Moto di caduta di una sfera in un fluido viscoso (moto laminare)
Le forze che agiscono sono il peso e la forza di attrito viscoso (che per una sfera in regime laminare è data dalla legge di
Stokes): la legge di Newton quindi diventa ma = mg − 6πηrv .
9η
4
v , ossia un
Ricordando che m = V ⋅ d solido = πr 3 d solido , si ottiene che l'accelerazione della sfera vale a = g − 2
2r d solido
3
termine costante ed uno dipendente dalla velocità e ponendo β =
9η
si può scrivere a = g − β v .
2r 2 d solido
L'accelerazione diminuisce all'aumentare della velocità, quindi dopo un po' l'accelerazione si annulla. Da quel momento in
poi il corpo si muove di moto uniforme a velocità costante, che si può determinare dalla relazione precedente ponendo a = 0,
2r 2 gd solido
da cui v =
(velocità di regime o velocità limite).
9η
Per il confronto con la caduta libera nel vuoto, si disegna il grafico della velocità in funzione del tempo nelle due situazioni.
Moto di caduta di una goccia di pioggia in aria (moto turbolento o vorticoso)
Fra le esperienze quotidiane di caduta di un grave troviamo quella della pioggia. Se la caduta di una singola goccia avvenisse
in assenza di attrito con un'accelerazione costante di 9,8 m/s2, la goccia cadendo da un'altezza di 500 m con velocità iniziale
nulla raggiungerebbe il suolo con una velocità di circa 100 m/s (360 km/h). Oltre alla nostra esperienza intuitiva che ci porta
a pensare che la goccia cada con una bassa velocità, esistono dati sperimentali che mostrano come le gocce di pioggia
arrivino al suolo con una velocità costante che varia fra 2 m/s e 8 m/s. È evidente che il moto della goccia di pioggia non
rientra nel modello di caduta libera, ma neppure il modello del moto laminare fornisce risultati realistici: infatti una goccia di
raggio 1,5 mm raggiungerebbe una velocità limite di 288 m/s, calcolata mediante l'espressione ricavata sopra
2
2r g ρ goccia
, con η = 1,7 ·10-5 N·s·m-2, ovvero (in unità SI) v ≈ 1,28 ·108 r2.
v=
9η
Per oggetti che si muovono in un fluido ad alte velocità l'approssimazione lineare non fornisce però una rappresentazione
2
adeguata del moto, per cui si deve considerare una dipendenza quadratica della forza dalla velocità F attrito= – γ v : il moto
si dice turbolento o vorticoso.
1
2
In questo caso la forza di attrito viscoso del mezzo è F attrito=− C ρaria Av , dove A è l'area della sezione trasversale
2
dell'oggetto, C è un coefficiente di trascinamento che vale 0,5 per un oggetto sferico e può raggiungere anche 2 per oggetti
dalla forma irregolare e ρ aria =1,29 kg/m3 è la densità dell'aria.
4 3
1
2
La legge di Newton quindi diventa ma= mg− C ρ aria A v . Ricordando che m=V ρ goccia = π r ρ goccia e A= π r 2
3
2
3 C ρ aria 2
v , ossia un termine costante ed uno
si ottiene che l'accelerazione a cui è sottoposta la sfera vale a =g –
8 r ρ goccia
3 C ρ aria
γ=
dipendente dal quadrato della velocità e ponendo
si può scrivere a =g – γ v2 . La velocità limite si
8 r ρ goccia
8 r ρ goccia
ricava ponendo a=0 e si ottiene v=
g ; con i valori numerici usuali (C=0,5 e ρ aria =1,29 kg/m3) si ha (nelle
3 C ρ aria
unità SI) v ≈ 200 r : per una goccia di raggio 1,5 mm la velocità limite assume il valore più realistico di 7,8 m/s.
Nella caduta di un oggetto in un mezzo viscoso abbiamo
esaminato due casi: nel primo la forza resistente è
proporzionale alla velocità (moto laminare, legge di Stokes),
nel secondo al quadrato della velocità (moto vorticoso).
Per quanto riguarda le gocce di pioggia occorre notare che
già una gocciolina di nebbia (r = 0,05 mm con una velocità
limite di circa 0,25 m/s) è ai limiti del modello di moto
laminare. In generale aumentando la velocità relativa fra un
oggetto che cade ed il fluido in cui avviene il moto, si
vengono a formare dei vortici che sottraggono energia
cinetica all'oggetto aumentando di fatto la forza resistente: in
questo secondo modello rientra il caso delle grosse gocce di
pioggia (r = 1,5 mm con una velocità limite di circa 8 m/s ).
Esistono dei dati sperimentali [Gunn and Kinzer (1949)]
sulla velocità limite raggiunta da una goccia d'acqua che cade
in aria in funzione del diametro della goccia: nella figura
sono confrontati questi dati con i due modelli proposti.
(*) Gunn, R. and Kinzer, G.D. (1949) The terminal velocity of fall for water
drops in stagnant air, Journal of Meteorology. 6, 243-248.
Bibliografia:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/airfri2.html
http://www.madsci.org/posts/archives/2000-07/962626446.Ph.r.html
