Il sistema binario

LEZIONE DI MATEMATICA
SISTEMI DI NUMERAZIONE
(Prof. Daniele Baldissin)
L'uomo usa normalmente il sistema di numerazione decimale, probabilmente perché ha dieci dita. Il
sistema decimale è collegato direttamente alla conformazione fisica dell'uomo e all'importanza che
le mani hanno sempre avuto, anche nelle operazioni di calcolo. Se dobbiamo contare un gruppo di
oggetti, ad esempio disposti su un tavolo, sentiamo la necessità di indicarli, uno ad uno, con
l’indice. E il bambino, se deve eseguire un calcolo, conta sulle dita.
L'abitudine di contare a gruppi di dieci si è imposta in tutto il mondo, ma il sistema decimale non è
l'unico ad essere usato. Il contadino, ad esempio, conta ancora le uova a dozzine e tutti noi
misuriamo
il
tempo
o
gli
angoli
procedendo
di
sessanta
in
sessanta.
Il sistema di numerazione decimale, come hai già visto, si dice anche in base dieci e usa dieci
simboli, cioè le cifre:
0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 e 9
con le quali si scrivono tutti i
numeri.
In generale possiamo dire
che: la base di un sistema di
numerazione
posizionale
corrisponde al numero di
simboli usati per scrivere
tutti i numeri ed indica
quante unità di un certo
ordine sono necessarie per
formare un'unità dell'ordine immediatamente superiore. Per definire un altro sistema di
numerazione si dovrà quindi scegliere la base opportuna. Vediamo un esempio: nel sistema in base 10,
421 può essere scritto:
42110 = 4x102 + 2x101 + 1x100
Mentre, nel sistema in base 5, la stessa scrittura 421 diventa:
4215 = 4x52 + 2x51 + 1x50 = 111
Per indicare che un numero è scritto in una base diversa da 10, si scrive la base stessa in basso, a
destra del numero. Nel nostro esempio precedente, 4215 ci dice che il numero in base 5.
Se non ci sono indicazioni della base si conviene che questa sia 10. Lo stesso numero in base dieci,
42110, si scrive quindi semplicemente 421. La lettura dei numeri in base diversa da 10, non
essendoci più unità, decine, centinaia, migliaia e così via, si fa leggendo semplicemente la sequenza
delle cifre seguite dalla base indicata. Ad esempio: 4215 si legge "quattro, due, uno in base cinque".
Vediamo ancora un esempio nel sistema di numerazione in base 8, cioè nel sistema ottale, che viene
utilizzato spesso dai programmatori dei calcolatori elettronici. In questo sistema tutti i numeri si
possono rappresentare con le otto cifre:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Osserva che otto unità di un certo ordine formano un'unità dell'ordine immediatamente superiore.
In questo sistema di numerazione, ad esempio, il numero 524 corrisponde a:
5248 = 5x82 + 2x81 + 4x80 = 340.
Per indicare che tale numero è in base 8 si scrive: 5248 e si legge "cinque, due, quattro, base otto".
Per capire il procedimento che ci permette di passare dal sistema di numerazione decimale ad un
altro sistema non decimale, soffermiamoci un momento su un numero qualsiasi scritto in base dieci,
ad esempio, 4628. Raggruppare le unità a decine corrisponde alla divisione del numero stesso per
dieci, tenendo poi conto solamente dei resti. Infatti se dividiamo 4628 per 10, otteniamo il quoziente
462 che rappresenta le decine e il resto 8, che rappresenta le unità del numero dato. Se dividiamo
ancora per 10 il quoziente 462, otteniamo un nuovo quoziente, 46 che rappresenta le centinaia e il
resto 2, che rappresenta le decine del numero dato. Se dividiamo poi 46 per 10, otteniamo 4 e resto
6 che rappresenta le centinaia del numero dato. Come ultimo passaggio dividiamo ancora 4 per 10.
Otteniamo per quoziente 0 e per resto 4, che rappresenta le migliaia del numero dato. Le operazioni
di divisione terminano quando si arriva al quoziente 0. I resti della successione di divisioni indicate
in figura rappresentano proprio le unità del primo, secondo, terzo e quarto ordine del numero dato.
Se li riscriviamo in ordine inverso, cioè partendo dall'ultimo resto trovato, otteniamo proprio 4628.
Osserva lo schema seguente, è la stessa procedura usata in classe, la ricordi?
Con un procedimento analogo possiamo passare dal sistema decimale a qualsiasi altro sistema di
numerazione. Vediamo, ad esempio, come si passa dal sistema decimale, con il numero 734, al
sistema in base 5:
In generale: per scrivere un numero in una data base, ad esempio 2, 3, 4,..., basta
dividere il numero per la base, ossia per 2, 3, 4,... e dividere poi per lo stesso numero i
successivi quozienti fino ad avere quoziente zero. I resti, scritti in ordine inverso,
corrispondono al numero in baseIL
2, 3,
4,...
SISTEMA
BINARIO
Un sistema di numerazione molto importante per il calcolatore, è il sistema binario o sistema di
numerazione in base due, con le due cifre 0 e 1. La sua importanza deriva dal fatto che viene
utilizzato molto spesso dai circuiti del calcolatore che eseguono le operazioni aritmetiche. Infatti per
realizzare una buona sicurezza di funzionamento, il calcolatore preferisce distinguere soltanto due
tipi di segnali elettrici all'interno dei suoi circuiti elettronici: un segnale forte o "alto"
corrispondente alla cifra 1 e un segnale debole o "basso" corrispondente a 0. In pratica, il
calcolatore usa soltanto due "dita" e il sistema binario risulta quindi per lui il più "naturale". Con i
due simboli 0 e 1 possiamo rappresentare tutti i numeri. Ad esempio, il numero 100112 che scritto
in forma polinomiale è:
1x24 + 0x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20
corrisponde al numero decimale: 1x16 + 0x8 + 0x4 + 1x2 + 1x1 = 16 + 2 + 1 = 19.
Il sistema decimale si fonda sulle potenze del dieci e quello binario sulle potenze del due.
Per passare da un numero decimale al corrispondente numero binario dovremo procedere, come già
abbiamo detto, con divisioni successive. Vediamo, ad esempio, a quale numero binario corrisponda
il numero decimale 25:
25 => 11001
Le operazioni, nel sistema binario, si eseguono con le stesse modalità del sistema decimale.
Vedremo soltanto l’addizione, così da capire il meccanismo.
Addizione
Se i due numeri da sommare sono di una sola cifra, abbiamo quattro casi possibili:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10 (scrivo 0 con riporto di 1)
Useremo queste regole sulla somma di numeri di una sola cifra, per eseguire la somma di numeri di
più cifre, ad esempio, 101112 + 10112. Disponiamo i due numeri in colonna, come nel sistema
decimale, e poi addizioniamo le cifre di ogni colonna, partendo da destra:
riporti
11111
10111 +
1011 =
100010
1. La somma delle unità del primo ordine è:
1 + 1 = 10, scriviamo 0 nella prima colonna e riportiamo 1 nella seconda.
2. La somma delle unità del secondo ordine è 1 + 1 = 10 e dobbiamo aggiungere il riporto 1:
10 + 1 = 11. Scriviamo 1 e riportiamo 1 nella terza colonna.
3. La somma delle unità del terzo ordine 1 + 0 = 1 e dobbiamo aggiungere il riporto 1:
1 + 1 = 10. Scriviamo 0, riportiamo 1 e così via.
Guarda quest’altro esempio:
100 +
101 =
1001