Document

DIGITAL BOOKS
DISPENSE DI
MATEMATICA
Cenni di teoria degli insiemi
I numeri naturali
I numeri razionali assoluti
I numeri relativi (interi)
ISTITUTO ALBERGHIERO “SANDRO PERTINI” - BRINDISI
Cenni di teoria elementare degli insiemi
1. La matematica e i simboli
“La Matematica è una scienza che usa molti simboli.”
Esempi di simboli: “+”, “x”, “=”, “5”...
Con tali simboli si rappresentano, in maniera sintetica e rapida, affermazioni del
tipo:
La somma del numero cinque con il numero tre è uguale alla somma del
numero sei con il numero due.
Quante parole per:
5+3=6+2
Meglio usare i simboli! Altrimenti, che barba!
2. Che cos’è un insieme
Oltre ai simboli, la matematica utilizza concetti, ossia parole il cui significato è
circoscritto con grande precisione. Tale è il concetto di insieme.
Insieme, con questa parola, si vuol raggruppare mentalmente
l‟insieme (il gruppo, la collezione...) degli oggetti che hanno
una caratteristica comune.
Esempi di insieme:
 L‟insieme degli abitanti di Brindisi.
 L‟insieme dei coltelli da cucina.
 L‟insieme degli alunni dell‟Alberghiero di Brindisi.
I concetti, come i simboli, servono a sintetizzare, a tagliar corto, ma con grande
precisione.
La cosa più importante, quando si ha a che fare con gli insiemi, è di fissare
l‟attenzione sulla caratteristica comune.
Questo serve per sapere di quali “oggetti” è composto l‟insieme.
 L‟insieme dei calciatori più bravi.
 L‟insieme dei cantanti più belli.
In questi due esempi le caratteristiche comuni “più bravi”, “più belli” sono
imprecise, perché dipendono dal gusto personale (ciò che per me è bello, può
non essere tale per un altro). In questo modo, molto probabilmente, non
troveremmo un accordo su chi c‟è negli insiemi.
Se invece diciamo:
 l‟insieme dei calciatori della serie A;
 l‟insieme dei cantanti che hanno partecipato all‟edizione 2009 del festival
di Sanremo;
avremo dato due caratteristiche comuni precise, esatte, e non dovremmo
discutere per sapere chi ci può essere, oppure no, negli insiemi considerati.
Un calciatore che milita nella squadra di calcio del Brindisi, sicuramente non
fa parte del primo insieme (l‟insieme dei calciatori della serie A).
Così Jovanotti non fa parte dell‟insieme dei cantanti che hanno partecipato
all‟edizione 2009 del festival di Sanremo (Jovanotti, si può controllare, non ha
partecipato all‟edizione 2009 del festival di Sanremo).
Fra gli insiemi si considera anche l‟insieme che non ha elementi, che si chiama
insieme vuoto. Per indicarlo si usa il simbolo  .
Ricapitolando:
 dice anche: definito in senso
Un insieme è ben definito (si
matematico) se, qualunque siano i suoi elementi, per ognuno
di essi (indichiamolo con x) possiamo rispondere solo “si”
oppure “no” alla domanda: “ x è un elemento dell‟insieme?”.
3. Rappresentazione simbolica di un insieme
Ricordate: la Matematica è una scienza che utilizza i simboli. E allora, via con i
nuovi simboli.
Gli insiemi si indicano con lettere maiuscole: A, B, C...
Indichiamo con V l‟insieme delle vocali dell‟alfabeto italiano; per indicare da
quali elementi V è composto, scriviamo l‟elenco degli elementi di V,
racchiudendoli tra parentesi graffe:
V= a, e, i, o, u
Tale rappresentazione si chiama rappresentazione tabulare (si elencano gli
elementi) dell‟insieme V. Si chiama anche rappresentazione per elencazione.
(In tale rappresentazione l‟insieme vuoto V si rappresenta con: V   .)
Oppure, per indicare V scriviamo tra le parentesi graffe la proprietà, ossia la
caratteristica comune degli elementi dell‟insieme, così:

V=  vocali dell’alfabeto italiano 
Tale rappresentazione si chiama, invece, rappresentazione caratteristica
(ricordiamo che la proprietà deve essere “precisa”) dell‟insieme V.
(Potenza dei simboli! Con i simboli si fa prima, e meglio!)
Se con x indichiamo un elemento generico (qualsiasi) di un dato insieme, si usa
indicare l‟insieme V precedente anche con questa scrittura:
V  x : x è una vocale dell' alfabeto italiano 
che si legge: V è l’insieme delle x tale che x è una vocale dell’alfabeto italiano;
dal che si evince che i due puntini ,“:”, si leggono tale che. I due puntini “:”
possono essere sostituiti da una barra verticale “|”; così che l‟insieme V in
questione si indica:
V  x | x è una vocale dell' alfabeto italiano 

C‟è, infine, un altro modo di rappresentare un insieme: si racchiudono gli
elementi entro una linea chiusa.
.a
.e
.i .o
.u
Questa rappresentazione si chiama diagramma di Venn (anche diagramma di
Eulero-Venn).
Indichiamo con A l‟insieme di tutti gli alunni dell‟Alberghiero di Brindisi, e con
Z indichiamo l‟insieme costituito dagli alunni della Prima Z dell‟Alberghiero di
Brindisi.
Nella realtà non esiste la Prima Z, ma facciamo esistere la Prima Z nella nostra
fantasia!
E allora, questo è l‟elenco degli alunni della Prima Z:
1.
Albano Lucio
2.
Alighiero Monica
3.
Carocci Silvano
4.
Fanuli Giorgio
5.
Lauro Mariella
6.
Micocci Francesca
7.
Notari Aldo
8.
Ruocco Antonio
9.
Zuccalà Sarah
Neanche una classe di 9 alunni è molto realistica, ma nella fantasia, in cui esiste
la Prima Z, ciò è possibile.
Allora, ricapitolando:
Z =  alunni della Prima Z 
(rappresentazione caratteristica di Z)
Z =  Albano Lucio, Alighiero Monica, Carocci Silvano, Fanuli Giorgio, Lauro
Mariella, Micocci Francesca, Notari Aldo, Ruocco Antonio, Zuccalà Sarah 
(rappresentazione tabulare di Z)
Dell‟insieme Z, potresti fare il diagramma di Venn?
Alla fine di questo paragrafo facciamo un‟importante osservazione in merito alla
scrittura tabulare di un insieme.
Consideriamo ora i due insiemi: A  1,1,2,0,2,2,0,0 e B  0,1,2; essi sono uguali,
A=B, cioè sono lo stesso insieme (p. e. nell‟insieme A, 1 e 1 sono lo stesso
elemento ripetuto). Di ciò
ci si può convincere
 esaminando i due insiemi dal
punto di vista della proprietà caratteristica: A e B contengono entrambi i primi
tre numeri naturali. Osserviamo ora che la seconda scrittura (la scrittura che
rappresenta l‟insieme B) è più concisa della prima (la scrittura che rappresenta
l‟insieme A); la seconda scrittura, più economica (dal punto di vista dell‟utilizzo
di segni), si conviene che sia da preferire alla prima. Ne deduciamo che non c‟è
bisogno di ripetere nella scrittura più volte lo stesso elemento.
Inoltre, nell‟elencare gli elementi di un insieme l‟ordine di elencazione non ha
alcuna importanza (la proprietà caratteristica non cambia variando l‟ordine di
elencazione). Per esempio:
1,2,3  2,3,1
a,e,i,o,u  o,i,e,a,u
Se si sceglie l‟ordine alfabetico o numerico, come negli esempi precedenti, lo si
fa per motivi che possiamo definire estetici o di comodità.
Esercizio svolto
Accanto alla definizione delle seguenti collezioni scrivi SI oppure NO, a
seconda che si tratti di un insieme ben definito, oppure no.
a) Le prime dieci città più belle d‟Italia.
b) Le città italiane capoluogo di provincia.
c) I calciatori di serie A che nel campionato 2009-2010 hanno segnato più di
dieci goal.
d) I calciatori di serie A che nel campionato 2009-2010 non hanno preso
alcuna ammonizione.
e) I calciatori di serie A più bravi.
f) Le pizzerie di Brindisi che fanno la pizza più buona.
g) Gli alunni dell‟Alberghiero di Brindisi che nell‟anno scolastico 20092010 non hanno preso neanche una nota disciplinare.
Le collezioni a), e), f) non sono definite in senso matematico, perché non
troveremmo probabilmente un accordo sulla proprietà che le caratterizza; due
persone invitate a scrivere l‟elenco delle prime dieci città italiane più belle
potrebbero non scrivere le stesse città: la definizione tira in ballo caratteristiche
(di gusto, affettive, ecc.) delle persone che variano da persona a persona; che
non sono, né possono esserlo, oggettive, ossia le stesse per tutti. Quindi a), e), f),
non sono insiemi.
Le collezioni b), c), d), g), definite ognuna da proprietà oggettive, che si possono
verificare, cioè controllare, sono insiemi in senso matematico. Ad esempio,
basterebbe guardare tutti i registri di classe, relativi all‟anno scolastico 20092010, di tutte le classi dell‟Alberghiero di Brindisi, per scrivere gli alunni che
non hanno avuto alcuna nota disciplinare; un lavoro lungo, e noioso, ma che si
potrebbe fare, scrivendo per elencazione tutti gli elementi, cioè gli alunni senza
note. Perciò:
a) Le prime dieci città più belle d‟Italia. NO
b) Le città italiane capoluogo di provincia. SI
c) I calciatori di serie A che nel campionato 2009-2010 hanno segnato più di
dieci goal. SI
d) I calciatori di serie A che nel campionato 2009-2010 non hanno preso
alcuna ammonizione. SI
e) I calciatori di serie A più bravi. NO
f) Le pizzerie di Brindisi che fanno la pizza più buona. NO
g) Gli alunni dell‟Alberghiero di Brindisi che nell‟anno scolastico 20092010 non hanno preso neanche una nota disciplinare. SI
3. Appartenenza e non appartenenza a un insieme
La proposizione “Fanuli Giorgio è un elemento dell‟insieme Z (Fanuli Giorgio è
un alunno della Prima Z) si indica, con i simboli, con:
Fanuli Giorgio  Z
In generale, se con A indichiamo un insieme qualsiasi, e con a un suo elemento,
la proposizione “a è un elemento di A”, in simboli si esprime con:
a  A.
La proposizione “Santoro Alberto non è un elemento dell‟insieme Z” (Santoro
Alberto non sta in Prima Z, ma in un‟altra classe) in simboli si esprime così:
Santoro Alberto  Z
In generale, la proposizione “b non appartiene all‟insieme A”, si esprime con:
bA
Esercizio svolto
Considera le scritture seguenti, che esprimono l‟appartenenza o la non
appartenenza di un dato elemento a un dato insieme. Esse rappresentano
affermazioni vere oppure false (l‟una esclude l‟altra). Per ognuna di esse indica,
cerchiando il simbolo opportuno a lato, se sono vere (V) oppure false (F).
a) 3 N
V
F
b) 4,5  N
V
F

c) 5 N
V
F

d) 5  55
V
F

e) a  N
V
F

Osserviamo che le scritture sopra considerate, che utilizzano i simboli  e , per
avere senso devono rispettare condizioni precise: a destra dei simboli  e  deve
comparire per forza un insieme, mentre a sinistra il termine può
essere
 qualsiasi.
Veniamo a svolgere l‟esercizio:
 
a) è vera, perché 3 è un elemento di N;
b) è vera, perché 4,5 non è un elemento di N;
c) è falsa perché 5, che rappresenta l‟insieme il cui unico elemento è il numero
5, non è nell‟elenco degli elementi di N;
d) è falsa,
perché l‟insieme di destra ha un solo elemento, 55, che evidentemente
non è 5;
e) è vera, perché la lettera a non è un numero naturale.
7. Sottoinsiemi di un insieme
Consideriamo nuovamente l‟insieme V (ricordate? L‟insieme delle vocali
dell‟alfabeto italiano).
V= a, e, i, o, u
Adesso introduciamo questo nuovo insieme:
U=  o, u 
L‟insieme U è contenuto nell‟insieme V. Si dice che U è sottoinsieme di V e,
in simboli, si scrive:
UV
.a
.i
.e
.u
V
.o
U
Lo stesso concetto, al contrario, si esprime dicendo che V contiene U; in
simboli:
V U
Per stare all‟esempio, possiamo considerare gli elementi di V che non stanno in
U, che sono: a, e, i. Questi elementi costituiscono un nuovo insieme che viene
chiamato complementare di U rispetto a V e che si indica con U . Quindi:
U  a,e,i.
 se un elemento
Sempre riferendoci all‟esempio, possiamo osservare che
appartiene ad un sottoinsieme, appartiene anche all‟insieme che lo contiene:

se o U allora o V poiché U  V . Con questa osservazione possiamo definire
con più precisione un sottoinsieme:



U è sottoinsieme di V, se ogni elemento di U è anche
elemento di V.
In base a questo possiamo dire che ogni insieme V qualsiasi è sottoinsieme di
se stesso.
Invece l‟insieme T  b,c,d non è un sottoinsieme di V, e questo fatto si
esprime con:
T 
V

Esercizio svolto
Inserire il simbolo “  ” oppure la sua negazione “  ”.
a) 3
numeri dispari

b) 5 
numeri pari

c) numeri dispari numeri naturali

d) a,e,i,o,u
numeri naturali

e) a,e,i,o,u
alfabeto italiano.


 a) L‟insieme costituito solo dal numero 3 è un sottoinsieme dell‟insieme dei
numeri dispari ( 3  numeri dispari).
b) L‟insieme costituito dal solo numero 5 non è un sottoinsieme dell‟insieme
dei numeri
 pari ( 5  numeri pari).
c) L‟insieme dei numeri dispari sono un sottoinsieme dell‟insieme dei
numeri naturali
( numeri dispari numeri naturali).

d) L‟insieme delle vocali dell‟alfabeto italiano non è un sottoinsieme
dell‟insieme
 dei numeri naturali ( a,e,i,o,u  numeri naturali).
e) L‟insieme delle vocali dell‟alfabeto italiano è un sottoinsieme
dell‟insieme delle lettere 
dell‟alfabeto italiano
( a,e,i,o,u  alfabeto italiano ).

8. Intersezione e unione di due insiemi
Per formare gli insiemi possiamo scatenare la nostra fantasia.
In Matematica, tuttavia, tra gli infiniti modi con cui possiamo formare un
nuovo insieme, assumono un‟importanza particolare due modi per formare
nuovi insiemi a partire da insiemi vecchi (già esistenti, già definiti).
Consideriamo il primo.
Utilizziamo gli insiemi A e Z, nostre vecchie conoscenze.
L‟insieme di tutti gli alunni dell‟Alberghiero di Brindisi (insieme A) che sono
anche alunni della Prima Z (insieme Z), costituisce un nuovo insieme,
l‟insieme degli elementi comuni ad A e a Z, che si chiama intersezione di A e
Z, e che si indica con:
AZ
In altre parole, a partire da due insiemi come A e Z, possiamo formare un
 nuovo insieme costituito dagli elementi comuni sia ad A che a Z.
Nell‟esempio considerato possiamo dir di più e affermare:
AZ  Z
Non è vero?

Z
A
La parte ombreggiata, l‟insieme Z, rappresenta l‟intersezione tra A e Z.
Vediamo un altro esempio; consideriamo gli insiemi:
B  0,1,2,3,4,5,6

C  5,6,7,8,9,10
 Indichiamo con D l‟intersezione di B e C. Si ha:
D  B C
D  5,6


Col diagramma di Venn
.0
.6
.9
.1
B .3
.7
.2
.4
.5
D
.8
C
.10
Consideriamo i due insiemi: M  x / x è una lettera della parola "auto",
N  x / x è una lettera della parola "bici". I due insiemi non hanno elementi in
 . Due insiemi, come gli insiemi A e B considerati, che
comune, perciò A  B
non hanno elementi in comune, si dicono disgiunti.

Possiamo
ora definire l‟intersezione tra insiemi.
Si chiama intersezione di due insiemi B e C, l‟insieme D
composto da tutti gli elementi appartenenti sia a B che a C;
tale nuovo insieme si indica con
D  B C .
Utilizziamo ancora gli insiemi A eZ, nostre vecchie conoscenze.
L‟insieme di tutti gli alunni dell‟Alberghiero di Brindisi (insieme A) e di tutti gli
alunni della Prima Z (insieme Z), costituisce un nuovo insieme che si chiama
unione di A e Z, e che si indica con:
AZ
Anche in questo caso possiamo dire di più, e affermare:

AZ  A
Non è vero?

A
Z
La parte ombreggiata rappresenta l‟unione di A e Z.
Utilizziamo ora gli insiemi B e C:
B  0,1,2,3,4,5,6

C  5,6,7,8,9,10
Indichiamo con E l‟unione di B e C. Si ha:

E  B C
E  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
 Col diagramma di Venn:

B
C
Possiamo definire oral‟unione tra insiemi.
Si chiama unione di due insiemi B e C, l‟insieme E composto da tutti
gli elementi che appartengono a B, a C, oppure a tutti e due (gli
elementi in comune); tale nuovo insieme si indica con
E  B C .
In generale, se sommiamo due numeri, per esempio 5e 3, otteniamo un nuovo
numero, 8:
5+3=8
In generale, se facciamo l‟intersezione di due insiemi B e C, otteniamo un nuovo
insieme D.
E se facciamo l‟unione di due insiemi B e C, otteniamo un nuovo insieme E.
Non c‟è un‟analogia tra la somma (o qualsiasi altra operazione con due numeri)
e l‟intersezione o l‟unione tra insiemi?
Per questo motivo, l‟intersezione e l‟unione tra insiemi sono chiamate
operazioni tra insiemi.
Esercizio svolto
Per ogni coppia di insiemi determina l‟unione (insieme C) e l‟intersezione
(insieme D), rappresentandole per elencazione.
a) A  0,1,2,3,4,5 B  4,5,6,7,8,9
b) A  x / x  N,1 x  9 B  x / x è divisore di 18



a)

c)
A  x / x è una lettera della parola " padella"
B  x / x è una lettera della parola "coltello "
.
C  A  B  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
D  A  B  4,5
b) Prima di trovare gli insiemi C (insieme unione) e D (insieme intersezione),
conviene rappresentare per elencazione gli insiemi A e B.
A  1,2,3,4,5,6,7,8,9 B  1,2,3,6,9,18

ESERCIZI
1 Indica quali tra i seguenti insiemi sono finiti, oppure vuoti.
a) I numeri naturali compresi tra 50 e 60.
b) Le consonanti della parola “io”.
c) I multipli di 3.
d) I numeri naturali minori di 0.
e) I quadrati con tre lati.
f) Gli abitanti della Terra.
2 Dati gli insiemi A  2,4,6,8, B  1,3,5,7,9, C  0 , stabilisci quali delle
seguenti affermazioni sono vere (V), oppure false (F), barrando la casella
opportuna. 




a) 3 A
V
F
b) 0 C
V
F
c) 1,3 B
V
F
V
F
e) 6,8  A
V
F
f) 10  B
V
F
d)
5
A
7

3 Considerando gli insiemi dell‟esercizio precedente, completa con i seguenti
simboli  e  le seguenti frasi, in modo da renderle vere.
a) a … A
 b)5 … B
c) (-2) … A
d) 145 … C
e) 0 … B
f) 0 … C.
4 Rappresenta mediante la rappresentazione tabulare i seguenti insiemi.
a) I multipli pari di 5 minori di 25.
b) I numeri naturali pari compresi tra 10 e 20.
c) I divisori di 12.
d) I mesi che cominciano con la lettera “m”.
e) Le vocali della parola “aiuole”.
f) Le lettere della parola “scuola”.
5 Rappresenta graficamente (col diagramma di Venn) gli insiemi dell‟esercizio
precedente.
6 Rappresenta i seguenti insiemi mediante la proprietà caratteristica.
a) A  a, e, i, o, u
b) B  2,4,6,8,10

c) C  Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove, Saturno, Urano, Nettuno, Plutone

d) D  martedì, mercoledì 

e) E  5,10,15,20,25,30,35,40,45,50

f) F  gennaio, febbraio, marzo, aprile, maggio.

7 Dato l‟insieme A  2,4,6,8,10, stabilisci quali delle seguente affermazioni
sono vere (V), oppure false (F).
a) 8  A
V
F
b) 10  A
V
F

c) 2,4  A
V
F

d) 246  A
V
F

e) x / x  N, 2  x  8 A
V
F

f) 4 A
V
F
8 Dati gli insiemi A  x / x  N, x è multiplo di 2, B  2,4,6,8,10,12,..., C  3,12,
completa inserendo correttamente i simboli: , , , , .
a) 8 ... 
A
b) 8 ... C

c) B ... A

d) C ... A

e) 2,4,6 ... B





f) 12 ... A .
9
Per ogni coppia di insiemi determina l‟unione e l‟intersezione,
rappresentandole mediante un diagramma di Venn.
a) A  0,2,4,6,8,10
B  1,3,5,7,9
b) A  x / x  N, x è divisore di 12


c)
B  x / x  N,1 x  6
A  x / x è una lettera della parola " padella"
B  x / x è una lettera della parola "coperchio"
.
10 Ricopia sul quaderno più volte e colora i seguenti insiemi:
A  B; A  B; A C; A C; B C; B C .

C
A
B
I NUMERI NATURALI
Introduzione
I numeri naturali sono stati introdotti per contare gli oggetti (o elementi) di
un dato insieme, e sono, come tutti sanno:
0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9,10, ……20, ……..99,100,101, …………………
Essi formano una successione di numeri; per ottenere il successivo basta
aggiungere “1” al precedente, e per ottenere il precedente basta togliere “1” al
successivo.
Ad esempio: il successivo di 5 è 6, mentre il precedente di 16 è 15.
Nei numeri naturali non esiste l‟ultimo numero, infatti basta aggiungere “1” e si
ottiene il successivo.
Per questo si dice che i numeri naturali sono infiniti. L‟infinito si indica col
simbolo

Il più piccolo numero naturale è lo zero.
I numeri naturali formano una successione che si indica con N; si dice che N é
un insieme ordinato
Ricapitolando, possiamo dire che N ha le seguenti proprietà:
1) il più piccolo elemento di N è lo zero
2) ogni elemento di N tranne lo zero è il successivo di un elemento di N
3) ogni elemento di N ha il successivo, non vi è cioè un ultimo elemento
4) ogni elemento di N, tranne lo zero, ha un precedente
Relazioni di uguaglianza e di disuguaglianza
Un qualsiasi numero della successione di numeri naturali si dice maggiore di
quelli che lo precedono e minore di quelli che lo seguono.
Ad esempio
5 è minore di 9 e si scrive 5 < 9
8 è maggiore di 3 e si scrive 8 > 3
Generalmente, quando si vuole indicare un numero senza precisarne il valore, lo
si rappresenta con una lettera minuscola dell‟alfabeto; così, per indicare che un
numero a è maggiore di un numero b si scrive
a > b (1)
e per indicare che un numero c è minore di un numero d si scrive
c < d (2)
(1) e (2) rappresentano una relazione che si chiama “ disuguaglianza”.
Si dice poi che due numeri a e b sono uguali se rappresentano lo stesso numero e
si scrive
a = b (3)
La (3) si chiama “uguaglianza”
I numeri naturali si possono rappresentare su una semiretta di origine O e sulla
quale sono staccati tanti segmenti sulla destra tutti uguali fra loro.
Ad ogni estremo di segmento corrisponde un numero naturale.
LE QUATTRO OPERAZIONI NELL‟INSIEME “N” E LE LORO
PROPRIETA‟
Addizione
L’addizione è una operazione sempre possibile nei numeri naturali; infatti,
se consideriamo due numeri naturali e li sommiamo fra loro otteniamo un
altro numero naturale. Si dice che l’addizione è un’operazione interna
all’insieme N, cioè N è chiuso rispetto all’addizione.
Esempio: 5 + 3 = 8
In questo caso il numero 5 e il numero 3 si chiamano addendi
Proprietà dell’ addizione
1. La proprietà commutativa : “cambiando l’ordine degli addendi il
risultato rimane invariato”
a+b=b+a ; a+b+c=b+c+a
3+7=7+3 ;
5+2+6 = 2+6+5
2. La proprietà associativa : “la somma di più numeri naturali non
cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma effettuata”
(m+n)+p=m+(n+p)
(2+3)+5=2+(3+5)
3. Elemento neutro : “La somma di un qualsiasi numero con lo 0 dà il
numero stesso”
m+0 = 0+m= m
4+0 = 0+4= 4
Sottrazione
Sottrarre un numero naturale “b” (sottraendo) da un numero naturale “a”
(minuendo) vuol dire trovare un numero naturale “c” (differenza) , se
esiste, che sommato a “b” dà come risultato “a” cioè
a – b = c se c + b = a
Esempio
7 – 5 = 2 se 2 + 5 = 7
7 si chiama minuendo; 5 si chiama sottraendo; 2 si chiama differenza
Non sempre è possibile sottrarre un numero naturale da un altro numero naturale
Ciò è possibile soltanto se il minuendo è più grande del sottraendo. Si dice
che la sottrazione non è un’operazione interna all’insieme N, cioè N è non è
chiuso rispetto alla sottrazione.
Infatti 5 – 7 non dà nessun risultato perché non esiste nessun numero
naturale che sommato a 7 dà come risultato 5
6 – 8 = ……………………… perché?
………..………..……………………………
Proprietà della sottrazione
1. Proprietà invariantiva della sottrazione “La differenza fra due numeri
non cambia se ad entrambi si addiziona o si sottrae uno stesso numero,
purché esso sia minore del sottraendo
Se a-b=c allora (a+n)-(b+n) = c
Se 7-4=3 allora (7+5)-(4+5) = 12 - 9 = 3
Se a-b=c allora (a-n)-(b-n) = c
Se 8-5=3 allora (8-2)-(5-2) = 6 - 3 = 3
2. Se due numeri sono uguali allora la loro differenza è uguale a 0
a–a=0
7–7=0
 La sottrazione non gode né della proprietà commutativa né di quella
associativa
Moltiplicazione
Se si devono sommare 5 numeri tutti uguali fra loro ad esempio
3+3+3+3+3=15
si può scrivere
3x5=15
oppure
3.5=15
In questo caso il 3 e il 5 si chiamano fattori e il risultato ottenuto, cioè il 15 si
chiama prodotto.
Si dice, allora, prodotto fra due numeri naturali a e b il numero che si
ottiene addizionando tanti addendi uguali ad a per b volte.
La moltiplicazione è una operazione sempre possibile nei numeri naturali;
infatti, moltiplicando fra loro due numeri naturali si ottiene ancora un
numero naturale. Si dice che la moltiplicazione è un’operazione interna
all’insieme N, cioè N è chiuso rispetto alla moltiplicazione
Esempio: 4.3=12
il 4 e il 3 sono due numeri naturali e il risultato del loro prodotto è ancora
un numero naturale.
Proprietà della moltiplicazione
1. La proprietà commutativa : “cambiando l’ordine dei fattori il risultato
rimane invariato”
a.b=b.a;
a.b.c=b.c.a
3.7=7.3 ;
5.2.6 = 2.6.5
2. La proprietà associativa : “il prodotto di più numeri naturali non
cambia se a due o più di essi si sostituisce il loro prodotto effettuato.”
(a.b) . c = a . (b.c)
(2.3) . 5 = 2 . (3.5)
3. Elemento neutro : “Il prodotto di un qualsiasi numero con il numero 1dà
il numero stesso”
m.1 = 1.m = m
4.1 = 1.4= 4
4. Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e alla
sottrazione
a . ( b + c ) = a . b + a . c oppure ( a + b ) . c = a . c + b . c
a . ( b - c ) = a . b - a . c oppure ( a - b ) . c = a . c - b . c
esempio
2 . (3 + 5) = 2 . 3 + 2 . 5
2 . (7 - 4) = 2 . 7 - 2 . 4
5. Legge di annullamento del prodotto
Il prodotto di due o più fattori vale zero se, e solo se, almeno uno
dei fattori è uguale a zero
2 . 5 . 0 . 34 . 2375 = 0
Viceversa
Se il prodotto di due o più fattori è uguale a zero allora vuol dire
che almeno uno dei due fattori è uguale a zero
Divisione
Dividere un numero naturale a per un numero naturale b vuol dire trovare
un numero naturale c, se esiste, che moltiplicato per b dà come risultato a.
Ad esempio:
a : b  c se c  b  a
Esempio:
10 : 5 = 2 se 2 . 5 = 10
10 si chiama dividendo; 5 si chiama divisore; 2 si chiama quoziente
Non è sempre possibile dividere un numero naturale a per un numero
naturale b; si dice allora che la divisione non è un’operazione interna
all’insieme N, cioè N è non è chiuso rispetto alla divisione.
Infatti, nella divisione 13: 5 non esiste nessun numero naturale che
moltiplicato per 5 dà come risultato 13.
Nella divisione 13 : 5 si può allora parlare di quoziente approssimato, cioè il
numero naturale più grande possibile che moltiplicato per il divisore dia un
prodotto non maggiore del dividendo.
Sottraendo poi dal dividendo il quoziente approssimato si ottiene la
differenza che viene chiamata resto.
Quindi 13 : 5 = 2 con resto = 3 perchè 2  5  10 e 13 - 10 = 3 .
Possiamo anche dire che 13  2  5  3 cioè dividendo = quoziente
approssimato per divisore più resto
Esercizi svolti
Qual è il dividendo di una divisione se il quoziente approssimato è 6 il
divisore è 2 e il resto è 3?
dividendo = quoziente approssimato per divisore più resto = 6  2  3 = 15
Qual è il divisore di una divisione se il quoziente approssimato è 5 il
dividendo è 16 e il resto è 1?
divisore = (dividendo meno resto) diviso quoziente approssimato = (16 – 1) : 5
=3
Esercizi da svolgere
Qual è il dividendo di una divisione se il quoziente approssimato è 5 il
divisore è 4 e il resto è 1?
dividendo =
Qual è il divisore di una divisione se il quoziente approssimato è 7 il
dividendo è 19 e il resto è 5?
divisore =
Proprietà della divisione
1. proprietà invariantiva “dividendo o moltiplicando per uno stesso
numero sia il dividendo che il divisore il prodotto non cambia”
Se 30:10 = 3 anche (30:2):(10:2) = 3
Se 10:5 = 2 anche (10.3):(5.3) = 2
2. proprietà distributiva a sinistra della divisione rispetto all’addizione
"per dividere una somma per un numero si possono dividere
separatamente, per quel numero, gli addendi e sommare tra loro i
quozienti”
(21+6):3 = 21:3 + 6:3=7+2 = 9
3. proprietà distributiva a sinistra della divisione rispetto alla sottrazione
"per dividere una differenza per un numero si possono dividere
separatamente, per quel numero, il minuendo e il sottraendo, purché il
minuendo sia maggiore del sottraendo, e sottrarre tra loro i quozienti”
(21-6):3 = 21:3 - 6:3=7-2 = 5
4. Se due numeri sono uguali allora il loro quoziente è uguale a 1
m : m =1
7:7=1
 La divisione non gode né della proprietà commutativa né di quella
associativa
 L’addizione e la moltiplicazione fra numeri naturali sono operazioni
sempre possibili, mentre non sono sempre possibili la sottrazione e la
divisione fra numeri naturali.
CASI PARTICOLARI DELLA DIVISIONE
1. La divisione fra un qualsiasi numero naturale  0 per 1 è uguale al
numero naturale stesso. (Il simbolo  si legge “diverso” )
2. La divisione dello 0 per un qualsiasi numero naturale  0 è sempre uguale
0
3. La divisione di un qualsiasi numero naturale  0 per 0 è impossibile
4. La divisione 0 : 0 è indeterminata
esempi:
6 : 3 = 2 vuol dire che 2.3=6
7 : 0 è impossibile, infatti non esiste nessun numero naturale che moltiplicato
per 0 è uguale a 7
7 : 0 = ? vuol dire che ? . 0 = 7 Quale numero dobbiamo sostituire col punto
interrogativo?
0 : 0 è indeterminata perché non è possibile determinare un numero unico che
moltiplicato per 0 dà come risultato zero, infatti qualsiasi numero è quello
giusto.
0 : 0=? vuol dire che ? . 0 = 0 Quale numero dobbiamo sostituire col punto
interrogativo?
Completa quando è possibile la seguente tabella nell’insieme N dei numeri
naturali:
a
b
7
5
9
0
1
4
0
3
5
1
0
1
0
4
a b
ba
ab
ba
a b
ba
a :b
b:a
PER RICORDARE
I numeri di una addizione si chiamano addendi e il risultato si chiama somma
I numeri di una moltiplicazione si chiamano fattori e il risultato si chiama
prodotto
I numeri di una sottrazione si chiamano minuendo e sottraendoe il risultato si
chiama differenza
I numeri di una divisione si chiamano dividendo e divisore e il risultato si
chiama quoziente
CALCOLO RAPIDO MENTALE
Le proprietà dell’addizione e della sottrazione, permettono, in molti casi, di
ottenere rapidamente la somma e il prodotto di due o più numeri. Vediamo
qualche esempio
2+7+8+13 =
applicando la proprietà commutativa si ha:
2+8+7+13=10+20=30
526+245 =
dissociando i numeri 526 e 245 si ha:
500+20+6+200+40+5=
500+200+20+40+6+5=
700+60+11=771
6.12 =
dissociando il 12 in 10+2 e applicando la proprietà distributiva
della moltiplicazione rispetto all’addizione si ha
6.(10+2)=6.10+6.2=60+12=72
15.13 =
dissociando il 13 in 10+3 e applicando la proprietà distributiva
della moltiplicazione rispetto all’addizione si ha
15. (10+3)=15.10+15.3=150+45=195
25.9 =
dissociando il 9 in 10-1 e applicando la proprietà distributiva
della moltiplicazione rispetto alla sottrazione si ha
25 . (10-1) = 25.10 – 25 .1=250 – 25 = 225
L‟ elevamento a potenza
Dati due numeri naturali a ed n, si chiama potenza e si indica con a n il
prodotto di n fattori uguali ad a.
Esempio: 25 è una potenza in cui 2 si chiama base e 5 si chiama esponente e
rappresenta la moltiplicazione 2  2  2  2  2
L’esponente indica allora quante volte devo moltiplicare la base per se
stessa
25  2  2  2  2  2  32
Se invertiamo l’esponente con la base otteniamo lo stesso risultato? No
mai.
25  52 ;
34  43 ;
23  32
Esiste un caso particolare
24  42
La potenza di potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per
esponente il prodotto degli esponenti. Esempio:
2 
3 2
 26
Proprietà delle potenze
“Le proprietà delle potenze ci aiutano a eseguire i calcoli più facilmente”
prima proprietà: prodotto di potenze con la stessa base.
an  am  an m
Il prodotto di due o più potenze con la stessa base è una potenza che ha per
base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.
Esempi:
.
32  34  324  36  729
.
24  23  243  27  128
.
.
.
42 43 45 41  42351  211  411
seconda proprietà: quoziente di potenze con la stessa base.
an  am  an m
Il quoziente di due o più potenze con la stessa base è una potenza che ha per
base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti.
Esempi:
a. 34 : 31= 34-1= 33= 27
b. 24 : 23= 24-3= 21= 2
c. 54 : 54= 54-4= 50= 1
Quest ultimo esempio dimostra che un numero elevato a zero è uguale a 1 in
quanto è uguale al quoziente di due potenze uguali.
terza proprietà: Potenza di potenza
a 
n m
 a nm
La potenza di potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per
esponente il prodotto degli esponenti.
Esempi:
3 
2 4
 32 x 4  38
2    2
3
4 5
  
 42


1 0
4 x5 x3
 2 60
5
  4 2 x1xox5  4 0  1


quarta proprietà:
prodotto di potenze con lo stesso esponente
quoziente di potenze con lo stesso esponente
Il prodotto di due o più potenze con lo stesso esponente è una
a n  b n  a  b
n
potenza che ha per base il prodotto delle basi e come
esponente lo stesso esponente.
Il quoziente di due o più potenze con lo stesso esponente è
a n : b n  a : b
n
una potenza che ha per base il quoziente delle basi e come
esponente lo stesso esponente.
Esempi:
52.32= (5.3)2= 152= 225
205:45=(20:4)5= 55=3025
23.53= (2.5)3= 103= 1000
65:25=(6:2)5= 35= 243
3.
3
3
3 4 : 6 = (3 . 4 : 6)3 = (12 : 2)3 = 23 = 8
1003:203:53=(100:20:5)3=13=1
Casi particolari delle potenze
a) Un numero elevato a 1 è uguale al numero stesso
51= 5
121=12
10001=1000
 1 elevato ad un qualsiasi numero è uguale a 1
15=1
112=1
 Un numero diverso da zero elevato a zero è uguale a 1
50 = 1
120 = 1
1250 = 1
 Zero elevato ad un numero diverso da zero è uguale a zero.
07 = 0
015 = 0
 Zero elevato a zero è una forma indeterminata
00 = indeterminata
 10 elevato ad un numero è uguale ad un numero formato da 1 e tanti zeri
quanti sono le unità dell‟esponente.
100 = 1
107 = 10000000
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
Esercizi svolti
1. Esegui le seguenti moltiplicazioni, lasciando i prodotti sotto forma di
potenza.
a. 26 . 23=26+3=29
b. 67.65=67+5=612
c. b2.b3.b5=b2+3+5=b10
d. m2.m1=m2+1= m3
2. Esegui le seguenti divisioni, lasciando i prodotti sotto forma di potenza.
a. 26:23=26-3=23
b. 67: 65=67-5=62
c. b7:b3:b2=b7-3-2=b2
d. m3 : m1=m3-1= m2
3. Applicando le proprietà delle potenze, quando è possibile, risolvere i
seguenti esercizi
23  25 
(10 2 105 ) : (2 4  23 ) 
3 
(65  6 4 ) : (32  2 2 ) 
2 4

2 2  23 
(43  73 ) : (14 2 14) 
3
  3   
4

5
0 2
 35 : 37 =
(7 3  7 4 ) : (7 2  7 3 ) 
2  : 2  : 2  : 2  2  7
3   3  3 : 3
3  5  4  4  : 2  4  : 8
5 2
32  34 
2
12

4 3
3
2
5 3
2
2 3
2
5
3
3 2
4  4   4  : 4  4  
3
2 3
5
2
3
2 5
2
0
4
ESPRESSIONI ARITMETICHE
Si chiama espressione aritmetica una sequenza finita di numeri, operazioni e
parentesi.
Per esempio:
26-3 4
(5 - 2)  22  (4  5) : 9
9  1) : 4  3 7  4)
Sono espressioni aritmetiche.
Calcolare un‟espressione vuol dire trovare il valore finale dopo aver eseguito
tutte le operazioni indicate.
Per calcolare il valore di un‟espressione si devono tenere presenti le seguenti
regole di precedenza:
1. Se „espressione non contiene parentesi si eseguono prima le potenze poi le
moltiplicazioni e divisioni e poi le addizioni e le sottrazioni nell‟ordine
indicato.
2. Se l‟espressione contiene parentesi, si eseguono prima le parentesi più
interne e via via tutte le altre e poi si continua come nel caso precedente.
Esempi
 Calcolare il valore della seguente espressione
26-3 4
Poiché compaiono solo addizioni e sottrazioni si devono eseguire nell‟ordine in
cui sono scritte
2  6-3 4 8-3 4  5 4  9
 Calcolare il valore della seguente espressione
(5 - 2)  22  (4  5) : 9
Prima si risolvono le parentesi poi la potenza poi le moltiplicazioni e divisioni e
infine l‟addizione
(5 - 2)  2 2  (4  5) : 9  3  2 2  9 : 9  3  4  9 : 9  12  9 : 9  12  1  13
 Calcolare il valore della seguente espressione
9  1) : 4  3 7  4)
Prima si risolvono le parentesi poi le moltiplicazioni e divisioni poi la
sottrazione e infine l‟addizione.
9  1) : 4  3 7  4)  2  1  8 : 4  3 3  2  1 
 2  3  3  2  1  5  3  2  1  15  2  1  13  1  14
Risolvere le seguenti espressioni
(9 - 3  1) · 4 : 2 
27 : 9  2 · 2  14 : 2 - 6  6 : 6 - 5 
[9 - (3  1)] · 4 : 2 
27 : 9  2 · (2  14 : 2 ) - 6  6 : 6 - 5 
(9 - 3)  1 · 4 : 2 
23  22 ·5 2 · 22  14 : 2 
27 : 9  2 · (2  14 : 2 - 6)  6 : 6 - 5 
05 : 9  42  33 - 52 - 22 · 2 
27 : 9  2 · (2  14) : 2 - 6  6 : 6 - 5 
6 : 3  4  2  43  22  3 : 2  7 : 7 
MULTIPLI E DIVISORI
Un numero a è divisibile per un numero b quando la divisione a : b ha
quoziente q e resto uguale a zero.
Esempio:
6 è divisibile per 3 perché
6 : 3 = 2 e il resto è uguale a zero
7 non è divisibile per 3 perché 7 : 3 = 2 con resto uguale a 1
Principali criteri di divisibilità di un numero naturale
Un numero è divisibile per 2 se l’ultima cifra è pari o finisce per 0
Esempio: 2, 4 10, 16. 226, 458, 1230,….ecc
Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3
Esempio: 3, 6 123, 27, 54, 531, 1452, 7020, …. ecc
Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano
un numero multiplo di 4
Esempio: 100, 1200, 124, 1736, …. ecc
Un numero è divisibile per 5 se l’ultima cifra finisce per 5 o per 0
Esempio: 35, 230, 455, 340, 2345, …. ecc
Un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per
3
Esempio: 12, 132, 510, 8730, , …. ecc
Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9
Esempio: 72, 135, 2358, 45, 9198, …. ecc
Un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0
Esempio: 50, 120, 870, … ecc
un numero è divisibile per 25 se il numero formato dalle ultime 2 cifre è 00
oppure è divisibile per 25
Esempio: 50, 100, 350, 1200, … ecc
un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 00
Esempio: 2500, 800, 1400, … ecc
Definizione importante
Un numero si dice primo quando è divisibile soltanto per 1 e per se stesso
osserviamo che
L’unico numero pari e anche numero primo è il 2; Qualunque altro numero
pari non è primo perché è divisibile per 2.
Tabella dei numeri primi da 1 a 100
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73
79 83 89 97
SCOMPOSIZIONE DI UN NUMERO IN FATTORI PRIMI
Ogni numero non primo può essere scomposto in fattori primi, cioè può essere
espresso come prodotto di fattori primi.
Per scomporre un numero in fattori primi, lo si divide per il più piccolo numero
primo che sia suo divisore; poi si divide il risultato per il suo più piccolo
divisore primo e così via fino ad ottenere 1 come quoziente.
Esempi:
28 2
14 2
7 7
1
28 =22 .7
.660
66
33
11
1
2.5
2
3
11
660 =
22 .3 .5 .11
.7920
792
396
198
99
33
11
1
2.5
2
2
2
3
3
11
7920 =
24 .32 .5 .11
124 2
62 2
31 31
1
.400 22.52
4 2
2 2
1
124 = 22 . 31
400 = 24 . 52
Osservazione importante
Quando i numeri non sono molto grandi (minori di 100) , per poterli
scomporrre in fattori basta conoscere bene le tabelline.
Per esempio
56 = 7 . 8 = 7 . 23
63 = 7 . 9 = 7 . 32
72 = 8 . 9 = 23 . 32
36 = 4 . 9 = 22 . 32
8 = 2 . 4 = 2 . 22 = 23
81 = 9 . 9 = 32 . 32 = 34
100 = 10 . 10 =2 . 5 . 2 . 5 = 22 . 52
Definizione
“Due numeri si dicono primi tra loro quando non hanno divisori in comune
escluso 1”
Esempio
27 = 33
e
14 = 2 . 7 pur non essendo numeri primi, sono primi tra loro
perché non hanno divisori in comune.
Massimo comune divisore e minimo comune multiplo
Il massimo comune divisore (M.C.D.) fra due numeri interi a e b che non siano
entrambi uguali a zero, è il numero naturale più grande per il quale possono
entrambi essere divisi.
Se a e b sono primi tra loro, allora MCD(a, b) è uguale a 1
Regola per il calcolo del M.C.D.
Per calcolare il M.C.D. fra due o più numeri naturali diversi da zero, si
scompongono i numeri in fattori primi e poi si moltiplicano tra di loro i fattori
comuni presi una sola volta col minimo esponente.
Esempio:
Calcolare il M.C.D. fra i numeri 2400, 72, 360
2400 = 25. 3 . 52
72 = 23 . 32
M.C.D. = 23. 3 = 24
360 = 23 . 32 . 5
Il minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due numeri interi a e b è il più piccolo
intero positivo che è multiplo sia di a che di b
Regola per il calcolo del m.c.m.
Per calcolare il m.c.m. fra due o più numeri naturali diversi da zero, si
scompongono i numeri in fattori primi e poi si moltiplicano tra di loro i fattori
comuni e non comuni presi una sola volta col massimo esponente.
Esempio:
Calcolare il m.c.m. fra i numeri 30, 54, 15
30 = 2 . 3 . 5
54 = 2 . 33
m.c.m. = 2 . 33 . 5 = 270
15 = 3 . 5
SCHEDA DI LAVORO
Cerchia, fra i numeri naturali da 1 a 100, tutti i numeri primi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97
98 99 100
Scrivi tutti i numeri primi compresi tra 1 e 100
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Si chiama multiplo di un numero a un altro numero b che è possibile dividere per
a, cioè un dividendo di a.
Esempio: I multipli di 3 sono 6, 9, 15, …… 30 . . ecc quindi un multiplo di 3 è
un qualsiasi numero divisibile per 3.
Possiamo dire che i multipli di 3 sono infiniti e formano un insieme di numeri
che hanno la caratteristica di essere i suoi dividendi.
Si chiama sottomultiplo di un numero a un altro numero b per il quale
possiamo dividere a cioè un divisore di a
Esempio: I sottomultipli di 18 sono 2, 3, 6,9.
Possiamo dire che i sottomultipli di 18 sono finiti e formano un insieme di
numeri che hanno la caratteristica di essere i suoi divisori
In generale possiamo dire che:
I multipli di un numero sono tutti i suoi dividendi.
I sottomultipli di un numero sono tutti i suoi divisori.
Se un numero non ha sottomultipli allora è un numero primo.
Esempio 13, 37, 47, 59 sono numeri primi perché sono divisibili soltanto per 1 e
per se stessi quindi non hanno sottomultipli
Se invece, un numero ha sottomultipli allora si può scomporre in fattori primi
che moltiplicati fra di loro danno il numero di partenza.
Esempio:
15 = 3 . 5;
8 = 2 . 2 . 2 = 23 ;
30 = 5 . 6 = 5 . 2 . 3;
20= 5 . 4 = 5 . 22
Scomponi in fattori primi i seguenti numeri naturali:
6= ____________
21=____________
12=____________
37=___________
40=___________
28=____________
63=____________
45=___________
Rappresenta sulla retta i numeri naturali N :
.
0
Gli addendi sono:
__________________________________________________________
I fattori sono
______________________________________________________________
La somma è
______________________________________________________________
Il prodotto è
______________________________________________________________
Il risultato della moltiplicazione si chiama ____________________________
Il risultato dell‟addizione si chiama __________________________________
Nella sottrazione 7-5=2
7 si chiama _______ ; 5 si chiama ________ e 2 si
chiama ________
Nella divisione 15:3=5
15 si chiama ______ ; 3 si chiama ________ e 5 si
chiama ________
Nell‟addizione 2+3+4 = 11 2, 3 e 4 si chiamano ____________e 11 si chiama
____________
Nella moltiplicazione 2.3.4 = 24 2, 3 e 4 si chiamano __________e 24 si
chiama __________
Il quoziente è ___________________________________________________
La differenza è _________________________________________________
Se moltiplichiamo un numero per se stesso per un certo numero di volte lo
possiamo scrivere anche in un‟altra forma che si chiama potenza e che è formata
da due parti chiamate base ed esponente.
Esempio 2  2  2  2  2  25 ; 2 5 si chiama potenza, 2 si chiama base e 5 si chiama
esponente.
Possiamo dire che la potenza 2 5 rappresenta il prodotto di 5 fattori uguali a 2
La potenza a n = a  a  a  a  a  ..................................  a rappresenta il prodotto di n
fattori uguali ad a
n volte
La potenza 37 rappresenta ________________________________________
Il prodotto di 4 fattori tutti uguali a 3 si chiama __________________ e si indica
con _________
La somma di 4 addendi tutti uguali a 3 si chiama _________________ e si
indica con _________
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false
V
F
5 è un numero naturale o
0 è un numero naturale
o
23 è un numero naturale o
4 2 è un numero naturale
o
0,4 è un numero naturale
o
o
- 6 è un numero naturale
o
o
è un numero naturale
o
o
0,25 è un numero naturale
o
o

3
5
V
o
o
F
o
o
è un numero naturale
o
o
1357 è un numero naturale
o
o
è un numero naturale
o
o
-2 è un numero naturale
o
o
10
5
7
8
Disponi in ordine crescente i seguenti numeri
4, 7, 2, 9, 1, 53, 24
___________________________________
Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri
4, 7, 2, 9, 1, 53, 24
___________________________________
Inserisci tra le seguenti coppie di numeri naturali il simbolo > oppure <
3 …..
6
5 …..
2
1 …..
3
0 …..
1
34 …..
43
27 …..
6
3 …..
16
31 …..
32
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false
V
F
V
F
V
3 > 5
o
o 9 > 4 o
o 45 = 54 o
3 > 2
o
o 3 = 3 o
o 31 > 35 o
12 > 16 o
o 5 > 5 o
o 13 > 2 o
F
o
o
o
Completare le seguenti uguaglianze sostituendo alla lettera x il giusto valore
x + 2 = 3 x = ….. x - 5 = 3 x = ….. x . 9 = 27
x = …..
x - 2 = 3 x = ….. x : 5 = 3
x = ….. x - 42 = 1
x = …..
x . 2 = 46 x = ….. x - 0 = 4 x = ….. x + 45 = 51 x = …..
x + 7 = 9 x = ….. x : 6 = 10 x = ….. x : 9 = 3
x = …..
Completare le seguenti uguaglianze
32  ....
....2  25
5...  5
....3  8
4 0  ....
15  ....
....0  1
....7  1
3....  1
Applicando, quando è possibile le proprietà delle potenze, calcolare:
2 2  23 
2 
7 
32  3 
152 : 32 
35 : 33 
2 3

6 2  6 4 : 65 
2 5
: 78 
22  42 
(215 : 35 ) : 7 3 
(34 2  345 ) 2 : 3413 
6  : (18
2 5
9
: 39 ) 
23  2 2 
Scrivi un’addizione di tre addendi la cui somma è
uguale a 10
Scrivi una moltiplicazione di tre fattori il cui
prodotto è uguale a 36
Indica il nome dei numeri delle seguenti operazioni
2 68
4  5  20
24 : 6  4
7 5  2
24 si chiama
7 si chiama
2 e 6 si chiamano
4 e 5 si chiamano
……………….
……………….
……………….
……………….
6 si chiama
5 si chiama
8 si chiama
20 si chiama
……………….
……………….
……………….
….…………..
4 si chiama
2 si chiama
……………….
……………….
Risolvere le seguenti espressioni con le quattro operazioni e le potenze
1. 8  3  7  2
20 2.
(18 - 6  2) - (25 - 5 - 10)  (6  3  7) - (5  5  9)
1
3. 16  23  4  7
50 4.
[58 - (7  9  34)] - 3
5
5. 7  13  17  3
40 6.
(7  5  4) : 8  (90  30) : 40
5
0 8.
(14 : 2  3 ·3 - 3 · 2 : 2) :13 - 1
0
7. 21 - 11  8  2 - 20
9. 2 ·13  4 - 9 - 3 · 7  14 - 4
10 10. (6  5  4) : (6 - 4  1)  (11  6) :17
6
11. 27 : 9  2 · 2  14 : 2  36 : 9 - 8
10 12. (28 : 7  5 - 6) ·10  (10 · 4 - 40 : 2) - 49
1
13. 8  5 · 2  5 : 5 3 · 6  1
2 14. 16 - 10  {[20 - (50 - 32)] ·5}: 20  10
1
15. 24 : 3  6 : 3 - 3 · 2 - 2 · 2
0 16. (8 - 6  5  3) : 2  [(8  2) : (4  1)] : 2 - 1
5
17. 30 : 2 - 15 : 3  100 ·1 - 5 · 20
19. 12  2 - 2 - 12  16 - 10 - 5
10 18. [18 : (2  7 · 2 - 2  5)] ·{ [11  (12 : 4)] : (8  6 - 7)  2}
1 20. 7 - 12 : 6  [(6 ·8  5 · 4) : 34]
8
3
21. (9 - 3  1) · 4 : 2
14 22. {29  [7  4 - (4  5·2)·2]· (7·6 - 13·3)}- 3  (3  15 : 3)
23. [9 - (3  1)] · 4 : 2
10 24. (15 : 3  33 - 2 ·5) : 4  (6 · 2  3 · 4 - 23) ·5
5
12
25. (9 - 3)  1 · 4 : 2
8 26. 9  7 - {[(7·6- 3·4) - 7·3]· 2 - (7·2 - 2·3)  2·4  5} - 39
1
27. 27 : 9  2 · (2  14 : 2 - 6)  6 : 6 - 5
5 28. 2 2  2 2  5  2  2 2  14 : 7  (2  5)
8
29. 27 : 9  2 · (2  14) : 2 - 6  6 : 6 - 5
9 30. 52  4 2  16 : 2  2 2  30  2 2
0
31. 27 : 9  2 · 2  14 : 2 - 6  6 : 6 - 5
4 32. 4 2 : 5 2  32  32  1 : 2 3
2

33. 27 : 9  2 · (2  14 : 2 ) - 6  6 : 6 - 5
11 34.
  
2  3 : 2  8 : 8 10 : 5  6 : 3  4
35. (8  5) · 2  5 : 5 - 3 · 6  1
10 36.
9  62  (32  23  5) 2 : (7 2  32  2  5)
37. (8  5) · (4  6) :13 · (6  4)
20 38. 25 : 16  2  17  10  2  2 2
5
2
1
1
10
2
39. 8  5 · 2  5 : 5 - 3 · 6  1
0 40. 5  23  6 : 3  2  5  5  4 : 10  2  35 : 34
24
41. (8 - 4  2  3 · 7) : 3
9 42.
 9 : 5  2 0  (5  52  10 2 ) : 25
3
43. 8 - (4  2)  3 · (7 - 4)
11 44.
45. 6 : 2  8 · 4 - (3  2  1) · 2
23 46.
47. (9 - 2  1) : 2
4 48.
49. [9 - (2  1)] : 2
3 50.
51. 6 : 2  8 · 4 - 3  2  1 ·5
39 52.
53. 5 - 3  [12 : 4  (2 ·3 : 3)  7] : 6 - 2
2 54.
55. 15 - 3 ·[12 : 4  (2 ·3 : 3)  7] : (6 - 2 )
6 56.
57. (5 - 3) · (12 : 4)  2 ·3 : 3  6 : (6 - 3 )
10 58.
5  3  3
2

2  6  2  5  6  32  28 : 23  3  7  4  6  4  7
23  52 : 40  4  5  6  4  7  12  4  5  2 2  : 7
2  3 : 9  2  16 : 2  3 : 13
2  : 2  : 15  3  2 7
9  5  4  6  9: 2  2  18 
4  2  3  2  2  2  3  3  4  4   43


2
2
3 4
3
11
3
2
2
4
3
2


0
2 0
3
9
2
0
2
3
2
0
0
0

 35 : 37  2 4  25 : 27
1
0
5
(73  7 4 ) : (7 2  73 )  (3  2) 2  10
3
59. (7  4  3) - (8  2)  (11  6) :17
5 60.
3   3  3 : 3
2
1
61. (2  5 ·5) · 2 - 18 ·3
0 62.
22  24  (2  5) 2 : 5  (15 : 3)0  1
0
63. 15 - {[27 - (50 - 32)] ·5}: 3  2
3
3
2 64.  2 4 : 2 3  :  2 5 : 2 2   2 5  7 0

 

65. 25 - (8  5)  3 - (6  4)
5 66.
5 2
2
 
2
12
 
3  5  4  4  : 2  4  : 8
2
2 3
3
3 2
4
1
64
RAZIONALI ASSOLUTI Qa
NUMERATORE
LINEA DI FRAZIONE
DENOMINATORE
Le frazioni, questi oggetti misteriosi, hanno turbato non poco i nostri allievi nel
corso della loro formazione.
Vediamo insieme di conoscerle meglio e familiarizzare con operazioni e
proprietà.
Le due scritture si equivalgono, ma quel che più conta è il ruolo che giocano il
numeratore e il denominatore.
La frazione è di fatto un quoziente, ossia:
Il nostro numeratore è il dividendo e il denominatore è il divisore.
Le frazioni servono a considerare parte di un intero e quasi sempre vengono in
aiuto le torte della nonna proprio perché il denominatore ci dice in quante parti
si deve dividere l‟intero mentre il numeratore ci dice quante parti si devono
prendere
1/3
2/3
Dopo aver studiato i numeri naturali N={0,1,2,3,...} ed aver visto che la
divisione non è sempre possibile in N nasce l‟esigenza di considerare un insieme
nel quale, invece, lo è. Questo insieme lo chiameremo insieme dei razionali
assoluti e lo indicheremo con Qa e in questo insieme troveremo tutti quei
numeri che possono essere scritti come rapporto di due numeri naturali.
Se proviamo a dividere il 2 per 3 otteniamo 0,666666666 …. che conosciamo
dalle scuole medie come decimale periodico, ma a noi interessa avere la
percezione della quantità: la nostra intera torta vale 1 e dopo averla divisa in
tante parti quante ci indica il denominatore ne prenderemo tante quante ci indica
il numeratore.
CLASSIFICAZIONE DELLE FRAZIONI
FRAZIONI
IMPOSSIBILI
DETERMINATE
INDETERMINATE
Per capire bene la differenza tra le tre categorie ricordiamo che le frazioni non
sono altro che quozienti e quindi rispondiamo a questa semplice domanda
Quanto vale 8:2 = ? ossia
? tutti noi risponderemo 4
Perché ? la risposta più semplice è “ perché 4 per 2 è uguale a 8” ed è la
giustificazione più banale ma anche la più corretta che ci guiderà alla scoperta
delle categorie sopra esposte.
Quanto vale
8:0 = ? ossia
?
molti, senza pensarci troppo,
rispondono d‟istinto “zero” ma poi seguendo l‟esempio precedente cercano quel
numero che moltiplicato per zero dia 8 e non lo trovano in quanto sappiamo che
lo zero come fattore rende nullo il prodotto. Da ciò si deduce che una frazione
con il denominatore nullo è impossibile.
Quanto vale 0:0 = ? ossia
?
molti, anche in questo caso,senza
pensarci troppo, rispondono d‟istinto “uno” ma poi cercano quel numero che
moltiplicato per zero dia zero e si accorgono che qualsiasi numero moltiplicato
per zero dà zero e quindi la frazione non ha un valore determinato e diremo che
è una forma indeterminata o anche che la scrittura è priva di significato.
DETERMINATE
PROPRIE
APPARENTI
IMPROPRIE
,
,
, …
,
,
, …
,
,
, …
Le frazioni proprie sono quelle in cui numeratore < denominatore e sono quelle
che indicano una parte della torta, mentre le improprie indicano quantità
superiori all‟intero con numeratore > denominatore; infine le apparenti …
“sembrano” delle frazioni ma in effetti sono numeri naturali con numeratore
multiplo del denominatore.
Confronto tra frazioni
delle frazioni che indicano lo stesso valore si dicono equivalenti e si
ottengono moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno
stesso numero es.
=
=
Frazioni con lo stesso denominatore.
Essendo parti uguali della medesima suddivisione di un intero è maggiore la
frazione che ha il numeratore maggiore (più parti uguali prese in
considerazione).
È facile confrontare due frazioni con lo stesso denominatore in quanto basta
osservare i numeratori che sono quelli che indicano quante parti si devono
prendere e quindi la frazione maggiore sarà quella con numeratore maggiore.
È come se le frazioni parlassero una lingua e precisamente la lingua del
denominatore e quindi per comprendersi devono parlare la stessa lingua ed
eventualmente usare una lingua interprete ossia il m.c.m.
in quanto il denominatore è uguale … mentre
Es:
5<3
?
essendo i denominatori diversi cerchiamo di scrivere due frazioni equivalenti
alle date con denominatori uguali:
denominatori uguali per le due frazioni possono essere molti, ma a noi
interessa il primo uguale comune che si può raggiungere e questo è il 12 che
si ottiene moltiplicando per 2 num. e denom. della prima frazione e per 3
num. e denom. della seconda frazione
quindi le due frazioni a confronto equivalgono a
e
la prima risulta allora maggiore in quanto a parità di denominatore 10 > 9.
Si riconosce che il denominatore usato come interprete è il m.c.m.(6;4)
Negli altri casi e dovendo confrontare più frazioni, si conviene ridurle tutte al
medesimo denominatore, fare cioè riferimento alle medesime parti uguali.
Per fare questo occorre individuare il m.c.m. dei denominatori e trasformare
adeguatamente le frazioni . A questo punto il confronto è ricondotto al caso
di frazioni con lo stesso denominatore.
Le operazioni tra frazioni si dividono operativamente in due gruppi:
1) moltiplicazione e divisione
2) addizione e sottrazione
moltiplicare due frazioni è molto semplice, ricordare soprattutto che i
numeratori sono i dividendi e i denominatori sono i divisori e in quanto tali si
possono sempre semplificare, ossia dividere per uno stesso numero
1
1
5
4
La frazione prodotto si ottiene dopo aver moltiplicato i numeratori semplificati
tra di loro e i denominatori semplificati tra di loro … prodotti per livello.
Dividere due razionali assoluti, ossia due frazioni è facile soprattutto se
ricordiamo che la divisione non è altro che l‟inverso della moltiplicazione
Dopo aver trasformato la divisione in moltiplicazione invertendo la seconda
frazione si procede come nell‟esempio precedente e semplificando “a croce” si
ottiene
1
2
1
4
Per addizionare o sottrarre due frazioni occorre seguire una procedura
completamente diversa e meno diretta, facendo riferimento al m.c.m. già
conosciuto nel numeri naturali e utilizzandolo per costruire frazioni
equivalenti con lo stesso denominatore.
EQUIVALENTI
Avendo sostituito
con
ci permette di ottenere subito la frazione
somma in quanto il denominatore è lo stesso e quindi è sufficiente addizionare i
numeratori mantenendo lo stesso denominatore:
La sottrazione avviene in modo analogo con l‟attenzione da riservare al
minuendo che non deve essere mai inferiore al sottraendo in quanto nei naturali
e nei razionali assoluti non è possibile contemplare una simile operazione.
Rappresentazioni di valori frazionari
a volte è comodo avere uno schema che ci aiuti a confrontare valori frazionari, il
seguente potrebbe esserci di aiuto riflettendo che lo abbiamo ottenuto per
suddivisioni successive
1
0
0
0
2
0
e così via si ottengono altri frazionamenti.
Le espressioni mantengono le stesse priorità dei numeri naturali e rispettano i
livelli di parentesi :
Non può essere eseguita in quanto ha la
precedenza la moltiplicazione che a sua volta
deve rispettare la parentesi tonda
Risolveremo quindi prima la parentesi tonda poi la moltiplicazione e la divisione
e per ultima l‟addizione.
Quindi
Risolvere i seguenti esercizi
Problemi con le frazioni
1. Anna Maria suddivide le torte di compleanno dei suoi gemelli in 12 fette
uguali. Ne distribuisce per ogni torta sette. A quale frazione corrisponde la parte
distribuita e quella rimasta?
Esercizio svolto come guida:
le fette di ogni torta sono 12 e per ogni torta ne distribuisce 7 e ricordando che
le nostre frazioni ci “dicono” con il denominatore in quante parti dividiamo e
con il numeratore quante parti prendiamo … la frazione corrispondente alla
parte distribuita è 7/12 e quella rimasta è 1-7/12=5/12
2. Un signore acquista un televisore. Versa come primo acconto 280 euro pari ai
2/7 del prezzo totale. Concorda poi di versare la rimanenza in due rate: i 3/4
dopo un mese e l'ultima rata dopo due mesi. Qual è il valore delle due rate?
3. Un signore acquista un televisore. Versa come primo acconto euro 240 pari ai
3/8 del prezzo totale. Concorda poi di versare la rimanenza in due rate: i 4/5
dopo un mese e l'ultima rata dopo due mesi. Qual è il valore delle due rate?
4. Una famiglia suddivide il percorso di 1200 km per raggiungerla località delle
vacanze all‟estero in tre tappe. Verranno dapprima percorsi i ¾ del viaggio in
una unica soluzione. Una seconda sosta verrà fatta dopo un altro quinto del
percorso totale. Quanti km e che frazione del percorso resta da percorrere
nell‟ultima tappa?
5. Stefano partecipa a una gara di triathlon che interessa un percorso di 15000 m.
La frazione a nuoto è pari a 1/15 dell‟intero percorso. La parte da percorrere a
piedi è pari a 1/5 dell‟intero percorso. Quanti km sono percorsi da ogni
specialità e quanti ne restano da percorrere in bicicletta? Quale frazione
rappresenta quest‟ultima dell‟intero percorso?
6. Un giardino di 15000 m2 è organizzato in tre aree. La parte preponderante è
quella a prato libero che interessa 1/2 della superficie. Un terzo della parte
restante sarà destinato ad aiuole fiorite e la restante parte attrezzata per i giochi.
Calcola quanto è destinato a ogni area e a che frazione corrisponde la superficie
destinata alla parte attrezzata per i giochi.
7. Di una tenuta sono coltivabili i 3/5 della superficie. La tenuta ha un‟area
complessiva di 20 ettari (1 ettaro = 10.000 m2) e i 2/3 del terreno coltivabile
sono a vigneto e il resto a incolto.
Qual è la superficie a incolto espressa in metri quadrati?
8.In una classe di 25 allievi le femmine sono i 2/3 dei maschi. Quanti sono gli
alunni per ogni genere.
9. Per preparare un esame universitario servono tre libri. Il primo che è di 270
pagine la metà del totale, il secondo ha 4/9 delle pagine del primo. Di quante
pagine è costituito ogni volume?
Problemi diretti
1. Nella scatola dei colori di Ugo ci sono 21 matite colorate. Se un terzo di
queste sono gialle quante sono quelle di altro colore?
2. Michele riceve da Ubaldo un assegno di 2.100,00 euro per comprare il
trattore. Se
Michele ne ha utilizzato i 4/7 quanto dovrà restituire a Ubaldo?
3. La classe serale è formata da 35 allievi. Di questi 2/5 sono femmine. Quanti
sono i
ragazzi?
4. La classe 1B 2009-10 di una scuola media di Brindisi era formata da 24
alunni. I 3/8 andavano a scuola in bicicletta. Quanti alunni raggiungevano la
scuola con altri mezzi?
5. Una classe è formata da 28 alunni. I 4/7 vanno a scuola in auto. Quanti alunni
raggiungono la scuola con altri mezzi?
6. Laura per la sua prima a teatro invitò i suoi 22 compagni di classe. Ne
vennero i 3/11. Sai dirmi quanti erano i compagni presenti?
7. Filippo prende dalla cassa 1/6 di quanto disponibile e Massimiliano ne prende
i 3/2 di quanto ha preso Filippo. Calcola quanto resta, in frazione e in soldi, al
loro fratello minore Ludovico sapendo che la cifra disponibile era di 180 euro?
8. Lele ha un giardino di 450 m2. Un terzo, curato da Antonia, è a roseto, un
quinto è con alberi da frutto e la restante superficie è a prato di cui si occupa
personalmente. Calcola la misura delle diverse superfici e la frazione a prato.
9. Con 480 euro in tasca, Michele compra, usandone 3/5, un giaccone per Marco
e, con una cifra pari alla metà della precedente, un lettore MP3 per Francesca.
Trova il costo degli oggetti acquistati e la frazione che rimane disponibile.
10. Per decorare il muro di una cucina sono state utilizzate 150 piastrelle. I 3/5
delle
piastrelle utilizzate presentano delle decorazioni. Quante sono le piastrelle dei
due tipi?
11. Ugo per andare a scuola copre ogni giorno una distanza di 15 km. Di questi
ne
percorre 2/5 in bicicletta. Quanti km percorre in bicicletta?
12. Giovanni ha letto i ¾ del nuovo libro. Sapendo che il libro è di 256 pagine,
trova
quante ne deve ancora leggere.
Problemi inversi
1. I 4/9 di una strada corrispondono a 36 km e devono essere asfaltati. Quanto è
lunga l'intera strada?
2. I 3/8 di una strada corrispondono a 48 km e devono essere asfaltati. Quanto è
lunga l'intera strada?
3. La classe 1B ha 9 alunni, pari ai suoi 3/8, che vanno a scuola in bicicletta.
Quanti alunni raggiungono la scuola con altri mezzi?
4. Lo zio Beppe preleva da una botte di vino prima i 2/5 della sua capacità e con
un secondo prelievo i ¾ del rimanente. La botte di vino era inizialmente piena e
sono restati dopo questi due prelievi 30 litri di vino.
5. Giovanni cede al fratello Giacomo 1/6 delle sue figurine. Delle restanti ne
cede un decimo al cugino Marco. Giovanni si trova in mano a questo punto 180
figurine ma non ricorda più quante ne aveva all‟inizio. Aiutalo tu.
6. Il tuo insegnante di matematica ha corretto nel pomeriggio 8 verifiche
corrispondenti ai 2/5 di tutto il lavoro da fare. Quante verifiche deve ancora
correggere?
7. Per pagare un anticipo sull‟acquisto di un piccolo immobile sono richiesti
38.430 euro, pari ai 7/9 del valore complessivo. Trova il prezzo di acquisto e
quanto resta da versare sia in frazione sia in valore.
8. Michele versa 135 euro come anticipo del pagamento di un lavoro. Se tale
anticipo rappresenta i 9/11 del totale da pagare, quanto dovrà versare a saldo
Michele?
9. Tre amici, Pio, Pia e il Paolo, vincono al totocalcio.
Dalla spartizione Pio riceve i 2/7 della vincita, Pia i 4/13 e a Paolo vengono
dati 1480 euro. Quanto hanno vinto i tre e quanto spetta ad ognuno?
10. Mia mamma ha raccolto nell‟orto dello zio Beppe 27 pomodori. Un parte è
usata subito, una parte pari ai 3/4 di questi sono messi in una cassetta per finire
la maturazione e dopo una settimana ne utilizza i 2/3 di questi. Quanti erano i
pomodori usati subito, messi a maturare e usati dopo una settimana?
11. Se nonna Teresa, preleva 3/12 delle patate per un totale di 15 kg,
quanti chilogrammi di patate sono rimaste disponibili in cantina?
12. Lo zio Beppe vende 35 kg di cipolle che rappresentano i 7/9 del suo
raccolto. Quanti kg di cipolle ha raccolto?
13. Marco sta leggendo un libro, tenendolo sotto il banco, su uno dei re di
Kathmandu. Ha letto ad oggi 45 pagine, pari ai 3/15 dell‟intero libro. Da quante
pagine è formato il Libro?
14. Michele nella gara amatori di ciclismo ha percorso 110 km ed è a un terzo
dalla fine. Quando deve percorrere ancora?
15. Filippo prende dalla cassa 1/6 di quanto disponibile e Massimiliano prende
45 euro pari ai 3/2 di quanto ha preso Filippo. Calcola quanto resta al loro
fratello minore Ludovico in frazione e denaro.
Numeri relativi (interi)
Professore, quanto manca al suono della campanella?
“Mancano 10 secondi”
Memo dieci, meno nove, meno otto, meno sette, meno sei, meno cinque, meno
quattro, meno tre, meno due, meno uno, zero!
Più comodo è scrivere:
(-10), (-9), (-8), (-7), (-6), (-5), (-4), (-3), (-2), (-1), (0)!
E dopo?
(+1), (+2), (+31), (+4), (+5), e via dicendo…..
Questi numeri (enti matematici) preceduti da un segno si dicono numeri relativi
(interi).
Quelli preceduti dal segno (-) si dicono negativi, quelli preceduti dal segno (+) si
dicono positivi. Il loro insieme si indica con la lettera Z.
-5 e +4 sono numeri relativi o interi
Il modulo o valore assoluto di un numero relativo è il numero stesso senza il
segno.
Per indicare il modulo si usano due sbarrette verticali.
|+8| = |-8| = 8
I numeri interi costituiscono un insieme ordinato senza un estremo superiore e
senza un estremo inferiore.
Dove troviamo ancora tali numeri?
Per misurare l’altitudine di una località (al di sopra o al di sotto il livello del
mare)
Brindisi: 13 metri sul livello del mare (+13)
Bolzano: 262 metri sul livello del mare (+262)
Per misurare una temperatura
Oggi la temperatura a Brindisi è di 17° (rispetto allo zero)
Oggi la temperatura a Milano è di -2° (rispetto allo zero)
Due numeri relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno.
+9 e +5 sono concordi
Due numeri relativi si dicono discordi se hanno segno diverso
+6 e -7 sono discordi
Due numeri relativi si dicono opposti se sono discordi e hanno lo stesso modulo.
+10 e -10 sono opposti
Due numeri relativi si dicono uguali se hanno lo stesso segno e lo stesso modulo.
+3 e +3 sono uguali
Confrontiamo i numeri relativi
Tra due numeri relativi discordi il maggiore è sempre quello positivo.
+7 > -8
Tra due numeri relativi positivi il maggiore è quello di maggiore valore assoluto.
+6 > +4 perché |+6|>|+4|
Tra due numeri relativi negativi il maggiore è quello di minore valore assoluto.
-8 > -9 perché |-8|<|-9|
Quale significato daresti ai differenti tasti del comando di un ’ascensore?
+3
+2
+1
0
-1
-2
-3
-2 significa ……….
+3 significa…….
LE OPERAZIONI
Addizione
La somma di due numeri relativi concordi è un numero che ha lo stesso segno
degli addendi e valore assoluto uguale alla somma dei loro valori assoluti.
(+6)+(+4) = +10
(-2)+(-6) =-8
La somma di due numeri relativi discordi è un numero che ha il segno
dell‟addendo di valore assoluto maggiore e valore assoluto uguale alla
differenza dei loro valori assoluti.
(-3)+(+4) = +1 + perché |+4|>|-3|
(+2)+(-5) =-3 - perché |-5|>|+2|
(+3)+(-5)+(-3) = -5
(*)
Approfondimento
Un numero positivo può essere scritto benissimo senza segno.
Si può ricorrere alla scrittura semplificata di una somma algebrica
trasformandola in un’espressione con soli segni + e – semplicemente
ricordando che una parentesi preceduta dal segno + può essere eliminata.
(+4)+(+3) = 4 + 3
(+5)+(-7) = 5 – 7
7 + (4 – 1 + 3) = 7 + (+ 4 – 1 + 3) = 7 + 4 - 1 + 3
Sottrazione
La differenza tra due numeri relativi è il numero che si ottiene sommando al
minuendo
l‟opposto del sottraendo.
In altre parole la sottrazione può essere ricondotta a un‟addizione.
(+4)-(+6) = 4 – 6
(+5)-(-9) = 5 + 9
7 - (+ 4 – 5 + 3) = 7 - 4 + 5 – 3
Moltiplicazione e divisione
Il prodotto o il quoziente di due numeri relativi è un numero relativo che ha
valore assoluto uguale al prodotto o al quoziente dei valori assoluti e segno
positivo se i termini
dell‟operazione sono concordi e segno negativo se i termini dell‟operazione
sono discordi
(+4) · (+3) = +12 (+4) : (+2) = +2
(-2) · (-6) = +12 (-4) : (-2) = +2
(+5) · (-7) = -35 (-6) : (+2) = -3
(**) Approfondimento
Operazione di elevamento a potenza
La potenza di numeri relativi positivi è sempre positiva.
(+3)2 = (+3)·(+3) = +9 = 9
La potenza di numeri relativi negativi è positiva se l‟esponente è pari, negativa
se
l‟esponente è dispari.
(-3)2 = (-3)·(-3) = +9 = 9
(-3)3 = (-3)·(-3)·(-3) = -27
+ esponente pari
- esponente dispari
Presta attenzione a non confondere i seguenti diversi tipi di scrittura:
(-3)2 = (-3)·(-3) = +9 diverso da -32 = -9
Valgono anche per i numeri relativi le proprietà delle potenze.
Il prodotto o il quoziente di due numeri relativi è un numero relativo che ha
valore assoluto uguale al prodotto o al quoziente dei valori assoluti e segno
positivo se i termini
dell‟operazione sono concordi e segno negativo se i termini dell‟operazione
sono discordi
(+4) · (+3) = +12 (+4) : (+2) = +2
(-2) · (-6) = +12 (-4) : (-2) = +2
(+5) · (-7) = -35 (-6) : (+2) = -3
APPROFONDIMENTO
_______________________________________________________________________
(*)
Somma dei numeri relativi
Immagina di essere in un grande albergo con tanti piani che vanno verso l‟alto
ed altrettanti verso il basso (possiamo solo immaginarlo). Il piano all‟ ingresso è
il piano zero.
Entri nell‟ascensore e ti chiedono di salire di 4 piani in alto, poi da quel piano,
devi scendere di 7 piani.
Sarai nella parte in alto o in basso rispetto allo zero?
Proviamo: salgo di 4, poi per scendere di sette ripercorro tutti e 4 i piani di
prima e ne mancano ancora 3 in basso.
Arrivo al terzo piano in basso, quindi -3.
Proviamo a fare +6-10 utilizzando l‟ascensore  4 in basso, quindi -4
Proviamo a fare +2+1 utilizzando l‟ascensore  3 in alto, quindi +3
Proviamo a fare -6-10 utilizzando l‟ascensore  16 in basso, quindi -16
(**)
Prodotto
Facciamo un gioco di logica:
Inizio con una affermazione, ad esempio:
”Ho fame”
Poi nego quella affermazione :
(non) (ho fame)
All‟affermazione iniziale è facile associare il segno +
Alla sua negazione è facile associare il segno –
Ora provate ad analizzare quanto affermo:
(non è vero che) (non) (ho fame)
Secondo voi, ho fame o no?
Si, ho fame! Notate quindi che con due negazioni non ho fatto altro che
affermare! Quindi meno e meno mi portano al +.
Ora provate ad analizzare quanto segue:
(non è vero che) (non è vero che) (non) (ho fame).
Difficile? No….non ho fame!
Tre meno mi portano ad un solo meno.
Generalizzando possiamo affermare che se il numero di negazioni è pari, il tutto
corrisponde ad una affermazione; se il numero di negazioni è dispari, il tutto
corrisponde ad una negazione.
Nel prodotto (e quoziente) di numeri relativi la logica è la stessa:
(-) (-) = ?
(-) (+) = ?
(+) (-) = ?
(+) (+) = ?
Esercizi
ESERCIZIO 1
numero +10 -13
opposto
0
-15
+7
+1
-2
11
-5
+19
ESERCIZIO 2
Completa le seguenti frasi con “è” oppure con “non è” oppure con “ può
essere”.
è
non è
La somma di due numeri relativi
positivi
La somma di due numeri relativi
negativi
La somma di due numeri relativi
opposti
Il prodotto di due numeri relativi
positivi
Il prodotto di due numeri relativi
negativi
Il prodotto di due numeri relativi
concordi
Il prodotto di due numeri relativi
discordi
1) 2 - 4 + (-1 + 2) + 4 + (2 – 4) – 2 + 2 + (3 – 4) =
2) 6 - [(-32) : (-8) + (-4) : (-2)] : (-2) =
3) (+3) + (-6) + (-2) + (+4) + (-5) =
4) (-5) + (-3) + (+5) + (+6) + (-3) =
5) (+2) + (-4) + (+5) - (-7) - (+2) =
6) (+3) - (-6) + (-2) - (+4) + (-5) =
7) (-18) - (+3) + (+7) - (+3) + (-15) - (-5) - (-35) =
8) (-111) - (+77) - (-35) + (-21) - (-88) + (+77) =
9) 5 +(– 60 + 17 + 51) + (+ 12 – 20) =
10) 2 – (+ 14 – 8 + 3 – 5) – (– 17 + 8 – 5) =
un numero
positivo
un numero
positivo
un numero
positivo
un numero
positivo
un numero
positivo
un numero
positivo
un numero
positivo
11)
15 - (7 - 5- 3) + (-2 + 4 - 5) - (10 - 9 + 12) =
12)
-15 - (-10 + 4 - 9) - (-18 + 24) + (-10 + 9 - 12) =
13)
23 - (+ 13 -15 - 4) - (- 16 + 20) + (- 11 + 9) =
14)
2 · (- 21 - 5 + 27) - 5 · (9 - 11) - 3 · (- 15 + 18) =
15)
(2 – 9 + 21) : (-7) - (22-3) · (-7 + 5) =
16)
6 + [- 4 + (- 5 + 7 - 7) + 1] + (- 4 + 13 - 8) =
17)
83584 6 132 167 8
24 