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R. Cellini, Politica Economica – Introduzione ai modelli fondamentali, McGraw-Hill, Milano, 2010 (2^ edizione).
Soluzioni degli esercizi del Capitolo 2
Esercizio 1
(a) La variabile esogena z è efficace su x; dato che y è legata a x dalla relazione strutturale
y=10–x, è evidente che z risulta efficace anche su y ed in particolare vale y=7–z.
(b) Si ricordino le caratteristiche che deve soddisfare una variabile per essere uno
strumento (in particolare deve essere sotto il controllo del policy maker ed isolata
sufficientemente dal contesto).
(c) L’obiettivo rappresentato dal vettore x=4, y=1 non è raggiungibile, anche perché tale
combinazione non è compatibile con il vincolo strutturale cui è soggetta l’economia (se
x=4, allora y=6, mentre per y=1, x deve essere 9); con un solo strumento non è possibile,
di norma, raggiungere due distinti obiettivi, alla luce del teorema di Tinbergen: per
raggiungere x=4 bisognerebbe porre lo strumento z=1, mentre per raggiungere y=1, lo
strumento dovrebbe essere z=6.
(d) Si sostituiscano i valori di x e y in funzione di z nella funzione obiettivo; in questo
modo si trova L in funzione soltanto dello strumento z. Bisogna trovare il valore di z che
rende minima L; a tal fine, o si osserva che la funzione L è quadratica e rappresenta
quindi una parabola il cui vertice …o si calcola la derivata prima della funzione L e la si
pone uguale a zero, verificando che la derivata seconda sia positiva; in ogni caso si trova
z = 7/2.
Esercizio 2
(a) Sono esogeni gli investimenti (che valgono 17) e la componente autonoma di
consumo C0, che –non essendo vincolata ad alcun valore predeterminato– potrà essere
utilizzata come strumento. La forma ridotta è la soluzione del modello, ossia,
Y=C0/0,44+17/0,44;
C= C0+0,56(C0/0,44+17/0,44)
(b) In equilibrio deve valere Y= C0+0.56Y+17; in corrispondenza del valore desiderato
Y=100, risulta che deve valere C0 = 27.
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Soluzioni degli esercizi del Capitolo 3
Esercizio 1
Falso, vero, falso, vero.
Esercizio 2
i) Deve essere risolto il seguente problema di massimizzazione vincolata:
Max SW = A ⋅ P
s.v. 100 − P − A = 0
Questo problema si può risolvere con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange (che
dovrebbe essere noto dagli studi di matematica o di microeconomia), oppure può anche
essere risolto semplicemente per sostituzione: il vincolo strutturale, infatti, è A=100–P e
si può sostituire tale vincolo direttamente nella funzione obiettivo che quindi diventa:
SW = (100 − P) ⋅ P = 100 P − P 2
Il massimo di SW (rispetto a P) si trova calcolando la derivata prima della funzione e
ponendola uguale a zero:
∂SW
1
=
⋅ (100 − 2 P) = 0
∂P
2 100 P − P 2
Da cui immediatamente si ricava P=50 (la derivata seconda è negativa, per cui il punto
critico trovato è effettivamente un massimo); pertanto, considerando il vincolo strutturale,
in corrispondenza di P=50 risulta A=50.
ii) La funzione obiettivo SW=A+2P è lineare in A e P e quindi le curve di isobenessere
corrispondenti sono anche esse lineari: la generica equazione di curva di isobenessere è
SW = A + 2 P (la quale è, in verità, una retta). Dato il fascio di rette di isobenessere
corrispondenti, si deve trovare, tra i punti del vincolo A=100-P, quello cui è associato il
massimo benessere possibile: questo sarà il punto di frontiera A=0, P=100: tutte le risorse
vengono impiegate per produrre pane. Ogni altro punto del vincolo fornirà un benessere
sociale inferiore.
iii) Il policy maker potrebbe giustificare il punto di frontiera A=100, P=0 come punto di
massimo benessere sociale di una funzione del tipo SW=mA+nP con m>n (in tal caso, le
curve di isobenessere continuano ad essere delle rette, la cui inclinazione però …)
iv) L’affermazione è sicuramente vera.
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Soluzioni degli esercizi del Capitolo 5
Esercizio 1
Per effettuare l’analisi di benessere di mercato, basata sul surplus di produttori e
consumatori, conviene scrivere le funzioni di domanda e offerta di mercato in modo
inverso. Nel caso specifico, P(D)=50–(1/2)Q e P(S)=(1/2)Q.
Ne possiamo dare una rappresentazione grafica.
P
50
A
Offerta
B
Domanda
25
50
Q
Risolvendo il sistema delle equazioni di domanda e offerta si trovano le coordinate del
punto di equilibrio, P=25, Q=50.
Il surplus dei consumatori è rappresentato dall’area del triangolo A, che è data da
(25*50)/2= 625, mentre il surplus dei produttori è l’area B, che risulta (50*25)/2=625.
L’indicatore di benessere di mercato, pari alla somma di surplus di produttori e
consumatori risulta quindi pari a 1250.
Esercizio 2
Il prezzo desiderato dal policy-maker è superiore rispetto a quello di equilibrio.
L’obiettivo può essere perseguito restringendo l’offerta (inducendo cioè uno shock
restrittivo di offerta) oppure incrementando la domanda (shock espansivo di domanda).
(a) Data la funzione di domanda, per avere P=40 si deve produrre (e scambiare) un
ammontare di Q pari a 20: pertanto se si impone una produzione aggregata pari a 20
(ossia, la funzione di offerta effettiva diventa la retta verticale Q=20), si ottiene
effettivamente un prezzo pari a 40.
(b) Se si concede un sussidio (s) ai consumatori, per ogni unità domandata del bene, la
funzione di domanda rilevante per i consumatori diviene P(D) –s=50–(1/2)Q; mettendola
a sistema con la funzione di offerta si ottiene il punto di equilibrio Q=50+s, P=25+s/2 e
pertanto, per ottenere P=40 è appropriato fissare s=30. Corrispondentemente, il livello di
produzione e domanda è Q=80.
Se si concede un sussidio ai produttori, si determina uno shock espansivo di offerta, che
conduce ad osservare un prezzo di equilibrio di mercato inferiore: la funzione inversa
d’offerta si sposta verso destra. (Se si vuole avere un prezzo di mercato superiore a quello
di equilibrio, occorre generare uno shock restrittivo di offerta, che fa spostare verso
sinistra la funzione d’offerta, e che si può ottenere, ad esempio, introducendo un’imposta
sulla produzione.
Tuttavia, introducendo un sussio per ogni unità prodotta, i produttori percepiranno come
prezzo rilevante per loro, il prezzo di equilibrio di mercato, più il sussidio unitario che
ricevono per ogni unità che producono del bene. In altre parole, ciò che si richiede nella
logica del presente esercizio, è che i produttori, se intascano un sussidio s per ogni unità
prodotta, arrivino a percepire un prezzo per loro rilevante pari a 40; ma il prezzo per loro
rilevante è il prezzo che pagano di tasca loro i consumatori, più il sussidio unitario, ossia
vale: P(S)=s+P(D), e tale grandezza deve essere pari a 40. Pertanto, la funzione di
domanda può essere riscritta P(D)=50-Q/2, mentre l’offerta può scriversi come
P(S)=P(D)+s=Q/2. Si può, per sostituzione, facilmente trovare P(S), P(D) e Q, ciascuno in
funzione di s. Ponendo poi P(S)=P(D)+s=40, si ricava s=30. In corrispondenza di questo
valore, è immediato constatare che il prezzo rilevante per i consumatori è 10; ciò che va
ai produttori, per ogni unità prodotta, è (10+30)=40 e la quantità scambiata sul mercato è
pari a 80.
Si noti quindi che concedere un sussidio pari a 30 ai consumatori oppure ai produttori
conduce sempre ad una produzione di equilibrio pari a 80.
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Soluzioni degli esercizi del Capitolo 6
Esercizio 1
(a) L’impresa monopolista persegue il massimo della seguente funzione di profitto:
(10-Q)Q-Q2 ,
che si ottiene in Q=10/4=2,5 (lo si può constatare calcolando la derivata prima della
funzione di profitto e ponendola uguale a zero –e poi verificando che la derivata seconda
è negativa; oppure eguagliando il ricavo marginale al costo marginale e verificando che il
costo marginale è crescente); il prezzo corrispondente è P=7,5.
(b) qA = qB = 2, P = 6
(c) E’ ragionevole imporre la condizione di simmetria qA=qB ; sotto questa condizione
risulta ottimale fissare qA = qB =5/3.
Esercizio 2
Essendo la funzione di domanda P=10/Q, la funzione di ricavo risulta Ric=10 (costante):
qualsiasi quantità l’impresa produca, il ricavo è costante; all’impresa, quindi converrà
produrre una quantità positiva, ma la più piccola possibile, perché a parità di ricavo
richiede il più piccolo possibile costo di produzione. In altre parole, qualsiasi livello di
produzione (positiva) si fissi, si può ottenere un profitto maggiore riducendo
ulteriormente la quantità prodotta.
Esercizio 3
Il costo marginale di produzione è costante (e pari a 2), mentre il costo medio di
produzione è Cme=2+F/q; si constata quindi che il costo medio di produzione è sempre
decrescente in q ed è sempre superiore al costo marginale. Il punto di perfetta
concorrenza (dove è massimo il benessere sociale) è quello in cui P=Cmg, ossia quello in
cui vale A-BQ=2, da cui Q=(A-2)/B; si può agevolmente verificare che in corrispondenza
di tale livello di produzione, il prezzo del bene, che è pari a 2, risulta inferiore rispetto al
costo medio di produzione (che è Cme= 2+(FB)/(A-2)) con ciò implicando un valore
negativo del profitto. Pertanto, il punto di perfetta concorrenza (e di massimo benessere
sociale) implica un profitto d’impresa negativo, e ciò porta a dire che il mercato è di
monopolio naturale. Alla stessa conclusione si poteva immediatamente pervenire
osservando che il costo medio è monotonicamente decrescente, e quindi sempre superiore
al costo marginale.
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Roberto Cellini
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Soluzioni cap. 8
Esercizio 2
L’ottimo individuale per A richiede i = 4, xA = PA/2; l’ottimo per B è xF = PF/2; l’ottimo
sociale richiede che l’impresa A produca i = 7/2
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Soluzioni cap. 9
Esercizio 3
L’equilibrio di Nash rimane il medesimo; si consideri l’adozione di un commitment da
parte di B per determinare l’instaurarsi di una situazione Pareto-efficiente
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Soluzioni cap. 10
Esercizio 1
(a) G = 6, x = 3, per ciascuno dei due individui
(c) G = 12, xA = 3, xB = 3
Esercizio 2
G = 3; x = 7 per ciascuno
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Soluzioni cap. 12
Esercizio 1
Per rappresentare le curve di Lorenz è necessario preliminarmente ordinare gli individui
in modo crescente rispetto al loro reddito individuale e calcolare la percentuale di reddito
cumulato che spetta alla popolazione cumulata. Possiamo quindi compilare (per ciascuna
economia) una Tabella come quella sotto riportata
Prima economia
Individuo
reddito
Reddito
cumulato
j
K
I
3
7
9
3
10
19
Seconda economia
Individuo
reddito
A
C
B
1
9
10
Reddito
cumulato
1
10
20
Percentuale
reddito
cumulato
3/19=15,8%
10/19=52,6%
100%
Percentuale
popolazione
cumulata
1/3=33,3%
2/3=66,6%
100%
Percentuale
reddito
cumulato
1/20=5,0%
10/20=50,0%
100%
Percentuale
popolazione
cumulata
1/3=33,3%
2/3=66,6%
100%
E’ quindi immediatamente visibile che nella prima economia il 33% della popolazione
più povera possiede il 15% del reddito nazionale e il 66% della popolazione possiede il
52%; nella seconda economia, il 33% della popolazione possiede solo il 5% del reddito e
il 66% della popolazione possiede il 50% del reddito. Inequivocabilmente, quindi, nella
seconda economia il reddito è distribuito in modo più concentrato rispetto alla prima
economia. Se calcolassimo l’indice di Gini, esso risulterebbe minore nella prima
economia rispetto alla seconda, proprio perché il reddito è distribuito in modo meno
concentrato (più equo) nella prima rispetto alla seconda.
Esercizio 2
Imposte proporzionali non modificano l’indice di Gini. Imposte in somma fissa, invece,
hanno natura regressiva e incrementano la diseguaglianza distributiva (misurata
dall’indice di concentrazione di Gini).
Esercizio 3
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L’imposta considerata non è correlata con comportamenti economici e pertanto va
considerata alla stregua di un’imposta a somma fissa.
Esercizio 4
Le imposte prelevate su un reddito di 100.000 (senza considerare deduzioni né
detrazioni) ammontano a 36.170, che è il risultato della seguente operazione:
0,23*15.000+0,27*(28.000-15.000)+0,38*(55.000-28.000)+
+0,40*(75000-55000)+0,43*(100.000-75.000).
Se il reddito è 200.000, le imposte corrispondenti ai primi quattro scaglioni rimangono le
medesime, mentre l’aliquota marginale del 43% colpisce ora un ammontare di reddito di
125.000; in altre parole, l’incremento di redidto (100.000) viene intermente colpito dalla
aliquota del 43%. L’imposta totale risulta quindi 79.170.
L’aliquota media di imposizione sul reddito di 100.000 risulta del 36,17%, mentre sul
reddito di 200.000 risulta del 39,58% (ossia, 79.170/200.000). Poiché l’aliquota media è
crescente nel livello di reddito imponibile, il sistema fiscale è evidentemente di tipo
progressivo.
Esercizio 5
(a) L’imposta sul reddito di 30.000 è 2.000, sul reddito di 60.000 è 5.000 e sul reddito di
90.000 è 8.000; (b) le aliquote di imposizione media sono rispettivamente 6,6%, 8,3% e
8,8%; (c) sì, è corretto affermare che il sistema è progressivo perché l’aliquota media
risulta crescente nel livello del reddito; (d) l’imposta, in funzione del reddito è
rappresentata dalla formula T=0,1(Y-10.000), ossia T= -1000+0,1Y: si tratta di una retta
(con inclinazione costante, pari a 0,1) e intercetta negativa (pari a -1000); l’aliquota
marginale, costante, corrisponde all’inclinazione della retta, mentre l’aliquota media è
graficamente rappresentata dall’inclinazione del raggio che congiunge l’origine degli assi
con ciascun punto sulla retta (tale raggio ha inclinazione crescente, mano a mano che ci si
sposta verso redditi più elevati); (e) l’affermazione è vera, a patto che vi sia un
ammontare iniziale di reddito esente da imposta.
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Soluzioni cap. 13
Esercizio 3
(b) il settore pubblico registra un surplus di 3610 Euro
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Soluzioni cap. 16
Esercizio 1
(a) L’impresa neoclassica walrasiana, al fine di massimizzare il proprio profitto, domanda
quella quantità di lavoro tale che la produttività marginale è pari salario reale; in questo
caso 20-4N=W, da cui N=(20-W)/4. Si noti che la domanda di lavoro risulta quindi
funzione negativa del salario reale.
(b) Se l’offerta di lavoro è N=4,5, l’equilibrio si raggiunge per W=2. Il livello di
produzione corrispondente (calcolabile dalla funzione di produzione) è Y=49,5
(c) Dalla funzione di produzione osserviamo che per produrre Y=18 si può impiegare N=1
(infatti la risoluzione dell’equazione 18=20N-2N2 fornisce le due soluzione N=9, N=1, ma
è evidentemente inefficiente impiegare N=9 per produrre ciò che può essere prodotto con
N=1). In questo caso, l’economia si trova in una regione di disoccupazione keynesiana: le
imprese domandano soltanto il lavoro che serve per produrre ciò che si attendono verrà
loro domandato, e la disoccupazione ammonta quindi a 3,5.
Esercizio 2
(a) Secondo l’impostazione neoclassica la funzione di offerta di risparmio dipende dal
tasso d’interesse; il legame sarà di segno positivo se –al modificarsi del tasso di
interesse– l’effetto di sostituzione prevale sull’effetto di reddito nelle scelte individuali di
consumo corrente e consumo futuro. Da un punto di vista strettamente teorico, però,
potrebbe aversi un segno negativo (se tutti gli individui si comportassero in modo tale da
avere prevalenza dell’effetto di reddito sull’effetto di sostituzione) o non significativo (se
effetti di reddito e di sostituzione si compensano tra loro). L’evidenza empirica mostra in
genere un segno positivo. In conclusione, la teoria neoclassica ci porta a richiedere che
valga c>0, anche se potrebbe non essere in contrasto con la teoria c=0 o c<0 (nei casi,
davvero particolari e poco verosimili, che effetti di reddito e di sostituzione si
compensino tra loro, o addirittura gli effetti di reddito prevalgano). Nessuna particolare
restrizione deve essere posta sul parametro a (che può essere positivo, negativo o nullo);
è ragionevole attendersi b>0 (ma anche in questo caso potrebbe essere coerente con la
teoria anche b=0 o b<0 a seconda di come il consumo corrente reagisce a modificazioni
del reddito corrente).
(b) L’impostazione keynesiana prevede che il risparmio sia funzione positiva del reddito
e in particolare la propensione marginale al risparmio è prevista essere compresa tra 0 e
1; pertanto la restrizione che deve essere richiesta è 0<b<1; inoltre, il termine costante
dovrebbe corrispondere alla componente autonoma di consumo col segno negativo, per
cui è ragionevole che venga richiesto a<0; infine non si prevede alcun effetto del tasso
d’interesse sull’ammontare di risparmio, per cui i keynesiani (puri) dovrebbero richiedere
che valga c=0.
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Soluzioni degli esercizi del Capitolo 17
Esercizio 1
(a) La funzione aggregata di consumo è C=25+0,8(Y-0,3Y) e pertanto se Y=100, il
consumo risulta C=81.
(b) La funzione aggregata di consumo diventa C=25+0,8(Y-10-0,3Y) e quindi il
consumo corrispondente a Y=100 risulta C=73 (si noti che un incremento
dell’imposizione fiscale fissa pari a 10 determina un decremento del consumo
aggregato pari a 8).
(c) Il reddito di equilibrio, prima dell’introduzione dell’imposta a somma fissa, si
trova risolvendo l’equazione Y=G+I+25+0,56Y, da cui risulta Y=(G+I+25)/0,44;
nel caso particolare che I=G=0, il reddito di equilibrio risulta 56,81. A seguito
dell’introduzione dell’imposta a somma fissa, il reddito di equilibrio diminuisce
di 18,18.
Esercizio 2
I punti (a) e (b) sono molto semplici da risolvere; verifichi il risolutore che l’equazione
della curva LM può anche essere scritta nel modo seguente r=-9.04+0,000304y. La
risposta corretta al punto (c) è r=9%: infatti, se il reddito è 30000, va risolta l’equazione
24793=4000+0,7*30000-2300r, che fornisce r=0,09.
Esercizio 3
Lasciamo ai lettori risolvere i punti (a) e (b).
La soluzione del punto (c) è Y=(M/P)S-40, r=40,5-0,1(M/P)S ; come si nota, i valori di
equilibrio del reddito e del tasso d’interesse dipendono dall’ammontare dell’offerta reale
di moneta; ad esempio, se fosse (M/P)S =400, risulterebbe Y=360, r= 0,5.
Esercizio 4
Lasciamo ai lettori i commenti richiesti dai punti (a) e (b); la soluzione del punto(c) è Y =
19 000.
Politica economica - Introduzione ai modelli fondamentali 2/ed
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Soluzioni degli esercizi del Capitolo 18
Esercizio 1
(a) La condizione di equilibrio macroeconomico è Y=(500+0,5Y)+(480-0,1r), ossia
esplicitando il tasso di interesse, r=9800-5Y (equazione della curva IS); il
moltiplicatore keynesiano vale 1/(1-c)=1/0,5=2.
(b) Se r=8, con semplice sostituzione nell’equazione della curva IS si trova che deve
valere Y=9.782/5=1.958,4.
(c) Se tra le componenti di domanda si aggiunge G=10 (finanziata in deficit), il
reddito di equilibrio –grazie al principio del moltiplicatore– deve aumentare di 20,
ossia arrivare a 1.978,4. Al medesimo risultato si può pervenire anche riscrivendo
la equazione della curva IS, con l’aggiunta tra le componenti di domanda della
spesa pubblica, pari a 10, ossia: Y=(500+0,5Y)+(480-0,1r)+10 e ricavando il
valore di Y in corrispondenza di r=8; si trova proprio 1.978,4.
(d) Se la spesa pubblica di 10 è finanziata con un’imposta (che va a decurtare il
reddito disponibile), allora l’equazione di equilibrio macroeconomico ha
equazione: Y=[500+0,5(Y-10)]+(480-0,1r)+10, ossia r=9850-5Y (curva IS);
calcolando il valore di Y corrispondente a r=8, si trova Y=1.968,4; ciò sta a
significare che –rispetto alla situazione in cui non vi era spesa pubblica– un
incremento di spesa pubblica interamente finanziato con nuove imposte a somma
fissa determina un incremento del reddito di equilibrio di pari entità (infatti, anche
il reddito di equilibrio è aumentato di 10, esattamente come la spesa pubblica e le
imposte); questo è il contenuto del teorema di Haavelmo, le cui ipotesi sono tutte
rispettate nell’esercizio presente.
Esercizio 2
Se l’incremento di spesa pubblica (pari a 10) è finanziato con nuove imposte per la
frazione v, vuol dire che le nuove imposte saranno T=10v. Il reddito disponibile è quindi
Y-10v. La condizione di equilibrio macroeconomico risulta quindi:
Y=[500+0,5(Y-10v)]+(480-0,1r)+10,
che –dopo alcuni semplici passaggi algebrici– si semplifica in r=9900-5Y-50v.
Pertanto il reddito di equilibrio, se r=8, risultaY=9.892/5–10v, ossia, Y=1.978,4-10v. E’
immediato, a questo punto, verificare che se v=0 (ossia, tutta la spesa pubblica è
finanziata in deficit) si ricade nel caso di moltiplicatore massimo, in cui una spesa
pubblica pari a 10 ha determinato un incremento del reddito di equilibrio pari a 20) –
come nel caso c dell’esercizio 1. Nell’altro caso estremo, con v=1 (che corrisponde al
caso d dell’esercizio 1, dove l’intera spesa pubblica è coperta da imposte) si ricade nel
caso del teorema di Haavelmo in cui l’incremento di spesa pubblica pari a 10 ha
determinato un pari incremento del reddito di equilibrio.
Politica economica - Introduzione ai modelli fondamentali 2/ed
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Esercizio 3
Applicando pedissequamente la formula (18.5”) del testo, con l’avvertenza che x in
questo caso è un surplus primario, e non un deficit primario, la variazione del rapporto tra
stock di debito e PIL risulta pari a (-1%+1,5%-1,8%), ossia -1,3%; a parole, il rapporto
tra debito e PIL cala dell’1,3%; se all’inizio tale rapporto era 107%, dopo gli accadimenti
descritti nell’esercizio il rapporto si attesterà al valore 105,7%.
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Soluzioni degli esercizi del Capitolo 19
Esercizio 1
Il rapporto tra circolante e moneta è pari a 535/7.227, ossia 0,074, ossia il circolante
rappresenta il 7,4% di M3. Possiamo anch scrivere M3=zBMP; in questo caso,
7.227=z535, da cui possiamo concludere che z=7.227/535=13,5, ossia il moltiplicatore
che lega circolante a moneta (nell’accezione di M3) è pari a 13,5.
Esercizio 2
Poiché vale BMP=hD, sulla base dei dati relativi all’area Euro vale 535=h2.961, da cui
immediatamente si ricava h=0,18. Questo vuol dire che i cittadini dell’aerea Euro
detengono come circolante circa il 18% di quello che detengono in depositi bancari.
Poiché M=(h+1)/(h+j)BM, conoscendo h e conoscendo il coefficiente di riserva delle
banche si può facilmente calcolare il moltiplicatore che lega moneta a base monetaria.
Naturalmente si hanno anche tutti gli elementi per calcolare il moltiplicatore che lega i
depositi bancari alla base monetaria.
Esercizio 3
Utilizzando i simboli usati nel testo, i dati forniti dall’esercizio consentono di avere
h=0,1; j=0,02+0,05=0,07. Pertanto, la relazione che lega moneta a base monetaria è
M=(h+1)/(h+j)BM, ossia M=(1,1/0,17)BM. Pertanto M=6,47BM e quindi se BM=100,
allora M=647.
Politica economica - Introduzione ai modelli fondamentali 2/ed
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Soluzioni cap. 20
Esercizio 1
È diminuita del 2,9%
Esercizio 4
(a) + 11,1%; (b) − 2,9%
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Soluzioni cap. 22
Esercizio 1
Il problema che affronta il policy maker può essere schematizzato nel modo seguente:
minimizzare L = (y –y*)2+(i-i*)2 = (y –1,1yPI)2+i2
sotto vincolo: y=100+(i-ie)
Si noti che il reddito obiettivo è 1,1 yPI, ossia è del 10% più elevato rispetto al pieno
impiego. Dal vincolo è anche inferibile che il reddito di pieno impiego è 100, dato che è
il livello di reddito che si realizza quando le aspettative di inflazione sono confermate.
Pertanto, sostituendo questi valori nella funzione obiettivo si ottiene che la funzione da
minimizzare è
L=[100+(i-ie)-110] 2+i2=( i-ie-10)2+ i2.
Minimizzando rispetto alla variabile di scelta i, l’ottimo risulta: 2( i-ie-10)+2i=0, ossia
i=
20 + 2i e
4
che rappresenta la funzione di reazione del governo, ossia la scelta ottimale del governo
per ogni dato livello di inflazione attesa da parte dei cittadini. Si noti che tale funzione di
reazione è positivamente inclinata: quanto più grande è il tasso atteso d’inflazione da
parte dei cittadini, tanto maggiore il livello di inflazione ottimale per il governo.
Posto che l’obiettivo dei cittadini è avere la minima sorpresa inflazionistica possibile,
ossia che essi minimizzano (ie-i) e che quindi la loro curva di reazione ottimale è (ie=i),
il punto di equilibrio di Nash è dato dalla intersezione delle due curve di reazione, che ha
luogo per i=10.
La funzione di perdita del governo, in i=10 risulta valere L=100+100=200, mentre se il
governo si fosse legato le mani attuando i=0, la perdita sarebbe stata soltanto pari a 100.
Il guadagno che il governo ottiene, legandosi le mani, ammonta quindi a 100.
Esercizio 2
Poiché l’inflazione di equilibrio di Nash, nel modello base di Barro e Gordon, è
i = i e = baky PI
(che corrisponde all’equazione 22.5 del testo), è evidente che tale tasso è direttamente
proporzionale, tra le altre cose, anche al livello del reddito di pieno impiego yPI. Se tale
Politica economica - Introduzione ai modelli fondamentali 2/ed
Roberto Cellini
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fattore aumenta del 10%, (mantenuti costanti i parametri a, b e k), anche il tasso di
equilibrio i deve aumentare del 10%.
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Soluzioni cap. 23
Esercizio 2
(a) Attivo di 55,6
(b) No, è stato un passivo
(c) -51,1
(dati da Bollettino Mensile della BCE, dicembre 2006, pag. S55)