MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Ana Millán Gasca a.a. 2009-2010 Letture ed esercitazioni 1 LETTURA 1. Tratta da Enrico Giusti, Ipotesi sulla natura degli oggetti matematici, Torino, Bollati Boringhieri, 1999, cap. 1 Numeri LETTURA 2. Le origini della geometria secondo il racconto di Erodoto. Tratto da Erodoto, Storie, libro I, 68-69 «Da quel tempo, infatti, il paese, pur essendo tutto pianeggiante, è divenuto impraticabile per cavalli e carri, a causa dei canali che vi sono, numerosi e rivolti in tutte le direzioni. Il re [Sesostri], d’altra parte, aveva questa ragione per farne scavare in tutto il paese: tutti gli Egiziani che avevano le città non nei pressi del fiume, ma piuttosto all’interno, ogni volta che il Nilo si ritirava, venendo a scarseggiare l’acqua, dovevano servirsi di acque salmastre, che attingevano dai pozzi: è per questo che l’Egitto fu solcato da canali. Raccontavano, poi, che questo re di Egitto] aveva distribuito la terra fra tutti gli Egiziani, assegnando a ciascuno, in misura uguale, una porzione di terreno in forma quadrangolare; e si era procurato in questo modo delle entrate, con lo stabilire un tributo che dovevano pagargli ogni anno. Se il fiume asportava una parte qualsivoglia della porzione assegnata ad uno, questi andava di volta in volta dal re a segnalargli l’accaduto; e il re mandava degli addetti a fare sopraluoghi e a misurare di quanto risultasse ridotto l’appezzamento, affinché, per l’avvenire, il cittadino riducesse proporzionalmente il contributo stabilito. Di qui, secondo me, ha avuto origine la scoperta della geometria che, poi, fu introdotta in Grecia; poiché l’orologio solare, la meridiana e la divisione del giorno in dodici parti i Greci la ricevettero dai Babilonesi.» 1) Riassuma in tre frasi la discussione della prima ora del corso che ha preso spunto dalla lettura. 2) Le origini antropologiche degli oggetti della matematica. «Per condurre una retta tra due punti, l’agrimensore li segnerà con due picchetti, annoderà una corda a uno di essi, e la fisserà all’altro dopo averla tirata. Da queste operazioni il geometra trarrà due definizioni e un postulato: tra due punti, che ne rappresentano gli estremi, si può sempre tracciare una retta, che giace uniformemente tra di essi. Allo stesso modo, l’ingegnere traccerà un cerchio con un dato centro e con un intervallo fissato prima tirando una retta tra il centro e il punto che misura l’intervallo, e poi, scalzato il picchetto da questo punto, lo farà ruotare descrivendo una circonferenza. Di qui la definizione di cerchio e il postulato relativo. Possiamo allora avanzare un’ipotesi: che gli oggetti matematici provengano non dall’astrazione da oggetti reali, da cui descriverebbero i tratti caratteristici, ma da un processo di oggettualizzazione delle procedure. Essi non derivano da una realtà esterna, indipendente dall’uomo, di cui rappresenterebbero l’essenza depurata delle impurità materiali, ma formalizzano l’operare umano. Si tratta sempre, e non potrebbe essere altrimenti, di un processo di astrazione, un cristallizzare in pochi tratti invariabili la varietà infinita delle operazioni infinitamente compiute; ma l’astrazione avviene non a partire dai dati della realtà, ma dalle operazionei della tecnica; la matematica non è figlia della natura, ma dell’arte. In questa formalizzazione, le definizioni e i postulati svolgono un’opera di traduzione dai procedimenti empirici della prassi alle figure e alle operazioni astratte della geometria. […] Nello stesso meccanismo potrebbero rientrare i numeri, non astrazioni da oggetti che non esistono (meno che mai astrazioni da altre astrazioni, come la numerosità, o 1 l’equipotenza, come fino a qualche anno fa sembravano suggerire i programmi delle scuole elementare), ma oggettualizzazioni dell’attività del contare (qui il condizionale è d’obbligo: data l’assoluta mancanza di documenti, non possiamo che rimandare alla testimonianza di Qwfwq).» Enrico Giusti, Ipotesi sulla natura degli oggetti matematici, Torino, Bollati Boringhieri, 1999, 25-27. ESERCIZI 1) Una piscina è lunga due volte la sua larghezza. Per costruire attorno alla piscina un recinto di rete a distanza di 5 m dal bordo sono stati necessari 190 m di rete. Quali sono le dimensioni della piscina? 2) Una confezione in busta di arance costava 15 euro. Siccome erano troppe, ne sono state tolti 4 kg e costa ora 9 euro. Quanto pesava la busta? 3) Andrea ha preparato un vassoio di paste. Ha messo da parte due terzi delle paste per sua madre, e ha regalato un quarto del resto di paste all’amica Sandra. Sono rimaste 15 paste che ha tenuto per sé. Quante ne aveva preparate? 4) Il perimetro di un appartamento a pianta rettangolare misura 28 m, e l’area 48 m2. Calcolare la lunghezza e la larghezza. 5) Legga il paragrafo 7.3 della lezione 7 del materiale didattico del corso (nell’atrio elettronico). Rifletta e risponda alle seguenti domande, riferite ai problemi 1, 2, 3 e 4: a) In quali fra i quattro problemi è utile fare uno schizzo o disegno schematico? b) Quali dei quattro problemi sono problemi aritmetici? Quali sono geometrici? Il disegno (diagramma o rappresentazione geometrica) può essere utile nei problemi aritmetici? c) Per ogni problema, identifichi che tipi di numeri sono adoperati: naturali, interi negativi, razionali? Se sono usati dei numeri razionali, indichi se si usano sotto forma di frazione o con espressione decimale. d) Il problema 2 si può risolvere adoperando soltanto i numeri naturali (che sono gli unici presenti nei dati del problema). Tuttavia, per una possibile strategia di risoluzione è necessario considerare un campo numerico più ampio (i numeri razionali): spieghi il motivo. 6) Abbiamo ricordato che lo “sguardo quantitativo” identifica sia quantità ottenute da conteggi (si parla di quantità discrete) oppure grandezze (ottenute da misurazioni, ossia dal confronto con un’unità di misura). Per ognuno dei quattro problemi 1, 2, 3 e 4: a) individui se nel problema sono coinvolte quantità discrete oppure una o più grandezze. b) per le grandezze, indichi di quali grandezze si tratta e l’unità di misura adoperata. 2 7) Rifletta sulla presenza nei quattro problemi dell’idea di proporzionalità. Perché nel problema 2 non vi è aumento proporzionale? 8) Confronti la risoluzione dei problemi con l’aiuto dell’algebra (equazioni di primo e secondo grado e sistemi di equazioni) e senza algebra (per tentativi, attraverso tabelle di proporzionalità e per riduzione all’unità). 9) Per ognuno di questi problemi, è possibile progettare più di un piano? Prepari una scheda didattica per ogni problema riassumendo le informazioni desunte dalle domande 5, 6,7 e 8 di questo esercizio, e simulando diverse strategie di risoluzione. Esplori anche le possibili verifiche (looking back) anche usando strategie di risoluzione non usate come verifiche. 10) “Risolvere un problema significa trovare una strada per uscire da una difficoltà, una strada per aggirare un ostacolo, per raggiungere uno scopo che non sia immediatamente raggiungibile” (Gorge Polya, La scoperta matematica, vol. 1, p. xi, Milano, Feltrinelli, 1971, ed. originale inglese 1962) Rifletta: In che senso i quattro esercizi proposti sono veri e propri problemi? Lo sono stati per lei? Lo sono conoscendo l’algebra? Lo sono per bambini che non conoscono l’algebra? Proponga un problema elementare corredato da una scheda didattica (si veda problema 9) Altri esercizi: Nel paragrafo 7.3 della lezione 7 vi sono altri problemi elementari tratti da libri di testo elementari 3