Effetto Hall su grafene

Università degli studi della Calabria
FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di Laurea in Fisica
Tesi di laurea triennale
Effetto Hall su grafene
Laureando
Relatore
Mario Longo
Prof. Alessandro Papa
Anno Accademico 2010-2011
Indice
1 Introduzione
4
2 Eetto Hall quantistico intero
6
2.1 Elettrone libero in un campo magnetico . .
2.2 Eetto Hall classico . . . . . . . . . . . . .
2.3 Descrizione quantistica: i livelli di Landau
2.3.1 Gauge di Landau . . . . . . . . . .
2.4 Risultati sperimentali . . . . . . . . . . . .
2.5 La teoria dell'IQHE . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Il gap energetico . . . . . . . . . .
2.5.2 La soluzione di Laughlin . . . . . .
2.5.3 Il disordine . . . . . . . . . . . . .
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3 Il grafene
6
7
9
9
12
13
13
14
17
19
3.1 Struttura elettronica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Approssimazione tight-binding . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 I fermioni di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Grafene in un campo magnetico: eetto Hall quantistico
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
I livelli di Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Risultati sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il disco di Corbino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spitting dei livelli di Landau per campi magnetici intensi
Il mare di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Conclusioni
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27
27
31
32
33
35
38
3
Capitolo 1
Introduzione
La ricerca in sica negli ultimi decenni ha nutrito un particolare interesse nello studio di sistemi di elettroni intrappolati in regioni di spazio sempre più
piccole. Grazie a questa indagine scientica è stato possibile sperimentare
il quadro concettuale della meccanica quantistica agendo su tipici parametri macroscopici. In questo contesto uno dei fenomeni di grande interesse è
l'effetto Hall quantistico. L'effetto Hall classico è noto dal diciannovesimo
secolo e si verica quando un campo elettrico e un campo magnetico tra loro
incrociati sono fatti agire su un metallo. Con grande stupore nel 1985 Von
Klitzing, analizzando un gas di elettroni bidimensionale in un forte campo
magnetico, evidenziò la quantizzazione per valori interi della resistenza trasversale, chiamata anche resistenza di Hall. Questa quantizzazione è misurata, indipendentemente dalle caratteristiche del campione, con una precisione
altissima, di una parte su 108 − 109 . Lo studioso tedesco si è aggiudicato il
premio Nobel per la sica nel 1985. L'eetto Hall quantistico intero può essere spiegato teoricamente considerando l'Hamiltoniana di Landau che descrive
la dinamica quantistica di un elettrone sottoposto a un campo magnetico.
La situazione è diventata decisamente più interessante grazie all'ingresso
di un nuovo materiale nel campo della sica bidimensionale, il grafene. Il grafene è uno strato monoatomico di atomi di carbonio disposti in un reticolo a
nido d'ape. Questa struttura è oggetto di studi teorici da circa sessant'anni
ma è stato possibile riprodurla in laboratorio soltanto nel 2004. Nel 2010
è stato assegnato il premio Nobel per la sica a Andre Geim e Konstantin
Novoselov per essere riusciti a isolare uno strato di grafene dalla grate. L'interesse discende dalle particolari proprietà elettroniche, infatti gli elettroni
di conduzione costituiscono un sistema realmente bidimensionale. Inoltre le
sue eccitazioni di bassa energia presentano un carattere relativistico e sono
descritte dall'equazione di Dirac in due dimensioni. In questo senso possiamo
dire che il grafene costituisce un ponte tra la sica dello stato solido e l'elet4
5
trodinamica quantistica. In questa tesi proponiamo uno studio del grafene in
un campo magnetico perpendicolare e analizzeremo l'eetto Hall quantistico
intero.
Capitolo 2
Eetto Hall quantistico intero
Se un insieme di elettroni è connato spazialmente su un piano ideale e
viene sottoposto a un forte campo magnetico a temperature prossime allo
zero assoluto, si osservano dei fenomeni inaspettati e sorprendenti come, per
esempio, l'eetto Hall quantistico. Nelle prime sezioni di questo capitolo
tratteremo brevemente l'eetto Hall classico in modo da sottolineare con
maggiore precisione i risultati sperimentali inattesi. Nelle sezioni successive
si aronterà il problema da un punto di vista quantistico.
2.1 Elettrone libero in un campo magnetico
Analizziamo il moto classico di un elettrone di carica elettrica −e connato
sul piano bidimensionale xy e sottoposto a un campo magnetico costante B ẑ .
Le equazioni di Newton a causa della forza di Lorentz sono [8]
−eB
ẏ(t)
mc

ẍ(t) =

eB
ẋ(t)
mc
ÿ(t) =
(2.1)
dove m è la massa dell'elettrone. Per comodità deniamo la frequenza di
ciclotone
ω=
eB
.
mc
(2.2)
Notiamo che ω dipende linearmente dal campo magnetico B . Questa frequenza risulterà particolarmente importante in seguito. Il sistema (2.1) ha
come soluzione:
x(t) = R cos(ωt + δ)
(2.3)
y(t) = R sin(ωt + δ)
dove R e δ sono determinate dalle condizioni iniziali del problema. Il moto
dell'elettrone si sviluppa quindi lungo un cerchio di raggio R.
6
7
Eetto Hall classico
2.2 Eetto Hall classico
Supponiamo ora di studiare un sistema simile al precedente con l'aggiunta
di un campo elettrico esterno Eest lungo la direzione y . La situazione che
si presenta è schematizzata nella gura 2.1. Nel 1879, E. H. Hall studiò un
z
y
B
x
E est
Figura 2.1: Schema di un campione metallico sottoposto a un campo elettrico
Eest e a un campo magnetico B tra loro incrociati
sistema simile e scoprì che, in presenza di un campo magnetico costante, si
genera un usso di corrente nella direzione perpendicolare al campo elettrico
applicato. Infatti il campo elettrico Eest genera una corrente lungo la direzione y che può essere descritta dal vettore densità di corrente J . Il campo
magnetico B lungo la direzione z inuenza il moto delle cariche che tenderanno ad accumularsi sui bordi del campione metallico. Questo provoca uno
squilibrio di carica tra i bordi superiore e inferiore della barretta e quindi una
dierenza di potenziale trasversale, ovvero tra i bordi inferiore e superiore.
Si raggiunge una situazione di equilibrio quando la densità di corrente lungo
la direzione x, generata dal moto trasversale delle cariche, è completamente
contrasta dalla dierenza di potenziale trasversale [17]. La situazione può
essere spiegata in dettaglio utilizzando la teoria di Drude. Con tale teoria si
tiene in considerazione che il moto dei portatori è ostacolato dagli urti con
le impurità cristalline del materiale. Consideriamo l'equazione di Drude [2]
dp
p
=− +F
dt
τ
(2.4)
8
Eetto Hall quantistico intero
dove p = mv è l'impulso dell'elettrone, τ è il tempo medio tra un urto e
l'altro ed F è la forza agente sulla particella, nel nostro caso la forza di
= 0. La
Lorentz. Analizziamo il sistema all'equilibrio, ovvero poniamo dp
dt
(2.4) diventa:
mv
1
0=−
− e(E + v × B) .
(2.5)
τ
c
Supponiamo che il moto avvenga in uno spazio limitato del piano xy di supercie Lx Ly . Introduciamo il vettore densità di corrente j = −ne ev , dove ne =
N/(Lx Ly ) è la densità superciale dei portatori nel piano bidimensionale. La
(2.5) diventa:
m
B
E=
j−
ẑ × j .
(2.6)
2
ne e τ
ne ec
Soermiamoci brevemente su questo risultato. La (2.6) è composta da due
termini, il primo descrive la conduzione lungo la direzione longitudinale, si
tratta di un termine dissipativo che discende dagli urti (notare la dipendenza
da τ ). Il secondo è un termine cinematico dovuto alla presenza del campo
magnetico B lungo la direzione z . Introduciamo il tensore resistività ρ e
scriviamo la (2.6) in maniera compatta mediante una relazione tensoriale
[8][21]:
E = ρj ,
(2.7)
dove:
m
B
ρxx ρxy
2
e ec
.
(2.8)
ρ=
= ne eBτ nm
− ne ec
ρyx ρyy
ne e2 τ
La ρxy così denita è uguale al rapporto tra il campo elettrico esterno lungo
y e la densità di corrente lungo la direzione x [14]. È possibile invertire la
(2.7):
j = σE ,
(2.9)
in cui σ denisce il tensore conducibilità. I suoi elementi di matrice discendono dal fatto che ρxx = ρyy e ρxy = −ρyx
σ=
ρxx
ρ2xx +ρ2xy
ρxy
ρ2xx +ρ2xy
xy
− ρ2 ρ+ρ
2
xx
xy
ρxx
2
2
ρxx +ρxy
!
.
(2.10)
Dalla (2.8) e dalla (2.10) notiamo che per ρxx = 0 si ha σxx = 0. Questo
signica che, sotto questa condizione, c'è conduzione soltanto nella direzione
perpendicolare al campo elettrico. A questo proposito è interessante analizzare il caso di un campione senza impurità. Questo equivale a chiedere che
τ →∞e
B
0
n
ec
e
ρ=
(2.11)
B
− ne ec
0
Descrizione quantistica: i livelli di Landau
9
che evidenzia come la parte fuori diagonale del tensore resistività descriva le
proprietà di trasporto.
Deniamo inne un parametro che risulterà essenziale, la resistenza di
Hall :
B
RH =
.
(2.12)
ne ec
Notiamo che, essendo in una situazione bidimensionale, la resistività elettrica
ha le stesse dimensioni della resistenza elettrica.
2.3 Descrizione quantistica: i livelli di Landau
L'Hamiltoniana per un elettrone non relativistico che si muove in due dimensioni in un campo magnetico perpendicolare è data da[8][14]
H=
e
1
(p + A)2 ,
2m
c
(2.13)
dove e > 0 e indica il modulo della carica dell'elettrone. Il potenziale vettore
A è tale che
∇ × A = B ẑ
(2.14)
e dipende linearmente dalle coordinate spaziali. Utilizzando l'Hamiltoniana
(2.13) scriviamo l'equazione di Schrödinger
HΨ(x, y) = EΨ(x, y) .
(2.15)
Lo spettro energetico dovrà essere indipendente dalla scelta di gauge.
2.3.1
Gauge di Landau
Nella gauge di Landau scegliamo il potenziale come
A = (−By, 0, 0) .
(2.16)
L'Hamiltoniana (2.13) diventa:
H=
1
e
1 2
(px − By)2 +
p .
2m
c
2m y
(2.17)
Notiamo che [H, px ] = 0, quindi cerchiamo soluzioni del tipo
Ψ(x, y) = eikx x ϕkx (y) .
(2.18)
10
Eetto Hall quantistico intero
Sostituendo nella (2.15) otteniamo un'equazione di Schrödinger ridotta per
ϕkx (y)[14]
dove
h p2
i
1
y
2
2
+ mω (y − y0 ) ϕkx (y) = Eϕkx (y) ,
2m 2
eB
mc
(2.20)
~c
kx .
eB
(2.21)
ω=
e
y0 =
(2.19)
L'equazione (2.19) è evidentemente quella di un oscillatore armonico unidimensionale quantistico centrato in y0 , pertanto
1
En = ~ω(n + )
2
n = 0, 1, 2 . . .
(2.22)
Le funzioni ϕkx (y) sono invece le note funzioni d'onda di un oscillatore
armonico centrato in y0 .
mω 1 1
)4 √
ϕn,kx (y) = (
Hn
π~
2n n!
r
mw
mw
2
(y − y0 ) e− 2~ (y−y0 ) .
~
(2.23)
Nella nostra discussione abbiamo trascurato l'eetto Zeeman dovuto all'iterazione tra lo spin elettronico e il campo magnetico. Nel vuoto il fattore
g dell'elettrone è circa uguale a 2, in questo caso la separazione tra due livelli di Landau è esattamente uguale allo splitting Zeeman. La situazione
è dierente per elettroni intrappolati tra le strutture a bande di un materiale. Per esempio, nel GaAs, il fattore g è rinormalizzato e vale g ' −0.4
mentre la separazione tra due livelli di Landau è data da ~ω = ~eB/m∗ c,
dove m∗ = 0.067m è la massa ecace dell'elettrone nel materiale. In queste
condizioni l'eetto Zeeman può essere trascurato, infatti [15]
1
EZ
'
~ω
70
(2.24)
Dove EZ indica lo splitting energetico Zeeman.
Dalla (2.23) notiamo che per ogni valore di n corrispondono inniti valori
di kx , quindi si ha degenerazione innita. È facile mostrare che la degenerazione diventa nita se conniamo il moto degli elettroni su una porzione
limitata del piano xy . Consideriamo quindi un campione avente supercie
Lx Ly , denita da x = 0, x = Lx e y = 0, y = Ly . Imponiamo le condizioni
al contorno di periodicità alla (2.18), otteniamo [15]
eikx (x+Lx ) = eikx x ;
(2.25)
11
Descrizione quantistica: i livelli di Landau
Figura 2.2: Rappresentazione dei centri di oscillazione che si ottengono al
variare di nx .
di conseguenza, i valori consentiti di kx sono
kx =
2π
nx .
Lx
(2.26)
Imponiamo, inoltre, che il centro di oscillazione y0 si trovi sulla supercie
Lx Ly ,
0 ≤ y 0 ≤ Ly ,
(2.27)
da cui è possibile determinare un valore massimo per kx
kx,max =
eB
Ly .
c~
(2.28)
Possiamo quindi determinare il numero di stati, ovvero il numero di elettroni,
per ogni livello di Landau sulla supercie Lx Ly ,
NL =
kx,max
2π
Lx
=
eB
Φ
Lx Ly =
,
ch
Φ0
(2.29)
dove con Φ = BLx Ly abbiamo indicato il usso totale che attraversa il campione, Φ0 = hc/e è chiamato invece unità di usso quantico. Di conseguenza
si ha che
hc
y0 =
nx .
(2.30)
eBLx
Deniamo g come la degenerazione per unità di supercie. Dalla (2.29)
g=
eB
B
=
.
ch
Φ0
(2.31)
12
Eetto Hall quantistico intero
Una quantità molto importante per gli sviluppi successivi è il fattore di riempimento o lling factor ν che descrive il rapporto tra il numero di elettroni
presenti nel sistema e il numero massimo di elettroni per livello di Landau
ν=
N
hc
=
ne ,
NL
eB
(2.32)
dove ne è la densità elettronica bidimensionale. In altre parole la (2.32)
indica il numero di livelli di Landau occupati. Notiamo che ν è inversamente
proporzionale a B . Questo è del tutto plausibile, infatti all'aumentare di
B aumenta la degenerazione g , di conseguenza i livelli di Landau occupati
tendono a diminuire.
2.4 Risultati sperimentali
L'osservazione dell'eetto Hall quantistico intero risale al 1980 quando Von
Klitzin [24] fece delle misure della ρxy (o RH ) su un sistema bidimensionale
di elettroni (2DEG) . Per campi magnetici molto intensi, B ∼ 10 T, e temperature molte basse, T ∼ 1 K, venne evidenziato un andamento non lineare
nel campo magnetico della resistenza ρxy , in particolare si osservarono dei
plateau in corrispondenza dei valori
ρxy =
h
,
ne2
con n ∈ N .
(2.33)
Contemporaneamente la resistività convenzionale ρxx assumeva valori estremamente bassi. Si veda la gura 2.3 tratta da [23].
È utile analizzare i risultati dell'osservazione anche in termini delle conducibilità σxx e σxy [8] denite dal tensore conducibilità (2.10). In regime di
eetto Hall quantistico si ha una dissipazione quasi nulla,
σxx → 0
(2.34)
accompagnata da una quantizzazione della conduttanza1 di Hall,
σxy =
ne2
.
h
(2.35)
La cosa sorprendente è che la quantizzazione della resistenza di Hall è
universale e indipendente da tutti i dettagli del materiale, come la geometria e
le impurezze [15]. La quantizzazione risulta precisa con un'accuratezza di una
1 Ricordiamo
che nel caso bidimensionale la resistività e la conducibilità hanno le stesse
dimensione della, rispettivamente, resistenza e conduttanza
La teoria dell'IQHE
13
Figura 2.3: Nel graco è mostrato l'andamento della ρxy rispetto a B . Possiamo osservare come per alcuni valori di B si osservano dei plateau per la
ρxy e contemporaneamente la ρxx si annulla
parte su 108 − 109 . Per completezza ricordiamo che nel 1982 venne osservata,
da parte di Tsui, Störmer e Gossard, una quantizzazione della resistenza di
Hall anche per valori frazionari [22]. Questo risultato non verrà trattato
in seguito. Nelle sezioni successive illustreremo invece come sia possibile
spiegare le evidenze sperimentali considerando una teoria di elettroni non
interagenti.
2.5 La teoria dell'IQHE (Integer quantum Hall
eect)
2.5.1
Il gap energetico
Nella spiegazione dell'eetto Hall quantistico intero è di fondamentale importanza il gap energetico presente tra un livello di Landau e l'altro. Supponiamo
che il livello di Landau più basso sia completamente pieno (ν = 1). Questa
condizione si ottiene per un valore del campo magnetico B = ne hc/e. Esiste
quindi una discontinuità energetica sopra il livello di Fermi. Di conseguenza
non sono possibili eccitazioni di bassa energia ed i centri di oscillazione y0 si
muovono come un gas libero. Diminuendo ulteriormente il campo magnetico
14
Eetto Hall quantistico intero
H
Figura 2.4: disco di Corbino
al valore B = ne hc/2e verranno riempi due livelli di Landau. In generale,
per un valore del campo magnetico B = ne hc/ne i livelli energetici riempiti
sono esattamente n. In questo caso ν = n. Utilizzando la denizione di ρxy
e supponendo che ν = n otteniamo
ρxy =
h
ne2
(2.36)
che sembra il risultato cercato. In realtà questo argomento non può essere
valido in quanto non spiega, per esempio, la presenza dei plateau nel graco
della ρxy che si osservano per variazioni di B intorno al valore h/ne2 e non
spiega l'annullarsi della ρxx in corrispondenza dei plateau di ρxy [14].
2.5.2
La soluzione di Laughlin
Consideriamo il campione di prima denito da 0 6 y 6 Ly e immaginiamo
di piegarlo in modo da ottenere un cilindro, come in gura 2.4 [14]. La
supercie del cilindro è descritta dai punti (x, y), che coincidono con i punti
(x + Lx , y). Il campo magnetico B è ancora normale ad ogni punto della
supercie e il campo elettrico esterno Eest è generato da una dierenza di
potenziale applicata ai bordi del cilindro, lungo la direzione y . A causa del
campo magnetico B si genera un usso di corrente IH lungo la direzione x
e non nella direzione del potenziale applicato2 . Il nostro obiettivo è ricavare
la relazione tra la corrente di Hall IH e il potenziale applicato V . Per fare
questo consideriamo un usso magnetico δΦ che attraversa il cilindro, ciò
corrisponde ad avere un campo magnetico δBΦ = δΦ/S normale al piano
2 In
questa geometria le cariche deviate dalla forza di Lorentz non posso accumularsi su
nessun bordo
15
La teoria dell'IQHE
dell'anello. La corrente IH genera un momento magnetico µ = IH S/c, dove
S è la supercie individuata dal foro. Il modulo dell'energia del sistema varia
secondo la relazione δE = µδBΦ , per cui si ottiene
δE
IH
=
.
c
δΦ
(2.37)
Se variamo il usso da δΦ = 0 a δΦ = Φ0 , è facile vedere che l'eetto è quello
di spostare il centro di oscillazione degli elettroni, y0 [8]. Infatti il usso δΦ
è generato dal campo δBΦ che può essere descritto da un potenziale vettore
δAΦ costante e diretto lungo la direzione x, tale che
δAΦ 2πR = δΦ ,
(2.38)
dove R è il raggio dell'anello. In queste condizioni il potenziale vettore totale
sarà dato da
AT OT = (−By + δAΦ , 0, 0) = (−By + Bδy, 0, 0)
dove si è denito
δy =
δAΦ
.
B
(2.39)
(2.40)
L'equazione di Schrödinger (2.19) viene modicata in
n p2
o
1
y
+ mω 2 [y − (y0 + δy)]2 ϕkx (y) = Eϕkx (y) ,
2m 2
(2.41)
quindi il centro di oscillazione si sposta di δy = δAΦ /B . Supponiamo ora di
variare δΦ n quando
hc
= Φ0 .
(2.42)
δΦ =
e
In questa situazione il centro si sposta
y0 =
hc
hc
nx −→ y0 + δy =
(nx + 1)
eBLx
eBLx
(2.43)
dove si sono utilizzate le (2.38), (2.40) e (2.42). Consideriamo il primo livello
di Landau completamente pieno (ν = 1). Sotto questa condizione quando il
usso raggiunge il valore Φ0 la distribuzione di elettroni deve apparire esattamente come prima, a causa della (2.43). Nell'insieme, quindi, gli elettroni si
spostano lungo y di un tratto uguale alla distanza tra due centri di oscillazione ad ogni Φ0 entrante. Si veda la gura 2.5, adattata dalla Ref. [8]. Questo
processo sta alla base dell'eetto Aharanov-Bohm. In questa situazione, la
16
Eetto Hall quantistico intero
nx
ν intero
δΦ=0
δΦ=Φ0
ν non intero
δΦ=0
δΦ=Φ0
Figura 2.5: Illustrazione di come varia la distribuzione spaziale degli elettroni
in un dato livello di Landau quando viene modicato il usso da δΦ = 0 a
δΦ = Φ0 . Il sistema è rappresentato dal rettangolo tratteggiato. Per ν
intero la distribuzione spaziale non viene modicata. Per ν non intero la
distribuzione nale appare completamente diversa.
variazione di energia durante lo shift della distribuzione elettronica è puramente elettrostatica. Infatti ogni elettrone si sposta di un tratto uguale alla
distanza tra due centri di oscillazione, questo processo può essere pensato
come il moto di una carica soggetta a un potenziale V e quindi
δE = eV .
(2.44)
Abbiamo ricavato come varia l'energia del sistema al variare di δΦ. Dalle
(2.37), (2.42) e (2.44) abbiamo
e2
V
h
(2.45)
h
IH ,
e2
(2.46)
IH =
oppure
V =
che è la relazione tra IH e V cercata. La (2.46) implica
ρxy =
h
e2
(2.47)
che è nuovamente la (2.36) per un livello di Landau pieno, ricavata con un
procedimento più complicato ma necessario, come vedremo. Per ν livelli di
Landau pieni avremmo ottenuto una δE = νeV in quanto il procedimento
va ripetuto per ogni livello pieno, di conseguenza ρxy = h/νe2 .
Se il numero di elettroni è ssato, allora cambiare il campo magnetico B
vuol dire cambiare la frazione di riempimento ν . Un livello pieno diventerà
La teoria dell'IQHE
17
incompleto, se B aumenta, oppure riverserà elettroni su un livello più alto,
se B diminuisce. In entrambi i casi la precedente analisi non vale in quanto ν
assume valori non interi. Tuttavia in un campione sico sono sempre presenti
impurità cristalline che intrappolano alcuni elettroni in stati localizzati. L'effetto delle impurità e del disordine è cruciale per la spiegazione dei plateau
osservati.
2.5.3
Il disordine
La gura 2.6 mostra i livelli energetici in un campione puro confrontati con
quelli di un campione con impurità. Notiamo che in un campione impuro ogni
Figura 2.6: Quando il campo magnetico è nullo si ha un continuo di stati (sinistra). Per B diverso da zero si ha la quantizzazione di Landau (centro). Se
aggiungiamo il disordine i livelli di Landau diventano delle bande di energia.
livello di Landau si allarga a formare una banda. Modelli teorici e numerici
[1][7] mostrano che solo una ristretta banda di energia attorno al centro di
ogni livello di Landau è occupata da stati elettronici estesi, ovvero in grado di
contribuire alla conduzione. Il punto essenziale è che tra le bande di Landau
la densità degli stati non è nulla, come sarebbe nel caso di un campione puro,
ma è composta da stati localizzati che non partecipano alla conduzione. Gli
elettroni che appartengono a stati estesi contribuiscono alla corrente IH e allo
shift descritto precedentemente a causa della variazione di δΦ. Supponiamo
18
Eetto Hall quantistico intero
ν = 1, questa volta se diminuiamo il campo magnetico alcuni elettroni riem-
piranno stati localizzati, e non un nuovo livello di Landau. In altre parole,
il livello di Fermi può cadere nel continuo tra due bande di Landau in modo
tale che la banda estesa sotto di esso resti sempre completa. Esiste, quindi,
un intervallo del campo magnetico esterno tale che la banda estesa inferiore
al livello di Fermi resta completamente piena. Per tale intervallo di B vale
ancora la (2.47) in quanto è verica la condizione di banda estesa completamente piena. Questo provoca i plateau osservati. Infatti per un intervallo
non nullo di B la ρxy assume il valore costante h/e2 . L'annullarsi della ρxx , o
della σxx , è dovuto al fatto che il livello di Fermi, in corrispondenza dei plateau di ρxy , giace in stati localizzati che non contribuiscono alla conduzione
[14][13].
Capitolo 3
Il grafene
Il grafene, oltre ad essere fonte di numerose applicazioni, è diventato un
importante modello teorico grazie al suo insolito spettro elettronico. E' un
materiale strettamente bidimensionale che permette l'osservazione di fenomeni tipici della meccanica quantistica relativistica, costituisce infatti un ponte
concettuale tra la sica della materia condensata e lo studio di sistemi di
elettrodinamica quantistica.
Si tratta di un monostrato di grate di cui è l'elemento costitutivo. Fu
ritenuto per molto tempo un sistema puramente teorico la cui realizzazione
pratica era resa impossibile da instabilità tipiche dei reticoli bidimensionali
[18]. Tuttavia nel 2004 fu inaspettatamente riprodotto in laboratorio da
Andre Geim e Konstantin Novoselov (Premi Nobel nel 2010). Questo permise
di confermare sperimentalmente molte argomentazioni teoriche.
3.1 Struttura elettronica
In gura 3.1 è mostrato il reticolo del grafene. Si tratta di un reticolo esagonale di atomi di carbonio, con distanza reticolare a = 1.42 Å. La composizione
elettronica del carbonio è [C] = 1s2 2s2 2p2 . Dei quattro elettroni di valenza,
tre formano legami ibridizzati sp2 con asse lungo il piano del grafene, dove
si creano legami di tipo σ e σ ∗ . L'elettrone 2pz , il cui asse è perpendicolare
al piano, forma invece legami di tipo π e π ∗ . Di fatto il grafene ha un solo elettrone di conduzione, quello nell'orbitale 2pz . Infatti gli elettroni che
partecipano ai legami σ sono sottoposti a una energia di legame molto più
grande rispetto all'energia di legame π , per questo motivo non giocano alcun
ruolo nella conduzione. La cella unitaria del reticolo, indicata in gura 3.1
con WXYZ, contiene due atomi di carbonio. Il reticolo del grafene non è
di Bravais, ma può essere schematizzato come la sovrapposizione di due sot19
20
Il grafene
Figura 3.1: (a) Struttura del reticolo di Bravais (b) prima zona di Brillouin
toreticoli triangolari. Distingueremo gli atomi appartenenti ai due dierenti
sottoreticoli con le lettere A e B . Fissiamo, per esempio, l'origine del nostro
sistema di riferimento (x, y) su un atomo di tipo A. I vettori di traslazione
fondamentali sono [9]
√
3 3
),
a1 = a( ,
2 2
√
3
3
a2 = a( , −
).
2
2
(3.1)
I siti relativi al sottoreticolo A (punti neri) si ottengono dai vettori:
r i = n1 a1 + n2 a2 ,
(3.2)
mentre quelli relativi al sottoreticolo B (punti bianchi) da
r i = n1 a1 + n2 a2 + d ,
(3.3)
dove d = (−a, 0) mentre n1 e n2 sono interi. I vettori del reticolo reciproco
b1 e b2 si ottengono dalle note relazioni
ai · bj = 2πδij .
(3.4)
Dalla (3.4) si ottiene
b1 =
2π √
(1, 3) ,
3a
b2 =
√
2π
(1, − 3) .
3a
(3.5)
I vettori b1 e b2 generano un reticolo nello spazio k. La cella primitiva di
questo reticolo è ancora un rombo di lati b1 e b2 . La prima zona di Brillouin
è mostrata nella gura 3.1.
21
Approssimazione tight-binding
3.2 Approssimazione tight-binding
Per ottenere la struttura delle bande π e π ∗ si può utilizzare l'approssimazione
di legame forte, o tight-binding, considerando l'interazione di un atomo con i
primi vicini. In assenza di iterazione si ottiene l'Hamiltoniana
H0 = 0
X
a† (r i )a(ri ) + 0
i=1
X
b† (ri )b(ri ) ,
(3.6)
i=1
dove a e a† sono operatori di distruzione e creazione di un elettrone relativo
al sottoreticolo A, mentre b e b† sono relativi agli elettroni del sottoreticolo
B . La costante 0 indica l'energia relativa a questi elettroni. L'Hamiltoniana
di iterazione discende dall'overlapping degli orbitali pz relativi a due atomi
primi vicini. Per tale eetto un elettrone ha una probabilità non nulla di
passare da un sito al primo vicino. Pertanto l'Hamiltoniana di interazione
può essere scritta come
HI = −t
3
XX
†
a (r i )b(r i + uj ) − t
i∈A j=1
3
XX
b† (r i )a(r i + v j )
(3.7)
i∈B j=1
dove i vettori ui , con i = 1, 2, 3 descrivono i primi vicini degli atomi del
sottoreticolo A, mentre i vettori v i , con i = 1, 2, 3 descrivono i primi vicini
degli atomi del sottoreticolo B . La costante t è determinata dall'integrale
di overlapping tra i due orbitali primi vicini e vale 2.8 eV. Il segno negativo
nella (3.7) è convenzionale. Esplicitamente abbiamo
u1 = a(−1, 0)
e
v 1 = a(1, 0)
√
1 3
)
u2 = a( ,
2 2
√
1
3
u3 = a( , −
)
2
2
(3.8)
√
1 3
v 3 = a(− ,
)
2 2
(3.9)
√
1
3
v 2 = a(− , −
)
2
2
Scegliamo di ssare lo zero dell'energia nel punto
0 = 0 ,
(3.10)
H = HI .
(3.11)
pertanto si ha
Introduciamo le trasformate di Fourier degli operatori di creazione e distruzione
Z
1
eik·ri ã(k)d2 k ,
(3.12)
a(r i ) =
2
(2π)
22
Il grafene
1
b(r i ) =
(2π)2
Z
(3.13)
eik·ri b̃(k)d2 k .
Con queste denizioni, l'Hamiltoniana (3.11) nello spazio k assume la seguente forma
1
H=
(2π)2
Z
d2 k(ㆠ, b̃† )
−t
0
−t
P3
j=1
P3
eik·vj
ik·uj
j=1 e
0
! ã
.
b̃
(3.14)
Per ottenere lo spettro di H è necessario diagonalizzare la matrice
H̃ =
−t
0
−t
P3
j=1
eik·vj
P3
ik·uj
j=1 e
0
!
.
(3.15)
Si ottiene subito che
v
u 3
3
X
uX
ik·u
t
e j )(
eik·vj ) .
(k) = ±t (
j=1
(3.16)
j=1
Utilizzando le (3.8) e le (3.9) si ricava
√
h
i
3
3
3
(k) = ±t 1 + 4 cos(
ky a) cos(
ky a) + cos( kx a) .
2
2
2
s
√
(3.17)
La (3.17) mostra che lo spettro di singola particella consiste in due superci
che deniscono la banda di valenza ( < 0) e la banda di conduzione ( > 0).
Con la scelta convenzionale di porre 0 = 0, l'energia di singola particella
risulta perfettamente simmetrica rispetto al livello di Fermi = 0. Tecnicamente il grafene è un semiconduttore a gap nullo [10], infatti il livello di Fermi
passa attraverso i punti di contatto delle due bande. Ogni atomo di carbonio
della cella unitaria mette a disposizione un elettrone, abbiamo quindi che la
banda di valenza è piena mentre la banda di conduzione è vuota. Nella gura
3.2 è mostrato il graco bidimensionale di (k) [3].
Le due bande si toccano in sei punti ki con i = 1, 2 . . . 6, tali che
(ki ) = 0 .
(3.18)
Utilizzando la (3.17) è possibile vericare che i punti ki che soddisfano la
(3.18) corrispondono a
akx = 0 ,
2π
akx = ±
,
3
4π
aky = ± √
3 3
2π
aky = ± √ .
3 3
(3.19)
23
I fermioni di Dirac
Figura 3.2: Banda di valenza e banda di conduzione del grafene. Le due
bande si toccano in sei punti. Nei pressi di questi punti le bande assumono
la forma di un cono chiamato cono di Dirac
I sei punti ki sono i vertici dell'esagono che costituisce la prima zona di
Brillouin. Di fatto soltanto due punti sono sicamente importanti. Possiamo
scegliere come punti non equivalenti
4π
K − = (0, − √ ) .
3 3a
4π
K + = (0, √ ) ,
3 3a
(3.20)
Questi punti sono detti punti di Dirac. Ricordiamo che in questa trattazione si è utilizzata l'approssimazione dei primi vicini. Considerare i secondi
vicini provoca una rottura della perfetta simmetria elettrone-buca ricavata
precedentemente.
3.3 I fermioni di Dirac
Le eccitazioni di bassa energia interessano gli elettroni con energia simile a
quella di Fermi. Possiamo descriverle espandendo k intorno i punti K ± . A
tale scopo consideriamo la matrice H̃ valutata in K ± + k, dove |k| 1.
Consideriamo prima il punto K + . Otteniamo
H̃(K + + k) '
0
−it
P3
iK + ·v j
−it j=1 e
k · vj
P3
iK + ·uj
k · uj
j=1 e
0
!
, (3.21)
dove abbiamo usato
3
X
j=1
eiK + ·uj =
3
X
j=1
eiK + ·vj = 0
(3.22)
24
Il grafene
e l'approssimazione
eik·uj '1 + ik · uj
eik·vj '1 + ik · v j .
(3.23)
Esplicitando le somme che compaiono nella matrice (3.21), otteniamo
3
X
3
3
eiK + ·uj k · uj = − akx + i aky
2
2
j=1
e
3
X
3
3
eiK + ·vj k · v j = akx + ia ky .
2
2
j=1
(3.24)
(3.25)
Quindi, inserendo nella (3.21)
3
0
ikx + ky
˜
H+ (K + + k) = at
.
−ikx + ky
0
2
(3.26)
In modo analogo possiamo ottenere
3
0
ikx − ky
.
H̃− (K − + k) = at
−ikx − ky
0
2
(3.27)
Le H̃± possono essere scritte in forma compatta come
3
H̃+ = at(−σ2 kx + σ1 ky )
2
(3.28)
3
H̃− = at(−σ2 kx − σ1 ky )
2
(3.29)
dove σ1 e σ2 sono le note matrici di Pauli
0 1
σ1 =
,
1 0
σ2 =
0 −i
.
i 0
(3.30)
Deniamo la velocità di Fermi,
3
~vF = ta .
2
(3.31)
È possibile stimare la velocità di Fermi ricordando che t = 2.8 eV e a = 1.42
Å. Di conseguenza vF = 0.91 × 108 m/s ' c/300, dove c è la velocità della
luce nel vuoto. Se deniamo le matrici
α = (−σ2 , σ1 ) ,
α∗ = (−σ2 , −σ1 ) ,
(3.32)
25
I fermioni di Dirac
possiamo facilmente ottenere
H̃+ = ~vF α · k
(3.33)
H̃− = ~vF α∗ · k
(3.34)
E' possibile denire un'Hamiltoniana ecace per scrivere in modo compatto
le H̃± ,
Hef f = ~vF
α·k
0
0
α∗ · k
.
(3.35)
In questo caso Hef f agisce su uno spinore a quattro componenti
ψ(k) = (ψA,+ (k), ψB,+ (k), ψA,− (k), ψB,− (k)) .
(3.36)
In 3 + 1 dimensioni, a meno di trasformazioni del blocco α∗ · p, la (3.35)
rappresenta l'Hamiltoniana di Dirac per neutrini a massa nulla. Possiamo
risolvere separatamente i due blocchi della (3.35) in quanto risultano indipendenti. Questo equivale alla diagonalizzazione delle H̃± . Iniziamo con la
H̃+ . Avanti mostreremo che la dinamica descritta da H̃+ e H̃− è identica.
Consideriamo l'equazione
H̃+ ψ+ (k) = (k)ψ+ (k) ,
(3.37)
ψ+ (k) = (ψA,+ (k), ψB,+ (k)) .
(3.38)
~vF (ikx + ky )ψB,+ (k) = (k)ψA,+ (k) ,
~vF (−ikx + ky )ψA,+ (k) = (k)ψB,+ (k) .
(3.39)
dove
Si ottiene subito che
La soluzione delle (3.39) è
(k) = ±~vF |k| ,
(3.40)
che è lo spettro di una particella avente massa nulla con velocità di propagazione vF . La soluzione positiva descrive gli stati della banda di conduzione
(elettroni) mentre la soluzione negativa gli stati della banda di valenza (buche). La (3.40) rappresenza un cono, come mostrato nella gura 3.2, chiamato cono di Dirac. Notiamo che K − può essere generato da K + con una
riessione intorno all'asse delle kx . Notiamo inoltre che
α∗ = σ2 ασ2 ,
(3.41)
26
Il grafene
di conseguenza si ottiene che se ψ(k)+ soddisfa l'equazione (3.37) allora
σ2 ψ(k)+ soddisfa l'equazione
H̃− ψ− (k) = (k)ψ− (k) ,
(3.42)
con lo stesso autovalore e con
ψ− (k) = σ2 ψ+ (k) .
(3.43)
Infatti
H− σ2 ψ+ (k) =~vF σ2 (α · k)σ2 (σ2 ψ+ (k))
=σ2 (~vF α · k)ψ+ (k) = σ2 H+ ψ+ (k) = (σ2 ψ+ (k)) .
(3.44)
Questo vuol dire che σ2 inverte il ruolo delle eccitazioni del reticolo A con
quelle del reticolo B . In meccanica quantistica relativistica questo processo
equivale a una riessione temporale,
σ2 ψ+ (k) = σ2 (ψA,+ (k), ψB,+ (k)) = (−iψB,+ (k), iψA,+ (k)) .
(3.45)
Capitolo 4
Grafene in un campo magnetico:
eetto Hall quantistico
Come nel caso discusso nella sezione 2.3, anche il moto nel grafene posto
in campo magnetico risulta quantizzato. Nel gas bidimensionale di elettroni
non-relativistici discusso, i livelli energetici di Landau risultavano equidistanziati. Questo era dovuto alla legge di dispersione parabolica degli elettroni
non-relativistici. Nel caso del grafene invece la legge di dispersione nei pressi
dei punti di Dirac è lineare in |k|, è lecito quindi aspettarsi una modica
dei livelli energetici di Landau. In questo capitolo analizzeremo il contributo di un campo magnetico sul grafene e discuteremo le principali evidenze
sperimentali dell'eetto Hall quantistico.
4.1 I livelli di Landau
Consideriamo il grafene posto sul piano xy e poniamo un campo magnetico
uniforme diretto lungo l'asse z . Nella gauge di Landau abbiamo
A = (−By, 0, 0) .
(4.1)
Nel seguito consideriamo esplicitamente il campo ψ+ (r) e omettiamo il pedice
+ per non appesantire la notazione. L'equazione per ψ(r) è
(−i~vF α · ∇)ψ(r) = ψ(r) .
(4.2)
L'eetto del campo magnetico si ottiene con la sostituzione
e
−i~∇ −→ −i~∇ + A ,
c
27
(4.3)
28
Grafene in un campo magnetico: eetto Hall quantistico
dove e indica il modulo della carica dell'elettrone. L'equazione (4.2) con la
sostituzione (4.3) diventa
h e i
vF α · − i~∇ + A ψ(r) = ψ(r) .
c
(4.4)
In generale sarebbe necessario considerare anche il termine di interazione
Zeeman che provocherebbe il solito splitting dei livelli energetici. Tuttavia,
a causa del valore di vF nel grafene, la distanza tra un livello energetico e
l'altro è molto più grande se comparato con lo spitting Zeeman [11][12], per
questo motivo non consideriamo il termine di interazione e moltiplichiamo
semplicemente i risultati nali per un fattore 2 in modo da tener presente la
degenerazione di spin.
Ricordando che α = (−σ2 , σ1 ), la (4.4) diventa
∂
−
~ ∂x
0
∂
−~ ∂x
+
ieB
y
c
−
ieB
y
c
∂
i~ ∂y
∂
− i~ ∂y
0
ψ(r) =
ψ(r) .
vF
(4.5)
Cerchiamo una soluzione del tipo
ikx
ψ(r) = e
φ1 (y)
;
φ2 (y)
(4.6)
si ottiene
ieB
∂ i
y − i~
φ2 (y) =
φ1 (y) ,
c
∂y
vF
h
i~k −
h
ieB
∂ i
− i~k +
y − i~
φ1 (y) =
φ2 (y) .
c
∂y
vF
(4.7)
Se dalla seconda ricaviamo φ2 (y) e la inseriamo nella prima otteniamo l'equazione
h
−
i
~ ∂2
1 e2 B 2
1 2
2
+
(y
−
y
)
φ
(y)
=
φ1 (y) ,
0
1
2 ∂y 2 c2
2 vF2
mentre
φ2 (y) =
vF h
ieB
∂ i
− i~k +
φ1 (y) ,
y − i~
c
∂y
dove si è denito
y0 =
~c
k.
eB
(4.8)
(4.9)
(4.10)
Notiamo che il primo membro della (4.8) ha nuovamente la forma dell'Hamiltoniana dell'oscillatore armonico unidimensionale centrato in y0 . Se la
29
I livelli di Landau
funzione d'onda φ1 (y) è l'autofunzione di tale hamiltoniana, l'autovalore è
dato da ~wc (n + 12 ) con
wc =
eB
.
c
(4.11)
Conseguentemente i valori di energia per un monostrato di grafene devono
soddisfare
~eB
2
=
(n + 1) ,
(4.12)
ovvero
e
2vF
c
r
2~eB
n = ±vF
(n + 1)
c
n = 0, 1, 2 . . .
(4.13)
(4.14)
φ1 (y) = Φn (y) ,
dove
eB 1 1
)4 √
Hn
Φn (y) = (
π~c
2n n!
r
eB
eB
2
(y − y0 ) e− 2~c (y−y0 ) .
~c
(4.15)
Sostituendo nella (4.9) si ottiene
r
eB
eB~
vF eB 1 1
2
(y−y
)
−
0
)4 √
e 2~c
]
φ2 (y) = (
(−i)
n
π~c
c
2 n!
(4.16)
r
r eB
i
h r eB
eB
(y − y0 ) − 2
(y − y0 )Hn
(y − y0 ) .
× Hn0
~c
~c
~c
q
Per semplicità deniamo s = eB
(y − y0 ). Utilizziamo poi la nota relazione
~c
di ricorrenza dei polinomi di Hermite,
Hn+1 (s) = 2sHn (s) − Hn0 (s) .
(4.17)
Considerando la (4.17) è possibile mostrare che
vF
φ2 (y) = i
r
eB~
(2(n + 1))Φn+1 (y)
c
(4.18)
e, per la (4.12), otteniamo che
φ2 (y) = ±iΦn+1 (y) .
(4.19)
In denitiva la (4.6) diventa
ψ(r) = e
ikx
Φn (y)
,
±iΦn+1 (y)
n = 0, 1, 2 . . .
(4.20)
30
Grafene in un campo magnetico: eetto Hall quantistico
Insieme a queste soluzione vi è anche una soluzione con autovalore nullo, come
è possibile vericare direttamente dalla (4.5) considerando l'autofunzione
ikx
0
.
±iΦ0 (y)
ψ(r) = e
(4.21)
Riscriviamo le autofunzioni e gli autovalori in una forma più compatta che
tenga in considerazione anche la soluzione (4.21)
ikx
ψ(r) = e
sgn(n)Φn−1 (y)
±iΦn (y)
,
n = 0, 1, 2 . . . ,
(4.22)
con autovalori
r
n = ±vF
2~eB
n,
c
n = 0, 1, 2 . . . ,
(4.23)
dove sgn(n) è la funzione segno denita come

se n > 0
 1
sgn(n) = 0 se n = 0

−1 se n < 0
Dalla (4.21) notiamo che lo stato per n = 0 coinvolge soltanto eccitazioni
del sottoreticolo B . In altre parole, lo stato n = 0 risulta completamente
polarizzato. In seguito scriveremo la (4.23) come
n = sgn(n)vF
r
2~eB
|n| ,
c
n = 0, ±1, ±2 . . . ,
(4.24)
dove con n > 0 identichiamo stati di conduzione, mentre con n < 0 stati
di valenza. Lo spettro vicino al punto K − si ottiene risolvendo l'equazione
per ψ− (r). Il risultato è identico a quanto trovato per K + , ma vengono
invertiti i ruoli dei sottoreticoli A e B . In particolare, per n = 0 si otterranno
soltanto eccitazioni del sottoreticolo A. In denitiva lo stato n = 0 ha una
degenerazione due volte più piccola rispetto gli stati con n > 0.
Nella gura (4.1) è mostrato un confronto qualitativo dei livelli energetici
di Landau tra elettroni non-relativistici e fermioni di Dirac.
La degenerazione dei livelli di Landau può essere ricavata come fatto per
quella del gas di elettroni bidimensionale supponendo di limitare il grafene
su una supercie Lx Ly . Il risultato è identico, g = eB/hc. Tuttavia nella
sezione 3.3 abbiamo visto che la dinamica intorno i punti K − e K + è uguale.
Questa degenerazione è detta degenerazione di valley e comporta l'aggiunta
di un semplice fattore 2. Se consideriamo anche lo spin si ha l'aggiunta di
un ulteriore fattore 2, come descritto precedentemente. In denitiva
g =2×2
eB
eB
=4
.
hc
hc
(4.25)
31
Risultati sperimentali
Elettroni non-relativistici
Fermioni di Dirac
Figura 4.1: Nel caso dei fermioni di Dirac i livelli di Landau non sono
equidistanti.
4.2 Risultati sperimentali
Se consideriamo un campo magnetico esterno (B ' 4 T) perpendicolare al
piano del grafene è possibile osservare i livelli energetici di Landau. Come
nel caso del gas bidimensionale di elettroni, anche nel grafene ci aspettiamo
di osservare l'eetto Hall quantistico intero. Infatti nel 2005 è stato evidenziato [19][20], come mostrato nella gura 4.2. Notiamo che la σxy , che nella
gura è misurata in unità di 4e2 /h, può assumere sia valori negativi che positivi in corrispondenza del fatto che gli elettroni contribuiscono con valori
positivi, mentre le buche con valori negativi. Infatti spostando il livello di
Fermi rispetto al valore F = 0 si possono selezionale gli elettroni ( > 0)
o le buche ( < 0). Nel caso del grafene l'eetto Hall quantistico è osservabile a temperature molto più alte rispetto a quelle necessarie per il gas
bidimensionale di elettroni. Vi sono buone aspettative di osservare l'eetto
Hall quantistico anche a temperatura ambiente [26]. Utilizzando gli eetti
di un campo elettrico è possibile modicare la concentrazione dei portatori
nel campione o il segno dei portatori stessi (elettrone o buca) cambiando il
segno del potenziale applicato. Analizzando il graco è possibile individuare
i plateau caratteristici dell'eetto Hall che si manifestano per valori
σxy =
4e2 1 3 5
(± , ± , ± . . .)
h
2 2 2
(4.26)
νe2
,
h
(4.27)
Se deniamo ν come
σxy =
32
Grafene in un campo magnetico: eetto Hall quantistico
Figura 4.2: Eetto Hall quantistico nel grafene. Nel graco è riportato l'andamento della σxy e della ρxx in funzione della densità elettronica per unità
di supercie. Il campo magnetico è sso a un valore di 14 T mentre la
temperatura è 4 K.
allora i plateau si manifestano per ν = ±2, ±6, ±10 . . . In corrispondenza dei
plateau ρxx tende a 0. Notiamo che non si osservano plateau per ν = 0 e la
ρxx ha un massimo pronunciato che indica la presenza di portatori di carica
per = 0. Naturalmente questo è dovuto all'esistenza di un livello di Landau
con energia nulla.
4.3 Il disco di Corbino
Per spiegare l'eetto Hall quantistico nel grafene dobbiamo considerare l'effetto del disordine, esattamente come fatto per il gas di elettroni bidimensionale in un campo magnetico. Analogamente, il disordine produce la formazione di una banda energetica intorno ai livelli di Landau. Gli stati estesi
occupano il centro della banda, a dierenza degli stati localizzati. Immaginiamo ora di ruotare il piano xy del grafene per formare un cilindro. Una
tale congurazione è identica a quella discussa nella sezione 2.5.2. Nel nostro
caso il guadagno energetico è dato da
δE = ±4eV
(4.28)
Spitting dei livelli di Landau per campi magnetici intensi
33
per ogni livello di Landau occupato. Il fattore 4 è dovuto alla degenerazione di
valley e di spin discussa precedentemente. Il segno è positivo per gli elettroni
e negativo per le buche. Pertanto la corrente di Hall vale
IH = ±
4e2
V
hc
(4.29)
per ogni livello di Landau. In denitiva si ha, per N livelli di Landau
completamente pieni,
σxy = ±
4e2
N.
h
(4.30)
Come evidenziato dalla gura 4.2 le osservazione sperimentali non sono in
accordo con il risultato (4.30). Il problema è causato dall'anomalo stato di
Landau con energia = 0 e al fatto che tale stato ha una degenerazione
due volte più piccola rispetto gli stati con n > 0 [11]. Questa particolare
quantizzazione è osservata sperimentalmente per lm ultrasottili di grate
che esibiscono il comportamento previsto per lo strato ideale di grafene. Sotto
questa ipotesi è possibile correggere la (4.30) che diventa
σxy = ±
Deniamo inne
1
4e2 N+
.
h
2
1
ν = ±4(N + ) .
2
(4.31)
(4.32)
Notiamo che la (4.31) descrive correttamente le osservazioni sperimentali
riguardo la quantizzazione per valori interi della σxy .
4.4 Spitting dei livelli di Landau per campi magnetici intensi
Lo studio sperimentale dell'eetto Hall su grafene per campi magnetici particolarmente forti ha prodotto ulteriori novità. In questa sezione sintetizzeremo
gli ultimi sviluppi a riguardo.
Plateau per fattori di riempimento ν = 0, ±1, ±4 sono stati osservati per
campi magnetici B > 20 T [25]. I nuovi plateau ν = 0 e ν = ±4 sono
spiegabili considerando lo splitting Zeeman, ν = ±1 suggerisce invece una
rottura di simmetria del livello di Landau n = 0 con la formazione di un gap
energetico ∆0 [16].
Ricordiamo che, in presenza di campi magnetici non particolarmente intensi (B < 9 T), la degenerazione di ogni livello di Landau nel grafene è 4
34
Grafene in un campo magnetico: eetto Hall quantistico
∆0
∆E
Figura 4.3: Notiamo come la degenerazione di valley e di spin del livello
n = 1 è solo parzialmente eliminata mentre nel livello n = 0 è totalmente
eliminata
volte più grande rispetto alla degenerazione nel gas bidimensionale a causa
della degenerazione di valley e di spin. L'osservazione dei nuovi plateau per
ν = 0 e ν = ±1 indica che la degenerazione di valley e di spin del livello energetico n = 0 è completamente rimossa. La presenza di plateau per
ν = ±4 indica invece che la degenerazione di valley e di spin dei livelli energetici n = ±1 è rimossa soltanto parzialmente in quanto rimane una doppia
degenerazione per livello. Nella gura è riportato lo schema con i nuovi livelli
energetici e le denizioni di ∆0 e ∆E . Il gap energetico che provoca i plateau
per ν = ±4 è dovuto all'eetto Zeeman, come analizzato nella Ref. [25].
Nella Ref. [6] viene eettuato un t dei dati sperimentali e si ottiene:
g
∆E = 2(∆0 (B) − µB B) ,
2
(4.33)
√
dove µB indica il magnetone di Bohr, g = 2 e ∆0 (B) ' B . Il secondo
termine del secondo membro è evidentemente dovuto all'eetto Zeeman. Dal
t risulta che
p
∆0 (B) = (13.57 ± 0.28)K × kB B(T ) ,
(4.34)
dove kB è la costante di Boltzmann e B(T ) indica il campo magnetico espresso
in Tesla. Una possibile causa del gap energetico potrebbe essere l'iterazione
coulombiana elettrone-elettrone. Sotto questa ipotesi, il valore del gap è dato
da
r
∆0 (B) '
e2
ε
p
eB
' 163K × kB B(T ) ,
~c
(4.35)
dove ε = 4 e indica la costante dielettrica. Confrontando con la (4.34) ci
accorgiamo che questo risultato è un ordine di grandezza più grande. Questa
35
Il mare di Dirac
discordanza con i dati sperimentali ha portato alla formulazione di nuove
ipotesi.
4.5 Il mare di Dirac
Nella Ref. [5] viene mostrato un nuovo meccanismo in grado di descrivere
la rottura spontanea della simmetria di valley in presenza di un campo magnetico esterno. Mediante un riarrangiamento del mare
√ di Dirac è possibile
dimostrare la formazione di un gap energetico ∆0 ' B . Se ammettiamo
l'esistenza di tale gap, siccome l'energia dei livelli relativi a K+ e K− sono
correlate da K+ (∆0 ) = K− (−∆0 ) a causa della simmetria inversa, è facile
mostrare che lo spettro diventa
+,0 = ∆0
−,0 = ∆0
+,n = sgn(n)vF
−,n = sgn(n)vF
r
r
2~eB
|n| + ∆20
c
2~eB
|n| + ∆20
c
n = 1, 2 . . .
(4.36)
n = −1, −2 . . .
(4.37)
Consideriamo ora la densità del vuoto energetico ε ottenuto dal riempimento
del mare di Dirac. Se non consideriamo il gap energetico, in accordo con la
(4.24), otteniamo
r
∞
eB X
ε(0) = −2
hc n=1
2~vF2 eB
n,
c
(4.38)
dove il fattore che precede la somma indica la degenerazione dei livelli di
Landau. In presenza di un gap energetico ∆0 è necessario considerare la
(4.36) e la (4.37), quindi
∞
X
eB − ∆0 − 2
ε(∆0 ) =
hc
n=1
r
2~vF2 eB
2
n + ∆0 .
c
(4.39)
Deniamo
∞
X
eB ∆ε = ε(∆0 )−ε(0) =
−∆0 −2
hc
n=1
r
∞
X
2~vF2 eB
2
n + ∆0 +2
c
n=1
r
2~vF2 eB n .
c
(4.40)
Notiamo che le somme presenti nella (4.40) sono divergenti. Per valutare ∆ε
è suciente usare la rappresentazione integrale [4]
√
Z
a=−
0
∞
ds d −as
√
e
.
πs ds
(4.41)
36
Grafene in un campo magnetico: eetto Hall quantistico
Figura 4.4: Plot della funzione −λ + g(λ) rispetto a λ
Mediante un calcolo diretto si ottiene
ε
eB
hc
r
=
~vF2 eB
[−λ + g(λ)],
c
dove
∞
Z
g(λ) = 2
0
∆0
,
(4.42)
e−2x i
dx d h −λ2 x
√
e
−1
.
1 − e−2x
πx dx
(4.43)
λ= q
2 eB
~vF
c
La funzione −λ + g(λ) è mostrata nella gura 4.5. Ricavare il valore di ∆0
dalla (4.42) è particolarmente dicoltoso. Possiamo cercare una stima di ∆0
considerando il valore di λ che minimizza la funzione −λ + g(λ). Dalla gura
è evidente la presenza di un minimo per il valore di λ = λ̄ ' 0.45. Questo
induce a un gap energetico
r
∆0 = λ̄
p
~vF2 eB
' 134K × kB B(T )
c
(4.44)
che è comparabile con la stima della ∆0 nel caso dell'iterazione di Coulomb.
Recentemente è stata usata l'idea della catalisi magnetica per descrivere il
gap energetico ∆0 . Una quantità importante in teoria dei campi è il cosidetto
condensato chirale, denito come
1
hΨΨ̄i =
V
Z
d2 x h0| Ψ̄(x)Ψ(x) |0i ,
(4.45)
dove V indica il volume spaziale e |0i lo stato fondamentale (vuoto). Un
valore diverso da zero del condensato chirale indica tipicamente la rottura
37
Il mare di Dirac
spontanea di una simmetria. In particolare, si può dimostrare che un valore
diverso da zero di hΨΨ̄i può essere messo in relazione con la comparsa di un
gap ∆0 [6]:
1
1
~ceB
q
ζ( ) .
(4.46)
hΨΨ̄i = −2∆0
2
2π
2~vF eB
c
2
È possibile ricavare il valore del condensato chirale numericamente mediante
delle simulazioni Monte Carlo e conseguentemente valutare il gap energetico.
Seguendo questo approccio si ottiene [6]
∆0 (B) = (5.52 ± 0.67)K × kB
p
B(T ) .
(4.47)
Da un confronto con la (4.34) possiamo notare come il risultato trovato sia
confrontabile con il valore sperimentale.
Capitolo 5
Conclusioni
In questa tesi è stata studiata la teoria dell'eetto Hall quantistico intero. Nella prima parte (Cap. 2) abbiamo ricavato e sviluppato la dinamica
di un gas di elettroni bidimensionale non interagenti soggetto a un campo
magnetico perpendicolare al piano del gas. Sono stati esposti i risultati sperimentali della quantizzazione della ρxy nella sezione 2.4 ed è stato spiegato
come il disordine cristallino possa spiegare la comparsa dei plateau utilizzando una teoria di elettroni non interagenti. E' stato accennato l'eetto Hall
quantistico frazionario, ma non è stato sviluppato in seguito.
Nella seconda parte (Cap. 3 e 4) si è studiato il grafene, un materiale
che rappresenta un sistema di elettroni realmente bidimensionale. Lo studio
della dinamica elettronica nei pressi dei punti di Dirac K ± ci ha permesso
di comprendere le straordinarie proprietà di trasporto di questo innovativo
materiale. Lo studio del grafene in un campo magnetico perpendicolare al
piano che lo contiene ha permesso l'osservazione dell'eetto Hall quantistico
intero. Abbiamo visto come i plateau osservati si scostano per un fattore 1/2
da quelli visti nell'eetto Hall ordinario a causa della presenza di un livello
di Landau per n = 0 con energia nulla.
Inne sono stati esposti dei recenti studi sperimentali e teorici dell'eetto
Hall su grafene in campi magnetici particolarmente intensi (B > 20 T). La
comparsa di nuovi plateau per ν = 0, ±1, ±4 sta portando a un'indagine
teorica in continua evoluzione. In particolare, come evidenziato nella sezione
4.5, lo studio generale della rottura di simmetria chirale dovuta alla presenza
di un campo magnetico esterno è in grado di spiegare la comparsa dei plateau
per ν = ±1.
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