ε̃ ωc2
ed il potenziale scalare
ec2 2πδ (ω − k · v)
c2
ẽ
k·v
k·A=−
Vẽ (k,ω) =
2
ε̃ω
ε̃ω
k2 − ε̃ ωc2
associati al campo elettrico
ẽ
ẽ
E(k,ω)
= iω A(k,ω)
− ikVẽ (k,ω)
µ
¶
1
c2
μ0
ω v − 2 kk · v δ (ω − k · v)
= −ie
4π k2 − ε̃ ωc22
ε̃ω
Ne discende che
µ
¶
1
e 2πδ (ω − k · v)
ẽ
2
ω β −
E(k,ω) · v = −i
2
ε0
ε̃
k2 − ε̃ ωc2
Pertanto la perdita di energia dell’elettrone per unità di tempo è data da
−
dE
= −ev·E(vt,t)
dt
¶
µ
Z
2πδ (ω − k · v)
1 3
e2
2
d kdω
Im
ω β −
=
2
ε0
ε̃
k2 − ε̃ ωc2
(7.22)
274
Campi di cariche in movimento
Integrando rispetto alla direzione di k rispetto a v
Z 1
1
δ (ω − k · v) d (cos θ) =
η (kv − |ω|)
kv
−1
con η (x) la funzione gradino unirario. Pertanto
dE
dt
µ
¶
Z ∞ Z K2
e2
1
−iω
2
=
β −
Re
dk 2 dω
2 − ε̃ ω2
4πε0 v
ε̃
2
2
k
−∞ ω /v
c2
µ
¶
Z ∞
2
1
e
K 2v2
2
¢ dω
(−iω) β −
=
Re
ln 2 ¡
4πε0 v
ε̃
ω 1 − ε̃β 2
−∞
−
2
con K 2 À |ε̃| ωc2 . Sostituendo dt con dz/v si ha
¶
Z ∞ µ
K 2 v2
dE
1
e2
¡
¢ dω
ln
−
Im
ω
1
−
=
dz
4πε0 c2
ε̃β 2
ω2 1 − ε̃β 2
0
e2
=
(I + II)
4πε0 c2
dove
Intanto
Dal momento che
con
¶
µ
K 2v2
1
¢ dω
ω 1 − 2 ln 2 ¡
I = Im
ε̃β
ω 1 − β2
0
¶
Z ∞ µ
1 − β2
1
¢ dω
II = Im
ω 1 − 2 ln 2 ¡
ε̃β
ω 1 − ε̃β 2
0
Z
1
I=− 2
β
∞
Z
∞
0
µ ¶
K 2 v2
1
¢ dω
ln 2 ¡
ω Im
ε̃
ω 1 − β2
µ ¶
Z ∞
q (ω 0 )
π ω 2p
1
2
0
dω =
= −ω p
q (ω)
Im
ε̃
2 ω
ω 02 − (ω + i )2
0
Z
∞
q (ω) ≥ 0
q (ω) dω = 1
0
per cui
Z
K 2 v2
1 π 2 ∞
¡
¢ dω
ω
q
(ω)
ln
I =
p
β2 2
ω2 1 − β 2
0
µ
¶
Z ∞
K 2 v2
1 π 2
1
=
ω ln
+
q (ω) ln 2 dω
ω
β2 2 p
1 − β2
0
2 2
K v
1 π 2
¡
¢
=
2 ω p ln
β 2
1 − β 2 ω2e
7.6 Interazione atomi-sciami di particelle cariche
dove ω e è definita da
Z
∞
q (ω) ln
0
1
1
dω = ln 2
2
ω
ωe
275
(7.23)
~ω e rappresenta una energia eﬃcace di eccitazione degli atomi costituenti il dielettrico.
Il cammino di integrazione ω ∈ (0, ∞) del secondo integrale II può essere sostituito
da Γ1 ∪ Γ2 con Γ1 = i (0, ∞) e Γ2 l’arco di circonferenza compreso tra i∞, ∞.
¶
µ
Z
1 − β2
1
II = Im
ω 1 − 2 ln
dω = IIΓ1 + IIΓ2
ε̃β
1 − ε̃β 2
Γ1 +Γ2
Dal momento che ε̃ risulta reale lungo Γ1
Z ∞
q (ω 0 )
2
ε̃ (iω) = 1 + ω p
dω 0 < ε̃ (0) , q (ω0 ) ≥ 0
02
2
ω +ω
0
si ha
¶
µ
1 − β2
1
ω 1 − 2 ln
dω
IIΓ1 = Im
ε̃β
1 − ε̃β 2
0
Fintantochè la velocità è così bassa per cui
Z
i∞
ε̃ (0) β 2 < 1
p
risulta IIΓ1 = 0. Quando β supera il valore di soglia 1/ ε̃ (0) per 0 < iω < iω v con ω v ,
radice dell’equazione
Z ∞
1
q (ω 0 )
2
2
= 1 − ωp
dω0
β =
02 + ω 2
ε̃ (iω v )
ω
0
v
risulta ε̃ (0) β 2 > 1 e EΓ001 è espresso da
¶ µ
¶
Z iωv µ
1 − β2
1
IIΓ1 =
dω
ω 1 − 2 Im
ε̃β
1 − ε̃β 2
0
¶
Z iωv µ
1
= π
ω 1 − 2 dω
ε̃β
0
¶
Z iωv µ
Z ∞
q (ω 0 )
π
2
2
0
=
ω β − 1 + ωp
dω dω
ω02 + ω2
β2 0
0
∙
¸
Z
¢ 2
π 2 ∞
ω 02 + ω 2v 0
1π ¡ 2
0
β − 1 ωv − 2 ωp
q (ω ) ln
dω
=
2 β2
ω02
β
0
∙
¸
¢ 2
ω 2e
1π 2 ¡
2 ωv
+ ln 2
= − 2 ωp 1 − β
2β
ω2p
ω ve
dove la frequenza eﬃcace ωve è definita in modo analogo a (7.23)
Z ∞
1
1
q (ω 0 ) ln 02
dω 0 = ln 2
2
ω + ωv
ω ve
0
Poichè per |ω| À ω atom
ω 2p
ε̃ ≈ 1 − 2
ω
(7.24)
276
Campi di cariche in movimento
si ha
ln
per cui
IIΓ2
ω 2p β 2
1 − β2
≈
−
ω2 1 − β 2
1 − ε̃β 2
¶Z
¶
µ
µ
π
1
1 − β2
dω = − ω 2p
= 1− 2
ω Im ln
2
2
β
1 − ε̃ (ω) β
Γ2
Sommando i vari contributi si ottiene
µ
¶
¡
¢ 2
K 2 γ 2 β 2 c2
e2 π 2
dE
2
2 ωv
=
ω ln
−β + 1−β
−
dz
4πε0 v2 2 p
ω2ve
ω 2p
(7.25)
Esercizio 7.6.4. Confontare l’espressione di dE
ricavata nel precedente esercizio con
dz
l’espressione di Bethe-Bloch
µ
¶
dE
ε δ (β)
me c2 Zz 2
2γ 2 β 2 me c2
2
−β − −
= 2C 2
ρ ln
dz
A
EI
2
2
β
con
C = 2πNA
µ
e2
4πε0 me c2
¶2
= 0.03006 kg −1 m2
Z ed A numero atomico e massa del mezzo attraversato, z=carica in unità di e della
particella proiettille, ρ= densità del mezzo ed EI energia media di ionizzazione; ε sta per
la correzione deguscio e δ (β) per l’eﬀetto densità
Soluzione: Se si confronta la (7.25) con quella di Bethe si deduce che energia media di
ionizzazione EI che compare in quest’ultima risulta legata alla frequenza eﬃcace ωve ed
a K dalla relazione:
ω 2ve
EI = 2me 2
K
Felix Bloch ha mostrato nel 1933 che EI è approssimativamente rappresentato da
EI = 10 · Z eV .
7.7
Radiazione Cerenkov
Esercizio 7.7.1. Calcolare la densità spettrale della potenza irrradiata da una particella
carica che si muove con velocità costante (v. Sez. 7.1 e Es. 7.1.3.
Soluzione: Per una particella che si muove con velocità uniforme v = cβ diretta lungo
l’asse z si ha
µ
¶
k0
(2)
J̃(r,ω) = −ecβδ (ρ) exp i z
β
Pertanto, utilizzando la funzione di Green scalare 2D
i (1)
G(2) (ρ, k⊥ ) = H0 (k⊥ ρ)
4
7.8 Radiazione di frenamento (Bremsstrhalung)
277
si ottiene per il potenziale vettore nel caso di un mezzo omogeneo di indice di rifrazione
ñ (ω)
∙ q
¸
i i kβ0 z (1) k0
2 2
H0
ñ (ω) β − 1ρ
(7.26)
Ã(r,ω) = −ecβμ0 e
4
β
(1)
Se ne evince che l’argomento della funzione di Hankel risulta reale, ed H0 si comporta
√
come una funzione oscillante che decade come 1/ ρ, solo se la velocità risulta maggiore
(1)
di c/ñ (ω) . Nel caso opposto l’argomento di H0 risulta immaginario ed Ã(r,ω) decade
esponenzialmete con la distanza ρ. Si vede quindi che nel caso di moto uniforme un
ruolo critico viene giocato dall’indice di rifrazione del mezzo ñ (ω) . Quando ñ (ω) > v/c
l’elettrone emette radiazione Cerenkov di frequenza ω.
Per calcolare la potenza irradiata si inserisce nell’Eq. (??) la trasformata di Fourier
e (kn̂, t) = −ecβ exp (ickn̂ · β)
J
della corrente ottenendo così per la densità spettrale della potenza irradiata:
d2 P (n̂, ω, t)
ω 2 e2
=
|n̂ × βñ (ω)|2 2πδ (ω [1 − ñ (ω) n̂ · β])
2
2
dωd Ω
4π c
(7.27)
Si vede quindi che l’elettrone irradia potenza lungo le direzioni n̂ che formano con v un
angolo θ tale che
1 1
,
cos θ =
β ñ (ω)
ovvero il diagramma di radiazione Cerenkov11 ha la forma di un cono. Integrando rispetto
a d2 Ω si ottiene per la densità spettrale potenza irradiata
µ
¶
dP (ω, t)
1
ωe2 v
1− 2
= 2
dω
c
ñ (ω) β 2
7.8
Radiazione di frenamento (Bremsstrhalung)
Esercizio 7.8.1. Calcolare il campo irradiato da una particella carica soggetta ad una
variazione brusca della velocità (Radiazione di frenamento (Bremsstrahlung))12
Soluzione: Per una particella che subisce una variazione brusca di velocità passando
da v2 per t < 0 a v1 per t > 0 si muove con velocità uniforme si ha per la trasformata
della densità di corrente
¶
µ
v1
v2
1
e
−
J (kn̂, ω) = i e
ω
1 − n̂ · β1 1 − n̂ · β2
che sostiuita nella Eq. (??) dà la distribuzione spettrale13 dell’energia irradiata lungo la
direzione n̂,
¯
¯2
¯
β1
β2
d2 E (n̂, ω) ³ e ´2 ¯¯
¯
=
−
(7.28)
dωd2 Ω
2πc ¯ 1 − n̂ · β 1 1 − n̂ · β2 ¯
11
12
13
v.p.e. J. Schwinger, loc. cit. pag. 266, Cap. 36; J. D. Jackson, loc. cit. pag. 80, Sez. 13.4; D.
Marcuse, loc. cit. pag. 335, Sez. 4.6.; P. C. Clemmow et al. loc. cit. pag. 149 Cap. 3
v.p.e. J. R. Oppenheimer, loc. cit. pag. 7.0.6, Sez. 14
v.p.e. J. D. Jackson, loc. cit. pag. 80, Eq. (15.2) e Cap. 15; J. Schwinger, loc. cit. pag. 266, Sez.
37.2 Eq. 37.31.
278
Campi di cariche in movimento
Figura 7.3: Radiazione di bremsstrhalung emessa nella collisione tra due particelle (da www4.nau.edu)
Figura 7.4: From: Elements of X-ray Diﬀraction, B.D.Cullity, Addison-Wesley Publishing, Third Edition,
1967
7.9 Radiazione di sincrotrone
279
L’espressione ricavata dell’energia irradiata di bremsstrahlung poggia sull’ipotesi di variazione brusca della velocità nel corso di una collisione di un elettrone con un atomo od
un nucleo. Espressioni accurate di queste perdite che tengono conto della dinamica delle
collisioni sono state sviluppate da molti autori, a partire dalla teoria di Bethe-Heitler14
Esercizio 7.8.2. Si consideri un elettrone diﬀuso da un bersaglio. Descrivendo la traiettoria come costituita da due semirette percorse rispettivamente convelocità costanti v1
e v2 . calcolare: (a) la trasformata k,ω della densità di corrente, (b) la densità spettrale
Soluzione: La corrente è data da
J (r, t) = −e
½
v1 δ(3) (r − v1 t) t < 0
v2 δ(3) (r − v2 t) t > 0
Pertanto
µ
Z
Z 0
3
dtei(ω+i )t−ik·r δ (3) (r − v1 t)
J̃ (k, ω) = lim −ev1 d r
→0
¶
Z ∞ −∞
Z
3
i(ω+i )t−ik·r (3)
−ev2 d r
dte
δ (r − v2 t)
0
!
Ã
v2
v1
e
−
= i
ω 1 − k̂ · β2 1 − k̂ · β1
La densità spettrale per angolo solido è data da
¯
¯2
¯
¯
¯k̂ × J̃ (k, ω)¯
¯
Ã
!¯2
¯
v2
ee ¯¯
v1
¯
k̂
×
=
−
¯
¯
4π 2 c3 ¯
1 − k̂ · β2 1 − k̂ · β1 ¯
d2 E
ω2
=
dωdΩ
4π 2 c3
7.9
Radiazione di sincrotrone
La radiazione di sincrotrone è generata da particelle cariche, solitamente elettroni o
positroni, che viaggiano a velocità prossime alla velocità della luce e vengono costrette
da un campo magnetico a muoversi lungo una traiettoria curva. Tanto più elevata è
la velocità della particella, tanto minore è la lunghezza d’onda della radiazione emessa.
Generalmente il picco dell’emissione avviene alle lunghezze d’onda dei raggi X. Questa
radiazione viene utilizzata per diversi scopi: in litografia per la produzione di chip per
computer, negli studi di assorbimento e scattering, nella cristallografia di proteine e molecole complesse, nella spettroscopia per l’analisi dei materiali, in medicina per la diagnosi
per immagini e la terapia tumorale, nell’ambito dei Beni culturali ( datazioni, attribuzioni,
tecniche pittoriche etc.).
Esercizio 7.9.1. La radiazione di sincrotrone è prodotta da particelle che sottoposte ad
un campo magnetico B descrivono orbite spiraliformi con velocità di modulo costante v.
14
H. A. Bethe and W. Heitler, Proc. Phys. Soc. London 146, 83 (1934); v. anche D. Marcuse, loc. cit.
pag. 335, Sez. 4.3 per la discussione della rad. di bremsstrahlung stimolata.
280
Campi di cariche in movimento
Figura 7.5: Geometria relativa ad una carica che descrive un’orbita circolare. L’osservatore in P sarà
investito da un impulso di radiazione emesso mentre l’elettrone percorre l’arco di traiettoria indicato in
figura. Per utilizzare questa radiazione si utilizzano anelli di accumulazione in cui, come schematizzato
in (b), gli elettroni passano attraverso dei magneti curvanti, emettendo impulsi di radiazione.
Mentre la componente vcos α parallela a B è costante, il moto sul piano perpendicolare a
B avviene lungo una circonferenza di raggio assegnato
ρB =
v sin α
ωs
con frequenza di sincrotrone
1 |q| sin αB
.
γ
m
con α l’angolo formato da B col piano dell’orbita circolare descritta da
ωs =
r (t) = ρB (cos (ω s t) x̂ + sin (ωs t) ŷ) .
Per elettroni relativistici di energia E = me c2 γ si ha
ωs =
1 e
1
sin αB = ωc
γ me
γ
con ωc frequenza di ciclotrone. Calcolare (a) il potenziale vettore Ã (r,ω) a grande distanza; i campi elettrici (b) Ẽm (Rn̂, ω) e (c) E (Rx̂, t); la densità spettrale della (d) potenza
istantanea, (e) potenza media nel periodo di rivoluzione, (f) energia e (g) potenza totale
irradiate
Soluzione:(a) A r (t) corrisponde una densità di corrente distribuita trasversalmente
all’orbita circolare sun una sezione infinitesima,
J (r, t) = −eρB ωs (− sin (ω s t) x̂ + cos (ω s t) ŷ) δ (3) (r − r (t))
∞
X
(2)
= −eω s δ (r⊥ ) (− sin φ x̂ + cos φ ŷ)
δ (φ − ω s t − 2πm)
m=−∞
7.9 Radiazione di sincrotrone
281
Figura 7.6
282
Campi di cariche in movimento
dove δ(2) (r⊥ ) = δ (ρ − ρB ) δ (z). Essendo J (r, t) una funzione periodica del tempo, la relativa trasformata di Fourier si compone di una sequenza infinita di armoniche di ampiezzesi
ha
µ
¶ X
∞
ω
(2)
J̃ (r,ω) = −eδ (r⊥ ) (− sin φx̂ + cos φŷ) exp i φ
δ (ω − mωs )
ωs
m=−∞
=
∞
X
m=−∞
J̃m (r) δ (ω − mω s ) ,
con
J̃m (r) = −eδ (2) (r⊥ ) (− sin φ x̂ + cos φ ŷ) eimφ
densità di corrente che agisce come sorgente dell’armonica m-esima. Il campo presenta
uno spettro discreto con armoniche distanziate della frequenza di rivoluzione ωs (v. Fig.
??).
(a) Per calcolare il potenziale vettore nel punto r =rx̂ posto a distanza suﬃcientemente
grande si può utilizzare l’integrale
Z
Z
μ0
(2)
(2)
ik|r−R|
e
Ã (r,ω) =
J̃ (ω, s) dsdr⊥ ' μ0 G e−iks J̃ (s, ω) dsdr⊥
4πr
con G = exp (ikR) / (4πR). Pertanto
Ã (rx̂, ω) ' −eμ0 ρB G
= −eμ0 ρB G
∞
X
m=−∞
∞
X
m=−∞
δ (ω − mωs )
δ (ω − mωs )
Z
2π
ω
e−ikρB cos φ+i ωs φ (− sin φx̂ + cos φŷ) dφ
0
Z
2π
ω
e−ikρB cos φ+i ωs φ (− sin φx̂ + cos φŷ) dφ
0
D’altra parte ricorrendo all’identità di Jacobi (v. Eq. (5.25))
e−ix cos φ =
∞
X
(−i)n Jn (x) einφ
n=−∞
con Jn (x) la funzione di Bessel di prima specie di ordine n, si ha
Ã (rx̂, ω) = −eμ0 GρB
∞
X
m=−∞
δ (ω − mω s )
∞
X
(−i)n Jn (kρB )
n=−∞
∙
¸
i(m+n+1)φ ix̂ + ŷ
i(m+n−1)φ −ix̂ + ŷ
×
e
+e
dφ
2
2
0
X
= eμ0 2πρB G
im δ (ω − mωs )
Z
×
½
2π
m
¾
Jm+1 (|m| β ⊥ ) + Jm−1 (|m| β ⊥ )
Jm+1 (|m| β ⊥ ) − Jm−1 (|m| β ⊥ )
ŷ + i
x̂
2
2
dove
β⊥ =
ω s ρB
c
7.9 Radiazione di sincrotrone
283
(b) Anche il campo elettrico nel generico punto di osservazione E(rn̂, t) è una funzione
periodica di frequenza ω s , che si compone di armoniche Ẽm (rn̂, ω) associate alle correnti
J̃m (r, ω) . Facendo uso dell’identità di Jacobi e tenendo conto delle relazioni (??) si ottiene
per l’armonica15 Ẽm (rn̂, ω) corrispondente a J̃m lungo la direzione n̂ = sin θx̂ + cos θẑ (v.
Eq. (??) per ω = mωs ):
Z 2π Z
Ẽm (rn̂, ω) = imω s ρB μ0 G (r, k) 1⊥ ·
e−ikm n̂·r J̃m (r,ω) dr2⊥ dφ
0
Z 2π
e−imβ ⊥ sin θ cos φ+imφ
= −iecmβ ⊥ μ0 G (r, k) 1⊥ ·
0
con β ⊥ =
ωs ρB
c
(− sin φ x̂ + cos φ ŷ) eimφ dφ
¡
¢
= ecmβ ⊥ μ0 G (r, k) X cos2 θx̂ − iY ŷ
la velocità dell’elettrone normalizzata a quella della luce e
X=
Jm (mβ ⊥ sin θ)
0
(mβ ⊥ sin θ) .
, Y = Jm
β ⊥ sin θ
In particolare per m molto grande (v. Es. 7.9 Eq. (1.39))
per cui
¢
¡
³ m ´ exp (m (tanh α − α))
exp − 13 mα3
√
√
Jm
≈
≈
cosh α
2πmα
2πm tanh α
(7.29)
´
³
exp − 3γm3
Jm (mβ ⊥ ) = p
2πm/γ
p
con γ = 1/ 1 − β 2⊥ il fattore relativistico. Quest’ultima espressione mostra che l’ordine
massimo delle armoniche è dell’ordine di γ 3 .
Lo spettro quindi si estende fino alla frequenza critica
ω crit = γ 3 ω s = γ 2 ω c
Dall’espressione asintotica (7.29) discende che
¢
¡
exp − 13 mδ 3
Ẽm (rn̂, ω) ∝ m √
2πmδ
¯
¯
¯
¯
con cosh δ = (β ⊥ sin θ)−1 . Pertanto ¯Ẽm (rn̂, ω)¯ risulta massima per m =
discende che lo spettro si estende fino alla frequenza angolare critica
3
ωcrit = γ 3 ω s .
2
(7.30)
3 3
γ .
4
Ne
(7.31)
(c) Il campo elettrico E (rx̂, t) presenta uno spettro discreto con armoniche distanziate
della frequenza di rivoluzione ω s
E (rx̂, t) = ieζ 0 β ⊥
1 X Jm+1 (|m| β ⊥ ) − Jm−1 (|m| β ⊥ ) −imωs (t−r/c)
m
ŷ
e
r m
2
(7.32)
284
Campi di cariche in movimento
Im
1.5
1.0
0.5
armonica m
50
100
150
200
250
300
Figura 7.7: Distribuzione delle intensità delle armoniche in funzione dell’ordine m.
Figura 7.8: (a) Spettro della radiazione di sincrotrone emessa lungo il piano dell’orbita; (b) andamento
temporale della radiazione vista da un osservatore. Si nota che questa è costituita da una sequenza
periodica di impulsi con periodo pari al tempo T di circolazione dell’elettrone. Il rapporto tra T e la
durata del singolo impulso è circa uguale al numero di armoniche presenti nello spettro.
7.9 Radiazione di sincrotrone
285
Un osservatore viene colpito da una sequenza di impulsi di durata dell’ordine di 1/γ 3 volte il periodo di rivoluzione.
e (kn̂, t) della densità di corrente rispetto a r è data da
(d) La trasformata J
e (kn̂, t) = −ecβ ⊥ (− sin (ω s t) x̂ + cos (ω s t) ŷ) e−ikρB n̂·(cos(ωs t) x̂+sin(ωs t) ŷ)
J
Ne discende che
e (kn̂, t)
n̂ × J
= −eβ ⊥ c [cos (ωs t) (− cos θx̂ + sin θ ẑ) − sin (ω s t) cos θ ŷ]
×e−iβ ⊥ n̂·(cos(ωs t) x̂+sin(ωs t) ŷ) ,
per cui
∙
µ
¶¸ ∙
µ
¶¸
2
1
1
∗
e kn̂,t + τ
e kn̂,t − τ
n̂ × J
· n̂ × J
2
2
(eβ ⊥ c)2
−i2β ⊥ sin θ sin(ωs τ /2) sin ω s t
.
= [A cos (2ωs t) + B cos (ω s τ )] e
dove A = cos2 θ, B = 1 + cos2 θ
Dall’espressione della densità spettrale della potenza irradiata lungo n̂ al tempo t nello
spazio libero (ζ̃ = 1)
d2 P (n̂, ω, t)
1 ³ μ0 ´2 2
=
ω
dωd2 Ω
2π 4π
Z
∞
−iωτ
e
−∞
discende che
∙
µ
¶¸ ∙
µ
¶¸
1
1
∗
e kn̂,t + τ
e kn̂,t − τ
n̂ × J
· n̂ × J
dτ
2
2
Z ∞
d2 P (n̂, ω, t)
1
2
e−iωτ −ia sin ωs τ /2 sin ωs t [A cos (2ω s t) + B cos (ωs τ )] dτ
=
Cω
2
dωd Ω
4π
−∞
¢2
¡ μ0
eβ ⊥ c .
con C = 4π
Utilizzando l’identità di Jacobi (5.25) si ha
−iωτ −ia sin
e
ωs τ
2
sin ωs t
=
∞
X
Jn (a sin ω s t) e−i(2 ωs +n)
ω
ωs
τ
2
.
n=−∞
Per cui
Z
=
∞
−∞
∞
X
e−iωτ −ia sin
n=−∞
∞
X
ωs τ
2
Jn (a sin ω s t)
sin ωs t
Z
∞
[A cos (2ωs t) + B cos (ω s τ )] dτ
e−i(2 ωs +n)ωs τ /2 [A cos (2ωs t) + B cos (ω s τ )] dτ
−∞
ω
∙
µ
¶
ω
Jn (a sin ω s t) A cos (2ω s t) δ 2 + n
=
ωs
n=−∞
µ
µ
¶
¶¸
B
ω
ω
B
+ δ 2 +n+2 + δ 2 +n−2
2
ωs
2
ωs
15
J. Schwinger, loc. cit. pag. 266, Sez. 38.2.
286
Campi di cariche in movimento
2
P (n̂,ω,t)
Se ne evince che d dωd
oscilla nel tempo con frequenza ω s .
2Ω
(e) Mediando su un periodo T = 2π/ω s l’espressione
Z T
ωs τ
eia sin 2 sin ωs t (A cos (2ωs t) + B cos (ω s τ )) dt
0
= (B cos (ω s τ ) − A) J0 (a sin ω s τ /2) + 2AJ1 (a sin ω s τ /2)
si ottiene per la densità spettrale media
¿ 2
À X
À
¿ 2
d P (n̂, ω)
d Pm (n̂, ω)
=
δ (ω − mωs )
dωd2 Ω
d2 Ω
m
dove16 (v. Fig. ??)
¿
d2 Pm (n̂, ω)
d2 Ω
À
∝
ω 2s m2
∙
¢
β 2⊥ ¡ 2
2
2
Jm+1 + Jm−1
− Jm
2
¸
(7.33)
è espresso con funzioni di Bessel di argomento mβ ⊥ sin θ. Per m suﬃcientemente grande
queste ultime sono rappresentabili come in Eq. (7.29).
(f) Per ottenere la densità spettrale dell’energia irradiata conviene utilizzare l’espressione (??),
Z ∞
−1
ωe−iω(te −c n̂·r(te )) n̂ × (n̂ × βe ) dte
−∞
X
−1
= e−iω(t̄e −c n̂·r(t̄e )) I (ω, θ)
e−iωmT
m
dove t̄e è un tempo di riferimento generico, mentre
Z T /2
−1
I (ω, θ) =
ωe−iω(τ −c n̂·[r(t̄e +τ )−r(t̄e )])
−T /2
¤
£
× − ⊥ sin (ω s (t̄e + τ )) + k cos (ω s (t̄e + τ )) sin θ dτ ,
avendo introdotto i vettori di polarizzazione ⊥ e k = n̂× ⊥ , con ⊥ nel piano dell’orbita e
perpendicolare a β (t̄e ) . Il modulo |I (ω)|2 rappresenta l’inviluppo della densità di energia
delle armoniche lungo la direzione n̂.
Scegliendo un riferimento t̄e tale che β (t̄e ) risulti tangente alla proiezione di n̂ sul
piano dell’orbita, sviluppando fino al terzo ordine in τ = te − t̄e si ottiene
1
β
τ − n̂ · [r (t̄e + τ ) − r (t̄e )] = τ − ⊥ cos θ sin (ωs τ )
c
ωs
1
' (1 − β ⊥ cos θ) τ + β ⊥ cos θω 3s τ 3
6
Per β ⊥ prossimo ad 1 e θ suﬃcientemente piccolo risulta
∙
¸
¢
1
1 ¡
1 c2 γ 2 3
2 2
τ − n̂ · [r (t̄e + τ ) − r (t̄e )] ≈
1+γ θ τ +
τ
c
2γ 2
3 ρB
¡
¢3/2 µ
¶
3β ⊥ 1 + γ 2 θ2
1 3
ξ+ ξ
,
=
4ω crit
3
16
v.p.e. J. Schwinger, loc. cit. pag. 266, Sez. 38.2 Eq. (38.37).
7.9 Radiazione di sincrotrone
287
e
−
⊥ sin (ω s
(t̄e + τ )) +
k
cos (ω s (t̄e + τ )) sin θ =
−
⊥
sin (ω s τ ) +
k
cos (ωs τ ) sin θ ,
√γ
ω s τ . Per γ molto grande si possono
1+γ 2 θ2
R T /2
estendere i limiti di integrazione di I (ω, θ) = −T /2 a τ ∈ (−∞, ∞) ottenendo così
con ω crit frequenza critica (v. (7.31)) e ξ =
I (ω, θ) '
β⊥
Ã
p
1 + γ 2 θ2
−
γ
⊥
β⊥
β⊥
p
1 + γ 2 θ2
K2/3 (ς) +
γ
k θK1/3
!
(ς)
,
¡
¢3/2
e K1/3 , K2/3 funzioni di Bessel modificate di seconda specie
con ς = 2ωωcrit β ⊥ 1 + γ 2 θ2
(v. Eqq. (1.41)).
Tenuto conto che
¡ ¡
¢ ¢
∞
X
sin ω M + 12 T
−iωmT
¡ ωT ¢
e
= lim
M→∞
sin
2
m=−∞
si ha
¯2
¯ ∞
¡ ¡
¢ ¢
∞
¯
¯ X
2
1
X
sin
ω
M
+
T
¯
¯
−iωmT
2
¡ ¢
e
δ (ω − mω s ) .
=
¯ = lim
¯
M→∞
¯
¯m=−∞
sin2 ωT
2
m=−∞
Pertanto la densità spettrale dell’energia
X
d2 E (n̂, ω) ³ eμ0 ´2 2
2
=
ω
|I
(ω,
θ)|
δ (ω − mω s )
dωd2 Ω
4π
m
si compone di due contributi17
∙ 2
¸
d2 E (n̂, ω)
d E⊥ (n̂, ω) d2 Ek (n̂, ω) X
δ (ω − mωs ) ,
=
+
dωd2 Ω
dωd2 Ω
dωd2 Ω
m
dove
´2
³
d2 E⊥/k (n̂, ω)
−1 eμ0
= ζ0
dωd2 Ω
4π
µ
β⊥
γ
¶4
¡
¢2 2
ω 1 + γ 2 θ2 K2/3
/ 1/3
2
µ
ω
2ω crit
¶
.
L’andamento di questi contributi è simile a quello illustrato nelle Figg. 10.2 e 10.3 con
un picco per ω = ω crit /2.
(f) Integrando le precedenti espressioni su d2 Ω si ha
¶
µ
¶¸
∙ µ
d2 E⊥/k (ω)
ω
ω
+/−G
.
=C F
dω
2ω crit
2ωcrit
17
v.p.e. F. Melia, Electrodynamics, The Univ. of Chicago Press, 2001, Eqq. (8.158-159)
288
Campi di cariche in movimento
dove18
√ 2
3e γ sin α
C =
2c
¶
µ
Z ∞
ω
ω
=
K5/3 (ξ) dξ
F
2ωcrit
ωcrit ω/ωcrit
µ
¶
µ
¶
ω
ω
ω
G
=
K2/3
2ωcrit
ωcrit
ω crit
con K1/3 , K2/3 , K5/3 funzioni di Besel modificate di seconda specie (v. Eqq. (1.41)).
In definitiva la densità spettrale di potenza totale irradiata è data da
√ 3
¶
µ
3e B sin α
ω
P (ω) =
.
F
2πε0 me c2
2ωcrit
Integrando su ω si perviene alla formula di Ivanenko e Pomeranchuk 19
1 e4 2 2 2
γ β ⊥ B sin2 α
6πε0 c m2
B2
= cσ T γ 2 β 2⊥
sin2 α ,
μ0
P =
(7.34)
con σ T sezione d’urto di Thomson (v. Eq. (??))
¶2
µ
e2
= 7.94 × 10−30 m2
σT =
4πε0 me c2
Un osservatore verrà colpito da una sequenza di impulsi di durata dell’ordine di
1/γ 3 − volte il periodo di rivoluzione (v. Fig. (??b)). Se si assimila lo spettro a righe ad
uno continuo si può dimostrare con modesti sforzi, utilizzando l’Eq. (7.32) con l’espressione approssimata (7.29) che la densità spettrale I(ω) della radiazione emessa sul piano
dell’orbita è proporzionale a
¶2
µ
¶
µ
ω
ω
2
(7.35)
I (ω) ∝
K2/3
ω crit
ω crit
con K2/3 (x) funzione di Bessel modificata di seconda specie di ordine 2/3 (v. Es.1.7.14
Fig. (??)).
Esercizio 7.9.2. Confrontare la potenza emessa da una sorgente di luce di sincrotrone
fornita dalla formula di Ivanenko-Pomeranchuk
P =
1 e4 2 2 2
γ β ⊥ B sin2 α
6πε0 c m2e
con la formula di Larmor
P =
18
19
2 e2 a2
.
3 4πε0 c3
(7.36)
v.p.e. F. Melia, loc. cit. pag. 287 Eqq. (8.168).
D. Ivanenko and A. A. Sokolov, Sov. Phys. Dokl. 59, 1551 (1948); A. A. Sokolov and I. M. Ternov,
”Synchrotron Radiation”, Akademie-Velag, Berlin, Pergamon Press, Oxford, 1968.
7.9 Radiazione di sincrotrone
289
Figura 7.9: da NIST Far Ultraviolet Physics Group / Synchrotron Ultraviolet Radiation Facility SURF
III http://physics.nist.gov/MajResFac/SURF/SURF/sr.html
Figura 7.10: da NIST Far Ultraviolet Physics Group / Synchrotron Ultraviolet Radiation Facility SURF
IIIhttp://physics.nist.gov/MajResFac/SURF/SURF/sr.html
290
Campi di cariche in movimento
Figura 7.11
Esercizio 7.9.3. Nella macchina di luce di sincrotrone di Grenoble si utilizzano elettroni
da 6 GeV con correnti di 100 mA, che descrivono orbite con raggio di curvatura di 25 m.
Calcolare (a) la lunghezza d’onda critica, (b) l’energia critica, (c) l’angolo di emissione,
(d) la potenza irradiata su tutta l’orbita.
Esercizio 7.9.4. Rispondere ai quesiti del precedente problema per la macchina Elettra
di Trieste che presenta le seguenti caratteristiche: energia elettroni 2 GeV , raggio di
curvatura 5.5 m, corrente I = 400 mA.
7.9.1
Radiazione di ciclotrone
Esercizio 7.9.5. Analizzare la radiazione emessa da elettroni in orbite circolari con γ
non molto elevato
Soluzione: A diﬀerenza della radiazione di sincrotrone prodotta da particelle con β ⊥
prossimo ad 1 si dà il nome di radiazione di ciclotrone a quella prodotta per γ non molto
elevato. Il nome deriva dal ciclotrone, un acceleratore di particelle utilizzato soprattutto
in fisica nucleare. Il periodo delle orbite è indipendente dall’energia delle particelle, il
che consente al ciclotrone di operare ad una determinata frequenza ω c indipendentemente
dalle energie delle particelle. La radiazione di ciclotrone emessa dal plasma nello spazio
interstellare o attorno a buchi neri o qualunque altro corpo celeste dotato di campo magnetico dà importanti indizi sulle caratteristiche di questi campi magnetici extraterrestri;
nel sistema solare, in particolare, una grande sorgente di radiazione di ciclotrone è la
magnetosfera del pianeta Giove. La potenza media P emessa de ciascun elettrone è data
dalla formula di Ivanenko-Pomeranchuk (v. Eq. (7.34)):
−
dE
B2
= P = cσ T γ 2 β 2⊥
sin2 α
dt
μ0
dove E è l’energia, t il tempo, σ T è la sezione d’urto di Thomson mentre α è l’angolo
formato da B col piano dell’orbita.
La radiazione di ciclotrone sarebbe prodotta in esplosioni nucleari ad alta quota. I raggi
gamma prodotti dall’esplosione ionizzerebbero gli atomi nell’atmosfera superiore e tali
elettroni liberi interagirebbero con il campo magnetico terrestre producendo radiazione di
ciclotrone come impulso elettromagnetico.
Lo spettro della radiazione di ciclotrone ha un picco principale alla frequenza (v.
(7.30))
ωcrit = γ 3 ωs = γ 2 ω c
7.9 Radiazione di sincrotrone
291
che per γ prossimo ad 1 coincide con quella dell’orbita della particella e armoniche a
multipli interi di quest’ultima. Quando le particelle si muovono a velocità relativistiche
la radiazione di ciclotrone è chiamata radiazione di sincrotrone.
Esercizio 7.9.6. Calcolare il campo irradiato da un elettrone investito da un’onda piana
monocromatica di frequenza ω 0 polarizzata circolarmente, che viaggia lungo la direzione
ẑ .
Soluzione: Un elettrone investito da un’onda piana polarizzata circolarmente
E (t) = E Re [(x̂ + iŷ) exp (−iω 0 t)]
descrive un’orbita circolare (v. Es. 5.3.1)
re (t) = ρe Re [(x̂ + iŷ) exp (−iω 0 t)]
con
ρe =
eE
me ω 20 γ
Dalla formula di Larmor
2 e2 a2
.
P =
3 4πε0 c3
(7.37)
discende per
a = ω 20 ρe =
eE
me γ
che la potenza irradiata è pari a
2 e2 e2 E 2
3 4πε0 c3 m2e γ 2
µ
¶2
e2
2 4π
1
ε0 cE 2
=
2
2
3γ
4πε0 me c
2
2 4π
=
σT S
3 γ2
P =
con
σT =
µ
e2
4πε0 me c2
¶2
= 7.94 × 10−30 m2
sezione d’urto di Thomson
Per analizzare la distribuzione del campo irradiato si può calcolare il potenziale vettore
associato alla densità di corrente J (re (t)) . A re (t) corrisponde una densità di corrente
distribuita trasversalmente all’orbita circolare su una sezione infinitesima,
J (r, t) = −eρe ω0 (− sin (ω 0 t) x̂ + cos (ω 0 t) ŷ) δ(3) (r − re (t))
∞
X
(2)
= −eω 0 δ (r⊥ ) (− sin φ x̂ + cos φ ŷ)
δ (φ − ω 0 t − 2πm)
m=−∞
292
Campi di cariche in movimento
dove δ (2) (r⊥ ) = δ (ρ − ρe ) δ (z). Essendo J (r, t) una funzione periodica del tempo, la
relativa trasformata di Fourier si compone di una sequenza infinita di armoniche:
µ
¶ X
∞
ω
(2)
J̃ (r,ω) = −eδ (r⊥ ) (− sin φx̂ + cos φŷ) exp i φ
δ (ω − mω0 )
ω0
m=−∞
=
∞
X
m=−∞
con
J̃m (r) δ (ω − mω0 ) ,
J̃m (r) = −eδ (2) (r⊥ ) (− sin φ x̂ + cos φ ŷ) eimφ
densità di corrente che agisce come sorgente dell’armonica m-esima. Il campo presenta
uno spettro discreto con armoniche distanziate della frequenza di rivoluzione ω 0 .
Per calcolare il potenziale vettore nel punto R = Rn̂ posto a grande distanza si può
utilizzare l’integrale
Z
eikR
(2)
Ã (R,ω) = −μ0
e−ikr·n̂ J̃ (r,ω) dsdr⊥
4πR
Pertanto
Z 2π
∞
eikR X
δ (ω − mω 0 )
e−iα cos φ+imφ (− sin φx̂ + cos φŷ) dφ
Ã (R,ω) ' −eμ0 ρe
4πR m=−∞
0
dove si è assunto n̂ perpendicolare a ŷ e posto
ω
kr · n̂ = α cos φ
ω0
con
ω0
α =
ρ n̂ · x̂
c e
eE
=
n̂ · x̂
me cω 0 γ
D’altra parte ricorrendo all’identità di Jacobi
µ
¶
∞
X
ω
−i ωω α cos φ
n
e 0
=
(−i) Jn
α einφ
ω0
n=−∞
con Jn (x) la funzione di Bessel di prima specie di ordine n, si ha
µ
¶
∞
∞
X
eikR X
ω
n
Ã (R,ω) = −eμ0 ρe
δ (ω − mω 0 )
(−i) Jn
α
4πR m=−∞
ω
0
n=−∞
¸
Z 2π ∙
i(m+n+1)φ ix̂ + ŷ
i(m+n−1)φ −ix̂ + ŷ
×
e
+e
dφ
2
2
0
eikR X m
i δ (ω − mω 0 )
= −eμ0 ρe
4πR m
¾
½
Jm+1 (|m| α) + Jm−1 (|m| α)
Jm+1 (|m| α) − Jm−1 (|m| α)
ŷ + i
x̂
×
2
2
Dal momento che α è molto piccolo è importante solo il contributo relativo a m = ±1,
ovvero
eikR
Ã (R,ω) ' −eμ0 ρe
iδ (ω − ω 0 ) (−ŷ + ix̂) J0 (α)
8πR
7.9 Radiazione di sincrotrone
7.9.2
293
Radiazione di ondulatore
Esercizio 7.9.7. Calcolare (a) la radiazione emessa da un elettrone di energia γ che si
muove sul piano y-z attraverso un campo magnetico statico
¶
µ
2π
z x̂
B (r) = B cos
λw
(b) la densità spettrale d2 E/dωd2 Ω di energia irradiata
Soluzione: A r (t) definito in Eqq. (6.18) e (6.19) corrisponde una densità di corrente
pari a
J (r, t) = −e (ż (t) ẑ + ẏ (t) ŷ) δ (3) (r − r (t))
!
µ ¶−1 Ã
λw dt
K sin ζ
ŷ δ (z − z (t)) δ (y − y (z)) δ (x − x0 )
= −e
ẑ + p
2π dζ
1 − K2 sin2 ζ
Ne segue che
Z
2πN
0 dt
J (r, t) eiωt(ζ ) dζ 0
dζ
0
Ã
!
Z 2πN
0
ω
0
2
K
sin
ζ
λw
i K ζ ,K )
ẑ + p
= −e
e ω0 (
ŷ
2π 0
1 − K2 sin2 ζ 0
¶
µ
λw 0
ζ δ (y − y (ζ 0 )) δ (x − x0 ) dζ 0
×δ z −
2π
!
Ã
K sin ζ
i ωω K (ζ,K2 )
ŷ
δ
(y
−
y
(ζ))
δ
(x
−
x
= −e ẑ + p
0) e 0
1 − K2 sin2 ζ
J̃ (r, ω) =
con
Z
iωt
J (r, t) e dt =
y (ζ) =
Proseguendo si ha:
ẽ
J (k, ω) =
Z
λw
1+K
p
ln
2π K cos ζ + 1 − K2 sin2 ζ
J̃ (r, ω) e−ir·k d3 r
λw
= −e e−ix0 kx
2π
Z
0
2πN
Ã
cβ
i ωω K (ζ,K2 )− ω k ky ln
K sin ζ
ŷ
ẑ + p
1 − K2 sin2 ζ
1+K
√
0
K cos ζ+ 1−K2 sin2 ζ
×e 0
´
´
³ω
³ω
ẽ
ẽ
n̂,
ω
ẑ
+
n̂,
ω
ŷ
= J
J
z
y
c
c
−
cβ k
ω0
!
kz ζ
dζ
In particolare per ky = k sin θ, kz = k sin θ e k0 = ω/c si ha
Z
λw 2πN i ωω ψ(ζ)
ẽ
e 0
dζ
J z (k0 n̂, ω) = −e
2π 0
Z
K sin ζ
λw 2πN
i ωω ψ(ζ)
ẽ
0
p
e
dζdζ
J y (k0 n̂, ω) = −e
2π 0
1 − K2 sin2 ζ
294
con
Campi di cariche in movimento
¡
¢
ψ (ζ) = K ζ, K2 − β k sin θ ln
1+K
p
− β k cos θζ
K cos ζ + 1 − K2 sin2 ζ
Per K abbastanza piccolo si può approssimare K (ζ, K2 ) con
¶
µ
¡
¢
ζ sin 2ζ
2
−
K2
K ζ, K ' ζ +
4
8
e porre
ln
per cui
1+K
p
' K (1 − cos ζ)
K cos ζ + 1 − K2 sin2 ζ
¶
µ
K2
1 2
sin 2ζ
ψ (ζ) = 1 + K − β k cos θ ζ − β k K (1 − cos ζ) sin θ −
4
8
Ne discende che
ẽ (k n̂, ω) = ie λw Ke−i ωω0 β k K sin θ
J
y
0
4π
Z
k
l
2
i ωω (1+ 14 K2 −β k cos θ)−1 ζ i ωω β k K sin θ cos ζ− K8 sin 2ζ
2πN
e
0
i ωω
Ignorando pr il momento il fattore e
0
e
0
2
β k K sin θ cos ζ− K8 sin 2ζ
0
dζ
si ha:
k
l
ẽ (k n̂, ω) = ie λw N Ke−i ωω0 β k K sin θ ei ωω0 (1+ 14 K2 −β k )−1 πN
J
y
0
4µ∙ µ
¶
¸
¶
1 2
ω
1 + K − β k cos θ − 1 πN
sin c
ω0
4
sin(x)
.
x
dove sinc (x) =
Quest’ultima espressione risulta massima per
ω = ωs =
1+
ω0
ω0
'
− β k cos θ
1 − β k + 14 K2 +
1 2
K
4
βk 2
θ
2
2γ 2k ω 0
¡
¢
1 + γ 2k 12 K2 + θ2
=
Si ritrova così l’espressione di ωs ricavata
nell’Esercizio 6.0.8.
2
i2γ 2 K sin θ cos ζ− K8 sin 2ζ
Per esaminare il contributo di e k
Jacobi (v. Eq. (5.25)), da cui segue che:
i2γ 2k K sin θ cos ζ
e
2
−iγ 2k K4 sin θ sin 2ζ
e
2
i2γ 2k K sin θ cos ζ− K8 sin 2ζ
e
=
∞
X
n=−∞
∞
X
si può utilizzare l’identità di
¢
¡
(−i)n Jn 2γ 2k K sin θ einζ
µ
¶
2
2K
=
Jm γ k
sin θ eim2ζ
4
m=−∞
=
∞
X
q=−∞
Cq eiqζ
7.9 Radiazione di sincrotrone
dove
Cq =
∞
X
m=−∞
Se ne deduce che
295
q−2m
(−i)
µ
¶
2
¢
¡ 2
2K
sin θ
Jq−2m 2γ k K sin θ Jm γ k
4
k
l
∞
λw N −i ωω β k K sin θ X
i ωω (1+ 14 K2 −β k )−1−q πN
ẽ
J y (k0 n̂, ω) = ie
Cq e 0
Ke 0
4
q=−∞
µ∙ µ
¶
¸
¶
1 2
ω
1 + K − β k cos θ − 1 − q πN
sin c
ω0
4
ẽ ¡ ω ẑ, ω¢ è composto da una fondamentale a frequenza ω e da armoniche multiple
ovvero J
y c
s
di ω s . In particolare l’ampiezza di
µ
¶
∞
2
X
¢
¡ 2
m
2K
C0 =
sin θ
(−1) J2m 2γ k K sin θ Jm γ k
4
m=−∞
µ
¶
2
¢
¡ 2
2K
' J0 2γ k K sin θ J0 γ k
sin θ
4
(b) Pertanto la densità spettrale d2 E/dωd2 Ω di energia irradiata lungo n̂ per unità di
angolo solido (7.18) è espressa da:
µ∙ µ
µ
¶2 ¯
¶
¸
¶¯2
¯
ω
1 2
4π μ20 ω 2 eλw NK ¯¯
d2 E (n̂, ω)
¯ .
sin
c
1
+
=
K
−
β
cos
θ
−
1
πN
k
¯
¯
dωd2 Ω
ζ (8π)2
4
ω0
4
Capitolo 8
Onde elettromagnetiche
8.1
Teoremi di reciprocità
Esercizio 8.1.1. Si considerino due distribuzioni di corrente J1 (r, t) e J2 (r, t) che generino due campiR E1 (r,
t1 )R= E2 (r, t2 ) = 0. Analizzare la relazione
R t) e E2 (r, t) tali che3 E1 R(r,
t2
t2
che corre tra t1 dt V J1 (r, t)·E2 (r, t) d r e t1 dt V J2 (r, t)·E1 (r, t) d3 r con V un volume
che contiene tutte le sorgenti.
Soluzione: Utilizzando l’espressione della divergenza
∂
∂
∂
B1 · B2 − B2 · B1 − D1 · E2
∂t
∂t
∂t
∂
− D2 · E1 − J2 · E1 + J1 · E2 ,
∂t
∇ · (E1 × H2 + E2 × H1 ) = −
ed integrando su un intervallo di tempo (t1 , t2 ), si ottiene il seguente teorema di reciprocità
Z t2 Z
Z t2 Z
3
dt J1 · E2 d r = −
dt J2 · E1 d3 r .
(8.1)
t1
V
t1
Esercizio 8.1.2. Stabilire la relazione che intercorre
sinusoidali.
V
R
J̃1 · Ẽ2 d3 r e
R
J̃2 · Ẽ1 d3 r per campi
Soluzione: Dalle equazioni di Maxwell discende che nel dominio della frequenza
³
´
´
³
∇ · Ẽ1 × H̃2 − Ẽ2 × H̃1 = J̃1 · Ẽ2 − J̃2 · Ẽ1 − iω Ẽ1 · ε̃·Ẽ2 − Ẽ2 · ε̃·Ẽ1 .
Se ε̃ è un tensore simmetrico, l’ultimo termine a destra svanisce ed integrando ambo
i membri si ottiene l’equivalente del teorema di reciprocità nel dominio della frequenza,
controparte di quello nel dominio del tempo espresso dalla (8.1):
Z ³
´
(8.2)
J̃1 · Ẽ2 − J̃2 · Ẽ1 d3 r = 0 .
N.B. Nei mezzi giroscopici il tensore dielettrico (9.10) non è simmetrico, per cui
quest’ultima equazione non è valida. Si vede quindi che esiste un legame stretto tra
le proprietà analitiche delle relazioni costitutive di un mezzo ed il comportamento dei
campi che vi si propagano.
297
298
Onde elettromagnetiche
8.2
Teorema dell’energia
Esercizio 8.2.1. Estendere il teorema di Poynting
´
1³ ∗
1
∗
∇ · S̃ =
),
H̃ · ∇ × Ẽ − Ẽ · ∇ × H̃∗ = − J̃∗ · Ẽ − 2iω (w̃e − w̃m
2
2
dove
ad un pacchetto d’onda.
¯ ¯2
¯ ¯2
1
1
¯ ¯
¯ ¯
w̃m = μ0 μ̃ ¯H̃¯ , w̃e = ε0 ε̃ ¯Ẽ¯
4
4
(8.3)
Soluzione: Combinando l’identità vettoriale
¶
µ
∂
∂
∂
∂
∗
∗
Ẽ × H̃ + Ẽ ×
H̃ = H̃∗ · ∇ ×
Ẽ −
Ẽ · ∇ × H̃∗
∇·
∂ω
∂ω
∂ω
∂ω
∂
∂
H̃ · ∇ × Ẽ∗ − Ẽ∗ · ∇ ×
H̃ ,
+
∂ω
∂ω
con le equazioni di Maxwell per mezzi dispersivi in frequenza (ε → ε̃ (r,ω) , μ → μ̃ (r,ω)):
∂
∂
∂
Ẽ =
∇ × Ẽ = iμ0 ωμ̃H̃
∂ω
∂ω
µ ∂ω ¶
∂
∂
μ̃ H̃ + iωμ0 μ̃ H̃ ,
= iμ0 μ̃H̃ + iωμ0
∂ω
∂ω
³
´
∂
∂
∂
∇ × H̃ =
J̃ − iωε0 ε̃Ẽ
∇×
H̃ =
∂ω
∂ω
∂ω
µ
¶
∂
∂
∂
J̃ − iε0 ε̃Ẽ − iωε0
ε̃ Ẽ − iωε0 ε̃ Ẽ ,
=
∂ω
∂ω
∂ω
∇×
si ottiene il teorema dell’energia per mezzi dispersivi 1 :
∇·
µ
¶
∂
∂
∗
∗
Ẽ × H̃ + Ẽ ×
H̃
∂ω
∂ω
¶
µ
µ
¶
¢
¡
∂
∂
(disp)
(disp)
∗
J̃ · Ẽ∗ ,
−
+ w̃m + w̃m
= i4 w̃e + w̃e
Ẽ · J̃ −
∂ω
∂ω
(disp)
dove w̃e e w̃m sono le densità definite in (8.3) mentre w̃e
w̃e(disp)
(disp)
e w̃m
1
∂ε̃ ¯¯ ¯¯2
1
∂μ̃ ¯¯ ¯¯2
(disp)
= ε0 ω
= μ0 ω
¯Ẽ¯ , w̃m
¯H̃¯ ,
4
∂ω
4
∂ω
rappresentano contributi dipendenti dalla dispersione di ε̃ e μ̃.
Esercizio 8.2.2. Ricavare la densità di energia e.m. in un plasma
1
C.H. Papas, “Theory of
electromagnetic wave propagation”, McGraw-Hill (1965), Sez. 6.3.
:
8.3 Onde piane
299
Soluzione: In un plasma si ha
ε̃ (r,ω) = 1 −
ω 2p (r)
,
ω2
per cui applicando il teorema dell’energia si ottiene
1 ω 2p
w̃e(disp) = ε0 2
4 ω
(disp)
¯ ¯2
¯ ¯
¯Ẽ¯ .
Si vede in tal caso che w̃e
rappresenta l’energia cinetica degli elettroni del plasma
oscillanti sotto l’azione del campo elettrico.
8.3
Onde piane
Per una discussione sistematica della rappresentazione dei campi mediante onde piane si
rinvia a: P. C. Clemmow, The Plane Wave Spectrum Representation of Electromagnetic
Fields, Pergamon Press, London 1966
Esercizio 8.3.1. In molte situazioni i campi e le correnti sono rappresentati da onde
piane
Aα (xν ) = Ãα exp (ikμ xμ )
J α (xν ) = J˜α exp (ikμ xμ )
Fαβ (xν ) = F̃αβ exp (ikμ xμ )
Gαβ (xν ) = G̃αβ exp (ikμ xμ )
dove kμ = (−c−1 ω, k) sta per il 4-vettore d’onda. In particolare k si può esprimere nella
forma
³
´ω
k = ñ ω, k̂
c
³
´
con ñ ω, k̂ l’indice di rifrazione e k̂ direzione di propagazione dell’onda. Pertanto si ha:
³
´
i ω2
kμ k = ñ ω, k̂ − 1 2 .
c
μ
h
2
Analizzare la dipendenza di kμ dal sistema di riferimento inerziale dell’osservatore
Soluzione2 : Applicando a kμ = (c−1 ω, k) la trasformazione di Lorentz 2.1.1 kμ si
modifica in (c−1 ω 0 , k0 ) , ovvero:
ω0
v + (γ − 1) v̂v̂ · k0
2
c
ω = γ (ω0 + v · k0 ) ≡ ω + δω .
k = k0 + γ
In particolare
k=
2
v. C. H. Papas loc. cit.
r
k02 + 2γ 2
Sez. 7.5
ω0 0
ω 02 2
2 − 1) (k0 · v̂)2 + γ 2
k
·
v+
(γ
β
c2
c2
(8.4)
300
Onde elettromagnetiche
Ne segue che
n=
ck
=
ω
q
n02 + 2γ 2 n0 β cos θ0 + (γ 2 − 1) n02 cos2 θ0 + γ 2 β 2
γ (1 + n0 β cos θ0 )
(8.5)
D’altra parte cos θ0 è legato a cos θ dalle relazioni:
γ (n cos θ − β)
,
cos θ0 = q
2
2
2
2
n sin θ + γ (n cos θ − β)
n cos θ =
n0 cos θ0 + β
,
1 + n0 cos θ0 β
che combinate tra loro danno
£
¡
¡
¢
¢
¤
£ ¡
¢
¤
1 − n02 − 1 γ 2 β 2 cos2 θ n2 + 2 n02 − 1 γ 2 β cos θ n − γ 2 n02 − β 2 = 0
Risolvendo si ottiene
q
¡
¢
1 + γ 2 (n02 − 1) 1 − β 2 cos2 θ − γ 2 β (n02 − 1) cos θ
n=
1 − (n02 − 1) γ 2 β 2 cos2 θ
8.4
Focalizzazione onde piane
Per ottenere campi intensi si utilizzano onde piane oppotunamente focalizzate. Si possono
così indurre nei materiali risposte non lineari, che a loro volta danno orgine a campi
oscillanti a frequenze multiple di quella del campo incidente. Molti dispositivi atti a
generare 2a e 3a armoniche di un’onda utilizzano delle cavità ottiche del tipo Fabry-Perot
illuminate attraverso uno degli specchi. Al centro della cavità la sezione del modo di
oscillazione può risultare confrontabile con la lunghezza d’onda.
Per esaminare in dettaglio oggetti molto piccoli si utilizzaano spesso microscopi ottici
costituiti essenzialmente di un oculare ed un obiettivo. Quest’ultimo è esssenzialmente
un dispositivo che converte un’onda piana in una con fronte d’onda sferico.
I casi succitati evidenziano l’importanza di calcolare il campo in prossimità di un fuoco.
Per fissare le idee si consideri la distribuzione del campo in una regione prossima ad un
piano in cui l’illuminazione sia ristretta ad una zona piccola rispetto a λ, generato da
un’onda sferica ideale definita su una calotta sferica con centro in z = y = x = 0 e raggio
R À λ. In prossimità del fuoco Ẽ (r) può essere espresso, con riferimento a coordinate
sferiche riferite all’asse z e centro nel fuoco, mediante l’integrale di Luneburg-Debye 3 :
∙
¸
Z2π θZmax
sin θ cos (φ − ψ)
cos θ
Ẽ (θ, φ) exp iv
Ẽ (u, v̄, ψ) =
sin θdθdφ,
− iū
NA
NA2
0
(8.6)
0
con Ẽ (θ, φ) tangente al fronte d’onda sferico, mentre u e v̄ stanno per le coordinate ottiche:
p
v = k0 x2 + y 2 NA , ū = k0 zNA2 ,
e NA = sin θmax rappresenta l’apertura numerica nel vuoto.
3
v.p.e. A. B. Shafer, J. Opt. Soc. Am. 57, 630 (1967)
8.5 Tecnica SNOM
301
Esercizio 8.4.1. Con riferimento all’integrale di Luneburg-Debye (8.6) si assuma che
Ẽ (θ, φ) sia ottenuto focalizzando con un sistema ottico privo di aberrazioni un’onda polarizzata lungo x̂. Si calcoli Ẽ (θ, φ) e si ottenga un’espressione semplificata di Ẽ (u, v̄, ψ)
Soluzione: Assumendo che l’onda quasi-piana incidente sia polarizzata linearmente
lungo x̂ e tenendo conto che Ẽ (θ, φ) risulta tangente ad una sfera con centro in (x = y =
z = 0) semplici considerazioni geometriche portano a scrivere con buona approssimazione:
Ẽ (θ, φ) =
(1 − n̂n̂) · x̂
sin φφ̂ + cos θ cos φθ̂
f (θ, φ) .
f (θ, φ) = p
|(1 − n̂n̂) · x̂|
1 − sin2 θ cos2 φ
con n̂ il versore che congiunge il punto di coordinate θ, φ della calotta col fuoco geometrico
(x = y = z = 0).
In particolare si ha
¸
∙
Z2π θZmax
cos θ sin φφ̂ + cos θ cos φθ̂
sin θ cos (φ − ψ)
p
sin θf (θ, φ) dθdφ .
− iū
exp iv
Ẽ (u, v̄, ψ) =
NA
NA2
1 − sin2 θ cos2 φ
0
0
(8.7)
Moltiplicando per la diade unità 1 = ẑ ẑ + v̂v̂ + ψ̂ψ̂ si ha
φ̂ = φ̂ · v̂v̂ + φ̂ · ψ̂ψ̂ = sin (φ − ψ) v̂ + cos (φ − ψ) ψ̂
θ̂ = θ̂ · ẑ ẑ + θ̂ · v̂v̂ + θ̂ · ψ̂ψ̂ = sin θẑ + cos θ cos (φ − ψ) v̂ + cos θ sin (φ − ψ) ψ̂
Pertanto
sin φφ̂ + cos θ cos φθ̂
h
i
= sin φ sin (φ − ψ) v̂ + cos (φ − ψ) ψ̂
h
i
+ cos θ cos φ sin θẑ + cos θ cos (φ − ψ) v̂ + cos θ sin (φ − ψ) ψ̂
¤
£
= cos θ cos φ sin θẑ + sin φ sin (φ − ψ) + cos2 θ cos φ cos (φ − ψ) v̂
¤
£
+ sin φ cos (φ − ψ) + cos2 θ cos φ sin (φ − ψ) ψ̂
Sostituendo questa espressione nella (8.7) si ottengono le componentiẼz,v,ψ del campo
Ẽ (u, v̄, ψ) = Ẽz (u, v̄, ψ) ẑ + Ẽv (u, v̄, ψ) v̂ + Ẽψ (u, v̄, ψ) ψ̂. In particolare si nota che per
NA non trascurabile (ovvero θmax non rascurabile) Ẽ (r) presenta in prossimità del fuoco
una componente Ẽz (r) non trascurabile.
8.5
Tecnica SNOM
Per esaminare oggetti molto piccoli si fa tradizionalmente uso di microscopi ottici4 . Questi
strumenti riproducono oggetti bidimensionali, posti su un piano oggetto, su un piano immagine, contenendo al massimo gli eﬀetti delle aberrazioni e della diﬀrazione. Gli eﬀetti
dovuti al valore finito di λ, descritti dalla teoria della diﬀrazione, portano ad assegnare
a questi sistemi un limite dmin alla distanza minima risolvibile tra punti adiacenti fornito
4
a cura del Dr. A. D’Ambrosio
302
Onde elettromagnetiche
dal criterio di Rayleigh dmin = 0.6 λ/NA, con NA apertura numerica, che nei moderni
microscopi con obiettivo immerso in olio non supera 1.45. Con simili apparecchi la massima risoluzione non scende per radiazione visibile al di sotto di 200 nm. Viene quindi
preclusa ogni possibilità di esaminare nanostrutture.
Per esaminare oggetti nanometrici non resta che lavorare sul campo in prossimità dell’oggetto5 . Da qui è nata la tecnica di microscopia a scansione del campo vicino (SNOM)
(Scanning Near Field Optical Microscopy). Non disponendo di rivelatori con dimensioni
dell’ordine di ∼ 10 nm, si può procedere in vari modi:
(a) riprodurre il campo in un’altra regione dove sia più agevole ispezionarlo: per far
questo si utilizza uno schema ottico confocale in cui il piano oggetto e quello immagine si
trovano nei due fuochi di un sistema ottico afocale; il campo immagine viene poi analizzato
con un rivelatore munito di diaframma di diametro ' 10 λ (S − SNOM);
(b) far scorrere in prossimità dell’oggetto una punta, che si polarizza generando un
momento di dipolo ℘˜ ∝ Ẽ (r): quest’ultimo diventa a sua volta sorgente di un campo
che si irradia nelle varie direzioni fino a colpire un rivelatore (macroscopico) posto nelle
vicinanze;
(c) utilizzare una fibra ottica che termina con una apertura Σ di dimensioni ¿ λ,
attraverso cui si fa viaggiare sia l’onda che illumina il campione, che l’onda riflessa da
quest’ultimo e catturata attraverso Σ;
(d) schema analogo al (c) in cui però si misura il campo trasmesso dal campione
(A − SNOM).
Con gli apparati S − SNOM si possono raggiungere risoluzioni6 dell’ordine di 5 − 10
nm.
Esercizio 8.5.1. Si analizzi il campo in prossimità di una striscia, di larghezza molto
minore di λ, illuminata da una sovrapposizione di onde piane con polarizzazione TM
(Bŷ) ed ampiezze distribuite con leggge gaussiana
Soluzione: Per fornire un’idea del campo in prossimità di una regione piana ¯illuminata
¯
¯ ¯
di dimensione molto minore di λ, sono stati riportati in Fig. (??) le componenti¯Ẽx ¯ (sinis¯ ¯
¯ ¯
tra) e ¯Ẽz ¯ (destra) a diverse distanze dal piano z = 0 di un campo ottenuto sovrapponendo
onde piane con polarizzazione TM (Bŷ) ed ampiezze distribuite con leggge gaussiana,
Ẽ (r) =
Z∞
0
ikz z−
e
2
w2 kx
2
µ
¶
kz
kx
x̂ cos (kx x) − iẑ sin (kx x)
dkx ,
k
k
p
p
p
con k¯z =¯ k¯02 −¯kx2 , k = k0 per k0 > kx e kz = i kx2 − k02 , k = 2kx2 − k02 per kx > k0 =
¯ ¯
¯ ¯
ω/c. ¯Ẽx ¯ ed ¯Ẽz ¯ corrispondono a strisce illuminate parallele a ŷ e di spessore dell’ordine
¯ ¯
¯ ¯
di λ/20. Mentre la larghezza del picco centrale di ¯Ẽx ¯ appare raddoppiato già ad un
5
6
M. Allegrini, N. Garcia, O. Marti, “Nanometer Scale Science and Technology”, Proc. E. Fermi School,
Course CXLIV, IOP Press, Amsterdam, 2001; L. Novotny and B. Hecht, “Principles of Nano-optics”,
Cambridge U. P., Cambridge, 2006 Sez. 4.3
R. Hillenbrand, T. Taubner, F. Keilmann, Nature 418, 159 (2002); K. Wang, D. M. Mittleman, N. C.
J. van der Valk, P. O. M. Planken, Appl. Phys. Lett., 85, 2715 (2004); A. Ambrosio and P. Maddalena,
Appl. Phys. Lett., 98, 091108 (2011)
8.5 Tecnica SNOM
303
Figura 8.1: Schema di principio di un apparato SNOM. Il cilindro che termina a punta rappresenta
una fibra ottica cava utilizzata per illuminare il campione. Il campo riflesso dal campione può essere
raccolto dalla stessa fibra. Il sistema può anche lavorare in trsmissione misurando l’intensità trasmessa
dal campione.
Figura 8.2: Campo vicino |Ex | ( sinistra ) e |Ez | (destra). Curve tratteggiate: z = 0.04 λ,.1 λ (sinistra)
e z = 0.1 λ,.5 λ (destra). Le curve a tratto continuo più interne rappresentano i campi a z = 0, mentre
quelle più esterne
√ si riferiscono alle distribuzioni misurate con microscopi ideali che lasciano passare valori
di |kx | < k0 / 2.
304
Onde elettromagnetiche
¯ ¯
¯ ¯
distanza z = λ/20, la distribuzione di ¯Ẽz ¯ devia da quella a z = 0 più lentamente. A
tratto spesso è stato anche riportato l’andamento riprodotto da un microscopio ideale:
Ẽmicro (r) =
√
kZ
0/ 2
−
e
0
2
w2 kx
2
µ
¶
kz
kx
x̂ cos (kx x) − iẑ sin (kx x)
dkx .
k0
k0
Risulta evidente che mentre il microscopio restituisce un’immagine molto diversa dall’orginale, per osservare quest’ultimo bisogna esaminare il campo vicino a distanze z
dell’ordine delle dimensioni dell’oggetto.
8.6
Equazione dei raggi
Esercizio 8.6.1. Con riferimento all’esercizio 1.5.5 del Cap.1 ricavare (a) l’equazione
della famiglia di curve perpendicolarri alle superfici a S=costante e (b) l’equazione di
trasporto dell’ampiezza A0 lungo i raggi
Soluzione: (a) Assegnata l’iconale S (r) si definiscono raggi quelle curve perpendcolari
in ogni punto alle superfici a S (r) = cos tante.
I raggi sono pertanto curve s (r) le cui tangenti sono date da:
dr
∇S
∇S
= ŝ (r) =
=
ds
|∇S|
n (r)
In particolare diﬀerenziando lungo un raggio si ha:
µ
¶
d
d
dr
1
[n (r) ŝ (r)] = ∇S =
· ∇ ∇S = (∇S · ∇) ∇S
ds
ds
ds
n
D’altra parte
Pertanto
2n∇n = 2 (∇S · ∇) ∇S
d
[n (r) ŝ (r)] = ∇n
ds
(b) L’Eq. (1.25-b) si pò riscrivere nella forma:
A20 ∇2 S + nŝ · ∇A20 = 0
ovvero
¢
¡
∇ · A20 nŝ = 0
Esercizio 8.6.2. Con riferimento al precedente esercizio dimostrare che per un mezzo
omogeneo i raggi (a) descrivono traiettorie rettilinee; (b) che i fronti d’onda sono caratterizzati da raggi di curvature principali che variano linearmente con la coordinata s; (c)
ricavare la legge di variazione dell’ntensità al variare di s.
Soluzione: L’intensità I (r) lungo un raggio varia secondo la legge
I (r0 )
|r0 − rc | |L0 − Lc |
=
=
I (r)
|r − rc |
|L − Lc |
8.6 Equazione dei raggi
305
Figura 8.3: Centri di curvatura delle sezioni principali di un fronte d’onda che si propaga in un mezzo
omogeneo
Figura 8.4: Caustiche relative a due sezioni prinncipali di un fronte d’onda
mentre per l’AO si ha:
I (r0 )
|r0 − rp |2
|L0 − Lc |2
=
=
I (r)
|r − rp |2
|L − Lc |2
Questa relazione lega l’intensità IL (rh ) all’uscita della lente con quella sul piano
illuminato:
|rh − rc |
|Lc |
I (r)
=
=
IL (rh )
|r − rc |
|L − Lc |
Esercizio 8.6.3. Su un fronte d’onda Σ relativo ad un mezzo omogeneo si introduca un
sistema di coordinate u e v mutuamente ortogonali tali che il piano perpendicolare a Σ e
tangente ad u (v) individui una sezione principale. L’insieme di raggi di coordinate u,v
individuano al variare di u (v costante) delle curve inviluppo. L’insieme di queste curve
ottenute facendo variare v danno luogo a delle superfici dette caustiche. Lo stesso dicasi
per quelle ottenute scambiando u con v. (v. Fig. (8.4) Analizzare la caustica associata
alla congruena di raggi rifratti da un semispazio di indice di rifrazione n’ (mezzo 2) e
separato dal mezzo 1 di indice n ( n’>n) in cui sia collocata una sorgente puntiforme Una
generica congruenza di raggi è associata a superfici dette caustiche
306
Onde elettromagnetiche
Figura 8.5: Caustica per i raggi di una sorgente puntiforme che vengono rifratti da una superficie piana
(da O. N. Stavroudis, The Optics of Rays, Wavefronts and Caustics,Academic Press, N. Y. 1972
Esercizio 8.6.4. Si nalizzi la variazione dei raggi di curvatura principali nella rifrazione
da parte di due mezzi separati da una superficie di assegante sezioni principali7
Esercizio 8.6.5. Un modo equivalente di ricavare le traiettorie dei raggi fa uso della
condizione imposta al cammino ottico L tra due generici punti PA,B
Z PB
L=
n (r (s)) ds
PA
di risultare stazionario (minimo o massimo) per una generica deformazione del cammino.
Ricavare l’equazione per le geodesiche utilizzando le rispettive equazioni di Eulero-Lagrange
Soluzione: Tenuto conto che
ds2 = grr dr2 + gθθ dθ2 + gφφ dφ2
L si può riscrivere nella forma
Z
Z PB
n (r (s)) ds =
L=
PA
rB
rA
q
2
2
n (r) grr ṙ2 + gθθ θ̇ + gφφ φ̇ ds
dove . indica la derivata rispetto a s.
Minimizzare questo funzionale equivale ad integrare le equazioni di Eulero -Lagrange
q
q
∂
∂
d
2
2
2
2
2
n α grr ṙ + gθθ θ̇ + gφφ φ̇ = α n grr ṙ2 + gθθ θ̇ + gφφ φ̇
ds ∂ ẋ
∂x
Esercizio 8.6.6. Si consideri una famiglia ddi raggi retilinei che fuoriescono da una lente
di focale f illuminata da una sorgente puntiforme distante s. Per raggi non molto divergenti dall’asse ottico (AO) si formerà per una sorgente puntiforme si forma un’immagine
parassiale sull’asse ottico a distanza s0p (< 0) , dipendente dalla distanza della sorgente
dalla lente s, secondo la legge
1
1
1
+ 0 =
s sp
f
7
J. A. Kneisly, J. Opt. Soc. Am. 54, 229 (1964)
8.6 Equazione dei raggi
307
Figura 8.6
308
Onde elettromagnetiche
Figura 8.7: Raggi trasmessi da una lentte illuminata da una sorgente puntiforme. All’aumentare
dell’altezza h i raggi vengono convogliati verso l’asse ottico ad una distanza s0h decrescente dalla lente.
Nei limiti dell’approssimazione del terzo ordine si dimostra che per raggi di altezza h si
ha (v. Fig. (8.7))
1
1
K
= 0 + 3 h2
0
sh
sp f
con K una quantità adimensionale che descrive il grado di aberrazione sferica di una lente
sottile,
¶
µ 3
1
1
n
n+2 2
2
K=
+
q + 4(n + 1)pq + (3n + 2)(n − 1)p
8 n(n − 1) n − 1 n − 1
dipendente dall’indice di rifrazione, dal fattore di posizione (8.8)
p=1−
2f
2f
=
−1
0
sp
s
(8.8)
e dal fattore di bending q di Coddington:
q=
r1 + r2
r1 − r2
con r1 , r2 raggi di curvatura delle superfici. Analizzare la caustica associata a questa
famiglia di raggi assumendo q = −1 e n=1.52.
Soluzione: In tal caso si ha
K (p) = 2.13859 − 1.59413p + 0.539474p2
(8.9)
I raggi uscenti dalla lente descrivono due congruenze (±) di rette di equazione
1
K
1
h± − 3 h3± = ± r ,
∗
L
f
L
dove L∗ è definita da
1
1p−1
1
1
1
−
+
,
=
=
L∗
L s0p
L f 2
(8.10)
8.6 Equazione dei raggi
309
h± sta per l’intercetta del relativo raggio con la lente.
La congruenza di raggi è caratterizzata dalla relativa caustica. Il raggio passante per
un generico punto r risulta tangente alla caustica in rc . L’intensità I (r) lungo un raggio
varia secondo la legge
I (r0 )
|r0 − rc |
|L0 − Lc |
=
=
I (r)
|r − rc |
|L − Lc |
mentre per l’AO si ha:
I (r0 )
|L0 − Lc |2
|r0 − rp |2
=
=
I (r)
|r − rp |2
|L − Lc |2
Questa relazione lega l’intensità IL (rh ) all’uscita della lente con quella sul piano
illuminato:
I (r)
|rh − rc |
|Lc |
=
=
IL (rh )
|r − rc |
|L − Lc |
e
L2c
I (r)
=
= η P IV
IL (rh )
(L − Lc )2
In particolare il rapporto η P IV tra l’intensità sull’AO relativa al piano illuminato e quella
sulla lente è dato da:
µ ∗ ¶2
1
1
L
η P IV =
=³
´2 = ³
´2
L
L
L 1−p
1 − s0
1− f 2
p
A causa dell’aberrazione sferica, rappresentata dal termine proporzionale a K la relazione tra r ed h± non è biunivoca. Mentre ad ogni h± risulta associato un singolo raggio,
per un punto r (r, L) passano passano 0,1,2 o 3 raggi. Nel caso in cui passa più di un
raggio, questi interferiscono tra loro dando luogo ad una struttura a frange.
Teniamo presente che la tecnica PIV presuppone una illuminazione abbastanza omogenea della regione da analizzare. Questo porta a cercare regioni raggiunte da un solo
raggio.
La qualià della lente verrà misurata in base all’eﬃcienza η L di cattura dei raggi emessi
dal LED. η L dipende oltre che dalla apertura numerica NA = D/2f e dalla distanza L/f
del piano illuminato normalizzata a f , dal raggio rP IV /f della regione utilizzata dalla
PIV.
In questa nota verranno presentati e discussi i grafici di η P IV e η L in funzione di L/f
e di rP IV /f, quest’ultima radice di una equazione cubica con coeﬃcienti dipendenti da
r, s10 e fK3 (v. (8.10))
p
Il raggio della congruenza + che passa per il bordo della lente definisce quello che
comunemente si chiama shadow boundary,
rSB =
Dal momento che
LD
− LKNA3
L∗ 2
L
p−1L
=1+
∗
L
2 f
si ha
rSB
¶
µ
p−1
D
2
+ LNA
− KNA
=
2
2
(8.11)
310
Onde elettromagnetiche
Consideriamo ora due rette di una delle congruenze, associate rispettivamente a h± e
h0± , che si intersecano sul piano distante Lc . Le coordinate (rc , Lc ) del punto di intersezione
debbono soddisfare l’Eq. (8.10) per h± e h0± . Pertanto deve risultare
K
1
∆h
−
∆h3± = 0
±
∗
3
Lc
f
Facendo tendere ∆h± a 0 otteniamo
1
K
= 3 3 h2±
∗
Lc
f
(8.12)
che sostituita nella (8.10) dà:
2
K 3
1
h± = ± rc ,
3
f
Lc
Avremo quindi
Lc
1
=
2
h
f
3K f±2 −
p−1
2
h3±
2K f 3
rc
,
=
h2
f
3K f±2 − p−1
2
ovvero
rc
2 Lc
=± √
f
3 3 f
s
f3
2 1
√
√
=
±
KL∗3
3 3 K
c
Ãµ
Lc
f
¶− 13
p−1
+
2
µ
Lc
f
¶ 23 ! 32
(8.13)
Il raggio associato a h± è tangente al luogo di questi punti, detto caustica. Per p < 1
la caustica si sviluppa a destra della lente mentre per p > 1 essa si compone di due
superfici rispettivamente a sinistra e destra.
In questo caso la caustica si sviluppa davanti la lente. Un punto del piano illuminato
di altezza r corrisponde al punto di altezza h della lente data da
⎛
⎞⎤
⎡
s ¯ ¯
√ s ¯ ¯3
∗
¯
¯ L∗ ¯ h
¯
L |r| ⎠⎦
2
3 3
1
K ¯¯ ¯¯ = √ sinh ⎣ ar sinh ⎝
K ¯¯ ¯¯
f f
3
2
f L
3
ovvero
sinh
h
2
=√
f
3
In particolare si ha:
"
1
ar sinh
3
Ã
√
3
3 3 4
η
P IV
2
1
η P4 IV
r ³ ´ !#
3
K Lf |r|
L
q
K Lf
Ã √ !#
3 3
1
y
sinh ar sinh
3
2
⎛
³
´1/3 ⎞
√ p
¡ 2 ¢1/3
√
2
9y + 3 4 + 27y
3⎜
⎟
3
+
=
⎠
⎝− ³
´
1/3
1/3
2/3
p
√
2
2 3
2
9y + 3 4 + 27y
"
8.6 Equazione dei raggi
Figura 8.8: Sezioni delle caustiche per p > 1 (superiore) e p < 1 (inferiore
311
312
Onde elettromagnetiche
Per L∗ < 0 (L/f > 2/(1 − p)) l’Eq. (8.10) si può riscrivere nella forma
µ
¶
|L∗ | 2
|L∗ |
h 1+K 3 h
=
|r|
f
L
s
s
¶
µ
∗
∗
|L |
|L |
|L∗ |3 |r|
=
,
K 3 h 1 + K 3 h2
K 3
f
f
f L
8.7
Campi bidimensionali
Esercizio 8.7.1. Analizzare i modi di propagazione lungo l’asse z per una striscia (slab) di materiale dielettrico di indice di rifrazione n1 che si estende per x ∈ (−a, a) , y ∈
(−∞, ∞) , y ∈ (−∞, ∞) , circondata da materiale di indice n2 (< n1 ) . Riscrivere le equazioni
di Maxwell in assenza di correnti decomponendo i campi nelle componenti longitudinali
Ẽz , B̃z e trasversali Ẽ⊥ , B̃⊥ per un sistema di coordinate cartesiane.
Soluzione: Dalle equazioni di Maxwell
k2
Ẽ
ω
∇ × Ẽ = iω B̃
∇ · B̃
³
´ = 0
∇ · ε̃Ẽ = 0
∇ × B̃ = −i
dove
k2 = ω2 ε0 μ0 ε̃
moltiplicando vettorialmente per ẑ si ha
³
´
k2
∂
ẑ × ∇ × B̃ = −i ẑ × Ẽ⊥ = ∇⊥ B̃z − B̃⊥
ω
∂z
³
´
∂
ẑ × ∇ × Ẽ = iωẑ × B̃⊥ = ∇⊥ Ẽz − Ẽ⊥
∂z
ovvero
ẑ × ∇⊥ B̃z = −i
∇⊥ Ẽz =
´
³
k2
k2
∂
∂
ẑ × ẑ × Ẽ⊥ + ẑ × B̃⊥ = i Ẽ⊥ + ẑ × B̃⊥
ω
∂z
ω
∂z
∂
Ẽ⊥ + iωẑ × B̃⊥
∂z
avendo posto
∇⊥ = x̂
∂
∂x
In particolare
∂
ẑ × B̃⊥
∂z
∂2
∂
=
Ẽ⊥ + iω ẑ × B̃⊥
2
∂z
∂z
−iωẑ × ∇⊥ B̃z = k2 Ẽ⊥ − iω
∂
∇⊥ Ẽz
∂z
8.7 Campi bidimensionali
313
e
−iω
∂
∂2
∂
ẑ × ∇⊥ B̃z = k2 Ẽ⊥ − iω 2 ẑ × B̃⊥
∂z
∂z
∂z
∂
k2 ∇⊥ Ẽz = k2 Ẽ⊥ + iωk 2 ẑ × B̃⊥
∂z
Sommando e sottraendo tra loro le prime e seconde coppie di equazioni si ottiene
¶
µ
∂2
∂ ∂
∂
2
Ẽz − iωŷ B̃z
k + 2 Ẽ⊥ = x̂
∂z
∂z ∂x
∂x
µ
¶
∂2
k2 ∂
∂ ∂
k 2 + 2 ẑ × B̃⊥ = −ix̂
Ẽz + ŷ
B̃z
(8.14)
∂z
ω ∂x
∂z ∂x
Esercizio 8.7.2. Analizzare i modi di propagazione dipendenti da z secondo il fattore
eiβz , per una striscia dielettrica
³
´
³
´
Soluzione: I campi si dividono in modi TE Ẽz = 0 e TM B̃z = 0 . Inoltre, essendo la striscia simmetrica rispetto all’asse x si avranno soluzioni pari e dispari rispetto
all’inversion x ⇔ −x.
(a) Per i TE B̃z è soluzione dell’equazione di Helmholtz:
∂2
B̃z =
∂x2
µ
−γ 2
χ2
¶
B̃z
dove γ 2 = k02 n21 − β 2 , χ2 = −k02 n22 + β 2 , per cui
⎧
³
´
cos γx
⎨
B
×
x ∈ (−a, a)
sin γx
³
´
B̃z (x, z) = eiβz
1
⎩ B 0 e−χ|x| ×
x∈
/ (−a, a)
sign(x)
D’altra parte dalle Eqq. (8.14) discende per Ẽy
⎧
³
´
− sin γx
B
⎨
× cos γx x ∈ (−a, a)
γ
´
³
Ẽy = −iωeiβz
0
⎩ − B e−χ|x| × sign(x) x ∈
/ (−a, a)
1
χ
Dovendo risultare B̃z e Ẽy continue per x = ±a si deve avere
³ cos u ´
B×
= B 0 e−v
sin
u
µ
¶
B
− sin u
B0
×
= − e−v
γ
cos u
χ
avendo posto
u = γa
v = χa
314
Onde elettromagnetiche
Questo sistema di equazioni ammette soluzioni non nulle solo se
¸
∙
cos u
−e−v
=0
det
− γ1 sin u χ1 e−v
∙
¸
sin u −e−v
det
=0
1
cos u χ1 e−v
γ
ovvero se
tan u =
½
v
u
u
v
modi pari
modi dispari
rispettivamente per soluzioni pari e dispari,
Introducendo ora la frequenza normalizzata
q
√
ω
V = a n21 − n22 = u2 + v2
c
la (8.15) si può riscrivere nella forma
³
√
π´
= v = V 2 − u2
u tan u − m
2
(8.15)
(8.16)
con m = 0, 1, 2, . . .
(b) Per i TM Ẽz è espresso da:
⎧
³
´
cos γx
⎨
E
×
x ∈ (−a, a)
sin γx
´
³
Ẽz (x, z) = eiβz
1
⎩ E 0 e−χ|x| ×
x∈
/ (−a, a)
sign(x)
D’altra parte dalle Eqq. (8.14) discende per Ẽy
⎧
´
³
− sin γx
E 2
⎨
x ∈ (−a, a)
n
×
k0
cos γx
γ 1
³
´
B̃y = ieiβz
c ⎩ E 0 n22 e−χ|x| × sign(x) x ∈
/ (−a, a)
χ
1
Imponendo la continuità per x = ±a si ottiene
³ cos u ´
E×
= E 0 e−v
sin
u
µ
¶
E 2
− sin u
E 0 2 −v
n ×
ne
=
γ 1
χ 2
cos u
Questo sistema di equazioni ammette soluzioni non nulle solo se si ha
n22 u
modi pari
n21 v
n2 v
tan u = 12 modi dispari
n2 u
tan u =
ovvero
³
n2 √
π´
= v = 12 V 2 − u2
u tan u − m
2
n2
(8.17)
8.8 Campi in coordinate cilindriche
315
Figura 8.9: Curve di dispersione per modi TE (H) u tan(u − m π2 ) =
n21 √ 2
V − u2
n2
√
V 2 − u2 e TM (E) u tan(u − m π2 ) =
2
Esercizio 8.7.3. Analizzare l’andamento degli autovalori dell’equazione di dispersione
per modi TE (v. Eq. (??)) e TM (v. Eq. (??))in funzione della frequenza normalizzata
V e del salto d’indice n21 − n22
Soluzione: Risolvendo rispetto a V si ottiene rispettivamente per modi TE
³
π´ √ 2
u tan u − m
= V − u2
(8.18)
2
e TM
³
π ´ n21 √ 2
= 2 V − u2
(8.19)
u tan u − m
2
n2
¢
¡
In Fig. (8.9) sono state graficate le curve di equazione u tan u − m π2 per m = 0, 1, 2, 3
√
e per nn12 = 1.1 e V = 6. I punti di intersezione con le due curve V 2 − u2 (modi TE) e
n21 √ 2
V − u2 (modi TM) individuano i parametri u e v dei modi H0 , H1 , H2 e E0 , E1 , E2 .
n2
2
8.8
Campi in coordinate cilindriche
Esercizio 8.8.1. Si consideri un materiale in cui ε̃ dipenda solo dalle coordinate trasverse
(x, y) = r⊥ . Riscrivere le equazioni di Maxwell in assenza di correnti decomponendo
i campi nelle componenti longitudinali Ẽz , B̃z e trasversali Ẽ⊥ , B̃⊥ per un sistema di
coordinate cartesiane.
Soluzione: Dalle equazioni di Maxwell
k2
Ẽ
ω
∇ × Ẽ = iω B̃
∇ · B̃
³
´ = 0
∇ · ε̃Ẽ = 0
∇ × B̃ = −i
316
Onde elettromagnetiche
dove
k2 = ω2 ε0 μ0 ε̃
moltiplicando vettorialmente per ẑ si ha
³
´
k2
∂
ẑ × ∇ × B̃ = −i ẑ × Ẽ⊥ = ∇⊥ B̃z − B̃⊥
ω
∂z
³
´
∂
ẑ × ∇ × Ẽ = iωẑ × B̃⊥ = ∇⊥ Ẽz − Ẽ⊥
∂z
ovvero
ẑ × ∇⊥ B̃z = −i
∇⊥ Ẽz =
´
³
∂
k2
k2
∂
ẑ × ẑ × Ẽ⊥ + ẑ × B̃⊥ = i Ẽ⊥ + ẑ × B̃⊥
ω
∂z
ω
∂z
∂
Ẽ⊥ + iωẑ × B̃⊥
∂z
In particolare
k2
∂
Ẽ⊥ + ẑ × B̃⊥
ω
∂z
2
∂
∂
=
Ẽ⊥ + iω ẑ × B̃⊥
2
∂z
∂z
ẑ × ∇⊥ B̃z = i
∂
∇⊥ Ẽz
∂z
e
∂
k2 ∂
∂2
ẑ × ∇⊥ B̃z = i
Ẽ⊥ + 2 ẑ × B̃⊥
∂z
ω ∂z
∂z
2
2
k
k ∂
∇⊥ Ẽz =
Ẽ⊥ + ik 2 ẑ × B̃⊥
ω
ω ∂z
Sottraendo tra loro le due coppie di equazioni si ottiene
µ
¶
∂2
∂
2
k + 2 Ẽ⊥ =
∇⊥ Ẽz − iωẑ × ∇⊥ B̃z
∂z
∂z
µ
¶
∂2
k2
∂
2
k + 2 ẑ × B̃⊥ = −i ∇⊥ Ẽz + ẑ × ∇⊥ B̃z
∂z
ω
∂z
(8.20)
Esercizio 8.8.2. Analizzare i modi di propagazione dipendenti da z secondo il fattore
eiβz , per mezzi dieletttrici in cui ε̃ dipenda solo dalle coordinate trasverse x, y.
Soluzione: Per modi E il sistema (8.20) si riduce a
´
i ³
Ẽ⊥ = 2 β∇⊥ Ẽz − ωẑ × ∇⊥ B̃z
k⊥
µ
¶
i k2
ẑ × ∇⊥ Ẽz + β∇⊥ B̃z
B̃⊥ = 2
k⊥ ω
2
dove k⊥
= k2 − β 2 .
Imponendo la condizione
∇ · D̃ = ∇⊥ · ε̃Ẽ⊥ + iβε̃Ẽz = 0
∇ · B̃ = ∇⊥ · B̃⊥ + iβ B̃z = 0
(8.21)
8.8 Campi in coordinate cilindriche
si ha
Tenuto conto che
317
µ
¶
ε̃
ω
1
∇⊥ · 2 ∇⊥ + ε̃ Ẽz − ∇⊥ · 2 ẑ × ∇⊥ B̃z = 0
k⊥
β
k⊥
µ
¶
2
k
1
∇⊥ · 2 ẑ × ∇⊥ Ẽz + ωβ ∇⊥ · 2 ∇⊥ + 1 B̃z = 0
k⊥
k⊥
1
k02
=
−
∇⊥ ε̃
2
4
k⊥
k⊥
k2
β2
β 2 k2
∇⊥ 2 = ∇⊥ 2 = − 4 0 ∇⊥ ε̃
k⊥
k⊥
k⊥
¢
1 ¡
β2
ε̃
2
∇⊥ ε̃ = − 4 ∇⊥ ε̃
∇⊥ 2 = 4 −k02 ε̃ + k⊥
k⊥
k⊥
k⊥
∇⊥
si ha
µ
¶
β2
ω k02
ω 1
ε̃ 2
∇
−
∇
ε̃
·
∇
+
ε̃
Ẽ
+
∇⊥ ε̃ · ẑ × ∇⊥ B̃z −
∇⊥ · ẑ × ∇⊥ B̃z = 0
⊥
⊥
z
⊥
2
4
4
2
k⊥
k⊥
β k⊥
β k⊥
µ
¶
k2
1 2
k02
β 2 k02
∇⊥ − 4 ∇⊥ ε̃ · ∇⊥ + 1 B̃z = 0
− 4 ∇⊥ ε̃ · ẑ × ∇⊥ Ẽz + 2 ∇⊥ · ẑ × ∇⊥ Ẽz + ωβ
2
k⊥
k⊥
k⊥
k⊥
ovvero
¶
¶
µ
µ
ω
2 ∇⊥ ln ε̃
2
2
2 ∇⊥ ln ε̃
· ẑ × ∇⊥ B̃z = 0
∇⊥ − k0 ε̃
· ∇⊥ + k⊥ Ẽz −
∇⊥ − β
2
2
k⊥
βε̃
k⊥
¶
¶
µ
µ
k2
β 2 k02 ε̃ ∇⊥ ln ε̃
2
2 ∇⊥ ln ε̃
2
· ẑ × ∇⊥ Ẽz + ∇⊥ − k0 ε̃
· ∇⊥ + k⊥ B̃z = (8.22)
0
∇⊥ −
2
2
ωβ
k2
k⊥
k⊥
ovvero le componenti Ẽz e B̃z debbono soddisfare il sistema (8.22) perchè possa parlarsi
di modo di propagazione.
Nel caso in cui ε̃ vari di molto poco nella regione del modo in quel caso si può imporre
la condizione
∇⊥ · Ẽ⊥ + iβ Ẽz = 0
Esercizio 8.8.3. Analizzare i modi di propagazione dipendenti da z secondo il fattore eiβz ,
per mezzi dieletttrici a simmetria cilindrica in cui ε̃ = ε̃ (ρ) dipenda solo dalla coordinata
radiale
Nel caso di mezzi e campi a simmetria cilindrica ε̃ = ε̃ (ρ) , Ẽz = Ẽz (ρ) , B̃z = B̃z (ρ)
si ha che ẑ × ∇⊥ B̃z e ẑ × ∇⊥ Ẽz sono entrambi diretti lungo φ̂ . Pertanto
¶
¶
µ
µ
β 2 k02 ε̃ ∇⊥ ln ε̃
2 ∇⊥ ln ε̃
· ẑ × ∇⊥ B̃z = ∇⊥ −
· ẑ × ∇⊥ Ẽz = 0
∇⊥ − k0 ε̃
2
2
k⊥
k2
k⊥
ed il sistema di equazioni (8.22) si riduce a:
µ
¶
2 ∇⊥ ln ε̃
2
2
∇⊥ − β
· ∇⊥ + k⊥ Ẽz = 0
2
k⊥
¶
µ
2
2 ∇⊥ ln ε̃
2
· ∇⊥ + k⊥ B̃z = 0
∇⊥ − k0 ε̃
2
k⊥
Si hanno quindi modi TM (E) e TE(H).
(8.23)
318
Onde elettromagnetiche
Esercizio 8.8.4. Si considerino modi a cui corrispondono linee di campo elettrico sul
piano trasverso indipendenti dal tempo
Soluzione: Nel caso più generale il campo è rappresentato dalla combinazione di modi
E ed H. Pertanto Ẽ⊥ sarà rappresentato da
´
i ³
Ẽ⊥ = 2 −ωẑ × ∇⊥ B̃z + β∇⊥ Ẽz
k⊥
Perchè le linee di campo siano indipenenti dal tempo −ωẑ × ∇⊥ B̃z + β∇⊥ Ẽz deve essere
un campo vettoriale di ampiezza generalmente complessa
³ ´ma di fase indipente dalla posizione. Pertanto, per una a sezione rettangolare B̃z Ẽz deebbono essere funzioni del
¡
¢
tipo sin (kx x + ϕx ) sin ky y + ϕy .
Esercizio 8.8.5. Con riferimento all’Es.8.8.2 analizzare i modi di propagazione dipendenti da z secondo il fattore eiβz , per mezzi dieletttrici in cui ε̃ dipenda debolmente8 dalle
coordinate trasverse x, y,
ε̃ (x, y) = ε̃max + δε̃ (x, y)
Soluzione: In tal caso si può porre
∇⊥ ln ε̃
=0
2
k⊥
dimodochè il sistema (8.22) si riduce a
¡ 2
¢
ω
2
∇⊥ + k⊥
Ẽz − ∇⊥ · ẑ × ∇⊥ B̃z = 0
βε̃
2
¡
¢
k
2
B̃z = 0
∇⊥ · ẑ × ∇⊥ Ẽz + ∇2⊥ + k⊥
ωβ
(8.24)
Esercizio 8.8.6. Con riferimmento all’Es. 8.8.5 analizzare i modi di propagazione dipendenti da z secondo il fattore eiβz , per mezzi dieletttrici in cui ε̃ dipenda debolmente9 dalla
coordinata radiale ρ,
ε̃ (ρ) = ε̃max + δε̃ (ρ)
µ
¶
ρ2
= ε̃max 1 − 2∆ 2 = ε̃max − kw2 ρ2
a
8.8.1
Modi polarizzati linearmente
Esercizio 8.8.7. Si considerino modi di propagazione linermente polarizzati (LP) in cui
Ẽ⊥ = Ẽl (ρ) cos (lφ) ŷ, B̃⊥ = B̃l (ρ) cos (lφ) x̂, dipendenti da z secondo il fattore eiβz e
proporzionali a cos lφ.
8
9
A. W. Snyder, IEEE Trans. Microwave Theory Techniques, MTT-17, 1130 (1969); 1138 (1969); A. W.
Snyder, Weakly guiding optical fibers, J. Opt. Soc. Am. 70, 405-411 (1980); G. Toraldo di Francia,
J. Opt. Soc. Am. 59, 799 (1969).
A. W. Snyder, loc. cit. pag. 8.8.5
8.8 Campi in coordinate cilindriche
319
Soluzione: Dalle equazioni di Maxwell
1 2 2
k n Ẽ
iω 0
∇ × Ẽ = iωB̃
´ = 0
³∇ · B̃
2
∇ · n Ẽ = 0
∇ × B̃ =
discende
´
³
1
∇ × k02 n2 Ẽ = k02 n2 B̃
iω
∇ × ∇ × Ẽ = k02 n2 Ẽ
∇ × ∇ × B̃ =
k02 n2 B̃
³
´
+ ∇ ln n × ∇ × B̃
2
Tenendo conto delle identità vettoriali
³
´
∇ × ∇ × Ẽ = ∇∇ · Ẽ − ∇2 Ẽ = −∇ ∇ ln n2 · Ẽ − ∇2 Ẽ
∇ × ∇ × B̃ = −∇2 B̃
si ha
³
´
∇2 Ẽ + ∇ ∇ ln n2 · Ẽ + k02 n2 Ẽ = 0
³
´
∇2 B̃ + ∇ ln n2 × ∇ × B̃ + k02 n2 B̃ = 0
Ponendo ora
Ẽ0 = n2 Ẽ
si ha
¡
¢
∇2 Ẽ0 = n2 ∇2 Ẽ + 2∇n2 · ∇Ẽ + ∇2 n2 Ẽ
³
´
¡
¢
∇2 Ẽ0 = −n2 ∇ ∇ ln n2 · Ẽ − k02 n4 Ẽ + 2∇n2 · ∇Ẽ + ∇2 n2 Ẽ
2
Ẽ = 0
∇2⊥ Ẽ + ∇⊥ ln n2 · Ẽ + k⊥
∇2⊥ B̃ + ∇⊥
³
´
2
B̃ = 0
ln n2 × ∇ × B̃ + k⊥
320
Onde elettromagnetiche
Nel caso in cui si trascurano
∇ × ∇ × Ẽ
ω
i 2 ∇ × B̃
k0
∇ × Ẽ
ω
∇ × i 2 2 ∇ × B̃
k0 n
1
∇ × 2 ∇ × B̃
n
³
´
1
1
∇ 2 × ∇ × B̃ + 2 ∇ × ∇ × B̃
n
³ n ´
2
−∇ ln n × ∇ × B̃ − 52 B̃
= 5 5 ·Ẽ − 52 Ẽ = k2 Ẽ
= n2 Ẽ
= iω B̃
= iω B̃
= k02 B̃
= k02 B̃
= k 2 B̃
∇ × ∇ × B̃ = 5 5 ·Ẽ − 52 Ẽ = k2 Ẽ
ovvero
Nel caso in esame risulta inoltre
ω ∂
B̃x
k2 ∂y
1 ∂
= i
Ẽy
ω ∂x
Ẽz = −i
B̃z
e
k2
k2 ∂
k2 ∂ 2
−i Ẽx = −i
B̃z = 2
Ẽy = 0
ω
ω ∂y
ω ∂y∂x
∂
ω2 ∂ 2
iω B̃y = −iω Ẽz = − 2
B̃x = 0
∂x
k ∂y∂x
Dal momento che
∂ρ
x
∂ρ
y
=
= cos φ ,
= = sin φ,
∂x
ρ
∂y
ρ
∂φ
y
∂φ
1
1
1
= − 2 cos2 φ = − sin φ ,
= cos2 φ = cos φ
∂x
x
ρ
∂y
x
ρ
e
∂
∂
1
∂
= cos φ − sin φ
∂x
∂ρ ρ
∂φ
∂
1
∂
∂
= sin φ + cos φ
∂y
∂ρ ρ
∂φ
ne segue che
µ 2
¶
∂2
1
∂
1 ∂2
∂ 1 ∂
=
sin 2φ
+ cos2 φ
− 2 2
2
∂x∂y
2
∂ρ
ρ ∂ φ
∂ρ ρ ∂φ
1
∂
∂
− sin φ sin φ
ρ
∂φ
∂ρ
(8.25)
8.8 Campi in coordinate cilindriche
321
µ 2
¶
∂2
1 ∂2
1
∂
1 ∂
−
=
sin 2φ
−
∂x∂y
2
∂ρ2 ρ2 ∂ 2 φ ρ ∂ρ
¶
µ
¢ ∂
∂
1¡ 2
1
2
2
cos φ − sin φ
+ − 2 cos φ +
ρ
ρ
∂ρ ∂φ
In particolare si ha
Ẽz
B̃z
¶
µ
1
∂
∂
ω
= −i 2 sin φ + cos φ
B̃x
k0
∂ρ ρ
∂φ
µ
¶
1
∂
∂
1
cos φ − sin φ
= i
Ẽl
ω
∂ρ ρ
∂φ
e
¶¸
¶
µ
∙ µ 2
Ẽl
l
d
l2
1 d
l
1 ∂
2
sin 2φ cos (lφ) − sin (lφ) cos 2φ − cos φ sin (lφ) 2
+ 2−
=0
2
2 ∂ρ
ρ
ρ dρ
ρ
dρ
ρ
B̃l
D’altra parte deve risultare
∂
∂y
¶
µ
ωβ
2
= 0
n Ẽy + 2 B̃x
k0
¶
µ
∂
β
= 0
B̃x − Ẽy
∂x
ω
ovvero
µ
¶
¶µ
∂
1
∂
ωβ
2
sin φ + cos φ
= 0
n Ẽy + 2 B̃x
∂ρ ρ
∂φ
k0
µ
¶
¶µ
∂
1
∂
β
cos φ − sin φ
= 0
B̃x − Ẽy
∂ρ ρ
∂φ
ω
µ
¶
∂
β
n+
nẼl cos lφ = 0
∂y
k0
¶
µ
∂
β
Ẽl cos lφ = 0
n−
∂x
k0
Dalle (8.25) discende che
¶
¶
µ
µ
l
β
β
d
−
nẼl cos φ sin lφ +
nẼl sin φ cos lφ = 0
n+
n+
ρ
k0
dρ
k0
¶
¶
µ
µ
l
d
β
β
−
Ẽl cos φ sin lφ +
Ẽl sin φ cos lφ = 0
n−
n−
ρ
k0
dρ
k0
Perchè questo sistema ammetta una soluzione non banale il determinante deve esere nullo:
¶
¶
¶
¶
µ
µ
µ
µ
d
d
β
β
β
β
n
nẼl
n−
n+
n+
Ẽl = n −
k0
dρ
k0
k0 dρ
k0
322
8.9
Onde elettromagnetiche
Campi in coordinate sferiche
Esercizio 8.9.1. Si consideri un materiale in cui ε̃ (r) dipenda solo dalla coordinata radiale. Riscrivere le equazioni di Maxwell decomponendo i campi nelle componenti radiali
Er , Br e trasverse Ẽ⊥ , B̃⊥ per un sistema di coordinate sferiche:
Soluzione: Dalle equazioni di Maxwell discende che:
µ
¶
∂
1
∇⊥ Br −
+
B̃⊥ = −iωε0 ε̃r̂ × Ẽ⊥ + μ0 r̂ × J̃⊥
∂r r
¶
µ
1
∂
+
∇⊥ Er −
Ẽ⊥ = iωr̂ × B̃⊥
∂r r
Dal momento che
r̂ · ∇ × B̃ = −∇⊥ · r̂ × B̃
si ha
−∇⊥ · r̂ × B̃ = −iωε0 ε̃Ẽr + μ0 Jr
−∇⊥ · r̂ × Ẽ = iω B̃r
Combinando queste equazioni
µ
¶
∂
1
+
B̃⊥
∂r r
∇⊥ Br
µ
¶
∂
1
+
Ẽ⊥
∂r r
si ottiene
¶
µ
1 2
= iωε0 ε̃ 1⊥ + 2 ∇⊥ r̂ × Ẽ⊥ − μ0 r̂ × J̃⊥
k
= iωε0 ε̃r̂ × Ẽ⊥
¶
µ
1 2
ζ
= −iω 1⊥ + 2 ∇⊥ r̂ × B̃⊥ − i ∇⊥ Jr
k
kc
∇⊥ Er = −iωr̂ × B̃⊥
(8.26)
Esercizio 8.9.2. Si consideri un materiale in cui ε̃ (r) dipenda solo dalla coordinata
radiale r. Si ponga
Ẽ⊥ = −∇⊥ V (E) − ∇⊥ × r̂V (H)
B̃⊥ = ∇⊥ × r̂I (E) − ∇⊥ I (H)
r̂ × J̃ = ∇⊥ × r̂J (E) − ∇⊥ J (H)
(8.27)
Si dimostri utilizzando il sistema (8.26) e la relazione
1
∂
∂
∇⊥ = ∇⊥ − ∇⊥
∂r
∂r r
che
¶
µ
∂ (E)
1 2
ζ
= ikζ 1 + 2 ∇⊥ I (E) + i Jr
V
∂r
k
kc
k
∂ (E)
I
= i V (E) − μ0 J (E)
∂r
ζ
i
ζ
Er = − 2 ∇2⊥ I (E) − i Jr
k
kc
(8.28)
8.9 Campi in coordinate sferiche
323
e
¶
µ
∂ (H)
k
1
1 2
= i
I
1 + 2 ∇⊥ V (H) − J (H)
∂r
ζ
k
kc
∂ (H)
= ikζI (H)
V
∂r
i
Br = − ∇2⊥ V (H)
(8.29)
k
q
q
√
con k = ωc ε̃μ̃ e ζ = με0 ε̃μ̃ = ζ 0 μ̃ε̃ . Espandendo V (E) , I (E) e V (H) , I (H) in armoniche
0
sferiche
X (E)
Vlm (r) Ylm (θ, φ)
V (E) (r) =
lm
e operando similmente per le altra grandezze ottenere l’equivalente dei sistemi (8.28) e
(E) (E)
(H) (E)
(8.29) per Vlm , Ilm , Vlm , Ilm .
Soluzione: (b) Tenuto conto che∇2⊥ Ylm = l (l + 1) Ylm /r2 si ottengono facilmente i due
sistemi di equazioni del moto:
¶
µ
d (E)
l (l + 1)
ζ
(E)
Ilm + i 2 Jr lm
Vlm = iζ 1 −
2
dξ
k c
ξ
d (E)
1 (E) μ (E)
Ilm = i Vlm − 0 Jlm
dξ
ζ
k
l (l + 1) (E)
ζ
Er lm = i
Ilm − i Jr lm
(8.30)
2
kc
ξ
ē
¶
µ
d (H)
l (l + 1)
1
1 (H)
(H)
Vlm − 2 Jlm
Ilm = i
1−
2
dξ
ζ
k c
ξ
d (H)
(H)
V
= iζIlm
dξ lm
l (l + 1) (H)
Br lm = i
Vlm
ξ2
(8.31)
con ξ = kr.
(E,H)
Esercizio 8.9.3. Si analizzino le funzioni Vlm
genti
(E,H)
(r) e Ilm
Soluzione: Il sistema (8.30) si riduce a:
¶
µ
d (E)
l (l + 1) (E)
Ilm
V
= iζ 1 −
dξ lm
ξ2
d (E)
1 (E)
Ilm = i Vlm
dξ
ζ
Ne discende che
∙
¸
d2
l (l + 1) (E)
Ilm = 0
+1−
dξ 2
ξ2
(r) in regioni prive di sor-
(8.32)
324
Onde elettromagnetiche
per cui
(E)
Ilm (ξ) = Ajl (ξ) + Bhl (ξ)
d (E)
(E)
Vlm = −iζ Ilm
dξ
con jl = ξjl , hl = ξhl e jl , hl funzioni di Bessel sferiche.
Analogamente per le onde H
¶
µ
d (H)
l (l + 1)
1
(H)
Vlm
I
1−
= i
2
dξ lm
ζ
ξ
d (H)
(H)
V
= iζIlm
dξ lm
(H)
(8.33)
(H)
per cui anche Vlm , Ilm sono rapresentabili come combinazioni di funzioni di Bessel
sferiche.
(E) (E)
(H) (H)
Pertanto sia Vlm , Ilm che Vlm , Ilm si possono interpretare come coppie di tensionecorrente di linee di trasmissione sferiche caratterizzate dalle equazioni del moto (8.32) e
(8.33).
8.10
Fibre ottiche
Le fibre ottiche permettono di convogliare e guidare al loro interno un campo e.m. di
frequenza compresa nella banda del visibile e dell’infrarosso con perdite limitate10 . Una
fibra ottica è composta da due strati concentrici di materiale trasparente estremamente
puro: un nucleo cilindrico centrale, detto core, ed un mantello, detto cladding attorno
ad esso (v. Fig. (8.10)). Il core presenta un diametro di circa ∼ 10 μm per quelle che
lavorano a singolo modo (monomodali) e ∼ 50 μm per le multimodali, mentre il cladding
ha un diametro di circa ∼ 125÷400 μm. Il core ed il cladding sono realizzati con materiali
con indice di rifrazione leggermente diverso, tipicamente ∼ 1, 475 per il il cladding e ∼ 1, 5
per il core. Il cladding ha uno spessore maggiore della lunghezza di decadimento dell’onda
evanescente ivi localizata.
Esercizio 8.10.1. Analizzare i modi di propagazione di tipo TE e TM di una fibra ottica
a profilo d’indice parabolico
µ
¶
ρ2
2
2
n (ρ) = n1 1 − 2∆ 2 = n21 − kw2 ρ2
a
utilizzando le Eqq. (??) e (??)
Soluzione: Dalle (??) e (??) discende che
δε̃ = kw2 ρ2
10
¡ 2
¢
ω
2
∇⊥ + k⊥
Ẽz − ∇⊥ · ẑ × ∇⊥ B̃z = 0
βε̃
2
¡
¢
k
2
∇⊥ · ẑ × ∇⊥ Ẽz + ∇2⊥ + k⊥
B̃z = 0
ωβ
A.W. Snyder and J. Love, Optical Waveguide Theory, Springer Verlag, Berlin, 1984
(8.34)
8.10 Fibre ottiche
325
Figura 8.10: Alcune tipiche fibre ottiche
Figura 8.11
326
Onde elettromagnetiche
¶
µ
µ
¶
ε̃max β
k02 2
∂
k02 2
∂
2
2
2
∇⊥ − 2 kw 2ρ + k⊥ Ẽz − ∇⊥ − 2 kw 2ρ
· ẑ × ∇⊥ B̃z = 0
ω
k⊥
∂ρ
k⊥
∂ρ
¶
µ
¶
µ
β
k02 2
∂
k02 2
∂
2
2
2
∇⊥ − 2 kw 2ρ
· ẑ × ∇⊥ Ẽz + ∇⊥ − 2 kw 2ρ + k⊥ B̃z = 0
ω
k⊥
∂ρ
k⊥
∂ρ
#
¶
µ
2 2 −1 2 2
ρ
β
k
k
∂
w
2
∇2⊥ − 1 − w 2
2ρ + k⊥
Ẽz = 0
2
n1
k⊥
n21 ∂ρ
"
#
¶
µ
2 2 −1 2 2
k
∂
ρ
k
k
1 w
2
∇2⊥ − 1 − w 2
2ρ + k⊥
B̃z = 0
2
n1
k⊥
n21 ∂ρ
"
Per modi del tipo
Ẽz = FE (ρ) eimφ
B̃z = FH (ρ) eimφ
sostituendo ρ con x = (kw ρ)2 si ha
∇2⊥ =
d d
m2
m2
1 ∂ ∂
ρ − 2 = 4kw2 x − kw2
ρ ∂ρ ∂ρ
ρ
dx dx
x
Pertanto
µ
¶
2
d d
d
β2
m2
k⊥
FE = 0
x −
x −
+
2
dx dx (1 − x/n21 ) k⊥
dx
4x 4kw2
¶
µ
2
k12
m2
k⊥
d
d d
FH = 0
x −
+
x −
2
dx dx (1 − x/n21 ) k⊥
dx
4x 4kw2
Per x ¿ n21 le due equazioni assumono la forma
¸
∙ 2
2
m2
k⊥
d
d
F =0
−
+
x 2 + (1 − λ1 x)
dx
dx
4x 4kw2
dove
λ1 =
β 2 k12
, 2
2
k⊥
k⊥
Introducendo la funzione u (x)
x/2
u=e
µ
x
kw2
¶−m/2
F
e tenendo conto delle relazioni
∙ 2
¸
d
m2
d
x 2 + (1 − λ1 x)
−
+ λ2 F = 0
dx
dx
4x
8.10 Fibre ottiche
327
d
u =
dx
d2
u =
dx2
µ
"
∙
1
m F0
−
+
2 2x
F
¶
u
m
F 00 F 02
− 2 +
+
2x2
F
F
µ
m F0
1
−
+
2 2x
F
¶2 #
u
¸
m
F 00 F 02 1 m2
F 02
m F0 m F0
=
− 2 + + 2+ 2 −
+
−
u
+
2x2
F
F
4 4x
F
2x
F
x F
∙ 00 ³
¸
F
m´ F 0
m
m2
m 1
=
+ 1−
+ 2+ 2−
+
u
F
x F
2x
4x
2x 4
F0
u0 1 m
=
− +
F
u
2 ¶2x
µ
m2
1 F0
λ2
F 00
=
λ1 −
+ 2−
F
x F
4x
x
µ
¶ 0 µ
¶µ
¶
1 m
m2
1 u
1
λ2
=
λ1 −
+ λ1 −
− +
+ 2−
x u
x
2 2x
4x
x
m´ F 0
m
F 00 ³
m2
m 1
+ 1−
+ 2+ 2−
+
F
x
F
2x
4x
2x
4
¶
µ
m + 1 F 0 λ2 m2 + m m 1
−
+
+
−
=
λ1 + 1 −
x
F
x
2x2
2x 4
00
u
xu00
¶µ 0
¶
¸
∙µ
u
1 m
m
m+1
m 1 λ2
− +
+ 2−
+ −
u
=
1 + λ1 −
x
u
2 2x
2x
2x 4
x
¸
∙
µ
¶
1 m
m m x
0
= ((1 + λ1 ) x − m − 1) u + ((1 + λ1 ) x − m − 1) − +
− + − λ2 u
+
2 2x
2x
2
4
¸
¶
∙µ
m + 1 F 0 m2
+
− λ2 u
1 + λ1 −
x
F
4x
∙µ
¸
¶µ 0
¶
m+1
u
1 m
m2
=
1 + λ1 −
− +
− λ2 u
+
x
u
2 2x
4x
¸
¶
¶µ
¶
∙µ
µ
1 m
m2
m+1
m+1
0
− λ2 u
u + 1 + λ1 −
− +
+
=
1 + λ1 −
x
x
2 2x
4x
d2
u =
dx2
In definitiva si ha
¶
∙
µ
¸
m2
1 m
xu − [m + 1 − x (1 + λ1 )] u + [m + 1 − x (1 + λ1 )] − +
+
− λ2 x u
2 2x
4
00
0
u0
1
m F0
= −
+
u
2 2x
F
β 2mn = ko2 n21 − 2 (n + 2m + 1) kw2
328
Onde elettromagnetiche
Figura 8.12: Rappresentazione schematica con l’indicazione del nucleo centrale di raggio a e di indice
di rifrazione uniforme n1 , circondato da un mantello di indice n2 (< n1 ). Un modo di propagazione è
costituito da na congruenza di raggi che incidono sul mantello con angolo maggiore dell’angolo critico
ϑc = arcsin (n2 /n1 )
Figura 8.13: Rappresentazione schematica del cono di accettanza di una fibra ottica
Figura 8.14: Legame tra angolo di accettazione ϑmax di una fibra ed angolo critico ϑc relativo all’interfaccia
tra nucleo e mantello
8.10 Fibre ottiche
329
Figura 8.15
Figura 8.16
Esercizio 8.10.2. Calcolare l’apertura numerica NA di una fibra a salto d’indice definita
come
NA = next sin ϑM
conϑM il semiangolo di apertura del cono di accettanza (v. Fig. 8.13)
Soluzione: Dalla Fig. (8.14) e tenendo conto della relazione tra angolo critico ϑC
(riflessione totale) ed indici di rifrazione
sin ϑC =
n2
n1
si evince che l’apertura numerica NA è pari a:
NA = next sin ϑM = n1 sin ϑ0M =
q
n21 − n22
Esercizio 8.10.3. Si consideri una fibra ottica con profilo parabolico dell’indice di rifrazione.
Calcolare le traiettorie dei raggi
http://digilander.libero.it/desdeus/Trasmissione/images/Mezzi_FO15.gif
Esercizio 8.10.4. Analizzare i modi di propagazione di una fibra ottica a salto d’indice
330
Onde elettromagnetiche
Soluzione: Rifacendosi all’Es. 8.8.3 si ha che i modi E ed H sono associati alle equazioni
µ ¶
¢ Ẽz
¡ 2
2
= 0ρ<a
∇⊥ + χ
B̃z
µ ¶
¢ Ẽz
¡ 2
2
= 0ρ>a
∇⊥ − γ
B̃z
con
e
χ2 = k02 n21 − β 2
γ 2 = −k02 n22 + β 2
¡Ẽz ¢
continuo sull’interfaccia nucleo-rivestimento.
Ponendo
¶
µ ¶ µ
FE (ρ) sin (mφ + ϕE )
Ẽz
=
FH (ρ) sin (mφ + ϕH )
B̃z
B̃z
e tenendo conto dell’espressione
∇2⊥ =
1 ∂2
∂2
1 ∂
+
+
∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 ∂φ2
si ha
µ
d2
1 d
+
+ χ2 −
2
dρ
ρ dρ
µ 2
1 d
d
− γ2 −
+
2
dρ
ρ dρ
¶
m2
FE,H sin (mφ + ϕE ) = 0 ρ < a
ρ2
¶
m2
FE,H sin (mφ + ϕE ) = 0 ρ > a
ρ2
ovvero FE,H soddisfano delle equazioni di Bessel (v. Sez. ). Pertanto si avrà in generale
FE,Hm (ρ) = aEH Jm (χρ) + bEH Ym (χρ) ρ < a
(1)
FE,Hm (ρ) = cEH Hm
(iγρ) ρ > a
Tenendo conto del fatto che FE,H sono continue per ρ = a, regolari per ρ = 0 mentre
FE,H → 0 per ρ → ∞ si ha
bEH = dEH = 0
Jm (χa)
cEH = aEH (1)
Hm (iγa)
Pertanto
FE,Hm (ρ) = aEH um (ξ)
dove
um (ξ) =
(
con
ξ=
Jm
Jm (χa)
(1)
Hm (iγa)
½
(ξ) ρ < a
(1)
Hm (ξ) ρ > a
χρ ρ < a
iγρ ρ > a
(8.35)
8.10 Fibre ottiche
331
Si avrà quindi
µ
Ẽzm
B̃zm
¶
¶
aE sin (mφ + ϕE )
= um (ξ)
aH sin (mφ + ϕH )
µ
(8.36)
D’altra parte dalle Eqq. (8.21) e (??) discende per le componenti trasverse dei campi
2
ik⊥
Ẽ⊥m = −β∇⊥ Ẽzm + ωẑ × ∇⊥ B̃zm
k2
2
∇⊥ Ẽzm − β ẑ × ∇⊥ B̃zm
ik⊥
ẑ × B̃⊥m =
ω
(8.37)
In particolare si ha per Ẽφ , B̃φ
1 ∂
∂
Ẽzm + ω B̃zm
ρ ∂φ
∂ρ
2
k ∂
1 ∂
Ẽz − β
B̃zm
= −
ω ∂ρ
ρ ∂φ
2
ik⊥
Ẽφm = −β
2
B̃φm
ik⊥
ovvero
iẼφm
iB̃φm
¶
µ
1
mβ
ω ρ ∂
=
− 2 aE CE + 2
um aH SH
um
k⊥
k⊥ um ∂ρ
ρ
¶
µ
1
k2 ρ ∂
mβ
um aE SE − 2 aH CH
um
=
− 2
k⊥ ω um ∂ρ
k⊥
ρ
dove
SE,H = sin (mφ + ϕE ) , CE,H = cos (mφ + ϕE )
Imponendo la continuità di queste componenti per ρ = a e tenendo conto delle relazioni
¯
0
¯
(χa)
ρ ∂
Jm
¯
= χa
um ¯
um ∂ρ
Jm (χa)
ρ=a−ε
¯
(1)0
¯
ρ ∂
Hm (iγa)
K 0 (γa)
¯
um ¯
= iγa (1)
= γa m
um ∂ρ
Km (γa)
Hm (iγa)
ρ=a+ε
si ha
0
0
mβ CE
ω
Jm
mβ CE
ω Km
(χa)
(γa)
a
aH
a
+
χa
=
a
−
γa
E
H
E
χ2
SH χ2 Jm (χa)
γ2
SH
γ 2 Km (γa)
J 0 (χa)
K 0 (γa)
k2
mβ CH
k2
mβ CH
aE − 2 aH
aE + 2 aH
− 21 χa m
= 22 γa m
χ ω Jm (χa)
χ
SE
γ ω Km (γa)
γ
SE
−
Per soddisfare queste equazioni per ogni valore di φ deve risultare
CE
CH
=−
= = ±1
SH
SE
Pertanto
0
0
mβ
(χa)
(γa)
ωa Jm
mβ
ωa Km
− 2 aE +
aH =
aH
um aE −
2
χ
χ Jm (χa)
γ
γ Km (γa)
0
(γa)
k2 a J 0 (χa)
mβ
k2 a Km
mβ
− 1 m
aE + 2 aH = 2
aE − 2 aH
χω Jm (χa)
χ
γω Km (γa)
γ
332
Onde elettromagnetiche
con = ±1, ovvero si ottiene il sistema omogeneo nei coeﬃcienti aE , aH
µ 0
¶
0
(γa)
mβV 2
Jm (χa)
Km
− 3 2 2 aE + ωa
+
aH SH = 0
aχγ
χJm (χa) γKm (γa)
µ
¶
0
0
k02 n21 Jm
(χa) n22 Km
(γa)
mβV 2 1
+
aE −
aH = 0
ω χJm (χa)
γKm (γa)
a3 χ2 γ 2
dove
q
V = k0 a n21 − n22
sta per la frequenza normalizzata.
Perchè questo sistema ammetta una soluzione non banale il determinante deve risultare
nullo11 :
µ
¶2
¶µ 2 0
¶
µ 0
0
0
(γa)
(γa)
mβV 2 1
Km
n1 Jm (χa) n22 Km
Jm (χa)
2
+
+
(8.38)
= k0 a
a3 χ2 γ 2
χJm (χa) γKm (γa)
χJm (χa)
γKm (γa)
A questa relazione vien dato il nome di equazione caratteristica
Esercizio 8.10.5. Analizzare i modi di indice m=0, associabili a congruenze di raggi
meridiani
Soluzione: Per m = 0 l’equazione caratteristica (8.38) si riduce a
µ 0
¶µ 2 0
¶
0
0
Jm (χa)
(γa)
(γa)
Km
n1 Jm (χa) n22 Km
+
+
=0,
χJm (χa) γKm (γa)
χJm (χa)
γKm (γa)
ovvero
o
dove
J00 (χa)
K 0 (γa)
=− 0
χaJ0 (χa)
γaK0 (γa)
(8.39)
n2 K 0 (γa)
n21 J00 (χa)
=− 2 0
χaJ0 (χa)
γaK0 (γa)
(8.40)
¡
¢
V 2 = (χa)2 + (γa)2 = (k0 a)2 n21 − n22
Dalle equazioni (1.31) e (1.33) discendono le relazioni di ricorrenza
Jm (x)
x
K
m (x)
0
(x) = −Km∓1 (x) ∓ m
Km
x
0
Jm
(x) = ±Jm∓1 (x) ∓ m
Pertanto, le Eqq. (8.39) e (8.40) si possono riscrivere nella forma
¡√
¢
K1 V 2 − x2
J1 (x)
√
¡√
¢+
= 0 modi T E (Ez = Eρ = 0)
xJ0 (x)
V 2 − x2 K0 V 2 − x2
e
¡√
¢
V 2 − x2
n2 J1 (x)
√
¡√
¢+ 1
= 0 modi T M (Bz = Bρ = 0)
xJ0 (x)
V 2 − x2 K0 V 2 − x2
n22 K1
(8.41)
(8.42)
8.10 Fibre ottiche
333
Figura 8.17: Andamento di K1 (x) / [xK0 (x)]
K1 (x)
Dal momento che xK
è una funzione positiva monotona decrescente (v. Fig. 8.17)
0 (x)
che si può approssimare per x > 1 con
(
8x+3
x>1
K1 (x)
x(8x−1)
(8.43)
≈
1
− x2 [ln(x/2)+γ] x < 1
xK0 (x)
J1 (x)
con γ (= 0.5772) costante di Eulero-Mascheroni, mentre xJ
può assumere valori sia
0 (x)
positivi che negativi (v. Fig. 8.38) le radici x delle Eqq. (8.41) e (8.42) risultano comprese
tra lo zero n-esimo di J0 e quello n+1esimo di J1 :
o n
o
n
(0)
(1)
(0)
(1)
x ∈
x1 , x2 , x2 , x3 , . . .
= {2.4048, 3.8317} , {5.5201, 7.0156} , {8.6537, 10.1735}, . . .
Ad esempio per il modo TE01 poichè x ∈ {2.4048, 3.8317} deve risultare
V > 2.4048
Al crescere di V la radice cresce da 2.4048 a 3.8317.
Per x → ∞ si ha
K1 (x)
→ 1
K0 (x) x→∞
per cui
1
J1 (x)
+
=0
V
xJ0 (x)
(0)
In prossimità di xn le equazioni caratteristiche si riducono a
(
¡√
¢
1 modi T E
K1 V 2 − x2
1
´×
√
¡√
¢= ³
n21
(0)
modi T M
V 2 − x2 K0 V 2 − x2
n22
x x − xn
(0)
D’altra parte per V ≈ xn si può usare la seconda approssimazione di Eq. (8.43), (v. Fig.
(8.43)). Pertanto χn a è dato da
11
v.p.e. K. Iizuka, Elements of Photonics, vol. 2, J. Wiley & Sons, N. Y. 2002
334
Onde elettromagnetiche
Figura 8.18: Anadamenti delle funzioni K1 (x) (8x − 1) /K0 (x) (8x − 3) (sinistra) e J1 (x) / (xJ0 (x))
(destra)
ln 2+2γ)
Figura 8.19: Andamento della funzione − K1 (x)x(lnKx−2
0 (x)
8.10 Fibre ottiche
335
Figura 8.20: Relazione di dispersione del modo TE01 in prossimità della frquenza di cut-oﬀ V=2.4.04
(0)2
χa = x(0)
n −
V 2 − xn
(0)
xn
∙
¸ (
1 modi T E
¢
1 ¡ 2
2
ln V − x(0)2
−
ln
2
+
γ
×
n
n
1
modi T M
2
n22
Ne segue che la costante di propagazione β dipende da V in prossimità del cut-oﬀ secondo
la seguente legge (v. Fig. (8.20)):
s
β
n2 − n2 1
=
1 − 1 2 2 2 (χa)2
k0 n1
n1 V
v
Ã
u
∙
¸!2
³
´
u
2
2 (0)2
2 − x(0)2 1
−
n
x
V
n
n
n
(0)2
ln V 2 − xn
− ln 2 + γ
= t1 − 1 2 2 2 1 −
(0)2
n1
V
2
2xn
Al modo TE0μ relativo all’autovalore χμ dell”Eq. (8.41), corrispondono i campi
Eρ = 0
¢
¢
¡
¡
Eφ ∝ J1 χμ ρ , K1 γ μ ρ
¢
¡
Hρ ∝ −J1 (χρ) , K1 γ μ ρ
Hφ = 0
mentre per il TM0μ relativo all’autovalore χμ dell”Eq. (8.42), si ha
¢
¢
¡
¡
Eρ ∝ J1 χμ ρ , K1 γ μ ρ
Eφ = 0
Hρ = 0
¢
¢
¡
¡
Hφ ∝ J1 χμ ρ , K1 γ μ ρ
Esercizio 8.10.6. Per una fibra ottica a salto d’indice debolmente guidante (n1 ≈ n2 =
n) analizzare i modi di propagazione a polarizzazione lineare12 LPx , tali cioè Ex = 0 e
Hy ≈ 0, ottenuti combinando modi E ed H di ordine m − 1 e m + 1
12
v. D. Marcuse, Theory of Dielectric Optical Waveguides, Academuc Press, N. Y. 1979
336
Onde elettromagnetiche
Figura 8.21
Soluzione: In tal caso ponendo
µ
¶
¶
µ
Ẽzm
Aχ β1 (um−1 Sm−1 + um+1 Sm+1 )
=i
B̃zm
2 ω1 (−um−1 Cm−1 − um+1 Cm+1 )
(8.44)
si dimostra facilmente utilizzando le Eqq. (8.37) che
µ
¶
µ ¶
Ẽym
1
=A
um Cm
− nc
B̃xm
Analogamente per le componenti trasverse dei campi
8.11
Guide d’onda
Esercizio 8.11.1. Le guide d’onda sono mezzi delimitati da cilindri metallici di sezione
generalmente rettangolare o cilindica. Rifacendosi all’analisi precedente relative alle fibre
ottiche trovare i modi13 E ed H per (a) guide rettangolari di lati Lx , Ly .e (b) circolari di
raggio a.
Soluzione: (a) I modi E ed H debbono soddisfare sulle pareti della guida le condizioni
Ẽz = 0 modi E
∂
B̃z = 0 modi H
∂n
13
v.p.e. F. E. Borgnis and C. H. Papas, Handbuch der Physik, Vol. XVI Electromagnetic Waveguides
and Resonators, Springer-Verlag, Berlin 1958
8.11 Guide d’onda
337
Figura 8.22: Geometria di una guida d’onda rettangolare
Figura 8.23
I modi sono dati da
µ
¶
µ
¶
lπ
mπ
= sin
x sin
y
Lx
Ly
µ
¶
µ
¶
lπ
mπ
= cos
x cos
y
Lx
Ly
(E)
Ẽz lm
B̃z(H) lm
Pertanto
β 2mn
2
=k −
µ
mπ
Lx
¶2
−
µ
nπ
Ly
(8.45)
¶2
Ad una assegnata frequenza si possono propagaresolo quei modi per cui
2
k >
µ
lπ
Lx
¶2
+
µ
mπ
Ly
¶2
(b) Per una guida circolare si ha
¡ (E) ¢ imφ
Ẽz(E)
mn = Jm κmn ρ e
¡ (H) ¢ imφ
B̃z(H)
mn = Jm κmn ρ e
(8.46)
338
Onde elettromagnetiche
dove
¢
¡
a
= 0
Jm κ(E)
mn
¯
¢¯
¡
d
¯
= 0
Jm κ(E)
mn ρ ¯
dρ
ρ=a
In particolare
⎧
⎨ 2.404 n = 1
(E)
5.520 n = 2
κ0n a =
⎩ 8.653 n = 3
⎧
⎨ 3.832 n = 1
(H)
7.015 n = 2
κ0n a =
⎩ 10.173 n = 3
e
Pertanto
(E)2
β 2mn = k2 − κ0n
(H)2
β 2mn = k2 − κ0n
Esercizio 8.11.2. Analizzare le linee di campo trasverse del campo elettrico e magnetico
dei modi (a) H10 , H20 , H11 , H21 , E11 , E21 di una guida rettangolare e (b) H11 , H21 , E01 , H01 , E11
di una guida circolare
Soluzione: (a) Dalle Eqq. (8.45) e dalle Eqq. (8.21) dell’Es. 8.8.3 discendono le
seguenti espressioni per i campi
µ
¶
µ
¶
lπ
mπ
(E)
Ẽz lm = sin
x sin
y
Lx
Ly
(E)
2
k⊥
Ẽ⊥
(E)
2
k⊥
ẑ × B̃⊥
e
B̃z(H) lm
(H)
2
Ẽ⊥
k⊥
(H)
2
k⊥
B̃⊥
= iβ∇⊥ Ẽz(E)
i 2
k ∇⊥ Ẽz(E)
=
ω
µ
¶
µ
¶
lπ
mπ
= cos
x cos
y
Lx
Ly
= −iωẑ × ∇⊥ B̃z(H)
= iβ∇⊥ B̃z(H)
Le linee di campo si ottengono integrando per i modi E le equazioni
´
³
´
´
³
³
mπ
lπ
mπ
lπ
(E)
(E)
∂
cos
sin
x
y
tan
x
Ẽ
Ẽy lm
Ly
Lx EE
Ly EE
Lx EE
dyEE
mLx
∂y z lm
³
³
´
³
´
´
= (E) =
=
=
(E)
∂
lπ
lπ
mπ
mπ
dxEE
nL
y
Ẽx lm
Ẽ
cos Lx xEE sin Ly yEE
tan Ly yEE
∂x z lm
Lx
e
dyEH
=
dxEH
(E)
B̃y lm
(E)
B̃x lm
=
(E)
∂
Ẽ
∂x z lm
−
(E)
∂
Ẽ
∂y z lm
=−
lπ
Lx
mπ
Ly
cos
sin
³
³
lπ
x
Lx EH
lπ
x
Lx EH
´
´
sin
cos
³
mπ
y
Ly EH
³
´
mπ
y
Ly EH
´
³
mπ
tan
y
Ly EH
nL
³
´ =− y
´
mLx tan lπ x
Lx
EH
8.11 Guide d’onda
339
Figura 8.24:
linee di campo elettriche (continue) e magnetiche (tratteggiate) dei modi
H10 , H20 , H11 , H21 , E11 , E21 di una guida rettangolare (da F. E. Borgnis and C. H. Papas, loc.cit.pag.
336)
340
Onde elettromagnetiche
Analoghe equazioni si ottengono per i modi H. Dall’integrazione di queste equazioni
discendono le famiglie di linee di campo di Fig. (8.24)
(b) Per le guide circolari si ha
¡ (E) ¢ imφ
Ẽz(E)
mn = Jm κmn ρ e
µ
¶
¢ imφ
¡
∂
2 (E)
(E)
k⊥ Ẽ⊥ = iβ∇⊥ Ẽz = iβ ρ̂ + imρφ̂ Jm κ(E)
mn ρ e
∂ρ
µ
¶
¢ imφ
¡
∂
i 2
i 2
(E)
2
(E)
k ∇⊥ Ẽz = k ρ̂ + imρφ̂ Jm κ(E)
k⊥ ẑ × B̃⊥ =
ρ
e
mn
ω
ω
∂ρ
e
¡ (H) ¢ imφ
B̃z(H)
mn = Jm κmn ρ e
2 (H)
Ẽ⊥
k⊥
(H)
2
k⊥
ẑ × B̃⊥
e
= −iωẑ ×
µ
¶
¢ imφ
¡
∂
= −iωẑ × ρ̂ + imρφ̂ Jm κ(H)
mn ρ e
∂ρ
¶
µ
¡
¢ imφ
∂
= iβ ρ̂ + imρφ̂ Jm κ(H)
mn ρ e
∂ρ
∇⊥ B̃z(H)
= iβ∇⊥ B̃z(H)
Le linee di campo si ottengono integrando per i modi E le equazioni
³
´
(E)
∂
(E)
J κmn ρ
Ẽρ lm
∂ρ m
1 dρEE
³
´
= (E) =
(E)
ρ dφEE
Ẽφ lm
mρJm κmn ρ
1 dρEH
=
ρ dφEH
(E)
B̃ρ lm
(E)
B̃φ lm
³
´
(E)
mρJm κmn ρ
³
´
=−
(E)
∂
κ
J
ρ
mn
∂ρ m
Analoghe equazioni si ottengono per i modi H. Dall’integrazione di queste equazioni
discendono le famiglie di linee di campo di Fig. (8.25)
Esercizio 8.11.3. Considerare la propagazione lungo guide d’onda circolari con diaframmi circolari inseriti periodicamente (v. Figg. (8.26) e (8.27)). Questo problema è stato
analizzato da Chu e Hansen14 e Walkinshaw15 . Analizzare questo problema nel caso in
cui βd ¿ 1 per il modo TM01
Soluzione: Trattandosi di una struttura periodica si può utilizzare il teorema di Floquet
per cui il campo nella regione I è espresso in generale dalla serie
EzI
=
∞
X
m=−∞
∞
X
Am J0 (κm ρ) eiβ m z
ζHqI = i
m=−∞
Am
k
J1 (κm ρ) eiβ m z
κm
con
κ2m + β 2m = k2
14
15
E. L. Chu and W. W. Hansen, The Theory of DiskLoaded Wave Guides, J. Appl. Phys. 18, 996 (1947)
W. Walkinshaw, Proc. Phys. Soc. Lond. 61, 246 (1948)
8.11 Guide d’onda
341
Figura 8.25:
linee di campo elettriche (continue) e magnetiche (tratteggiate) dei modi
H11 , H21 , E01 , H01 , E11 di una guida circolare (da F. E. Borgnis and C. H. Papas, loc.cit.pag. 336)
Figura 8.26: Guida circolare caricata periodicamente di dischi forati ed eccitata da un klystron collegato
con una guida rettangolare
342
Onde elettromagnetiche
Figura 8.27: Sezione longitudinale della guida circolare con inseriti circolari forati
Una discussione approssimata si trova nel vol. di Papas e Borgnis.16 in cui si assume che
per βd ¿ 1 la serie si può approssimare col termine m = 0. Inoltre all’interno di ogni
corrugazione (regione II) il campo è rappresentato da un’onda stazionaria con
EzII (ρ) = B0 F0 (kρ, kb)
ζHqII (ρ) = iB0 F1 (kρ, kb)
con
F0 (kρ, kb) = J0 (kρ) Y0 (kb) − J0 (kb) Y0 (kρ)
F1 (kρ, kb) = J1 (kρ) Y0 (kb) − J0 (kb) Y1 (kρ)
Ne discende che
Z=
Adattando il rapporto
F0 (kρ, kb)
EzII (a)
= iζ
II
Hq (a)
F1 (kρ, kb)
¿
si ottiene
β 0 − k2
EzI (a)
HqI (a)
À
=
EzII (a)
HqII (a)
J0 (κ0 a)
F0 (kρ, kb)
= −ik
J1 (κ0 a)
F1 (kρ, kb)
Esercizio 8.11.4. Analizzare la dispersione della velocità di fase del modo fondamentale
TM01 di una guida circolare diaframmata.
Esercizio 8.11.5. Analizzare la configurazione del campo elettrico per i primi tre modi
di funzionamento di un LINAC
8.12
Oscillazioni di una cavità
Esercizio 8.12.1. Trovare i modi di oscillazione di una cavità prismatica.
16
F. E. Borgnis and C. H. Papas, Handbuch der Physik, Vol. XVI Electromagnetic Waveguides and
Resonators, Springer-Verlag, Berlin 1958
8.12 Oscillazioni di una cavità
343
Figura 8.28: Andamento di β/k in funzione di kb per diversi valori del rapportob/a (da Chu and Hansen,
J. Appl. Phys. 18, 996 (1947)
Figura 8.29: Tipica curva di dispersione ω − β del modo TM01 di una guida cilindrica uniforme (curva
tratteggiata) e caricata periodicamente di diaframmi (tratto intero). (da K. Wille, The Physics of Particle
Accelerators, Oxford Univ. Press, Oxford 2000)
344
Onde elettromagnetiche
Figura 8.30: (da K. Wille, The Physics of Particle Accelerators, Oxford Univ. Press, Oxford 2000)
Soluzione: Per fissare le idee si consideri una cavità a forma di prisma retto di lati e
scegliamo un sistema di coordinate cartesiane x, y, z con gli assi paralleli agli spigoli a, b,
c e con centro in un vertice. Se la cavità è limitata da pareti metalliche, i modi possono
essere raggruppati in due classi secondo che il campo magnetico (modi T M o modi E) o
il campo elettrico (modi T E o modi H) siano rispettivamente perpendicolari all’asse z
³ nπ ´
z
c ´
³ nπ
³ nπ ´
(H)
(H)
z + bzlm (r⊥ ) sin
z ẑ
blmn (r) = btlm (r⊥ ) cos
³ nπc ´
³ nπc ´
(E)
(E)
z + ezlm (r⊥ ) sin
z ẑ
elmn (r) = etlm (r⊥ ) sin
c
c
³ nπ ´
(E)
blmn (r) = btlm (r⊥ ) cos
z
c
(H)
elmn (r) = etlm (r⊥ ) sin
dove r⊥ = xx̂ + yŷ. In particolare,
Esercizio 8.12.2. Si discutano i modi di oscillazione di una cavità prismatica. (a)
Calcolare le frequenze di risonanza e (b) la densità dei modi
Soluzione: Il concetto di autofunzioni della MQ trova il suo corrispettivo nella rappresentazione di campi e.m. come prodotti di funzioni del tempo per funzioni dello
8.12 Oscillazioni di una cavità
(H)
hxlm
=
(H)
hylm =
(H)
hzlm =
(H)
exlm =
(H)
eylm =
2
ktlm
=
Blm =
ωlmn =
345
µ
¶
³ mπy ´
nπ/c lπ
lπx
−i 2
Blm sin
cos
ktlm a
a
b
¶
µ
³
mπy ´
nπ/c mπ
lπx
Blm cos
sin
−i 2
ktlm b
a
b
µ
¶
³
´
lπx
mπy
Blm cos
cos
a
b
ω lmn μ0 (H)
h
nπ/c ylm
ω lmn μ0 (H)
−
h
nπ/c xlm
µ ¶2 ³
lπ
mπ ´2
+
a
b
2
k
2
q tlm
π l2 b + m2 a
a
b
sµ ¶
2
³ mπ ´2 ³ nπ ´2
lπ
c
+
+
a
b
c
Tabella 8.1: Campi relativi ai vari modi TE di una cavità rettangolare di lati a, b e c ed indici l, m ed n
spazio
E(r, t) =
X
En (t)en (r) ,
n
B(r, t) =
X
Bn (t)bn (r) ,
n
D(r, t) =
X
Dn (t)dn (r) ,
n
H(r, t) =
X
Hn (t)hn (r) ,
(8.47)
n
con en (r) e bn (r)/kn modi (spaziali) a divergenza nulla, normalizzati, mutuamente ortogonali, e legati tra loro dalle relazioni:
∇ × en = bn ,
∇ × bn = kn2 en ,
con kn = ω n /c un autovalore della equazione d’onda,
∇2 en + kn2 en = 0 ,
(8.48)
associata ad opportune condizioni al contorno sulle pareti del volume che contiene il
campo.
346
Onde elettromagnetiche
Inserendo nelle equazioni di Maxwell (2.13) i campi espansi nei modi suddefiniti e
tenendo conto di (8.47) e (8.48) si ottiene per le ampiezze
En
2
kn Bn
Ën + ω2n En
= −Ḃn ,
= μ0 ε0 Ėn − Jn ,
1
= − J˙n .
ε0
(a) Imponendo che la componente di en tangente alle pareti si annulli, per gran parte
dei modi di una cavità prismatica risulta
¶
µ
¶
µ
¶
µ
√
πmy
πnz
πlx
sin
sin
.
en = V −1ˆn sin
Lx
Ly
Lz
en è associabile a un vettore d’onda
kn =
πl
πm
πn
x̂ +
ŷ +
ẑ
Lx
Ly
Lz
a componenti positivi e multipli interi di π/Lx,y,z .
Le frequenze di risonanza saranno definite dalla condizione k2 = kn2
³ ω ´2
n
c
=
µ
πl
Lx
¶2
+
µ
πm
Ly
¶2
+
µ
πn
Lz
¶2
(b) Al variare di l, m ed n kn definisce un reticolo con cella elementare di volume
π /V . Il numero N(ω) di modi di frequenza angolare inferiore ad un assegnato valore ω
sarà quindi doppio17 del numero di vertici di questo reticolo compresi in un ottante di
raggio k = ω/c
1 ³ ω ´3
V.
N(ω) = 2
3π c
A parità di volume il numero dei modi cresce col cubo della frequenza angolare, una dipendenza questa che, come vedremo nell’ultimo capitolo, condiziona fortemente lo spettro di
corpo nero. La densità g(ω) = V −1 dN(ω)/dω del numero di modi per unità di volume e
di intervallo di frequenza angolare, risulta uguale a
1 ³ ω ´2
g(ω) = 3
.
(8.49)
c π
3
Anche se questa formula per g(ω) è stata ricavata per una cavità prismatica, resta valida per cavità di forma generica quando la lunghezza d’onda è piccola rispetto alle sue
dimensioni caratteristiche.
Spesso si incontrano campi che si propagano lungo direzioni particolari, p.e. asse ẑ.
In tal caso la componente monocromatica del campo Ẽ (ed analogamente per gli altri
vettori) assume la forma
X
E(r, t) =
e−iωt+iβ n z Ẽn en (r⊥ ) ,
n
17
ad ogni kn corrispondono due polarizzazioni ˆ.
8.12 Oscillazioni di una cavità
347
dove β n rappresenta la costante di propagazione lungo l’asse di propagazione mentre
en (r⊥ ) soddisfa un’equazione di Helmholtz simile a (8.48)
¡
¢
∇2⊥ en (r⊥ ) + k2 − β 2n en (r⊥ ) = 0 ,
ed è sottoposta ad opportune condizioni al contorno sul piano r⊥ . Gli autovalori β n di
quest’ultima per assegnato k = ω/c stabiliscono una relazione di dispersioneω β = ω (β n ) .
Esercizio 8.12.3. Tenuto conto che l’energia elettromagnetica è espressa da
´
1 X³ 2 2
2
Uem = ε0
ωn Bn + Ḃn .
2
n
(8.50)
se ne deduce che i singoli modi vi contribuiscono con termini del tutto simili a quelli
di oscillatori meccanici unidimensionali di frequenza angolare ωn in cui 12 ε0 ω2n B2n misura
l’energia “potenziale” e 12 ε0 Ḃ2n quella “cinetica”. Bn si comporta come la posizione x di
p
un oscillatore unidimensionale di massa M = ε0 , frequenza angolare ω n = K/M con K
costante elastica, mentre18 −ε0 En = ε0 Ḃn si comporta come il momento coniugato,
x
p
M
K
←→
←→
←→
←→
Bn ,
−ε0 En = ε0 Ḃn ,
ε0 ,
ε0 ω 2n .
Uem di (8.50) può essere trattata come l’hamiltoniana del campo ed il termine n-esimo
come l’hamiltoniana del rispettivo modo19 ,
´
1 ³ 2 2
2
(8.51)
Hem n = ε0 ωn Bn + Ḃn .
2
Alla luce di questa corrispondenza quantizzare le ampiezze Bn dei rispettivi modi
Soluzione: Analogamente a quanto si fa per la posizione fluttuante di un oscillatore meccanico, si può introdurre una funzione d’onda normalizzata ψ (Bn ; t) tale che
|ψ (Bn ; t)|2 misura la densità di probabilità che l’induzione abbia il valore Bn . Per quantizzare si utilizzerà come hamiltoniana l’espressione (8.51) dell’energia sostituendo ε0 Ḃn
con −i~ ∂B∂ n , ottenendo così per ψ (Bn ; t)
∂
i~ ψ (Bn ; t) =
∂t
¶
µ
~2 ∂ 2
1
2 2
−
+ ε0 ω n Bn ψ (Bn ; t) .
2ε0 ∂B2n 2
Per la coppia Bn , En deve valere il principio di indeterminazione di Heisenberg ovvero
il prodotto delle relative fluttuazioni risulta maggiore di ~
ε0 ∆Bn ∆En ≥ ~ ,
18
19
(8.52)
En ha le dimensioni di un campo elettrico per la radice quadrata di un volume.
per una introduzione semplice alla quantizzazione del campo e.m., agli stati del campo quantizzato ed
alla interazione con gli atomi v.p.e. R. Loudon, The Quantum Theory of Light, Oxford Univ. Press,
Oxford 2000, Capp. 6-8; D. Marcuse, Engineering Quantum Electrodynamics, Harcourt, Brace &
World, New York 1970, Cap. 2; E. Landi Degl’Innocenti, loc. cit. pag. 76, Cap. 4.
348
Onde elettromagnetiche
ed analogamente per l’energia Uem n = ε0 E2n e la fase20 ϕn
∆ϕn ∆Uem n ≥ ~ω n .
Anche in assenza di sorgenti il campo all’interno di una cavità fluttua. Ciò diventa
particolarmente evidente quando vi si immette un atomo. Se ad esempio questo possiede
due livelli di energia Ea e Eb tali che Eb − Ea = ~ω n , risentirà delle fluttuazioni del
campo a questa frequenza. Se per esempio è caratterizzato dalle funzione d’onda va , vb ,
interagendo col campo fluttuante si porterà in uno stato αva e−iEa t/| +βvb e−iEb t/| , creando
un momento di dipolo oscillante alla frequenza angolare (Ea − Eb ) /~ che accoppiandosi
con le fluttuazioni del
facendo
q e.m.
q
³ campo
´ irradierà
³
´ decadere l’atomo da Eb a Ea .
|
|ωn
si comportano come variabili coniLe ampiezze Bn = X εo ωn , En = P εo
ugate di un oscillatore armonico di frequenza angolare ω n , associato agli operatori di
distruzione e creazione.
In particolare nello stato |0i la densità di probabilità f (E) che il campo elettrico abbia
ampiezza E è descritta dalla Gaussiana
Esercizio 8.12.4. Si consideri una cavità cilindrica di altezza L lungo l’asse z, che
risuoni sul modo fondamentale TM011 . Discutere gli andamenti delle linee del campo
elettrico e magnetico.
Soluzione: I campi sono dati da
´
³π ´
³
(E)
(E)
Ẽz 011 (ρ, z) = J0 κ01 ρ cos
z
L
³π ´
β 01 0 ³ (E) ´
(E)
Ẽρ 011 (ρ, z) = (E)
J0 κ01 ρ sin
z
L
κ01
Pertanto le linee di campo sono descritte dalle equazioni
´
³
´
³
(E)
(E)
0
(E)
´
³π
κ
ρ
J
d κ01 ρEE
0
01 EE
Ẽ 011
¡ zEE ¢ = ρ(E)
´ tan
zEE
= ³
(E)
L
d π L
Ẽz 011
J0 κ ρ
01
ovvero
EE
J 0 (ξ)
dξ
= 0
tan ζ
dζ
J0 (ξ)
Ponendo
f (ξ) =
Z
1
si ha
ζ=
½
ξ
J0 (x)
dx
J00 (x)
cos−1 exp [C − f (ξ)] L/2 > z > 0
π − cos−1 exp [C − f (ξ)] L > z > L/2
Il grafico di Fig. (8.31) evidenzia che le linee di campo sono normali alle due basi
z = 0, L ed alle pareti ρa = 2.41.
20
En (t) = En 0 cos (ω n t + ϕn ) ha le dimensioni di un campo elettrico per
√
V
8.13 Scattering di Mie
349
Figura 8.31: Linee di campo elettrico per una cavità cilindrica che risuona sul modo TM011 . Il campo
lungo l’asse del cilindro di altezza ha varia come sin πz/h
8.13
Scattering di Mie
Esercizio 8.13.1. Si consideri una sfera di raggio a ed indice di rifrazione n2 , immersa
in un mezzo di indice n2 e privo di sorgenti. (a) Ricavare le ampiezze dei campi sui due
lati della discontinuità. (b) Si analizzi il coeﬃciente di riflessione dei vari modi sferici.
(E)
(c) Si consideri il caso limite in cui Vlm si annulla sulla superficie della sfera.
Soluzione: (a) Le onde E soddisfano il sistema di equazioni
¶
µ
l (l + 1) (E)
d (E)
Ilm
= iζ 1 −
V
dξ lm
ξ2
d (E)
1 (E)
Ilm = i Vlm
dξ
ζ
Ne discende che
(E)
= A(E) jl + B (E) hl
(E)
= −iζ 0 nIlm
(H)
= A(H) jl + B (H) hl
i (H)0
V
= −
.
ζ 0 n lm
Ilm
Vlm
(E)0
mentre per le H si ha:
Vlm
(H)
Ilm
Imponendo la continuità di I e V per le E si ottiene sulla superficie della sfera:
(E) ¡ ¢
(E) ¡ ¢
Ilm ξ̄ 1 = Ilm ξ̄ 2
(E)0 ¡ ¢
(E)0 ¡ ¢
n1 Ilm ξ̄ 1 = n2 Ilm ξ̄ 2
ovvero
(E) ¡ ¢
(E) ¡ ¢
(E) ¡ ¢
(E) ¡ ¢
A1 jl ξ̄ 1 + B1 hl ξ̄ 1 = A2 jl ξ̄ 2 + B2 hl ξ̄ 2
h
i
(E) 0 ¡ ¢
(E) 0 ¡ ¢
(E) 0 ¡ ¢
(E) 0 ¡ ¢
A1 jl ξ̄ 1 + B1 hl ξ̄ 1 = n A2 jl ξ̄ 2 + B2 hl ξ̄ 2
350
Onde elettromagnetiche
Espressioni analoghe si hanno per le H.
(b) Ponendo
(E)
(E)
(E)
(E)
(E)
A1 = 1 , B1 = −Rl , A2 = Tl
si ha
Ne discende che
¡ ¢
(E) ¡ ¢
(E) ¡ ¢
Rl hl ξ̄ 1 + Tl jl ξ̄ 2 = jl ξ̄ 1
¡ ¢
(E) ¡ ¢
(E) ¡ ¢
Rl h0l ξ̄ 1 + nTl j0l ξ̄ 2 = j0l ξ̄ 1
(E)
Rl
(E)
Tl
¡ ¢ ¡ ¢
¡ ¢ ¡ ¢
njl ξ̄ 1 j0l ξ̄ 2 − j0l ξ̄ 1 jl ξ̄ 2
¡ ¢ ¡ ¢
¡ ¢ ¡ ¢
=
nhl ξ̄ 1 j0l ξ̄ 2 − h0l ξ̄ 1 jl ξ̄ 1
¡ ¢ ¡ ¢
¡ ¢ ¡ ¢
j0l ξ̄ 1 hl ξ̄ 1 − h0l ξ̄ 1 jl ξ̄ 1
¡ ¢ ¡ ¢
¡ ¢ ¡ ¢
=
nhl ξ̄ 1 j0l ξ̄ 2 − h0l ξ̄ 1 jl ξ̄ 1
(8.53)
Per le onde H valgono le stesse espressioni con n sostituito da n−1 .
(c) Se V (E) = 0 sulla superficie della sfera si avrà
¡ ¢
j0l ξ̄ 2 = 0
e
(E)
Rl
Se si pone
ovvero
(E)
Rl
si ha
¡ ¢
j0l ξ̄ 1
= 0¡ ¢
hl ξ̄ 1
¡ ¢
j0l ξ̄ 1
¡ ¢ = tan δ (E)
l
0
nl ξ̄ 1
¡ ¢
(E)
j0l ξ̄ 1
(E)
= 0 ¡ ¢ = sin δ l eiδl
hl ξ̄ 1
s
√
∞
´
X
4π
2l + 1 ³
(E) iδ (E)
(E)
l
l
jl (ξ 1 ) − hl (ξ 1 ) sin δ l e
i
Yl1 (Ω)
I (r) =
k1 l=1
l (l + 1)
(8.54)
Esercizio 8.13.2. Si consideri un’onda piana polarizzata circolarmente
Ẽ (r) = (x̂ + iŷ) eikz
a cui corrisponde21 l’onda E di corrente I (E)
s
√
∞
X
4π
2l + 1
I (E) (r) =
il
jl (ξ 1 ) Yl1 (Ω)
k1 l=1
l (l + 1)
e tensione
V (H) (r) = −iI (E) (r)
(a) calcolare il campo scatterato da una sfera di raggio a ed indice di rifrazione n À 1;
(b) Calcolare la potenza totale scatterata e la sezione d’urto . (c) Discutere il caso in cui
k2 a ¿ 1 (scattering di Rayleigh).
21
v. J. Schwinger, loc. cit. pag. 266 Sez. 46.4
8.13 Scattering di Mie
351
Soluzione: (a) Il campo scatterato è associato alla tensione (v- (8.54))
s
√
∞
X
(E)
4π
2l + 1
(E)
hl (ξ 1 ) sin δ l eiδl Yl1 (Ω)
il
I (E) (r) = −
k1 l=1
l (l + 1)
s
√
∞
(E)
4π X l
2l + 1 0
(E)
(E)
V
hl (ξ 1 ) sin δ l eiδl Yl1 (Ω)
(r) = iζ 0
i
k0 l=1
l (l + 1)
A grande distanza si può porre
hl (ξ) ' (−i)l+1 eiξ
per cui
s
√
∞
X
(E)
4π
2l + 1
(E)
I (E) (r) = −i
sin δ l eiδl Yl1 (Ω)
eiξ1
k1
l (l + 1)
l=1
V (E) (r) = ζI (E) (r)
Si vede pertanto che il campo scatterato è caratterizzato dalle fasi δ l .
(b) La potenza totale scatterata si ottiene integrando il vettore di Poynting relativo
al campo scatterato su una sfera di raggio molto gande. A grande distanza isulta
¯2
1
1 ¯¯
¯
S̃ = Ẽ × H̃ =
¯Ẽ⊥ (Ω)¯ n̂
2
2ζ
dove (v. (8.27))
Ẽ⊥ = −∇⊥ V (E)
si ha
Psc(E)
D’altra parte
∇⊥ V (E)
per cui
1
= r2
2ζ
Z
∞
√ eikr X
= −iζ 4π
il
k l=1
Psc(E)
¯
¯
¯∇⊥ V (E) ¯2 dΩ
s
(E)
2l + 1
(E)
sin δl eiδl ∇⊥ Yl1
l (l + 1)
2π X
(E)
= 2 r2
(2l + 1) sin2 δ l
k ζ l=1
∞
Tenuto conto che la potenza dell’onda incidente è stata posta uguale a Pinc = ζ1 , la sfera
presenta una sezione d’urto pari a
σ
(E)
∞
2π X
(E)
=
(2l + 1) sin2 δ l
(2π)4 k2 l=1
(c) Quando ka ¿ 1 si ha che il termine dominante è quello con l = 1. Inoltre si ha
ξ2
3
ξ4
1
h1 (ξ) '
−i
3
ξ
j1 (ξ) '
352
Onde elettromagnetiche
per cui
¯ 0
¯
¯ jl (ξ) ¯ 2 3
¯
¯
¯ h0 (x) ¯ = 3 ξ
l
In particolare ne discende che la sezione d’urto nello scattering di Rayleigh da parte di
una sfera metallica o dielettrica con alto n investita da un’onda E risulta pari a:
¶2
µ
2π
2
4 (2π)5 a6
3
(E)
(k1 a)
=
σ = 23
k
3
3 λ41
Ripetendo i cacoli per la componente H si può dimostrare22 che ad essa corisponde una
sezione d’urto σ (H) = σ (E) /4.
8.14
Potenziali di Debye
Esercizio 8.14.1. Dimostrare che utilizzando i potenziali di Debye i campi Ẽ (r) , B̃ (r)
sono esprimibili nella forma23
∙
∞ X
l
X
¸
i
fl (kr) Xlm (Ω) + ∇×gl (kr) Xlm (Ω) ,
Ẽ (r) =
k
l=0 m=−l
∙
¸
∞ X
l
X
i
B̃ (r) =
gl (kr) Xlm (Ω) − ∇×fl (kr) Xlm (Ω) .
k
l=0 m=−l
Il vettore
(8.55)
1
Xlm (Ω) = p
LYlm (Ω)
l (l + 1)
sta per l’armonica sferica vettoriale mentre
L = − ir × ∇
rappresenta l’operatore momento angolare. fl (kr) e gl (kr) sono integrali della parte
radiale dell’equazione di Helmholtz
¶
µ
fl (kr)
l (l + 1)
1 d 2d
2
r
−
=0
+
k
gl (kr)
r2 dr dr
r2
esprimibili cme combinazioni lineari di hl (kr) e jl (kr):
fl (kr) = Afhl (kr) + Bf jl (kr)
gl (kr) = Ag hl (kr) + Bgjl (kr)
22
23
v. J. Schwinger, loc. cit. pag. 266 Eq. (46.102)
J. Schwinger, loc. cit. pag. 266 Sez. 50.4 Prob. 4
Capitolo 9
Relazioni costitutive
La magnetoidrodinamica o magnetofluidodinamica (anche abbreviata MHD da magnetohydrodynamics), è la disciplina che studia la dinamica dei fluidi elettricamente conduttori.
Tra questi si annoverano i plasmi, i metalli liquidi, e l’acqua marina. La parola magnetoidrodinamica deriva da magneto- (riferita al campo magnetico), idro- (riferita all’acqua,
ma in questo caso generalizzata a tutti i fluidi) e dinamica (che significa movimento). La
disciplina della magnetoidrodinamica fu studiata da Hannes Alfvén, per cui ricevette il
premio Nobel nel 1970, e da Jean-Pierre Petit negli anni sessanta.
L’insieme di equazioni che descrivono la magnetoidrodinamica è una combinazione
delle equazioni di Navier-Stokes, dalla fluidodinamica, e le equazioni di Maxwell, dall’elettromagnetismo. Queste equazioni diﬀerenziali devono essere risolte simultaneamente.
Questo compito è impossibile da condurre simbolicamente, tranne che nei casi più semplici. Per i problemi più realistici, si cercano soluzioni numeriche tramite l’uso di supercomputer. Poiché la magnetoidrodinamica tratta corpi continui, non può trattare fenomeni
cinetici, ad esempio quelli per cui è importante l’esistenza di particelle discrete, o di una
distribuzione non termica delle loro velocità[1].
Tuttavia, è possibile una deduzione rigorosa delle equazioni della magnetoidrodinamica a partire dai principi primi, cioè dell’equazione cinetica per un insieme di ioni ed
elettroni immersi in un campo magnetico, introducendo poi le ipotesi opportune sulle
collisioni fra le particelle, che permettono di passare dai moti microscopici alle variabili
fluide macroscopiche: questo problema è stato aﬀrontato in modo rigoroso dal fisico russo
Stanislav Braginskij negli anni intorno al 1960[2]. In termini molto semplici, la magnetoidrodinamica richiede che la frequenza di collisioni fra le particelle sia abbastanza
elevata da permettere il raggiungimento di una distribuzione di Maxwell per le particelle
componenti il fluido o il plasma.
Magnetoidrodinamica ideale
L’approssimazione più comune della magnetoidrodinamica è di assumere che il fluido
sia un conduttore elettricamente perfetto e cioè abbia una conducibilità elettrica \sigma
\rightarrow \infty per cui le equazioni di Maxwell si riducano esattamente a quelle della
magnetostatica, potendo trascurare il campo elettrico; questa semplificazione porta alla
magnetoidrodinamica ideale:
\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B})
\,
Per l’insieme completo di equazioni della magnetoidrodinamica ideale bisogna quindi
aggiungere due equazioni:[3] la legge di conservazione della massa,
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \,
353
354
Relazioni costitutive
e l’equazione del moto di Newton,
\rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \rho (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}
= \mathbf{J} \times \mathbf{B} - \nabla p \,
in cui al secondo membro compaiono la forza elettromagnetica e pressione meccanica.
Nel regime ideale la magnetoidrodinamica impone che le linee di campo magnetico non
possano muoversi attraverso il fluido, rimanendo legate alle stesse zone di fluido a tutti
i tempi: questo risultato prende il nome di Teorema di Alfvén, che è un analogo fluido
della legge di Lenz. Sotto queste condizioni la maggior parte delle correnti elettriche
tendono ad essere compresse in zone sottili, quasi bidimensionali, chiamate current sheets
(letteralmente lamine di corrente). Questo ha l’eﬀetto di dividere il fluido in domini
magnetici, ognuno dei quali possiede una piccola corrente elettrica nella direzione delle
linee di campo.
La connessione tra le linee di campo magnetico ed il fluido in regime ideale fissa la
topologia del campo magnetico nel fluido; ad esempio, se un numero di linee di campo
sono annodate, esse rimarranno tali finché il fluido continuerà a mantenere una resistività
trascurabile. La diﬃcoltà di rompere le linee di campo per riconnetterle in un modo
diverso fa sì che il plasma possa accumulare una grande quantità di energia magnetica,
sotto forma di velocità fluida che scorre nel sistema. Questa energia può essere resa
disponibile se le condizioni della magnetoidrodinamica ideale vengono meno, dando origine
ai fenomeni noti come riconnessione magnetica.
Magnetoidrodinamica ideale all’equilibrio
In condizioni di equilibrio vi è un’ulteriore semplificazione, ottenuta eliminando nelle
equazioni le derivate temporali. Si ottengono in questo modo le equazioni della magnetoidrodinamica ideale all’equilibrio:
\qquad \nabla p = \mathbf{J} \times \mathbf{B} \
\qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} \
\qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \
Tali equazioni non contengono più la velocità fluida, ma sono le correnti, i campi
magnetici, e la pressione del fluido. In generale, un fluido conduttore o un plasma sono
in equilibrio se le correnti e i campi magnetici bilanciano la pressione interna del fluido,
che tende ad espandere il fluido stesso. In particolare, la prima equazione mostra che le
superfici isobare (cioè, a pressione costante) sono superfici a flusso magnetico costante,
ovvero sono superfici di flusso. Con tali equazioni si possono analizzare, ad esempio, i dispositivi di confinamento magnetico, utilizzati in particolare negli acceleratori di particelle
e nell’ambito della fusione nucleare.
Limiti della magnetoidrodinamica ideale
Dal momento che il plasma, pur essendo un buon conduttore elettrico, non è un conduttore perfetto, il campo magnetico non è perfettamente congelato, ma può muoversi
seguendo una legge di diﬀusione, dove la resistività del plasma gioca il ruolo di un coeﬃciente di diﬀusione: infatti, combinando la legge di Ohm con \mathbf{v}=0, la legge di
induzione magnetica:
-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times \mathbf{E}
e la legge di Ampère:
\nabla \times \mathbf{B} = \mu \mathbf {J}
si ottiene:
- \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \frac{1}{\sigma \mu} \nabla \times
\nabla \times \mathbf B = - \mathcal D_B \, \nabla^2 \mathbf{B} \, .
che è un’equazione della diﬀusione con diﬀusività magnetica \mathcal D_B = \frac
355
1 {\mu \sigma}. Il tempo \tau_B = \frac {L^2}{\mathcal D_B} , dove L rappresenta
la dimensione tipica del sistema, svolge un ruolo fondamentale nel caratterizzare i plasmi
magnetizzati, ed è noto come tempo di diﬀusione magnetica o semplicemente tempo resistivo. Le equazioni della magnetoidrodinamica ideale sono valide quindi su tempi piccoli
rispetto a \tau_B. Di solito questi tempi sono molto lunghi, per cui la magnetoidrodinamica ideale mantiene la sua validità: siccome però la definizione del tempo resistivo
implica anche una distanza spaziale, questo significa che su distanze piccole la magnetoidrodinamica ideale può venire meno più facilmente che su distanze grandi. Spesso
infatti in piccoli spessori di plasma, dette resistive layers (strati resistivi), \tau_R risulta
essere troppo piccolo perché la magnetoidrodinamica ideale funzioni.
Nonostante queste regioni siano veramente piccole, esse nondimeno sono suﬃcienti
alla formazione di instabilità note come instabilità tearing, che riescono a rompere e
riconnettere le linee di campo magnetico, e quindi a violare le condizioni restrittive sulla
topologia che la magnetoidrodinamica ideale normalmente impone.
I fenomeni di riconnessione legati alle instabilità di tipo tearing sono normalmente
molto distruttivi, perché implicano il rilascio dell’energia magnetica precedentemente
accumulata nella configurazione topologica antecedente alla riconnessione: ne sono un
esempio i brillamenti (o flare) solari.
Applicazioni
Geofisica
Il nucleo fluido della Terra e di altri pianeti è ritenuto produrre, tramite meccanismi interpretabili all’interno della magnetoidrodinamica, il campo magnetico terrestre su
tempi molto più lunghi del tempo di diﬀusione resistiva. Questi fenomeni sono noti come
dinamo, in analogia alla dinamo in elettrotecnica.
Fenomeni simili alla dinamo sono ritenuti essere molto importanti anche per la dinamica soggiacente alla formazione delle aurore[4].
Astrofisica
La magnetoidrodinamica si applica con una certa facilità in astrofisica, dato che il
99% della materia barionica nell’Universo è costituita da plasma, fra cui le stelle, il mezzo
interplanetario (cioè, la regione di spazio fra un pianeta e l’altro), lo spazio interstellare,
le nebulose, ed i jet relativistici.
Le macchie solari sono causate dai campi magnetici del sole, come fu teorizzato
da Joseph Larmor nel 1919. Il vento solare è pure un tipo di plasma governato dalla
magnetoidrodinamica.
Il cadere della magnetoidrodinamica ideale, nella forma di riconnessione magnetica,
è alla base della formazione dei brillamenti o flare, le più grandi esplosioni nel sistema
solare. Il campo magnetico in una regione solare attiva, corrispondente a una macchia, è
responsabile di fenomeni ciclici di riconnessione, accumulando e liberando energia sotto
forma di raggi X, radiazione, e rilascio di particelle che formano il vento solare.
Ingegneria e fisica della fusione nucleare controllata
La magnetoidrodinamica è uno strumento essenziale per potere descrivere i complessi meccanismi che regolano l’equilibrio e la stabilità dei dispositivi di confinamento
magnetico all’interno della fusione termonucleare controllata. Questi dispositivi sono un
laboratorio unico dove testare modelli interpretativi, poi utilizzati anche in altri ambiti
(come l’astrofisica e la geofisica). In modo molto simile al sole, fenomeni in cui la magnetoidrodinamica ideale viene meno, cioè i fenomeni di riconnessione magnetica, sono
fondamentali nel determinare le proprietà di trasporto nei plasmi magnetizzati per la
fusione[5].
356
Relazioni costitutive
Propulsione magnetoidrodinamica nella fiction
La propulsione magnetoidrodinamica è citata nel romanzo La grande fuga dell’Ottobre
Rosso di Tom Clancy (e nel film tratto dal libro).
Inoltre, in tutti i libri di Clive Cussler riguardanti la nave Oregon della Corporation,
tale sistema viene spesso enfatizzato dato che tale imbarcazione è appunto propulsa con
questa tecnologia. In realtà la prima apparazione della propulsione magnetoidrodinamica
nei libri di Cussler è nel libro Walhalla, con protagonista Dirk Pitt (il personaggio chiave
che ha fatto la fortuna dei libri di Cussler), dove era il sistema di propulsione della nave
Emerald Dolphin. Tralasciando le vicende narrative specifiche del romanzo, Cussler ha poi
utilizzato permanentemente questa tecnologia propulsiva nello spin-oﬀ narrativo dedicato
appunto alla Oregon della Corporation (la serie dedicata a Cabrillo).
9.1
Modello di Drude
Esercizio 9.1.1. Analizzare il campo e.m. prodotto da un’onda piana incidente normalmente su un metallo di assegnata conducibilità elettrica e frequenza di plasma che occupa
il semispazio z>0. Calcolare in funzione della frequenza (a) il coeﬃciente di riflessione,
(b) il campo all’interno del metallo, (c) il campo di temperatura all’interno dello stesso
Soluzione: La costante dielettrica di un metallo è rappresentata nel modello di Drude
da
ε̃ = 1 −
ω 2p
iωγ + ω 2 − ω 2p
=
= (ñr + iκ̃)2
ω(iγ + ω)
ω(iγ + ω)
con ωp frequenza di plasma
ωp =
Per ω = 0 si riduce a
s
(9.1)
ne e2
mε0
ω 2p
σ0
=i
ε̃ (0) = i
ωγ
ε0 ω
con
ω 2p
ne e2
= ε0
me γ
γ
conducibilità elettrica in continua. ñr e κ̃ (> 0) stanno per la parte reale dell’indice di
rifrazione e per il coeﬃciente di estinzione. Per ω ¿ ω p
( ω2
− ωp2 γ ¿ ω ¿ ωp
ε̃ '
= (ñr + iκ̃)2
ω 2p
i ωγ ω ¿ γ ¿ ω p
σ0 =
da cui segue per ñ
½
ωp
i γ ¿ ω ¿ ωp
ñr + iκ̃ '
iπ/4
e
ω ¿ γ ¿ ωp
ω
Per incidenza normale il metallo è caratterizzato da un coeﬃciente di riflessione pari a
ñ − 1
r=
ñ + 1
che per ω ¿ ω p si riduce ad 1.
9.1 Modello di Drude
357
Figura 9.1: Modulo del coeﬃciente di riflessione per incidenza normale per un metallo per diversi valori
di γ/ω p = 0.05, 0, 1, 02, 0, 4
Esercizio 9.1.2. Il coeﬃciente di riflessione di un materiale dipende dall’angolo di incidenza e dalla polarizzazione (onda p/s=polarizzazione parallela/perpendicolare al piano
di incidenza) secondo le formule di Fresnel
p
ñ2 cos θ − ñ2 − sin2 θ
tan (θ0 − θ)
p
=
rp = −
tan (θ0 + θ)
ñ2 cosθ + ñ2 − sin2 θ
p
−cosθ + ñ1 ñ2 − sin2 θ
sin (θ0 − θ)
p
=
rs = −
sin (θ0 + θ)
cosθ + ñ2 − sin2 θ
con θ e θ0 angoli di incidenza e rifrazione ed ñ indice di rifrazione. In particolare rp si
annulla per un particolare valore di θ = θB detto angolo di Brewster
p
ñ2 cosθB =
ñ2 − sin2 θB
ñ4 − ñ4 sin2 θB = ñ2 − sin2 θB
ñ2
= sin2 θB
ñ2 + 1
ñ = tan θB
ñ
θB = arcsin √
2
ñ + 1
Dalla misura di θB si può risalire a ñ. Nel caso di ñ complesso anche θB risulta tale, per
cui è necessario illuminare il campione con un’onda evanescente. Analizzare l’andamento
della parte reale e immaginaria di θB per un metallo
Per un metallo si ha
ñ = ñr + iκ̃ =
da cui
θB = arcsin
s
s
iωγ + ω2 − ω2p
ω(iγ + ω)
iωγ + ω2 − ω2p
2iωγ + 2ω 2 − ω 2p
358
Relazioni costitutive
Figura 9.2: Parte reale (tendente a π/4 per ω → ∞) ed immaginaria dell’angolo di Brewster per un
metallo descritto dal modello di Drude con ω p =frequenza di plasma e γ = ω p /10
p
In particolare per ω À ω p θB → π/4 mentre per ω = ωp θB ' i γ/ω p
Esercizio 9.1.3. La funzione dielettrica degli elettroni di un metallo è legata alla frequenza dalla relazione
ω 2p
ε̃ = 1 −
ω(iγ + ω)
dove ω p sta per la frequenza di plasma, legata alla densità elettronica dalla relazione
s
ne e2
(9.2)
ωp =
me ε0
Per i metalli alcalini Li.Na,K,Rb,Cs le frequenze di plasma (espresse in lunghezze d’onda
λp = 2πc/ωp = c/fp ) sono riportate nella tabella1
⎤
⎡ ³ ´
λp Å
Li
Na
K
Rb
Cs
⎥
⎢
⎣ calcolata 1550 2090 2870 3220 3620⎦
misurata 1550 2100 3150 3400
Calcolare le rispettive (a) densità elettroniche e (b) costanti reticolari a tenendo presente
che questi metalli cristallizzano nel sistema bcc
Soluzione: (a) Tenendo presente che e = 1.6022 × 10−19 C, me = 9.1095 × 10−31 Kg,
ε0 = 8.8542 × 10−12 F/m, l’Eq. (9.2) si può riscrivere nella forma
√
fp ≈ 9 ne Hz
s
r
√
√
ne e2
1.60222 × 10−38
1
= ne
= 8.97873 ne ≈ 9 ne Hz
fp =
−31
−12
2π me ε0
9.1095 × 10 8.8542 × 10
1
v. C. Kittel, Introduzione alla Fisica dello Stato Solido, Casa Editrice Ambrosiana, Mi 2008, p. 399 e
Tabb. 3 e 4
9.2 Polarizzazione molecolare
359
con ne in m−3 . Pertanto
¶2 µ
¶2
µ
¢ 1030
¢
¡
¡
1
1
1036
1
c
3 × 108
3
3
³
´
³
´
³
´
=
=
ne =
=
elettroni/m
elettroni/cm
9λp
9 × 10−10
9 λ2 Å
9 λ2 Å
λ2p Å
p
p
da cui
⎡
⎤
elettroni/cm3
Li
Na
K
Rb
Cs
⎣ calcolata
4.62 × 1022 2.54 × 1022 1.35 × 1022 1.07 × 1022 8.48 × 1021 ⎦
misurata
4.62 × 1022 2.52 × 1022 1.12 × 1022 9.61 × 1021
(b) per un reticolo bcc la costante reticolare a è data da
a=
per cui
9.2
µ
2
ne
¶1/3
⎤
³ ´
a Å
Li
Na
K
Rb Cs
⎥
⎢
⎣ calcolata 3.51 4.28 5.30 5.71 6.18⎦
misurata 3.51 4.29 5.63 5.92
⎡
Polarizzazione molecolare
Nel 1917 L. S. L. Silberstein2 di trattare una molecola investita da un campo Ẽ ext ∝
ˆe−i(ωt−k·r) come un insieme di dipoli ℘˜m , localizzati sui nuclei costituenti, su ognuno dei
quali agisce un campo locale (v. 3.3.1)
X
Γdip mn · ℘˜m ,
Ẽloc n = Ẽext n +
m6=n
con Ẽ n =Ẽ ext (Rn , ω) e Rn la posizione dell’atomo n-esimo, mentre Γnm = Γmn =
Γ (Rm − Rn , k) sta per la funzione di Green diadica (v. (7.10))
Γdip mn
³
´
³
´
1
1
= Γdip (Rn − Rm ) = −
3R̂R̂ − 1 = −
2R̂R̂ − 1⊥
4πε0 R3
4πε0 R3
calcolata nel limite statico in vista dela piccolezza di k |Rn − Rm | . Risolvendo rispetto a
℘˜n = ε0 α̃n · Ẽloc n con α̃n la polarizzabilità α̃℘n dell’atomo di indice n, si ottiene la relazione
2
L. S. L. Silberstein, Philos. Mag. 33, 92, 215 e 521 (1917). R. L. Rowell and R. S. J. Stein, J. Chem.
Phys. 47, 2985 (1967); E. M. J. Mortensen, J. Chem. Phys. 49, 3732 (1968); H. J. Devoe, J. Chem.
Phys. 43, 3199 (1965); R. R. J. Birge, J. Chem. Phys. 72, 5312 (1980); B. T. Thole, J. Chem. Phys.
59, 141 (1982); K. J. Miller, J. Am. Chem. Soc., 112, 8543 (1990)
360
Relazioni costitutive
tensoriale:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎢
⎢
= ⎢
⎢
⎣
D’altra parte
⎡
per cui
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
···
···
···
···
···
···
0
Γdip n−1,n Γdip n−1,n+1
· · · Γdip n,n−1
0
Γdip n,n+1
· · · Γdip n+1,n−1 Γdip n+1,n
0
···
···
···
···
⎤
···
Ẽloc n−1 − Ẽext n−1 ⎥
⎥
Ẽloc n − Ẽext n ⎥
⎥.
Ẽloc n+1 − Ẽext n+1 ⎦
···
···
℘˜n−1
℘˜n
℘˜n+1
···
⎤
⎡
⎢
⎥
⎢
⎥
⎥ = ε0⎢
⎢
⎥
⎣
⎦
···
0
0
0
0
0 α̃n−1 0
0
0
0
0
α̃n
0
0
0
0
0 α̃n+1 0
0
0
0
0
···
···
···
···
···
···
⎤ ⎡
⎤⎡
⎥⎢
⎥⎢
⎥ ·⎢
⎥⎢
⎦⎣
···
···
℘˜n−1
℘˜n
℘˜n+1
···
⎥ ⎢ Ẽloc n−1
⎥ ⎢
⎥ · ⎢ Ẽloc n
⎥ ⎢
⎦ ⎣ Ẽloc n+1
···
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ Ẽext n−1 ⎥
⎢
⎥
⎢ Ẽext n ⎥
⎢
⎥
⎣ Ẽext n+1 ⎦
···
⎡
···
···
···
···
⎢ Γdip n−1,n−2 α̃n−1
1
Γ
α̃
Γ
dip n−1,n n
dip n−1,n+1 α̃n+1
⎢
⎢
···
Γdip n,n−1 α̃n−1
1
Γdip n,n+1 α̃n+1
= ⎢
⎣
···
Γdip n+1,n−1 α̃n−1 Γdip n+1,n α̃n
1
···
···
···
···
···
···
···
···
···
⎤ ⎡
···
⎥ ⎢ Ẽloc n−1
⎥ ⎢
⎥ · ⎢ Ẽloc n
⎥ ⎢
⎦ ⎣ Ẽloc n+1
···
che invertita fornisce Ẽloc n in funzione di del campo esterno Ẽext n0 agente sui singoli atomi
⎤ ⎡
⎤
⎡
⎤⎡
···
···
···
···
···
···
···
⎢ Ẽloc n−1 ⎥ ⎢ · · · Λ̃n−1,n−1 Λ̃n−1,n Λ̃n−1,n+1 · · · ⎥ ⎢ Ẽext n−1 ⎥
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥⎢
⎢
⎥
⎢ Ẽloc n ⎥ = ⎢ · · · Λ̃n,n−1
⎥
(9.3)
·
Ẽ
Λ̃
Λ̃
·
·
·
ext n ⎥ .
n,n
n,n+1
⎥ ⎢
⎢
⎥⎢
⎣ Ẽloc n+1 ⎦ ⎣ · · · Λ̃n+1,n−1 Λ̃n+1,n Λ̃n+1,n+1 · · · ⎦ ⎣ Ẽext n+1 ⎦
···
···
···
···
···
···
···
Poichè Γdip mn è funzione di |Rm − Rn | ed i momenti di dipolo indotti sui singoli atomi
dipendono dalla disposizione dei vari atomi rispetto alla direzione di propagazione n̂ di
Ẽ ext . Il momento di dipolo indotto in Rm non è in generale parallelo a Ẽ n , ovvero Λ̃mn è
una matrice 3×3 con autovalori generalmente diversi tra loro. Se le distanze interatomiche
sono piccole rispetto a 1/k ha senso introdurre un momento di dipolo totale associandolo
ad una polarizzabilità complessiva della molecola α̃℘mol riferita al baricentro R0 :
X
X
℘˜n =
α̃n Λ̃nm · Ẽext m (Rm , ω) = α̃℘mol · Ẽext (R0 , ω) .
℘˜tot =
n
mn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
9.2 Polarizzazione molecolare
361
Queste considerazioni diventano significative nel caso di molecole con molti atomi.
In linea di principio si potrebbero utilizzare anche per lo studio dei solidi, anche se in
quest’ultimo caso si preferisce sfruttare sin dall’inizio la regolarità con cui gli atomi sono
distribuiti nel reticolo.
Esercizio 9.2.1. Si considerino due atomi in r1 e r2 , entrambi di polarizzabilità αp e
sottoposti ad un campo esterno uniforme Eext (a) calcolare i momenti di dipolo indotti,
(b) l’energia elettrostatica del sistema
Soluzione: I dipoli indotti ℘1,2 sono legati tra loro ed a Eext dal sistema di relazioni
lineari
℘1 − αp Γdip · ℘2 = ε0 αp Eext
℘2 − αp Γdip · ℘1 = ε0 αp Eext
dove R = r2 − r1 e
Γdip (R) =
Pertanto
℘1 −
Poichè
³
´
³
´
1
1
3
R̂
R̂
−
1
=
2
R̂
R̂
−
1
⊥
4πε0 R3
4πε0 R3
℘2 = αp Γdip · ℘1 + ε0 αp Eext
· (Γdip · ℘1 + ε0 Eext ) = ε0 αp Eext
¡
¢
1 − α2p Γdip · Γdip · ℘1 = ε0 αp (1 + αp Γdip ) · Eext
α2p Γdip
Γ2dip
¶2 ³
´
1
4R̂R̂ + 1⊥
4πR3
Ã
Ã
¶2 !
¶2 !
µ
µ
2αp
αp
1⊥
1−
R̂R̂ + 1 −
3
4πε0 R
4πε0 R3
Ã
Ã
µ
¶2 !−1
¶2 !−1
µ
αp
2αp
R̂R̂ + 1 −
1−
1⊥
4πε0 R3
4πε0 R3
¶
¶
µ
µ
2αp
αp
1⊥
1+
R̂R̂ + 1 −
4πε0 R3
4πε0 R3
µ
=
1 − α2p Γ2dip =
¡
¢−1
=
1 − α2p Γ2dip
1 + αp Γdip =
¡
¢−1
(1 − αp Γdip ) = AR̂R̂ + B1⊥
1 − α2p Γdip · Γdip
si ha
avendo posto
³
´
℘1 = ε0 αp AR̂R̂ + B1⊥ · Eext
¶2 !−1 µ
¶
2αp
2αp
1+
A =
1−
4πR3
4πR3
µ
³ α ´2 ¶−1 ³
αp ´
p
B =
1−
1−
4πR3
4πR3
Ã
µ
362
Relazioni costitutive
(b) L’energia elettrostatica sarà pertanto uguale a
1
1
℘1 · Eext + ℘2 · Eext
2 ³
2
´
= ε0 αp AR̂R̂ + B1⊥ : Eext Eext
¢
1 ¡
ε0 αk Ek2 + α⊥ E⊥2
=
2
V =
dove
Ã
αk = 2αp 1 −
Ã
α⊥ = 2αp 1 −
µ
µ
2αp
4πε0 R3
αp
4πε0 R3
¶2 !−1 µ
1+
¶2 !−1 µ
1−
2αp
4πε0 R3
αp
4πε0 R3
¶
¶
V dipende dall’orientamento della coppia di atomi rispetto al campo e la coppia è rappresentata da due suscettività eﬃcaci αk , α⊥ secondo che il campo sia parallelo o perpendicolare alla congiungente dei due atomi.
9.3
Funzione dielettrica per elettroni delocalizzati
Nei solidi gli elettroni sono descritti da funzioni d’onda nonlocalizzate per cui l’interpretazione locale di P cade in difetto quando la si applica alle bande di valenza e di
conduzione.
Limitandoci al caso statico, assumiamo che la polarizzazione del mezzo sia prodotta
dall’introduzione di una distribuzione di carica esterna qρext (r) . Esprimendo il vettore
spostamento D = ε0 ε̂Ẽ in funzione del campo elettrico introducendo l’operatore ε̂ costante
dielettrica (v. Sez. 10.1.2) definito da (v. Eq. (10.6))
D̃ (0, k) = ε0 ε̃ (0, k) Ẽ (0, k)
e trasformando le equazioni di Poisson per D̃ ed Ẽ
enind (r) − qρnext (r)
ε0
1
1
qnext (r)
− ∇ · D̃ = − ∇ · ε̂Ẽ = ∇2 Vext = −
ε0
ε0
ε0
−∇ · Ẽ = ∇2 V =
nello spazio k otteniamo
eñind (0, k)
eñind (0, k) − qñext (0, k)
=
+ k2 Ṽext (0, k)
ε0
ε0
qñext (0, k)
k2 Ṽext (0, k) = −
= k2 ε̃ (0, k) Ṽ (0, k)
ε0
k2 Ṽ (0, k) =
possiamo definire ε̃ (0, k) come rapporto tra i due potenziali
ε̃−1 (0, k) =
Ṽ (0, k)
Ṽext (0, k)
9.4 Oscillatori di Lorentz
363
Nel modello di Fermi-Thomas relativo al gas di elettroni di un metallo si ha
e
nind (r) = −κ2 V (r)
ε0
(9.4)
per cui
κ2
k2
Il modello di Fermi-Thomas può essere migliorato sostituendo la (9.4) con l’espressione
più accurata
ñind (0, k) = χ (k) Ṽ (0, k)
ε̃ (0, k) = 1 +
ovvero sostituendo la costante di schermaggio κ con una funzione χ (k) di k,
Z f 1 −f 1
e2
q− 2 k
q+ 2 k 3
dq
χ (k) = 3
2
|
4π
k·q
m
in cui fp sta per la funzione di distribuzione di Fermi-Dirac di elettroni liberi
µ 2 2 ε
¶
~ p k FT
1
b
´
³ 22
fp = fF
,e ,T =
|
p
/2m−ε
F
2m
+1
exp
kb T
Ne segue che ε̃ (0, k).è legata a χ (k) dalla relazione
ε̃ (0, k) = 1 − 4π
χ (k)
k2
(9.5)
In particolare, Lindhard3 ha mostrato che a T = 0 χ (k) è espressa da
µ
¶ ∙
¸
mkF
k
2
F
χ (k) = −e
~2 π 2
2kF
con F (x) la funzione di correlazione delle coppie di elettroni discussa nel Cap. 9 Eq.
(9.35) .
9.4
Oscillatori di Lorentz
9.5
Relazioni di dispersione di Kramers-Kronig
La polarizzabilità α̃p = α̃0p − iα̃00p è una funzione analitica di ω con poli nel semipiano
Im (ω) < 0. Infatti un’eccitazione alla frequenza di un polo induce una polarizzazione
∝e−i t . Poichè e−i t non può esplodere per t → ∞ la parte immaginaria di
deve
risultare negativa. Pertanto, possiamo esprimere α̃p (ω) in funzione di α̃p (z) relativo ad
un cammino chiuso contenuto nel semipiano Im (ω) > 0 utilizzando il teorema di Cauchy4 ,
I
α̃p (z)
1
dz .
α̃p (ω) =
2πi ω − z
3
4
J. Lindhard, Kgl. Danske Videnskab. Selskab Mat.-Fys. Medd 28, No. 8 (1954); G. Giuliani and G.
Vignale, Quantum Theory of the Electron Liquid, Cambridge Univ. Press 2005
v. p. e. D.B.Melrose and R.C.McPhedran, Electromagnetic Processes in Dispersive Media, Cambridge
Univ. Pres, Cambridge 1991
364
Relazioni costitutive
Se α̃p (z) → 0 per |z| → ∞ nel semipiano superiore, quest’ultimo integrale si riduce alla
coppia di relazioni per α̃0p (ω) ed α̃00p (ω)
Z ∞ 00 0
α̃p (ω ) 0
1
V.P
dω
(ω) =
0
π
−∞ ω − ω
Z ∞ 0 0
α̃p (ω ) 0
1
00
V.P.
dω
α̃p (ω) =
0
π
−∞ ω − ω
α̃0p
(9.6)
R
dove V.P. rappresenta il valor principale dell’integrale 5 , note come relazioni di dispersione di Kramers-Kronig.
Esercizio 9.5.1. Mostrare che la costante dielettrica ε̃ (ω) si può esprimere nella forma
Z ∞
f˜ (ω0 )
1
=1−i
dω0
0
ε̃ (ω)
ω
+
i
−
ω
−∞
con
→0 e
f˜∗ (ω 0 ) = f˜ (−ω 0 )
N.B. Si tenga conto dell’identità
1
= δ (x)
→0
x−i
R∞
Per semplicità conviene assumere che f (t) = −∞ f˜ (ω) e−iωt dω = f (−t) il che equivale
a porre
f˜ (ω) = iω Ṽ (ω)
lim Im
con Ṽ (ω) = Ṽ (−ω) e reale. Ne segue
1
=1−
ε̃ (ω)
Z
∞
−∞
ω 02 Ṽ (ω 0 )
0
2 dω
02
ω − (ω + i )
Imponendo la condizione
Im (ε̃) ≥ 0 ω ≥ 0
segue che
Ṽ (ω) ≥ 0
D’altra parte per ω À ω atom si ha
Z ∞
Z ∞
ω 2p
1
4πne e2
ω02 Ṽ (ω0 )
0
02
0
0
ω Ṽ (ω ) dω ≈ −
=− 2
2 dω ≈ − 2
02
ω −∞
me ω2
ω
−∞ ω − (ω + i )
ovvero
Z
∞
ω02 Ṽ (ω0 ) dω 0 =
−∞
Pertanto ridefinendo Ṽ
ω 02 Ṽ (ω 0 ) =
5
V.P .
Rb
f (x)
dx
a x−ω
= lim
→0
³R
ω−
a
+
Rb ´
ω+
f (x)
x−ω dx
ne e2
me
ne e2
q (ω0 )
me
9.6 Dispersione in ottica
365
Figura 9.3: Refractive index vs. wavelength for BK7 glass, showing measured points (blue crosses) and
the Sellmeier equation (red line).
con
q (ω0 ) ≥ 0 , ω 0 > 0
e
Z
∞
q (ω 0 ) dω0 = 1
0
si ha
1
= 1 − ω2p
ε̃ (ω)
In particolare
Z
∞
0
q (ω 0 )
dω 0
ω02 − (ω + i )2
µ ¶
Z ∞
q (ω 0 )
π ω2p
1
2
0
= −ω p
q (ω)
dω =
Im
ε̃
2 ω
ω 02 − (ω + i )2
0
9.6
Dispersione in ottica
9.7
Formula di Sellmeyer
9.8
Mezzi anisotropi
³
´
Esercizio 9.8.1. Calcolare l’indice di rifrazione ñ ω, k̂ di un materiale a risposta lineare:
³
´
D̃ (kμ ) = ε0 ε̃ ω, k̂ · Ẽ (kμ ) ,
H̃ (kμ ) = μ−1
0 B (kμ ) .
(9.7)
Soluzione: Dalla trasformata kμ del campo Ẽ (2.27-b) applicando l’identità k × k× =
kk − k2 si ottiene per M = 0 l’equazione d’onda di Helmholtz
´
³
c
(9.8)
ñ2 k̂k̂ + ε̃ − ñ2 · Ẽ = −i μ0 J̃ .
kv
366
Relazioni costitutive
³ ´
In particolare in assenza di correnti questa equazione fissa la dipendenza di ñ k̂,ω
da ω e k̂. Infatti, per k̂·Ẽ6= 0 essa implica che
k̂ ·
1
1
³
´
³
´ · k̂ =
³
´.
ñ2 ω, k̂ − ε̃ ω, k̂
ñ2 ω, k̂
(9.9)
A questa relazione vien dato il nome di equazione di Fresnel. Una volta
la
³ assegnata
´
direzione di propagazione k̂ e la frequenza ω l’indice di rifrazione ñ ω, k̂ si ottiene
risolvendo quest’ultima equazione di dispersione.
Esercizio 9.8.2. Analizzare i modi di propagazione di un mezzo dielettrico anisotropo
caratterizzato da un tensore dielettrico ε̃ e da una permeabilità magnetica scalare μ̃.
Soluzione: Per un tale mezzo i potenziali A,V del campo soddisfano le equazioni
−∇∇ · A + ∇2 A −
μ̃ ∂ 2
μ̃
∂
ε̃ · A − 2 ε̃·∇ V = 0
2
2
c ∂t
∂t ¶
µ c
∂
A + ∇V
= 0
∇ · ε̃·
∂t
Trasformando A e V nel dominio k,ω
A (r, t) = Ã (k, ω) e−i(ωt−k·r)
V (r, t) = Ṽ (k, ω) e−i(ωt−k·r)
le precedenti equazioni diventano
¢
¡
μ̃
kk − k2 + k02 μ̃ε̃ ·Ã − ω 2 ε̃ · kṼ = 0
c
³
´
k · ε̃· −iω Ã + ikṼ
= 0
da cui
Ṽ = ω
Pertanto,
k · ε̃ · Ã
k · ε̃ · k
Ẽ = iωÃ − ∇Ṽ = iω Ã − ikṼ = i
e
Ne segue che
ω
((k · ε̃ · k) − kk · ε̃) ·Ã
k · ε̃ · k
¶
µ
ε̃ · kk · ε̃
·Ã
D̃ = iω ε̃ −
k · ε̃ · k
i
−
ω
µ
¶−1
ε̃ · kk · ε̃
· D̃ = Ã
ε̃ −
k · ε̃ · k
ovvero la relazione D̃ ↔ Ã dipende dalla diade
D̃Ã = ε̃ −
ε̃ · kk · ε̃
k · ε̃ · k
9.9 Isolatori di Faraday
367
D’altra parte
µ
¶
ε̃ · kk · ε̃
k · ε̃ · k
D̃Ã · k = ε̃ · k −
·k = ε̃ · k 1 −
=0
k · ε̃ · k
k · ε̃ · k
³
´
ovvero se si decompone Ã parallelamente e perpendicolarmente a k Ã = Ãk + Ã⊥ si
ha
´
³
D̃ = iω D̃Ã· Ãk + Ã⊥ = iω D̃Ã · Ã⊥
Esercizio 9.8.3. Analizzare i modi di propagazione di un mezzo anisotropo caratterizzato
da un tensore dielettrico ε̃ e da uno magnetico μ̃
Soluzione: Per un materiale magnetico anisotropo si ha
∂2
∂
−∇ × μ̃ ·∇×A − μ0 ε0 2 ε̃ · A − μ0 ε0 ε̃·∇V
∂t
∂t
∂
∇ · ε̃· A + ∇ · ε̃·∇V
∂t
−1
= 0
= 0
Quando ε̃ e μ̃ si riducono a degli scalari tenendo conto della identità vettoriale ∇ ×
(∇ × a) = ∇ (∇ · a) − ∇2 a il precedente sistema si riduce a
−∇∇ · A + ∇2 A −
9.9
μ̃ ∂ 2
μ̃
∂
ε̃ · A − 2 ε̃·∇ V = −μ0 μ̃J
2
2
c ∂t
∂t ¶
µ c
ρ
∂
A + ∇V
= −
∇ · ε̃·
∂t
ε0
Isolatori di Faraday
L’eﬀetto Faraday, scoperto da Michael Faraday nel 1845, ha fornito la prima evidenza sperimentale che la luce è costituita da onde elettromagnetiche. Esso provoca una rotazione
del piano di polarizzazione di un’onda piana proporzionale alla componente del campo
magnetico nella direzione di propagazione. Questo eﬀetto si verifica in molti materiali
dielettrici (compresi liquidi) otticamente trasparenti sotto l’influenza dei campi magnetici. L’eﬀetto Faraday è usato per misurare potere ottico rotatorio di molte sostanze, per
il telerilevamento di campi magnetici, nella spintronica per studiare la polarizzazione di
spin elettronici in semiconduttori. Rotatori di Faraday sono usati per modulare d’ampiezza di luce, e sono alla base di isolatori ottici e circolatori ottici vengono utilizzati per
telecomunicazioni ottiche e altre applicazioni laser6 .
Esercizio 9.9.1. Analizzare i modi di propagazione di un mezzo girotropico descritto dal
tensore dielettrico
⎡
⎤
a −ig 0
ε̃ = ⎣ ig a 0 ⎦ ,
(9.10)
0
0 b
6
v.p.e. M. Schwartz , Principles of Electrodynamics, Dover Ed. N. Y. 1987, Sez. 7.6A; Yariv and P.
Yeh, Optical Waves in Crystals: Propagation and Control of Laser Radiation, J. Wiley, N.Y. 2002,
Sez. 4.10.
368
Relazioni costitutive
con
ω2pi
ω 2pe ω2pi
ω 2pe
−
, b=1− 2 − 2 ,
a = 1− 2
ω − ω 2ge ω2 − ω2gi
ω
ω
g =
ω 2 ω ge
ω2 ωgi
¡ pe
¢ + ¡ pi
¢,
ω ω 2 − ω 2ge
ω ω 2 − ω 2gi
Soluzione: Il tensore dielettrico ε̃ del plasma magnetizzato ha 3 autovalori b, a−g, a+g
corrispondenti rispettivamente agli autovettori ẑ, ix̂ + ŷ, −ix̂ + ŷ. Quindi, lungo l’asse di
magnetizzazione (z) si propagano con velocità diverse onde polarizzate circolarmente in
senso orario ed antiorario
√
√
√
√
E (z) = E (ix̂ + ŷ) e−i(ωt− ε0 μ0 a−gz) + E (−ix̂ + ŷ) e−i(ωt− ε0 μ0 a+gz) ,
+
−
Se l’onda è polarizzata linearmente lungo ŷ all’ascissa z = 0 (E+ = E− ) dopo aver percorso
un tratto l risulterà ancora polarizzata linearmente e ruotata rispetto ad ŷ di un angolo
¢
¡√
√
1√
θ (l) =
ε0 μ0 a + g − a − g l ' V Bl .
2
Simili fenomeni, oltre che nei plasmi, si presentano in molti dielettrici ed in tal caso V
prende il nome di costante di Verdet.
Se la stessa onda vien fatta propagare nel verso opposto ritornerà al punto di partenza
formando con ŷ un angolo 2θ (l) . Ne discende che la propagazione in questi mezzi non
è invertibile. Ciò è connesso alla mancanza di simmetria per inversione temporale delle
equazioni di Maxwell. Poichè il tensore di Eq. (9.10) non è simmetrico, l’Eq. (8.2)
non è valida. Questa proprietà viene sfruttata negli isolatori di Faraday. Questi dispositivi, costituiti da opportuni materiali a cui viene applicato un forte campo magnetico
B0 costante, sono progettati in modo che un fascio laser, che si propaghi parallelamente
a B0 , polarizzato linearmente all’ingesso A si presenti all’uscita B con la polarizzazione
ruotata di 450 . Iniettando in B il fascio trasmesso questo si presenterà in A polarizzato
a 900 e sarà quindi bloccato dal polarizzatore posto all’ingresso7 . Per queste applicazioni
si utilizzano dei materiali, quali i granati di terbio e gallio (TGG) che presentano una V
particolarmente elevata (≈ 40 rad T −1 m−1 ).
9.10
Mezzi periodici
Esercizio 9.10.1. Analizzare i modi di propagazione per un mezzo con funzione dielettrica ε̃ (r) scalare e periodica
Soluzione: Tenuto conto che il campo Ẽ (r,ω) soddisfa l’equazione d’onda
¡ 2
¢
∇ + ∇ ln ε̃ · ∇ + ∇∇ ln ε̃ · +ω2 μ0 ε̃ Ẽ (r,ω) = 0 .
mentre per un materiale magnetico anisotropo si ha
−∇ × μ̃−1 · ∇ × A − μ0 ε0
7
∂2
∂
ε̃ · A − μ0 ε0 ε̃·∇V
2
∂t
∂t
∂
∇ · ε̃· A + ∇ · ε̃·∇V
∂t
= −μ0 μ̃J
= −
ρ
ε0
Questo eﬀetto fu scoperto da M. Faraday nel 1845 e fornì la prima evidenza sperimentale della connessione tra luce ed eﬀetti magnetici. v.p.e. D. Budker, D. F. Kimball and D. P. DeMille, Atomic
Physics Oxford Univ. Press, Oxford, 2008, Prob. 4.1.
9.11 Pacchetti d’onda in mezzi dispersivi.
369
Quando ε̃ e μ̃ si riducono a degli scalari tenendo conto della identità vettoriale ∇ ×
(∇ × a) = ∇ (∇ · a) − ∇2 a il precedente sistema si riduce a
−∇∇ · A + ∇2 A −
9.11
μ̃ ∂ 2
μ̃
∂
ε̃ · A − 2 ε̃·∇ V = −μ0 μ̃J
2
2
c ∂t
∂t ¶
µ c
ρ
∂
A + ∇V
= −
∇ · ε̃·
∂t
ε0
Pacchetti d’onda in mezzi dispersivi.
Per mezzi che presentano sia dispersione nel tempo che nello spazio il campo elettrico può
essere posto nella forma
Z
1
E (r, t) =
e−i(ωk t−k·r) Ẽ (k, ω k ) d3 k ,
3
(2π)
dove ω k è soluzione di un’equazione di dispersione del tipo della (9.9). Spesso si utilizzano
impulsi e.m. i cui pacchetti d’onda presentino uno spettro Ẽ (k, ωk ) diverso da 0 in un
intorno di k0 suﬃcientemente stretto da giustificare le approssimazioni:
1
ωk = ω 0 + vg · ∆k + D : ∆k∆k ,
2
con ∆k = k − k0 , vg la velocità di gruppo e D la matrice di diﬀusione rappresentata
dall’hessiano della relazione di dispersione ω k ,
ω 0 = ω k0 , vg = ∇k ω k |k=k0 , D = ∇k ∇k ω k |k=k0 .
Il simbolo “:” indica il doppio prodotto. Il campo E (r, t) ha la forma di un pacchetto
d’onda
E (r, t) = e−i(ω0 t−k0 ·r) E0 (r, t) ,
con E0 (r, t) che varia lentamente nello spazio rispetto alla lunghezza d’onda e nel tempo
rispetto al periodo 2π/ω 0 , traslando con la velocità di gruppo vg ed allargandosi in accordo
con Eq. (9.12) e con la matrice di diﬀusione D.
Z
1
E (r, t) =
eik·r−i(ωk+k0 −ωk0 )t Ẽ0 (k) d3 k
3
(2π)
Z
i
1
'
eik·(r−vg t) e− 2 tD:kk Ẽ0 (k) (k) d3 k ,
3
(2π)
Si verifica facilmente utilizzando quest’ultima rappresentazione di E0 (r, t) che
µ
¶
∂
i
+ vg · ∇ + D :∇∇ E0 (r, t) = 0 .
∂t
2
Cambiando riferimento da r a r0 = r − vg t, l’ultima equazione diviene
¶
µ
i
∂
0 0
+ D :∇ ∇ E0 (r0 , t) = 0 .
∂t 2
370
Relazioni costitutive
Trasformando r0 in X = D−1/2 · r0 si vede facilmente che E0 (X; t) = E0 (r0 , t) è soluzione
di un’equazione simile a quella di diﬀusione (??) salvo per la presenza del coeﬃciente i,
i
∂
1
E0 (X, t) = ∇2 E0 (X, t) .
∂t
2
Pertanto, Φ (X; t) è legata a Φ (X; 0) dalla¡trasformazione
integrale (9.11) con Gdif f (r, Dt)
¢
1
i
√
(v. Eq. (??)) sostituito da
Gdif f |X| , 2 t
detkDk
µ
¶
¯ −1/2
¯ i
¢
¡
0
Gdif f ¯D
· (r − r )¯ , t E0 D−1/2 · r0 , 0 (X; 0) d3 r0 ,
2
(9.11)
µ
¶
µ 2¶
i
1
r
.
Gdif f r, t = 3/2 exp i
2
t
2t
¢
¡
1
E0 D−1/2 · r, t = p
det kDk
con
. Ne segue che:
1
E0 (r, t) = p
det kDk
Z
Z
µ
¶
¯ −1/2
¯ i
0
Gdif f ¯D
· (r − vg t − r )¯ , t E0 (r0 , 0) d3 r0 .
2
(9.12)
Nell’introdurre la trasformazione X = D−1/2 · r0 si è implicitamente assunto che gli
autovalori di D fossero positivi. E’ facile verificare che quest’ultima relazione non perde
di significato quando questi risultano negativi.
Nel caso di un inviluppo gaussiano 1D A (z 0 , 0) = exp (−z 02 /2σ 20 ) si trasforma al tempo
t in
√
µ
¶
2π
z 02
0
E0 (z , t) = q
exp −
t
i
2 (σ 20 + iDt)
−
D
σ 20
¶
µ
z 02
z 02
+i 2
,
= exp − 2
2σ (t)
2R (t)
con
σ (t) =
9.12
s
D2 t2
σ 20 + 2 , R (t) =
σ0
r
σ 40
+ Dt .
Dt
Mezzi non-lineari: Eﬀetto Kerr
8
9.12.0.1
8
compressione impulsi. Impulsi ulttracorti
v.p.e. D. Budker et al. loc. cit. pag. 368, Prob. 4.2.
9.13 Riepilogo grandezze elettriche e magnetiche
grandezze
simbolo
fisiche
capacità
C
carica
q
densità
ρ
di carica
conduttanza
conduttività
σ
corrente
I, i
densità
J, j
di corrente
densità
ρ
spostamento
D
campo elettrico
E
energia
E,U,W
densità
w
di energia
forza
dimensioni
SI
371
q
m1/2 l3/2
t
unità
SI
farad
coulomb
q
l3
m1/2
l3/2 t
coulomb/m2
statcoulomb/
tq 2
ml22
tq
ml3
q
t
3 × 103
l
t
1
t
m1/2 l3/2
t2
siemens
siemens/m
ampere
cm/sec
sec−1
statamper
q
l2 t
m1/2
l1/2 t2
9 × 1011
9 × 109
3 × 109
ampere/m2
statampere/c
m
l3
q
l2
ml
t2 q
ml2
t2
m
l3
m1/2
l1/2 t
m1/2
l1/2 t
ml2
t2
kg/m3
coulomb/m2
volt/m
joule
3 × 105
10−3
12π × 105
1
× 10−4
3
107
m
lt2
m
lt2
joule/m3
10
t2 q 2
ml2
dimensioni
Gaussiane
l
fattore
conversione
9 × 1011
3 × 109
Tabella 9.1: Dimensioni e unità di misura.
9.13
Riepilogo grandezze elettriche e magnetiche
ρ=densità di carica elettrica per unità di volume, espresso in C/m3 (C = Coulomb).
E=campo elettrico, V /M—rappresenta il gradiente dell’energia o il momento che agisce
su un dipolo elettrico ℘. La risposta di un materiale ad un campo E è originato da una
polarizzazione P, espressa in C/m2 —momento di dipolo elettrico per unità di volume
= ℘/m3 . D = P+ε0 E =vettore induzione, espresso in C/m2 con ε0 = 8.854 × 10−12
F/m.(F = F araday). In un materiale dielettrico a risposta lineare P=ε0 χE, e D =ε0 ε̂E
con χ=suscettività dielettrica e ε̂=costante dielettrica relativa. P e D indicano entrambi
come un materiale risponde ad un campo E.
H= campo magnetico, A/m —rappresenta il gradiente della densità di energia magnetica o il momento che agisce su un dipolo magnetico. B= vettore induzione, espresso in
Tesla T o W eber/m2 —numero di linee di campo per unità di area. M= magnetizzazione,
A/m—momento magnetico per unità
R di volume. La risposta di un materiale ad un campo
i
H è originato da una corrente i = J (r)·n̂dσ che produce un campo tangenziale H = 2πr
o
−7
da un materiale magnetico. B dipende da H nello spazio libero B = μ0 H con μ0 = 4π10
Henry/m mentre in un materiale B = μ0 (H + M) = μ0 μr H con μr = permeabilità relativa
o M = H(μr − 1) = χH con χ = μr − 1 =suscettività. M e B indicano entrambi come un
materiale risponde ad un campo H. Per l’assenza di cariche magnetiche le linee di forza di
B sono continue. Spesso si usano unità cgs: B (Oersted) = H (Gauss) + 4πM (emu/cc)
legate a quelle MKS dalle relazioni 1 Oe = (1000/4π) A/m = 79.6 A/m ;1 G = 10−4 T
; 1 emu/cc = 1 kA/m
unità
Gaussiane
cm
statcoulom
g/cm3
statcoulomb/
statvolt/cm
statvolt
erg/cm3
372
Relazioni costitutive
grandezze
fisiche
dimensioni
SI
simbolo
dimensioni
Gaussiane
unità
SI
fattore
di conversione
unità
Gaussiane
fattore
di conversione
unità
Gaussiane
Tabella 9.2: Dimensioni e unità di misura.
grandezze
fisiche
dimensioni
SI
simbolo
dimensioni
Gaussiane
unità
SI
Tabella 9.3: Dimensioni e unità di misura.
sistema
ε0
μ0
D, H
Gaussiano
1
1
D = E + 4πP
H = B − 4πM
MKS
10−9
36π
4π × 10−7
D = ε0 E + P
H = μ1 B − M
0
eq.di
Maxwell
∇ · D = 4πρ
∇ × H = 4πJ
+ 1c ∂D
c
∂t
∇·B=0
∇ × E = − 1c ∂B
∂t
∇·D=ρ
∇ × H = J + ∂D
∂t
∇·B=0
∇ × E = − ∂B
∂t
Tabella 9.4: Riepilogo unità Gaussiane e MKS
forza di
Lorentz
¡
q E+
v
c
¢
×B
q (E + v × B)
9.14 Costanti di uso generale
9.14
373
Costanti di uso generale
grandezza
costante di Planck
costante di Boltzmann
carica elettrone
massa elettrone
rapporto carica/massa
lunghezza d’onda di Compton
simbolo
h
|
kB
e
me
|e|
me
λC =
h
me c
e2
4πε0 me c2
raggio classico elettrone
massa protone
massa neutrone
unità massa atomica
numero di Avogadro
costante di Faraday di Avogadro
magnetone di Bohr
magnetone nucleare
momento magnetico elettrone
momento magnetico protone
momento magnetico neutrone
r0 =
Mp
Mn
1
a.m.u. = 12
M12 C
NA
F = NA e
e|
μB = 2m
e
e|
μN = 2M
p
me
mp
mn
costante di struttura fine
α=
raggio prima orbita di Bohr
costante di Rydberg
per massa nucleare infinita
costante di Rydberg idrogeno
permeabilità spazio libero
permittività spazio libero
e2
4πε0 |c
2
0|
a0 = 4πε
me e2
me e4
1 2
2
R = 8ε
2 h3 c = 2 α me c
0
RH
μ0
ε0
impedenza spazio libero
ζ0 =
costante di Stefan-Boltzmann
σ=
t
μ0
ε0
4
2π 5 kB
15h3 c2
valore MKSA
6.62618 × 10−34 Js
1.05459 × 10−34 Js
1.38066 × 10−34 J/K
1.60219 × 10−19 C
9.10953 × 10−31 kg
1.75880 × 1011 C/kg
2.42631 × 10−12 m
2.81794 × 10−15 m
1.67265 × 10−27 kg
1.67492 × 10−27 kg
1.66057 × 10−27 kg
6.02205 × 1023 mol−1
9.64846 × 104 C/mol
9.27408 × 10−24 J/K
5.05082 × 10−27 J/K
1.00116 μB
2.79285 μN
−1.91315 μN
1
137.036
5.29177 × 10−11 m
1.09737 × 107 m−1
1.09678 × 107 m−1
4π × 10−7 H/m
8.854 × 10−12 F/m
376.730 ' 120π Ω
5.67051 × 10−8 J/sm2 K 4
Spesso l’energia è espressa in elettron-Volt. Dalle equivalenze
eV = ~ω = h
discende che:
c
= kB T ,
λ
⎧
2.1797 × 1014 Hz (frequenza)
⎪
⎪
⎨
1.23985 μm (lunghezza d’onda)
1 eV ⇔
,
8065.48 cm−1 (numero d’onda)
⎪
⎪
⎩ 1.16045 × 104 K (temperatura)
Indice analitico
adsorbimento, 107, 108
angolo
di lancio (pitch angle), 140, 141
angolo di Brewster, 343
apertura numerica
fibre ottiche, 315
approssimazione di onda rotante, 114
armoniche sferiche, 81
armoniche sferiche vettoriali, 338
autovalori
eq. dispersione striscia dielettrica, 301
azione, 121
B Oersted, 112
Bloch F. [1905-1983], 114
bottiglia magnetica, 140, 141
Bragg, W.H. [1862—1942], 60
campi
modi guide rettangolari, 324
campi vettoriali
solenoidali, 13, 246
trasversi, 13, 246
campo geomagnetico, 140, 142
campo irradiato da un elettrone
in un’orbità generica, 242
in un’orbita circolare, 268, 278
campo locale, 98, 100, 106
campo magnetico H
A/m MKS Gauss CGS, 357
campo magnetico quadrupolare, 110
campo/i
4-tensore del campo e.m., 51, 52
4-vettore d’onda, 285
e.m. in prossimità di un fuoco, 202, 286
integrale di Luneburg-Debye, 202
espansione in modi, 331
irradiato da un elettrone, 263, 272
locale, 346
onde piane, 51, 285
caustiche, 291
centri curvatura, 290
Chu S. [1948, ], 205
cinture di van Allen, 140
Cohen-Tannoudji C. [1933, ], 205
Compton A.H. [1892—1962], 61
congruenze
raggi meridiani, 318
connessione aﬃne
coeﬃcienti di connessione
simboli di Christoﬀel, 8, 74
derivata covariante, 8
Levi-Civita, 8, 74
coordinate
cilindriche, 10
ottiche, 286
sferoidali, 10
spazio-tempo, 41
corpo nero, 334
corrente
longitudinale, 246
trasversa, 246
carica puntiforme, 247
costante
di propagazione
modo e.m., 333
di schermaggio, 349
di Verdet, 354
dielettrica
di Lindhard, 349
metalli, 349
costante di Madelung, 100
costante di scambio, 112
costanti fisiche, 359
decomposizione campi vettoriali, 13, 246
Dehmelt H. G. [1922, ], 205
densità
di carica esterna ed indotta, 51
di energia elettromagnetica
mezzi dispersivi, 284
plasma, 284
di modi
cavità elettromagnetica, 332
di probabilità ampiezza campo E, 334
densità spettrale
energia irradiata, 252, 281
radiazione di bremsstrahlung, 265
enrgia irradiata
luce di sincrotrone, 266
potenza irradiata, 252
istantanea luce di sincrotrone, 266
media luce di sincrotrone, 266
totale luce di sincrotrone, 274
deuterone, 88
diﬀusione
di una perturbazione, 355
pacchetti d’onda Gaussiani, 356
diﬀusione onde e.m.
scattering Compton, 62
scattering elettroni legati, 164, 198
dispersione
pacchetti d’onda e.m., 355
distribuzioni, 21
eﬀetto
Compton, 62
Faraday, 353
Mossbauer, 64
Sagnac, 73
Stewart-Tolman, 133
energia
elettromagnetica, 56
magnetica, 66
375
376
elettrone in movimento, 66
equazione
BMT, 66
caratteristica
fibre step-index, 318
d’onda
di Helmholtz, 331, 333
del moto
dello spin elettronico, 64
spin elettronico, 66
del moto BMT, 65
dell’energia di un elettrone in un campo e.m., 121,
156, 190
dell’iconale, 17
di Bessel, 23, 316
di Bessel modificata, 25
di Bessel non omogenea, 27
di Bessel sferica, 25
di Bethe-Bloch, 262
di Bloch, 114
di continuità, 51
di Fresnel, 352
di Helmholtz, 233
di Laplace, 100
di Mathieu, 30
di Poisson, 95
di precessione dello spin, 65
di una geodesica, 74
equazioni
di Bloch, 113, 116
di Eulero-Lagrange, 121, 123, 171, 180, 219
covarianti, 130
di Kert-Siebert, 129
di Maxwell-Schiﬀ, 69
espansione
interazione coulombiana, 90
espansione campo e.m.
in armoniche sferiche, 83, 90
in modi, 331
esperimento
di Mossbauer, 64
evento, 41
Faraday M. [1791-1867], 354
fasce di van Allen, 143
fase particella accelerata, 211
ciclotrone, 220
sincrotrone, 213
fase sincrona, 213
fattore di Landè
nucleare, 113
Feynman R.P. [1918—1988], 162, 196
fibre ottiche, 310
flusso induzione magnetica Weber, 357
flusso magnetico
orbitale, 139
formula
del boost, 47
della rotazione, 45
di Abraham-Lorentz, 162, 196
di Gaunt, 91
di Larmor, 253, 277
di Rayleigh funzioni Bessel sferiche, 30
formule
di Fresnel, 343
forza
ponderomotiva, 198
particella polarizzabile, 201
Indice analitico
forze
di van der Waals, 107
Fourier J.B.[1768 — 1830], 33
frequenza
di betatrone, 129
di ciclotrone, 65, 124, 125, 220
di Larmor, 65
di plasma, 342, 344
di Rabi, 113
frequenza di sincrotrone, 216
frequenza normalizzata, 300, 318
fronti d’onda
centri curvatura, 290
funzione
delta di Dirac, 21
di Airy, 16
di Bessel, 316
modificata, 316
di Green
equazione di diﬀusione, 356
scalare, 233
scalare 2D, 235, 262
scalare trasformata di Fourier, 234
tensoriale, 236
di Hankel, 316
di Struve, 27
funzioni
di Bessel, 23
di Bessel di prima specie, 23
rappresentazione integrale, 27
di Bessel di seconda specie, 23
di Bessel modificate di prima specie, 25
di Bessel modificate di seconda specie, 25
di ordine 1/3,2/3,5/3, 30
di Bessel sferiche di prima specie, 25
di Bessel sferiche di seconda specie, 25
di Hankel, 24
di Struve, 255
funzioni d’onda
oscillatore armonico, 334
gauge
di Coulomb, 123, 245
potenziale vettore, 247
di Lorentz, 53, 123, 236
radiativa, 245
geodesica, 74
nulla, 74
guide d’onda, 322
circolari, 322
dielettriche, 299
relazione di dispersione, 300, 301, 328
rettangolari, 322
H Gauss, 112
Hamiltoniana, 121
Hansch T. [1941, ], 205
Helmholtz H [1821, 1894], 204
identità di Green, 11
identità di Jacobi, 27, 159, 193, 268, 271, 278, 280
idrogeno
moto a rosetta di Sommerfeld, 131
indice di campo, 129
indice di rifrazione
metalli, 342
induzione magnetica B
Tesla MKS Oersted CGS, 357
Indice analitico
integrale
di Coulomb j’, 94
di Luneburg-Debye, 202
di sovrapposizione, 94
integrale di Coulomb, 95
elettroni conduzione, 97
molecole, 94
integrale di diﬀrazione
di Luneburg-Debye, 286
integrale di scambio, 95
elettroni conduzione, 97
molecole, 94
integrali
diretti (coulombiani), 90
integrali del moto
elettrone relativistico in un potenziale coulombiano,
131
integrali interazioni densità elettroniche
molecole, 93, 94
interazione radiazione-materia
laser cooling, 204
pinzette ottiche, 202
pressione di radiazione, 203
reazione di radiazione, 203
invarianti adiabatici, 135, 137
I invariante, 138
Kramers H.A. [1894-1952], 350
Kronig R. de L. [1904-], 350
Lagrangiana
covariante, 130
covariante carica puntiforme, 130
lagrangiana, 121
covariante elettrone, 131
metrica di Schwarzschild, 76
legge
di Snell, 169
lente sottile, 174
lenti elettrostatiche, 171
cilindri coassiali, 174
lunghezze focali, 174
lenti magnetiche, 181
Glazer, 189
lunghezza focale, 186
quadrupolo, 187
spira di corrente, 186
Lorentz H. A. [1853—1928], 42, 162, 196
luce di sincrotrone
Elettra, 276
ESRF, 276
M emu/cc, 112
magnetismo
magnetizzazione, 50
magnetizzazione
saturazione, 112
magnetizzazione M
Tesla MKS emu/cc CGS, 357
magnetizzazione M
Tesla MKS emu/cc CGS, 357
magnetone di Bohr
nucleare, 113
mappa
di Taylor, Greene and Chirikov, 39
particella carica in campo elettrico impulsato, 155
standard, 39
web di Zaslavski, 155
377
materiali
fluoruro di bario (BaF2), 61
grafite (C), 62
ioduro di cesio (CsI), 61
molibdeno (Mo), 62
matrici di Pauli, 45
metodo
del cammino di massima pendenza, 15, 28
dello steepest descent, 29
WKB, 16
metodo di integrazione
SP, 14
metrica
di Schwarzschild, 75
mezzi girotropici, 353
microscopio
scansione campo vicino (SNOM), 288
modello
di Fermi-Thomas, 349
modi
campo e.m., 331, 332, 354
linearmente polarizzati, 305
modi TE (H)
striscia dielettrica, 299
modi TM (E)
striscia dielettrica, 300
momento
di dipolo elettrico, 249
di quadrupolo, 88
di quadrupolo elettrico, 249
momento angolare, 162, 196
momento magnetico
elettrone con movimento a spirale, 138
orbitale, 139
momento magnetico orbitale, 137
Mossbauer R.L. [1929—...], 64
moto
a rosetta, 133
a spirale, 122
di deriva, 138
movimento precessione
nucleo, 113
multipoli elettrici e magnetici, 81
omomorfismo, 45
onde piane
espansione in onde sferiche, 28
ondulatore, 226
radiazione emessa, 279
traiettoria, 227
traiettorie elettroni, 226
operatore
di creazione e distruzione
bosoni, 334
oscillazioni
di betatrone, 129
oscillazioni di plasma, 342
oscillazioni di sincrotrone, 216
pacchetti d’onda
e.m., 355
parametri
di Cayley-Klein, 45
di Eulero, 45
parametro di saturazione, 203
parametro di scorrimento, 213
pattern di Airy, 35
permeabilità magnetica Henry/m, 357
378
Phillips W. D. [1948, ], 205
pinzette ottiche, 202
polarizzabilità
atomica, 345
molecole, 345—347
polarizzazione, 50
potenza irradiata
distribuzione di correnti, 252, 281
potenza irradiata da un elettrone, 253
potenziale medio di eccitazione, 262
potenziali
legame gauge di Lorentz, 236
potenziali e.m.
di Liénard-Wiechert, 238, 248
moto uniforme, 239
di Lienard-Wiechert
moto uniforme, 263
potenziale 4-vettore, 50
precessione
di Thomas, 49
principio
indeterminazione di Heisenberg
campi e.m., 334
quadricorrente, 51
tensore campo F, 52
tensore campo G, 52
vettore potenziale e.m., 285
vettore velocità, 42
quantizzazione
campo e.m., 334
oscillatori, 334
radiazione
Cerenkov, 241, 263
cono emissione, 241, 263
deensità spettrale, 263
vertice cono emissione, 242
di bremsstrahlung, 263
di ciclotrone, 276
potenza irradiata, 276
di ondulatore
potenza irradiata, 279
di sincrotrone, 272
densità spettrale, 272, 274
densità spettrale potenza totale, 274
frequenza critica, 269
potenza irradiata totale, 274
raﬀreddamento
laser cooling, 204
raggi, 290
raggi cosmici, 144
raggio
di Bohr, 62
di Compton, 62
raggio nucleo, 89
rapporto giromagnetico, 65
nucleo, 113
relazioni costitutive
di Minkowski, 54
indice di rifrazione, 285
mezzi girotropici, 354
relazioni di dispersione
di Kramers-Kronig, 350
modi e.m., 300, 301, 333
relazioni di ricorrenza
funzioni di Bessel, 25
Indice analitico
funzioni di Bessel modificate, 25
riferimento proprio, 48
rilassamento
spin-reticolo, 114
spin-spin, 114
tempo rilassamento longitudinale
spin-reticolo, 114
tempo rilassamento trasversale
spin-spin, 114
rotazioni, 45
saddle point, 14
scatterring
di Rayleigh, 336
sezione d’urto
sfera, 337
Thomson, 277
simbolo 6j, 86
simmetrie
inversione temporale, 354
sistema riferimento
proprio, 42
tempo proprio, 42
sistemo dinamico, 39
soluzione
anticipata, 237
ritardata, 237
sorgenti e.m., 50
spazio delle fasi, 39
specchio magnetico, 140, 142
spettro
diﬀusione da elettroni legati, 164, 198
radiazione di sincrotrone, 272
spettroscopia
gamma (Mossbauer), 64
meccanismi allargamento righe, 63
spin
4-vettore, 65
stabilità
equazione di Mathieu, 30
striscia ddielettrica (slab), 299
struttura iperfine
momento di quadrupolo del nucleo, 88
suscettività NMR, 115
tempo proprio, 41
tempo ritardato, 237—239, 241
tensore
metrico, 8
sforzi elettromagnetici, 57
teorema
addizione armoniche sferiche, 83
di Green, 11
di Parseval, 33, 34
di partizione di Helmholtz, 12, 246
di Plancherel, 33, 34
di Poynting dominio frequenza, 284
di reciprocità, 283
energia e.m. per mezzi dispersivi , 284
Thomas L.H. [1903—1992], 49, 65
trappole
di Paul, 207
di Penning, 208
magneto-ottica (MOT), 205
trasformate
di Fourier, 33
di Fourier-Bessel (Hankel), 34
di Hankel (Fourier-Bessel), 34
Indice analitico
di Hilbert, 37
trasformazione di gauge, 122
trasformazioni di Lorentz, 42
pure (boost), 42
unità di misura
cgs, 357
Fermi, 89
SI (MKS), 357
sistema SI, 50
velocitá
di gruppo, 355
vento solare, 148
vettore
controvariante, 41
covariante, 41
d’onda, 285
di Poynting, 56
di Rabi, 114
induzione magnetica B, 50
magnetizzazione M, 81
vettore di Poynting, 162, 196
379