Esercizi di algebra lineare. Discussione di sistemi lineari

Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizi di algebra lineare.
Discussione di sistemi lineari
Lezione 31 ottobre 2016
Matematica generale. Corso A
Lezioni del 31 ottobre 2016
Esercizi di algebra lineare
Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Esercizio 1. Tratto dal compito del 14 luglio 2011.
Discutere al variare del parametro reale k le soluzione del sistema
Ax = b dove




1 2 3
2k
A =  1 k 4  , b =  3k − 1  ,
4 8 k
k +4
b) Posto k = 1 risolvere con il metodo di Cramer il sistema lineare.
Lezioni del 31 ottobre 2016
Esercizi di algebra lineare
Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Osservazione preliminare:
dalle dimensioni delle matrici A e [A|b ] si ha che:
r (A) ≤ 3 ed r (A|b ) ≤ 3. In particolare r (A) = 3 se det A 6= 0.
Lezioni del 31 ottobre 2016
Esercizi di algebra lineare
Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Osservazione preliminare:
dalle dimensioni delle matrici A e [A|b ] si ha che:
r (A) ≤ 3 ed r (A|b ) ≤ 3. In particolare r (A) = 3 se det A 6= 0.
Inoltre se r (A) = 3 allora r (A|b ) = 3 e quindi il sistema ammette
una sola soluzione.
Calcoliamo il determinante di A.
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Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Osservazione preliminare:
dalle dimensioni delle matrici A e [A|b ] si ha che:
r (A) ≤ 3 ed r (A|b ) ≤ 3. In particolare r (A) = 3 se det A 6= 0.
Inoltre se r (A) = 3 allora r (A|b ) = 3 e quindi il sistema ammette
una sola soluzione.
Calcoliamo il determinante di A.
det(A) = k 2 − 14k + 24.
det(A) = 0 per k = 12, 2.
da cui det(A) 6= 0 e quindi r (A) = 3, per k 6= 12, 2.
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Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Osservazione preliminare:
dalle dimensioni delle matrici A e [A|b ] si ha che:
r (A) ≤ 3 ed r (A|b ) ≤ 3. In particolare r (A) = 3 se det A 6= 0.
Inoltre se r (A) = 3 allora r (A|b ) = 3 e quindi il sistema ammette
una sola soluzione.
Calcoliamo il determinante di A.
det(A) = k 2 − 14k + 24.
det(A) = 0 per k = 12, 2.
da cui det(A) 6= 0 e quindi r (A) = 3, per k 6= 12, 2.
Di conseguenza:
Per k 6= 12 e k 6= 2, r (A) = r (A|b ) = 3
il sistema ammette una sola soluzione.
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Esercizi di algebra lineare
Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Resta da stabilire cosa succede quando k = 2 e quando k = 12.
Sostituendo k = 2 nella matrice A e nel vettore dei termini noti b
si ha:
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Esercizi di algebra lineare
Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Resta da stabilire cosa succede quando k = 2 e quando k = 12.
Sostituendo k = 2 nella matrice A e nel vettore dei termini noti b
si ha:


 
1 2 3
4



5 
A= 1 2 4 , b=
4 8 2
6
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Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Resta da stabilire cosa succede quando k = 2 e quando k = 12.
Sostituendo k = 2 nella matrice A e nel vettore dei termini noti b
si ha:


 
1 2 3
4



5 
A= 1 2 4 , b=
4 8 2
6
In questo
caso r (A) = 2 dato che la sottomatrice di A
1 3
A1 =
ha determinante diverso da 0.
1 4
Per stabilire la caratteristica di [A|b ] applico il Teorema di
Kronecker e calcolo i determinanti delle sottomatrici quadrate di
ordine 3, che contengono A1 .
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Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Una sottomatrice di [A|b ], di ordine 3, che contiene A1 è A che so
già avere determinante nullo.

1 3 4
L’altra sottomatrice è B1 =  1 4 5  il cui determinante è
4 2 6
nullo dato che la terza colonna è somma delle prime due. Da ciò
segue che r [A|b ] = 2 = r (A)
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Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Una sottomatrice di [A|b ], di ordine 3, che contiene A1 è A che so
già avere determinante nullo.

1 3 4
L’altra sottomatrice è B1 =  1 4 5  il cui determinante è
4 2 6
nullo dato che la terza colonna è somma delle prime due. Da ciò
segue che r [A|b ] = 2 = r (A)
Di conseguenza:
Per k = 2 si ha r (A) = r (A|b ) = 2
il sistema ammette ∞1 soluzioni.
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Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Resta da stabilire cosa succede quando k = 12
Sostituendo k = 12 nella matrice A e nel vettore dei termini noti b
si ha:
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Esercizi di algebra lineare
Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Resta da stabilire cosa succede quando k = 12
Sostituendo k = 12 nella matrice A e nel vettore dei termini noti b
si ha:




1 2 3
24
A =  1 12 4  , b =  35  ,
4 8 12
16
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Esercizi di algebra lineare
Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Resta da stabilire cosa succede quando k = 12
Sostituendo k = 12 nella matrice A e nel vettore dei termini noti b
si ha:




1 2 3
24
A =  1 12 4  , b =  35  ,
4 8 12
16
In questo
caso r (A) = 2 dato che la sottomatrice di A
1 2
A1 =
ha determinante diverso da 0.
1 12
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Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Resta da stabilire cosa succede quando k = 12
Sostituendo k = 12 nella matrice A e nel vettore dei termini noti b
si ha:




1 2 3
24
A =  1 12 4  , b =  35  ,
4 8 12
16
In questo
caso r (A) = 2 dato che la sottomatrice di A
1 2
A1 =
ha determinante diverso da 0.
1 12
Per stabilire la caratteristica di [A|b ] applico il Teorema di
Kronecker e calcolo i determinanti delle sottomatrici quadrate di
ordine 3, che contengono A1 .
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Esercizi di algebra lineare
Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Una sottomatrice di [A|b ], di ordine 3
già avere determinante nullo.
1 2

L’altra sottomatrice è B1 = 1 12
4 8
pari a −800 e quindi diverso da 0.
Lezioni del 31 ottobre 2016
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
che contiene A1 è A che so

24
35  il cui determinante è
16
Esercizi di algebra lineare
Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Una sottomatrice di [A|b ], di ordine 3
già avere determinante nullo.
1 2

L’altra sottomatrice è B1 = 1 12
4 8
pari a −800 e quindi diverso da 0.
Di conseguenza:
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
che contiene A1 è A che so

24
35  il cui determinante è
16
Per k = 12 si ha r (A) = 2 mentre r (A|b ) = 3
il sistema non ammette soluzioni.
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Esercizi di algebra lineare
Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Riepilogando
k
6= 2, 12
2
12
r (A)
3
2
2
r (A|b )
3
2
3
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Soluzioni
1 soluzione
∞1 soluzioni
nessuna soluzione
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Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Riepilogando
k
6= 2, 12
2
12
r (A)
3
2
2
r (A|b )
3
2
3
Soluzioni
1 soluzione
∞1 soluzioni
nessuna soluzione
Il punto b) è lasciato come esercizio.
Per k = 1 il sistema ha la sola soluzione
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7 3 3
11 , 11 , 11
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Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Esercizio 2. Dal compito di settembre 2011
a) Discutere al variare di k le soluzioni del sistema lineare Ax = b,
essendo:




1
k −1
0
 .
0  , b=
k +1
A =  k +1
0
0
(k + 1)(k − 2)
b) Posto k = 2 risolvere il sistema.
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Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
a) Osservazione preliminare:
dalle dimensioni delle matrici A e [A|b ] si ha che:
r (A) ≤ 2 ed r (A|b ) ≤ 3. In particolare
r (A|b ) = 3 se det(A|b ) 6= 0.
In questo caso, qualunque sia la caratteristica di A, il sistema non
ha soluzioni. Calcoliamo il determinante di [A|b ].
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Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
a) Osservazione preliminare:
dalle dimensioni delle matrici A e [A|b ] si ha che:
r (A) ≤ 2 ed r (A|b ) ≤ 3. In particolare
r (A|b ) = 3 se det(A|b ) 6= 0.
In questo caso, qualunque sia la caratteristica di A, il sistema non
ha soluzioni. Calcoliamo il determinante di [A|b ].
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Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
a) Osservazione preliminare:
dalle dimensioni delle matrici A e [A|b ] si ha che:
r (A) ≤ 2 ed r (A|b ) ≤ 3. In particolare
r (A|b ) = 3 se det(A|b ) 6= 0.
In questo caso, qualunque sia la caratteristica di A, il sistema non
ha soluzioni. Calcoliamo il determinante di [A|b ].
det(A|b ) = (k + 1)2 (k − 1) (k − 2)
det(A|b ) = 0 per k = −1, k = 1, k = 2.
da cui det(A|b ) 6= 0 e quindi r (A|b ) = 3, per k 6= −1, 1, 2.
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Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
a) Osservazione preliminare:
dalle dimensioni delle matrici A e [A|b ] si ha che:
r (A) ≤ 2 ed r (A|b ) ≤ 3. In particolare
r (A|b ) = 3 se det(A|b ) 6= 0.
In questo caso, qualunque sia la caratteristica di A, il sistema non
ha soluzioni. Calcoliamo il determinante di [A|b ].
det(A|b ) = (k + 1)2 (k − 1) (k − 2)
det(A|b ) = 0 per k = −1, k = 1, k = 2.
da cui det(A|b ) 6= 0 e quindi r (A|b ) = 3, per k 6= −1, 1, 2.
Di conseguenza:
Per k 6= −1, k 6= 1 e k 6= 2,
Il sistema non ha soluzione.
r (A|b ) = 3 e r (A) ≤ 2.
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Esercizio
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1.
2.
3.
4.
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Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Resta da stabilire cosa succede quando k = −1, k = 1 e k = 2.
Sostituendo k = −1 nella matrice A e nel vettore dei termini noti
b si ha:
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1.
2.
3.
4.
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Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Resta da stabilire cosa succede quando k = −1, k = 1 e k = 2.
Sostituendo k = −1 nella matrice A e nel vettore dei termini noti
b si ha:


 
1 −2
0



0  .
A= 0 0
, b=
0 0
0
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Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
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Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Resta da stabilire cosa succede quando k = −1, k = 1 e k = 2.
Sostituendo k = −1 nella matrice A e nel vettore dei termini noti
b si ha:


 
1 −2
0



0  .
A= 0 0
, b=
0 0
0
In questo caso r (A) = 1 dato che le due colonne di A sono
proporzionali.
Poiché per k = −1 il sistema è omogeneo,
r (A) = 1 = r (A|b ) e quindi il sistema ammette ∞1 soluzioni
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Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Sostituendo k = 1 nella matrice A e b si ha:
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Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
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Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Sostituendo k = 1 nella matrice A e b si ha:




1 0
0
A= 2 0  , b= 2  .
0 0
−2
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Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Sostituendo k = 1 nella matrice A e b si ha:




1 0
0
A= 2 0  , b= 2  .
0 0
−2
In questo caso r (A) = 1 dato che la seconda colonna di A è
composta da zeri
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1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Sostituendo k = 1 nella matrice A e b si ha:




1 0
0
A= 2 0  , b= 2  .
0 0
−2
In questo caso r (A) = 1 dato che la seconda colonna di A è
composta da zeri
1 0
Poiché per k = 1 la sottomatrice di [A|b ] B1 =
ha
2 2
determinante diverso da zero, si ha r (A|b ) = 2.
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2.
3.
4.
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Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Sostituendo k = 1 nella matrice A e b si ha:




1 0
0
A= 2 0  , b= 2  .
0 0
−2
In questo caso r (A) = 1 dato che la seconda colonna di A è
composta da zeri
1 0
Poiché per k = 1 la sottomatrice di [A|b ] B1 =
ha
2 2
determinante diverso da zero, si ha r (A|b ) = 2.
Per k = 1, r (A) = 1 e r (A|b ) = 2 il sistema non ha soluzioni.
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2.
3.
4.
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Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Sostituendo k = 2 nella matrice A e b si ha:
Lezioni del 31 ottobre 2016
Esercizi di algebra lineare
Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Sostituendo k = 2 nella matrice A e b si ha:


 
1 1
0



3  .
A= 3 0
, b=
0 0
0
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Esercizi di algebra lineare
Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Sostituendo k = 2 nella matrice A e b si ha:


 
1 1
0



3  .
A= 3 0
, b=
0 0
0
In questo
caso r (A) = 2 dato che la sottomatrice di A
1 1
A1 =
ha determinante diverso da zero,
3 0
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Esercizi di algebra lineare
Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Sostituendo k = 2 nella matrice A e b si ha:


 
1 1
0



3  .
A= 3 0
, b=
0 0
0
In questo
caso r (A) = 2 dato che la sottomatrice di A
1 1
A1 =
ha determinante diverso da zero,
3 0
Poiché per k = 2 det (A|b ) = 0 e A1 è anche una sottomatrice di
[A|b ], r (A|b ) = 2.
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Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Sostituendo k = 2 nella matrice A e b si ha:


 
1 1
0



3  .
A= 3 0
, b=
0 0
0
In questo
caso r (A) = 2 dato che la sottomatrice di A
1 1
A1 =
ha determinante diverso da zero,
3 0
Poiché per k = 2 det (A|b ) = 0 e A1 è anche una sottomatrice di
[A|b ], r (A|b ) = 2.
Per k = 2, r (A) = 2 e r (A|b ) = 2 il sistema ha una soluzione.
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Esercizi di algebra lineare
Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Riepilogando
k
6= −1, 1, 2
−1
1
2
r (A)
2
1
1
2
r (A|b )
3
1
2
2
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Soluzioni
nessuna soluzione
∞1 soluzioni
nessuna soluzione
1 soluzione
Esercizi di algebra lineare
Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
b) Come visto in precedenza, per k = 2 si ha Sostituendo k = 2
nella matrice A e b si ha:


 
1 1
0
A= 3 0  , b= 3  .
0 0
0
Il sistema è equivalente al sistema costituito dalle prime due
equazioni ovvero A1 x = b1 dove
1 1
0
A1 =
, b1 =
.
3 0
3
Applicando il metodo dell’inversa:
0
1
0 31
x = A1−1 =
=
.
3
−1
1 − 13
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Esercizi di algebra lineare
Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Esercizio 3.
a) Discutere al variare di k le soluzioni del sistema lineare Ax = b,
essendo:
1 k + 1 −1
k −1
A=
, b=
.
k
2
4+k
6
b) Posto k = 1 risolvere il sistema con il “metodo di Cramer”.
c) Posto k = 0 risolvere il sistema con il “metodo dell’inversa”.
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Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
a) Osservazione preliminare:
dalle dimensioni delle matrici A e [A|b ] si ha che:
r (A) ≤ 2 ed r (A|b ) ≤ 2. In particolare se r (A) = 2 allora anche
r (A|b ) = 2 ed il sistema ammette ∞1 soluzioni.
Calcoliamo la caratteristica A.
N.B. A non è una matrice quadrata!!!!!
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Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
a) Osservazione preliminare:
dalle dimensioni delle matrici A e [A|b ] si ha che:
r (A) ≤ 2 ed r (A|b ) ≤ 2. In particolare se r (A) = 2 allora anche
r (A|b ) = 2 ed il sistema ammette ∞1 soluzioni.
Calcoliamo la caratteristica A.
N.B. A non è una matrice quadrata!!!!!
1 k +1
Consideriamo la sottomatrice A1 =
,
k
2
det(A1 ) = 2 − K 2 − k
det(A1 ) = 0 per k = −2, 1.
da cui det(A1 ) 6= 0 e quindi r (A) = 2, per k 6= −2, 1.
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Sulle soluzioni di un sistema lineare
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
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Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
a) Osservazione preliminare:
dalle dimensioni delle matrici A e [A|b ] si ha che:
r (A) ≤ 2 ed r (A|b ) ≤ 2. In particolare se r (A) = 2 allora anche
r (A|b ) = 2 ed il sistema ammette ∞1 soluzioni.
Calcoliamo la caratteristica A.
N.B. A non è una matrice quadrata!!!!!
1 k +1
Consideriamo la sottomatrice A1 =
,
k
2
det(A1 ) = 2 − K 2 − k
det(A1 ) = 0 per k = −2, 1.
da cui det(A1 ) 6= 0 e quindi r (A) = 2, per k 6= −2, 1.
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Sulle soluzioni di un sistema lineare
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Esercizio
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2.
3.
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Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
a) Osservazione preliminare:
dalle dimensioni delle matrici A e [A|b ] si ha che:
r (A) ≤ 2 ed r (A|b ) ≤ 2. In particolare se r (A) = 2 allora anche
r (A|b ) = 2 ed il sistema ammette ∞1 soluzioni.
Calcoliamo la caratteristica A.
N.B. A non è una matrice quadrata!!!!!
1 k +1
Consideriamo la sottomatrice A1 =
,
k
2
det(A1 ) = 2 − K 2 − k
det(A1 ) = 0 per k = −2, 1.
da cui det(A1 ) 6= 0 e quindi r (A) = 2, per k 6= −2, 1.
Di conseguenza:
Per k 6= 1 e k 6= −2, r (A) = r (A|b ) = 2
il sistema ammette ∞1 soluzioni.
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Esercizio
1.
2.
3.
4.
Matrice dei coefficienti quadrata
Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Resta da stabilire cosa succede quando k = 1 e quando k = −2.
Sostituendo k = 1 in A e b si ha:
1 2 −1
0
A=
, b=
.
1 2 5
6
r (A) = 2 dato che la sottomatrice di A A2 =
1 −1
1 5
determinante diverso da zero.
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Esercizi di algebra lineare
ha
Sulle soluzioni di un sistema lineare
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2.
3.
4.
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Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Resta da stabilire cosa succede quando k = 1 e quando k = −2.
Sostituendo k = 1 in A e b si ha:
1 2 −1
0
A=
, b=
.
1 2 5
6
r (A) = 2 dato che la sottomatrice di A A2 =
1 −1
1 5
determinante diverso da zero. Di conseguenza:
Per k = 1,
r (A) = r (A|b ) = 2
il sistema ammette ∞1 soluzioni.
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ha
Sulle soluzioni di un sistema lineare
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1.
2.
3.
4.
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Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Sostituendo k = −2 in A e b si ha:
1 −1 −1
−3
A=
, b=
.
−2 2
2
6
r (A) = 1 = r (A|b ) dato che le colonne (righe) delle due matrici
sono proporzionali.
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Esercizio
1.
2.
3.
4.
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Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Sostituendo k = −2 in A e b si ha:
1 −1 −1
−3
A=
, b=
.
−2 2
2
6
r (A) = 1 = r (A|b ) dato che le colonne (righe) delle due matrici
sono proporzionali. Di conseguenza:
Per k = −2
r (A) = r (A|b ) = 1
il sistema ammette ∞2 soluzioni.
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2.
3.
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Riepilogando
k
6 = −2
−2
r (A)
2
1
r (A|b )
2
1
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Soluzioni
∞1 soluzioni
∞2 soluzioni
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2.
3.
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Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
b)
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2.
3.
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Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
b) Per k = 1 riscriviamo il sistema in modo che al primo membro
vi siano le incognite associate alla matrice A2 ed al secondo
membro vi sia il termine noto e la restante incognita.
x1 − x3 = −2x2
x1 + 5x3 = 6 − 2x2
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3.
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Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
b) Per k = 1 riscriviamo il sistema in modo che al primo membro
vi siano le incognite associate alla matrice A2 ed al secondo
membro vi sia il termine noto e la restante incognita.
x1 − x3 = −2x2
x1 + 5x3 = 6 − 2x2
Sappiamo che detA2 = 6 6= 0; applicando “la regola di Cramer”
si ottiene:
1 −2x2 −2x2 −1 1 6 − 2x2 6 − 2x2 5 = 1 − 2x2 ; x3 =
=1
x1 =
6
6
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2.
3.
4.
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Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
b) Per k = 1 riscriviamo il sistema in modo che al primo membro
vi siano le incognite associate alla matrice A2 ed al secondo
membro vi sia il termine noto e la restante incognita.
x1 − x3 = −2x2
x1 + 5x3 = 6 − 2x2
Sappiamo che detA2 = 6 6= 0; applicando “la regola di Cramer”
si ottiene:
1 −2x2 −2x2 −1 1 6 − 2x2 6 − 2x2 5 = 1 − 2x2 ; x3 =
=1
x1 =
6
6
Le soluzioni del sistema sono date dalle terne
(1 − 2x2 , x2 , 1) , x2 ∈ R.
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Esercizio
Esercizio
1.
2.
3.
4.
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c)
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1.
2.
3.
4.
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Sistema lineare con meno equazioni che incognite
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c) Per k = 0 riscriviamo il sistema in modo che al primo membro
vi siano le prime due incognite ed al secondo membro vi sia il
termine noto e la terza incognita.
x1 +x2 = −1 + x3
+2x2 = 6 − 4x3
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1.
2.
3.
4.
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Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
c) Per k = 0 riscriviamo il sistema in modo che al primo membro
vi siano le prime due incognite ed al secondo membro vi sia il
termine noto e la terza incognita.
x1 +x2 = −1 + x3
+2x2 = 6 − 4x3
Sappiamo che A3 =
1 1
0 2
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|A3 | = 2 6= 0;
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1.
2.
3.
4.
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c) Per k = 0 riscriviamo il sistema in modo che al primo membro
vi siano le prime due incognite ed al secondo membro vi sia il
termine noto e la terza incognita.
x1 +x2 = −1 + x3
+2x2 = 6 − 4x3
1 1
0 2
|A3 | = 2 6= 0; applicando “il
1 −1/2
metodo dell’inversa” si ha A3−1 =
da cui
0 1/2
x1
1 −1/2
− 1 + x3
−4 + 3x3
=
=
x2
0 1/2
6 − 4x3
3 − 2x3
Sappiamo che A3 =
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2.
3.
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c) Per k = 0 riscriviamo il sistema in modo che al primo membro
vi siano le prime due incognite ed al secondo membro vi sia il
termine noto e la terza incognita.
x1 +x2 = −1 + x3
+2x2 = 6 − 4x3
1 1
0 2
|A3 | = 2 6= 0; applicando “il
1 −1/2
metodo dell’inversa” si ha A3−1 =
da cui
0 1/2
x1
1 −1/2
− 1 + x3
−4 + 3x3
=
=
x2
0 1/2
6 − 4x3
3 − 2x3
Sappiamo che A3 =
Le soluzioni del sistema sono date dalle terne
(−4 + 3x3 , 3 − 2x3 , x3 ) , x3 ∈ R.
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2.
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Esercizio 4. Variante di un esercizio del compito del 20 giugno
2011. Si consideri la matrice


2+k
1 3 + 2k

−1
k
A= k
k
k
k
a) Determinare, al variare di k ∈ <, la caratteristica della
matrice. (giustificare la risposta)
b) Discutere al variare di k le soluzioni del sistema Ax = 0.
c) Posto k = 0, si determini b in modo che il sistema Ax = b:
c.1) abbia soluzioni non nulle.
c.2) non abbia soluzioni.
d) Posto k = −1 si determini un vettore b in modo che il
sistema Ax = b:
d.1) abbia ∞1 soluzioni
d.2) abbia ∞2 soluzioni
d.3) non abbia soluzioni.
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Sulle soluzioni di un sistema lineare
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1.
2.
3.
4.
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Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Soluzione Punto a)
|A| = k (k 2 + 2k + 1) = k (k + 1)2 . Per k 6= 0, −1, |A| 6= 0 e
quindi r (A) = 3.


1
1 1
Per k = −1 si ottiene A =  −1 −1 −1 . In questo caso
−1 −1 −1
r (A) = 1 dato che le colonne
 di A sonotutte uguali.
2
1 3
Per k = 0 si ottiene A =  0 −1 0 . In questo caso r (A) = 2
0
0 0
2
1
0
dato che la sottomatrice di A, A =
ha determinante
0 −1
diverso da zero.
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1.
2.
3.
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Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Caratteristica di A al variare di k.
k
6= 0, −1
−1
0
r (A)
3
1
2
Soluzione punto b Un sistema omogeneo ha sempre la soluzione
nulla ed inoltre r (A) = r ([A|0]). Da ciò segue immediatamente
che:
Discussione soluzioni del sistema omogeneo Ax = 0
k
6= 0, −1
−1
0
r (A)
3
1
2
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r (A)|b
3
1
2
soluzioni
1 soluzione
∞2 soluzioni
∞1 soluzioni
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2.
3.
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Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.


2
1 3
Soluzione punto c. Per k = 0 si ottiene A =  0 −1 0 ,
0
0 0


b1
b =  b2  e r (A) = 2. Affinché in sistema abbia soluzioni non
b3
nulle occorre che r (A|b ) = 2.
Poiché l’ultima riga di A é nulla e |A0 | 6= 0, deve necessariamente
essere b3 = 0. In questo caso, per qualunque vettore del tipo
b = (b1 , b2 , 0)T , il sistema ha ∞1 soluzioni.
Se al contrario b3 6= 0, l’ultima equazione del sistema diviene
0 = b3 6= 0 che non é mai soddisfatta e quindi il sistema non ha
soluzioni. Per qualunque vettore del tipo b = (b1 , b2 , b3 )T , con
b3 6= 0 il sistema non ha soluzioni.
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3.
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Sistema lineare con più equazioni che incognite
Sistema lineare con meno equazioni che incognite
Sistema lineare omogeneo e domande teoriche.
Soluzione
punto d. Per
ottiene

 k=−
 1 si 
1
1 1
b1
A =  −1 −1 −1 , b =  b2  e r (A) = 1. In questo caso,
−1 −1 −1
b3
qualsiasi sistema Ax = b ha 3 incognite, ed essendo r (A) = 1 non
esiste un vettore b tale che il sistema abbia ∞1 soluzioni.
Affinché in sistema abbia ∞2 soluzioni occorre che r (A|b ) = 1
ovvero che il vettore b = (b1 , b2 , b3 )T sia proporzionale a
(1, −1, −1)T , ovvero b = k (1, −1, −1)T , k ∈ R
Affinché in sistema non abbia soluzioni occorre che r (A|b ) > 1,
ovvero basta prendere un vettore non nullo b = (b1 , b2 , b3 )T che
non sia proporzionale a (1, −1, −1)T , ad esempio b = (1, 0, 3)T
Lezioni del 31 ottobre 2016
Esercizi di algebra lineare