PARTE 6: GRAVITAZIONE ( )

Gravitazione - 1
PARTE 6: GRAVITAZIONE
6.1 INTRODUZIONE
Newton conosceva diverse cose circa il moto dei pianeti:
•
La luna compie un orbita attorno alla terra di raggio RL ≅ 60 RT ;
•
tutti i pianeti compiono un moto di rivoluzione attorno al sole su orbite quasi circolari;
•
un oggetto sulla superficie della terra si muove su un orbita circolare attorno al centro della
terra. L’orbita dell’oggetto è pari al raggio terrestre: RT ≅ 6.4 ⋅ 106 m all’equatore, e ha una
velocità angolare
ωT =
2πrad
= 7.27 ⋅ 10 −5 rads -1
s 

(24ore) 3600 
ora 

Consideriamo un oggetto che sia stazionario rispetto alla terra,
come una mela attaccata a un albero. Se cade, la mela entra in
mela
orbita attorno alla terra (come la luna). La mela ha una velocità
iniziale dovuta alla rotazione della terra:
Vmela = RT ωT = 465 ms −1
Affnchè la mela resti in orbita, la sua accelerazione lontano dalla
posizione iniziale sulla superficie della terra (dal ramo dell’albero
in questo caso) deve avere una componente verticale abbastanza
alto
intensa da bilanciare la accelerazione verticale verso il basso
dovuta alla gravità.
L’accelerazione centripeta è:
ac =
2
v2
= RT ωT2 = 6.4 ⋅10 6 m 7.27 ⋅10 −5 s −1 = 0.034ms −2
RT
(
)(
)
L’accelerazione verso il basso dovuta alla gravità, g = 9.80 ms −1 , è
290 volte maggiore di ac , per cui la mela non resta in orbita ma
cade.
basso
Gravitazione - 2
6.2 ROTAZIONE DELLA LUNA ATTORNO ALLA TERRA
Il moto della Luna attorno alla Terra è descritto dalle seguenti quantità:
•
•
RL = 60 RT = 3.84 ⋅ 108 m
1
ωL =
= 2.66 ⋅ 10 −6 s −1
27.3 giorni
vL
1
g
• acL = ω RL = 0.0027 ms << g ⇒ acL ≈
3600
La luna resta in uno stato stazionario sulla sua orbita; da
2
L
−2
questo si può concludere che la accelerazione dovuta alla
Luna
Terra
RL
gravità uguaglia la accelerazione centripeta della luna:
a L = acL
L’accelerazione della luna verso la terra è molto più debole
di quella della mela verso la terra. L’orbita della luna è 60
volte più distante di quella della mela dal centro di massa della terra. Abbiamo appena trovato che
l’accelerazione è più piccola di un fattore 3600 (o 602). Si può ipotizzare che:
aL
RT2
1
=
= 2 2
(1)
2
g (60 Rt )
RL RT
Considerando questi numeri Newton concluse che la forza centripeta che vincola la luna in orbita
attorno alla terra è
Fc = mL acL = mL
gRT2
1
∝ 2
2
RL
r
(2)
6.3 LA FORZA GRAVITAZIONALE
Sia sulla luna che sulla mela agisce una forza centripeta:
1
Fc ∝ 2
r
• Qual’è l’origine di questa forza?
• Fino al XVII secolo si credeva che il peso fosse una caratteristica intrinseca di ogni corpo e
non necessitasse di spiegazione;
• Era noto da tempo che i pianeti si muovono su orbite ellittiche (leggi di Keplero) anche se
tali leggi erano di carattere fenomenologico.
• Newton ed altri suoi contemporanei (Hooke) ipotizzarono che il peso fosse una particolare
manifestazione di una attrazione generale tra corpi di qualsiasi genere;
Gravitazione - 3
Newton scoprì che le semplici leggi che legano le forze al moto degli oggetti ordinari si
applicano egualmente bene al moto dei pianeti. La domanda di base può essere posta nella
forma:
•
Di che forma è la forza attrattiva gravitazionale che due oggetti esercitano uno sull’altro? La
legge che esprime la forza che il corpo 1 esercita su 2 è
GM 1 M 2
r̂12
r122
sono le masse dei due corpi;
è il modulo del vettore che ha origine nel centro di
massa di 1 e vertice nel centro di massa di 2;
F =−
dove:
M1 e M 2
r12
G
è la costante gravitazionale;
Si può dare una stima di G dalla conoscenza del sistema Terra-Luna:
F=
GM T M L
gRT2
M
=
L
RL2
RL2
ove si è usata la (1); si ha quindi
G=
gRT2
MT
6.4 MASSA INERZIALE E MASSA GRAVITAZIONALE
•
Nell’espressione del 2° principio della dinamica:
&
&
F = mi a
la quantità mi rappresenta l’inerzia del corpo; è la massa inerziale.
•
Nella legge di Newton della gravitazione:
F=
Gmg1mg 2
r2
la massa mg è definita anche se a = 0: è la massa gravitazionale.
Ci si può domandare quale sia la relazione che intercorre tra mi e mg.
Gravitazione - 4
Una risposta si può ottenere considerando le seguenti figure
Consideriamo l’attrazione esercitata dalla Terra su due masse mgA
mgA
ed mgB
mgB
GM T m gA 

m gA
R T2
F

⇒ TA =

GM T m gB
FTB m gB

=
2

RT
FTA =
MT
FTB
Se T è la Terra, le forze sono i pesi:
PA mgA
=
PB mgB
Se invece immaginiamo di lasciare cadere liberamente le stesse due
miB
miA
masse della figura precedente, per il 2° principio si ha:
PA = miA g 
PA miA
=
⇒
PB = miB g 
PB miB
MT
Dall’uguaglianza dei rapporti tra i pesi segue che le masse inerziale e
gravitazionale sono proporzionali.
Per una valutazione ancora più precisa, studiamo il problema del
pendolo:L’equazione è:
θ
s
mi s = − mg gsin
l
l
n̂
t̂
e il periodo delle piccole oscillazioni è:
T = 2π
mi l
mg g
il che dimostra, per confronto con misure effettuate su pendoli reali, per i quali il periodo è dato da
m
l
T = 2π
, che il rapporto i = 1 , l’equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale.
g
mg
Gravitazione - 5
6.4 ESPERIMENTO DI CAVENDISH
L’esperimento di Cavendish (1798) ha condotto alla misura della costante di gravitazione
universale G. L’apparato è descritto in figura. Viene misurato l’angolo di torsione del braccio che
unisce le masse m prima in assenza (α 0 ) e poi in presenza (α ) delle masse m’.
Filo di torsione (quarzo)
Specchio
Lam pada
Scala graduata
Per l’equilibrio del sistema si deve uguagliare a 0 il momento assiale risultante dalla forza di
attrazione gravitazionale e dalla forza elastica di richiamo generata dal filo.
θ 
M u = 2 Fr = 2 Flcos  = Cθ
2
dove C è la costante elastica di torsione e α è l’angolo di
torsione. Sostituendo l’espressione per F si ottiene
2
θ 
lcos  = Cθ
2

 θ 
 
2lsin
 2 

Gmm'
2
da cui
G=
Risulta G = 6.67 ⋅ 10
2lCα
θ  θ 
sin
 tan 
mm'
2 2
−11
θ
θ0
Nm 2
.
kg 2
F
m’
r
m
l
Gravitazione - 6
6.5 LE LEGGI DI KEPLERO
1. I pianeti compiono, nel loro moto intorno al sole, orbite piane di forma ellittica, di cui il sole
occupa uno dei fuochi.
2. Il raggio vettore, scelto con origine nel sole, spazza aree uguali in tempi uguali), ovvero il moto
dei pianeti avviene con velocità areolare costante.
3. Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo del semiasse maggiore dell'orbita
è costante, ed uguale per tutti i pianeti.
Gravitazione - 7
6.6 IL PROBLEMA DEI DUE CORPI – 1a LEGGE DI KEPLERO
Consideriamo due elementi materiali per i quali l’unica forza agente sia la loro mutua interazione.
Sia û il versore della congiungente i due elementi. Sul primo elemento agirà una forza ϕ ( ρ )û , e
sul secondo elemento, per il terzo principio della
dinamica, una forza − ϕ ( ρ )û . In un sistema di
− ϕ(ρ )û
riferimento inerziale si ha:
&
M S aS = ϕ ( ρ )uˆ
&
M T aT = −ϕ ( ρ )uˆ
T
(1)
(2)
Consideriamo ora un sistema di riferimento con
S
ϕ(ρ )û
ρ
û
centro in S; per il teorema dei moti relativi sarà
&
&
&
M T aT( r ) = −ϕ ( ρ )uˆ − M T a (τ ) = −ϕ ( ρ )uˆ − M T a S
da cui, con la (1):
 ϕ ( ρ )uˆ 
&
&

M T aT( r ) = −ϕ ( ρ )uˆ − M T a (τ ) = −ϕ ( ρ )uˆ − M T 
M
S


da cui
M T M S & (r )
aT = −ϕ ( ρ )uˆ
MT + M S
Il moto di T attorno ad S è quindi lo stesso che si avrebbe se S fosse fisso e T possedesse una massa
µ=
MT MS
MT + M S
Se la forza è quella di interazione gravitazionale:
ϕ (ρ) =
GM S M T
ρ2
che ammette energia potenziale
U (ρ) = −
GM S M T
ρ
l’equazione si riscrive:
G(M T + M S )
&
aT( r ) = −
uˆ
ρ2
1
d2
&
poiché aT(r ) dipende da una funzione del tipo  +
2
 ρ dθ
 1 
  (espressione del Binet), la equazione
 ρ 
è una equazione differenziale lineare del II ordine a coefficienti costanti. La sua soluzione è data
dall’integrale generale dell’omogenea associata
Gravitazione - 8
1
= A cos(θ − ψ )
ρ
più un integrale particolare, che si porre nella forma
1 1
=
ρ p
L’integrale generale è quindi
1
1 1 + pA cos(θ − ψ ) 1 + e cos(θ )
= A cos(θ − ψ ) + =
=
ρ
p
p
p
con e= p A, in quanto si può sempre porre ψ = 0 con una opportuna scelta delle condizioni iniziali.
Questa rappresenta l’equazione di una conica in coordinate polari, di eccentricità e, fuoco in S e
parametro p . Se e<1 la conica è un ellisse,se e=1 è una parabola. Se e>1 una iperbole.
6.7 LA 3a LEGGE DI KEPLERO
Consideriamo un sistema formato dal sole e da un pianeta, per i quali l’unica forza agente sia la
loro attrazione gravitazionale. Sia û il versore della congiungente i due corpi. La forza agente sul
pianeta è
GM S M T
&
M T aT = −
uˆ
r2
(1)
Per il terzo principio della dinamica sul sole agisce una forza
GM S M T
&
M S aS =
uˆ
r2
Consideriamo ora un sistema di riferimento con centro in S; per il teorema dei moti relativi sarà
GM S M T
GM S M T
&
&
&
M T aT( r ) = −
uˆ − M T a (τ ) = −
uˆ − M T a S
2
2
r
r
da cui, con la (2):
GM S M T
GM S M T
&
&
 GM 
M T aT( r ) = −
uˆ − M T a (τ ) = −
uˆ − M T  2 T uˆ 
2
2
r
r
 r

da cui
&
G
aT( r ) = − 2 (M S + M T )uˆ
r
(a& ) = −uˆ si ottiene:
Proiettando sulla normale principale, ricordando che vers
 4π 2  3
G (M S + M T )
s 2 G (M S + M T ) 1  2πr 
2

r
T
=
⇒
=
⇒
≅


r
r T 
GM
r2
r2
S 

2
(2)